第一篇：不等式證明練習(xí)題

11n??恒成立，則n的最大值是（）a?bb?ca?c

A．2B．3C．4D．6 1．設(shè)a?b?c,n?N，且

x2?2x?22． 若x?(??,1)，則函數(shù)y?有（）2x?

2A．最小值1B．最大值1C．最大值?1D．最小值?

13．設(shè)P?

Q?

R?P,Q,R的大小順序是（）

A．P?Q?RB．P?R?QC．Q?P?RD．Q?R?P

4．設(shè)不等的兩個(gè)正數(shù)a,b滿(mǎn)足a?b?a?b，則a?b的取值范圍是（）

A．(1,??)B．(1,)C．[1,]D．(0,1)

?5．設(shè)a,b,c?R，且a?b?c?1，若M?(?1)(?1)(?1)，則必有（）332243431

a1b1c

A．0?M?11B．?M?1C．1?M?8D．M?8 88

6．若a,b?

R?，且a?b,M?

N?M與N的大小關(guān)系是A．M?NB．M?NC．M?ND．M?N

1．若logxy??2，則x?y的最小值是（）

33223A．B．C．22

3?2．a(chǎn),b,c?R，設(shè)S?3D．232 abcd???，a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b

則下列判斷中正確的是（）

A．0?S?1B．1?S?2C．2?S?3D．3?S?

43．若x?1，則函數(shù)y?x?116x?的最小值為（）xx2?1

A．16B．8C．4D．非上述情況

4．設(shè)b?a?0，且P?a?b，M? N?，R?Q?112?ab2

則它們的大小關(guān)系是（）

A．P?Q?M?N?RB．Q?P?M?N?R

C．P?M?N?Q?RD．P?Q?M?R?N

二、填空題

1．函數(shù)y?3x(x?0)的值域是.2x?x?

12．若a,b,c?R?，且a?b?c?1，則a??的最大值是

3．已知?1?a,b,c?1，比較ab?bc?ca與?1的大小關(guān)系為4．若a?

0，則a?1a5．若x,y,z是正數(shù)，且滿(mǎn)足xyz(x?y?z)?1，則(x?y)(y?z)的最小值為_(kāi)_____。

1．設(shè)x?0，則函數(shù)y?3?3x?1的最大值是__________。x

2．比較大?。簂og34______log67

3．若實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足x?2y?3z?a(a為常數(shù))，則x2?y2?z2的最小值為

4．若a,b,c,d是正數(shù)，且滿(mǎn)足a?b?c?d?4，用M表示

a?b?c,a?b?d,a?c?d,b?c?d中的最大者，則M的最小值為_(kāi)_________。

5．若x?1,y?1,z?1,xyz?10，且xlgx?ylgy?zlgz?10，則x?y?z?_____。

1．若a?b?0，則a?1的最小值是_____________。b(a?b)

abb?ma?n, , , 按由小到大的順序排列為baa?mb?n2．若a?b?0,m?0,n?0，則

223．已知x,y?0，且x?y?1，則x?y的最大值等于_____________。

1111??????，則A與1的大小關(guān)系是_____________。210210?1210?2211?1

125．函數(shù)f(x)?3x?2(x?0)的最小值為_(kāi)____________。x4．設(shè)A?

三、解答題

1．已知a?b?c?1，求證：a?b?c?

2221 3

．解不等式x?7?3x?4??0

3．求證：a?b?ab?a?b?1

．證明：1)?1

1．如果關(guān)于x的不等式x?3?x?4?a的解集不是空集，求參數(shù)a的取值范圍。

22?...??a?b?c2

?3

3．當(dāng)n?3,n?N時(shí)，求證：2n?2(n?1)

4．已知實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a?b?c，且有a?b?c?1,a2?b2?c2?1，求證：1?a?b?

1． 設(shè)a,b,c?R?，且a?b?c，求證：a?b?c

2．已知a?b?c?d，求證：

?3．已知a,b,c?R，比較a?b?c與ab?bc?ca的大小。3332224 32323231119??? a?bb?cc?aa?d

．求函數(shù)y?

5．已知x,y,z?R，且x?y?z?8,x?y?z?24

求證：

222444?x?3,?y?3,?z?3 333

第二篇：不等式證明練習(xí)題

不等式證明練習(xí)題

(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展開(kāi)，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式，得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

樓上的，用基本不等式要考慮等號(hào)什么時(shí)候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18設(shè)ab=x,bc=y,ca=z

則原不等式等價(jià)于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有絕對(duì)值的不等式練習(xí)。1.關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提條件是：x7x+7,-1-7x-7,x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式變形為x2+x-<0，它與不等式x2+x+<0比較系數(shù)得：a=-4,b=-9.函數(shù)y=arcsinx的定義域是，值域是，函數(shù)y=arccosx的定義域是，值域是，函數(shù)y=arctgx的定義域是R，值域是.，函數(shù)y=arcctgx的定義域是R，值域是(0,π).直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定函數(shù)的值域。函數(shù)公式模型。一個(gè)函數(shù)是奇(偶)函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它是函數(shù)為奇(偶)函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展開(kāi)，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式，得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

樓上的，用基本不等式要考慮等號(hào)什么時(shí)候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18設(shè)ab=x,bc=y,ca=z

則原不等式等價(jià)于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有絕對(duì)值的不等式練習(xí)。1.關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提條件是：x7x+7,-1-7x-7,x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式變形為x2+x-<0，它與不等式x2+x+<0比較系數(shù)得：a=-4,b=-9.函數(shù)y=arcsinx的定義域是，值域是，函數(shù)y=arccosx的定義域是，值域是，函數(shù)y=arctgx的定義域是R，值域是.，函數(shù)y=arcctgx的定義域是R，值域是(0,π).直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定函數(shù)的值域。函數(shù)公式模型。一個(gè)函數(shù)是奇(偶)函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它是函數(shù)為奇(偶)函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

第三篇：不等式證明

不等式證明

1.比較法：

比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分為作差法、作商法

（1）作差比較：

①理論依據(jù)a-b>0

a>b;a-b=0

a=b;a-b<0

a

⑴作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差。

⑵變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)（或式）的完全平方和。⑶判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)。

注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過(guò)它們的平方差來(lái)比較大小。（2）作商法：①要證A>B(B>0),只要證

;要證A0)，只要證

②證明步驟：作商→變形→判斷與1的關(guān)系 常用變形方法：一是配方法，二是分解因式

2.綜合法：所謂綜合法，就是從題設(shè)條件和已經(jīng)證明過(guò)的基本不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，可簡(jiǎn)稱(chēng)為由因?qū)Ч?。常?jiàn)的基本不等式有 ｜a｜≥0, a2?b2?2ab，a?b?ab 2，a?b?a?b?a?b 分析法：從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法叫分析法，分析法的思想是“執(zhí)果索因”：即從求證的不等式出發(fā)，探求使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。

基本步驟：要證??只需證??，只需證?? 4 分析綜合法

單純地應(yīng)用分析法證題并不多見(jiàn)，常常是在分析的過(guò)程中，又綜合條件、定理、常識(shí)等因素進(jìn)行探索，把分析與綜合結(jié)合起來(lái)，形成分析綜合法。反證法：先假設(shè)所要證明的不等式不成立，即要證的不等式的反面成立，如要證明不等式MN，由題設(shè)及其他性質(zhì)，推出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定M

具體放縮方式有公式放縮和利用某些函數(shù)的單調(diào)性放縮。常用的技巧有：舍去一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)；在和或積中換大（或換?。┠承╉?xiàng)；擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?，放縮時(shí)要注意不等號(hào)的一致性。放縮法的方法有：

⑴添加或舍去一些項(xiàng)，如：a2?1?a；n(n?1)?n ⑵將分子或分母放大（或縮?。抢没静坏仁剑纾簂g3?lg5?(n?(n?1)2⑷利用常用結(jié)論： n(n?1)?lg3?lg5)?lg15?lg16?lg4 2Ⅰ、k?1?k?1k?1?k?12k；

Ⅱ、1111； ???k2k(k?1)k?1k1111（程度大）???2k(k?1)kk?1kⅢ、12?k11111??(?)；（程度?。?k?1(k?1)(k?1)2k?1k?17 換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如： 已知x2?y2?a2，可設(shè)x?acos?,y?asin?； 已知x2?y2?1，可設(shè)

x?rcos?,y?rsin?(0?r?1)；

x2y2已知2?2?1，可設(shè)x?acos?,y?bsin?；

abx2y2已知2?2?1，可設(shè)x?asec?,y?btan?；

ab8、判別式法：判別式法是根據(jù)已知或構(gòu)造出來(lái)的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根、解集、函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式所應(yīng)滿(mǎn)足的不等式，從而推出欲證的不等式的方法。

9、其它方法 最值法：恒成立

恒成立

構(gòu)造法：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明不等式；

第四篇：第一章三角形的證明、第二章不等式練習(xí)題

第一章三角形的證明、第二章不等式練習(xí)題

一選擇題：

1、如圖1給出下列四組條件： A D

①AB=DE，BC=EF，AC=DF

②A(yíng)B?DE，?B??E，BC?EF；

③?B??E，BC?EF，?C??F；

B E ④AB?DE，AC?DF，?B??E．

圖其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（）

A．1組B．2組C．3組D．4組

2、等腰三角形底邊長(zhǎng)為7，一腰上的中線(xiàn)把其周長(zhǎng)分成兩部分的差為3，則腰長(zhǎng)是

（）

A、4B、10C、4或10D、以上答案都不對(duì)

3、如圖2，AE⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D為AB中點(diǎn)，有以下結(jié)論：(1)DE=AC；

(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE其中結(jié)論正確的是（）

A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)

4、下列不等式變形正確的是（）

A．由a?b，得ac?bcB．由a?b，得?2a??2b

C

．由，得?a??bD．由a?b，得a?2?b?

24、設(shè)“▲”、“●”、“■”分別表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平秤兩次，情況 如圖所示，那么▲、●、■這三種物體按質(zhì)量從大到小排列應(yīng)為（）A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、▲、■圖圖2

5、已知不等式x?1?0，此不等式的解集在數(shù)軸上表示為（）

6、下列命題：①等腰三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高重合；②等腰三角形兩腰上的高相等；③等腰三角形的最小邊是底邊；④等邊三角形的高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)都相等；⑤等腰三角形都是銳角三角形.其中正確的有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè) 7.如圖3，△ABC中，AB的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，如果 cm，cm，那么△的周長(zhǎng)是（）

A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm

8.等腰三角形的底邊長(zhǎng)為a，頂角是底角的4倍，則腰上的高是（）

A.32aB.3aC.6a

D.2a

9、下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤．．的是（）A.不等式x?2的正整數(shù)解中有一個(gè)B.?2是不等式2x?1?0的一個(gè)解

C.不等式?3x?9的解集是x??3D.不等式x?10的整數(shù)解有無(wú)數(shù)個(gè) 10．如圖4示，一次函數(shù)y＝kx＋b（k、b為常數(shù)，且k?0）與正比例函數(shù)y＝ax（a為常數(shù)，且a?0）相交于點(diǎn)P，則不等式kx+b>ax的解集是（）

A．x>1B．x<1C．x>2D．x<

2二、填空題

11、等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5或6，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是．

12、已知函數(shù)y＝3－2x，當(dāng)x＿＿＿＿＿時(shí)，y≤0．

13、如圖5，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，則D到AB的距離為cm.14、如圖6，一次函數(shù)y?ax?b的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式ax?b?0的解

集是．

15、△ABC中，AM平分∠，cm，則點(diǎn)M到AB的距離是_________.16、如圖7，已

知的垂直平分線(xiàn)

交于

點(diǎn)，則

.圖5 圖7圖

4圖6

三、解答題

17、解不等式并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)。3x?2?1?2x??13x?22x

?15?3?

118、已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常數(shù))的解集是x＜3，求m。

19、如圖⊿ABC中，∠ACB的平分線(xiàn)交AB于E，∠ACB的補(bǔ)角∠ACD的平分線(xiàn)為CG，EG∥BC交AC于F，EF會(huì)與FG相等嗎？為什么？

20、有20名工人，每人每天加工甲種零件5個(gè)或乙種零件4個(gè)．在這20名工

人中，派一部分工人加工甲零件，其余的加工乙種零件．已知每加工甲種零件可獲利16元，每加工乙種零件可獲利24元．

（1）寫(xiě)出此車(chē)間每天所獲利潤(rùn)y（元）與生產(chǎn)甲種零件人數(shù)x（人）之間的函數(shù)關(guān)系

式（用x表示y）．

（2）若要使車(chē)間每天獲利不少于1800元，問(wèn)最多派多少人加工甲種零件？

21、一家小型放映廳的盈利額y（元）同售票數(shù)x（張）之間的關(guān)系如圖所示，其中保險(xiǎn)部門(mén)規(guī)定：超過(guò)150人時(shí)，要繳納公安消防保險(xiǎn)費(fèi)50元。試根據(jù)關(guān)系圖，回答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)售票數(shù)滿(mǎn)足0＜x≤150時(shí)，盈利額y（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式是___________；（2）當(dāng)售票數(shù)滿(mǎn)足150＜x≤200時(shí)，盈利額y（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式是_____________；

（3）當(dāng)售票數(shù)x為_(kāi)___________時(shí)，不賠不賺；當(dāng)售票數(shù)x滿(mǎn)足_________時(shí)，放影廳要賠本；當(dāng)售出的票數(shù)x為_(kāi)___________時(shí)，此放映廳能賺錢(qián)；（4）當(dāng)售出的票數(shù)x為何值時(shí)，此時(shí)所獲得利潤(rùn)比x＝150時(shí)多？

22、某社區(qū)活動(dòng)中心為鼓勵(lì)居民加強(qiáng)體育鍛煉，準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個(gè)羽毛球，供社區(qū)居民免費(fèi)借用．該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標(biāo)價(jià)均為30元，每個(gè)羽毛球的標(biāo)價(jià)為3元，目前兩家超市同時(shí)在做促銷(xiāo)活動(dòng)： A超市：所有商品均打九折（按標(biāo)價(jià)的90%）銷(xiāo)售； B超市：買(mǎi)一副羽毛球拍送2個(gè)羽毛球．

設(shè)在A(yíng)超市購(gòu)買(mǎi)羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yA（元），在B超市購(gòu)買(mǎi)羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yB（元）．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）分別寫(xiě)出yA、yB與x之間的關(guān)系式；

（2）若該活動(dòng)中心只在一家超市購(gòu)買(mǎi)，你認(rèn)為在哪家超市購(gòu)買(mǎi)更劃算？

（3）若每副球拍配15個(gè)羽毛球，請(qǐng)你幫助該活動(dòng)中心設(shè)計(jì)出最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案．

23、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿過(guò)B點(diǎn)的一條直線(xiàn)BE折疊這個(gè)三角形，使C點(diǎn)與AB邊上的一點(diǎn)D重合．

(1)當(dāng)∠A滿(mǎn)足什么條件時(shí)，點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)?寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件，并利用此條件證明D為AB的中點(diǎn)；

(2)在(1)的條件下，若DE＝1，求△ABC的面積．

第五篇：基本不等式練習(xí)題

3.4基本不等式

重難點(diǎn)：了解基本不等式的證明過(guò)程；會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問(wèn)題． 考綱要求：①了解基本不等式的證明過(guò)程．

②會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮?wèn)題． 經(jīng)典例題：若a，b，c都是小于1的正數(shù)，求證：，不可能同時(shí)大于．

當(dāng)堂練習(xí)： 1.若，下列不等式恒成立的是

（）

A．2.若

B．且

C．

D．，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是

（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．2ab

Ｄ．a(chǎn) 的最大值為

（）

Ｃ．的最小值是（）

C.D.Ｄ．－1

3.設(shè)x>0,則Ａ．

3Ｂ．4.設(shè)

A.10

B.5.若x, y是正數(shù)，且，則xy有

（）

Ａ．最大值16

Ｂ．最小值

Ｃ．最小值16

Ｄ．最大值 6.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 則下列不等式成立的是

（）A．

B．

C．

D．

7.若x>0, y>0,且x+y4,則下列不等式中恒成立的是

（）

A．

B．

C．

D． 8.a,b是正數(shù)，則Ａ．

三個(gè)數(shù)的大小順序是（）

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

9.某產(chǎn)品的產(chǎn)量第一年的增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q，設(shè)這兩年平均增長(zhǎng)率為x，則有（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

10.下列函數(shù)中，最小值為4的是

（）Ａ．Ｃ．11.函數(shù)

Ｂ．

Ｄ．的最大值為

.12.建造一個(gè)容積為18m3, 深為2m的長(zhǎng)方形無(wú)蓋水池，如果池底和池壁每m2 的造價(jià)為200元和150元，那么池的最低造價(jià)為

元.13.若直角三角形斜邊長(zhǎng)是1，則其內(nèi)切圓半徑的最大值是

.14.若x, y為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式15.已知：的值恒為正，對(duì)嗎？答

., 求mx+ny的最大值.16.已知．若、, 試比較與

的大小，并加以證明.17.已知正數(shù)a, b滿(mǎn)足a+b=1（1）求ab的取值范圍;（2）求的最小值.18.設(shè)正整數(shù)n都成立..證明不等式 對(duì)所有的參考答案：

經(jīng)典例題：

【 解析】

證法一

假設(shè)，同時(shí)大于，∵ 1－a>0，b>0，∴ 同理，≥，.三個(gè)不等式相加得

.，不可能，∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同時(shí)大于證法二

假設(shè)，同時(shí)成立，∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴，即.（*）

又∵ ≤，同理∴≤，≤

≤，與（*）式矛盾，故當(dāng)堂練習(xí)： 不可能同時(shí)大于.1.A;2.B;3.C;4.D;5.C;6.A;7.B;8.C;9.C;10.C;11.;

12.3600;

13.15．;

14.對(duì);

16.【 解析】 ．

∵、，∴ ． 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，取“＝”號(hào)．

當(dāng)時(shí)，有．

∴ ．．

即．

當(dāng)時(shí)，有．

即

17.(1)

(2)

18．【 解析】

證明

由于不等式對(duì)所有的正整數(shù)k成立,把它對(duì)k從1到n(n≥1)求和,得到

又因 因此不等式

以及

對(duì)所有的正整數(shù)n都成立.