第一篇：高中數(shù)列經(jīng)典例集

一、經(jīng)典例題剖析

考點(diǎn)一：等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)

例題1.（1）數(shù)列{an}和{bn}滿足an?1(b1?b2???bn)（n=1，2，3…），n

（1）求證{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列。

（2）數(shù)列{an}和{cn}滿足cn?an?2an?1(n?N*)，探究{an}為等差數(shù)列的充分必要條例題2.已知數(shù)列?an?的首項(xiàng)

bn?an?n2a1?2a?1an?2an?1?n2?4n?2（a是常數(shù)，且a??1），（n?2），數(shù)列?bn?的首項(xiàng)b1?a，（n?2）。

（1）證明：?bn?從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；

（2）設(shè)Sn為數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和，且?Sn?是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；

（3）當(dāng)a>0時(shí)，求數(shù)列?an?的最小項(xiàng)。

例題4.已知數(shù)列?an?滿足a1?an?11(n?2,n?N)．，an?n4?1an?1?2

（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an；（Ⅱ）設(shè)bn?1

an2，求數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和Sn；（Ⅲ）設(shè)cn?ansin

(2n?1)?4?，數(shù)列?cn?的前n項(xiàng)和為Tn．求證：對任意的n?N，Tn?． 72

考點(diǎn)三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系

例題5.已知??為銳角，且tan??2?1，函數(shù)f(x)?x2tan2??x?sin(2??)，數(shù)列{an}的首項(xiàng)4

a1?1,an?1?f(an).2

⑴ 求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

⑵ 求證：an?1?an；

⑶ 求證：1?111?????2(n?2,n?N*)1?a11?a21?an

例題6已知數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1n?N

（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式； ???

bn?1bnb1?1b2?1b3?1444?4?(a?1)（Ⅱ）若數(shù)列?bn?滿足，證明：?an?是等差數(shù)列； n

（Ⅲ）證明：1112??????n?N?? a2a3an?13

第二篇：高中經(jīng)典數(shù)列習(xí)題

4.在等比數(shù)列{an}中，已知Sn=3n+b，則b的值為_______．

6.數(shù)列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首項(xiàng)為

1、公比為1的等比數(shù)列，3則an等于。

3.在等比數(shù)列{an}中，已知n∈N*，且a1+a2+…+an=2n－1，那么a12+a22+…+an2等于。

8.已知關(guān)于x的二次方程anx2?an?1x?1?0(n?N?)的兩根?,?滿足

6??2???6??3，且a1?1

（1）試用an表示an?1（2）求證：{an?是等比數(shù)列

（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an（4）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

11.已知數(shù)列?log2xn?是公差為1 的等差數(shù)列，數(shù)列?xn?的前100項(xiàng)的和等于100，求數(shù)列23?xn?的前200項(xiàng)的和。

12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中an?0，a1為常數(shù)，且?a1、Sn、an?1成等差數(shù)列．

（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)bn?1?Sn，問：是否存在a1，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列？若存在，求出a1的值； 若不存在，請說明理由．

5.已知函數(shù)f(x)?cosx,x?(?

2,3?)，若方程f(x)?a有三個(gè)不同的根，且從小到大依次

331,an?2?an?1?an(n?N*).222成等比數(shù)列，則a=。7．?dāng)?shù)列{an}滿足：a1?1,a2?

（1）記dn?an?1?an，求證：{dn}是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（3）令bn?3n?2，求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和Sn。

第三篇：高中《數(shù)列》專題復(fù)習(xí)題

《數(shù)列》專題復(fù)習(xí)題

1．等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n項(xiàng)和Sn=100，則n=（）

(A)9(B)10(C)11(D)1

22．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2?2,S4?10,則S6等于（）

（A）12（B）18（C）24（D）42

3．已知數(shù)列的通項(xiàng)an??5n?2，則其前n項(xiàng)和Sn?．

4．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an?

56161，則S5等于（）n(n?1)1 30A．1B．C．D．

5．設(shè){an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a2004和a2005是方程4x2?8x?3?0的兩根，則 a2006?a2007?__________.6．設(shè)等差數(shù)列?an?的公差d不為0，a1?9d．若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng)，則k?（）

Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8

7.在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N*．（Ⅰ）證明數(shù)列?an?n?是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn；

8.已知實(shí)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其中a7?1,且a4,a5?1,a6成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,證明: Sn＜128(n?1,2,3,…).9．設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4構(gòu)成等差數(shù)列．

（1）求數(shù)列{an}的等差數(shù)列．

（2）令bn?lna3n?1，n?1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和T． 2，?，10．設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1?b1?1，a3?b5?21，a5?b3?1

3（Ⅰ）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列??an??的前n項(xiàng)和S?bn．

n?

11．?dāng)?shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，a1?1，an?1?2Sn(n?N*)．（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)an；（Ⅱ）求數(shù)列?nan?的前n項(xiàng)和Tn．答案：

B，C，?n(5n?1)2，B，-18，B

7.（Ⅰ）證明：由題設(shè)an?1?4an?3n?1，得

an?1?(n?1)?4(an?n)，n?N*．

又a1?1?1，所以數(shù)列?an?n?是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a?1n?n?4n，于是數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為

an?

1?n．所以數(shù)列?a項(xiàng)和S4n?1n?

4n?的前nn?3?n(n?1)

．（Ⅲ）證明：對任意的n?N*，S4n?1?1(n?1)(n?2)

?4n?1n(n?1)?n?1?4Sn?3?2?4??3?2?? ??1

(3n2?n?4)≤0．

所以不等式Sn?1≤4Sn，對任意n?N*皆成立． 8.解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列?an?的公比為q(q?R)，由a647?a1q?1，得a1?q?6，從而a4?a1q3?q?3，a5?a1q?q?2，a56?a1q?q?1． 因?yàn)閍4，a5?1，a6成等差數(shù)列，所以a4?a6?2(a5?1)，即q?3?q?1?2(q?2?1)，q?1(q?2?1)?2(q?2?1)．

?1

所以q?1．故aa?16?qn?1?64?1?n2n?1qn?q???2??

．

??1?n64?1??

???（Ⅱ）San1(1?q)1?q????2?????1?n?n??128?1?1????2

??128．

??2????a?a9．

解：（1）由已知得12?a3?7，:???(a1?3)?(a3?4)

解得a2?2． ?2

?3a2.設(shè)數(shù)列{a}的公比為q，由a，可得a2

n2?21?q，a3?2q．

又S3?7，可知2?2?2q?7，即2q2?5q?2?0，解得q1q1?2，q2?2

．

由題意得q?1，?q?2．?a1?1．故數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an?2n?1．（2）由于bn?lna3n?1，n?1，2，?，由（1）得a3n?1?23n?bnn?ln23?3nln2又bn?1?bn?3ln2n?{bn}是等差數(shù)列．?Tn?b1?b2???bn

?

n(b1?bn)

?

n(3ln2?3ln2)?3n(n?1)2ln2.故T3n(n?1)

n?

ln2．

4??1?2d?q?21，10．解：（Ⅰ）設(shè)?an?的公差為d，則依題意有q?0且? ?bn?的公比為q，2

??1?4d?q?13，解得d?2，q?2．所以a1n?1?(n?1)d?2n?1，bn?qn??2n?1．（Ⅱ）

anb?2n?1

n?1． nS352n?1?

21?22???n?32n?2?2n?12

n?1，① 2S2?3?52n?32???2n?1

n?2n?3?2

n?2，②

②－①得S?2?2222n2??1

n?222???2n?2?2

n?1，?2?2???1?2?1?12?1

???n?122n?2???2n?1

1?

?2?2?n?1?2n?12n?31?12n?1?6?2n?1． 2

11．解：（Ⅰ）?aSn?1

n?1?2Sn，?Sn?1?Sn?2Sn，?S?3． n

又?S1?a1?1，?數(shù)列?Sn?是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，Sn?1n?3(n?N*)．

當(dāng)n≥2時(shí)，an?2Sn?1?2?3n?2(n≥2)，?a?1，n?1，n?????

3n?2，n≥2．（Ⅱ）Tn?a1?2a2?3a3???nan，當(dāng)n?1時(shí)，T1?1；

當(dāng)n≥2時(shí)，Tn?1?4?30?6?31???2n?3n?2，…………①

3T1n?3?4?31?6?32???2n?3n?，………………………②

①?②得：?2Tn??2?4?2(31?32???3n?2)?2n?3n?1

?23(1?3n?2?2)

?2n?3n?11?3

??1?(1?2n)?3n?1．

?T12??n?

??n?1?

2??

3n?1(n≥2)． 又?T1?a1?1也滿足上式，?T1????n?1?

n?

2??

3n?1(n?N*2)．

數(shù)列單元復(fù)習(xí)題

（一）答案

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)

1．C2．A3．D4．B5．C6．C7．A8．B9．B10．B

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)

11．－9

112．－113．－11014．515．616．9

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分12分）在等差數(shù)列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.(1)求通項(xiàng)an；(2)求此數(shù)列前30項(xiàng)的絕對值的和.考查等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和.【解】（1）a17＝a1＋16d，即－12＝－60＋16d，∴d＝3 ∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.(2)由an≤0，則3n－63≤0?n≤21，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋(a22＋a23＋…＋a30)

＝(3＋6＋9＋…＋60）＋（3＋6＋…＋27（3＋60）（3＋27）

2×20＋2 ×9＝765.18．（本小題滿分14分）在等差數(shù)列{an}中，若a1＝25且S9＝S17，求數(shù)列前多少項(xiàng)和最大.考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.【解】 ∵S＋9×（9－1）17×（17－1）

9＝S17，a1＝25，∴9×252 d＝17×25＋2d

解得d＝－2，∴S25n＋n（n－1）

2(－2)＝－(n－13)2

n＝＋169.由二次函數(shù)性質(zhì)，故前13項(xiàng)和最大.注：本題還有多種解法.這里僅再列一種.由d＝－2，數(shù)列an為遞減數(shù)列.an＝25＋(n－1)(－2)≥0，即n≤13.5 ∴數(shù)列前13項(xiàng)和最大.19．（本小題滿分14分）數(shù)列通項(xiàng)公式為an＝n2－5n＋4，問

（1）數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？（2）n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值.考查數(shù)列通項(xiàng)及二次函數(shù)性質(zhì).【解】（1）由an為負(fù)數(shù)，得n2－5n＋4<0，解得1

5n＝n2－5n＋42)2－4，∴對稱軸為n＝2

＝2.5

又∵n∈N*，故當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，an有最小值，最小值為22－5×2＋4＝－2.20．（本小題滿分15分）甲、乙兩物體分別從相距70 m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動，甲第一分鐘走2 m，以后每分鐘比前1分鐘多走1 m,乙每分鐘走5 m.(1)甲、乙開始運(yùn)動后，幾分鐘相遇；（2）如果甲、乙到達(dá)對方起點(diǎn)后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙繼續(xù)每分鐘走5 m，那么開始運(yùn)動幾分鐘后第二次相遇？ 考查等差數(shù)列求和及分析解決問題的能力.【解】（1）設(shè)n分鐘后第1次相遇，依題意得2n＋n（n－1）

2＋5n＝70

整理得：n2＋13n－140＝0，解得：n＝7，n＝－20(舍去）∴第1次相遇在開始運(yùn)動后7分鐘.（2）設(shè)n分鐘后第2次相遇，依題意有：2n＋n（n－1）＋5n＝3×70

整理得：n2

＋13n－6×70＝0，解得：n＝15或n＝－28(舍去）第2次相遇在開始運(yùn)動后15分鐘.21．（本小題滿分15分）已知數(shù)列{a的前n項(xiàng)和為S1

n}n，且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝2.證：{1

S}是等差數(shù)列；（2）求an表達(dá)式；

n

（3）若bn＝2(1－n)an(n≥2)，求證：b22＋b32＋…＋bn2<1.考查數(shù)列求和及分析解決問題的能力.【解】（1）∵－an＝2SnSn－1，∴－Sn＋Sn－1＝2SnSn－1(n≥2)S1111

n≠0，∴Sn－Sn－1 ＝2，又S1 ＝a1 ＝2

∴{1

Sn }是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（11S ＝2＋(n－1)2＝2n，∴S1

n＝n2n

當(dāng)n≥2時(shí)，a1

n＝Sn－Sn－1＝－2n(n－1)

?1

?（n＝n＝1時(shí)，a1

21）1＝S1＝2，∴an＝ ?

－1 2n(n－1)

（n≥2）(3)由（2）知b＝1

n＝2(1－n)ann

∴b2＋b2

11111123＋…＋bn22 ＋3＋…＋n 1×2 ＋2×3＋…＋(n－1)n

＝(1111111

2)＋2－3)＋…＋(n－1 －n)＝1－n <1.(1)求

第四篇：高中數(shù)列精選(二)

高中數(shù)列精練

（二）例1在數(shù)列{an}中，a1=2,an+1=an+ln(1?),則an=

A．2+lnnB．2+(n-1)lnnC．2+nlnnD．1+n+lnn 例2在數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=(1n ? n?)a

（1）設(shè)bn?1nan，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； n1nn?12

（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和。

例3已知數(shù)列{an}，滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)an=_____ 例4設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和sn,已知a1?1,sn?1?4an?2

（1）設(shè)bn?an?1?2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

例5設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和 s n ?a n ?? 2 n ? 1 ? , n? 1 , 2 ,3...求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an。

例6已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3，an?2?3an?1?2an（n?N?）。

（1）證明：數(shù)列?an?2?an?是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； 431323

?1?例7已知數(shù)列{an}的前項(xiàng)和Sn=-an-???2?n?1n+2（n為正整數(shù)），令bn=2an，求證數(shù)列

{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

例8 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=a,an?1=Sn+3n（n?N?）,（Ⅰ）設(shè)bn=sn-3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若an?1≥an（n?N?），求a的取值范圍。

例9.已知數(shù)列{an}中，a1=1，點(diǎn)?n,2an?1?an?在直線y?x上，其中n?1,2,3? 2

（Ⅰ）令bn?an?1?an?3，求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)。

例10已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：a0?1,an?1?

求數(shù)列的{an}通項(xiàng)公式an 1an(4?an),n?N.2

例11已知a1?2，點(diǎn)?an,an?1?在函數(shù)f?x??x?2x的圖像上，其中n?1,2,3?證明數(shù)2

列l(wèi)g?1?an?是等比數(shù)列

例12已知數(shù)列?an?滿足：a1?

求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式； ??3nan?13,且an?(n?2,n?N*)22an?1?n?1

第五篇：高中《數(shù)列》專題復(fù)習(xí)題

《數(shù)列》專題復(fù)習(xí)題

1．等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n項(xiàng)和Sn=100，則n=（）

(A)9(B)10(C)11(D)12

2．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2?2,S4?10,則S6等于（）

（A）12（B）18（C）24（D）42

3．已知數(shù)列的通項(xiàng)an??5n?2，則其前n項(xiàng)和Sn?．

4．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an?

A．1B．1，則S5等于（）n(n?1)56 C．16 D．1 30

5．設(shè){an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a2004和a2005是方程4x2?8x?3?0的兩根，則a2006?a2007?__________.6．設(shè)等差數(shù)列?an?的公差d不為0，a1?9d．若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng)，則k?（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8

*7.在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N．

（Ⅰ）證明數(shù)列?an?n?是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn；

（Ⅲ）證明不等式Sn?1≤4Sn，對任意n?N皆成立．

8.已知實(shí)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其中a7?1,且a4,a5?1,a6成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,證明: Sn＜128(n?1,2,3,…).*

3a2，a3?4構(gòu)成等差數(shù)列． 9．設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3?7，且a1?3，（1）求數(shù)列{an}的等差數(shù)列．，2，?，（2）令bn?lna3n?1，n?1求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和T．

10．設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1?b1?1，a3?b5?21，a5?b3?13

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列??an??的前n項(xiàng)和Sn． b?n?

*11．?dāng)?shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，a1?1，an?1?2Sn(n?N)．

（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)an；（Ⅱ）求數(shù)列?nan?的前n項(xiàng)和Tn．