第一篇：談對均值不等式的理解和應(yīng)用

談對均值不等式的理解和應(yīng)用

均值不等式是不等式一章中最基礎(chǔ)、應(yīng)用最廣泛的靈活因子，它是考查素質(zhì)、能力的一個窗口，是高考的熱點。對均值不等式的應(yīng)用可從以下三個方面著手。通過特征分析，用于證不等式

均值不等式：

1)

2)

兩端的結(jié)構(gòu)、數(shù)字具有如下特征：

1)次數(shù)相等；

2)項數(shù)相等或不等式右側(cè)系數(shù)與左側(cè)項數(shù)相等；

3)左和右積。

當(dāng)要證的不等式具有上述特征時，考慮用均值不等式證明。

例1．已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc.分析：觀察要證不等式的兩端都是關(guān)于a，b，c的3次多項式，左側(cè)6項，右側(cè)6項，左和右積，具備均值不等式的特征。

證明:∵ b+c≥2bc, a>0, ∴ a(b+c)≥2abc

同理，b(c+a)≥2bac, c(a+b)≥2cab, 又 ∵a，b，c不全相等，∴ 上述三個不等式中等號不能同時成立，因此

a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc。

***2222

2例2.若a，b，c∈R，且a+b+c＝1，求證+.分析：由a，b，c ∈R，聯(lián)想均值不等式成立的條件，并把1＝a+b+c代換+中的“1”，要證不等式變?yōu)?即，亦即，發(fā)現(xiàn)

互為倒數(shù)，已具備均值不等式的特征。

證明：∵a,b,c∈R,+

∴，,∴,∴

.∵ a+b+c=1, ∴

.說明：1)此題的證明方法采用的是綜合法。用綜合法證不等式即由已知不等式推證要證不等式。

2)在附加條件的變換下，要證的不等式會隱含均值不等式的部分特征，顯示其一個或兩個特征，這時，仍可考慮用特征分析法，合理選擇思路，尋找解決問題的切入點。抓條件“一正、二定、三等”求最值

由均值不等式2)，推證出最值定理及其使用的前提條件：“一正、二定、三等”，求最值時，三者缺一不可。

例3.已知x, y∈R且9x+16y＝144，求xy的最大值。

分析：由題設(shè)一正：x, y∈R，二定: 9x+16y＝144。求積的最大值，可考慮用均值不等式++

求解。

解：∵ x, y∈R，+

∴，當(dāng)且僅當(dāng)9x=16y，即

時，(xy)max=36.說明：本題若改為：x,y∈R且9x+16y=144，求xy的最大值呢？請同學(xué)們一試。抓“當(dāng)且僅當(dāng)??等號成立”的條件，實現(xiàn)相等與不等的轉(zhuǎn)化

在均值不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)??等號成立”的“當(dāng)且僅當(dāng)”是“充要條件”的同義詞，它給出了相等與不等的界，是相等與不等轉(zhuǎn)化的突破口。

例4．在ΔABC中，若三邊a，b，c滿足條件(a+b+c)=27abc，試判定三角形ABC的形狀。

分析：(a+b+c)=27abc，具有三元均值不等式的結(jié)構(gòu)特征，且屬均值不等式的特例(取等號情形)，所以有下面解法。

解：∵a>0, b>0, c>0，故有不等式

當(dāng)且僅當(dāng)

a=b=c時，上式等號成立，故三角形為等邊三角形。

（見閱讀材料），即(a+b+c)3332227abc，例5．已知x,y,z為正實數(shù)，且x+y+z=3,.求x+y+z的值。22

2解：

由題設(shè)得。

∵ x,y,z>0, ∴,∴.此不等式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)上述三個不等式的等號同時成立，即, ∴x=1,y=1, z=1, ∴x+y+z=3.222222

說明：均值不等式給出了相等、不等的界，即等號成立的條件。

總之，均值不等式成立的條件，結(jié)構(gòu)特征，積、和為定值，等號成立的條件，是理解應(yīng)用均值不等式的認知角度。同學(xué)們要學(xué)會觀察已知和未知的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)字特征，認清其區(qū)別、聯(lián)系，聯(lián)想相關(guān)的知識點、方法，尋找解決問題的突破口。

第二篇：均值不等式及其應(yīng)用

教師寄語：一切的方法都要落實到動手實踐中

高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案

均值不等式及其應(yīng)用

一．考綱要求及重難點

要求：1.了解均值不等式的證明過程.2.會用均值不等式解決簡單的最大（小）值問題.重難點：1.主要考查應(yīng)用不等式求最值和不等式的證明.2.對均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會太大.二．考點梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時取等號.（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時成立.簡記：和定積最大。

2）.兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時成立.簡記：積定和最小。

3、幾個重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學(xué)情自測

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個數(shù)是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數(shù)a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設(shè)x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應(yīng)用第 1頁（共4頁）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當(dāng)z取得最大值時,xyz的最大例

1、（2013山東）設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓(xùn)練1.若x??1，求函數(shù)f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b>0, 則當(dāng)a = ______時,考向

二、利用均值不等式證明簡單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓(xùn)練

2、已知a,b,c都是實數(shù)，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實際應(yīng)用

例

3、小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬元,假定該年每年的運輸收入均為25萬元.小王在該車運輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價格為25?x萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年).(1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑?該車運輸累計收入超過總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大?)(利潤=累計收入+銷售收入-總支出)

變式訓(xùn)練：

如圖：動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。

（1）現(xiàn)有可圍36米長鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最小？

五、當(dāng)堂檢測

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數(shù)f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結(jié)

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數(shù)y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產(chǎn)品的年銷售量為100萬只,每只產(chǎn)品的銷售價為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計劃以后每年比上一年多投入100萬元,預(yù)計銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數(shù),n?N),若產(chǎn)品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?

第三篇：均值不等式應(yīng)用

均值不等式應(yīng)用

一．均值不等式

22a?b1.(1)若a,b?R，則a?b?2ab(2)若a,b?R，則ab?a?b時取“=”）22

22.(1)若a,b?R*，則a?b?(2)若a,b?R*，則a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”）2

a?b?(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”(3)若a,b?R*，則ab??）???2?2

3.若x?0，則x?

取“=”）1）;若x?0，則x?1??2(當(dāng)且僅當(dāng)x??1時?2(當(dāng)且僅當(dāng)x?1時取“=”xx

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”）

xxx

ab4.若ab?0，則??2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”）ba

若ab?0，則ababab）??2即??2或??-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”bababa

a?b2a2?b25.若a,b?R，則(（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”）)?22

注：（1）3.已知x,y?R,x+y=s,xy=p.6．及值定理：

①若p為定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，s=x+y有；

②若s為定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，p=xy有。

（備注）：求最值的條件“一正，二定，三取等”

應(yīng)用一：求最值

解題技巧：技巧一：湊項

例1：已知x??5，求函數(shù)y?4x?2?1的最大值。44x?

51不是常數(shù)，所以對4x?2要進行拆、4x?5解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x?2)?

湊項，∵x?511??,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x??3??2?3?1 ?44x?55?4x??

當(dāng)且僅當(dāng)5?4x?1，即x?1時，上式等號成立，故當(dāng)x?1時，ymax?1。5?4x

評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)

例1.當(dāng)

時，求y?x(8?2x)的最大值。

1解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩

個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個系數(shù)即可。

當(dāng)，即x＝2時取等號當(dāng)x＝2時，y?x(8?2x)的最大值為8。

評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。

變式：設(shè)0?x?3，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。

32x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2???? 222??

3?當(dāng)且僅當(dāng)2x?3?2x,即x?3???0,?時等號成立。

4?2?

技巧三： 分離

x2?7x?10

(x??1)的值域。例3.求y?

x?1

解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。

當(dāng),即

時,y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”號）。技巧四：換元

解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??

5ttt

當(dāng),即t=

時,y?5?9（當(dāng)t=2即x＝1時取“＝”號）。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y?mg(x)?等式來求最值。

技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x)?x?調(diào)性。

例：求函數(shù)y?

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不g(x)

a的單x

2的值域。

2?t(t?

2)，則y?

?1

?t?(t?2)

t因t?0,t??1，但t?解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為y?t?在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故y?所以，所求函數(shù)的值域為?,???。

練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x 的值.t1t

1t5。

2?5?2??

11x2?3x?1

y?2sinx?,x?(0,?)y?2x?,x?3,(x?0)??(3)（1）y?（2）

sinxx?3x

2．已知0?x?

1，求函數(shù)y3．0?x?

.；，求函數(shù)y

3.條件求最值

ab

1.若實數(shù)滿足a?b?2，則3?3的最小值是.解： 3和3都是正數(shù)，3?3≥23a?3b?3a?b?6

a

b

a

b

ababab

當(dāng)3?3時等號成立，由a?b?2及3?3得a?b?1即當(dāng)a?b?1時，3?3的最小值

是6．

變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知x?0,y?0，且

??1，求x?y的最小值。xy

19?19???1，?x?y?????

x?y???12xyxy??

錯解： ∵x?0,y?0，且．．

故 ?x?y?min?12。

錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x?y?x?

y，在1?9?x

y

成立條件是

?即y?9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題xy

時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。

?19?y9x19

正解：∵x?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

當(dāng)且僅當(dāng)

19y9x?時，上式等號成立，又??1，可得x?4,y?12時，?x?y?min?16。

xyxy

x

y

變式：（1）若x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

?

(2)若a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y最小值

xy

y 2

技巧

七、已知x，y為正實數(shù)，且x＋ ＝1，求x1＋y的最大值.a 2＋b

2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。

11＋y中y前面的系數(shù)為，x1＋y＝x

1＋y2·＝2 x2＋22

下面將x，1y ＋分別看成兩個因式： 22

x＋x＋ ≤

222

技巧

八、取平方

2y 21

2＋)x＋ ＋ 2222

3＝ ＝即1＋y＝2 ·x

4＋ ≤ 2245、已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x ＋2y 的最值.a＋ba 2＋b

2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，≤，本題很簡單

3x ＋2y≤2

3x）2＋（2y）2 ＝2

3x＋2y ＝2

5解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W2＝3x＋2y＋23x y ＝10＋3x 2y ≤10＋3x)2·(y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W

≤20 ＝5

變式: 求函數(shù)y?

1?x?5)的最大值。

解析：注意到2x?

1與5?2x的和為定值。

y2?

2?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

又y?0，所以0?y?當(dāng)且僅當(dāng)2

x?1=5?2x，即x?

時取等號。故ymax? 2

評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

1． 已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a?b?c?ab?bc?ca

2正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

?1??1??1?

3、已知a、b、c?R，且a?b?c?1。求證：???1???1???1??8

?a??b??c?

?

解：?a、b、c?R，a?b?c?1。

?1?1?1?a?b?c?

1?1

1?1

aaabc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1時取等號。?1??1??1?。當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c??1?1?1?8??????3?a??b??c?

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題

例：已知x?0,y?0且1?9?1，求使不等式x?y?m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。

x

y

條件：m≤(x+y)的最小值，m????,16?

應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若a?b?1,P?

lga?lgb,Q?

1a?b(lga?lgb),R?lg()，則P,Q,R的大小關(guān)系是22

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

（lga?lgb)?a?lgb?p 2

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。

22Q?

第四篇：均值不等式的應(yīng)用

均值不等式的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握平均不等式的基礎(chǔ)上進而掌握極值定理

2.運用基本不等式和極值定理熟練地處理一些極值與最值問題 教學(xué)重點：應(yīng)用 教學(xué)難點：應(yīng)用

教學(xué)方法：講練結(jié)合 教

具：多媒體 教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定義，平均不等式 2.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系----并推廣：調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù) 3.極值定理：積定和最?。缓投ǚe最大

注：①極值定理成立的條件：一正二定三相等 ②應(yīng)用時應(yīng)該注意的問題： 4.練習(xí)：

3①若x?0,求y?1?2x?的最大值.xx2?2x?2②?4?x?1,求的最值.2x?2y2?2?1,求x1?y2的最大值.③x?R,且x?21④ y?x(2?3x)⑤y?1?4x?

5?4x

二、新授：

1.基本應(yīng)用：

掌握用重要不等式求最值的方法，重視運用過程中的三個條件：正數(shù)、相等、常數(shù)

4例1.求函數(shù)y?x?的值域.x(??,?4]或[4,??)

例2.已知x?2y?1,x、y?R?，求x2y的最大值.11x?x?4y31x?2y32)??(2?)?分析：x2y??x?x?4y?（443432721當(dāng)x=4y即x?,y?時取等號.36例3.設(shè)a,b,x,y?R，且有a2+b2=3,x2+y2=6,求ax+by的最大值.分析：運用柯西不等式 2．變形運用：

對于某些復(fù)雜的函數(shù)式，需適當(dāng)變形后，再運用重要不等式求最值.?23例4.求y?sinxcos2x(x?(0,))函數(shù)的最大值.29ab例5.已知a,b,x,y?R?且??1，求x?y的最小值.xy分析：此題若能靈活變形，運用重要不等式求最值，則能起到事半功倍的效果.解法一：用判別式法----轉(zhuǎn)換為一個未知數(shù)利用判別式 解法二：換元法----令x?acsc2?,y?bsec2? 解法三：轉(zhuǎn)換為一個字母利用基本不等式求解

ab解法四：利用x?y=(x?y)?(?)

xy11變形：已知a,b,x,y?R?，且x?2y?1,求u??的最小值.xy3.綜合運用：

例6.已知直角三角形的內(nèi)切圓半徑為1，求此三角形面積的最小值.解：略.例7.將一塊邊長為a的正方形鐵皮，剪去四個角（四個全等的正方形），作成一個 無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容積是多少？

解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為x

a則其容積為V?x(a?2x)2,(0?x?)

2114x?(a?2x)?(a?2x)32a3V??4x?(a?2x)?(a?2x)?[]?

44327aa2a3當(dāng)且僅當(dāng)4x?a?2x即x?時取“=”即剪去的小邊長為時，容積為

6627

三、練習(xí)：

66?3x2的最小值，y?2?3x的最小值.xx2.已知a,b滿足ab?a?b?3,求ab的范圍.1.x?0時求y?3.已知x,y滿足xy?x?y?1，求x?y的最小值.4.已知a2?b2?10，求a+b的范圍.5.已知x?0,y?0,z?0，求(1?x2)(1?y2)(1?z2)?8xyz的解.四、小結(jié)：

五、作業(yè)：

1.若0?x?1, 求y?x4(1?x2)的最大值

2．制作一個容積為16?m3的圓柱形容器(有底有蓋)，問圓柱底半徑和高各取多少時，用料最??？（不計加工時的損耗及接縫用料）(R?2m,h?4m)

六、板書設(shè)計：

第五篇：均值不等式公式總結(jié)及應(yīng)用

均值不等式應(yīng)用

a2?b21.(1)若a,b?R，則a?b?2ab(2)若a,b?R，則ab?

2a?b**2.(1)若a,b?R，則?ab(2)若a,b?R，則a?b?2ab 222（當(dāng)且僅當(dāng)a（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”）?b時取“=”）

a?b?(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”(3)若a,b?R，則ab??）???2?*2

3.若x?0，則x?1?2(當(dāng)且僅當(dāng)x?1時取“=”）x

1若x?0，則x???2(當(dāng)且僅當(dāng)x??1時取“=”）x

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”）xxx

ab）??2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”ba4.若ab?0，則

若ab?0，則ababab）??2即??2或??-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”bababa

a?b2a2?b25.若a,b?R，則(（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”）)?22

『ps.(1)當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所

謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用』 應(yīng)用一：求最值

例1：求下列函數(shù)的值域

（1）y＝3x 2＋

12x1（2）y＝x＋2x

解：(1)y＝3x 2＋≥22x 2113x 2· 2＝2x

1x·＝2； x6∴值域為[6，+∞）1(2)當(dāng)x＞0時，y＝x＋≥2x

11當(dāng)x＜0時，y＝x＋= －（－ x－）≤－2xx

∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）

1x·=－2 x

解題技巧

技巧一：湊項

例已知x?

54，求函數(shù)y?4x?

2?

1的最大值。4x?5

解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x?2)?

不是常數(shù)，所以對4x?2要進行拆、湊項，4x?

5511???x?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x??3??2?3?1 ?44x?55?4x??

當(dāng)且僅當(dāng)5?4x

?，即x?1時，上式等號成立，故當(dāng)x?1時，ymax?1。

5?4x

評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù) 例1.當(dāng)解析：由

時，求知，y?x(8?2x)的最大值。，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但

其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個系數(shù)即可。

當(dāng)，即x＝2時取等號當(dāng)x＝2時，y?

x(8?2x)的最大值為8。

評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)0

?x?，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。

232x?3?2x?9?解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2??? 222??

當(dāng)且僅當(dāng)2x技巧三： 分離

?3?2x,即x?

3?3?

??0,?時等號成立。4?2?

x2?7x?10

(x??1)的值域。例3.求y?

x?

1解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。

當(dāng),即

時,y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”號）。技巧四：換元

解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5

ttt

當(dāng),即t=時,y?5?9（當(dāng)t=2即x＝1時取“＝”號）。

評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。y?mg(x)?

例：求函數(shù)y?

2的值域。

t(t

?

2)，則y

?1

?t?(t?2)

t11

?0,t??1，但t?解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號不成立，考慮單調(diào)性。

tt15

因為y?t?在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故y?。

t2

因t

所以，所求函數(shù)的值域為

?5?,???。??2?

練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x 的值.11x2?3x?1,x?(0,?),x?3(3)y?2sinx?,(x?0)（2）y?2x?（1）y?

sinxx?3x

2．已知0?條件求最值 1.若實數(shù)滿足a

x?

1，求函數(shù)y.；3．0?x?，求函數(shù)y?

3.?b?2，則3a?3b的最小值是.a

分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3解： 當(dāng)3

a

?3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，3a和3b都是正數(shù)，3a?3b≥23a?3b?3a?b?6

?3b時等號成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即當(dāng)a?b?1時，3a?3b的最小值是6．

11變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換

多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知x?0,y錯解：?．．

?0，且??1，求x?y的最小值。

xy

1919?x?0,y?0，且??1，?x?y?????

x?y???12故 ?x?y?min?12。?xyxy??

在1?9y?x?y，錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x?

?xy19

?xy

即

y?9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步

驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。

正解：?x?0,y

?19?y9x19

?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

當(dāng)且僅當(dāng)

19y9x

?1，可得x?4,y?12時，?x?y?min?16。?時，上式等號成立，又?xyxy

變式：（1）若

x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,技巧七

y?R?且a?b

x

y

?1，求x

?y的最小值

已知x，y為正實數(shù)，且x 2y 2

＝1，求x1＋y 2 的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤

a 2＋b 2。

同時還應(yīng)化簡1＋y 2 中y2前面的系數(shù)為

12，x1＋y 2 ＝x

1＋y 2

2· ＝x·

＋

y 2

下面將x，12

＋

y 2

分別看成兩個因式：

x·

＋

y 2

x 2＋（12

≤

y 2

＋)222

x 2＋＝

y 21

＋222

＝即x

1＋y 2 ＝2 ·x

＋

y 2≤ 2

4技巧八：

已知a，b為正實數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝的最小值.ab

分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。

－2 b 2＋30b

法一：a＝，ab＝·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝

118

－2t 2＋34t－31

＝－2（t＋

16）＋34∵t＋

16≥2

30－2b

30－2b

ttt

t·

t

＝8

∴ ab≤18∴ y≥當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。ab∴ 30－ab≥22 ≤u≤3ab

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2令u＝

ab則u2＋22 u－30≤0，－5

∴ab≤32，ab≤18，∴y≥

點評：①本題考查不等式

a?b

?（a,b?R?）的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；②如何由已知不等式

2的范圍，關(guān)鍵是尋找到

ab?a?2b?30出發(fā)求得ab（a,b?R?）

a?b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式

a?b

?ab（a,b?R?），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進而解得ab的范圍.2

變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧

九、取平方

5、已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝

3x ＋

2y 的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，a＋b

≤

a 2＋b

2，本題很簡單

3x ＋2y≤2（3x）2＋（2y）2 ＝2 3x＋2y ＝2

5解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋2

∴ W≤＝

3x ·

2y ＝10＋2

3x ·

2y ≤10＋（3x)2·（2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

變式

: 求函數(shù)y?

解析：注意到2x?

1與5?

2x的和為定值。

?x?)的最大值。

y2?2?4??4?(2x?1)?(5?

2x)?8

又

y?0，所以0?y??

時取等號。故ymax? 2

當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=5?2x，即x

評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。

應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知

a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

?1??1??1?

?1。求證：??1???1???1??8

?a??b??c?

11?ab?c，?1???aaa1）正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、c?R，且a?b?c

?

分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“

2”連乘，又可由此變形入手。

解：?a、b、c?R，a?b?

c

?

?1。?

11?ab?

c?1???aaa。同理

?1?b，1?1?

c

述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1?1??1??1?a?b?c?。當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。?1?1?1??8??????3abc?a??b??c?

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x?0,y

?0且??1，求使不等式x?y?m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。

xy

19x?y9x?9y10y9x??1，???1.????1 xykxkykkxky

解：令x?y?k,x?0,y?0,?1?

?2?。?k?16，m????,16? kk

1a?b

(lga?lgb),R?lg()，則P,Q,R的大小關(guān)系是.22

應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若a

?b?1,P?a?lgb,Q?

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

Q?

（lga?lgb)?lga?lgb?p 2

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。