第一篇：數(shù)列經(jīng)典例題

11．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3??7,a4?a6??6,則當(dāng)Sn取最小值時，n

等于_________．

20．(本小題滿分14分)

22已知數(shù)列{an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n?1)an?1?nan?an?1an?0．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)求證：?i?1nai?2(1an?1?1)．

S13等于2．等差數(shù)列

()

A．168 ?an?中，a3?a7?a10?8,a11?a4?4,記Sn?a1?a2?????an,則B．156 C．152 D．78

21．(本小題滿分14分)

設(shè)數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?1?1． an

(1)寫出這個數(shù)列的前5項；

(2)求這個數(shù)列的一個通項公式．

9．在等比數(shù)列?an?中，a2?4,a5?

20．(本小題滿分14分)1，則公比q＝___________． 2

已知數(shù)列{an}為公差大于0的等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足S4?16，a2a3?15．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若bn?1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn； an?an?1

(3)對于大于1的自然數(shù)n，求證：(1?

20．(本小題滿分14分)1112n?1)(1?)?(1?)?a2a3an2

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn?1?an(n?N)，各項為正數(shù)的數(shù)列{bn}中，對于一切n?N，有**?k?1n1k?k?1?nb1?bn?1，且b1?1,b2?2,b3?3．

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn，求證：Tn?2．

3．已知?an?為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若a2?a3?2a1,且a4與2a7的等差中項為,則S5?()4

A．35

20．(本小題滿分14分)

B．33

C．31

D．29

2n

已知數(shù)列?an?滿足a1?3，且an?an?1?2(n?N,n?2),記數(shù)列bn?，Sn

anan?1

n?1

*

為數(shù)列?bn?的前n項和．(1)求a2，b1的值；(2)求數(shù)列?an?的通項公式；(3)求證：Sn?

1． 3

20．(本小題滿分14分)

設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn?kn2?n,n?N*，其中k是常數(shù)．(1)用k表示a1及an，并證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)若對于任意的m?N*,am,a2m,a4m成等比數(shù)列，求數(shù)列{

an的前n項和Tn． 2n

*

4．已知數(shù)列?an?為等差數(shù)列，且a2?a7?a12?24，Sn為數(shù)列?an?的前n項和，n?N，則S13的值為 A．100 B．99 21．(本小題滿分14分)

C．104

D．102

*y?log1x的圖象上．

已知點P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,P(an,bn)(n?N)都在函數(shù)

(1)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列{an}的前《項和是Sn?1?2，過點Pn,Pn?1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍二角 形面積為cn，求最小的實數(shù)t使cn?t對n?N恒成立；

(3)若數(shù)列{bn}為山(2)中{an}得到的數(shù)列，在bk與bk?1之間插入3k?1(k?N*)個3，得一新數(shù)列{dn}，問是杏存在這樣的正整數(shù)w，使數(shù)列{dn}的前m項的和Sm?2008，*

?n

如果存在，求出m的值，如果不存在，請說明理由

9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S1?1?an(n?N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)

設(shè)bn?,cn?

log1an

記Tn?c1?c2??cn,證明:Tn?1.19．(本小題滿分14分)在數(shù)列{an}中，已知a1?1,.an?an?1?an?2?

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn?log2,an,?a2?a1(n?N*,n?2)．

11??b3b4b4b5

?

?m對于任意的n?N*，且n?3恒成bnbn?1

立，求m的取值范圍．

17．(本小題滿分12分)

設(shè)

函

數(shù)

f(x)?loaxg（a為常數(shù)且a?0,a?1)，已知數(shù)列

f(x1),f(x2),?f(xn),?是公差為2的等差數(shù)列，且x1?a2．

(Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項公式；(Ⅱ)當(dāng)a?

11時，求證：x1?x2???xn?． 23

20．(14分)已知數(shù)列?an?是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前n項和，且滿足

an2?S2n?1,n?N*．?dāng)?shù)列?bn?滿足bn?

和．,n?N*，Tn為數(shù)列?bn?的前n項

an?an?1

(1)求數(shù)列?an?的通項公式an和數(shù)列?bn?的前n項和Tn；

(2)若對任意的n?N*，不等式?Tn?n?8?(?1)恒成立，求實數(shù)?的取值范圍；(3)是否存在正整數(shù)m,n(1?m?n)，使得T

1,Tm,Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有

m,n的值；若不存在，請說明理由．

n

5．設(shè)?an?1?2

2?an?,n?N*，an＞0，令bn?lgan則數(shù)列?bn?為()A．公差為正數(shù)的等差數(shù)列 B．公差為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列

C．公比為正數(shù)的等比數(shù)列 D．公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列

19．(本題滿分14分)在數(shù)列?an?中，a1?1,a2?

1(n?1)an，且an?1?,(n?2)． 4n?an

(Ⅰ)求a3,a4，猜想an的表達式，并加以證明；(Ⅱ)

設(shè)bn?，求證：對任意的自然數(shù)n?N*，都

有

b1?b2??bn?

19．(本小題滿分14分)已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列，a3?5，a5?9．?dāng)?shù)列?bn?的前n項和

為Sn，且Sn?

1?bn

n????． ?2

(1)求數(shù)列?an?和?bn?的通項公式；

(2)若cn?an?bn，求數(shù)列?cn?的前n項和?n． 13．設(shè)Sn是等差數(shù)列?an?的前n項和．若

S31

?，則S73

___________．

19．(本小題滿分14分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn?n2．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，且b1?1，b4?8．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

(Ⅱ)若數(shù)列{cn}滿足cn?abn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn，并證明Tn?1．

21．(本小題共14分)已知數(shù)列?an?中，a1?2，對于任意的p,q?N，有ap?q?ap?a q，?

(1)求數(shù)列?an?的通項公式；(2)數(shù)列?bn?滿足：an?

bb1bb

?22?33?44?2?12?12?12?1

?(?1)n?1

bn，2n?1

(n?N?)，求數(shù)列?bn?的通項公式；

(3)設(shè)Cn?3n??bn(n?N?)，是否存在實數(shù)?，當(dāng)n?N時，Cn?1?Cn恒成立，若存在，求實數(shù)?的取值范圍，若不存在，請說明理由．

?

第二篇：數(shù)列極限例題

三、數(shù)列的極限

(?1)n?1}當(dāng)n??時的變化趨勢.觀察數(shù)列{1?n問題:

當(dāng)n無限增大時, xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是, 如何確定? 通過上面演示實驗的觀察:

(?1)n?1當(dāng)n無限增大時, xn?1?無限接近于1.n問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定

11? nn1111, 由?, 只要n?100時, 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時, 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時, 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時, 有xn?1??成立.?定義

如果對于任意給定的正數(shù)?(不論它多么小), 總存在正整數(shù)N, 使得對于n?N時的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為

limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：

??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時, 恒有xn?a??.n??其中記號?:每一個或任給的;?:至少有一個或存在.數(shù)列收斂的幾何解釋:

a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x

當(dāng)n?N時, 所有的點xn都落在(a??,a??)內(nèi), 只有有限個(至多只有N個)落在其外.注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證

注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要

11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當(dāng)n?N時, 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n

重要說明：（1）為了保證正整數(shù)N，常常對任給的??0,給出限制0???1；

n?(?1)n?1?1??”的詳細推理

（2）邏輯“取 N?[], 則當(dāng)n?N時, 就有

n?1見下，以后不再重復(fù)說明或解釋，對函數(shù)極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴(yán)格寫法應(yīng)該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當(dāng)n?N時一定成立n?N?1?1?，即得

1??成nn?(?1)n?1111?1?

?n????是成立

n?(?1)n?11?1???.xn?1=

nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時, 關(guān)鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證

任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;

n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當(dāng)n?N時, 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n

說明：當(dāng)作公式利用：limq??

n??1, q?1,??不存在，q??1.?

第三篇：數(shù)列經(jīng)典例題4

例1錯誤！未指定書簽。．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(Ⅰ)推 導(dǎo){an}的前n項和公式;(Ⅱ)設(shè)q≠1, 證明數(shù)列{an?1}不是等比數(shù)列.例2 已知數(shù)列?an?的首項為a1?1，其前n項和為sn，且對任意正整數(shù)n有：n、an、Sn成等差數(shù)列．

（1）求證：數(shù)列?Sn?n?2?成等比數(shù)列；（2）求數(shù)列?an?的通項公式． 例3錯誤！未指定書簽。．已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項的最大值記為An,第n項之后各項an?1,an?2,的最小值記為Bn,dn=An-Bn.(I)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N,an?4?an),寫出*d1,d2,d3,d4的值;

(II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù),證明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列;(III)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),則{an}的項只能是1或者2,且有無窮多項為1.

第四篇：數(shù)列經(jīng)典例題8

1錯誤！未指定書簽。．已知數(shù)列?an?的首項為a1?5,前n項和為Sn,且

Sn?1?2Sn?n?5(n?N*)

(Ⅰ)證明數(shù)列?an?1?是等比數(shù)列

(Ⅱ)令f?x??a1x?a2x2????????anxn,求函數(shù)f(x)在點x?1處的導(dǎo)數(shù)f?1?,并比較2f?1?與23n2?13n的大小.''

2.錯誤！未指定書簽。設(shè)數(shù)列?an?的前為Tn,且Tn?2?2an(n?N?).．n項積．．

(Ⅰ)求證數(shù)列??1??是等差數(shù)列;

?Tn?

(Ⅱ)設(shè)bn?(1?an)(1?an?1),求數(shù)列?bn?的前n項和Sn.例3錯誤！未指定書簽。設(shè)數(shù)列?an?的前n項和為Sn,已知a1?8,an?1?Sn?3n?1?5,n?N?.(Ⅰ)設(shè)bn?an?2?3n,證明:數(shù)列?bn?是等比數(shù)列;

222232n

(Ⅱ)證明:??????1.a1a2a3an

第五篇：放縮法證明數(shù)列不等式經(jīng)典例題

放縮法證明數(shù)列不等式

主要放縮技能： 1.1111111???2??? nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n

114411????2(?)

22n4n?1(2n?1)(2n?1)2n?12n?1n2?4

2.???? ????2)

? ??

??

??

?

? 4.2n2n2n?1115.n ????(2?1)2(2n?1)(2n?2)(2n?1)(2n?1?1)2n?1?12n?16.n?22(n?1)?n11??? n(n?1)?2n?1n(n?1)?2n?1n?2n(n?1)?2n?1

x2?x?n*c?(n?N)例1.設(shè)函數(shù)y?的最小值為，最大值為，且abnnn2x?1

（1）求cn；（2）證明：

例2.證明：16?1?

例3.已知正項數(shù)列?an?的前n項的和為sn，且an?

2（1）求證：數(shù)列sn是等差數(shù)列； 11117?????? 444c14c2c3cn4????17 1?2sn，n?N*； an??

（2）解關(guān)于數(shù)列n的不等式：an?1?(sn?1?sn)?4n?8

（3）記bn?2sn,Tn?331111?Tn??????

?，證明：1 2b1b2b3bn

例4.已知數(shù)列?an?滿足：?n?2?an?an?1； ?是公差為1的等差數(shù)列，且an?1?nn??

（1）求an；（2

????2 例5.在數(shù)列?an?中，已知a1?2,an?1an?2an?an?1；

（1）求an；（2）證明：a1(a1?1)?a2(a2?1)?a3(a3?1)???an(an?1)?3

2n?1an例6.數(shù)列?an?滿足：a1?2,an?1?； n(n?)an?22

5112n

（1）設(shè)bn?，求bn；（2）記cn?，求證：?c1?c2?c3???cn? 162n(n?1)an?1an

例7.已知正項數(shù)列?an?的前n項的和為sn滿足：sn?1,6sn?(an?1)(an?2)；

（1）求an；

（2）設(shè)數(shù)列?bn?滿足an(2n?1)?1,并記Tn?b1?b2?b3???bn，b

求證：3Tn?1?log2n

(a?3)（函數(shù)的單調(diào)性，貝努力不等式，構(gòu)造，數(shù)學(xué)歸納法）

例8.已知正項數(shù)列?an?滿足：a1?1,nan?1(n?1)an??1，anan?1

記b1?a1,bn?n[a1?

（1）求an；

（2）證明：(1?

2111????](n?2)。222a2a3an?11111)(1?)(1?)?(1?)?4 b1b2b3bn4