第一篇：雷州三中高考復(fù)習(xí)專題二 直線與圓方法與總結(jié)
雷州三中高考復(fù)習(xí)專題二直線與圓方法與總結(jié)
直線和圓
應(yīng)試技巧總結(jié)
一．直線的傾斜角：
1．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線l，如果把x軸繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線l重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為?，那么?就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線l與x軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0；
2．傾斜角的范圍?0,??。如
（1）直線xcos??y?2?0的傾斜角的范圍是____ ?5?（答：[0]?[，?)）； 66
?2?（2）過點P(?3,1),Q(0,m)的直線的傾斜角的范圍??[,],那么m值的范圍是3
3______
（答：m??2或m?4）
二．直線的斜率：
1．定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k，即k＝tan?(?≠90°)；傾斜角為90°的直線沒有斜率；（y1?y2?x1?x2?； k?2．斜率公式：經(jīng)過兩點P、的直線的斜率為(x,y)P(x,y)111222x1?x2?3．直線的方向向量a?(1,k)，直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？
4．應(yīng)用：證明三點共線： kAB?kBC。如
(1)兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的____________條件
（答：既不充分也不必要）；
y（2）實數(shù)x,y滿足3x?2y?5?0(1?x?3)，則的最大值、最小值分別為______ x
2（答：,?1）
3三．直線的方程：
1．點斜式：已知直線過點(x0,y0)斜率為k，則直線方程為y?y0?k(x?x0),它不包括垂直于x軸的直線。
2．斜截式：已知直線在y軸上的截距為b和斜率k，則直線方程為y?kx?b,它不包括垂直于x軸的直線。
y?y1x?x13．兩點式：已知直線經(jīng)過P、兩點，則直線方程為，(x,y)P(x,y)?111222y2?y1x2?x
1它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線。
4．截距式：已知直線在x軸和y軸上的截距為a,b,則直線方程為xy??1，它不包ab
括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點的直線。
5．一般式：任何直線均可寫成Ax?By?C?0(A,B不同時為0)的形式。如
?（1）經(jīng)過點（2，1）且方向向量為v=(－1,)的直線的點斜式方程是___________
（答：y?1?x?2)）；
（2）直線(m?2)x?(2m?1)y?(3m?4)?0，不管m怎樣變化恒過點______
（答：(?1,?2)）；
（3）若曲線y?a|x|與y?x?a(a?0)有兩個公共點，則a的取值范圍是_______
（答：a?1）
提醒：(1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；(2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等?直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)?直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等?直線的斜率為?1或直線過原點。如過點A(1,4)，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有___條（答：3）
四．設(shè)直線方程的一些常用技巧：
1．知直線縱截距b，常設(shè)其方程為y?kx?b；
2．知直線橫截距x0，常設(shè)其方程為x?my?x0(它不適用于斜率為0的直線)；
3．知直線過點(x0,y0)，當(dāng)斜率k存在時，常設(shè)其方程為y?k(x?x0)?y0，當(dāng)斜率k不存在時，則其方程為x?x0；
4．與直線l:Ax?By?C?0平行的直線可表示為Ax?By?C1?0；
5．與直線l:Ax?By?C?0垂直的直線可表示為Bx?Ay?C1?0.提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。
五．點到直線的距離及兩平行直線間的距離：
（1）點P(x0,y0)到直線Ax?By?C?
0的距離d?；（2）兩平行線l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?
0間的距離為d? 六．直線l1:A1x?B1y?C1?0與直線l2:A2x?B2y?C2?0的位置關(guān)系：
1．平行?A1B2?A2B1?0（斜率）且B1C2?B2C1?0（在y軸上截距）；
2．相交?A1B2?A2B1?0；
3．重合?A1B2?A2B1?0且B1C2?B2C1?0。
ABCABABC提醒：（1）1?1?1、1?1、1?1?1僅是兩直線平行、相交、重合A2B2C2A2B2A2B2C
2的充分不必要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線l1:A1x?B1y?C1?0與直線l2:A2x?B2y?C2?0垂直?A1A2?B1B2?0。
如（1）設(shè)直線l1:x?my?6?0和l2:(m?2)x?3y?2m?0，當(dāng)m＝_______時l1∥l2；當(dāng)m＝________時l1?l2；當(dāng)m_________時l1與l2相交；當(dāng)m＝_________時l1與l2重合1（答：－1；；m?3且m??1；3）； 2
（2）已知直線l的方程為3x?4y?12?0，則與l平行，且過點（—1，3）的直線方程是______
（答：3x?4y?9?0）；
（3）兩條直線ax?y?4?0與x?y?2?0相交于第一象限，則實數(shù)a的取值范圍是____
（答：?1?a?2）；
（4）設(shè)a,b,c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，則直線sinA?x?ay?c?0
與bx?sinB?y?sinC?0的位置關(guān)系是____
（答：垂直）；
l（5）已知點P1(x1,y1)是直線l:f(x,y)?0上一點，P2(x2,y2)是直線外一點，則方程
f(x,y)?f(x1,y1)?f(x2,y2)＝0所表示的直線與l的關(guān)系是____
（答：平行）；
（6）直線l過點（１，０），且被兩平行直線3x?y?6?0和3x?y?3?0所截得的線段長為9，則直線l的方程是________
（答：4x?3y?4?0和x?1）
七．到角和夾角公式：
1．l1到l2的角是指直線l1繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線l2重合所轉(zhuǎn)的角?，???0,??且tan?=k2?k1(k1k2??1)； 1?k1k
2k?k1?（2）l1與l2的夾角是指不大于直角的角?,??(0,]且tan?=︱2︱(k1k2??1)。21?k1k2
提醒：解析幾何中角的問題常用到角公式或向量知識求解。如
已知點M是直線2x?y?4?0與x軸的交點，把直線l繞點M逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到的直線方程是______
（答：3x?y?6?0）
八．對稱（中心對稱和軸對稱）問題——代入法：如
（1）已知點M(a,b)與點N關(guān)于x軸對稱，點P與點N關(guān)于y軸對稱，點Q與點P關(guān)于直線x?y?0對稱，則點Q的坐標(biāo)為_______
（答：(b,a)）
（2）已知直線l1與l2的夾角平分線為y?x，若l1的方程為ax?by?c?0(ab?0)，那么l2的方程是___________
（答：bx?ay?c?0）；
（3）點Ａ（４，５）關(guān)于直線l的對稱點為Ｂ(－2,7)，則l的方程是_________
（答：y=3x＋3）；
（4）已知一束光線通過點Ａ（－３，５），經(jīng)直線l:3x－4y+4=0反射。如果反射光線通過點Ｂ（２，15），則反射光線所在直線的方程是_________
（答：18x＋y?51?0）；
（5）已知ΔABC頂點A(3，－１)，ＡＢ邊上的中線所在直線的方程為6x+10y－59=0，∠B的平分線所在的方程為x－4y+10=0，求ＢＣ邊所在的直線方程
（答：2x?9y?65?0）；
（6）直線2x―y―4=0上有一點Ｐ，它與兩定點Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距離之差最大，則Ｐ的坐標(biāo)是______
（答：（5,6））；
（7）已知A?x軸，B?l:y?x，C（2，1），?ABC周長的最小值為______。
提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。
九．簡單的線性規(guī)劃：
1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域：①法一：先把二元一次不等式改寫成y?kx?b或y?kx?b的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域；法二：用特
殊點判斷；②無等號時用虛線表示不包含直線l，有等號時用實線表示包含直線l；③設(shè)點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若Ax1?By1?C與Ax2?By2?C同號，則P，Q在直線l的同側(cè)，異號則在直線l的異側(cè)。如
已知點A（—2，4），B（4，2），且直線l:y?kx?2與線段AB恒相交，則k的取值范圍是__________
（答：?－?，－3???1，＋??）
2．線性規(guī)劃問題中的有關(guān)概念：
①滿足關(guān)于x,y的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。
②關(guān)于變量x,y的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量x,y一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù)；
③求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題； ④滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域； ⑤使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解；
3．求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么？①根據(jù)實際問題的約束條件列出不等式；②作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù)；③確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。如
|?1（1）線性目標(biāo)函數(shù)z=2x－y在線性約束條件||xy|?1下，取最小值的最優(yōu)解是____ ?
（答：（－1，1））；
（2）點（－２，t）在直線2x－3y+6=0的上方，則t的取值范圍是_________ 2（答：t?）；
3（3）不等式|x?1|?|y?1|?2表示的平面區(qū)域的面積是_________
（答：8）；
??x?y?2?0（4）如果實數(shù)x,y滿足?x?y?4?0，則z?|x?2y?4|的最大值_________
??2x?y?5?0
（答：21）
4．在求解線性規(guī)劃問題時要注意：①將目標(biāo)函數(shù)改成斜截式方程；②尋找最優(yōu)解時注意作圖規(guī)范。
十．圓的方程：
1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：?x?a???y?b??r2。
2．圓的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2＋E2－4F?0)，特別提醒：只有當(dāng)
DED2＋E2－4F?0時，方程x2?y2?Dx?Ey?F?0才表示圓心為(?,?)，半徑
為2
2Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圓的充要條件是什么？（A?C?0,且B?0且D2?E2?4AF?0））；
x?a?rcos?3．圓的參數(shù)方程：y?b?rsin?（?為參數(shù)），其中圓心為(a,b)，半徑為r。圓的22?
參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：x2?y2?r2?x?rcos?,y?rsin?；x2?y2?
t ?x?rcos?,y?rsin?(0?r。
4．A?x1,y1?,B?x2,y2?為直徑端點的圓方程?x?x1??x?x2???y?y1??y?y2??0如
（1）圓C與圓(x?1)2?y2?1關(guān)于直線y??x對稱，則圓C的方程為____________
（答：x2?(y?1)2?1）；
（2）圓心在直線2x?y?3上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________
（答：(x?3)2?(y?3)2?9或(x?1)2?(y?1)2?1）；
?rcos??（3）
已知P(?是圓xy?rsin?（為參數(shù)，0???2?)上的點，則圓的普通方
程為________，P點對應(yīng)的?值為_______，過P點的圓的切線方程是___________
2?
（答：x2?y2＝4；；x?4?0）； 3
22（4）如果直線l將圓：x+y-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么l的斜率的取值
范圍是__
（答：[0，2]）；
２（5）方程x2+y－x+y+k=0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍為____ 1（答：k?）； 2
x?3cos?（6）若M?{(x,y)|y?3sin?（?為參數(shù)，0????)}，N??(x,y)|y?x?b?，若??
M?N??，則b的取值范圍是_________
十一．點與圓的位置關(guān)系：已知點M?x0,y0?及圓C：?x-a???y?b?
（1）點M在圓C外?CM?r??x0?a???y0?b??r2；
（2）點M在圓C內(nèi)?CM?r??x0?a???y0?b??r2； 222222（答：－）?r2?r?0?，?
（3）點M在圓C上?CM?r??x0?a???y0?b??r2。如
點P(5a+1,12a)在圓(x－１)２＋y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是______（答：|a|?
十二。直線與圓的位置關(guān)系：
直線l:Ax?By?C?0和圓C：?x?a???y?b??r2?r?0?有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個方面來判斷：
（1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：??0?相交；??0?相離；??0?相切；
（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大小）：設(shè)圓心到直線的距離為d，則d?r?相交；d?r?相離；d?r?相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡捷。如
?（1）圓2x2?2y2?1與直線xsin??y?1?0(??R,???k?，k?z)的位置關(guān)系為
2____
（答：相離）；
（2）若直線ax?by?3?0與圓x2?y2?4x?1?0切于點P(?1,2)，則ab的值____
（答：2）；
（3）直線x?2y?0被曲線x2?y2?6x?2y?15?0所截得的弦長等于
（答：；
（4）一束光線從點A(－1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是
（答：4）；
22221）1
3（5）已知M(a,b)(ab?0)是圓O:x2?y2?r2內(nèi)一點，現(xiàn)有以M為中點的弦所在直線m和直線l:ax?by?r2，則
A．m//l，且l與圓相交B．l?m，且l與圓相交
C．m//l，且l與圓相離D．l?m，且l與圓相離
（答：C）；
（6）已知圓C：x2?(y?1)2?5，直線L：mx?y?1?m?0。①求證：對m?R，直線L與圓C總有兩個不同的交點；②設(shè)L與圓C交于A、B
兩點，若AB?，求L的傾斜角；③求直線L中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程.（答：②60?或120?③最長：y?1，最短：x?1）
十三．圓與圓的位置關(guān)系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷）：已知兩圓的圓心分
別為O1，O2，半徑分別為r1,r2，則
（1）當(dāng)|O1O2??r1?r2時，兩圓外離；
（2）當(dāng)|O1O2??r1?r2時，兩圓外切；
（3）當(dāng)r1?r2<|O1O2??r1?r2時，兩圓相交；
（4）當(dāng)|O1O2???r1?r2|時，兩圓內(nèi)切；
（5）當(dāng)0?|O1O2???r1?r2|時，兩圓內(nèi)含。如 x2y
2雙曲線2?2?1的左焦點為F1，頂點為A1、A2，P是雙曲線右支上任意一點，則ab
分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓位置關(guān)系為
（答：內(nèi)切）
十四．圓的切線與弦長：
(1)切線：①過圓x2?y2?R2上一點P(x0,y0)圓的切線方程是：xx0?yy0?R2，過圓(x?a)2?(y?b)2?R2上一點P(x0,y0)圓的切線方程是：(x?a)(x0?a)?(y?a)(y0?a)?R2，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑）；②從圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求；③過兩切點的直線（即“切點弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點的直線方程；③切線長：過圓x2?y2?Dx?Ey?F?0（(x?a)2?(y?b)2?R2）外一點P(x0,y0)所引圓的；如
設(shè)A為圓(x?1)2?y2?1上動點，PA是圓的切線，且|PA|=1，則P點的軌跡方程為__________
（答：(x?1)2?y2?2）；
1（2）弦長問題：①圓的弦長的計算：常用弦心距d，弦長一半a及圓的半徑r所構(gòu)
21成的直角三角形來解：r2?d2?(a)2；②過兩圓C1:f(x,y)?0、C2:g(x,y)?0交點的圓(公
2共弦)系為f(x,y)??g(x,y)?0，當(dāng)???1時，方程f(x,y)??g(x,y)?0為兩圓公共弦所在直線方程.。
十五．解決直線與圓的關(guān)系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)!
第二篇：高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理配套講義12 直線與圓
微專題12 直線與圓
命
題
者
說
考
題
統(tǒng)
計
考
情
點
擊
2018·全國卷Ⅲ·T6·直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用
2018·北京高考·T7·點到直線距離的最值
2017·全國卷Ⅲ·T10·直線與圓的位置關(guān)系
2016·全國卷Ⅱ·T4·圓的方程、點到直線的距離
1.圓的方程近兩年為高考全國課標(biāo)卷命題的熱點，需重點關(guān)注。此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式呈現(xiàn)。
2.直線與圓的方程偶爾單獨命題，單獨命題時有一定的深度，對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上。
考向一
直線的方程
【例1】(1)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與直線l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是()
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2
(2)在△ABC中，A(1,1)，B(m，)(1 A． B． C． D． 解析(1)當(dāng)k＝4時，直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率存在，所以兩直線不平行；當(dāng)k≠4時，兩直線平行的一個必要條件是＝k－3，解得k＝3或k＝5；但必須滿足≠(截距不等)才是充要條件，經(jīng)檢驗知滿足這個條件。故選C。 (2)由兩點間距離公式可得|AC|＝，直線AC的方程為x－3y＋2＝0，所以點B到直線AC的距離d＝，從而△ABC的面積S＝|AC|d＝|m－3＋2|＝，又1 答案(1)C(2)B 直線方程應(yīng)用的兩個關(guān)注點 (1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的情況。 (2)求直線方程時應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意。 變|式|訓(xùn)|練 1．(2018·江門模擬)已知三條直線l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝3，若l1關(guān)于l2對稱的直線與l3垂直，則實數(shù)m的值是() A．－8 B．－ C．8 D． 解析 易知直線l1：4x＋y＝1關(guān)于直線l2：x－y＝0對稱的直線方程為x＋4y＝1，又l3：2x－my＝3。故由題意得1×2＋4×(－m)＝0，所以m＝。故選D。 答案 D 2．(2018·河南名校聯(lián)考)已知m，n，a，b∈R，且滿足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，則的最小值為() A． B． C．1 D． 解析 此題可理解為點A(m，n)和點B(a，b)分別在直線l1：3x＋4y＝6與l2：3x＋4y＝1上，求A、B兩點距離的最小值，|AB|＝，因為l1∥l2，所以|AB|min＝＝1。故選C。 答案 C 考向二 圓的方程 【例2】(1)(2018·珠海聯(lián)考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為() A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 (2)(2018·貴陽摸底)過點M(2,2)的直線l與坐標(biāo)軸的正方向分別相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若△OAB的面積為8，則△OAB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________。 解析(1)由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)，則有＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝1。故圓心坐標(biāo)為(1，－1)，半徑r＝＝，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故選B。 (2)解法一：設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由直線l過點M(2,2)，得＋＝1，又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，不妨設(shè)A(4,0)，B(0,4)，△OAB外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則將O，A，B的坐標(biāo)分別代入得解得所以△OAB外接圓的方程為x2＋y2－4x－4y＝0，標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8。 解法二：設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由直線l過點M(2,2)，得＋＝1。又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜邊AB的中點，則△OAB外接圓的圓心是點M(2,2)，半徑|OM|＝2，所以△OAB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8。 答案(1)B(2)(x－2)2＋(y－2)2＝8 求圓的方程的兩種方法 (1)幾何法：通過已知條件，利用相應(yīng)的幾何知識求圓的圓心，半徑。 (2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)。 變|式|訓(xùn)|練 1．拋物線y2＝4x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點，其準(zhǔn)線與x軸的交點為M，則過M，A，B三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。 解析 由題意知，A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，△AMB是以點M為直角頂點的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4。 答案(x－1)2＋y2＝4 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。 解析 解法一：由題意得：半徑等于＝＝≤ ≤，當(dāng)且僅當(dāng)m＝1時取等號，所以半徑最大為r＝，所求圓為(x－1)2＋y2＝2。 解法二：直線mx－y－2m－1＝0，y＝m(x－2)－1恒過點M(2，－1)，如圖，設(shè)C(1,0)，則M為切點時半徑最大，且rmax＝|CM|＝＝，所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝2。 答案(x－1)2＋y2＝2 考向三 直線與圓的位置關(guān)系 微考向1：直線與圓的相交弦 【例3】(1)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點，若|MN|＝，則直線l的方程為________。 (2)設(shè)直線x－y－a＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若△AOB為等邊三角形，則實數(shù)a的值為() A．± B．± C．±3 D．±9 解析(1)直線l的方程為y＝kx＋1，圓心C(2,3)到直線l的距離d＝＝，由R2＝d2＋2得1＝＋，解得k＝2或，所求直線l的方程為y＝2x＋1或y＝x＋1。 (2)由題意知：圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑為2，則△AOB的邊長為2，所以△AOB的高為，即圓心到直線x－y－a＝0的距離為，所以＝，解得a＝±。故選B。 答案(1)y＝2x＋1或y＝x＋1(2)B (1)直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路 研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩個圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較。 (2)弦長的求解方法 ①根據(jù)半徑，弦心距，半弦長構(gòu)成的直角三角形，構(gòu)成三者間的關(guān)系r2＝d2＋(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)，弦長l＝2。 ②根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)，或根據(jù)l＝|y1－y2|求解。 ③求出交點坐標(biāo)，用兩點間距離公式求解。 變|式|訓(xùn)|練 (2018·合肥一模)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為() A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 解析 當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，圓心到直線l的距離為d＝1，所以|AB|＝2＝2，符合題意。當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，因為圓x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圓心為C(1,1)，圓的半徑r＝2，易知圓心C(1,1)到直線y＝kx＋3的距離d＝＝，因為d2＋2＝r2，所以＋3＝4，解得k＝－，所以直線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0。綜上，直線l的方程為3x＋4y－12＝0或x＝0。故選B。 答案 B 微考向2：直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用 【例4】(1)(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是() A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] (2)(2018·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點P(cosθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離。當(dāng)θ，m變化時，d的最大值為() A．1 B．2 C．3 D．4 解析(1)因為直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點。所以A(－2,0)，B(0，－2)，則|AB|＝2。因為點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，所以圓心為(2,0)，則圓心到直線的距離d1＝＝2。故點P到直線x＋y＋2＝0的距離d2的取值范圍為[，3]。則S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]。故選A。 (2)解法一：因為cos2θ＋sin2θ＝1，所以P點的軌跡是以原點為圓心的單位圓，又x－my－2＝0表示過點(2,0)且斜率不為0的直線，如圖，可得點(－1,0)到直線x＝2的距離即為d的最大值。故選C。 解法二：由題意可得 d＝＝ ＝ ＝，因為－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以當(dāng)m＝0時，d取最大值3。故選C。 答案(1)A(2)C 利用圓的圖形特征求解有關(guān)距離的最值問題往往比一些常規(guī)的方法簡單、便捷。 變|式|訓(xùn)|練 1．(2018·太原五中模擬)已知k∈R，點P(a，b)是直線x＋y＝2k與圓x2＋y2＝k2－2k＋3的公共點，則ab的最大值為() A．15 B．9 C．1 D．－ 解析 由題意得，圓心到直線x＋y＝2k的距離d＝≤，且k2－2k＋3>0，解得－3≤k≤1，因為2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3，所以當(dāng)k＝－3時，ab取得最大值9。故選B。 答案 B 2．(2018·山西晉中二模)由直線y＝x＋1上的一點P向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為______。 解析 設(shè)圓心M到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝＝2，所以|PM|的最小值為2。所以切線長l＝≥＝。則切線長的最小值為。 答案 1．(考向一)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，則“a＝－3”是“l(fā)1⊥l2”的() A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析 直線l1⊥l2的充要條件是a＋(a＋2)a＝0，所以a(a＋3)＝0，所以a＝0或a＝－3。故選A。 答案 A 2．(考向二)(2018·安徽“江南十?！甭?lián)考)已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，則圓C的方程為________。 解析 因為所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，所以設(shè)所求圓的圓心為(a，－a)。又因為所求圓與直線x－y＝0相切，所以半徑r＝＝|a|。又所求圓在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝，所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。 答案(x－1)2＋(y＋1)2＝2 3．(考向三)(2018·鄭州外國語中學(xué)調(diào)研)已知圓C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圓C2：x2＋(y－b)2＝1只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為() A．2 B．4 C．8 D．9 解析 由題意可知，圓C1的圓心為(－2a,0)，半徑為2，圓C2的圓心為(0，b)，半徑為1，因為兩圓只有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1。所以＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝時等號成立，所以＋的最小值為9。故選D。 答案 D 4．(考向三)(2018·南寧、柳州聯(lián)考)過點(，0)作直線l與曲線y＝相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于______。 解析 令P(，0)，如圖，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，當(dāng)∠AOB＝90°時，△AOB的面積取得最大值，此時過點O作OH⊥AB于點H，則|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH為銳角，所以∠OPH＝30°，則直線AB的傾斜角為150°，故直線AB的斜率為tan150°＝－。 答案?。?/p> 5．(考向三)某學(xué)校有2 500名學(xué)生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，為了了解學(xué)生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學(xué)生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a，b，且直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120°，則圓C的方程為________。 解析 由題意，＝＝，所以a＝40，b＝24，所以直線ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，A(1，－1)到直線的距離為＝，因為直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120°，所以r＝，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝。 答案(x－1)2＋(y＋1)2＝ 考點十五 直線與圓﹑橢圓﹑雙曲線﹑拋物線 一、選擇題 1．若直線x＋(1＋m)y－2＝0與直線mx＋2y＋4＝0平行，則m的值是() A．1 B．－2 C．1或－2 D．－ 答案 A 解析 ①當(dāng)m＝－1時，兩直線分別為x－2＝0和x－2y－4＝0，此時兩直線相交，不符合題意．②當(dāng)m≠－1時，兩直線的斜率都存在，由兩直線平行可得解得m＝1，故選A.2．(2020·廣州綜合測試)若直線kx－y＋1＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是() A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3] C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案 D 解析 圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心為(－1,2)，半徑為2，由題意可知圓心到直線kx－y＋1＝0的距離d＝≤2，化簡，得32＋≥0，故k∈(－∞，＋∞)．故選D.3．(2020·山東菏澤高三聯(lián)考)已知雙曲線－＝1的一條漸近線上存在一點到x軸的距離與到原點O的距離之比為，則實數(shù)a的值為() A．2 B．4 C．6 D．8 答案 B 解析 由題意，得該雙曲線的一條漸近線的斜率為＝，則＝，解得a＝4.故選B.4．(2020·山東泰安四模)已知拋物線E：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，OF為菱形OBFC的一條對角線，另一條對角線BC的長為2，且點B，C在拋物線E上，則p＝() A．1 B． C．2 D．2 答案 B 解析 由題意，得在拋物線上，代入拋物線的方程可得1＝，∵p>0，∴p＝，故選B.5．(2020·衡中高三質(zhì)量檢測一)已知橢圓C1：＋y2＝1(m>1)與雙曲線C2：－y2＝1(n>0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則() A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m D．m 答案 A 解析 由于橢圓C1與雙曲線C2的焦點重合，則m2－1＝n2＋1，則m2－n2＝2>0，∵m>1，n>0，∴m>n.∵e1＝＝，e2＝＝，∴e1e2＝＝＝＝>1，故選A.6．(2020·北京高考)設(shè)拋物線的頂點為O，焦點為F，準(zhǔn)線為l.P是拋物線上異于O的一點，過P作PQ⊥l于Q，則線段FQ的垂直平分線() A．經(jīng)過點O B．經(jīng)過點P C．平行于直線OP D．垂直于直線OP 答案 B 解析 如圖所示，因為線段FQ的垂直平分線上的點到F，Q的距離相等，又點P在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知|PQ|＝|PF|，所以線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點P.故選B.7．(多選)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲線C：mx2＋ny2＝1，() A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上 B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為 C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝± x D．若m＝0，n>0，則C是兩條直線 答案 ACD 解析 對于A，若m>n>0，則mx2＋ny2＝1可化為＋＝1，因為m>n>0，所以<，即曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，若m＝n>0，則mx2＋ny2＝1可化為x2＋y2＝，此時曲線C表示圓心在原點，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若mn<0，則mx2＋ny2＝1可化為＋＝1，此時曲線C表示雙曲線，由mx2＋ny2＝0可得y＝± x，故C正確；對于D，若m＝0，n>0，則mx2＋ny2＝1可化為y2＝，y＝±，此時曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確．故選ACD.8．(多選)(2020·山東濰坊6月模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，點P(1,1)在橢圓的內(nèi)部，點Q在橢圓上，則以下說法正確的是() A．|QF1|＋|QP|的最小值為2－1 B．橢圓C的短軸長可能為2 C．橢圓C的離心率的取值范圍為 D．若＝，則橢圓C的長軸長為＋ 答案 ACD 解析 因為|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，當(dāng)Q，F(xiàn)2，P三點共線時，取等號，故A正確；若橢圓C的短軸長為2，則b＝1，a＝2，所以橢圓C的方程為＋＝1，又＋>1，則點P在橢圓外，故B錯誤；因為點P(1，1)在橢圓內(nèi)部，所以＋<1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋<1，即a2－3a＋1>0，解得a>＝＝，所以>，所以e＝<，所以橢圓C的離心率的取值范圍為，故C正確；若＝，則F1為線段PQ的中點，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，所以＋＝1(a>1)，即a2－11a＋9＝0(a>1)，解得a＝＝＝，所以＝，所以橢圓C的長軸長為＋，故D正確．故選ACD.二、填空題 9．(2020·山東省實驗中學(xué)高三6月模擬)以拋物線y2＝2x的焦點為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為________． 答案 2＋y2＝1 解析 拋物線y2＝2x的焦點為，準(zhǔn)線方程為x＝－，焦點到準(zhǔn)線的距離為1，所以圓的圓心為，半徑為1，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝1.10．(2020·北京高考)已知雙曲線C：－＝1，則C的右焦點的坐標(biāo)為________；C的焦點到其漸近線的距離是________． 答案(3,0) 解析 在雙曲線C中，a＝，b＝，則c＝＝3，則雙曲線C的右焦點的坐標(biāo)為(3,0)．雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0，所以雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為＝.11．(2020·河南開封高三3月模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1的左、右焦點，點M在E上，且∠F1MF2＝，則△F1MF2的面積為________． 答案 3 解析 由題意，設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，則m＋n＝2a，由余弦定理可得，4c2＝m2＋n2－2mncos＝(m＋n)2－mn＝4a2－mn，又c2＝a2－3，∴mn＝12，∴△F1MF2的面積S＝mnsin＝3.12.(2020·株洲第二中學(xué)4月模擬)如圖，點F是拋物線C：x2＝4y的焦點，點A，B分別在拋物線C和圓x2＋(y－1)2＝4的實線部分上運動，且AB總是平行于y軸，則△AFB周長的取值范圍是________． 答案(4,6) 解析 ∵拋物線C：x2＝4y的焦點為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1，圓x2＋(y－1)2＝4的圓心F(0,1)，半徑R＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y(tǒng)A＋1，|AB|＝y(tǒng)B－yA，∴△AFB的周長為|FB|＋|AF|＋|AB|＝2＋yA＋1＋yB－yA＝3＋yB，∵1 三、解答題 13．過原點O作圓x2＋y2－8x＝0的弦OA.(1)求弦OA的中點M的軌跡方程； (2)延長OA到N，使|OA|＝|AN|，求點N的軌跡方程． 解(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A(2x,2y)，因為點A在圓x2＋y2－8x＝0上，所以(2x)2＋(2y)2－16x＝0，即x2＋y2－4x＝0.又點O與A不重合，所以x≠0.因此，點M的軌跡方程為x2＋y2－4x＝0(x≠0)． (2)設(shè)N(x，y)，∵|OA|＝|AN|，∴A為線段ON的中點，∴A，又A在圓x2＋y2－8x＝0上，∴2＋2－4x＝0，即x2＋y2－16x＝0.又點O與A不重合，所以x≠0.因此，點N的軌跡方程為x2＋y2－16x＝0(x≠0)． 14．(2020·全國卷Ⅱ)已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的離心率； (2)若C1的四個頂點到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解(1)因為橢圓C1的右焦點為F(c,0)，所以拋物線C2的方程為y2＝4cx，其中c＝.不妨設(shè)A，C在第一象限，因為橢圓C1的方程為＋＝1，所以當(dāng)x＝c時，有＋＝1?y＝±，因此A，B的縱坐標(biāo)分別為，－.又因為拋物線C2的方程為y2＝4cx，所以當(dāng)x＝c時，有y2＝4c·c?y＝±2c，所以C，D的縱坐標(biāo)分別為2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|，得4c＝，即3·＝2－22，解得＝－2(舍去)，＝.所以C1的離心率為.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故橢圓C1：＋＝1，所以C1的四個頂點坐標(biāo)分別為(2c,0)，(－2c,0)，(0，c)，(0，－c)，C2的準(zhǔn)線方程為x＝－c.由已知，得3c＋c＋c＋c＝12，解得c＝2.所以a＝4，b＝2，所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x.一、選擇題 1．(2020·山東濟南二模)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，點P在拋物線上且橫坐標(biāo)為4，則|PF|＝() A．2 B．3 C．5 D．6 答案 C 解析 將x＝4代入拋物線方程得P(4,4)，根據(jù)拋物線定義得|PF|＝4＋＝4＋1＝5.故選C.2．(2020·湖北荊州高三階段訓(xùn)練)某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為e，設(shè)地球半徑為R，該衛(wèi)星近地點離地面的距離為r，則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為() A.r＋R B．r＋R C.r＋R D．r＋R 答案 A 解析 橢圓的離心率e＝∈(0,1)(c為半焦距，a為長半軸長)，設(shè)該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為n，如圖： 則n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝，c＝，所以n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R.故選A.3．(2020·北京高考)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3,4)，則其圓心到原點的距離的最小值為() A．4 B．5 C．6 D．7 答案 A 解析 設(shè)圓心為C(x，y)，則＝1，化簡得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圓心C的軌跡是以M(3，4)為圓心，1為半徑的圓，如圖．所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時取得等號，故選A.4．(2020·山東濰坊高密二模)已知雙曲線－＝1的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為() A.B． C． D．2 答案 A 解析 雙曲線－＝1的一條漸近線的傾斜角為，tan＝，所以該條漸近線方程為y＝x，所以＝，解得a＝，所以c＝＝＝2，所以雙曲線的離心率為e＝＝＝.故選A.5．(2020·山西太原五中3月模擬)若過橢圓＋＝1內(nèi)一點P(2,1)的弦被該點平分，則該弦所在的直線方程為() A．8x＋9y－25＝0 B．3x－4y－5＝0 C．4x＋3y－15＝0 D．4x－3y－9＝0 答案 A 解析 設(shè)弦的兩端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，P為AB的中點，因為A，B在橢圓上，所以＋＝1，＋＝1，兩式相減，得＋＝0，因為x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，可得＝－，則所求直線的斜率k＝－，因為該直線過點P(2,1)，所以所求直線的方程為y－1＝－(x－2)，整理，得8x＋9y－25＝0.故選A.6．(2020·山東淄博二模)當(dāng)α∈時，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的軌跡不可能是() A．兩條直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線 答案 B 解析 當(dāng)α∈時，0 A．C的離心率為2 B．C的漸近線方程為y＝±x C．動點P到兩條漸近線的距離之積為定值 D．當(dāng)動點P在雙曲線C的左支上時，的最大值為 答案 AC 解析 對于雙曲線C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2，所以雙曲線C的離心率為e＝＝2，漸近線方程為y＝±x，A正確，B錯誤；設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x－＝1，雙曲線C的兩條漸近線方程分別為x－y＝0和x＋y＝0，則點P到兩條漸近線的距離之積為·＝＝，C正確；當(dāng)動點P在雙曲線C的左支上時，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，＝＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝2時，等號成立，所以的最大值為，D錯誤．故選AC.8．(多選)(2020·山東威海三模)已知拋物線y2＝2px(p>0)上三點A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(xiàn)為拋物線的焦點，則() A．拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1 B.＋＋＝0，則||，||，||成等差數(shù)列 C．若A，F(xiàn)，C三點共線，則y1y2＝－1 D．若|AC|＝6，則AC的中點到y(tǒng)軸距離的最小值為2 答案 ABD 解析 把點B(1,2)代入拋物線y2＝2px，得p＝2，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，故A正確；因為A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(xiàn)(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(0,2)，＝(x2－1，y2)，又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2，所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2||，即||，||，||成等差數(shù)列，故B正確；因為A，F(xiàn)，C三點共線，所以直線斜率kAF＝kCF，即＝，所以＝，化簡得y1y2＝－4，故C不正確；設(shè)AC的中點為M(x0，y0)，因為|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中點到y(tǒng)軸距離的最小值為2，故D正確．故選ABD.二、填空題 9．(2020·深圳調(diào)研二)已知橢圓C：＋＝1的右焦點為F，O為坐標(biāo)原點，C上有且只有一個點P滿足|OF|＝|FP|，則C的方程為________． 答案?。? 解析 根據(jù)對稱性知P在x軸上，因為|OF|＝|FP|，故a＝2c，又a2＝3＋c2，所以a＝2，c＝1，故橢圓C的方程為＋＝1.10．(2020·浙江高考)設(shè)直線l：y＝kx＋b(k＞0)，圓C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直線l與C1，C2都相切，則k＝________，b＝________.答案 － 解析 由題意，兩圓圓心C1(0,0)，C2(4,0)到直線l的距離等于半徑，即＝1，＝1，所以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍去)或b＝－2k，解得k＝，b＝－.11.如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(a 解析 由題意可知D是拋物線y2＝2ax(a>0)的焦點，且D，又正方形DEFG的邊長為b，所以F，因為F在拋物線上，所以b2＝2a，即b2－2ab－a2＝0，所以2－－1＝0，解得＝1＋或1－，因為0 解析 如圖所示，設(shè)PnFn1，PnFn2與圓Gn分別切于點Bn，Cn.根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，|PnBn|＝|PnCn|，|BnFn1|＝|AnFn1|，|AnFn2|＝|CnFn2|，又點Pn是雙曲線En右支上一動點，∴|PnFn1|－|Fn2Pn|＝＝，∴|AnFn1|－|AnFn2|＝.∴an＋cn－(cn－an)＝.∴an＝.∴a1＋a2＋…＋a2020＝＝.三、解答題 13．(2020·山東濟南二模)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點和下頂點分別為A，B，|AB|＝2，過橢圓焦點且與長軸垂直的弦的長為2.(1)求橢圓C的方程； (2)已知M為橢圓C上一動點(M不與A，B重合)，直線AM與y軸交于點P，直線BM與x軸交于點Q，證明：|AQ|·|BP|為定值． 解(1)由題意可知解得所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)證明：A(－4,0)，B(0，－2)，設(shè)M(x0，y0)，P(0，yP)，Q(xQ,0)，因為M(x0，y0)在橢圓C上，所以x＋4y＝16，由A，P，M三點共線，得＝，即yP＝，同理可得xQ＝.所以|AQ|·|BP|＝|xQ＋4|·|yP＋2| ＝|·| ＝||＝16.所以|AQ|·|BP|為定值16.14．(2020·福建高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測)已知定點F(0,1)，P為x軸上方的動點，線段PF的中點為M，點P，M在x軸上的射影分別為A，B，PB是∠APF的平分線，動點P的軌跡為E.(1)求E的方程； (2)設(shè)E上點Q滿足PQ⊥PB，Q在x軸上的射影為C，求|AC|的最小值． 解 解法一：(1)設(shè)坐標(biāo)原點為O，因為PA∥BM，所以∠APB＝∠PBM，因為PB是∠APF的平分線，所以∠APB＝∠MPB，所以∠MPB＝∠PBM，所以|BM|＝|PM|，因為M為線段PF的中點，|BM|＝，所以2|BM|＝|PA|＋1，因為|PF|＝2|PM|＝2|BM|，所以|PF|＝|PA|＋1，因為P為x軸上方的動點，所以點P到點F的距離等于點P到直線y＝－1的距離，所以動點P的軌跡E是頂點在原點，焦點為F(0,1)的拋物線(原點除外)，設(shè)E的方程為x2＝2py(p>0，x≠0)，則＝1，所以p＝2，所以E的方程為x2＝4y(x≠0)． (2)設(shè)點P，Q，所以點B，＝，＝，所以·＝－(x2－x1)－＝－·(x2－x1)[8＋x1(x2＋x1)]＝0，因為x2≠x1，且x1≠0，所以8＋x1(x2＋x1)＝0，所以x2＝－－x1，所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋|| ≥2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x1＝±2時，等號成立，所以|AC|的最小值為8.解法二：(1)設(shè)點P(x0，y0)，y0>0，x0≠0，所以點B，所以|AB|＝，因為PB是∠APF的平分線，所以點B到直線PF的距離d＝|AB|，因為直線PF的方程為y－1＝x，整理，得(y0－1)x－x0y＋x0＝0，所以d＝，所以＝，整理，得x＝4y0(x0≠0)，所以動點P的軌跡E的方程為x2＝4y(x≠0)． (2)設(shè)點P，Q，所以點B，所以kPB＝＝，因為PQ⊥PB，所以直線PQ的方程為y－＝－(x－x1)，即y＝－x＋2＋，代入E的方程得x2＋x－8－x＝0，所以x1x2＝－8－x，即x2＝－－x1，所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋|| ≥2 ＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x1＝±2時，等號成立，所以|AC|的最小值為8. 證明直線與圓相切的常見方法 學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系,常會遇到證明一條直線是圓的切線的題目,如何證明一條直線是圓的切線,一般會出現(xiàn)以下三種情況.一、若證明是圓的切線的直線與圓有公共點,且存在連接公共點的半徑,此時可根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明.簡記為“見半徑，證垂直”.例1如圖1,已知AB為⊙O的直徑,直線PA過點A,且∠PAC=∠B.求證:PA是⊙O的切線.圖 1分析：要證明PA是⊙O的切線，因為AB是⊙O的直徑，所以只要證明AB⊥AP.可結(jié)合直徑所對的圓周為直角進行推理.證明：因為AB為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=90°，因為∠PAC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°，即∠BAP=90°，所以PA是⊙O的切線.二、若給出了直線與圓的公共點，但未給出過這點的半徑，則連結(jié)公共點和圓心，然后根據(jù)“經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑的直線是圓的切線”來證明.簡記為“作半徑，證垂直”.例2如圖2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圓，AB是⊙Ｏ的直徑，D是AB的延長線上的一點，AE⊥DC交DC的延長線于點E，且AC平分∠EAB． 求證：DE是⊙O的切線． 證明：連接OC，則OA=OC，所以∠CAO=∠ACO，因為AC平分∠EAB，所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，所以AE∥CO，又AE⊥DE，所以CO⊥DE，所以DE是⊙O的切線． 三、若直線與圓的公共點不明確時，則過圓心作該直線的垂線段，然后根據(jù)“圓心到直線的距離等于圓的半徑，該直線是圓的切線”來證明.簡記為“作垂直，證相等”.例3如圖3，已知，O為正方形ABCD對角線上一點，以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的⊙O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F.求證：CD與⊙O相切． 圖3 分析：要識別“CD與⊙O相切”，由于不知道CD經(jīng)過圓上哪一點，所以先過點O作：ON⊥CD于N，再證明ON是⊙O半徑。易知OM是⊙O的半徑，只要證明：OM=ON即可.證明：連結(jié)OM，作ON⊥CD于N，因為 ⊙O與BC相切，所以 OM⊥BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以 AC平分∠BCD.所以O(shè)M=ON.圖 4 所以CD與⊙O相切.總結(jié)： 切線判斷并不難，認真審題是重點；直線與圓有交點，連接半徑是關(guān)鍵，推得垂直是切線；若沒明確是切點，作過圓心垂線段，半徑相等得切線. 怎樣證明直線與圓相切？ 在直線與圓的各種位置關(guān)系中，相切是一種重要的位置關(guān)系． 現(xiàn)介紹以下三種判別直線與圓相切的基本方法： (1)利用切線的定義——在已知條件中有“半徑與一條直線交于半徑的外端”，于是只需直接證明這條直線垂直于半徑的外端． 例1：已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，⊙O的直徑AE交BC于F點，點P在BC的延長線上，且∠CAP=∠ABC． 求證：PA是⊙O的切線． 證明：連接EC． ∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE=90°，∴∠E＋∠EAC=90°． ∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP，∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC＋∠E=90°，∴∠EAP=90°，∴PA⊥OA，且過A點，則PA是⊙O的切線． (2)利用切線的判定定理——在已知條件中，有“一條直線過圓上某一公共點(即為切點)，但沒有半徑”，于是先連接圓心與這個公共點成為半徑，然后再證明這條直線和這條半徑垂直． 例2：以Rt△ABC的直角邊BC為直徑作⊙O交斜邊AB于P，Q為AC的中點． 求證：PQ必為⊙O的切線． 證明 連接OP，CP． ∵BC為直徑，∴∠BPC=90°，即∠APC=90°． 又∵Q為AC中點，∴QP=QC，∴∠1=∠2． 又OP=OC，∴∠3=∠4． 又∠ACB=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB＝90°，∴∠OPQ=90°． ∵P點在⊙O上，且P為半徑OP的端點，則QP為⊙O的切線． 說明：要證PQ與半徑垂直，即連接OP．這是判別相切中添輔助線的常用方法． (3)證明“d=R”——在已知條件中“沒有半徑，也沒有與圓有公共交點的直線”，于是過圓心作直線的垂線，然后再證明這條垂線的長(d)等于圓的半徑(R)． 例3：已知：在△ABC中，AD⊥BC與D，且AD=BC，E、F為AB、AC的中點，O為EF2的中點。 求證：以EF為直徑的圓與BC相切． 證明：作OH⊥BC于H，設(shè)AD與EF交于M，又AD⊥BC，∴OH∥MD，則OHDM是矩形． ∴OH是⊙O的半徑，則EF為直徑的圓與BC相切.思考題： 1．AB是⊙O的直徑，AC是弦，AC=CD，EF過點C，EF⊥BD于G． 求證：EF是⊙O的切線． 提示：連接CO，則OC是⊙O的半徑，再證OC⊥EF． 2．DB是圓的直徑，點A在DB的延長線上，AB=OB，∠CAD=30°．求證：AC是⊙O的切線． 提示：∵AC與⊙O沒有公共點，∴作OE⊥AC于E，再證OE是⊙O的半徑．第三篇：教輔：高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點-直線與圓﹑橢圓﹑雙曲線﹑拋物線
第四篇：證明直線與圓相切的常見方法（定稿）
第五篇：怎樣證明直線與圓相切？
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