第一篇：4.2數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

教學(xué)要求：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫.教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明幾個(gè)經(jīng)典不等式.教學(xué)難點(diǎn)：理解經(jīng)典不等式的證明思路.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)回顧：

1、數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，在數(shù)列推理能力的考查中占有重要的地位；

2、復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的定義和數(shù)學(xué)歸納法證題的基本步驟；

二、本節(jié)主要內(nèi)容是用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；

在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的具體過程中，要注意以下幾點(diǎn)：

（1）在從n=k到n=k+1的過程中，應(yīng)分析清楚不等式兩端（一般是左端）的變化，要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)

特征；

（2）瞄準(zhǔn)當(dāng)n=k+1時(shí)的遞推目標(biāo)，有目的地進(jìn)行放縮、分析；

（3）活用起點(diǎn)的位置；

（4）有的題目需要先作等價(jià)變換。

三、例題

例1：比較n2與2n的大小，試證明你的結(jié)論.分析：將n?1,2,3,4,5,6代入比較后猜想結(jié)論，而后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明

證明：見書P50 ；要點(diǎn)：(k?1)2?k2?2k?1?k2?2k?k?k2?3k?k2?k2?….例2：證明不等式|sinn?|?n|sin?|(n?N?).證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即有：|sink?|?k|sin?|，則當(dāng)n=k+1時(shí)，|sin(k?1)?|?|sink?cos??cosk?sin?|?|sink?cos?|?|cosk?sin?|

?|sink?|?|cos?|?|cosk?|?|sin?|?|sink?|?|sin?|?k|sin?|?|sin?|?(k?1)|sin?|即當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式也成立；

由（1）（2）知，不等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立；

例3：證明貝努利（Bernoulli）不等式：(1?x)n?1?nx(x??1,x?0,n?N,n?1)

22證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，由x?0得(1?x)?1?2x?x?1?2x，即不等式成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)不等式成立，即有(1?x)?1?kx：，則當(dāng)n=k+1時(shí)，(1?x)k?1k?(1?x)(1?x)k?(1?x)(1?kx)?1?x?kx?kx2?1?(k?1)x，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式也成立；

由（1）（2）知，貝努利不等式成立；

注：事實(shí)上，把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實(shí)數(shù)?仍有類似不等式成立.當(dāng)?是實(shí)數(shù),且???或??0時(shí),有(1?x)≥1??x(x??1)

?當(dāng)?是實(shí)數(shù),且0???1時(shí),有(1?x)≤1??x(x??1)?

例

4、證明：如果n(n為正整數(shù))個(gè)正數(shù)a1,a2,a3???,an的乘積a1a2a3???an?1，那么它們的和

a1?a2?a3?????an?n；

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，命題顯然成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若k個(gè)正數(shù)a1,a2,a3???,ak的乘積a1a2a3???ak?1，那么他們的和

a1?a2?a3?????ak?k，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有k+1個(gè)正數(shù)a1,a2,a3???,ak,ak?1滿足乘積a1a2a3???akak?1?1，若這k+1個(gè)正數(shù)相等，則它們都是1，其和為k+1，命題成立；

若這k+1個(gè)正數(shù)不全相等，則其中必有大于1的數(shù)，也有小于1的數(shù)，不妨設(shè)a1>1，a2<1, 則由歸納假設(shè)可得：a1a2?a3?????ak?ak?1?k（*），又由a1>1，a2<1可得：(a1?1)(a2?1)?0?a1a2?a1?a2?1?0?a1?a2?a1a2?1與（*）式相加即得：

a1?a2?a3?????ak?ak?1?k?1，即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立；

由（1）（2）知，如果n(n為正整數(shù))個(gè)正數(shù)a1,a2,a3???,an的乘積a1a2a3???an?1，那么它們的和

a1?a2?a3?????an?n；

思考：課本P53的探究

課堂練習(xí)：當(dāng)n≥2時(shí),求證

:1?

2??

?

證明：（1）當(dāng)n?2時(shí)，左式?1?

?1?

?1.7?

2?右式，?當(dāng)n?2時(shí)，不等式成立

（2）假設(shè)當(dāng)n?k（?2)時(shí)，不等式成立，即1?

??

?則當(dāng)n?k?

1時(shí)，左式?1?

???

?

?

?

?

??右式

?當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式成立。

由（1）（2）可知，對(duì)一切n?N，且n?2，不等式都成立。

四、作業(yè)：課本P53習(xí)題4.1中1，2，3，4，5，6

第二篇：不等式的證明2

●教學(xué)目標(biāo)

1.進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式； 2.了解作商比較法證明不等式； 3.提高學(xué)生解題時(shí)應(yīng)變能力.●教學(xué)重點(diǎn)比較法的應(yīng)用 ●教學(xué)難點(diǎn)常見解題技巧 ●教學(xué)方法啟發(fā)引導(dǎo)式 ●教具準(zhǔn)備幻燈片 ●教學(xué)過程 Ⅰ復(fù)習(xí)回顧：

師：上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)了證明不等式的最基本、最重要的方法：比較法，總結(jié)了比較法證明不等式的步驟：作差、變形、判斷符號(hào)，這一節(jié)，我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)比較法證明不等式.Ⅱ.講授新課：

例4甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走，；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n,問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn).分析：設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是S，甲、乙二人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1，t2，要回答題目中的問題，只要比較t1，t2的大小就可以了.解：設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是S，甲、乙兩人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1，t2，依題意有：

t12m?

t12n?S,S2m

?S2n

?t

22Sm?n

S(m?n)2mn

∴t1?

2Sm?n,t2?

S(m?n)2mn，t1?t2?

?=

S[4mn?(m?n)]

2(m?n)mn

2其中S，m、n都是正數(shù)，且m≠n，于是 t1?t2?0，即t1?t

2從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點(diǎn).說明：此題體現(xiàn)了比較法證明不等式在實(shí)際中的應(yīng)用，要求學(xué)生注意實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.例5證明函數(shù)f(x)?x?

1x

在x?[1,??]上是增函數(shù).分析：證明函數(shù)增減性的基本步驟：假設(shè)、作差、變形、判斷，主要應(yīng)用的就是比較法.證明：設(shè)x1?x2≥1，則 f(x1)?f(x2)?x1?

1x1

?(x2?

1x2)?(x1?x2)?

x1?x2x1x2

=(x1?x2)(1?

1x1x2)?(x1?x2)

(x1x2?1)x1x2

∵x1?1?0,x2≥1＞0，x1?x2

∴x1x2?1,x1?x2?0,x1x2?0 ∴(x1?x2)(x1x1?1)x1x2?0

即f(x1)?f(x2)所以f(x)?x?1

x

x在[1??)上是增函數(shù) 說明：此例題一方面讓學(xué)生熟悉比較法的應(yīng)用，另一方面讓學(xué)生了解利用函數(shù)單調(diào)性求最值，例如y?x?

y?x?1

x(x≥2），若利用基本不等式求最值，則“=”成立條件不存在；而在x≥2時(shí)是增函數(shù)，故x=2時(shí)，函數(shù)有最小值.Ⅲ.課堂練習(xí)

(1)課本P14練習(xí)4，5

(2)證明函數(shù)f(x)?x?

●課堂小結(jié)

師：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進(jìn)一步掌握比較法證明不等式，并了解比較法證明不等式在證明函數(shù)單調(diào)性及實(shí)際問題中的應(yīng)用.●課后作業(yè)

習(xí)題6.33，6

●板書設(shè)計(jì)

●教學(xué)后記

1x,(x?(0,1]為減函數(shù)

第三篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

6.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。

9.函數(shù)法：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點(diǎn)來證明一些不等式的方法。當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當(dāng)a<0時(shí)，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛?，分式變?yōu)檎?，無理式變?yōu)橛欣硎?，能簡化證明過程。尤其對(duì)含有若干個(gè)變?cè)凝R次輪換式或輪換對(duì)稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。

第四篇：不等式證明

不等式的證明

比較法證明不等式

a2?b2a?b?1.設(shè)a?b?0，求證：2.a?b2a?b

2.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

（1）已知x、y都是正實(shí)數(shù)，求證：x3?y3?x2y?xy2；

（2?對(duì)滿足x?y?z?1的一切正實(shí)數(shù) x,y,z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

.??,1?綜合法證明不等式（利用均值不等式）3.已知a?b?c, 求證：??1??? ??114??.a?bb?ca?c

4.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：

1（Ⅰ）ab+bc+ac?3；

a2b2c2

???1ca（Ⅱ）b

5.（1）求不等式x?3?2x???1的解集;

121225（a?)?(b?)??a,b?R,a?b?1ab2.（2）已知，求證：

6.若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：

分析法證明不等式

7.某同學(xué)在證明命題“7??要證明7?3??2”時(shí)作了如下分析，請(qǐng)你補(bǔ)充完整.6?2，只需證明________________,只需證明___________,＋2?9?2，展開得9即?,只需證明14?18,________________,所以原不等式:??6?2成立.22?2?6?3,(7?2)?(6?3)，因?yàn)?4?18成立。

a?b?c8.已知a,b,c?R。?3?

9.(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x)?|x?1|。

(Ⅰ)解不等式f(x)?f(x?4)?8；{x|x≤－5，或x≥3}(Ⅱ)若|a|?1,|b|?1，且a?0，求證：f(ab)?|a|f().10.（本小題滿分10分）當(dāng)a,b?M??x|?2?x?2?時(shí),證明:2|a+b|＜|4+ab|.反證法證明不等式

11.已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a=x?2y+2baπππ22，b=y?2z+，c=z?2x+，236

求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0.12.（12分）若x,y?R,x?0,y?0,且x?y?2。求證：1?x和1?y中至少有一個(gè)小于2.yx

放縮法證明不等式

13.證明不等式：?111??11?21?2?3?1

1?2?3??n?2

214.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn?ann?N?,且

?1?4n?1,a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列．

(1)證明：a2?

(2)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；an?2n?1

(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有11??a1a2a2a3?11?． anan?12

15.設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1?1,2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*.n33

(Ⅰ)求a2的值；a2?4(Ⅱ)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；an?n2(Ⅲ)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

16.(本小題滿分12分)若不等式11??

n?1n?2?1a對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正?3n?12411??a1a2?17?.an4

整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．25

17.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：

．

第五篇：不等式證明經(jīng)典

金牌師資，笑傲高考

2013年數(shù)學(xué)VIP講義

【例1】 設(shè)a，b∈R，求證：a2+b2≥ab+a+b-1。

【例2】 已知0

【例3】 設(shè)A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。

因A、B的表達(dá)形式比較簡單，故作差后如何對(duì)因式進(jìn)行變形是本題難點(diǎn)之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一個(gè)字母。關(guān)鍵是消去哪個(gè)字母，因條件中已知a的不等關(guān)系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一個(gè)均可。

由ad=bc得：d?bca1?ab?bc?caa?b?c?abc≥1。

bca??b?c?a?b?(a?b)(a?c)a?0bc?acaA-B=a+d-(b+c)=a? =a?b? c(a?b)a

【例4】 a，b，c∈R，求證：a4+b4+c4≥(a+b+c)。

不等號(hào)兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。不等號(hào)右邊為三項(xiàng)和，根據(jù)不等號(hào)方向，應(yīng)自左向右運(yùn)用基本不等式后再同向相加。因不等式左邊只有三項(xiàng)，故把三項(xiàng)變化六項(xiàng)后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。

左=12(2a4?2b224?2c)?22412[(a24?b)?(b22244?c)?(c2244?a)]24

≥12(2ab?2bc?2ca)?ab?bc?ca

2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達(dá)到題目要求，此時(shí)應(yīng)再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。

中天教育咨詢電話：0476-8705333

第1頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考

ab?1212

2013年數(shù)學(xué)VIP講義

22?bc2222?ca2222?212(2ab2222?2bc2222?2ca)22

?ca)?(ca2[(ab?bc)?(bc22?ab)]22≥(2abc?2abc2?2abc)?ab(a?b?c)1a

?1c?【例5】（1）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：?（2）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：

a21bb2≥

c21ab?1bc?1ac；

b?c?a?ca?b≥

a?b?c2。

（1）不等式的結(jié)構(gòu)與例4完全相同，處理方法也完全一樣。

（2）同學(xué)們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個(gè)分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達(dá)到目的。試一試行嗎？

a2b?cb2?(b?c)≥2a2b?cb2?(b?c)?2a

a?cc2?(a?c)≥2a?c?(a?c)?2ba?b?(a?b)≥2c2a?b?(a?b)?2c

相加后發(fā)現(xiàn)不行，a，b，c的整式項(xiàng)全消去了。為了達(dá)到目的，應(yīng)在系數(shù)上作調(diào)整。

a2b?c?b?c4≥a，b2a?c?a?c4≥b，c2a?b?a?b4≥a 相向相加后即可。

【例6】 x，y為正實(shí)數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥

2a22。

思路一；根據(jù)x+y和x2+y2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到算術(shù)平均數(shù)與平方平均數(shù)之間的不等關(guān)系?！?x?y22≤2x2?y22

2∴ x?y≥(x?y)2?a22

思路二：因所求不等式右邊為常數(shù)，故可從求函數(shù)最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再用單調(diào)性求解。換元有下列三種途徑：

途徑1：用均值換元法消元： 令 x?2a2?m，y?aa22?m

22則 x?y?(?m)?(?m)?2m?222aa22≥

a22

途徑2：代入消元法： y=a-x，0

a2)2?a22≥

a22

中天教育咨詢電話：0476-8705333

第2頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考

途徑3：三角換元法消元：

令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]

2?2013年數(shù)學(xué)VIP講義

則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]

=a[1-2(sin2θ)]=a(1-22122

12sin2θ)≥

a22

注：為了達(dá)到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當(dāng)?shù)膮?shù)，也就是找到一個(gè)中間變量表示x，y。這種引參的思想是高中數(shù)學(xué)常用的重要方法?！纠?】 已知a>b>0，求證：(a?b)8a2?a?b2?ab?(a?b)8b2。

12所證不等式的形式較復(fù)雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，次等），難以從某個(gè)角度著手。故考慮用分析法證明，即執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件。實(shí)際上就是對(duì)所證不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?、變形，?shí)際上這種變形在相當(dāng)多的題目里都是充要的。

a?b2?ab?a?b?2ab2b)(a?(a??(a?2b)2

a?b?(a?b)b)(a?8a2所證不等式可化為∵ a>b>0 ∴ a?b ∴ a?b?0

b)2?(a?2b)2?(a?b)(a?8b2b)2

∴ 不等式可化為：(a?4ab)2?1?(a?4bb)2

2??(a?b)?4a即要證?

2??4b?(a?b)??a?b?2a只需證?

?2b?a?b?在a>b>0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx?3?8，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f(a)

112.不等號(hào)兩邊字母不統(tǒng)一，采用常規(guī)方法難以著手。根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b2-4b+f(a)?112的最值，看能否通過最值之間的大小關(guān)系進(jìn)行比較。

?8?2(2)a2a24aa?3?8?8?2a8?82a≤

2?82?a?82a842?2

令 g(b)=b2-4b+11232 ≥32 g(b)=(b-2)2+

中天教育咨詢電話：0476-8705333

第3頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考

∵ 32?22013年數(shù)學(xué)VIP講義

∴ g(b)>f(a)注：本題實(shí)際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時(shí)曾講過。由此也說明，實(shí)數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎(chǔ)。

【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，有|f(x)|≤1，求證：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）當(dāng)|x|≤1時(shí)，|ax+b|≤2。

這是一個(gè)與絕對(duì)值有關(guān)的不等式證明題，除運(yùn)用前面已介紹的不等式性質(zhì)和基本不等式以外，還涉及到與絕對(duì)值有關(guān)的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就本題來說，還有一個(gè)如何充分利用條件“當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1”的解題意識(shí)。

從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當(dāng)x=1時(shí)，|f(1)|≤1；當(dāng)x=-1時(shí)，|f(-1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個(gè)不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量。∵ f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c ∴ b?12[f(1)?f(?1)] 12|f(1)?f(?1)|≤12[|f(1)|?|f(?1)|]≤

12(1?1)≤1 ∴ |b|?（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調(diào)性求g(x)=ax+b的值域。

當(dāng)a>0時(shí)，g(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當(dāng)a<0時(shí)，同理可證。

思路二：直接利用絕對(duì)值不等式

為了能將|ax+b|中的絕對(duì)值符號(hào)分配到a，b，可考慮a，b的符號(hào)進(jìn)行討論。當(dāng)a>0時(shí)

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對(duì)b討論

① b≥0時(shí)，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0時(shí)，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2。∴ |ax+b|≤2 當(dāng)a<0時(shí)，同理可證。

評(píng)注：本題證明過程中，還應(yīng)根據(jù)不等號(hào)的方向，合理選擇不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不適當(dāng)選擇，則不能滿足題目要求。

中天教育咨詢電話：0476-8705333

第4頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考

2013年數(shù)學(xué)VIP講義

1、設(shè)a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是 A、C、1a12?1b1a≤?141b B、≤1 D、141a≤

?1a?1b≤

≤

1b≥1

2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，則下列各式中一定正確的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c

5、已知a，b，c>0，且a+b>c，設(shè)M=

a4?a?bb?cc4?c，N=，則MN的大小關(guān)系是

A、M>N B、M=N C、M

6、已知函數(shù)f(x)=-x-x3，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負(fù)都有可能

7、若a>0，b>0，x?111(?)2ab1a?b1ab，y?，z?，則

A、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x

8、設(shè)a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空題

9、設(shè)a>0，b>0，a≠b，則aabb與abba的大小關(guān)系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號(hào)填空）。

12、當(dāng)00且t≠1時(shí)，logat與log21t?1a2

2ab?a?1b?1 D、a+b≥2(a-b-1)

22的大小關(guān)系是__________。

n13、若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則an+bn與c（其中n∈N，n>2）的大小關(guān)系是________________。

（三）解答題

14、已知a>0，b>0，a≠b，求證：a?

15、已知a，b，c是三角形三邊的長，求 證：1?

中天教育咨詢電話：0476-8705333

第5頁/共9頁

ab?c?ba?c?ca?b?2。

b?ab?ba。金牌師資，笑傲高考

16、已知a≥0，b≥0，求證：

18、若a，b，c為正數(shù)，求證：

19、設(shè)a>0，b>0，且a+b=1，求證：(a?

20、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a，b，c全為正數(shù)。

1a)(b?1b)2541a?1b?1ca82013年數(shù)學(xué)VIP講義

12(a?b)2?14(a?b)≥aa?ba。

≤

?b383?c38。

abc≥。

中天教育咨詢電話：0476-8705333

第6頁/共9頁