第一篇：證明公理三的推論三

證明公理三的推論三

1.平面通常用一個(gè)平行四邊形來表示.平面常用希臘字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、p來表示，也可用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)字母表示，如平面AC.在立體幾何中，大寫字母A，B，C，…表示點(diǎn)，小寫字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直線，且把直線和平面看成點(diǎn)的集合，因而能借用集合論中的符號(hào)表示它們之間的關(guān)系，例如：a)A∈l—點(diǎn)A在直線l上;Aα—點(diǎn)A不在平面α內(nèi);b)lα—直線l在平面α內(nèi);c)aα—直線a不在平面α內(nèi);d)l∩m=A—直線l與直線m相交于A點(diǎn);e)α∩l=A—平面α與直線l交于A點(diǎn);f)α∩β=l—平面α與平面β相交于直線l.2.平面的基本性質(zhì)公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.公理3經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.3.空間線面的位置關(guān)系共面平行—沒有公共點(diǎn)(1)直線與直線相交—有且只有一個(gè)公共點(diǎn)異面(既不平行，又不相交)直線在平面內(nèi)—有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線和平面直線不在平面內(nèi)平行—沒有公共點(diǎn)(直線在平面外)相交—有且只有一公共點(diǎn)(3)平面與平面相交—有一條公共直線(無數(shù)個(gè)公共點(diǎn))平行—沒有公共點(diǎn)

存在性：

在每一條直線上都任意取一點(diǎn)(不是交點(diǎn)),不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有一個(gè)平面(公理3)。

唯一性：

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)只有一個(gè)平面(公理3)。

綜上所述，兩條相交的直線確定一個(gè)平面。

1)三點(diǎn)確定一個(gè)平面

2)在一條直線A上取一個(gè)點(diǎn)E，與另一條直線B可確定一個(gè)平面C。

3)在A上任取一點(diǎn)D(不與E重合)，證明D與B確定的平面與C重合。

否則可導(dǎo)致A，B不平行。

兩點(diǎn)定一條直線

三點(diǎn)(不直線)定一個(gè)平面

兩條平行的直線中其中一條直線可以確定2個(gè)點(diǎn)

另一條中找隨便一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)在第一條直線外

所以不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面

第二篇：證明公理3的推論3

證明公理3的推論3

公理3的內(nèi)容是：經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

公理3的推論3是：兩條平行的直線確定一個(gè)平面。

所有的推論是由相應(yīng)的公理證明的。

證明：

設(shè)兩直線l和m互相平行，取l上兩個(gè)點(diǎn)A和B，取m上兩個(gè)點(diǎn)C和D，顯然任意三點(diǎn)都不共線，否則l和m將會(huì)相交，與兩直線平行矛盾，根據(jù)公理3，知道

過A、C、D有且只有一個(gè)平面，設(shè)為平面α;過B、C、D有且只有一個(gè)平面，設(shè)為平面β;

假設(shè)兩平面α和β不重合，則B在α外，在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫平行線，所以在α內(nèi)過A且與CD平行的直線有且只有一條，不妨設(shè)為AE，此時(shí)，AB和AE都與CD平行，與“過直線外一點(diǎn)與此直線平行的直線有且只有一條“矛盾,所以D也在α內(nèi)，此時(shí)α和β重合，即α和β是同一個(gè)平面，即兩條平行的直線確定一個(gè)平面。

2公理3的內(nèi)容是：經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

公理3的推論3是：兩條平行的直線確定一個(gè)平面。

所有的推論是由相應(yīng)的公理證明的。

證明：

設(shè)兩直線l和m互相平行，取l上兩個(gè)點(diǎn)A和B，取m上兩個(gè)點(diǎn)C和D，顯然任意三點(diǎn)都不共線，否則l和m將會(huì)相交，與兩直線平行矛盾，根據(jù)公理3，知道

過A、C、D有且只有一個(gè)平面，設(shè)為平面α;過B、C、D有且只有一個(gè)平面，設(shè)為平面β;

假設(shè)兩平面α和β不重合，則B在α外，在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫平行線，所以在α內(nèi)過A且與CD平行的直線有且只有一條，不妨設(shè)為AE，此時(shí)，AB和AE都與CD平行，與“過直線外一點(diǎn)與此直線平行的直線有且只有一條”矛盾,所以D也在α內(nèi)，此時(shí)α和β重合，即α和β是同一個(gè)平面，即兩條平行的直線確定一個(gè)平面。

兩點(diǎn)定一條直線

三點(diǎn)(不直線)定一個(gè)平面

兩條平行的直線中其中一條直線可以確定2個(gè)點(diǎn)

另一條中找隨便一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)在第一條直線外

所以不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面

存在性：

在每一條直線上都任意取一點(diǎn)(不是交點(diǎn)),不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有一個(gè)平面(公理3)。

唯一性：

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)只有一個(gè)平面(公理3)。

綜上所述，兩條相交的直線確定一個(gè)平面。

第三篇：公理3的推論3的證明

公理3的內(nèi)容是：經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

公理3的推論3是：兩條平行的直線確定一個(gè)平面。

所有的推論是由相應(yīng)的公理證明的。

證明：

設(shè)兩直線l和m互相平行，取l上兩個(gè)點(diǎn)A和B，取m上兩個(gè)點(diǎn)C和D，顯然任意三點(diǎn)都不共線，否則l和m將會(huì)相交，與兩直線平行矛盾，根據(jù)公理3，知道

過A、C、D有且只有一個(gè)平面，設(shè)為平面α；過B、C、D有且只有一個(gè)平面，設(shè)為平面β；

假設(shè)兩平面α和β不重合，則B在α外，在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫平行線，所以在α內(nèi)過A且與CD平行的直線有且只有一條，不妨設(shè)為AE，此時(shí)，AB和AE都與CD平行，與“過直線外一點(diǎn)與此直線平行的直線有且只有一條"矛盾,所以B也在α內(nèi)，此時(shí)α和β重合，即α和β是同一個(gè)平面，即兩條平行的直線確定一個(gè)平面。

第四篇：初三數(shù)學(xué)證明及相關(guān)公理、定理、推論

第一次課：證明及相關(guān)公理、定理、推論

一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧

1、《證明

（一）》知識(shí)點(diǎn)回顧：全等三角形的四個(gè)公理和一個(gè)推論

公理三遍對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(SSS)

公理兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(SAS)

公理兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(ASA)

公理全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。

推論兩角及其中一角的對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形全等。(AAS)

2、課堂新知

等腰三角形性質(zhì)定理：

定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等。（簡(jiǎn)單敘述：等邊對(duì)等角）

等腰三角形性質(zhì)定理推論：

推論等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

等腰三角形的判定定理：

定理有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。（簡(jiǎn)單敘述：等角對(duì)等邊）

等邊三角形判定定理1：

定理有一個(gè)角等于60?的等腰三角形是等邊三角形。

等邊三角形判定定理2：

定理三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

含有30角的直角三角形的性質(zhì)定理：

定理在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

等邊三角形性質(zhì)定理：

等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60?。

3、反證法

在?ABC中，?B??C，求證：AB?AC

反證法一般用于不方便直接證明的命題，從其反面予以證明不成立，從而肯定本命題整理，基本步驟為：假設(shè)命題結(jié)論不成立；從這個(gè)假設(shè)出發(fā)應(yīng)用正確的推理方法；得出與定義、公理、已證定理或已知的矛盾；從而否定假設(shè)，得出肯定的結(jié)論。

4能力拓展：

（1）、利用輔助線構(gòu)造等腰三角形或全等三角形解決問題

（2）、等腰三角形的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 ??

二、典型例題

ABDC

F

1F

例

1、（2010·昆明中考題）如圖，點(diǎn)B、D、C、F在一條直線上，且BC=FD，AB=EF。

（1）請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不再加輔助線），使?ABC??EFD，你添加的條件是；（2）添加了條件后，證明?ABC??EFD。

例

2、（2011·濟(jì)南模擬題）在?ABC中，AB?AC,點(diǎn)D在AC邊上，且BD?BC?AD，則?A的度數(shù)為（）。

A.30B.36C.45D.70

例

3、（2010·成都調(diào)研題）點(diǎn)D、E在?ABC的邊BC上，AB?AC,AD?AE,求證：BD?CE。

例

4、（2011·寧波模擬題）在?ABC中，?ABC、?ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線

?

?

?

?

例

1MN//BC，分別交于點(diǎn)M、N，求證：MN?BM?CN。

例

5、（2011·樂山模擬題）在等邊?ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AB上，且BD?AE，AD與CE交于點(diǎn)F。

（1）求證：AD?CE；（2）求?DFC的度數(shù)。

例

6、（2010·北京四中測(cè)試題）D、E在線段BC上，A

BD?CE，?ACB?120o，求證：?ADE為等邊三角形。

B

DE

C

例6

例

7、（2011·長春模擬題）已知如圖，?ABC是等邊三角形，且?1=?2=?3，求證：?DEF是等邊三角形。

D

A

C

E

B

例

8、（2010·華師一附中測(cè)試題）在?ABC中，例7

F

AB?A,C?BA?C12o，0是BCD的中點(diǎn)，DE?AB于點(diǎn)E，求證：EB?3EA

例

9、（2010·哈爾濱聯(lián)考題）用反證法證明等腰三角形的底角都是銳角。

例

10、(2010·天津調(diào)研題)如圖，D為等邊?ABC內(nèi)一點(diǎn)，且

C

DB?DA,BP?AB,?DBP??DBC.求?BPD的度數(shù)。

PD

B

例7

A

三、課后練習(xí)

1、D在AB上，點(diǎn)E在AC上，?ABC??ACB,那么補(bǔ)充下列一個(gè)條件后，仍無法判定

?ABE??ACD的是（）

A.AD?AEB.?AEB??ADCC.BE?CDD.AB?AC

2、如圖，AB?AE,?ABC??AED,BC?ED,點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)。（1）、求證：AF?CD；

（2）、在連接BE后，還能得出什么結(jié)論？（至少寫出三個(gè)）

3、如圖，已知點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、CB為一邊在AB的同側(cè)作等邊?ACD和等邊?CBE，AE交CD于M，BD交CE于

B

E

C

FD

DA

C

EN

B

N。求證：?MCN為等邊三角形。

4、一艘船由西向東航行，在A處測(cè)得小島P的方位是北偏東，又航行7海里后，在B處測(cè)得小島P的方位是北偏東，若小島周圍3.8海里內(nèi)有暗礁，該穿一直向東航行有無觸礁的危險(xiǎn)？

5、在等腰?ABC中，CH是底邊上的高線，點(diǎn)P是線段CH上不與端點(diǎn)重合75o

60o

P

AB

C

FP

E

AHB的任意一點(diǎn)，連接AP并延長交BC于點(diǎn)E，連接BP并延長交AC于點(diǎn)F。（1）求證：?CAE??CBF（2）求證：AE?BF

（3）以線段AE、BF和AB為邊構(gòu)成一個(gè)新的三角形ABG（點(diǎn)E和點(diǎn)F重合于點(diǎn)G），記?ABC和?ABG的面積分別為S?ABC和S?ABG，如果存在點(diǎn)P，能使得S?ABC=S?ABG，求?A CB的取值范圍。

6、用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角。

第五篇：證明Mahalanobis距離符合距離三公理,即

1． 證明Mahalanobis距離符合距離三公理，即

（1）r?a,b??r?b,a?；

（2）當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)，r?a,b??0；

（3）r?a,c??r?a,b??r?b,c?。

2． 設(shè)P??1??P??2?,?1??2,?1?k?2，試問按最小錯(cuò)誤率的貝葉斯決策，其分界面是

否為線性。

??1TT3． 二維正態(tài)分布?1???1,0?,?2??1,0?，?1??1??21??12?,????2?11?????21???2，試求其決?1??

策域劃分。

4．證明正態(tài)等協(xié)方差條件下，F(xiàn)isher線性判據(jù)等價(jià)于貝葉斯決策。

5．有七個(gè)二維向量分屬兩類，其中屬?1的是(1,0),(0,1)及(0,-1)；屬?2的有(0,0),(0,2),(0,-2),(-2,0)，試由上述樣本集畫出最近鄰法決策面。

kk?26．試以k=3證明PN???e|X??PN???e|X?。

7．回答有關(guān)剪輯近鄰法的下列問題

（1）試畫出剪輯近鄰法的算法流程圖；

（2）設(shè)剪輯前的樣本概率密度函數(shù)為P??i|x?,i?1,2，試問經(jīng)剪輯近鄰法處理后，各點(diǎn)的概率密度數(shù)Q??i|x?,i?1,2與原概率密度的關(guān)系；

（3）試分析剪輯近鄰法在樣本數(shù)據(jù)很大時(shí)，錯(cuò)分率可進(jìn)一步減小的原因；

（4）計(jì)算使用剪輯后樣本的漸近錯(cuò)誤率。