第一篇：貝努利不等式的證明與應用

貝努利（Bernouli）不等式的證明及應用

x?R且x>?1，n為整數(shù)；有?1?x??1?nx（P51）

證法1：（數(shù)學歸納法）

（1）當n?1時，等式顯然成立

2當n?2時，?1?x??1?2x?x?1+2x 2n

（2）假設n?k時，等式成立，（k?2）有?1?x?>1?kx

當n=k+1時，?1?x?k?1k??1?x??1?x?>?1?kx??1?x??1?x?kx?kx2>1??k?1?x k

?當n?k?1時不等式成立

綜上可知不等式成立

nnn?1n?2n?2n?1?x?xy?……?xy?y證法2：聯(lián)想到x?y??x?y????

??1?x??1n?x??1?x??

當x>0時，?1?x?>1 knn?1??1?x?n?2?……?1? ?

?x??1?x??

nn?1??1?x?n?2?……?1?>nx ?n??1?x??1>nx??1?x?>1?nx

當?1

?x??1?x??n?1??1?x?n?2n?……?1?>nx??1?x?>1?nx ?

nn??1?x?>0,??1?x?>1?nx成立 證法3：當1?nx?0時，??1?nx???n?1??n?1?……?10，則?1?nx?1 ?????????nn?1??

證法4：?1?x???1?x?

2kk?1n??1?x?k?1?x>x ?1?x???1?x?>x??32?1?x???1?x?>x???1?x?n??1?x?>?n?1?x??1?x?n>1?nx ???

nn?1?1?x???1?x?>x??……

證法5：只證1?nx

?1?x?n<1；設an?1?nx

?1?x?n

an?1?an?

1??n?1?x

?1?x?

n?1

?

1?nx

?1?x?

n

?

1??n?1?x??1?nx??1?x?

?1?x?

n?1

?

?nx2

?1?x?

n?1

<0

??an?為單減數(shù)列，故an

應用舉例

1． 已知i,m,n?N?且1

ii

（1）證明：niAm

（2）證明：?1?m?>?1?n? 證：（1）略

n

nn

?>1；?1?m?m>1?m?1?n（2）?1

nm

??1?m?>?1?n?

2．（07湖北21）已知m,n?N?

（1）用數(shù)學歸納法證明：當x>?1時，?1?x?>1+nx

n

nm

1?1m??1???

（2）對于n?6。已知?1?，求證：<1????

n?32n?3?????2?

nn

（3）求出滿足等式3?4?……??n?2???n?3?的所有正整數(shù)n

n

n

nnm

1?m?

證：（1）略（2）當n?6，m?n時；由（1）知?1??1?>0 ?

n?3n?3??

于是?1?

m

?

?m??1?

?1????

n?3??n?3?

n

n

nmn

nm

??1???1????1???

m

（3）由（2）知，當n?6時，1??2?n?1?1??1?1???1?

1??1??……?1?

2?n?3??n?3??n?3?2?2??2??2?

n23n

?n?2??n?1??3?

????……??????<1 ?n?3??n?3??n?3?

nn

即3?4?……??n?2?

n

n

nnn

討論n?1,2,3,4,5的情況，經(jīng)檢驗，可求n只有n?2,3

推論

x?nx?

n

1）x?R，x>?1且x?0???1?1?x?

?

>1?1?x 2）x?R，?>1或?<0有?1?x??

>1??x,?x>?1?x?R，0

?1??x,?x>?1? 3）n?N?,n>1,t>0；則有tn?1?n?t?1?

4）設a,?>0,n?N?,n>1，則an?n?n?1?a??n?1??n當且僅當a??時取到“=”n

證：an??n???a???????n???1?n??a???1?????

??n?n?1a??n?1??n

x

3.（07四川理22）設函數(shù)f?x????1?

?1?n??,?n?N,x?R,n>1?

n

（1）當n=6時，求??1?

?1?x??的展開式中二項式系數(shù)最大的項

（2）?x?R，證明

f?2x??f?2?2

>f'

?x?

n

（3）是否存在a?N,使得a?n

k

?

1??

k?1k?若存在，試證明你的結(jié)論，并求出a的值；若不存在，請說明理由？

解：給（3）一個全新的證法

m2m

?m?N且m>1,???1?1?m???1?1?C2?1?m?1?m??m???……?Cm??m??

>2

?1?

1m?1?1?1

m,?有貝努利不等式an?n?n?1a??n?1??n m?1

mm?1

m

可得??1?>?m?1???1??1??1?

?1?m?1?

??1?m????1?m?1???m??1?m?

?

???1?

?1?m??

?????????1?1?m?m????是單調(diào)增函數(shù)。從而?

??

??1?1?m?1?6m

m??

?6m?m

??6m?5m?1?6m?1??>1?m??6m?1?1???6m?1，??tn

>1?n?t?1???

1?6m?161????6?

即?1?；兩邊6次方<

1???1??1???1??<3；?對k?2,3,……，m有2

k

m6m6

?m??k??1?n

k

從而有2n

k?1??

1?k??<3n成立

綜上存在a=2使得不等式恒成立。

?m?1

?1?m1?1??1?m?

?1?1??m???m?1

（后加：??1?m??????1?m??……??1???1

????

??????????m?

??m?1??1?1?m+1??

m????）

第二篇：應用導數(shù)證明不等式

應用導數(shù)證明不等式

常澤武指導教師：任天勝

（河西學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數(shù)學和高等代數(shù)中有廣泛的應用，證明方法很多，本文以函數(shù)的觀點來認識不等式，以導數(shù)為工具來證明不等式。

關鍵字： 導數(shù) 不等式最值中值定理單調(diào)性泰勒公式

中圖分類號： O13

Application derivative to testify inequality

ChangZeWu teachers: RenTianSheng

(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula

1.利用微分中值定理來證明不等式

在數(shù)學分析中，我們學到了拉格朗日中值定理，其內(nèi)容為：

定理1.如果函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?上可導，則至少存在一點???a,b?，使得f'(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數(shù)的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據(jù)以下兩種方法來證明。

（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數(shù)和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最大值和最小值。

（2）我們可根據(jù)其兩種等價表述方式

①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1

我們可以?的范圍來證明不等式。f(b)?f(a)。b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x)x

第二步選取合適的函數(shù)和范圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x)(1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln(x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?

當h>0時有

1??h?1?1?h,當?1?h?0時有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

我們在初等數(shù)學當中學習不等式的證明時用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據(jù)函數(shù)的導數(shù)的思想來判斷大小。

定理：設函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?可導，那么

（1）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞增。

（2）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞減。

使用定理：要證明區(qū)間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令F(x)?f(?x)。g使在(x)?a,b?上F'(x)>0（F'(x)<0）且F(a)=0或（F(b)=0）例2.1 設x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令F(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然F(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0）F'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現(xiàn)在來證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當x?0時f'(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上遞增

故對x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以F'(x)?0故F(x)遞增

又因為F(0)?0

所以F(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數(shù)的最大值和最小值證明不等式

當?shù)仁街泻小?”號時，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價于函數(shù)G(x)?g(x)?f(x)有最小值或F(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數(shù)，通過導數(shù)求出極值并判斷時極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構造函數(shù)f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?0,1?上連續(xù)，因而在閉區(qū)間?0,1?上有最小值和最大值。

由于函數(shù)f(x)內(nèi)只有一個駐點，沒有不可導點，又函數(shù)f(x)在駐點x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區(qū)間端點(x?0和x?1)的函數(shù)值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。，既有p?1p?122

4．利用函數(shù)的泰勒展式證明不等式

若函數(shù)f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導數(shù)，又在x0處有n階導數(shù)f(n)(x0)，則有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?Rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止?/p>

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?Rn(x)1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)?0(或?0)則可得

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)，1!2!n!

f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)?；騠(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日余項的泰勒公式的實質(zhì)是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個定量估計式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復雜的極限計算中有廣泛的應用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數(shù)用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數(shù)f(x)滿足：（1）在區(qū)間?a,b?上有二階導函數(shù)f''(x)，（2）

f'(a)?f'(b)?0，則在區(qū)間?a,b?內(nèi)至少存在一點c，使

f''(c)?4f(b)?f(a)。2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f'(a)?f'(b)?0，得f(x)?f(a)?f''(?)(x?a)2

2!f''(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f''(?)?f''(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f''(?)?f(?)?,(b?a)224

當f''(?)?f''(?)時，記c??否則記c=?,那么

f''(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻

《數(shù)學分析》上冊，高等教育出版社，1990.?1?鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，?2?趙煥光，林長勝編《數(shù)學分析》上冊，四川大學出版社，2006。?3?歐陽光中，姚允龍，周淵編《數(shù)學分析》上冊，復旦大學出版社，2004.?4?華東師范大學數(shù)學系編《數(shù)學分析》上冊，第三版，高等教育出版社2001.

第三篇：不等式3(基本不等式應用與證明)

學習要求大成培訓教案（不等式3基本不等式證明與應用）基本不等式

1.理解算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定義及它們的關系.2.探究并了解基本不等式的證明過程, 會用多種方法證明基本不等式.3.理解基本不等式的意義, 并掌握基本不等式中取等號的條件是: 當且僅當這兩個數(shù)相等.１． 算術平均數(shù)：幾何平均數(shù)

２． 設a≥0,b≥0則a+

b

2【精典范例】

例1．.設a、b為正數(shù),求證明：

a+b3

2點評：１．不等式證明的方法：(1)作差比較法(2)分析法(3)綜合法

２．本題對a≥0,b≥０時仍成立，且題中等號當且僅當a=b時成立．

３．把不等式a+b32(a≥0,b≥0)稱為基本不等式

4.由本題可知，兩正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，當兩數(shù)相等時兩者相等

5.基本不等式的幾何解釋：半徑不小于半弦．

例2.利用基本不等式證明下列不等式：

(1)已知a>0,求證 a+

(3).已知x , y , z是互不相等的正數(shù), 且x+y+z=1 , 求證:(132(2).已知a, b, c∈R , 求證: a2+b2+c2≥ab+bc+ac.a111-1)(-1)(-1)>8 xyz

點評：1..基本不等式的變形公式：

2.學會多次運用和創(chuàng)造條件運用基本不等式證題，尤其是不等式兩邊均為三項，可將一邊變成六項，分成三組．對每一組用基本不等式．３．注意嚴格不等式的證明方法．

思維點拔：

1.上面兩例在于：(1)揭示基本不等式的內(nèi)容與證法．(2)舉例說明利用基本不等式證題的方法技巧，以讓學生初步領會不等式證明的基本方法．

２．基本不等式的推廣：n個(n>1)非負數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù)．即若ai≥0(i=1,2,?,n),則

追蹤訓練

１．設Ｐ為正數(shù)，求下列各組數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)．（１）２與８（２）３與１２（３）Ｐ與９Ｐ（４）２與２

２．已知a>1求證a+

３． 已知a , b , c不全相等的三個正數(shù), 且abc=1 , 求證:

第2課時

p2

1≥3３．已知a+b+c=1,求證a2+b2+c2≥

3a-1

???a??． abc

學習要求

1.理解最值定理的使用條件：一正二定三相等． 2.運用基本不等式求解函數(shù)最值問題．

１． 最值定理：若x、y都是正數(shù)，(1)如果積xy是定值P , 那么當且僅當x=y時, 和x+y有最小值．.(2)如果和x+y是定值S , 那么當且僅當x=y時, 積xy有最大值．

２．最值定理中隱含三個條件：． 【精典范例】

例1．(1).已知函數(shù)y=x+

51(x>－2), 求此函數(shù)的最小值.(2)已知x<, 求y=4x－1+的最大值;x+244x-5

(3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy的最大值;(4)已知x , y∈R+ 且x+2y=1 , 求

+的最小值.xy

例2.（１）求

2(x∈R)的最小值..（２）已知x , y∈R+ 且x+４y=1，求

11+ xy的最小值．

思維點拔：

１．利用基本不等式求最值問題時，一定要交代等號何時成立，只有等號成立了，才能求最值，否則要用其它方法了．而在證明不等式時，不必要交代等號何時成立．

２．例2是常見典型錯誤，它違背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后兩條。

追蹤訓練一

1.2.3.已知x>1 ,0

【選修延伸】

利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值.例3:求函數(shù)

9求函數(shù)y=4x+

2x

1+x2的最小值；已知x<0 , 求y=

x的最大值；

已知x , y∈R, 且+

xy

+

-x2+

3=1 , 求x+y的最小值;已知x>-2 , 求y=的最大值；

x+2

y?x?

(x?4)的最小值.x?2

思維點拔：

利用基本不等式求解時,等號不能成立,故改用函數(shù)單調(diào)性求解.追蹤訓練二

求函數(shù)

第3課時

y?

?sin2x的最小值.2

sinx

學習要求 1.初步學會不等式證明的三種常用方法：比較法，綜合法，分析法。

2.了解不等式證明的另三種方法：反證法，換元法，放縮法.【精典范例】

例１．（１）已知a,b?R+,且a1b，求證：a3+b3>a2b+ab2

（2）已知

a<1,b<1，求證：

a+b

<1

1+ab

追蹤訓練一

１． 已知a,b,m?

R+,且a

a+ma

>．

b+mb

２．已知a,b,c?R,且a+b+c=1，求證：ab+bc+ca3

例２.（１）已知a,b,c?(0,1),求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于

1．4（２）已知a

+b2=1,x2+y2=1，求證：ax+by 1

（３）求證：

a+b1+a+b

?

a1+a

b1+b

追蹤訓練二

1．求證：1+

111++?+<2 22223n

學習要求

1． 會用基本不等式解決簡單的最大（小）值的實際問題。2.通過對實際問題的研究，體會數(shù)學建模的思想。3．開拓視野，認識數(shù)學的科學價值和人文價值． 【精典范例】

例１．用長為4a的鐵絲圍成一個矩形, 怎樣才能使所圍矩形的面積最大.(用基本不等式求解)．

例２．某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池, 其容積為4800m3, 深度為3m , 如果池底每1m2的造價為150元, 池壁每1m2的造價為120元, 怎樣設計水池能使總造價最低? 最低總造價為多少元?

例３．某商場預計全年分批購入每臺價值為2000元的電視機共3600臺, 每批都購入x臺(x為正整數(shù)), 且每批需付運費400元, 儲存購入的電視機全年所付保管費用與每批購入電視機的總價值(不含運費)成正比, 若每批購入400臺, 則全年需用去運費和保管費43600元, 現(xiàn)在全年只有24000元資金可用于支付這筆費用, 能否恰好當?shù)匕才琶颗M貨的數(shù)量, 使資金夠用, 寫出你的結(jié)論, 并說明理由.選修延伸：

先建目標函數(shù)，再用基本不等式求最值，這是一種很常見題型，加以理解和掌握．

追蹤訓練

１．建造一個容積為8m3, 深為2m的長方體無蓋水池, 如果池底的造價為每平方米120元, 池壁的造價為每平方米80元, 求這個水池的最低造價.２．巨幅壁畫畫面與地面垂直, 且最高點離地面14米, 最低點離地面2米, 若從離地面1.5米處觀賞此畫, 問離墻多遠時, 視角最大?

1．進一步會用基本不等式解決簡單的最大（小）值的實際問題。2.通過對實際問題的研究，進一步體會數(shù)學建模的思想。.設x>0時, y=3－3x－的最大值為______________x

【精典范例】

例１．過點(1 , 2)的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點, 當△AOB的面積最小時, 求直線l的方程

例２．如圖(見書P93), 一份印刷品的排版面積(矩形)為A , 它的兩邊都留有寬為a的空白, 頂部和底部都留有寬為b的空白, 如何選擇紙張的尺寸, 才能使紙的用量最小?

練習1過第一象限內(nèi)點P(a , b)的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點, 當直線l的方程.2汽車行駛中, 由于慣性作用, 剎車后還要向前滑行一段距離才能停住, 我們把這段距離叫做“剎車距離”, 在某公路上, “剎車距離”S(米)與汽車車速v(米/秒)之間有經(jīng)驗公式: S=

PAPB

取最小值時, 求

325

v+v, 為保證安全行駛, 要求在這條公路上行駛著的兩車之408

間保持的“安全距離”為“剎車距離”再加25米, 現(xiàn)假設行駛在這條公路上的汽車在平均車身長5米, 每輛車均以相同的速度v行駛, 并且每兩輛之間的間隔均是“安全距離”.(1)試寫出經(jīng)過觀測點A的每輛車之間的時間間隔T與速度v函數(shù)關系式;(2)問v為多少時, 經(jīng)過觀測點A的車流量(即單位時間通過的汽車數(shù)量)最大?

第四篇：積分不等式的證明及應用

衡陽師范學院

畢業(yè)論文（設計）

題 目：積分不等式的證明及應用

所 在 系： 數(shù)學與計算科學系

專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學

學 號： 08090233 作者姓名： 盛軍宇 指導教師： 肖娟

2012年 4 月 27 日

積分不等式的證明及應用

數(shù)學與計算科學系 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 學號:08090233 姓名:盛軍宇 指導老師:肖娟

摘要

本文主要研究了如何利用積分中值定理、輔助函數(shù)、以及一些特殊積分不等式等方法證明積分不等式,并通過若干實例總結(jié)有關積分不等式的證明方法及規(guī)律,討論了一些特殊積分不等式的應用.關鍵詞 積分不等式；中值定理；函數(shù)

0.引言

積分不等式是微積分學中的一類重要不等式,在數(shù)學分析中有著廣泛的應用,且在考研試卷中會經(jīng)常出現(xiàn).對積分不等式證明方法的介紹,不僅解決了一些積分不等式的證明,而且可以把初等數(shù)學的知識與高等數(shù)學的知識結(jié)合起來,拓寬我們的視野,提高我們的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力.目前國內(nèi)外對該課題的研究比較普遍,主要研究了如何利用微積分相關知識來解決一些比較復雜的積分不等式的證明.積分不等式的常用證法有: 定積分的定義、定積分的性質(zhì)、泰勒公式、分部積分法、線性變換等.本文主要從以下幾個方面討論和歸納了一系列積分不等式的證明方法:利用積分中值定理來證積分不等式、利用Schwarz不等式來證積分不等式、利用微分中值定理來證積分不等式、利用積分中值定理來證積分不等式、利用二重積分來證積分不等式等.1.積分不等式的證明方法

1.1 利用積分第一中值定理證明積分不等式

積分第一中值定理(定理1)若f?x?在?a,b?上連續(xù), 則至少存在一點???a,b?，使得?f?x?dx?f????b?a?.ab積分第一中值定理在證明積分不等式中有著舉足輕重的作用.例1 設f?x?在?0,1?上可微,而且對于任意x??0,1?,有|f??x?|?M, 求證:對任意正整數(shù)n有

?10f?x?dx?1n?n1ni?1M?i?f???n?n?n,其中M是一個與x無關的常數(shù).分析 由于目標式中一個式子為

?i?11?i?f??,另一個式子為?f?x?dx0?n?,故把?f?x?dx按

01區(qū)間可加性寫成一些定積分的和,并應用積分第一中值定理加以證明.證 由定積分的性質(zhì)及積分中值定理,有

?10f?x?dx?nini?1n??i?1f?x?dx?n?i?1f??i?1,?,i?1,2,??,n.,?i??n?n?n?i?1i?又因為f?x?在?0,1?上可微,所以由微分中值定理可知,存在?i????i,?,使得, n???i??i?f???f??i??f??i????i?,i?1,2,??,n.?n??n??i?

因此?10f?x?dx?1n?ni?11?i?f???n?n?n?i?1f??i??1n?ni?1?i?f???n?

?1n1n1n1nn?i?1n??i????f?f???i????n???i?f???f??i??n??i?f???i????i??n?M1n?Mn?

???i?1n.?i?1n?i?1在抽象函數(shù)f?x?的積分不等式中,若出現(xiàn)和號?、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等,一般可以利用定積分的定義或區(qū)間可加性,將區(qū)間?a,b?n等分,點?i也可采用特殊的取法.1.2 利用拉格朗日中值定理證明積分不等式

拉格朗日中值定理(定理2)若函數(shù)f滿足如下條件:

?i?f在?a,b?上連續(xù)；?ii?f在?a,b?內(nèi)可導, 則在?a,b?內(nèi)至少存在一點?,使得

f?????f?b??f?a?b?a.利用拉格朗日中值定理的關鍵是根據(jù)題意選取適當?shù)暮瘮?shù)f(x)和區(qū)間?a,b?,使它們滿足拉格朗日定理條件,然后運用拉格朗日公式或等價形式來運算得出所要的結(jié)論.例2 設f??x?在?a,b?上連續(xù).證明:若f?a??f?b??0,則

?f?x?dxab??b?a?24M,M?Maxf??x?.x??a,b?分析 由條件f?a??f?b??0,及f??x?與f?x?,故想到利用拉格朗日中值定理.證 由拉格朗日中值定理得: 對任意的x??a,??a?b?, ?2?f?x??f?x??f?a??f??1??x?a?,a??1?x.,b?, 對任意的x??2???a?b?f?x??f?x??f?b??f??2??x?b?,x??2?b.?a?b??a?b??????f?x??M?x?a?,x??a，fx?Mb?x,x?,b???22????，故

?f?x?dxaba?b????2af?x?dx???ba?b2f?x?dx

a?b?2af?x?dx?ba?b2f?x?dx

a?b?2aM?x?a?dx??ba?b2M?b?x?dx??b?a?24M.注意到M是f??x?在?a,b?上的最大值,所以解題的關鍵是如何使f?x?與f??x?聯(lián)系起來,因而不難想到拉格朗日中值定理來證明.1.3 構造變上限函數(shù)證明積分不等式

作輔助函數(shù),將結(jié)論的積分上限或下限換成x,式中相同的字母也換成x,移項,使

得不等式的一端為零,則另一端為所作的輔助函數(shù),這種方法在證明一些特定類型積分不等式時有重要作用.1例3 設函數(shù)f?x?在?0,1?上連續(xù),證明不等式??f?x?dx?????0?2?10f2?x?dx.x?分析 此例若令F?x???f?t?dt?????0?2?x0f2?t?dt,則F??x?的正負不易判斷,需進一步的改進.證 由待證的積分不等式構造變上限定積分的輔助函數(shù),令

xxF?x????f?t?dt??x?f??0?0?22?t?dt顯然,F?0??0,且F?x?可導,有

f2F??x??2f?x?x?f?t?dt??02xx0?t?dt?xf2?t?

????f?x??f?t??dt?0，0則F?x?在x?0時單調(diào)減小,即有F?x??F?0??0,x?0，1特別地,F?1??0,即證得不等式??f?x?dx?????0?2?10f2?x?dx.例4 設函數(shù)f?x?在?0,1?上可微,且當x??0,1?時,0?f??x??1,f?0??0, 1試證 ??f?x?dx?????0?2?10f3?x?dx.2131?證 問題在于證明?f?x?dx?????0??0f?x?dx?0, x令F?x????f?t?dt?????0?2?x0fx3?t?dt,因為F?0??0, F??x??2f?x??f?t?dt0?f3?x??f?x?2??x0f?t?dt?f2?x?，x0?已知f?0??0,0?f??x??1,故當x??0,1?時,f?x??0, 記g?x??2?f?t?dt?f2?x?, 則g?0??0,g??x??2f?x??2f?x?f??x?=2f?x??1?f??x???0,x??0,1?, 于是g?x??2?f?t?dt?f2?x??g?0??0,x??0,1?,故F??x??0,x??0,1?, 0x4

1?所以F?1??F?0??0,即?f?x?dx?????0?2?10f3?x?dx.通過上述兩例,我們知道了構造變上限函數(shù)證明積分不等式,遇到特殊情況,不能按常規(guī)直接作輔助函數(shù)需要稍微變化一下,有時甚至要在一個題中構造兩個輔助函數(shù),以便判斷所作函數(shù)的單調(diào)性.1.4 利用二重積分證明積分不等式

在積分不等式的證明中利用定積分與積分變量形式無關的這一性質(zhì),將定積分的平方項或者定積分之間的乘積轉(zhuǎn)化為積分變量形式不同的定積分之積,把定積分化為二重積分,可以達到有效的作用.例5 若函數(shù)f?x?,p?x?,g?x?在?a,b?上連續(xù),p?x?是正值函數(shù),f?x?,g?x?是單調(diào)增加函數(shù),則?p?x?f?x?dx?p?x?g?x?dx?aabb?p?x?dx?p?x?f?x?g?x?dx.該不等式稱為切貝謝

aabb夫不等式.分析 只要證???bap?x?dx?p?x?f?x?g?x?dx?abb?bap?x?f?x?dx?p?x?g?x?dx?0

abb即可,而上述式子又可視為累次積分,從而化為二重積分.證 因定積分的值與積分變量無關,故?p?x?dx??p?y?dy，aa?p?x?g?x?dx??p?y?g?y?dy.aabb?????bap?y?dy?p?x?f?x?g?x?dx?ab?bap?x?f?x?dx?p?y?g?y?dy

ab???p?y?p?x?f?x?g?x??p?x?p?y?f?x?g?y??dxdyD

??p?x?p?y?f?x??g?x??g?y??dxdyD ?1?

其中,積分區(qū)域D?a?x?b;a?y?b?.因為定積分與積分變量的形式無關, 所以交換x與y的位置,得到

????p?y?p?x?f?y??g?y??g?x??dxdyD ?2?

將?1?式與?2?式相加,得??12??p?x?p?y??f?x??f?y???g?x??g?y??dxdy,由已知，D可知p?x?是正值函數(shù),f?x?,g?x?是單調(diào)增加函數(shù),從而?f?x??f?y??與?g?x??g?y??同號，于是在D上p?x?p?y??f?x??f?y???g?x??g?y???0,從而,??0.即?p?x?f?x?dx?p?x?g?x?dx?aabb?p?x?dx?p?x?f?x?g?x?dx.aa101bb例6 若函數(shù)f?x?在?0,1??上不恒為零且連續(xù)增加,則

?ff3?x?dx?x?dx???101xfxf3?x?dx?x?dx.2200證 由于在?0,1?上,結(jié)論式中的分母均為正值,所以結(jié)論等價于

???10f2?x?dx??10xff23?x?dx10?xf?10f3?x?dx?10xf2?x?dx?0, 而 ?? ? ??10fff2?x?dx?210xf3?x?dx??130?x?dx?2?x?dx

??D?x?yf3?y?dxdy??Df?x?xf3?y?dxdy

??D2?x?f3?y??y?x?dxdy ?3?

其中,積分區(qū)域D?0?x?1;0?y?1?因定積分的值與積分變量的形式無關,故又有

????Df2?y?f3?x??x?y?dxdy ?4?

22將?3?式與?4?式相加,得??1???x?y?f?y?f?x??f?x??f?y??dxdy, 2D由已知,函數(shù)f?x?在?0,1?上連續(xù)增加,從而對任意的x,y??0,1?,有

?x?y?f?y?f?x??f?x??f?y???0,故22??101ff3?x?dx?x?dx???101xfxf3?x?dx?x?dx.2200從以上的積分不等式證明中,可知把定積分化為重積分能巧妙地解決一些積分不等式的證明問題.1.5 借助于判別式來證明積分不等式

引入適當?shù)膮?shù),構造合適的函數(shù),討論參數(shù)的判別式,以便證明所求證的積分不等式.例7 設f?x??0,且在?a,b?上連續(xù),試證?f?x?dx?abbdxf?x?a??b?a?.2分析 可構造多項式,利用多項式的性質(zhì)來證明積分不等式.證 由題設對任意的?,考察函數(shù)f?x????,因為?f?x???f?x??????0,有 f?x???2?ba2bdxb???2??,即fx?2??dx?0??2?dx?????aaf?x??f?x???f?x?dxab?0, 不等式的左端可以看成?的二次三項式,且對任意的?上述不等式均成立, 故判別式???2?abdx??4?a2bdxf?x??baf?x?dx?0,即?f?x?dx?abbdxf?x?a??b?a?.2用判別式解題的關鍵是要有一個函數(shù)值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程g?x?,而g2?x??0,于是我們構造?g2?x?dx?0這樣一個方程,ab再結(jié)合這種情況下的判別式也是一個不等式,便可證明此題.1.6 利用對稱性證明積分不等式

命題1 當積分區(qū)域關于直線y?x對稱時,被積函數(shù)的兩個變量交換位置后,二重積分的值不變.這一條規(guī)律有助于解決一些特定類型的積分不等式的證明.例8 函數(shù)f?x?在?a,b?上取正值且f?x?在?a,b?上連續(xù)試證:

??f?y?hf?x?dxdy??b?a?,h??a,b;a,b?.2證 因為h??a,b;a,b?關于直線y?x對稱,從而I?f?x???f?y?hf?x?dxdy???f?x?dxdyhf?y?, 所以I???f?y?hdxdy?12??h?f?x?f?y?????dxdy?f?x???f?y???1dxdy??b?a?h2.由上例可知,在積分不等式的證明過程中,我們可以應用基本不等式,它可能起到重要作用.1.7 利用積分第二中值定理的推論證明積分不等式

積分第二中值定理的推論:設函數(shù)f在?a,b?上可積.若g為單調(diào)函數(shù),則存在???a,b?,使得?f?x?g?x?dx?g?a??f?x?dx?g?b??f?x?dx.aab?b?應用這個推論可以較容易地解決某些恒等式與某些不等式的證明.ba?b?b例9 設函數(shù)f?x?在?a,b?上單調(diào)遞增連續(xù),則?xf?x?dx?????f?x?dx.a?2?a證 假設函數(shù)g?x??x?a?b2,顯然g?x?在?a,b?上可積,又函數(shù)f?x?在?a,b?上遞增連續(xù),根據(jù)積分第二中值定理的推論知存在???a,b?,使得

?f?x?g?x?dxabab?f?a??g?x?dx?f?b??g?x?dx ???

a?b?且???式又可變?yōu)?f?x?g?x?dx??f?a????g?x??dx?f?b??g?x?dx.由定積分的幾何意義

a?b?知?g?x?dx??b???g?x??dx,?aba???a,b?,同時,f?a??f?b?,于是，b?f?x?g?x?dx??f?b??f?a????g?x?dx即??x?a?b?0, ?ba?b??a?b?b,故????fxdx?0xfxdx?????f?x?dx?a2??2?a.2.一些特殊積分不等式的應用

2.1 Chebyshew不等式及其應用

Chebyshew不等式 設f?x?,g?x?同為單調(diào)遞減或當調(diào)遞增函數(shù),則有

?baf?x?dx??g?x?dx??b?a??f?x?g?x?dx.aabb若f?x?,g?x?中一個是增函數(shù),另一個為減函數(shù),則不等式變?yōu)?/p>

?Chebyshewbaf?x?dx??g?x?dx??b?a??f?x?g?x?dx.aabb不等式有廣泛應用,特別在證明一類積分不等式中發(fā)揮重要作用.例10 設g?x?是??1,1?上的下凸函數(shù),f?x?為??1,1?上的偶函數(shù)且在?0,1?上遞增,則, ??1f?x?dx??1g?x?dx11?2?f?x?g?x?dx.?11分析 從所證的不等式看,它有點類似于Chebyshew不等式,如果能夠構造出一個單調(diào)函數(shù)滿足Chebyshew不等式的條件,問題就容易解決了,為此構造輔助函數(shù),令??x??g?x??g??x?.證 令??x??g?x??g??x?,顯然??x?也為??1,1?上的偶函數(shù),由于g?x?是??1,1?上的下凸函數(shù),故當0?x1?x2?1,g??x1??g??x2??x1???x2??g?x1??g?x2?x1?x2, 即g??x1??g??x2??g?x2??g?x1?,即??x1????x2?,所以f?x?,??x?在?0,1?上為增函數(shù), 由Chebyshew不等式知, 1?10f?x?dx???x?dx?011?10?1?f?x???x?dx????2?12?1?1f?x?dx???x?dx??1112?1?1f?x???x?dx, 可得?f?x?dx?g?x?dx?2?f?x?g?x?dx.?1?1?12.2 利用Schwarz不等式證明積分不等式

Schwarz不等式 若f?x?,g?x?在?a,b?上可積,則

??Schwarzbaf?x?g?x?dx?2??baf2?x?g2?x?dx.不等式是一個形式簡單,使用方便的積分不等式,在證明某些含有乘積及

b平方項的積分不等式時頗為有效.例11 已知f?x??0,在?a,b?上連續(xù),?f?x?dx?1, k為任意實數(shù),求證:

a ??abf?x?coskxdx????abf?x?sinkxdx??1 ?5?

22證 ?5?式左端第一項應用Schwarz不等式得

??baf?x?coskxdx?2??a?bf?x??f?x?coskxdxb2?? ?同理??af?x?sinkxdx??b2?f?x?dx??f?x?cosaabkxdx??f?x?cosab2kxdx?6?

?baf?x?sin2kxdx ?7?

?6???7?即得?5?式.此題證明的關鍵在將f?x?寫成2.3 Jensen不等式

f?x??f?x?的形式,以便應用Schwarz不等式.定理3 設f?x?在?a,b?上連續(xù),且m?f?x??M,又??t?是?m,M?上的連續(xù)凸函數(shù)（指下凸函數(shù)）,則有積分不等式

?????b?a1ba1?f?x?dx???b?a???f?x??dx ?8?

ab注 若??t?是?m,M?上的連續(xù)凹函數(shù),則?8?式中的不等式號反向.定理4 設f?x?,p?x?在?a,b?上連續(xù),且m?f?x??M,p?x??0?a?x?b?,??t?是

???m,M?上的連續(xù)凸函數(shù),則有?????bap?x?f?x?dx????b?ap?x?dx???p?x???f?x??dx ?9?

?p?x?dxabab注 當??t?是?m,M?上的連續(xù)凹函數(shù)時,?9?式中的不等號反向.例12 設f?x?在?a,b?上連續(xù),且f?x??0,則對任意的自然數(shù)n,有

?1nln??b?a?ba1?f?x?dx???b?a1t2?banlnf?x?dx.證 令??t??nlnt,那么???t??n,????t???nt1?0,故??t?為凹函數(shù), 顯然f?x?在??t?的定義域內(nèi)有意義,故由定理3知,結(jié)論成立.例13 設f?x?,p?x?是?a,b?上的正值連續(xù)函數(shù),則對任意的自然數(shù)n,有

?banp?x?lnf?x?dx?p?x?dxab???nln????bap?x?f?x?dx???b?ap?x?dx??.證 令??t??nlnt由上例知??t?為凹函數(shù),故由定理4知結(jié)論成立.2.4 Young不等式的應用

Young不等式 設f?x?是單調(diào)遞增的,連續(xù)于?0,a?上,f?0??0,a,b?0,f?1?x?表示f?x?的反函數(shù),則ab?Young?a0f?x?dx??b0f?1?y?dy,其中等號成立當且僅當f?a??b.不等式是一個非常重要的不等式,靈活巧妙地應用它,可以使一些較為困難的問題迎刃而解.例14 證明:a,b?1時,不等式ab?ea?1?blnb成立.證 設f?x??ex?1,則f?x?單調(diào)并連續(xù),f等式有，a?1b?1?1?y??ln?1?y?,因為a,b?1,由Young不?a?1??b?1???0故ab?ea?1?blnb.2.5 Steffensen不等式

Steffensenf?x?dx??0f?1?y?dy?ea?1?blnb?a?b?1, 不等式 設在區(qū)間?a,b?上,g1?x? ,g2?x?連續(xù),f?x?一階可導,任給

xax??a,b?,成立不等式?g1?t?dt??xag2?t?dt,且?g1?x?dx?ab?bag2?x?dx.若f?x?在?a,b?上單調(diào)遞減,則?f?x?g1?x?dx?ab?f?x?g?x?dx;若f?x?在上單調(diào)遞增上述不等式變號.a2b?例15 證明?20sinx1?x2?dx??20cosx1?x2dx.證 對任意的????x??0,??2??2,因為?cosx?1?sinx,所以有?sintdt?0x?x0costdt;此外,顯然有?2sinxdx?0?0cosxdx?1且函數(shù)

在?0,?上單調(diào)遞減,從而根據(jù)Steffensen不21?x?2?1????等式,知?20sinx1?x2?dx??20cosx1?x2dx.結(jié)論

總之,以上討論的積分不等式的主要證明方法都離不開積分的性質(zhì),主要是通過函數(shù)的可微性和函數(shù)的可積性,利用二重積分、拉格朗日中值定理和積分中值定理來證積分不等式；以及巧妙的利用Schwarz不等式和Jensen不等式等,在實際應用中需要結(jié)合各方面靈活使用題中條件或不等式,才會使問題得以正確解決.參考文獻

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Mathematics and Application Mathematics specialty Number:08090233

Name:ShengJunyu

Instructor:XiaoJuan

Abstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、some special integral inequality and other methods to prove integral inequality, and summarized some examples about proof methods and rules of integral inequality, and discussed the application of some special integral inequality.Key word: integral inequality;theorem of mean;function

第五篇：Cauchy-Schwarz不等式的證明和應用

Cauchy-Schwarz不等式的證明和應用

摘要:Cauchy-Schwarz不等式有多種證明方法而且應用廣泛.本文歸納了幾種Cauchy-Schwarz不等式的典型證明方法,并探討了Cauchy-Schwarz不等式的應用.關鍵詞:Cauchy-Schwarz不等式;向量空間;內(nèi)積

一、Cauchy-Schwarz不等式的幾種證明方法

1.第一種證明方法

定理1對任意的向量α,β有|(α,β)|≤|α||β|.當且僅當α,β線性相關時,等號才成立.證明當β=0時,不等式成立.設β≠0.令t是一個實變數(shù),作向量γ=α+tβ.不論t取何值,一定有

(γ,γ)=(α+tβ,α+tβ)≥0.即

(α,α)+2(α,β)t+(β,β)t2≥0(1)

取

t=.代入(1)式,得

(α,α)-≥0，即

(α,β)2≤(α,α)(β,β).兩邊開方便得

|(α,β)|≤|α||β|.當α,β線性相關時,等號顯然成立.反過來,如果等號成立,由以上證明過程可以看出,或者β=0,或者

α-β=0，也就是說α,β線性相關.2.第二種證明方法

引理:設V是歐氏空間,ξ,η是V的單位向量,那么，|(ξ,η)|≤1.證明ξ,η既是單位向量,則有(ξ,ξ)=1,(η,η)=1,而|ξ,η|2≥0,即

|ξ,η|2=(ξ-η,ξ-η)

=(ξ,ξ)+(η,η)-2(ξ,η)

=2-2(ξ,η)≥0

所以,(ξ,η)≤1;

又|ξ,η|2≥0,即

|ξ,η|2=(ξ+η,ξ+η)

=(ξ,ξ)+(η,η)+2(ξ,η)

=2-2(ξ,η)≥0

所以,(ξ,η)≥-1.總之,|ξ,η|≤1.定理2設α,β是歐氏空間V中的任意兩個向量,那么,|(α,β)|≤|α||β|,等號成立當且僅當α,β線性相關.證明10若α,β中有一個是零向量,則結(jié)論顯然成立;

20設α,β都不為零,今將α,β單位化,令ξ=,η=,則由引理.知|(ξ,η)| ≤1,而(α,β)=(|α|ξ,|β|η)=|α||β|(ξ,η)所以,|(α,β)|≤|α||β|(ξ,η)≤1.再設ξ與η的夾角為θ,則θ的余弦為cosθ==(ξ,η)由此可知,|(α,β)| ≤|α||β|(ξ,η)=1cosθ=±1≤1ξ=±η,此即知α與β線性相關.3.第三種證明方法

定理3設α,β是歐氏空間V中的任意兩個向量,那么,|(α,β)|≤|α||β|,等號成立當且僅當α,β線性相關.證明x1,x2∈R取,則(x1α+x2 β,x1α+ x2 β)≥0,即

(α,α)x12+2(α,β)x1x2+(β,β)x22≥0，而此式左端恰為關于x1,x2的半正定二次型,故其矩陣的行列式≥0,即

(α,α)(α,β)(α,β)(β,β)≥0

則得|(α,β)|≤|α|| β|,且等號成立

(α,α)(α,β)(α,β)(β,β)=0α,β線性相關.二、Cauchy-Schwarz不等式的應用

Cauchy-Schwarz不等式在不同的空間對應著不同的形式,下面是它在不同空間上的幾種變形.母不等式:設V是歐氏空間,若ξ,η∈V,則

(ξ,η)2≤(ξ,ξ)(η,η)(2)

上式等號成立的充要條件是ξ,η線性相關.變形一:取V=Rn,令ξ=(a1,a2,…,an),η=(b1,b2,…,bn)則有

(a1b1+…+anbn)≤(a12+a22+…+an2)(b12+b12+…+bn2)(3)

等號成立的充要條件 bi=cai(i=1,2,…n),c是為常數(shù).變形二:取V是定義在[a,b]上一切連續(xù)實函數(shù)所構成的實線性空間,設f(x), g(x)∈V,則有

[f(x)g(x)dx]2≤f 2(x)dxg2(x)dx(4)

變形三:取 V 為概率空間,對任意屬于V 的隨機變量 ξ與 η都有

|Eξη|2 ≤Eξ2Eη2(5)

等號成立的充要條件是P(η=t0 ξ)=1,t0是某一常數(shù).例1若x1,x2,…,xn均為正數(shù)則有(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2(6)

證明由(2)式令a1=,a2=,…,an=.b1=,b2=,…,bn=,則有

(?+?+…+?)2=n2.而

(++…+)(++…+)

=(x1+x2+…+xn)(++…+)

所以(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2.顯然等號當且僅當x1=x2=…=xn時成立.例2已知a、b、c、x、y、z都是實數(shù),并且a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=1

求證:|ax+by+cz|≤1.證明由不等式(3)有

(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)

所以,|ax+by+cz|2≤1,即|ax+by+cz|≤1.例3當2x+4y=1時,求證

x2+y2≥.證明由不等式(3)有

(2x+4y)2≤(22+42)(x2+y2)，所以1≤20(x2+y2)

所以(x2+y2)≥

例4已知a、b、c為正數(shù),求證

a2+b2+c2≥ab+bc+ca.證明由不等式(3)有

(ab+bc+ca)2≤(a2+b2+c2)(b2+c2+a2),即(ab+bc+ca)2≤(a2+b2+c2)2.因為a、b、c為正數(shù),所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.例5設ai≥0,i=1,2,…,n,則ai≤(ai2),且等號成立的充要條件是a1=a2=…=an.證明設二維離散型隨機變量ξ,η的聯(lián)合概率分布為

P(ξ=xi,η=yi)=P(ξ=xj,η=yj)=0(i≠j)

i=1,2,…,n;j=1,2,…,n

則ξ、η的邊際概率分布分別為

Pξ(ξ=xi)=,Pη(η=yj)=

令xi=ai≥0,yj=1有

Eξη=ai?=?ai

Eξ2=ai2?=?ai2

Eη2=yi?=1=1

由不等式(5)有(ai)2≤ai2且等號成立的充要條件是==…=

開方得ai≤(ai2)且等號成立的充要條件是a1=a2=…=an.例6設a、x、y是同時大于1(或小于1)的正數(shù),且logaxyj=9,求證:

logxa+logya+logja≥1.證明左邊=++.由不等式(6)有

(loga.x+loga y+loga j)(++)≥j2

即logaxyj?(++)≥9.有已知logaxyj≥9

所以(++)≥1

即logxa+logya+logja≥1

例7設a>0,b>0,且a+b=1,求證

(a+)2+(b+)2≥.證明由不等式(7)有

≥

所以≥

所以(a+)2+(b+)2≥.又因為(a-b)2≥0,所以a2+b2-2ab≥0.所以(a+b)2-4ab≥0.所以1-4ab≥0.所以ab≤.所以(a+)2+(b+)2≥=

例8設α,β是歐氏空間V中的向量,則有|α|-|β|≤|α±β|≤|α|+|β|.證明由Cauchy-Schwarz不等式得

-|α||β|≤(α,β)≤|α||β|，|α|2+|β|2-2|α||β|≤|α|2+|β|2+2|(α,β)|≤

|α|2+|β|2+2|α||β|，則(|α|-|β|)2≤(α±β,α±β)≤(|α|+|β|)2,即得

|α|-|β|≤|α±β|≤|α|+|β|

例9設有n階實對稱矩陣A,若A≥0,則有trA≥0和(trA)E≥A.證明因為A≥0,所以A半正定,故存在n階矩陣

Q=q11…q1n………qn1…qnn=a1…an

其中a1=(qi1,…,qin)是第i個行向量(i=1,2,…,n),使得A=Q'Q

于是trA=tr(Q'Q)=||Q||F2≥0.又n維列向量X=(x1,…,xn)∈Rn,有X'AX=X'Q'QX=(QX)'(QX)=||QX||22

于是QX=q11x1+…+q1nxn ………qn1x1+…+qnn xn=(a1,X)…(an,X)

由Cauchy-Schwarz不等式知,|(ai,X)|≤||ai||2||X||2

所以||QX||22=|(ai,X)|≤(||ai||22)

||X||22=||QX||F2||X||22

即||QX||22≤||QX||F2||X||22=(trA)||X||22=(trA)X'X

從而X'AX≤(trA)X'X=X'(trA)EX

故有(trA)E≥A.Cauchy-Schwarz不等式應用非常廣泛,利用Cauchy-Schwarz不等式可以解決一些復雜不等式的證明.(作者單位:湖南女子職業(yè)大學)