第一篇：人教版數(shù)學(xué)不等式解讀

人教版數(shù)學(xué)不等式解讀

課程目標(biāo)：不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容。建立不等觀念、處理不等關(guān)系與處理等量問(wèn)題是同樣重要的。在本模塊中，學(xué)生將通過(guò)具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等式（組）對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題；認(rèn)識(shí)基本不等式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；體會(huì)不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系。

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

大綱教材中，一元二次不等式安排在集合之后、簡(jiǎn)易邏輯之前，作為初中一元一次不等式的自然延伸和新高一的起步內(nèi)容之一，而課標(biāo)教材把一元二次不等式安排在模塊5，根據(jù)浙江省高中新課程實(shí)施意見(jiàn)，應(yīng)在高二（上）學(xué)習(xí)；二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題從大綱教材解析幾何部分的一個(gè)單元移到模塊5；刪除一元高次、分式不等式，把絕對(duì)值不等式移到選修4－5，把不等式證明也移到選修4－

5、1－2（文）、2－2（理）。

二、教學(xué)要求──立足基礎(chǔ)、螺旋上升，促進(jìn)主動(dòng)學(xué)習(xí)、激勵(lì)自主發(fā)展

1．基本要求

（1）了解不等式（組）的實(shí)際背景。

（2）理解不等式（組）對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值。

（3）會(huì)用不等式（組）表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系，能用不等式（組）研

究含有不等關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題。

（4）了解不等式一些基本的性質(zhì)。

（5）了解從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過(guò)程，理解一元二次

不等式的概念。

（6）理解并掌握一元二次不等式、二次函數(shù)及一元二次方程之間的關(guān)系。

（7）理解并掌握解一元二次不等式的過(guò)程。

（8）會(huì)求一元二次不等式的解集。

（9）掌握求解一元二次不等式的程序框圖及隱含的算法思想。

（10）了解從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式（組）模型的過(guò)程。

（11）理解二元一次不等式（組）及其解集的概念。

（12）了解二元一次不等式的幾何意義，理解（區(qū)域）邊界的概念及其實(shí)、虛線的含義。

（13）會(huì)用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域。

（14）了解線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)劃、可行域、可行解、最優(yōu)解的概念。

（15）掌握簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題的解法。

（16）了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景及其證明過(guò)程。

（17）理解算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的概念。

（18）會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問(wèn)題。

（19）通過(guò)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

2．發(fā)展要求

（1）理解并掌握不等式的基本性質(zhì)。

（2）體會(huì)不等式的基本性質(zhì)在不等式證明中所起的作用。

（3）一元二次不等式解法及應(yīng)用。

（4）能把一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二元線性規(guī)劃問(wèn)題并加以解決。

（5）掌握基本不等式應(yīng)用及其使用的條件。

三、課標(biāo)教材特點(diǎn)分析

1．教學(xué)內(nèi)容

通過(guò)前后移動(dòng)、左右拆分等動(dòng)作試圖把體現(xiàn)和刻畫不等關(guān)系的意義、價(jià)

值、方法和思想的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了一次整編，使得內(nèi)容上 “形式的大拼盤”在不等關(guān)系和不等思想這個(gè)層次上得到“實(shí)質(zhì)性的統(tǒng)一”。從多角度（實(shí)際背景、幾何意義、代數(shù)算理、不等思想等）體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)基礎(chǔ)性、發(fā)展性、應(yīng)用性和思想性的要求。

2．教學(xué)要求

（1）在解不等式方面，課標(biāo)教材有二個(gè)特點(diǎn)：基本要求進(jìn)一步降低、重視直觀合情推理。在大綱教材刪除指、對(duì)數(shù)不等式和根式不等式之后又刪除了一元高次不等式、分式不等式，絕對(duì)值不等式移到選修4－5（選修IB之一，不作高考要求）；在課標(biāo)教材的例題中，解一元二次不等式前都是先研究相應(yīng)的一元二次方程的根、二次函數(shù)的圖象，這是大綱教材所不及的。

（2）在不等式證明方面采取分步到位、螺旋上升的策略，但現(xiàn)階段浙

江省高考對(duì)不等式證明的要求是降低的。雖然在選修1－2（文）、2－2（理）的推理與證明中提出用綜合法與分析法是選修IA之一，作為浙江高考要求；但選修4－5中不等式選講中不等式證明的常用方法及柯西、排序、均值不等式及其應(yīng)用，還介紹了數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式，這些內(nèi)容是選修IB之一，不作為浙江高考要求。另外，基本不等式只要求了解其代數(shù)、幾何背景及證明過(guò)程，應(yīng)用上只要求用于求簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題。

3．教學(xué)意義

數(shù)學(xué)是思維的體操，不等式作為大綱教材的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，在培養(yǎng)學(xué)

生演繹推理能力方面起到重要作用，但大綱教材在推理的技巧性和嚴(yán)密性上多層次人為的過(guò)度強(qiáng)調(diào)，在演繹推理難度上不斷提升，往往使得學(xué)生成為思維的機(jī)器，而不是思維的主人。課標(biāo)教材強(qiáng)調(diào)合情推理和演繹推理并重，強(qiáng)調(diào)不等式的背景和實(shí)際應(yīng)用，把不等式作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，作為描述優(yōu)化問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型，而不是從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)的純理論，使思維成為自然的可能，將使學(xué)生成為思維的主人。

練；強(qiáng)調(diào)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程，淡化一些技巧性的要求；強(qiáng)調(diào)

利用圖象的直觀性和合情推理，淡化純演繹推理。

3.1不等關(guān)系與不等式

這一節(jié)讓學(xué)生從大文化和實(shí)際背景認(rèn)識(shí)不等關(guān)系的普遍性，如章頭圖及其說(shuō) 明詩(shī)：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”（這首蘇東坡的《題西林壁》的后二句大家更熟悉：不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中）；具體要求也和原教材有很大的不同，原教材作為研究不等式的理論基礎(chǔ)，先結(jié)出實(shí)數(shù)大小比較的基本原理，再歸結(jié)出五大定理和幾個(gè)推論，部分還結(jié)出了證明。而課標(biāo)教材也先結(jié)出實(shí)數(shù)大小比較的基本原理，但把五大定理和幾個(gè)推論整理為不等式的八大性質(zhì)，并只作一些簡(jiǎn)要的說(shuō)明，并強(qiáng)調(diào)這些關(guān)于不等式的事實(shí)和性質(zhì)是解決不等式問(wèn)題的依據(jù)，所以在教學(xué)中，我們不必在這些性質(zhì)的證明中化過(guò)多的時(shí)間，而應(yīng)該著眼于通過(guò)實(shí)際背景、幾何意義、具體例子來(lái)說(shuō)明這些性質(zhì)的合理性，對(duì)一些不等式的推斷作一些分析驗(yàn)證；在此過(guò)程中更要重視學(xué)生的參與，師生在實(shí)際背景、幾何意義、具體例子的共同作用下接受合情推理及其結(jié)論，盡可能減少學(xué)習(xí)過(guò)程中被迫無(wú)奈的成分（包括教師作為成人已具有的，而學(xué)生未具備的文化背景和經(jīng)驗(yàn)）。另外，我個(gè)人認(rèn)為引入不等關(guān)系和性質(zhì)的實(shí)際背景、具體例子和性質(zhì)本身都可以根據(jù)實(shí)際情況（當(dāng)?shù)貙W(xué)生情況和我省模塊1－4－5－2－3的現(xiàn)實(shí)）作一些必要的調(diào)整，如問(wèn)題1的內(nèi)容（點(diǎn)到平面的距離）、章頭圖的形式（人教A版用熔巖峰嶺圖、上海教材用城市道路和高樓圖）、八條性質(zhì)的設(shè)置（如減對(duì)稱性，增倒數(shù)性質(zhì)）。

3.2一元二次不等式及其解法

在大綱教材中，集合和邏輯聯(lián)結(jié)詞之后簡(jiǎn)易邏輯和函數(shù)之前安排了借助二次 函數(shù)解決二次不等式有關(guān)問(wèn)題，究其用意，一是讓使學(xué)生進(jìn)一步完善二次函數(shù)這一中學(xué)里最重要的函數(shù)的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，并在理解抽象的函數(shù)概念時(shí)有一個(gè)具體的函數(shù)模型；二是鞏固有關(guān)集合的基本概念；三是鞏固并熟悉使用“或”、“且”二個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞，并為學(xué)習(xí)“簡(jiǎn)易邏輯”打好基礎(chǔ)；四是為下一章研究某些函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性作準(zhǔn)備。課標(biāo)教材為了防止師生在學(xué)習(xí)集合和函數(shù)概念時(shí)，借助二次不等式對(duì)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等細(xì)小問(wèn)題進(jìn)行大量繁瑣的所謂重點(diǎn)訓(xùn)練，而忽視對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)的理解、忽視對(duì)函數(shù)性質(zhì)的討論、忽視函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，故課標(biāo)教材采取了釜底抽薪的方法，把二次不等式放到必修5。但已經(jīng)參與實(shí)驗(yàn)的教師中，特別是在一些多次使用傳統(tǒng)教材的教師中，有許多人對(duì)此提出質(zhì)疑，我認(rèn)為這主要是受使用大綱教材（把二次不等式放在集合與函數(shù)之

間）的經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣性的影響。對(duì)此，我有二個(gè)建議：部分現(xiàn)階段一時(shí)難以適應(yīng)的老教師，在盡可能實(shí)現(xiàn)課標(biāo)教材設(shè)計(jì)意圖的情況下可以暫時(shí)沿用以往的辦法來(lái)處理；學(xué)生數(shù)學(xué)基本能力和思想（主要是本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)過(guò)程中的蘊(yùn)含的有關(guān)能力，如實(shí)際背景抽象出數(shù)學(xué)模型的能力、數(shù)形結(jié)合的能力、從直觀到理性和從特殊到一般的認(rèn)識(shí)能力）較好的班級(jí)也可以暫時(shí)沿用以往的辦法來(lái)處理。但我們應(yīng)努力改變這種情況。

人教A版先通過(guò)一個(gè)上網(wǎng)費(fèi)用問(wèn)題引入一元二次不等式的概念，讓學(xué)生了解 從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過(guò)程，理解一元二次不等式的概念。然后借助具體二次函數(shù)的圖象研究二次函數(shù)的零點(diǎn)和一元二次方程根的關(guān)系，并觀察當(dāng)一點(diǎn)P在二次函數(shù)圖象上移動(dòng)（即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x變化）時(shí)，其縱坐標(biāo)y有什么變化？進(jìn)而歸納出一般一元二次不等式的解法，最后讓學(xué)生自主完成求解一般一元二次不等式的過(guò)程的程序框圖。從實(shí)際背景到數(shù)學(xué)模型，從直觀感受到理性認(rèn)識(shí)，從特殊到一般，這種處理符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有助于學(xué)生認(rèn)清知識(shí)的形成過(guò)程，加深對(duì)知識(shí)的理解，更重要的是在此過(guò)程中學(xué)生能有體驗(yàn)的感受，往往使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的思想方法。故教學(xué)中要重體驗(yàn)淡模式、重應(yīng)用淡技巧、重背景控難度?？傊?，要重視理解并掌握解一元二次不等式的過(guò)程，突出數(shù)形結(jié)合的思想，理解二次函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，達(dá)到求一元二次不等式的解集的基本要求即可，相關(guān)內(nèi)容在選修4－5中將進(jìn)一步討論。

3.3二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

不等關(guān)系在日常生活、現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、科學(xué)實(shí)驗(yàn)中大量存在，如上網(wǎng)時(shí)間費(fèi)用、剎車距離與車速關(guān)系、資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問(wèn)題。不等式是用來(lái)刻畫不等關(guān)系的優(yōu)化工具，二元一次不等式（組）刻畫區(qū)域的準(zhǔn)確性和可活動(dòng)性使之成為解決二元線性規(guī)劃問(wèn)題的有效工具。本節(jié)安排了線性規(guī)劃及其實(shí)習(xí)作業(yè)內(nèi)容，教學(xué)中要立足于實(shí)際問(wèn)題是數(shù)學(xué)問(wèn)題的源泉，解決實(shí)際問(wèn)題是數(shù)學(xué)研究的主要目的之一；同時(shí)，由于浙江省先安排上模塊5，后上模塊2，故高一教學(xué)時(shí)應(yīng)作適當(dāng)調(diào)整，一種是把整節(jié)切割到直線方程之后，另一種是適當(dāng)補(bǔ)充直線方程有關(guān)內(nèi)容（如傾斜角、斜率等），我傾向選擇后一種方案（主要基于二點(diǎn)理由：傾斜角、斜率比較直觀，三角函數(shù)已學(xué)），主要理由是遵循教材設(shè)計(jì)意圖（不等關(guān)系）；另外，多元條件極值是有一定難度的，教學(xué)中不應(yīng)再過(guò)多展開，要讓學(xué)生通過(guò)自主研究理解掌握基本解法即可，如可讓學(xué)生自主探究完成二元一次不等式表示的平面區(qū)域（象探究一元二次不等式的解法一樣，經(jīng)歷觀察、嘗試、思考等探究的過(guò)程）；最后，要幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二元一次不等式（組），這是本節(jié)的難點(diǎn)。

3.4基本不等式：ab?a?b

首先，我們應(yīng)明確，本節(jié)的重點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，從 不同角度探索它的證明過(guò)程（證明意識(shí)的培養(yǎng)），難點(diǎn)是利用之求最大（小）值，一般不等式證明不是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，選修1－2（文）、2－2（理）、4－5中將會(huì)繼續(xù)研究；其次，基本不等式只限于二元；第三，教學(xué)中應(yīng)突出用基本不等式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，特別是實(shí)際問(wèn)題（如周長(zhǎng)、面積、造價(jià)等）的最大（小）值；第四，不要有意設(shè)置一些特殊問(wèn)題去強(qiáng)調(diào)所謂“一正、二定、三相等”。

第二篇：人教數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)選修不等式選講簡(jiǎn)介

人教數(shù)學(xué)（A版）培訓(xùn)手冊(cè)之三十九──“不等式選講”簡(jiǎn)介

人教A版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（選修4-5）《不等式選講》是根據(jù)教育部制訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡(jiǎn)稱課程標(biāo)準(zhǔn))的選修4系列第5專題“不等式選講”的要求編寫的。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本專題介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學(xué)歸納法和它的簡(jiǎn)單應(yīng)用

一、內(nèi)容與要求1．回顧和復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)和基本不等式。

2．理解絕對(duì)值的幾何意義，并能利用絕對(duì)值不等式的幾何意義證明以下不等式：（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；（3）會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。3．認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。（1）證明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。（2）證明：（a+b）(c+d)≥(ac+bd)。（3）證

明：

≥。4．用22222參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況：5．用向量遞歸方法討論排序不等式。6．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。7．會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：(1＋x)＞1＋nx（x＞-1,n為正整數(shù)）。了解當(dāng)n為實(shí)數(shù)時(shí)貝努利不等式也成立。

8．會(huì)用上述不等式證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。9．通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。

二、內(nèi)容安排 本專題內(nèi)容分成四講，結(jié)構(gòu)如下圖所n

示：

本專題的內(nèi)容是在初中階段掌握了不等式的基本概念，學(xué)會(huì)了一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)高中必修課五個(gè)模塊的基礎(chǔ)上展開的．作為一個(gè)選修專題，教科書在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對(duì)的完整性．第一講是“不等式和絕對(duì)值不等式”，它是本專題的最基本內(nèi)容，也是其余三講的基礎(chǔ)．

本講的第一部分類比等式的基本性質(zhì)，從“數(shù)與運(yùn)算”的基本思想出發(fā)討論不等式的基本性質(zhì)，這是關(guān)于不等式在運(yùn)算方面的一些最基本法則．接著討論基本不等式，介紹了基本不等式的一個(gè)幾何解釋：“直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高”，并把基本不等式推廣到三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式．對(duì)于一般形式的均值不等式，則只作簡(jiǎn)單介紹，不給出證明．在此基礎(chǔ)上，介紹了它們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題中的一些應(yīng)用，如最基本的等周問(wèn)題，簡(jiǎn)單的極值問(wèn)題等。第二部分討論了有關(guān)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)及絕對(duì)值不等式的解法．絕對(duì)值是與實(shí)數(shù)有關(guān)的一個(gè)基本而重要的概念，討論關(guān)于絕對(duì)值的不等式具有重要的意義．

絕對(duì)值三角不等式是一個(gè)基本的結(jié)論，教科書首先引導(dǎo)學(xué)生借助于實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示和絕對(duì)值的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的運(yùn)算角度探究歸納出絕對(duì)值三角不等式，接著聯(lián)系向量形式的三角不等式，得到絕對(duì)值三角不等式的幾何解釋，最后用代數(shù)方法給出證明．這樣，數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生多角度認(rèn)識(shí)這個(gè)不等式，逐步深化對(duì)它的理解．利用絕對(duì)值三角不等式可以解決形如的函數(shù)的極值問(wèn)題，教科書安排了一個(gè)這樣的實(shí)際問(wèn)題

對(duì)于解含有絕對(duì)值的不等式，教科書只討論了兩種特殊類型不等式的解法，而不是系統(tǒng)地對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行研究。教科書引導(dǎo)學(xué)生探討了形如解法，以及形如或或的不等式的的不等式的解法．學(xué)生通過(guò)這兩類含有絕對(duì)值的不等式能夠基本學(xué)到解含有絕對(duì)值的不等式的一般思想和方法。第二講是“證明不等式的基本方法”．對(duì)于不等式的深入討論必須首先掌握一些基本的方法，所以本講內(nèi)容也是本專題的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容。本講通過(guò)一些比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，介紹了證明不等式的幾種常用而基本的方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法． 比較法是證明不等式的最基本的方法，比較法可以分為兩種，一種是相減比較法，它的依據(jù)是：

另一種是相除比較法，是把不等式兩邊相除，轉(zhuǎn)化為比較所得商式與1的大小關(guān)系，它的依據(jù)是：當(dāng)b＞0

時(shí)，在比較法的兩種方法中，相減比較法又是最基本而重要的一種方法。在證明不等式的過(guò)程中，根據(jù)對(duì)于不等式的條件和結(jié)論不同探索方向作分類，證明方法又可以分為分析法和綜合法。在證明不等式時(shí)，可以從已知條件出發(fā)逐步推出結(jié)論的方法是綜合法；尋找結(jié)論成立的充分條件，從而證明不等式的方法就是分析法．證明不等式的方法還可以分為直接證法和間接證法，反證法是一種間接證法．它從不等式結(jié)論的反面出發(fā)，即假設(shè)要證明的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，得出矛盾結(jié)果，從而說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，而要證的原不等式結(jié)論成立

在證明不等式的過(guò)程中，有時(shí)通過(guò)對(duì)不等式的某些部分作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明的目的，這就是所謂的放縮法． 教科書對(duì)以上方法都結(jié)合實(shí)例加以介紹。本講內(nèi)容對(duì)進(jìn)一步

討論不等式提供了思想方法的基礎(chǔ)． 本講的教學(xué)內(nèi)容中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標(biāo)準(zhǔn)才引入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的內(nèi)容。第三講是“柯西不等式和排序不等式”．本講介紹兩個(gè)基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用． 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用．教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再?gòu)南蛄康慕嵌葋?lái)認(rèn)識(shí)柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應(yīng)用。在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎(chǔ)上，教科書引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，從幾何意義上發(fā)現(xiàn)二維形式的三角不等式。接著借助二維形式的柯西不等式證明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基礎(chǔ)上，教科書安排了一個(gè)探究欄目，讓學(xué)生通過(guò)探究得出一般形式的三角不等式。排序不等式也

是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式

．有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡(jiǎn)捷的證明。教科書在討論排

序不等式時(shí)，展示了一個(gè)“探究——猜想——證明——應(yīng)用”的研究過(guò)程，目的是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)，初步認(rèn)識(shí)排序不等式的數(shù)學(xué)意義、證明方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用。

柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)正式引入到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中。第四講是“數(shù)學(xué)歸納法證明不等式”．本講介紹了數(shù)學(xué)歸納法及其在證明不等式中的應(yīng)用．對(duì)于某些不等式，必須借助于數(shù)學(xué)歸納法證明，所以在不等式選講的專題中安排這個(gè)內(nèi)容是很有必要的。教科書首先結(jié)合具體例子，提出尋找一種用有限步驟處理無(wú)限多個(gè)對(duì)象的方法的問(wèn)題．然后，類比多米諾骨牌游戲，引入用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的方法，并分析了數(shù)學(xué)歸納法的基本結(jié)構(gòu)和用它證明命題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題（兩個(gè)步驟缺一不可）．接著舉例說(shuō)明數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式中的應(yīng)用，特別地，證明了貝努利不等式。本專題的教學(xué)重點(diǎn)：不等式基本性質(zhì)、基本不等式及其應(yīng)用、絕對(duì)值不等式的解法及其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應(yīng)用； 教學(xué)難點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式及其應(yīng)用、絕對(duì)值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運(yùn)用柯西不等式和排序不等式證明不等式；

本專題教學(xué)約需18課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）第一講 不等式和絕對(duì)值不等式

一、不等式約３課時(shí)

二、絕對(duì)值不等式約２課時(shí)第二講 證明不等式的基本方法

一、比較法約1課時(shí)

二、綜合法與分析法約2課時(shí)

三、反證法與放縮法約1課時(shí)

第三講 柯西不等式與排序不等式一、二維形式的柯西不等式約1課時(shí)二、一般形式的柯西不等式約1課時(shí)

三、排序不等式約2課時(shí)

第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

一、數(shù)學(xué)歸納法約2課時(shí)

二、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式約2課時(shí)

學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告約1課時(shí)

三、編寫中考慮的幾個(gè)問(wèn)題

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本專題應(yīng)該強(qiáng)調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學(xué)生對(duì)這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析解決問(wèn)題的能力，我們?cè)诮炭茣木帉懼信θ?shí)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的思想。

(一)重視展現(xiàn)不等式的幾何背景，力求讓學(xué)生對(duì)重要不等式有直觀理解

數(shù)量關(guān)系和空間形式是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面，不等式則是從數(shù)量關(guān)系的角度來(lái)刻畫現(xiàn)實(shí)世界的。我們一般借助于代數(shù)方法證明不等式。代數(shù)證明要經(jīng)過(guò)一系列的變形，人們常常不能很直接地看出其中的數(shù)量關(guān)系。而借助于幾何的方法，把不等式中的有關(guān)量適當(dāng)?shù)赜脠D形中的幾何量表示出來(lái)，則往往能很好地指明不等關(guān)系，使學(xué)生從幾何背景的角度，直觀地，從而也是直接地理解不等式。本專題中的重要不等式都有明顯的幾何背景，教科書注意呈現(xiàn)不等式的幾何背景，幫助學(xué)生理解不等式的幾何本質(zhì)。如對(duì)于是借助于面積關(guān)系，絕對(duì)值三角不等式是借助于向量和三角形中的邊長(zhǎng)關(guān)系，柯西不等式是借助于向量運(yùn)算，排序不等式是借助于三角形的面積。這樣，逐漸引導(dǎo)學(xué)生在面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能從幾何角度去思考問(wèn)題，找到解決問(wèn)題的途徑

(二)重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

數(shù)學(xué)思想是對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)（數(shù)學(xué)中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本質(zhì)的、高度抽象和概括的認(rèn)識(shí)，帶有普遍的指導(dǎo)意義，蘊(yùn)涵于運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程之中。數(shù)學(xué)方法是研究或解決數(shù)學(xué)問(wèn)題并使之達(dá)到目的的手段、方式、途徑或程序。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深對(duì)于具體數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。本專題的內(nèi)容包涵了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如應(yīng)用重要不等式解決實(shí)際問(wèn)題中體現(xiàn)出來(lái)的優(yōu)化思想，在重要不等式的呈現(xiàn)過(guò)程中的數(shù)形結(jié)合思想，在解不等式中體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化的思想，函數(shù)思想，以及證明不等式的比較法、綜合與分析法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法，在證明柯西不等式中的配方法等，對(duì)于這些數(shù)學(xué)思想和方法，教科書都及時(shí)作歸納和總結(jié)，使學(xué)生能夠結(jié)合具體的問(wèn)題加以理解和體會(huì)。

(三)重視引導(dǎo)學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式的改進(jìn)

在目前的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐仍存在一些問(wèn)題，就學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，比較突出的就是被動(dòng)的接受式的學(xué)習(xí)，教師偏重于灌輸式的教學(xué)，啟發(fā)式的教學(xué)原則做得不夠。學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)不強(qiáng)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力不強(qiáng)，獨(dú)立地解決問(wèn)題的能力也不強(qiáng)。針對(duì)這種情況，教科書重視引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，教科書設(shè)置了許多探究欄目，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探究，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比提出問(wèn)題及其解決方法，對(duì)于數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行特殊化、作推廣。例如，在講述了基本不等式以后，教科書就提出了一個(gè)思考問(wèn)題：“對(duì)于三個(gè)正數(shù)會(huì)有怎樣的不等式成立呢？”在證明了關(guān)于三個(gè)正數(shù)的均值不等式以后，又直接給出了一般的均值不等式；在證明了二維和三維的柯西不等式以后，就設(shè)置了一個(gè)探究性問(wèn)題“對(duì)比二維形式三維形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式嗎？”；再如“一般形式的三角不等式應(yīng)該是怎樣的？如何應(yīng)用一般形式的柯西不等式證明它？請(qǐng)同學(xué)自己探究?！钡鹊?，這樣的探究性問(wèn)題在教科書中處處可見(jiàn)。

(四)注意發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

重要不等式在許多實(shí)際問(wèn)題中可以得到應(yīng)用，在實(shí)際工作中常常能起到節(jié)約能源，降低成本，提高效率，加快速度等作用。在本專題中，教科書注意體現(xiàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際工作中的廣泛應(yīng)用，編寫了一些體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的例、習(xí)題。如經(jīng)典的等周問(wèn)題、盒子體積問(wèn)題、施工隊(duì)臨時(shí)生活區(qū)選點(diǎn)問(wèn)題、關(guān)于面積和體積的最值問(wèn)題。通過(guò)這些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的作用。

四、對(duì)教學(xué)的幾個(gè)建議

(一)注意把握教學(xué)要求

無(wú)論是不等式還是數(shù)學(xué)歸納法，都已經(jīng)發(fā)展成為內(nèi)容非常豐富的初等數(shù)學(xué)分支，也出版了一些專門的論著，老師們對(duì)于這些內(nèi)容一般都有豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，很容易把這些內(nèi)容作一

些拓展和補(bǔ)充。所以，在這個(gè)專題的教學(xué)中，要特別注意把握好教學(xué)要求，不要隨意提高教學(xué)要求，而應(yīng)該按照數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求來(lái)控制教學(xué)的深廣度。課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于本專題的幾個(gè)教學(xué)內(nèi)容都明確的教學(xué)要求，如：對(duì)于解含有絕對(duì)值的不等式，只要求能解幾種特殊類型的不等式，不要求學(xué)生會(huì)解各種類型的含有絕對(duì)值的不等式。對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式的要求也只要求會(huì)證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。只要求通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法，會(huì)利用所學(xué)的不等式證明一些簡(jiǎn)單不等式，等等。

另外，在不等式和數(shù)學(xué)歸納法的許多問(wèn)題中，常常需要一些技巧性比較強(qiáng)的恒等變形，在本專題的教學(xué)中則要控制這方面的教學(xué)要求，不要使教學(xué)陷于過(guò)于形式化和復(fù)雜的恒等變形的技巧之中，教學(xué)中不要補(bǔ)充一些代數(shù)恒等變形過(guò)于復(fù)雜或過(guò)于技巧化的問(wèn)題和習(xí)題，以免沖淡對(duì)于基本思想方法的理解，也不要引入一些過(guò)于專業(yè)和形式化、抽象化的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法的理解，不必要求學(xué)生對(duì)于方法的理解水平提高到專業(yè)數(shù)學(xué)工作者才需要的數(shù)學(xué)理論高度，而只需要通過(guò)一些學(xué)生容易理解的數(shù)學(xué)問(wèn)題中加深對(duì)于方法的理解和掌握。對(duì)于大多數(shù)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，要重視通過(guò)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解和掌握這部分的基本數(shù)學(xué)思想和方法。

當(dāng)然，對(duì)于部分確有余力的學(xué)生，仍可以適當(dāng)對(duì)于教學(xué)內(nèi)容作一些拓展，如可以介紹一般的均值不等式的證明及其應(yīng)用，以使學(xué)生對(duì)于這一重要不等式有一個(gè)比較完整的了解。

(二)要抓住教學(xué)重點(diǎn)

無(wú)論對(duì)于基本不等式、柯西不等式、排序不等式，還是解含有絕對(duì)值的不等式，不等式證明的方法，或數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)，都要抓住教學(xué)重點(diǎn)，抓住基本思想基本方法的教學(xué)，力求以簡(jiǎn)馭繁。對(duì)于幾個(gè)重要不等式，最基本的是二元(二維)的情況，核心的思想也是在二元(二維)的不等式中得到直接的體現(xiàn)；對(duì)于不等式的證明的最基本的方法是比較法；解含有絕對(duì)值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來(lái)加以討論，把含有絕對(duì)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式；讓學(xué)生能對(duì)數(shù)學(xué)歸納法思想真正理解和掌握，就能使學(xué)生靈活地加以應(yīng)用。這樣，學(xué)生就能掌握本專題最基本也是最重要的知識(shí)。

第三篇：數(shù)學(xué)：9.3一元一次不等式組教案(人教新課標(biāo)七年級(jí)下)范文

9.3一元一次不等式組

教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生通過(guò)生活實(shí)例，了解一元一次不等式組的意義和一元一次不等式組的解集的概念。

2.學(xué)生能利用數(shù)軸熟練的確定一元一次不等式組的解集，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，分析能力。

3.掌握由兩個(gè)一元一次不等式所組成的不等式組的解集的四種情況。

4.學(xué)生通過(guò)對(duì)一元一次不等式組的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)到事物間的相依關(guān)系。

教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)一元一次不等式組的四種情況，說(shuō)出一元一次不等式組的解集。教學(xué)難點(diǎn)：利用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集。教學(xué)過(guò)程： 一.創(chuàng)設(shè)情境：

1.你能列出解決這個(gè)問(wèn)題的式子嗎？

（小黑板）某學(xué)校初一（）班準(zhǔn)備一次秋季外出考察活動(dòng)，該班級(jí)共有學(xué)生40人。學(xué)校根據(jù)預(yù)算要求該班這次活動(dòng)的總經(jīng)費(fèi)不能超過(guò)2400元；旅游公司按成本計(jì)算這次活動(dòng)總經(jīng)費(fèi)不能低于2000元。如果考慮雙方的要求，學(xué)生所付的經(jīng)費(fèi)應(yīng)該在哪一范圍之內(nèi)？

學(xué)生列式:設(shè)每人所付的經(jīng)費(fèi)為x元 40x≤2400 40x≥2000

?40x?2400 同時(shí)滿足兩個(gè)條件，列成不等式組 ?

?40x?2000給出定義：由幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一次不等式組成的不等式組叫做一元一次不等式組。

2．（小黑板）判別下列不等式組中哪些是一元一次不等式組，并說(shuō)明為什么？

?x?0?x??3?x?2（1）?（2）?（3）? x?3?0y?3x?4????2x?3?54x?1?0???3x?1?4?(4)?(5)?2(6)?3x?2?1

??x?3?0?x?y?1?x?9?0?二.嘗試探究：

1.問(wèn)題：怎樣確定不等式組的解集呢？ ?40x?2400?x?60 比如：?的解集怎樣確定呢？?這個(gè)式子就是不?40x?2000?x?50等式組的解集嗎？

2.利用數(shù)軸來(lái)確定不等式組的解集

?x?3?x?3?x?3?x?3 例：（1）?（2）?（3）?（4）?

?x??1?x??1?x?-1?x??1 本題教師和學(xué)生共同完成

鞏固練習(xí)：（書四題，學(xué)生練習(xí)，學(xué)生板演，小組互相檢查，教師巡視指導(dǎo)）

小組討論：當(dāng)a>b時(shí)，如何確定下列不等式組的解集？

?x?a?x?a?x?a?x?a（！）?（2）?（3）?（4）?

?x?b?x?b?x?b?x?b 課后思考：當(dāng)a

三.歸納小結(jié)：

1.本節(jié)課我們認(rèn)識(shí)了什么是一元一次不等式組及其解集，并學(xué)會(huì)了利用數(shù)軸來(lái)確定不等式組的解集。（利用例題中四個(gè)不等式組解集情況說(shuō)明不等式組解集取法）

2.一元一次不等式組和二元一次方程組類似，也有不同的地方。兩者都是由兩個(gè)或幾個(gè)一次式組成，但不等式組是同一個(gè)字母，方程組中有兩個(gè)字母。3.具體求不等式組解集的方法，下節(jié)課我們接著學(xué)習(xí)。

四.布置作業(yè)：

練習(xí)冊(cè)B冊(cè)習(xí)題9.3

同步練習(xí)

第四篇：數(shù)學(xué)常用不等式

一：一些重要恒等式

1：

2：

3：

4：

5：三角中的等式（在大學(xué)中很有用）

6:歐拉等式二重要不等式 1:絕對(duì)值不等式

(e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛根單位）

(別看簡(jiǎn)單，常用)

2：伯努利不等式

(xi符號(hào)相同且大于-1)

特例 :3：柯西不等式

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立

4:

5：

6:切比雪夫不等式

若，則

若，則三：常見(jiàn)的放縮(均用數(shù)學(xué)歸納法證)

1：

2：

3： 4：

5：

6：對(duì)數(shù)不等式（重要）

7：8:均值不等式我不說(shuō)了（絕對(duì)的重點(diǎn)）

9：四：一些重要極限重要的等價(jià)量(書上有，但這些重要極限需熟背如流)

第五篇：七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)_第九章《不等式與不等式繃》綜合測(cè)試題_人教新課標(biāo)版

joe 有一個(gè)很，他是一個(gè)警察局里的美術(shù)家，一些人看見(jiàn)了罪犯然后告訴joe，他們告訴joe罪犯都長(zhǎng)什么樣。然后joe畫下罪犯的圖片，然后警察就會(huì)把照片放在報(bào)紙上或者在電視上找到罪犯。他想要畫好任何一張關(guān)于罪犯的照片，但這個(gè)工作有些困難。許多人并不總是意見(jiàn)一致，所以他們可能描述同一個(gè)人是十分困難的。同樣，他們總是不能很好的記住罪犯“這個(gè)罪犯中等身材，并且十分年輕。他有很長(zhǎng)的棕色的直頭發(fā)和大大的眼睛”一個(gè)女士說(shuō)，但另一些女士說(shuō):他很高又很瘦，他有一頭卷發(fā)。他大概有三十歲了。在結(jié)尾，真正的罪犯是個(gè)很矮和很胖的老男人，并且他又黑色的短頭發(fā)

用心愛(ài)心 專心1