第一篇：數學歸納法典型錯誤

數學歸納法易錯題析

－對假設設而不用

例1：用數學歸納法證明 1?2?3???2

正解（2）假設n=k時命題成立，即7?1能被8整除。

k

n2?

n(n?1).(2n?1)當n=k+2時，7k?2?1?72(7k?1)?1?72＝49（7k?1)?48

錯證：①當n?1時，左邊＝1 ,右邊＝

?1?(1?1)?(2?1?1)＝1 所以等式成立。②假設當n=k時等式成立,即1`2?22?32??k2

?16

k(k?1)(2k?1)

那么當n=k+1時為12?22?32???k2?(k?1)2

?16(k?1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

＝1

(k?1)(k?2)(2k?3)也就是說當n?k?1時，等式成立。由⑴⑵知對任何n?N*

等式成立，剖析：用數學歸納法證明第⑵步驟時，在從“k”到“k?1"的過程中，必須把n=k的命題作為已給定的條件，要在這個條件基礎上去導出n?k?1時的命題所以在推導過程中，故必須把n=k

時的命題用上，本解法錯因是對假設設而不用。正解：⑵12

?22

?32

???k2

?(k?1)2

＝1

k(k?1)(2k?1)?(k?1)26＝

(k?1)

[1

k(2k?1)?(16

k?!)]＝

6(k?1)(2k2?7k?6)?1

(k?1)(k?2)(2k?3)＝1

(k?1)[(k?1)?1][2(k?1)?1] 即當n?k?1時，等式成立。由⑴⑵知對任何n?N*

等式成立，二機械套用數學歸納法中的兩個步驟致誤

例2：當n 為正奇數時，7n

?1能否被8整除？若能用數學歸納法證明。若不能請舉出反例。證明：⑴當n=1時，7＋1＝8能被8整除。命題成立。⑵假設當n=k時命題成立,即7k?1能被8整除。則當n=k+1時，7

k?1

?1?7(7k?1)?6不能8整除.由（1）（2）知n為正奇數。7n

?1不能被8整除

分析：錯因;機械套用數學歸納法中的兩個步驟，而忽略了n是整奇數的條件。

證明前要看準已知條件。

因7k

?1能被8整除。且48能被8整除。所以7

k?2

?1能被8整除。所以當 n=k+2時 命題成立。由⑴⑵知當n 為正奇數時，7k

?1能被8整除。

三沒有搞清從k 到k+1的跨度

例3：求證：

1n?1?1n?2???13n?1

?1錯證：（1）當n ＝1時，不等式成立。

（2）假設n=k時命題成立，即

1k?1?1k?2???1

3k?1

?1 則當n=k+1時，1k?2?1k?3??111

3k?1?3(k?1)?1?1?3(k?1)

?1 就是說當n=k+1時不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。

點評：上述證明中，從k 到k+1的跨度，只加了一項是錯誤的，分母是相臨的自然數，故應是

13k?2?13(k?1)?1

3(k?1)?1，跨度是三項。

正確證法：（1）當n＝1時，左邊＝

111?1?1?2?11?3?6?4?312?1312?1，不等式成立。（2）假設n=k時命題成立，即

1k?1?1k?2???13k?1

?1，則當n=k+1時，1k?2?1k?3

??

1113k?1?3k?2?3(k?1)?1

3(k?1)?1

＝（111k?1?k?2???3k?1）＋13k?2?13(k?1)＋13(k?1)?1?1

k?1

>1＋[

13k?2?126k?66(k?1)

3k?4?3(k?1)]?1?9k2?18k?8?32(k?1)2

=1＋

6(k?1)9k2?18k?8?6(k?1)

9k2?18k?9

?1。

這就是說，當n?k?1時，不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。

第二篇：勞動合同(典型錯誤)

勞 動 合 同

甲方：××××企業(yè)

乙方：××

一、甲乙雙方經過協商，暫定一年試用期。試用期滿，經過甲方的考核，對乙方予以轉正，并錄用為職工，確定正式合同期，實行勞動合同制；經過甲方考核，未能通過試用期考核的，試用期自動延長三個月。本合同期滿，甲、乙雙方同意續(xù)訂勞動合同的，本條款繼續(xù)適用。

二、在試用期內，任何一方解除勞動合同均需提前七天通知對方。

三、在試用期內乙方的勞動報酬案本市最低生活保障標準執(zhí)行。甲方承諾，在合同期內乙方的全部勞動報酬的總和不低于國家勞動行政部門規(guī)定的最低工資標準。

四、乙方到甲方工作，實行內部承包，需交500元承包抵押金，勞動合同終止時予以退還。

五、職工工資采用計件制形式，每月結算一次，平時支付工資的80％，余額在年終結清。

六、甲方保證乙方每月25天工作，在25天內因甲方原因使乙方停工的，甲方每天補助人民幣5元。

七、甲方因工作需要，經與工會協商后，有權安排乙方加班，乙方如果拒絕，將被視為曠工，受到違紀制裁。

八、在合同期內，職工患病或非因工負傷，可按本企業(yè)的規(guī)章制度報銷醫(yī)療費，需要停工治療的，甲方根據其在本單位工作時間的長短，給予3個月至1年的醫(yī)療期，醫(yī)療期滿后，如因不能從事原工作的，甲方可以解除勞動合同，甲方將發(fā)給相當于本人標準工資1個月至6個月的醫(yī)療補助費。

九、甲方將為乙方購買商業(yè)保險，雙方商定不再參加國家的各類保險。

十、甲方應按照國家規(guī)定，向乙方提供必要的勞動保護用品；乙方應遵守有關的規(guī)章制度，安全生產。如果乙方因違反操作規(guī)程而負傷，甲方將按非因工負傷的有關規(guī)定，給予補償和處理。

十一、乙方在試用期和合同期內應當遵守有關的勞動紀律，服從甲方的管理和指揮，違反勞動紀律的，按《企業(yè)職工獎懲條例》和本企業(yè)的規(guī)章制度處理。

十二、在合同期內，如果乙方被證明不符合錄用條件或不能勝任工作，甲方可以解除勞動合同，甲方將按乙方在甲方的工作年限每滿一年發(fā)給一個月工資的經濟補償，但最高不超過乙方十二個月的工資收入。

十三、在合同期內，如果本合同訂立時的客觀情況發(fā)生變化，如甲方轉產、搬遷等，致使本合同無法履行的，甲方可以解除勞動合同，甲方將按乙方在甲方的工作年限每滿一年發(fā)給一個月工資的經濟補償金。

十四、在合同期內，如果乙方患職業(yè)病或因工負傷，被確認為完全喪失或者大部分喪失勞動能力，在甲方按法律規(guī)定支付了傷殘就業(yè)補助金后，勞動合同自然終止。

十五、在合同期內，發(fā)生甲方破產、解散或者被撤銷情況的，勞動合同自然終止。

十六、在合同期內，未經甲方同意，乙方不得結婚，違者將不得享受有關的婚假和生育假期。違反本條規(guī)定的，甲方有權解除勞動合同，年終工資將不予結算，乙方的承包抵押金將不予退還。

十七、乙方提前離職，應交納在崗期間的培訓費，按工資的10％計算。

十八、除第第七條、第十一條、第十六條的規(guī)定，任何一方，無論以哪一種理由要求解除勞動合同，都必須提前15日向對方提出，并取得對方的同意。

十九、乙方在甲方看到、聽到、接觸到的均為企業(yè)的商業(yè)秘密，為保護企業(yè)的商業(yè)秘密，乙方解除勞動合同，必須提前六個月通知甲方，甲方有權在此期間采取脫密措施。同時在勞動合同結束后的四年中，乙方不得以任何借口為理由，到同行業(yè)的其他企業(yè)工作。

二十、本合同自簽字之日起生效，雙方都必須嚴格執(zhí)行。任何一方違反上述規(guī)定，均需向對方支付三個月的勞動報酬作為違約金。

甲方：××××企業(yè)（蓋章）

法定代表人：××（簽字）乙方：××（簽字）

簽字日期：××××年××月××日

第三篇：放縮法典型例題

放縮法典型例題

數列與不等式的綜合問題常常出現在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點，這類問題能有效地考查學生綜合運用數列與不等式知識解決問題的能力．本文介紹一類與數列和有關的不等式問題，解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和．

一．先求和后放縮

例1．正數數列（1）數列的前項的和的通項公式；，滿足，試求：

（2）設解：（1）由已知得，數列的前項的和為，所以時，求證：，作差得：，又因為，得為正數數，所列，所以以，即是公差為2的等差數列，由（2），所以

注：一般先分析數列的通項公式．如果此數列的前項和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數列（這里所謂的差比數列，即指數列倒序相加等方法來求和．

二．先放縮再求和

1．放縮后成等差數列，再求和

例2．已知各項均為正數的數列的前項和為,且.滿足條件）求和或者利用分組、裂項、(1)求證：；

(2)求證：

解：（1）在條件中，令有，得，上述兩式相減，注意到

∴，又由條件得

所以，所以

（2）因為，所以，所以；

2．放縮后成等比數列，再求和

例3．（1）設a，n∈N*，a≥2，證明：；

（2）等比數列{an}中，前n項的和為An，且A7，A9，A8成等差數列．設，數列{bn}前n項的和為Bn，證明：Bn＜．

解：（1）當n為奇數時，an≥a，于是，當n為偶數時，a－1≥1，且an≥a2，于是

． ．

（2）∵，，∴公比． ∴．

．

∴

3．放縮后為差比數列，再求和 ．

例4．已知數列滿足：，．求證：

證明：因為，所以與同號，又因為，所以，即，即．所以數列為遞增數列，所以，即，累加得：． 令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得．

4．放縮后為裂項相消，再求和

例5．在m（m≥2）個不同數的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時Pi＞P（即前面某數大于后面某數），則稱Pi與Pj構成一個逆序.一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數.記排列

．j

（1）求a4、a5，并寫出an的表達式； 的逆序數為an，如排列21的逆序數，排列

321的逆序數

（2）令，證明，n=1,2,….（2）因為，所以.又因為，所以

=

綜上，..注：常用放縮的結論：（1）

（2）．

在解題時朝著什么方向進行放縮，是解題的關鍵，一般要看證明的結果是什么形式．如例２要證明的結論、為等差數列求和結果的類型，則把通項放縮為等差數列，再求和即可；如例3要證明的結論為等比數列求和結果的類型，則把通項放縮為等比數列，再求和即可；如例4要證明的結論為差比數列求和結果的類型，則把通項放縮為差比數列，再求和即可；如例5要證明的結論

相消求和結果的類型，則把通項放縮為相鄰兩項或相隔一項的差，再求和即可．為裂項

第四篇：【掃盲】 典型的邏輯錯誤（范文）

編者按：最近論壇為了某些敏感問題爭論的不可開交，實在不忍目睹這種低層次的辯論，為此，特轉一些基礎的東西進行邏輯方面的掃盲，以期提高各位的邏輯認識和運用能力！

邏輯：典型的邏輯錯誤

一、同語反復和循環(huán)定義

定義是明確概念內涵的邏輯方法。定義由定義項、被定義項和定義聯項構成。例如：

商品是為交換而生產的勞動產品。

這是一個定義。其中“商品”是被定義項；“為交換而生產的勞動產品”是定義項；“是”是定義聯項。

定義規(guī)則要求定義項中不能直接或間接地包含被定義項。如果直接包含被定義項，犯的邏輯錯誤是“同語反復”；如果韻包含被定義項，犯的錯誤是“循環(huán)定義”例如：

形式主義者就是形式主義地以觀察和處理問題的人。

這一定義就犯了“同語反復”的錯誤。再如：

如果把“奇數”定義為“偶數加1”，那么，偶數是奇數加1得到的數。這一定義就犯了“循環(huán)定義”的錯誤。

二、概念不當并列

劃分是明確概念外延的邏輯方法。劃分由母項、子項和劃分一個要素構成。例如：

人分為老、中、青、少幼。

這是一劃分，其中“人”是母項，“老”、“中”、“青、”、“少”、“幼”是子項，劃分標準是年齡。

分劃可以連續(xù)進行，即子項可以作為項繼續(xù)劃分。例如：

在連續(xù)劃分中，每次劃分得到的概念屬于同一層次，不同次劃分得到的概念屬于不同層次。

一般地說，把不同層次的概念，或把具有交叉或屬種關系的概念并列使用，稱為“概念不當并列”。例如：

出席座談會的有著名的社會科學家、數學家和核物學家。

其中，社會科學家、數學家和核物理學家是不同層次的概念，屬概念不當并列。

三、偷換概念和轉移論題

這是違反同一律所犯的邏輯錯誤。例如：

老大娘：請問，你們這兒有沒有好布。我閨女要繪聲繪色了，我想給她扯 塊好布。

營業(yè)員（沒好氣地）：我們這兒的都是好布，次品、廢品不讓出廠的。

營業(yè)員犯了“偷的概念”的錯誤。上下文中的“好布”不是同一概念。再如： 顧客：請問，我的排骨面怎么還沒來，我等了已有半小時了。

營業(yè)員：你為什么非要吃排骨面，你不能吃竦醬面嗎？

營業(yè)員犯了“轉移論題”的錯誤。

四、自相矛盾

這是違反不預告律所犯的邏輯錯誤，例如：

“我贊成實踐是檢驗直理的唯一標準，但我認為馬克思主義基本原理也應當是檢查趔的標準。”

這一斷定犯“自相矛盾”的錯誤。

五、兩不可

這是違反排中律所犯的邏輯錯誤。例如：

“說世界上有鬼，這不對，這是迷信；但要說世界上沒鬼，也未免武斷，因為有些現象還真不好解釋。”

這段論對“世界上有鬼”和“世界上沒鬼”這對互相預告的判斷同時否定，犯了“兩不可”的錯誤。

六、以偏概全

這是不正確構造簡單單枚舉歸納推理時出現的邏輯錯誤。例如：

“文學家是在時代的激流中造就出來的，高等學府出不了文學家，古今中外不乏其例。外國的高爾基、巴爾扎克、雨果上過大學沒有？中國古代的曹雪芹、施耐庵上過什么大學？現代的梁斌、柳青、周立波、高玉寶也沒有上過什么大學?！?/p>

這段話通過歸納推理證明“高等學府中出不了文學家”的觀點，用的是簡單枚舉法，舉出了高爾基、巴爾扎克、雨果、曹雪芹、施耐庵、染斌、柳青、周立波、高玉寶等著名作家沒有上過大學為例。但是世界上文學家何止千萬？公舉出幾個例子就推出一般性結論就顯得輕率。事實上，當今文壇上，不論外國和中國，都有些文學家是上過高等學會的，這種反例也不是個別的。因此，就像根據幾個反例就推出“文學家都上過高等學府”的結論一樣，僅根據幾個作家的經歷推出“高等學府出不了文學家”的結論也是不可靠的。犯了“以偏概全”或稱“輕率概括”的邏輯錯誤。

七、循環(huán)論證

在一個論證中，如果論據的證明需要依賴前提，那么，就犯了“循環(huán)論證”的錯誤。例如，在證明“地球是圓的”這一論題時，以到的事實“我們站在高處看海中的帆船從遠處駛來，總是先見船桿后見船身”作為論據；而當說明這一現象時，又以“地球輥圓的”作為理由，這就犯了“循環(huán)論證”的邏輯錯誤。

八、倒置因果

一個論證，如果將某一結果產生的原因作為結果而將結果作為原因來論證，即犯了“倒置因果”的邏輯錯誤。例如：

為了加快我國的發(fā)展，必須大力發(fā)展私人轎車工業(yè)。因為發(fā)達國家中，私人大部分有轎車。

這個論證中因果倒置，總體上說私人擁有轎車是國家發(fā)達的結果，而不是原因。

九、判斷邏輯錯誤的MBA聯考邏輯試題舉例

MBA聯考邏輯測試到的判斷邏輯錯誤的試題，主要有兩種基本類型。

一種是要求指出題中邏輯錯誤的名稱，即選項分別是邏輯錯誤的名稱，要 求指出哪一項是題干中出現的邏輯錯誤。嚴格地說MBA聯考邏輯試題應該盡量避免這種題型，因為它不要求考生準確把握和分辯邏輯專業(yè)術語。

另一種是要求將題干和選項進行類比，找出哪一選項中出現的邏輯錯誤和題干中出現的相同或最為類似。

例（1）

甲問：什么是生命？

乙回答：生命是有機體的新陳代謝。

甲又問：什么是有機體？

乙回答：有機體是有生命的個體。

以下那項與上述對話最為類似：

A.甲：什么是真理？

乙：真理是符合實際的認識。

甲：什么是認識？

乙：認識是人腦對外界的反應

B.甲：什么是邏輯學？

乙：邏輯學是研究思維形式結構規(guī)律的科學。

甲：什么是思維形式結構規(guī)律？

乙：思維形式結構的規(guī)律是邏輯規(guī)律。

C.甲：什么是家庭？

乙：家庭是以婚姻、血緣或收羊關系為基礎的社會群體。

甲：什么是社會群體？

乙：社會群體是一定社會關系基礎上建立起來的社會單位。

D.甲：什么是命題？

乙：命題是用語句表達的判斷？

甲：什么是判斷？

乙慢對事物有所斷定的思維形式。

E.甲：什么是人？

乙：人是有思想的動物。

甲：什么是動物？

乙：動物是生物的一部分。

這里正確的答案是B。因為此選項與題干都犯了“循環(huán)定義”的錯誤。

例（2）

魯迅的著作不是一天能讀完的?！犊袢巳沼洝肥囚斞傅闹鳎虼?，日記》不是一天能讀完的。

下列哪項最為恰當地指出了上述推理的邏輯錯誤？

A.自相矛看。

B.循環(huán)論證。

C.以偏概全。

D.偷換概念。

E.因果倒置。

正確選項為D。《狂人

第五篇：簡歷標題的典型錯誤

所有標題中犯的錯誤，都可以概括為“自以為是”和“態(tài)度不認真”：

(1)“我的簡歷”、“簡歷”、“求職簡歷”、“我的初次簡歷”、“XXX的簡歷（修改第3稿）”“應聘”

這是最常見的簡歷標題，你堅定的拋給HR一個哲學問題：“我”是誰？

HR心聲：你們都是誰??！

(2)“簡歷模板”、“XXXX網站的簡歷模板”、“英文簡歷模板”

HR心聲：謝謝你，我已經知道你是直接從模板拷過來的。

(3)投遞崗位是銷售，簡歷標題寫“應聘行政文秘”

HR心聲：我們沒招這個崗位呀。

(4)要求一周工作4天，簡歷標題寫“一周工作2天”

HR心聲：逗我玩兒的吧。

(5)應聘喬布堂公司，把公司名寫成“橋步唐”

HR心聲：我們的公司名這么不受待見么？

(6)英文語法和拼寫錯誤：Apply Inter寫成“ Inter Apply”

HR心聲：不認真，英語差，Fail!

(7)莫名其妙的簡歷標題

某單位招暑期助理崗位實習生，有一封郵件標題是這樣的（見下圖）：

HR心聲：還以為是廣告，差點刪了！

簡歷標題至少要有“姓名”+“應聘崗位”

如果簡歷是直接E-mail投遞到HR的電子郵箱里，在郵箱和附件標題中注明“姓名”和“應聘崗位”，可以讓HR明確知道那份是你的簡歷，以及你應聘的崗位，同時便于保存和查找。

記?。汉啔v標題是給HR看的！

按公司要求格式寫

招聘信息上要求寫明學校、專業(yè)、一周能上班的天數等，說明這是HR篩選簡歷時的硬指標，請按招聘信息的要求寫。在這方面耍風頭、搞另類對你來說好處不大。

我們參考了BBS求職應聘版中出現的招聘單位格式要求，總結發(fā)現，HR的要求無外乎有下列幾種：

“姓名+崗位名稱”

“姓名+崗位名稱+崗位性質”

“姓名+應聘崗位+某某論壇”

“姓名+學歷+學校+工作年限+應聘崗位+意向城市”

“XXXX屆應屆生崗位+院校+姓名+應聘崗位+意向工作地”