第一篇：幾何證明練習題

幾何證明

1、已知：在⊿ABC中，AB=AC，延長AB到D，使AB=BD，E是AB的中點。求證：CD=2CE。

C2、已知：在⊿ABC中，作∠FBC=∠ECB=

2∠A。求證：BE=CF。

B

C3、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，在BC上任取一點P，作PQ∥AB交AC于Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中點，求證：⊿RDQ是等腰直角三角形。

C

B4、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中點，AE⊥BD，AE延長線交BC于F，求證：∠ADB=∠FDC。

5、如圖甲，Rt?ABC中，AB=AC，點D、E是線段AC上兩動點，且AD=EC，AM?BD，垂足為M，AM的延長線

交BC于點N，直線BD與直線NE相交于點F。

（1）試判斷?DEF的形狀，并加以證明。

（2）如圖乙，若點D、E是直線AC上兩動點，其他條件不變，試判斷?DEF的形狀，并加以證明。A

B

B

D6、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延長線上分別截取BM=AC、CN=AB，求證：MA⊥NA。

C7、已知：如圖(1)，在△ABC中，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，DE過點P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求證：DE－DB=EC．

A

D

PEB圖⑴C8、△ABC為正三角形，點M是射線BC上任意一點，點N是射線CA上任意一點，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點，就下面給出的三種情況，如圖8中的①②③，先用量角器分別測量∠BQM的大小，然后猜測∠BQM等于多少度．并利用圖③證明你的結(jié)論．

①

②

③

圖

89、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O為BC的中點。

(1)寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的大小關系(不要求證明)；

(2)如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動中保持AN＝BM，請判斷△OMN的形狀，并證明

你的結(jié)論。

A M B

(第9題圖)

10、如圖，△ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，AE=BD，連結(jié)EC、ED，求證：CE=DE11、如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周長。

12、如圖，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE||AC,EF⊥AD交BC延長線于F。求證： ∠FAC=∠B

F

第二篇：初中幾何證明練習題

初中幾何證明練習題

1.如圖，在△ABC中，BF⊥AC,CG⊥AD,F、G是垂足，D、E分別是BC、FG的中點，求證：DE⊥FG

2.如圖，AE∥BC,D是BC的中點，ED交AC于Q，ED的延長線交AB的延長線于P，求證：PD·QE=PE·QD

求證：?PAC～?PDB

3.如圖，已知點P是圓O的直徑AB上任一點，?APC??BPD，其中C，D為圓上的點，O B

P

4.如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作正方形ABFG和ACDE，連接EG 求證：S△ABC?S△AEG

5.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F．

求證：∠DEN＝∠F．

6.設MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q． 求證：AP＝AQ．

7、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：

設MN是圓O的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE，設CD、EB分別交MN于P、Q．

求證：AP＝AQ．

8.設ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD

9.如圖，⊙O中弦AC，BD交于F，過F點作EF∥AB，交DC延 切線EG，G為切點，求證：EF=EG

10.如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作正方形ABFG和ACDE，連接BE，CG 求證：

（1）BE=CG（2）BE⊥CG

11.如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點．

求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．

A

2CB2

A

1DD

C

12.如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作正方形ABFG和ACDE，連接CE，BG、GE

M、N、P、Q分別是EG、GB、BC、CE的中點 求證：四邊形MNPQ是正方形

第三篇：幾何證明選講練習題

選修4-1幾何證明選講綜合練習題

1.如圖,⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P,E為⊙O上一點,AE＝AC ,DE交AB于點F,且AB?2BP?4,（1）求PF的長度.（2）若圓F且與圓O內(nèi)切，直線PT與圓F切于點T，求線段PT的長度。解：（1）連結(jié)OC,OD,OE,由同弧對應的圓周角與圓心角之間的關系 結(jié)合題中條件弧長AE等于弧長AC可得?CDE??AOC, 又?CDE??P??PFD,?AOC??P??OCP, 從而?PFD??OCP,故?PFD∽?PCO,E A F B 證明：（Ⅰ）?AB為切線，AE為割線, ?AB2?AD?AE又 ?AB?AC?(2)由（1）有?

AD?AE?AC2--------------5分

?ADC~?ACE

ADAC

?又??EAC??DAC?ACAE

?ADC??ACE 又??ADC??EGF ??EGF??ACE ?GF//AC

PFPD?,…………4? PCPO

PC?PD1

2??3.…………6? 由割線定理知PC?PD?PA?PB?12,故PF?

E PO

4（2）若圓F與圓O內(nèi)切，設圓F的半徑為r，因為OF?2?r?1即r?

1A

所以OB是圓F的直徑，且過P點圓F的切線為PT

2F B

5．如圖，⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，過點A作⊙O1的切線交⊙O2于點C，過點B作兩圓的割線，分別交⊙O1、⊙O2于點D、E，DE與AC相交于點P，（I）求證：AD∥EC；

（Ⅱ）若AD是⊙O2的切線，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長。22.解：（Ⅰ）連接AB，?AC是⊙O1的切線，??BAC??D，又??BAC??E，??D??E?AD//EC……………4分（Ⅱ）?PA是⊙O1的切線，PD是⊙O1的割線，?PA2?PB?PD,則PT

?PB?PO?2?4?8，即PT?…………10?

2.三角形ABC內(nèi)接于圓O，P在BC的延長線上，PA切圓O于A，D為AB的中點，PD交AC于E,AE?3EC,求

PA

.PC

?62?PB?(PB?9)?PB?3又⊙O2中由相交弦定理，得PA?PC?BP?PE ?PE?4?AD是⊙O2的切線，DE是⊙O2的割線，?AD2?DB?DE?9?16，?AD?12.………………10分

6．如圖，已知⊙O和⊙M相交于A,B兩點，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點C，點G為弧BD中點，連結(jié)AG分別交⊙O,BD于點E,F，連結(jié)CE，PA2PA2PB?PCPB

解析：由PA?PC?PB,?()?，??

PCPCPC2PC2

過C作CH//AB，交PD于H，因為BD?AD，PBBDADAEPA

????3，故?3 所以有

PCCHCHECPC

GFEF2

?（Ⅰ）求證：AG?EF?CE?GD；（Ⅱ）求證：。AGCE2

證明：（I）連結(jié)AB，AC，∵AD為?M的直徑，∴?ABD?90，3．(本小題滿分12分)選修4－1：幾何證明選講如圖，已知點C在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，DC是?ACB的平分線并交AE于點F，交AB于D點，求?ADF的大小。

解：如圖，連接AO，因為AC是圓O的切線，則?OAC?900，因DC是?ACB的平分線，又OA?OB，設?ACD??ECD??1,?ABO??BAO??2，在?ABC中，∴AC為?O的直徑，∴?CEF??AGD?90?．…………2分 ∵?DFG??CFE，∴?ECF??GDF，∵G為弧BD中點，∴?DAG??GDF．…………4分 ∵?ECB??BAG，∴?DAG??ECF，∴?CEF∽?AGD．…………5分

∴

CEAG

?，∴AG?EF?CE?GD．…………6分 EFGD

（II）由（I）知?DAG??GDF，?G??G，2?2?2?1?900?1800??1??2?450，而在?ADC中，?ADF??1??2?90，故?ADF?45° …………10分

∴?DFG∽?AGD，∴DG2?AG?GF．………8分

EF2GD2GFEF2

由（I）知，∴．………10分 ??222

CEAGAGCE

4.如圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，ADE,CFD,CGE

都是⊙O的割線，已知AC?AB，（Ⅰ）證明：AD?AE?AC；（Ⅱ）證明：FG//AC。

7．如圖，在?ABC中，?ABC?900，以BC為直徑的圓O交AC于點D，設E為AB的中點。（1）求證：直線DE為圓O的切線；（2）設CE交圓

O于點F，求證：CD?CA?CF?CE。

O，過點A的直線交⊙O于點P，交BC的延長線于10．(本小題滿分10分)如圖，?ABC內(nèi)接于⊙

點D，且AB2?AP?AD。（1）求證：AB?AC；

O的半徑為1，（2）如果?ABC?600，⊙

且P為弧AC的中點，求AD的長。

8．在?ABC中，AB?AC，過點A的直線與其外接圓交于點P，交BC延長線于點D。

PCPD

（1）求證：；（2）若AC?3，求AP?AD的值。?

ACBD

解：（1）??CPD??ABC,?D??D，??DPC～?DBA，11．如右上圖，?ABC是直角三角形，?ABC?900，以AB為直徑的圓O交AC于點E，點D是BC

邊的中點，連OD交圓O于點M，（Ⅰ）求證：O,B,D,E四點共圓；（Ⅱ）求證：2DE2?DM?AC?DM?AB。

D

PCPDPCPD

又?AB?AC,?（5分）???

ABBDACBD

（2）??ACD??APC,?CAP??CAP,??APC～?ACD APAC，?AC2?AP?AD?9………（10分）??

ACAD

9．(本小題滿分12分)已知C點在⊙O直徑BE的延長線上，CA切⊙O于A點，CD是?ACB的平分線且交AE于點F，交AB于點D。（1）求?ADF的度數(shù)；（2）若AB?AC，求

AC的值。

BC

12．如圖，?ABC的外角?EAC的平分線AD交BC的延長線于點D，延長DA交?ABC的外接圓于點F，連結(jié)FB,FC。

（1）求證：FB2?FA?FD；

（2）若AB是?ABC外接圓的直徑，且?EAC?120?,BC?6，求線段AD的長。

可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

BFEFBFCFEFCF

∴BF?EF．∵G是AD的中點，∴DG?AG．∴?∴??．．

DGAGDGCGAGCG

（Ⅱ）連結(jié)AO，AB．∵BC是?O的直徑，∴?BAC?90°．

在Rt△BAE中，由（Ⅰ）得知F是斜邊BE的中點，∴AF?FB?EF．

∴?FBA??FAB．又∵OA?OB，∴?ABO??BAO．∵BE是?O的切線，∴?EBO?90°．∵?EBO??FBA??ABO??FAB??BAO??FAO?90°，∴PA是?O的切線．

15．如圖，⊙O是?ABC的外接圓，D是弧AC的中點，BD交AC于E。（I）求證：CD2?DE?DB。（II）若CD?O到AC的距離為1，求⊙O的半徑。

AB?1，圓O的2

割線MDC交圓O于點D,C，過點M作AM的垂線交直線AD,AC分別于點E,F，證明：（Ⅰ）?MED??MCF；（Ⅱ）ME?MF?3。

13．如圖：AB是圓O的直徑（O為圓心），M是AB延長線上的一點，且MB?證明：（Ⅰ）連接BC得?ACB?90，所以?ACB??BMF?90，∴B,C,F,M四點共圓，∴?CBA??CFM，又∵?CBA??CDA??EDM ∴?EDM??CFM，在?EDM與?CFM中可知?MED??MCF。6分（Ⅱ）由?MED??MCF，得E,F,C,D四點共圓，∴ME?MF?MD?MC，又∵MD?MC?MB?MA?3，∴ME?MF?3。┈┈┈┈┈10分

A

F

??

C

D

E

16．如圖所示，已知PA與?O相切，A為切點，PBC為割線，D為?O上的點，且AD=AC，AD，M

O

14.如圖, 點A是以線段BC為直徑的圓O上一點,AD?BC于點D,BC相交于點E。（Ⅰ）求證：AP//CD；（Ⅱ）設F為CE上的一點，且?EDF??P，求證：CE?EB?FE?

EP.過點B作圓O的切線,與CA的延長線相交于點E, 點G是AD的中點,連結(jié)CG并延長與BE相交于點F, 延長AF與CB的延長線相交于點P.（Ⅰ）求證:BF?EF；

（Ⅱ）求證:PA是圓O的切線；

證明：（Ⅰ）∵BC是?O的直徑，BE是?O的切線，∴EB?BC．又∵AD?BC，∴AD∥BE．

第四篇：幾何證明

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1: 經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段___________.3.相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于______；相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于

_________________；

相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項.5.圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于_______________的度數(shù).推論1：同弧或等弧所對的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧_______.o推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是____；90的圓周角所對的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的______________.6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理：

圓的內(nèi)接四邊形的對角______；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的_____.如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點______；如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點_________.7.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的__________.推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過_______；經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過______.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內(nèi)兩條相交弦，_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長的積相等.切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是__________的比例中項.切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長____；

圓心和這點的連線平分_____的夾角.

第五篇：幾何證明

龍文教育浦東分校學生個性化教案

學生：錢寒松教師：周亞新時間：2010-11-27

學生評價◇特別滿意◇滿意◇一般◇不滿意

【教材研學】

一、命題

1．概念：對事情進行判斷的句子叫做命題．

2．組成部分：命題由題設和結(jié)論兩部分組成．每個命題都可以寫成“如果??，那么??”的形式，“如果”的內(nèi)容部分是題設，“那么”的內(nèi)容部分是結(jié)論．

3．分類：命題分為真命題和假命題兩種．判斷正確的命題稱為真命題，反之稱為假命題．驗證一個命題是真命題，要經(jīng)過證明；驗證一個命題是假命題，可以舉出一個反例．

二、互逆命題

1．概念：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結(jié)論，而第一個

命題的結(jié)論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，則另一個就叫做它的逆命題．

2．說明：

（1）任何一個命題都有逆命題，它們互為逆命題，“互逆”是指兩個命題之間的關系；

（2）把一個命題的題設和結(jié)論交換，就得到它的逆命題；

（3）原命題成立，它的逆命題不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一個定理的逆命題也是定理（即真命題），那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理．

2．說明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“對頂角相等”的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”，這是一個假命題，所以“對頂角相等”沒有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命題的關系：互逆定理首先是互逆命題，是互逆命題中要求更為嚴謹?shù)囊活?，即互逆命題包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【點石成金】

例1． 指出下列命題的題設和結(jié)論，并寫出它們的逆命題．

（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；

（2）直角三角形的兩個銳角互余；

（3）對頂角相等．

分析：解題的關鍵是找出原命題的題設和結(jié)論，然后再利用互逆命題的特征寫出它們的逆命題．

（1）題設是“兩條平行線被第三條直線所截”，結(jié)論是“同旁內(nèi)角互補”；逆命題是“如果兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行”．

（2）題設是“如果一個三角形是直角三角形”，結(jié)論是“那么這個三角形的兩個銳角互余”；逆命題是“如果一個三角形中兩個銳角互余，那么這個三角形是直角三角形”．

（3）題設是“如果兩個角是對頂角”，結(jié)論是“那么這兩個角相等”；逆命題是“如果有兩個角相等，那么它們是課題：幾何證明

對頂角”．

名師點金：當一個命題的逆命題不容易寫時，可以先把這個命題寫成“如果??，那么??”的形式，然后再把題設和結(jié)論倒過來即可．

例2．某同學寫出命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是“如果一個三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”，你認為他寫得對嗎?

分析：寫出一個命題的逆命題，是把原命題的題設和結(jié)論互換，但有時需要適當?shù)淖兺?，例如“等腰三角形的兩底角相等”的逆命題不能寫成“兩底角相等的三角形是等腰三角形”，因為我們還沒有判斷出是等腰三角形，所以不能有“底角”這個概念．

解：上面的寫法不對．原命題條件是直角三角形，斜邊是直角三角形的邊的特有稱呼，該同學寫的逆命題的條件中提到了斜邊，就已經(jīng)承認了直角三角形，就不需要再得這個結(jié)論了．因此，逆命題應寫成“如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”．

名師點金：在寫一個命題的逆命題時，千萬要注意一些專用詞的用法．

例3．如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．請你以其中三個等式作為題設，余下的作為結(jié)論，寫出一個真命題(要求寫出已知，求證及證明過程)

解：選①②③作為題設，④作為結(jié)論．

已知：如圖19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求證：BD=CE,證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名師點金：本題考查的是證明三角形的全等，但條件較為開放．當然，此題的條件還可以任選其他三個．

【練習】

1．“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”的題設是____________________，結(jié)論是_________________________

2．判斷：（1）任何一個命題都有逆命題．()

（2）任何一個定理都有逆定理．()

【升級演練】

一、基礎鞏固

1．下列語言是命題的是()

A．畫兩條相等的線段B．等于同一個角的兩個角相等嗎

C．延長線段AD到C，使OC=OAD．兩直線平行，內(nèi)錯角相等

2．下列命題的逆命題是真命題的是()

A．直角都相等B．鈍角都小于180。

龍文教育浦東分校個性化教案ABDEC.cn

C．如果x+y=0，那么x=y=0D．對頂角相等

3．下列說法中，正確的是()

A．一個定理的逆命題是正確的B．命題“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命題是正確的C．任何命題都有逆命題

D．定理、公理都應經(jīng)過證明后才能用

4．下列這些真命題中，其逆命題也真的是()

A．全等三角形的對應角相等

B．兩個圖形關于軸對稱，則這兩個圖形是全等形

C．等邊三角形是銳角三角形

D．直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

5．證明一個命題是假命題的方法有__________．

6．將命題“所有直角都相等”改寫成“如果??那么?”的形式為___________。

7．舉例說明“兩個銳角的和是銳角”是假命題。

二、探究提高

8．下列說法中，正確的是()

A．每個命題不一定都有逆命題B．每個定理都有逆定理

c．真命題的逆命題仍是真命題D．假命題的逆命題未必是假命題

9．下列定理中，沒有逆定理的是()

A．內(nèi)錯角相等，兩直線平行B．直角三角形中兩銳角互余

c．相反數(shù)的絕對值相等D．同位角相等，兩直線平行

三、拓展延伸

10．下列命題中的真命題是()

A．銳角大于它的余角B．銳角大于它的補角

c．鈍角大于它的補角D．銳角與鈍角之和等于平角

11．已知下列命題：①相等的角是對頂角；②互補的角就是平角；③互補的兩個角一定是一個銳角，另一個為鈍角；④平行于同一條直線的兩直線平行；⑤鄰補角的平分線互相垂直．其中，正確命題的個數(shù)為()

A．0個B．1個C．2個D．3個

龍文教育浦東分校個性化教案