第一篇：不等式的概念和性質(zhì)
不等式的概念和性質(zhì)
1、實數(shù)的大小比較法則：
設a，b∈R，則a>b?；a＝b?；a 定理1（對稱性）a>b ? 定理2（同向傳遞性）a>b，b>c? 定理3a>b?a＋c > b＋c推論a>b，c>d? 定理4a>b，c>0?a>b，c<0? 推論1(非負數(shù)同向相乘法)a>b≥0，c>d≥0? 推論2a>b＞0 ?an?bn(n?N且n>1) 定理5a>b＞0??(n?N且n>1) 例1.（2010 黃岡模擬）設f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比較f(x)與g(x)的大小.訓練1：不等式log2x+3x2＜1的解集是____________.例2.設f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比較f(x)與g(x)的大小.例3.函數(shù)f(x)＝ax2＋bx滿足：1≤f(?1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(?2)的取值范圍． 訓練3：若1＜α＜3，－4＜β＜2，則α－|β|的取值范圍是.例4.已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，當p、q滿足p＋q＝1時，試證明：pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)對于任意實數(shù)x、y都成立的充要條件是o≤p≤1.變式訓練4：已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0，方程ax2＋bx＋c＝0的兩個實數(shù)根為x1、x2． (1)證明：－＜12b22222＜1；(2)若x1＋x1x2＋x22＝1，求x1－x1x2＋x2；(3)求| x1－x2|．a(chǎn) 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 1．a(chǎn)>0，b>0時，稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)；稱為a，b的幾何平均數(shù)． 2．定理1如果a、b?R，那么a2＋b22ab（當且僅當 取“＝”號） 3．定理2如果a、b?R?，那么a?b≥（當且僅當a＝b時取“＝”號）即兩個數(shù)的算 2術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 4．已知x、y?R?，x＋y＝P，xy＝S.有下列命題： (1)如果S是定值，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值 ． (2)如果P是定值，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值． 211?ab≤ab≤a2?b2a?ba?b2≤(當且僅當a＝b時取“＝”號)．說明：題中的、ab、、11222?ab a2?b2分別叫做正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)，幾何平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，平方平均數(shù)． 222?a?b?a?b例11）設a,b?R，已知命題p:a?b；命題q:?，則p是q成 ??2?2?2 立的A．必要不充分條件 C．充分必要條件B．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 （2）若a,b,c為△ABC的三條邊，且S?a2?b2?c2,p?ab?bc?ac，則（） A．S?2pB． p?S?2pC．S?pD．p?S?2p （3）設x > 0, y > 0,a?x?yxy, b?，a 與b的大小關系（）?1?x?y1?x1?y A．a(chǎn) >bB．a(chǎn) （4）b克鹽水中，有a克鹽（b?a?0），若再添加m克鹽（m>0）則鹽水就變咸了，試根據(jù)這一事實提煉一個不等式.例2.已知a，b，x，y∈R+（a，b為常數(shù)），?a xb?1，求x＋y的最小值.y ab??1，若 x＋y的最小值xy訓練2：已知a，b，x，y∈R+（a，b為常數(shù)），a＋b＝10，為18，求a，b的值． 例3.已知a, b都是正數(shù)，并且a ? b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 變式訓練3：比較下列兩個數(shù)的大?。海?）2?1與2?3；（2）2?3?； （3）從以上兩小項的結(jié)論中，你否得出更一般的結(jié)論？并加以證明 例4.甲、乙兩地相距S（千米），汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度最大不得超過c（千米 /小時）．已知汽車每小時的運輸成本（元）由可變部分與固定部分組成．可變部分與速度v （千米/小時）的平方成正比，且比例系數(shù)為正常數(shù)b；固定部分為a元． (1)試將全程運輸成本Y(元)表示成速度V(千米/小時)的函數(shù).(2)為使全程運輸成本最省，汽車應以多大速度行駛？ 變式訓練4：為了通過計算機進行較大規(guī)模的計算，人們目前普遍采用下列兩種方法： 第一種傳統(tǒng)方法是建造一臺超級計算機．此種方法在過去曾被普遍采用．但是人們逐漸發(fā)現(xiàn) 建造單獨的超級計算機并不合算，因為它的運算能力和成本的平方根成正比． 另一種比較新的技術(shù)是建造分布式計算機系統(tǒng)．它是通過大量使用低性能計算機(也叫工作 站)組成一個計算網(wǎng)絡．這樣的網(wǎng)絡具有驚人的計算能力，因為整個網(wǎng)絡的計算能力是各個 工作站的效能之和． 假設計算機的計算能力的單位是MIPS(即每秒執(zhí)行百萬條指令的次數(shù))，一臺運算能力為 6000MIPS的傳統(tǒng)巨型機的成本為100萬元；而在分布式系統(tǒng)中，每個工作站的運算能力為 300MIPS，其價格僅為5萬元．需要說明的是，建造分布式計算系統(tǒng)需要較高的技術(shù)水平，初期的科技研發(fā)及網(wǎng)絡建設費用約為600萬元． 請問：在投入費用為多少的時候，建造新型的分布式計算系統(tǒng)更合算？ 不等式證明 （一）1．比較法是證明不等式的一個最基本的方法，分比差、比商兩種形式． ?a?b?0?a?b (1)? a?b?0?a?b ??a?b?0?a?b? 它的基本步驟：作差——變形——判斷，差的變形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等． (2)作商比較法，它的依據(jù)是：若a>0，b>0，則 ?a?1?a?bba?1?a?b ba?1?a?bb 基本步驟是：作商——變形——判斷商與1的大?。谧C明冪、指數(shù)不等式中經(jīng)常用到． 2．綜合法：綜合法證題的指導思想是“由因?qū)Ч?，即從已知條件或基本不等式出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)，推出要證明的結(jié)論． 3．分析法：分析法證題的指導思想是“由果索因”，即從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠確定這些充分條件都已具備，那么就可以判定所要證的不等式成立． 例1.已知a?0,b?0，求證：a b?b a?a? 訓練1：已知a、b、x、y∈R+且xy11＞，x＞y.求證：＞． abx?ay?b 例2.已知a、b∈R+，求證：(a?b)(a?b?1)?22(ab?ba) 訓練2：已知a、b、c?R，求證：a2?b2?c2?4?ab?3b?2c 例3.已知△ABC的外接圓半徑R＝1，S?ABC? s?a?b?c，t?1，a、b、c是三角形的三邊，令4111??．求證：t?s abc 222變式訓練3：若a,b,c為△ABC的三條邊，且S?a?b?c,p?ab?bc?ac，則（） A．S?2pB． p?S?2pC．S?pD．p?S?2p 1． a x1． 2例4.設二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程f(x)?x?0的兩個根x1、x2滿足0?x1?x2?1)當x∈(0，x1)時，證明：x 訓練4：設f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)＞0，f(1)＞0，求證：(1)a＞0且-2＜a＜-1；(2)方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個實根.b 不等式證明 （二）證明不等式的其它方法：反證法、換元法、放縮法、判別式法等． 反證法：從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理導出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原命題是正確的證明方法． 換元法：對結(jié)構(gòu)較為復雜，量與量之間關系不甚明了的命題，通過恰當引入新變量，代換原命題中的部分式子，簡化原有結(jié)構(gòu)，使其轉(zhuǎn)化為便于研究的形式的證明方法． 放縮法：為證明不等式的需要，有時需舍去或添加一些代數(shù)項，使不等式的一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證題的目的，這種方法叫放縮法． 判別式法：根據(jù)已知的式子或構(gòu)造出來的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函數(shù)的性質(zhì)等特征，確定其判別式所應滿足的不等式，從而推出所證的不等式成立． 例1.已知f(x)＝x2＋px＋q，(1)求證：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)求證：｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一個不小于． 訓練1：設a、b、c?R?，那么三個數(shù)a?111、b?、c?（）bca1 2A．都不大于2B．都不小于2 C．至少有一個不大于2D．至少有一個不小于2 解:D 例2.（1）已知x2＋y2＝1，求證:??a2?y?ax??a2.（2）已知a、b∈R，且a2＋b2≤1，求證:a2?2ab?b2?2.訓練2： 設實數(shù)x，y滿足x2＋(y－1)2＝1，當x＋y＋c≥0時，c的取值范圍是（）??)A.[2?1，??)D.(??2?1] B.(??2?1] C.[?1，解:A 例3.若n?N，且n?2，求證：? 121111????????1 n?123n1，則f(n)，g(n)，?(n)的大小順2n訓練3：若f(n)＝n2?1－n，g(n)＝n－n2?1，?(n)＝ 序為____________． 解:g(n)>φ(n)>f(n) 1x2?x?13?． 例4.證明：?22x?1 2訓練4：設二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c(a、b、c?R且a?0)，若函數(shù)y?f(x)的圖象與直線y?x和y??x均無公共點． (1)求證：4ac?b2?1 (2)求證：對于一切實數(shù)x恒有|ax2?bx?c|?1 4|a| ﹤不等式性質(zhì) 一、選擇題 1、已知a?b?0，下列不等式恒成立的是（） A.a2 ?b2 B.ab?1C.1111 a?bD.a?b2、已知a?0,b??1，下列不等式恒成立的是（） A.a? ab?abB.aaaaaab2?b?aC.b?b2?aD.b?a?b3、若a,b,c,d四個數(shù)滿足條件：?1?d?c;?2?a?b?c?d;?3?a?d?b?c，則（） Ab.?c?d?aB.a?d?c? bC.d?b?a? cD.b?d?c? a4、如果a,b,c滿足c?b?a,且ac?0,則以下選項中不一定成立的是（） A.ab?acB.c?b?a??0C.cb2?ab2D.ac?a?c??05、下列命題中正確的是（） Aa.?b,k?N*?ak?bkB.a?b,c?1? c?1c?1 b?a C.a?b,c?d??a?b? ??c?d?2 D.a?b?0,c?d?0?abd?c6、如果a,b是滿足ab?0的實數(shù)，則（） A.a?b?a?bB.a??a bC.a??a b D.a?b?a?b 7、若a?0,b?0,則不等式?b?1 x ?a的解為（） A.?1b?x?0或0?x?1aB.?111111a?x?bC.x??a或x?bD.x??b或x?a 二、填空題 8、若m?0,n?0,m?n?0,則m,n,?m,?n的大小關系為 9、若?1?a?b?1,?2?c?3,則?a?b?c的取值范圍是 10、若0?a?1,給出下列四個不等式，其中正確的是 1○ 1log?1??1?1?a1?1?1?a?1?a??loga??1?a??○2loga?1?a??loga?a a?1?a?? ○3a?a○4a?aa11、已知三個不等式：?1?ab?0?2?? ca??d b ?3?bc?ad，以其中兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，可以組成個正確的命題。、設x,y為實數(shù)，且滿足3?xy2 ?8,4?x2y?9,則x3 12y 4的取值范圍是 三、解答題、（1）設2?a?3,?4?b??3,求a?b,a?b,ab2 13b,ab,a的取值范圍。 （2）設二次函數(shù)f?x?的圖像關于y軸對稱，且?3?f?1??1,?2?f?2??3,求f?3?的最大值和最小值。 14、（1）已知? 1?a?0,A?1?a2,B?1?a211 2,C?1?a,D?1?a，試將A,B,C,D按從小到大的順序排列，并說明理由。 b?c?0,比較aabbcc 與?abc? a?b?c （2）已知a?3的大小。 15、火車站有某公司待運的甲種貨物1530t,乙種貨物1150t?，F(xiàn)用A,B兩種型號車廂共50節(jié) 運送這批貨物。已知35t甲種貨物和 15t乙種貨物可裝滿一節(jié)A型貨廂；25t甲種貨物和35t乙種貨物可裝滿一節(jié)B型貨箱，據(jù)此安排A,B兩種貨箱的節(jié)數(shù)，共有幾種方案？若每節(jié)A型貨箱運費是0.5萬元，每節(jié)B型貨箱運費是0.8萬元，哪種方案的運費最少？ 《不等式的性質(zhì)》的教學設計與反思 慶陽市西峰區(qū)彭原鄉(xiāng)彭原初級中學 馬 杰 ［教材分析］ 《不等式的性質(zhì)》的內(nèi)容屬于初中數(shù)學“數(shù)與代數(shù)”部分。數(shù)量之間除有相等關系外，還有大小不等的關系。正如方程和方程組是討論等量關系的有利數(shù)學工具一樣，不等式與不等式組是討論不等關系的有利數(shù)學工具。不等式是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間關系的有效數(shù)學模型，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，所以對不等式的學習，有著重要的實際意義。研究不等式在整個初中數(shù)學學習中有著承上啟下的作用。解決不等式問題對不等關系的研究起著畫龍點睛的作用。掌握不等式的性質(zhì)是順利解決不等式的重要依據(jù)。不等式的基本性質(zhì)也為學生以后順利學習解一元一次不等式和解一元一次不等式組的有關內(nèi)容作理論基礎，起到重要的奠基作用。 ［學情分析］ 1.授課班級學生基礎較差，教學中應給予充分思考的時間，謹防填塞式教學；充分調(diào)動學生的積極性，注重課堂教學的有效性，在練習設計上要針對學生差異采取分層設計的方法。 2.本節(jié)課主要研究不等式的性質(zhì)和簡單應用。他與前面學過的等式的性質(zhì)有聯(lián)系也有區(qū)別，為滲透類比、分類討論的數(shù)學思想提供了很好的素材。由于學生的認知結(jié)構(gòu)是建立在等式的知識基礎上對不等式進行學習，所以，在學習的過程中學生容易延續(xù)的等式性質(zhì)的理解，產(chǎn)生慣性的思維定勢，尤其體現(xiàn)在對不等式性質(zhì)3的理解與應用。 ［教學目標］ 1.經(jīng)歷不等式基本性質(zhì)的探索過程，掌握不等式的基本性質(zhì)。 2.經(jīng)歷通過類比、猜測、驗證發(fā)現(xiàn)不等式性質(zhì)的探索過程，初步體會不等式與等式的異同。 3.通過創(chuàng)設問題情境和實驗探究活動，積極引導學生參與解決數(shù)學問題，提高學生學習數(shù)學的興趣，增強學習數(shù)學的信心，發(fā)展學生的符號表達能力、代數(shù)變形能力，在自主探索、合作交流中讓學生感受學習的樂趣。［教學重難點］ 重點：理解并掌握不等式的性質(zhì)。 難點：不等式性質(zhì)的理解應用（特別是性質(zhì)3的理解應用）。［教學過程］ 一、回顧舊知，類比新知 ［問題1］我們學習過等式的相關性質(zhì)，你能說出等式的性質(zhì)嗎？（性質(zhì)1??，性質(zhì)2??。） 學生回答問題，教師演示天平實驗。（等式） ［問題2］我們學習了不等式，它是否也有類似的性質(zhì)呢？ 教師繼續(xù)演示天平實驗。學生觀察老師的操作后思考：①.天平被調(diào)整到什么狀況；②.給不平衡的天平兩邊同時加入（拿掉）相 同質(zhì)量的砝碼，天平會有什么變化？③.如果對不平衡的天平兩邊砝碼的質(zhì)量同時擴大相同的倍數(shù)，天平會平衡嗎？縮小相同的倍數(shù)呢？ 本環(huán)節(jié)中，教師應重點關注： （1）.學生能否準確表達等式的性質(zhì)；（2）.學生是否積極參與類比的思考之中。 （通過回顧等式的性質(zhì)，演示等式性質(zhì)的產(chǎn)生過程，為不等式性質(zhì)的研究以及不等式的性質(zhì)的歸納作好鋪墊。培養(yǎng)學生善于運用類比、遷移學習方法的良好習慣。） 二、探索新知，歸納結(jié)論 ［問題3］ 用“>”或“<”填空，并總結(jié)其中的規(guī)律： ① 5>3, 5+2——3+2，5-2——3-2； ② -1<3,-1+2____3+2，-1-3——3-3； ③ 6<2，6*5——2*5，6*（-5）——2*（-5）;④ -2<3，(-2)*6___3*6，(-2)*(-6)____3*(-6).學生填空，師生展示正確結(jié)果。 （通過對一組練習的延伸探究，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、歸納問題的能力） ［問題4］從以上一組練習種你發(fā)現(xiàn)了什么？請你把你的發(fā)現(xiàn)與合作小組的同學交流。 通過學生小組合作交流，學生把自己的“發(fā)現(xiàn)”進行充分討論，探究不等式的性質(zhì)。 ［問題5］請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空： 當不等式兩邊加上或減去同一個數(shù)（正數(shù)或負數(shù)）時，不等號的方向——。當不等式兩邊乘同一個數(shù)正數(shù)時，不等號的方向——；而乘同一個數(shù)負數(shù)時，不等號的方向——。 ［問題6］請大家換一些其他數(shù)，驗證這個發(fā)現(xiàn)。 教師掌握各小組情況，適當引導，尤其（3）（4）是不等式兩邊同乘以正數(shù)、負數(shù)，所得結(jié)果截然不同，因此要有針對的區(qū)別開。 （通過類比等式性質(zhì)，引導學生探究不等式的性質(zhì)，培養(yǎng)學生用類比的方法學習知識。） ［問題7］你能用自己的語言概括不等式有哪些性質(zhì)嗎？請小組討論。 性質(zhì)1：:不等式兩邊加上或減去同一個數(shù)（式子）時，不等號的方向不變;性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)時，不等號的方向不變;性質(zhì)3：: 不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)時，不等號的方向改變;（學生觀察對比、探索發(fā)現(xiàn)，清晰地掌握性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，有利于正確理解和應用；培養(yǎng)學生的概括能力和數(shù)學語言表達能力。） ［問題8］你能用字母表示不等式的性質(zhì)嗎？請小組討論交流。（1）.若a>b, 則 ： a±c>b±c； （2）.若a>b,c>0 則 ： ac>bc或a/c>b/c；（3）.若a>b,c<0 則 ： ac 等式的性質(zhì)有2條，進行加減乘除運算時相等關系不變；不等式的性質(zhì)有3條，加減不等關系不變，乘除要分正、負分別討論，兩個結(jié)果不同。 學生合作交流，教師深入指導。本環(huán)節(jié)中，教師應重點關注： （1）.交流合作中，學生是否積極參與類比的思考；（2）.學生能否全面地考慮不等式性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別；（3）.學生能否準確表達不等式的性質(zhì)； （4）.學生能否用數(shù)學符號語言表達不等式的性質(zhì)。（培養(yǎng)學生使用符號語言表達數(shù)學現(xiàn)象，培養(yǎng)數(shù)學文字與符號語言的相互轉(zhuǎn)化能力，提升數(shù)學表達能力。） 三、基礎訓練，鞏固應用 1.如果a>b,判斷下列不等式是否正確： -4+a>-4+b；（）a-3 a+2__b+2； 3a__3b；-2a__-2b； a-3__b-3； a/2__b/2； a-8__b-8； 2a-5__2b-5；-3.5a__-3.5b；-8.5a+2__-8.5b+2； 若a>0,b<0,c<0 則（a-b）c___0； 若a ax___ay.（加深學生對新知識的理解，建立對不等式性質(zhì)的正確的認識） 四、應用拓展，解決問題 例1：利用不等式的性質(zhì)解下列不等式： ① x-7>26;② 3x<2x+1; ③ 2/3x>50; ④-4x>3.（學生分組討論，研究上述不等式的解法，并總結(jié)其中的規(guī)律，要求學生類比解方程，用準確的數(shù)學語言表達。特別是移項表述，類比解方程，用準確的數(shù)學語言表達。） 教師深入小組，適當點撥指導，幫助學生總結(jié)不等式結(jié)構(gòu)特點，有針對性的總結(jié)規(guī)律。 師生共同展示討論結(jié)果。 教師板書其中一題，統(tǒng)一要求對不等式解題過程的規(guī)范書寫，解集在數(shù)軸上的正確表示，展示數(shù)形結(jié)合的整體美感。 本環(huán)節(jié)中，教師應重點關注： （1）.學生能否抓住不等式的結(jié)構(gòu)特點，合理使用不等式性質(zhì)解不等式； （2）.學生能否準確地在數(shù)軸上表示不等式的解集；（強調(diào)“＜”與“≤”在意義上和數(shù)軸表示上的區(qū)別。） （3）.學生能否認真參與小組討論；是否通過討論掌握不等式解法； （4）.學生能否通過對比解方程的方法，發(fā)現(xiàn)解方程與解不等式的方法的區(qū)別與聯(lián)系。練習：教材第119頁練習第1題。 （培養(yǎng)學生積極思考，參與交流合作的習慣，建立良好的合作意識，提高學生運用所學知識解決問題的能力。類比解方程的方法解不等式注意性質(zhì)3，并類比解法的異同，幫助嚴謹規(guī)范的書寫習慣。） 五、歸納小結(jié)，收獲感悟 談一談本節(jié)課你有什么收獲？ 學生歸納總結(jié)（1）不等式性質(zhì)1、2、3；（2）簡單不等式的解法 本環(huán)節(jié)中，教師應重點關注： （1）.學生是否積極參與總結(jié)歸納，是否養(yǎng)成對知識進行及時歸納整理的習慣； （2）.學生對本節(jié)課所研究的問題的理解程度。（積累數(shù)學經(jīng)驗，加強記憶和應用能力。） 六、作業(yè) 習題9.1第4、5題。［教學反思］ 為創(chuàng)設寬松民主的學習氛圍，激發(fā)學生思維的主動性，順利完成教學目標，本節(jié)課堅持“以學生為主體，以教師為主導”的原則，即“以學生活動為主，教師講述為輔，學生活動在前，教師點撥評價在后”的原則，給學生充分的自主探索時間，引導學生聯(lián)系已有知識學習新知識，減少學生獲取新知識的難度，通過教師的引導，調(diào)動學生的積極性，組織學生參與“探究—討論—交流—總結(jié)”的學習過程，讓學生在課堂上多活動、多觀察，主動參與到了整個教學活動中來，從本節(jié)課的設計上看，我自認為知識全面，講解透徹，條例清晰，系統(tǒng)性強，講練結(jié)合，訓練到位，但一節(jié)課下來后沒有為學生“減負”，忽略了實效性。在今后的教學中我要多問多聽、多思多想，真正為學生減輕課業(yè)負擔，增強教學的實效性。 另外，在今后的教學中要注重學生學習習慣的培養(yǎng)。 作 者：馬 杰 甘肅省慶陽市西峰區(qū)彭原鄉(xiāng)彭原初級中學教師 通訊地址：甘肅省慶陽市西峰區(qū)彭原鄉(xiāng)彭原初級中學 郵 編：745000 不等式性質(zhì)教案 西南大學2010級4班 孫丹 【課標要求】 1．不等關系 通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系； 2不等式的性質(zhì) 了解不等式的性質(zhì)，并會用其證明不等式； 【教學重難點】 1、教學重點：掌握不等式性質(zhì)的三條公理，并運用公理進行比較大小。 2、教學難點：正確運用不等式的三條公理進行不等式變形。 【教學目標】 1、探索并掌握不等式的基本性質(zhì)； 2、會用不等式的基本性質(zhì)進行簡單化簡。 【教學方法】 通過觀察、分析、討論，引導學生歸納總結(jié)出不等式的三條公理，從具體上升到理論，再由理論指導具體的練習，從而加強學生對知識的理解和掌握?！久}走向】 不等式歷來是高考的重點內(nèi)容。對于本將來講，考察有關不等式性質(zhì)的基礎知識、基本方法，而且還考察邏輯推理能力、分析問題、解決問題的能力。本將內(nèi)容在復習時，要在思想方法上下功夫.預測高考命題趨勢： 1．從題型上來看，選擇題、填空題都有可能考察，把不等式的性質(zhì)與函數(shù)、三角結(jié)合起來綜合考察不等式的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性等，多以選擇題的形式出現(xiàn)，解答題以含參數(shù)的不等式的證明、求解為主；2．利用基本不等式解決像函數(shù)f(x)?x? 考察的重點和熱點，應加強訓練。a,(a?0)的單調(diào)性或解決有關最值問題是x 【教學過程】 一、創(chuàng)設情境 復習引入 （設計說明：設置以下習題是為了溫故而知新，為學習本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識準備．）問題： 1、什么是等式?等式的基本性質(zhì)是什么? 2、什么是不等式? 1．不等式的性質(zhì)比較兩實數(shù)大小的方法——求差比較法 公理： a?b?a?b?0； a?b?a?b?0； a?b?a?b?0。 性質(zhì)1：若a?b，則b?a；若b?a，則a?b．即a?b?b?a。 說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性。性質(zhì)2：若a?b，且b?c，則a?c。 說明：此定理證明的主要依據(jù)是實數(shù)運算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù)，定理2稱不等式的傳遞性。 性質(zhì)3：若a?b，則a?c?b?c。 說明：（1）不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向； （2）定理3的證明相當于比較a?c與b?c的大小，采用的是求差比較法； （3）定理3的逆命題也成立； （4）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊。 推論1：不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊。（移項法則） 推論2：若a?b,且c?d,則a?c?b?d。 說明：（1）推論2的證明連續(xù)兩次運用定理3然后由定理2證出；（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；（3）同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式.定理4．如果a?b且c?0，那么ac?bc；如果a?b且c?0，那么ac?bc。推論1：如果a?b?0且c?d?0，那么ac?bd。 證明：∵a?b?0,c?0,?ac?bc，又∵c?d?0,b?0,?bc?bd，∴由傳遞性，有ac?bd，得證。 說明：（1）不等式兩端乘以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘以同一個負數(shù)，不等號方向改變；（2）兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；（3）推論1可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。 nn推論2：如果a?b?0，那么a?b(n?N且n?1)。 推論3：如果a?b?0，那么a?b(n?N且n?1)?！镜淅馕觥?/p> 例1：應用不等式的性質(zhì)，證明下列不等式： （1）已知a>b，ab>0，求證：1/a>1/b； （2）已知a>b，c （3）已知a>b>0，0 證明： （1）因為ab>0，所以 1/ab>0又因為a>b，所以 a.1/ab>b.1/ab即1/b>1/a因此 1/a>1/b （2）因為a>b，c 例2.已知a>b，不等式:（1）a2>b2；（2）1/a>1/b ；（3）1/(a-b)>1/a 成立的個數(shù)是（） （A）0（B）1（C）2（D） 3答案：A 例3．設A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R，則A，B的大小關系是。 答案：A≥B 例4．（1）如果30 （2）若－3 答案：（1）18 （2）因為－4 例5．若-π/2 ≤a＜b≤π/2，求(a +b)/2 ,(a-b)/2的取值范圍。 -π/2＜(a +b)/2＜π/2,-π/2 ≤(a-b)/2＜0 練習1已知函數(shù)f(x)= a x2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范圍。 解：因為f(x)= a x2-c，所以f(1)= a-c,f(2)=4 a-c解得a=1/3[f(2)=-f(1)],c=1/3f(2)-4/3f（1） 所以f(3)=9a－c=8/3f(2)-5/3f(1) 因為-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,所以8/3≤8/3f(2)≤40/3,5/3≤-5/3f(1)≤20/3 練習2已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范圍。 解：設9a－b=m(a－b)+n(4a－b)=(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，m=-5/3,n=8/3 所以9a－b=-5/3(a－b)+8/3(4a－b) 由－4≤a－b≤－1，得 5/3≤-5/3(a-b)≤20/3 由－1≤4a－b≤5，得由－1≤4a－b≤5，得-8/3≤8/3(4a-b)≤40/3 以上兩式相加得－1≤9a－b≤20.五．【思維總結(jié)】 1．不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法。 （1）比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證； （2）綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野。 2．不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等。換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性。放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結(jié)論中考查。有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時，要依據(jù)題設、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點. 【教學重點與難點】 教學重點：掌握不等式的三條基本性質(zhì)，尤其是不等式的基本性質(zhì)3． 教學難點：正確應用不等式的三條基本性質(zhì)進行不等式變形． 【教學目標】 1、探索并掌握不等式的基本性質(zhì) 2、會用不等式的基本性質(zhì)進行化簡 【教學方法】 通過觀察、分析、討論，引導學生歸納總結(jié)出不等式的三條基本性質(zhì)，從具體上升到理論，再由理論指導具體的練習，從而強化學生對知識的理解與掌握． 【教學過程】 一、創(chuàng)設情境 復習引入 （設計說明：設置以下習題是為了溫故而知新，為學習本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識準備．） 問題： 1、什么是等式?等式的基本性質(zhì)是什么? 2、什么是不等式? 3、用“＞”或“＜”填空． （1）3<7（2）2<3（3）2<3 3＋1 7＋1 2×5 3×5 2×(-1)3×(-1) 3-5 7-5 2÷2 3÷2 2×(-5)3×(-5)3＋a 7＋a 2÷(-2)3÷(-2)（教學說明： 復習等式的基本性質(zhì)后學生自然會聯(lián)想到，不等式是否有與等式相類似的性質(zhì)，從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質(zhì)提供了載體，通過觀察，尋找規(guī)律，得出不等式的性質(zhì).） 二、師生互動，探索新知 1、不等式的基本性質(zhì) 問題1：觀察思考問題3，猜想出不等式的性質(zhì) 先讓學生獨立思考，后合作交流，通過充分討論，類比等式性質(zhì)得出不等式的性質(zhì).觀察時，引導學生注意不等號的方向，通過（1）題學生容易得出不等式性質(zhì)1： 不等式基本性質(zhì)1 不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變． 比較（2）、（3）題，注意觀察不等號方向，并思考不等號方向的改變與什么有關?由學生概括總結(jié)，教師補充完善得出： 不等式基本性質(zhì)2 不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變． 不等式基本性質(zhì)3 不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變． 問題2：將不等式－2＜6兩邊都加上7，－9，兩邊都乘3，－3試一試，進一步驗證上面得出的三條結(jié)論． 教師 強調(diào)指出：不等式的三條基本性質(zhì)實質(zhì)上是對不等式兩邊進行“＋”、“－”、“×”、“÷”四則運算，當進行“＋”、“－”法時，不等號方向不變；當乘（或除以）同一個正數(shù)時，不等號方向不變；只有當乘（或除以）同一個負數(shù)時，不等號的方向才改變． 問題3：嘗試用數(shù)學式子表示不等式的三條基本性質(zhì)． 學生思考出答案，教師訂正，最后得出：(1)如果a>b，那么a±c>b±c (2)如果a>b，c>0那么ac>bc(或 >) (3)如果a>b，c<0那么ac<) 問題4：不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)有哪些區(qū)別、聯(lián)系? 學生獨立思考、小組交流討論，師生歸納得出： 區(qū)別：等式兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不為0）時，結(jié)果仍相等；不等式兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不為0）時，會出現(xiàn)兩種情況，若是正數(shù)，不等號方向不改變，若是負數(shù)不等號方向要改變，而且不等式兩邊同乘以0，結(jié)果相等.聯(lián)系：不等式性質(zhì)和等式性質(zhì)都討論的是兩邊都加上或減去同一個數(shù)的情況和兩邊都乘以或除以同一個數(shù)（除數(shù)不為0）的情況，即研究“形式”一致.（教學說明：通過觀察具體數(shù)字運算的大小比較，聯(lián)系已學過的等式的性質(zhì)，讓學生歸納出不等式的三條基本性質(zhì)，并分別用式子的形式表示它們.用式子表示是個抽象概括的過程，只有理解了相關內(nèi)容才會概括表示它們.研究不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系可以幫助學生用類比的方法來記憶與學習.） 2、不等式性質(zhì)的應用 例1：利用不等式的性質(zhì)，把下列不等式化成“x>a” 或“x (1)x-7>26;(2)3x<2x＋1; (3)x>50;(4)-4x>3.解：（l）根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，不等式的兩邊都加上7，不等號的方向不變． 得 x-7＋7>26 ＋7.x>33 （2）根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，兩邊都減去2x，不等號的方向不變，得 3x-2x<2x＋1-2x x<1 （3）根據(jù)不等式基本性質(zhì)2，兩邊都乘以，不等號的方向不變，得 x>75 （4）根據(jù)不等式基本性質(zhì)3，兩邊都除以－4，不等號的方向改變，得 x<- (教學說明：這些不等式比較簡單，可以利用不等式的性質(zhì)直接求解，從而加深對這些性質(zhì)的認識.教師板書（1）題解題過程．（2）（3）（4）題由學生在練習本上完成，指定三個學生板演，然后師生共同判斷板演是否正確．解題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比，有助于加強知識之間的前后聯(lián)系，突出新知識的特點，并將原題與“x>a” 或“x 例2：三角形中任意兩邊之差與第三邊有什么大小關系? a b 師生共析:三角形的兩邊之和與第三邊有什么關系? c 三角形的任意兩邊之和大于第三邊，如圖，我們設三角形三邊長分別為a,b,c,那么用式子如何表示前面的結(jié)果? a ＋b>c, a＋c>b, b＋c>a 我們現(xiàn)在求的是兩邊之差與第三邊的關系，所以由不等式的性質(zhì)1將上式變形為： 由a ＋b>c得a>c-b, b>c-a.同理，由a＋c>b, b＋c>a可得c>b-a, b>a-c,c>a-b, a>b-c.這就是說，三角形中任意兩邊之差小于第三邊.(教學說明：此問題應用不等式的性質(zhì)由“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”得出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”這個與已有結(jié)論等價的新結(jié)論.“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”對應的是三個形式一樣的不等式，而不是一個不等式.由這三個不等式再推出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”.為了加深學生的感性認識，可以通過測量的方法驗證這個結(jié)論.) 三、鞏固訓練，熟練技能： 1、如果a>b，那么(1)a-3 b-3，(2)2a 2b (3)-3a-3b，(4)a-b 0 (5)（6）(6)-b_____-a.2、在下列各題橫線上填入不等號，并說明是根據(jù)不等式的哪一條基本性質(zhì)． （1）若a–3＜9，則a_____12；（2）若-a＜10，則a_____–10； （3）若 a＞–1，則a_____–4；（4）若-a＞0，則a_____0． 3、利用不等式的性質(zhì)解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集 （解未知數(shù)為x的不等式，就是要使不等式逐步化為“x＞a”或“x＜a”的形式） (1)x-1＜0；(2)x＞-x＋6； (3)3x＞7；(4)-x＜-3.(教學說明：這些練習進一步加深了學生對不等式性質(zhì)的理解，做此練習題時，應讓學生注意觀察它們是應用不等式的哪條性質(zhì)，是怎樣由已知變形得到的．注意應用不等式性質(zhì)3時，不等號要改變方向．做第3題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比，讓學生認識到應用不等式的性質(zhì)1變形，相當于移項.) 四、總結(jié)反思，情意發(fā)展 1、不等式的基本性質(zhì)是什么?如何用數(shù)學式子表示? 2、在本節(jié)課的學習中，你還有什么疑惑? （教學說明：在師生共同回顧本節(jié)課所學內(nèi)容的基礎上，教師指出：在利用不等式的基本性質(zhì)進行變形時，當不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個字母，字母代表什么數(shù)是問題的關鍵，這決定了是用不等式基本性質(zhì)2還是基本性質(zhì)3，也就是不等號是否要改變方向的問題.） 五、課堂小結(jié) 1．本節(jié)主要學習了不等式的三條基本性質(zhì)及應用性質(zhì)解簡單的不等式.2．主要用到的思想方法是類比思想.3．注意的問題: 當不等式兩邊同乘（或除以）同一個數(shù)時，一定要看清是正數(shù)還是負數(shù)，若是負數(shù)，要變兩個號，一個性質(zhì)符號，另一個是不等號，對于未給定范圍的字母，應分情況討論． 六、布置課后作業(yè)： 1、課本127頁練習 2、課本128習題9.1的5、6、7題 （教學說明：進一步鞏固本節(jié)課所學知識.） 七、拓展練習 1、指出下列各題中不等式變形的依據(jù): (1)由3a＞2,得(2)由-5a＞2,得(3)由4a＞3a＋ 1,得a＞1 (4)由a＞b，得(5)由a＞b，得2-a＜2-b 2、利用不等式的性質(zhì)解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集：(1)x＋2＞-1(2)5x≤7x-8(3)(4)6x≥-12 3、某長方體形狀的容器長5cm，寬3cm，高10cm。容器內(nèi)原有水的高度為3cm，現(xiàn)準備向它繼續(xù)注水。用V（單位：cm3）表示新注入水的體積，寫出V的取值范圍。 【評價與反思】及交流體會 通過具體的事例觀察并歸納出不等式的三條基本性質(zhì)，引導學生用數(shù)學式子表示三條基本性質(zhì)，同時注意將不等式的三條基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)進行比較，以加深學生的理解.在教學過程中，注重培養(yǎng)學生運用類比方法觀察、分析、解決問題的能力及歸納總結(jié)概括的能力．同時培養(yǎng)了學生積極主動的參與意識和勇敢嘗試、探索的精神．第二篇：不等式性質(zhì)練習題
第三篇：不等式的性質(zhì)
第四篇：不等式的性質(zhì)教案
第五篇：不等式的性質(zhì)教案
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