第一篇：armstrong公理系統(tǒng)證明
? Armstrong公理系統(tǒng)的證明
① A1自反律：若Y X U，則X→Y為F所蘊(yùn)含
證明1
設(shè)Y X U。
對(duì)R
若t[X]=s[X]，由于Y X，則有t[Y]=s[Y]，所以X→Y成立，自反律得證。
② A2增廣律：若X→Y為F所蘊(yùn)含，且Z U，則XZ→YZ為F所蘊(yùn)含
證明2
設(shè)X→Y為F所蘊(yùn)含，且Z U。
對(duì)R
若t[XZ]=s[XZ]，由于X XZ，Z XZ，根據(jù)自反律，則有t[X]=s[X]和t[Z]=s[Z]；
由于X→Y，于是t[Y]=s[Y]，所以t[YZ]=s[YZ]；所以XZ→YZ成立，增廣律得證。
③ A3傳遞律：若X→Y，Y→Z為F所蘊(yùn)含，則X→Z為F所蘊(yùn)含
證明3
設(shè)X→Y及Y→Z為F所蘊(yùn)含。
對(duì)R
若t[X]=s[X]，由于X→Y，有t[Y]=s[Y]；
再由于Y→Z，有t[Z]=s[Z]，所以X→Z為F所蘊(yùn)含，傳遞律得證。
④ 合并規(guī)則：若X→Y，X→Z，則X→YZ為F所蘊(yùn)含
證明4
因X→Y（已知）
故X→XY（增廣律），XX→XY即X→XY
因X→Z（已知）
故XY→YZ（增廣律）
因X→XY，XY→YZ（從上面得知）
故X→YZ（傳遞律）
⑤ 偽傳遞規(guī)則：若X→Y，WY→Z，則XW→Z為F所蘊(yùn)含
證明5
因X→Y（已知）
故WX→WY（增廣律）
因WY→Z（已知）
故XW→Z（傳遞律）
⑥ 分解規(guī)則：若X→Y，Z Y，則X→Z為F所蘊(yùn)含
證明6
因Z Y（已知）
故Y→Z（自反律）
因X→Y（已知）
故X→Z（傳遞律）
第二篇：公理系統(tǒng)
公理化方法
所謂公理化方法，就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設(shè)）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則推導(dǎo)出其他命題，建立起一個(gè)演繹系統(tǒng)的方法。
1簡介
恩格斯曾說過：數(shù)學(xué)上的所謂公理，是數(shù)學(xué)需要用作自己出發(fā)點(diǎn)的少數(shù)思想上的規(guī)定。
公理化方法能系統(tǒng)的總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)、清楚地揭示數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，有利于比較各個(gè)數(shù)學(xué)分支的本質(zhì)異同，促進(jìn)新數(shù)學(xué)理論的建立和發(fā)展?，F(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的基本特點(diǎn)之一，就是科學(xué)理論的數(shù)學(xué)化，而公理化是科學(xué)理論成熟和數(shù)學(xué)化的一個(gè)主要特征。
公理化方法不僅在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和數(shù)理邏輯中廣泛應(yīng)用，而且已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出數(shù)學(xué)的范圍，滲透到其它自然科學(xué)領(lǐng)域甚至某些社會(huì)科學(xué)部門，并在其中起著重要作用．
2歷史發(fā)展
產(chǎn)生
公理化方法發(fā)展的第一階段是由亞里士多德的完全三段論到歐幾里得《幾何原本》的問世．大約在公元前3世紀(jì)，希臘哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德總結(jié)了幾何學(xué)與邏輯學(xué)的豐富資料，系統(tǒng)地研究了三段論，以數(shù)學(xué)及其它演繹的學(xué)科為例，把完全三段論作為公理，由此推導(dǎo)出其它所有三段論法，從而使整個(gè)三段論體系成為一個(gè)公理系統(tǒng)．因此，亞里斯多德在歷史上提出了第一個(gè)成文的公理系統(tǒng)． 亞里斯多德的思想方法深深地影響了當(dāng)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得．歐幾里得把形式邏輯的公理演繹方法應(yīng)用于幾何學(xué)，從而完成了數(shù)學(xué)史上的重要著作《幾何原本》．他從古代的量地術(shù)和關(guān)于幾何形體的原始直觀中，用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和公理．他總結(jié)概括出14個(gè)基本命題，其中有5個(gè)公設(shè)和9條公理，然后由此出發(fā)，運(yùn)用演繹方法將當(dāng)時(shí)所知的全部幾何學(xué)知識(shí)推演出來，整理成為演繹體系．《幾何原本》一書把亞里斯多德初步總結(jié)出來的公理化方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)，整理、總結(jié)和發(fā)展了希臘古典時(shí)期的大量數(shù)學(xué)知識(shí)，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上樹立了一座不朽的豐碑．
公理學(xué)研究的對(duì)象、性質(zhì)和關(guān)系稱為“論域”，這些對(duì)象、性質(zhì)和關(guān)系，由初始概念表示．例如歐氏《幾何原本》中只需取“點(diǎn)”、“直線”、“平面”；“在??之上”、“在??之間”、“疊合”作為初始概念．前三個(gè)概念所表示的三類對(duì)象和后三個(gè)概念所表示的三種關(guān)系就是這種幾何的論域．按照“一個(gè)公理系統(tǒng)只有一個(gè)論域”的觀點(diǎn)建立起來的公理學(xué)，稱為實(shí)質(zhì)公理學(xué)．這種公理學(xué)是對(duì)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的系統(tǒng)整理，公理一般具有自明性．因此，歐氏《幾何原本》就是實(shí)質(zhì)公理學(xué)的典范． 發(fā)展
公理化方法的發(fā)展大致經(jīng)歷了這樣三個(gè)階段：實(shí)質(zhì)（或?qū)嶓w）公理化階段、形式公理化階段和純形式公理化階段，用它們建構(gòu)起來的理論體系典范分別是《幾何原本》、《幾何基礎(chǔ)》和ZFC公理系統(tǒng)?！稁缀卧尽冯m然開創(chuàng)了數(shù)學(xué)公理化方法的先河，然而它的公理系統(tǒng)還有許多不夠完善的地方，其主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)有些定義使用了一些還未確定涵義的概念；(2)有些定義是多余的；(3)有些定理的證明過程往往依賴于圖形的直觀；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理來證明或代替．這些問題成為后來許多數(shù)學(xué)家研究的課題，并通過這些問題的研究，使公理化方法不斷完善，并促進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展．
第五公設(shè)(即平行公設(shè))內(nèi)容復(fù)雜，陳述累贅，缺乏象其它公設(shè)和公理那樣的說服力，并不自明．因此，它能否正確地反映空間形式的性質(zhì)，引起了古代學(xué)者們的懷疑．從古希臘時(shí)代到公元18世紀(jì)，人們通過不同的途徑和方法對(duì)這一問題進(jìn)行了大量的研究工作，其中薩克里(Saccheri，1667—1733)和蘭勃特(Lambert，1728-1777)等人考慮了兩個(gè)可能的與平行公設(shè)相反的假設(shè)，試圖證明出平行公設(shè)，但是他們的努力均歸于失?。欢?，在這些失敗中卻引出了一串與第五公設(shè)相等價(jià)的新命題和定理，即非歐幾何的公理和定理，它預(yù)示了一種新的幾何體系可能產(chǎn)生．
19世紀(jì)年輕的俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基(Лобачевский1792-1856)產(chǎn)生了與前人完全不同的信念：首先，他認(rèn)為第五公設(shè)不能以其余的公理作為定理來證明；其次，除掉第五公設(shè)成立的歐氏幾何之外，還可能有第五公設(shè)不成立的新幾何系統(tǒng)存在．于是，他在剔除第五公設(shè)而保留歐氏幾何其余公理的前提下，引進(jìn)與第五公設(shè)相反的公理，從而構(gòu)造了一個(gè)全新的幾何系統(tǒng)，它與歐氏幾何系統(tǒng)相并列．后來人們又證明了這兩個(gè)部分地相矛盾的幾何系統(tǒng)竟是相對(duì)相容的，即假定其中之一無矛盾，則另一個(gè)必定無矛盾，這樣以來，只要這兩個(gè)系統(tǒng)是無矛盾的，第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理就必定獨(dú)立無關(guān)．現(xiàn)在人們就用羅巴切夫斯基的名字命名了這一新的幾何學(xué)，并把一切不同于歐氏幾何公理系統(tǒng)的幾何系統(tǒng)統(tǒng)稱為非歐幾何．
非歐幾何的建立在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義，標(biāo)志著人們對(duì)空間形式的認(rèn)識(shí)發(fā)生了飛躍，從直觀空間上升到抽象空間．在建立非歐幾何的過程中，公理化方法得到了進(jìn)一步的發(fā)展和完善．
形式化
德國數(shù)學(xué)家帕斯(Moritz Pasch，1843-1930)通過對(duì)射影幾何公理化基礎(chǔ)的純邏輯的探討，第一次從理論上提出了形式公理學(xué)的思想．他認(rèn)為，幾何學(xué)如果要成為一門真正的演繹科學(xué)，最根本的是推導(dǎo)的進(jìn)行必須完全獨(dú)立于幾何概念的涵義，同樣地也必須不以圖形為依據(jù)，而所考慮的只能是被命題或定義所確定的幾何概念之間的關(guān)系．就是說，一個(gè)公理系統(tǒng)必然要有本系統(tǒng)里不定義的概念，通過這些概念就可以給其它概念下定義，而不定義概念的全部特征必須由公理表達(dá)出來．公理可以說是不定義概念的隱定義．有些公理雖然是由經(jīng)驗(yàn)提出來的，但當(dāng)選出一組公理之后，必須不再涉及經(jīng)驗(yàn)及物理意義．公理決不是自明的真理，而是用以產(chǎn)生任一特殊幾何的假定．帕斯的這些思想已經(jīng)表達(dá)了形式公理系統(tǒng)的特征．
隨著數(shù)學(xué)的深入研究和射影幾何公理系統(tǒng)的建立，形式公理學(xué)的概念已經(jīng)成熟．1899年希爾伯特《幾何學(xué)基礎(chǔ)》一書的發(fā)表，不僅給出了歐氏幾何的一個(gè)形式公理系統(tǒng)，而且解決了公理化方法的一系列邏輯理論問題．這本著作成為形式公理學(xué)的奠基著作．
希爾伯特幾何公理系統(tǒng)，除了有幾何模型外，還可以有其它模型(如算術(shù)模型)，所以它是一個(gè)形式公理系統(tǒng)，可以把其初始概念和公理看成是沒有數(shù)學(xué)內(nèi)容的，數(shù)學(xué)內(nèi)容是通過解釋賦予它們的，初始概念和公理完全可以用形式語言來陳述．因此，自從《幾何學(xué)基礎(chǔ)》問世以后，不僅公理化方法進(jìn)入了數(shù)學(xué)的其它各個(gè)分支，而且也把公理化方法本身推向了形式化的階段．
3作用意義
分析、總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)
當(dāng)一門科學(xué)積累了相當(dāng)豐富的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統(tǒng)化，上升到理性認(rèn)識(shí)的時(shí)候，公理化方法便是一種有效的手段．如近代數(shù)學(xué)中的群論，便經(jīng)歷了一個(gè)公理化的過程．當(dāng)人們分別研究了許多具體的群結(jié)構(gòu)以后，發(fā)現(xiàn)了它們具有基本的共同屬性，就用一個(gè)滿足一定條件的公理集合來定義群，形成一個(gè)群的公理系統(tǒng)，并在這個(gè)系統(tǒng)上展開群的理論，推導(dǎo)出一系列定理．
數(shù)學(xué)研究的基本方法
不但對(duì)建立科學(xué)理論體系，訓(xùn)練人的邏輯推理能力，系統(tǒng)地傳授科學(xué)知識(shí)，以及推廣科學(xué)理論的應(yīng)用等方面起到有益的作用，而且對(duì)于進(jìn)一步發(fā)展科學(xué)理論也有獨(dú)特的作用．例如在代數(shù)方面，由于公理化方法的應(yīng)用，在群論、域論、理想論等理論部門形成了一系列新的概念，建立了一系列新的聯(lián)系并導(dǎo)致了一系列深遠(yuǎn)的結(jié)果；在幾何方面，由于對(duì)平行公設(shè)的研究導(dǎo)致了非歐幾何的創(chuàng)立．因此，公理化方法也是在理論上探索事物發(fā)展規(guī)律，作出新的發(fā)現(xiàn)和預(yù)見的一種重要方法．
科學(xué)研究的對(duì)象
介乎于邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)之間的邊緣學(xué)科—— 數(shù)理邏輯，用數(shù)學(xué)方法研究思維過程中的邏輯規(guī)律，也系統(tǒng)地研究數(shù)學(xué)中的邏輯方法．因此，數(shù)學(xué)中的公理方法是數(shù)理邏輯所研究的一個(gè)重要內(nèi)容．由于數(shù)理邏輯是用數(shù)學(xué)方法研究推理過程的，它對(duì)公理化方法進(jìn)行研究，一方面使公理化方法向著更加形式化和精確化的方向發(fā)展，一方面把人的某些思維形式，特別是邏輯推理形式加以公理化，符號(hào)化．這種研究使數(shù)學(xué)工作者增進(jìn)了使用邏輯方法的自覺性． 示范作用
任何一門科學(xué)都不僅僅是搜集資料，也決不是一大堆事實(shí)及材料的簡單積累，而都是有其自身的出發(fā)點(diǎn)和符合一定規(guī)則的邏輯體系．公理化方法對(duì)現(xiàn)代理論力學(xué)及各門自然科學(xué)理論的表述方法都起到了積極的借鑒作用．例如牛頓在他的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》巨著中，系統(tǒng)地運(yùn)用公理化方法表述了經(jīng)典力學(xué)理論體系；本世紀(jì)40年代波蘭的巴拿赫完成了理論力學(xué)的公理化；愛因斯坦運(yùn)用公理化方法創(chuàng)立了相對(duì)論理論體系．狹義相對(duì)論的出發(fā)點(diǎn)是兩個(gè)基本假設(shè)：相對(duì)性原理和光速不變原理．愛因斯坦以此為前提，邏輯地演繹出四個(gè)推論：“尺縮效應(yīng)”、“鐘慢效應(yīng)”、“質(zhì)量增大效應(yīng)”和“關(guān)系式”．這些就是愛因斯坦運(yùn)用公理化方法，創(chuàng)立的狹義相對(duì)論完整理論體系的精髓．
4基本要求
公理是對(duì)諸基本概念相互關(guān)系的規(guī)定，這些規(guī)定必須是必要的而且是合理的．因此，一個(gè)嚴(yán)格完善的公理系統(tǒng)，對(duì)于公理的選取和設(shè)置，必須具備如下三個(gè)基本要求： 相容性
這一要求是指在一個(gè)公理系統(tǒng)中，不允許同時(shí)能證明某一定理及其否定理．反之，如果能從該公理系統(tǒng)中導(dǎo)出命題A和否命題非A(記作-A)，從A與-A并存就說明出現(xiàn)了矛盾，而矛盾的出現(xiàn)歸根到底是由于公理系統(tǒng)本身存在著矛盾的認(rèn)識(shí)，這是思維規(guī)律所不容許的．因此，公理系統(tǒng)的無矛盾性要求是一個(gè)基本要求，任何學(xué)科，理論體系都必須滿足這個(gè)要求． 獨(dú)立性
這一要求是指在一個(gè)公理系統(tǒng)中的每一條公理都獨(dú)立存在，不允許有一條公理能用其它公理把它推導(dǎo)出來，同時(shí)使公理的數(shù)目減少到最低限度． 完備性
這就是要求確保從公理系統(tǒng)中能推出所研究的數(shù)學(xué)分支的全部命題，也就是說，必要的公理不能減少，否則這個(gè)數(shù)學(xué)分支的許多真實(shí)命題將得不到理論的證明或者造成一些命題的證明沒有充足的理由．
從理論上講，一個(gè)公理系統(tǒng)的上述三條要求是必要的，同時(shí)也是合理的．至于某個(gè)所討論的公理系統(tǒng)是否滿足或能否滿足上述要求，甚至能否在理論上證明滿足上述要求的公理系統(tǒng)確實(shí)存在等，則是另外一回事了．應(yīng)該指出的是，對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的公理體系來說，要逐一驗(yàn)證這三條要求相當(dāng)困難，甚至至今不能徹底實(shí)現(xiàn)．
5方法運(yùn)用
1．要積累大量的經(jīng)驗(yàn)、數(shù)據(jù)和資料，對(duì)這些經(jīng)驗(yàn)資料進(jìn)行分析歸納，使之系統(tǒng)化，最后上升為理論．因?yàn)楣硐到y(tǒng)的建立是以大量的事實(shí)為基礎(chǔ)，以豐富的經(jīng)驗(yàn)和已有的科學(xué)知識(shí)為前提的，設(shè)此無彼． 2．?dāng)?shù)學(xué)公理化的目的是要把一門數(shù)學(xué)整理成為一個(gè)演繹系統(tǒng)，而這一系統(tǒng)的出發(fā)點(diǎn)就是一組基本概念和公理．因此，要建立一門數(shù)學(xué)的演繹系統(tǒng)，就要在第一步的基礎(chǔ)上，從原有的資料、數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)中選擇一些基本概念和確定一組公理，然后由此來定義其它有關(guān)概念并證明有關(guān)命題．選取的基本概念是不定義概念，必須是無法用更原始、更簡單的概念去確定其涵義的，也就是說，它是高度純化的抽象，是最原始最簡單的思想規(guī)定．
3．在確定了基本概念和公理之后，就要由此出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，將一門數(shù)學(xué)展開成一個(gè)嚴(yán)格的理論系統(tǒng)．也就是說，對(duì)系統(tǒng)中的每一概念予以定義，而每一個(gè)定義中引用的概念必須是基本概念或已定義過的概念；對(duì)其它每一命題都給予證明，而在證明中作為論據(jù)的命題必須是公理或者已經(jīng)證明為真實(shí)的定理．因此，一門數(shù)學(xué)的演繹系統(tǒng)就是這門數(shù)學(xué)的基本概念、公理和定理所構(gòu)成的邏輯的鏈條．
在上述過程中，從認(rèn)識(shí)論的角度來看，任何公理系統(tǒng)的原始概念和公理的選取必須反映現(xiàn)實(shí)對(duì)象的本質(zhì)和關(guān)系．就是說，應(yīng)該有它真實(shí)的直觀背景而不是憑空臆造．其次，從邏輯的角度看，則不能認(rèn)為一些概念和公理的任意羅列就能構(gòu)成一個(gè)合理的公理系統(tǒng)，而一個(gè)有意義的公理系統(tǒng)必須是一個(gè)邏輯相容的體系．
6公理證明編輯
公理系統(tǒng)一個(gè)公理系統(tǒng)的相容性是至關(guān)重要的，因?yàn)橐粋€(gè)理論體系不能矛盾百出．而獨(dú)立性和完備性的要求則是次要的．因?yàn)樵谝粋€(gè)理論體系中，如果有多余的公理，對(duì)于理論的展開沒什么妨礙；如果獨(dú)立的公理不夠用，數(shù)學(xué)史上常常補(bǔ)充一些公理，逐步使之完備．下面僅就公理系統(tǒng)的相容性證明作一介紹．
產(chǎn)生背景
關(guān)于相容性征明這一概念的產(chǎn)生和歷史發(fā)展的背景是這樣的：自從羅巴切夫斯基幾何誕生后，由于羅氏平行公理(過平面上一已知直線外的一點(diǎn)至少可以引兩條直線與該已知直線平行)如此地為常識(shí)所不容，這才真正激起了人們對(duì)于數(shù)學(xué)系統(tǒng)的無矛盾性證明的興趣和重視．后來，龐卡萊(Poincare`，1854-1912)在歐氏半平面上構(gòu)造了羅氏幾何的模型，把羅氏系統(tǒng)的相容性證明通過一個(gè)模型化歸為歐氏系統(tǒng)的相容性證明，但卻由此導(dǎo)致了人們對(duì)歐氏系統(tǒng)相容性的重重疑慮．幸虧那時(shí)已經(jīng)有了解析幾何，這就等于在實(shí)數(shù)系統(tǒng)中構(gòu)造了一個(gè)歐氏幾何的模型．這就把歐氏幾何的無矛盾性歸結(jié)到了實(shí)數(shù)論的相容性．那么實(shí)數(shù)論的相容性如何？戴德金(Dedekind，1831-1916)把實(shí)數(shù)定義為有理數(shù)的分劃，也即有理數(shù)的無窮集合，因而把這個(gè)無矛盾性歸結(jié)到了自然數(shù)系統(tǒng)的無矛盾性．又由于弗雷格(Frege，1848-1925)的自然數(shù)的概念是借助集合的概念加以定義的，因此，歸來歸去還是把矛盾集中到集合論那里去了．那么集合論的相容性如何？事實(shí)上，集合論的相容性正處于嚴(yán)重的“危機(jī)”之中，以致這種相容性的證明至今還未解決． 龐卡萊模型
龐卡萊為證明羅氏幾何的相容性，在歐氏系統(tǒng)中構(gòu)造了一個(gè)羅氏幾何的模型．即在歐氏平面上劃一條直線a將其分成上、下兩個(gè)半平面，把不包括這條直線在內(nèi)的上半平面作為羅氏平面，其上的歐氏點(diǎn)當(dāng)作羅氏幾何的點(diǎn)，把以該直線上任一點(diǎn)為中心，任一長為半徑的半圓周作為羅氏幾何的直線，然后對(duì)如此規(guī)定的羅氏幾何元素一一驗(yàn)證羅氏平行公理是成立的．
如圖4—3所示，過羅氏平面上任一羅氏直線l外的一點(diǎn)P，確實(shí)可以作出兩條羅氏直線與l平行．因?yàn)闅W氏直線a上的點(diǎn)不是羅氏幾何系統(tǒng)的元素，所以兩個(gè)半圓相交于直線a上某一點(diǎn)則應(yīng)看作相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，從而在有窮范圍內(nèi)永不相交．
這樣以來，如果羅氏系統(tǒng)在今后的展開中出現(xiàn)了正、反兩個(gè)互相矛盾的命題的話，則只要按上述規(guī)定之幾何元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行翻譯，立即成為互相矛盾的兩個(gè)歐氏幾何定理．從而歐氏系統(tǒng)就矛盾了．因此，只要承認(rèn)歐氏系統(tǒng)是無矛盾的，那么羅氏系統(tǒng)一定也是相容的．這就把羅氏系統(tǒng)的相容性證明通過上述龐卡萊模型化歸為歐氏系統(tǒng)的相容性證明．這種把一個(gè)公理系統(tǒng)的相容性證明化歸為另一個(gè)看上去比較可靠的公理系統(tǒng)的相容性證明，或者說依靠一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的無矛盾性來保證另一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性叫做數(shù)學(xué)系統(tǒng)的相對(duì)相容性證明．
對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響
由于相對(duì)相容性的出現(xiàn)，使人們對(duì)歐氏系統(tǒng)的相容性也憂心重重．而更糟的是，在羅氏系統(tǒng)的展開中人們又發(fā)現(xiàn)，羅氏幾何空間的極限球面上也可構(gòu)造歐氏模型，即歐氏幾何的全部公理能在羅氏的極限球上實(shí)現(xiàn)，于是歐氏幾何的相容性又可由羅氏幾何的相容性來保證！這說明歐氏與羅氏的公理系統(tǒng)雖然不同，但卻是互為相容的．人們當(dāng)然不滿足于兩者互相之間的相對(duì)相容性證明，因?yàn)榭瓷先ポ^為合理的歐氏系統(tǒng)的無矛盾性竟要由看上去很不合理的羅氏系統(tǒng)來保證，這是難以令人滿意的．于是人們開始尋求直接的相容性證明，本世紀(jì)初數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論就誕生了．由于在這一工作中所持的基本觀點(diǎn)不同，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論的研究中形成了諸如邏輯主義派、直覺主義派和形式公理學(xué)派三大流派．這些流派雖然并未最后解決相容性證明問題，但在方法論上卻各有貢獻(xiàn)，他們的方法論、思想方法對(duì)于數(shù)學(xué)的研究與發(fā)展都具有重要的意義，有些還值得進(jìn)一步分析、探討、繼承和發(fā)展．
第三篇：經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)定理證明算法設(shè)計(jì)
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收稿日期：2004-11-25；
作者簡介：杜國平，1965 年生，男，漢族，江蘇盱眙人，南京大學(xué)副教授。
基金項(xiàng)目：國家社科基金項(xiàng)目（02CZX008）；南京大學(xué)引進(jìn)人才基金項(xiàng)目；南京大學(xué)笹川青年教育基金項(xiàng) 目。
聯(lián)系方式：210093 南京大學(xué)哲學(xué)系 Email: dgpnju@126.com 電話：025-8359716
1經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)定理證明算法設(shè)計(jì)
杜國平1，2（1.南京大學(xué)哲學(xué)系 210093；2.南京航空航天大學(xué)計(jì)算機(jī)系 210016）
內(nèi)容提要：本文利用演繹定理的證明思路給出了一個(gè)由演繹證明構(gòu)造公理證明的一般程序，并增加了一條 簡化命令，使該程序既嚴(yán)格又具有實(shí)際可操作性。
關(guān)鍵詞： 演繹證明 公理證明 程序
中圖分類號(hào)：B81 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
在經(jīng)典命題邏輯常見的公理系統(tǒng)中，僅僅從公理和推理規(guī)則出發(fā)進(jìn)行定理的形式證明一 般沒有能行的程序，對(duì)于初學(xué)者而言是比較困難的。但是，在經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)中，演 繹定理成立，而使用演繹定理來構(gòu)造定理的形式證明是比較簡單的。實(shí)際上，演繹定理的證 明過程已經(jīng)表明：有了一個(gè)使用演繹定理的形式證明（簡稱為演繹證明），就可以構(gòu)造出僅 僅從公理和推理規(guī)則出發(fā)的形式證明（簡稱為公理證明）。本文擬對(duì)由演繹證明構(gòu)造公理證 明的具體算法和技巧進(jìn)行一些探討。
為了說明的方便，我們?nèi)∪缦碌拿}邏輯公理系統(tǒng)PC 來進(jìn)行討論。
系統(tǒng) PC 由如下三條公理模式和一條推理規(guī)則構(gòu)成：
公理模式為：
(Ax1)A??(B ??A)
(Ax2)(A ?(B ?C))?((A??B)?(B ?C))
(Ax3)(?A??B)?((?A??B)??A)
推理規(guī)則即分離規(guī)則（Modus ponens）：由A和A?B可以推出B。簡記為MP。
在系統(tǒng) PC 中顯然可以證明：
演繹定理(DT)：如果??，A + B，那么??+ A?B。
因?yàn)槿我蛔C明序列都是有限長的，因此，演繹證明中需要引入的假設(shè)也是有限的。所以 我們只考慮假設(shè)集??為有限集的情況，令????1 2 1 , , , , m m A A A A ??????L。
假設(shè)有一個(gè) ????0 ?U A + B的演繹證明，該證明的公式序列為： 1 2 , , , n C C L C ??B。那么我們可按照下述程序構(gòu)造出一個(gè)??+ 0A ??B的演繹證明。
經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)定理證明算法設(shè)計(jì)
2[1] 如果A0 ?Cn是公理或者0 n A ?C ??，則執(zhí)行如下子程序[1']，即直接寫入：
0 n A ?C
[2] 如果n C 是公理，則執(zhí)行如下子程序[2'] ：
C
0()n n C ??A ?C n
0 n A ?C
[3] 如果n C 是0 A，則執(zhí)行如下子程序[3'] ：
A ?((B ??A)??A)
0 0 0 0 0 0 0(A ?((B??A)??A))?((A ?(B ??A))?(A ??A))
0 0 0 0(A ?(B??A))??(A ??A)
0 0 A ?(B??A)
0 0 A ??A 0 0 0
[4] 如果n k C ??A ??，k ??1, 2, L , m?，則執(zhí)行如下子程序[4'] ：
A
0()k k A ??A ??A
0 k A ??A k
[5] 如果n C 是由i C，()(, ?1, 2, , 1?)j i n C ??C ?C i j??L n ??經(jīng)使用分離規(guī)則而得 到，則對(duì)j C 執(zhí)行如下子程序[5'] ：
(())(()())i n i n A ??C ?C ??A ?C ??A ?C
0 0()()i n A ?C ??A ?C
0 n A ?C
[6] 對(duì)[4]中出現(xiàn)的i C，j C 重復(fù)執(zhí)行程序[1]～[6]。
[7] 若程序全部進(jìn)入[1]～[4]，則執(zhí)行完[1'] ～[4']，程序終止。
對(duì) ??+ 0A ??B 反復(fù)使用上述程序m 次之后，就可以得到一個(gè)
+ 1 1 0((()))m m A A A A B ????L ??????L 的公理證明。
例 1 在系統(tǒng)PC中構(gòu)造定理+((A??B)?C)?(B?C)的公理證明。
首先，我們構(gòu)造一個(gè)((A??B)?C), B + C的演繹證明。
證明1' ：(A??B)??C 假設(shè)B 假設(shè)B?(A??B)(Ax1)A?B 2、3 MPC 1、4 MP
其次，由(A??B)??C，B + C的演繹證明構(gòu)造(A??B)??C+ B?C的演繹證明。
1、這可以通過回溯檢查逐步完成。證明1'的第5 行為C，進(jìn)入程序[1]檢查B?C，0 0 0
發(fā)現(xiàn)它既不是公理也不屬于假設(shè)集?((A??B)?C)?；進(jìn)入程序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)C由第1、4 行(A??B)??C和A?B分離而得。因此，執(zhí)行子程序[5']：
邏輯與認(rèn)知 Vol.2, No.4, 200
4(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))
(B ?(A?B))?(B?C)
B?C2、進(jìn)入程序[6]，對(duì)(A??B)??C和A?B執(zhí)行程序[1]～[6]。
3、進(jìn)入程序[1]，檢查B?((A??B)?C)，發(fā)現(xiàn)它既不是公理也不屬于假設(shè)集
?((A??B)?C)?；進(jìn)入程序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)(A??B)??C屬于假設(shè)集?((A??B)?C)?。
因此，執(zhí)行子程序[4'] ：
(A??B)??C
((A??B)?C)?(B ?((A??B)?C))
B?((A??B)?C)
4、進(jìn)入程序[1]，檢查B?(A??B)，發(fā)現(xiàn)它是公理。因此，執(zhí)行子程序[1']：
B?(A??B)
5、程序已經(jīng)全部進(jìn)入[1]～[4]，并且已經(jīng)執(zhí)行完子程序[1'] ～[4']，因此程序終止。所以我們得到一個(gè)(A??B)??C+ B?C的演繹證明。
證明1'' ：(A??B)??C 假設(shè)((A??B)?C)?(B ?((A??B)?C))(Ax1)B?((A??B)?C)1、2 MPB?(A??B)(Ax1)(B ?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B ?C))(Ax2)(B ?(A?B))?(B?C)3、5 MPB?C 4、6 MP
再次，由(A??B)??C+ B?C的演繹證明構(gòu)造+((A??B)?C)?(B?C)的公
理證明。
1、進(jìn)入程序[1] 檢查((A??B)?C)?(B?C)，發(fā)現(xiàn)它不是公理（此時(shí)，因?yàn)榧?/p>
設(shè)集是空集，所以它也當(dāng)然不屬于假設(shè)集）；進(jìn)入程序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)B?C由第4、6 行 B?(A??B)和(B ?(A?B))?(B?C)分離而得。因此，執(zhí)行子程序[5']：
(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C)))
?((((A?B)?C)?(B?(A??B)))
?(((A??B)?C)?(B ?C)))
(((A??B)?C)?(B?(A??B)))
?(((A??B)?C)?(B?C))
((A??B)?C)?(B?C)
2、進(jìn)入程序[6]，對(duì)B?(A??B)和(B ?(A?B))?(B?C)執(zhí)行程序[1]～[6]。
3、進(jìn)入程序[1]，檢查((A??B)?C)??(B??(A??B))，發(fā)現(xiàn)它不是公理；進(jìn)入程 序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)B?(A??B)是公理。因此，執(zhí)行子程序[2'] ：
B?(A??B)
經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)定理證明算法設(shè)計(jì)
(B ?(A?B))?(((A??B)?C)?(B?(A??B)))
((A??B)?C)??(B??(A??B))
4、進(jìn)入程序[1] 檢查((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))，發(fā)現(xiàn)它不是 公理；進(jìn)入程序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)(B ?(A?B))?(B?C)由第3、5行B?((A??B)?C)和(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))分離而得。因此，執(zhí)行子程序
[5'] ：
(((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))??((B?(A??B))?(B ?C))))
?((((A??B)?C))?(B ?((A??B)?C)))
?(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))))
(((A??B)?C))?(B ?((A?B)?C)))
?(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))))
((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C)))、進(jìn)入程序[6]，對(duì)B?((A??B)?C)和(B ?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B ?C))執(zhí)行程序[1]～[6]。
6、進(jìn)入程序[1]，檢查((A??B)?C)?(B ?((A??B)?C))，發(fā)現(xiàn)它是公理。因 此，執(zhí)行子程序[1'] ：
((A??B)?C)?(B ?((A??B)?C))、進(jìn)入程序[1]，檢 查((A??B)?C)??((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C)))，發(fā)現(xiàn)它不是公理； 進(jìn)入程序[2] ～ [5] 發(fā)現(xiàn)
(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))是公理。因此，執(zhí)行子程序[2'] ：
(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))
((B?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C)))
?(((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C))))
((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C)))
8、程序已經(jīng)全部進(jìn)入[1]～[4]，并且已經(jīng)執(zhí)行完子程序[1'] ～[4']，因此程序終止。這樣我們就得到一個(gè)+((A??B)?C)?(B?C)的公理證明。
證明1''' ：((A??B)?C))?(B?((A??B)?C))(Ax1)(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))(Ax2)((B?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C)))
?(((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C))))(Ax1)((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C)))2、3 MP(((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))??((B?(A??B))?(B ?C))))
?((((A??B)?C))?(B ?((A??B)?C)))
?(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))))(Ax2)
邏輯與認(rèn)知 Vol.2, No.4, 200
46(((A??B)?C))?(B ?((A?B)?C)))
?(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))))4、5 MP((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C)))1、6 MP(((A??B)?C)?((B ?(A??B))?(B?C))))
?((((A?B)?C)?(B?(A??B)))
?(((A??B)?C)?(B ?C)))(Ax2)(((A??B)?C)?(B?(A??B)))
?(((A??B)?C)?(B?C))7、8 MPB ?(A??B))(Ax1)(B ?(A?B)))
?(((A??B)?C)?(B?(A??B)))(Ax1)((A??B)?C)??(B??(A??B))10、11 MP((A??B)?C)?(B?C)9、12 MP
構(gòu)造程序的[2]~[7]也可以構(gòu)成一個(gè)獨(dú)立的公理證明構(gòu)造程序，這是演繹定理的證明中顯 示出來的，但該程序很繁瑣。程序[1]是一個(gè)簡化程序，它的加入，可以使構(gòu)造程序大為簡 化，盡管它多了一條程序命令。但是這樣就增加了該程序的實(shí)際可操作性。
參考文獻(xiàn)：
[1] 宋文堅(jiān).邏輯學(xué)[M].人民出版社,1998.P86-92.[2] 陸鐘萬.面向計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)理邏輯[M].科學(xué)出版社,2002.P86-92.[3] 周禮全.邏輯百科辭典[M].四川教育出版社,1994.P685.[4] A.G.Hamilton.Logic for Mathematicians[M].清華大學(xué)出版社,2003.P32-34.[5] 張清宇 郭世銘 李小五.哲學(xué)邏輯研究[M].社會(huì)科學(xué)文獻(xiàn)出版社,1997.The Arithmetic Design for Theorem Proving
in the Axiom System of Classical Propositional Logic
Du Guo-ping1,2
(1.Nanjing University.Nanjing 210093,China;2.Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016,China)
Abstract: The article uses the proving of deduction theorem to give general program of construction theorem proving, and adding a piece of simplification command.The program is gotten strict and exercisable.Key words: deduction prove;axiom prove;program
第四篇：證明公理3的推論3
證明公理3的推論3
公理3的內(nèi)容是：經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。
公理3的推論3是：兩條平行的直線確定一個(gè)平面。
所有的推論是由相應(yīng)的公理證明的。
證明：
設(shè)兩直線l和m互相平行，取l上兩個(gè)點(diǎn)A和B，取m上兩個(gè)點(diǎn)C和D，顯然任意三點(diǎn)都不共線，否則l和m將會(huì)相交，與兩直線平行矛盾，根據(jù)公理3，知道
過A、C、D有且只有一個(gè)平面，設(shè)為平面α;過B、C、D有且只有一個(gè)平面，設(shè)為平面β;
假設(shè)兩平面α和β不重合，則B在α外，在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫平行線，所以在α內(nèi)過A且與CD平行的直線有且只有一條，不妨設(shè)為AE，此時(shí)，AB和AE都與CD平行，與“過直線外一點(diǎn)與此直線平行的直線有且只有一條“矛盾,所以D也在α內(nèi)，此時(shí)α和β重合，即α和β是同一個(gè)平面，即兩條平行的直線確定一個(gè)平面。
2公理3的內(nèi)容是：經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。
公理3的推論3是：兩條平行的直線確定一個(gè)平面。
所有的推論是由相應(yīng)的公理證明的。
證明：
設(shè)兩直線l和m互相平行，取l上兩個(gè)點(diǎn)A和B，取m上兩個(gè)點(diǎn)C和D，顯然任意三點(diǎn)都不共線，否則l和m將會(huì)相交，與兩直線平行矛盾，根據(jù)公理3，知道
過A、C、D有且只有一個(gè)平面，設(shè)為平面α;過B、C、D有且只有一個(gè)平面，設(shè)為平面β;
假設(shè)兩平面α和β不重合，則B在α外，在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫平行線，所以在α內(nèi)過A且與CD平行的直線有且只有一條，不妨設(shè)為AE，此時(shí)，AB和AE都與CD平行，與“過直線外一點(diǎn)與此直線平行的直線有且只有一條”矛盾,所以D也在α內(nèi)，此時(shí)α和β重合，即α和β是同一個(gè)平面，即兩條平行的直線確定一個(gè)平面。
兩點(diǎn)定一條直線
三點(diǎn)(不直線)定一個(gè)平面
兩條平行的直線中其中一條直線可以確定2個(gè)點(diǎn)
另一條中找隨便一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)在第一條直線外
所以不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面
存在性：
在每一條直線上都任意取一點(diǎn)(不是交點(diǎn)),不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有一個(gè)平面(公理3)。
唯一性：
不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)只有一個(gè)平面(公理3)。
綜上所述，兩條相交的直線確定一個(gè)平面。
第五篇：證明公理三的推論三
證明公理三的推論三
1.平面通常用一個(gè)平行四邊形來表示.平面常用希臘字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、p來表示，也可用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)字母表示，如平面AC.在立體幾何中，大寫字母A，B，C，…表示點(diǎn)，小寫字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直線，且把直線和平面看成點(diǎn)的集合，因而能借用集合論中的符號(hào)表示它們之間的關(guān)系，例如：a)A∈l—點(diǎn)A在直線l上;Aα—點(diǎn)A不在平面α內(nèi);b)lα—直線l在平面α內(nèi);c)aα—直線a不在平面α內(nèi);d)l∩m=A—直線l與直線m相交于A點(diǎn);e)α∩l=A—平面α與直線l交于A點(diǎn);f)α∩β=l—平面α與平面β相交于直線l.2.平面的基本性質(zhì)公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.公理3經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.3.空間線面的位置關(guān)系共面平行—沒有公共點(diǎn)(1)直線與直線相交—有且只有一個(gè)公共點(diǎn)異面(既不平行，又不相交)直線在平面內(nèi)—有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線和平面直線不在平面內(nèi)平行—沒有公共點(diǎn)(直線在平面外)相交—有且只有一公共點(diǎn)(3)平面與平面相交—有一條公共直線(無數(shù)個(gè)公共點(diǎn))平行—沒有公共點(diǎn)
存在性：
在每一條直線上都任意取一點(diǎn)(不是交點(diǎn)),不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有一個(gè)平面(公理3)。
唯一性：
不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)只有一個(gè)平面(公理3)。
綜上所述，兩條相交的直線確定一個(gè)平面。
1)三點(diǎn)確定一個(gè)平面
2)在一條直線A上取一個(gè)點(diǎn)E，與另一條直線B可確定一個(gè)平面C。
3)在A上任取一點(diǎn)D(不與E重合)，證明D與B確定的平面與C重合。
否則可導(dǎo)致A，B不平行。
兩點(diǎn)定一條直線
三點(diǎn)(不直線)定一個(gè)平面
兩條平行的直線中其中一條直線可以確定2個(gè)點(diǎn)
另一條中找隨便一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)在第一條直線外
所以不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面
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