第一篇：立幾判斷題2005

幾何判斷題:

1、平行于同一直線的兩直線平行（）

2、垂直于同一直線的兩直線平行（）

3、平行于同一平面的兩直線平行（）

4、垂直于同一平面的兩直線平行（）

5、垂直于同一直線的兩個平面平行（）

6、經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行（）

7、經(jīng)過直線外一點有且只有一個平面和已知直線平行（）

8、經(jīng)過平面外一點有且只有一條直線和這個平面平行（）

9、經(jīng)過平面外一點有且只有一條直線和這個平面垂直（）

10、經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面和已知平面平行（）

11、一條直線和已知平面平行，那么它和這個平面內(nèi)的任意直線平行（）

12、一條直線和已知平面垂直，那么它和這個平面內(nèi)的任意直線垂直（）

13、一個平面和另一個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)直線和另一個平面平行（）

14、一個平面和另一個平面垂直，那么其中一個平面內(nèi)任意直線和另一個平面垂直（）

15、經(jīng)過平面外兩點有且只有一個平面和已知平面垂直（）

16、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（）

17、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（）

18、四邊相等的四邊形是菱形（）

19、四角相等的四邊形是矩形（）

20、四邊相等四角相等的四邊形是矩形（）

21、四個角都是直角的四邊形是矩形（）,三個角都是直角的四邊形是矩形（）

22、異面直線的公垂線有且只有一條（）

23、若兩條直線與第三條直線成等角，則這兩條直線平行（）

24、和兩條異面直線都垂直的兩直線是異面直線（）

25、一條直線和平行四邊形兩邊相交，則它一定落在平行四邊形所在的平面內(nèi)（）

26、一個角的兩邊和另一個角的兩邊互相垂直，則這兩個角相等或互補（）

27、一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補（）

28、和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線（）

29、過已知平面外一點平行于該平面的直線在過該點和已知平面平行的平面內(nèi)（）

30、過一點和已知直線垂直的直線在過該點和已知直線垂直的平面內(nèi)（）

31、一條直線和平面的一條斜線垂直，則它和這條斜線在平面內(nèi)的斜影垂直（）

32、兩個平面互相平行，則一個平面內(nèi)的直線的另一個平面相交或平行（）

33、直線和平面所成的角比它和平面內(nèi)經(jīng)過交點的直線和它所成的角小（）

34、過二面角棱上一點，分別在平面內(nèi)引射線，它們所成的角最小時，這個角叫做二面角的平面角（35、過二面角棱上一點，分別在平面內(nèi)的兩條射線，如果它們所成的角等于二

二面角的平面角，則這兩條射線都垂直于棱（）

36、如果直線上兩點到平面距離相等，則直線和平面平行（）

37、兩條平行線分別在兩平面內(nèi)，則這兩直線的距離就是兩平面的距離（）

38、兩條異面直線分別在兩個平行平面內(nèi)，則這兩條直線的距離就是兩平面的距離（）

39、同垂直于同一平面的兩個平面平行（）

40、過兩條異面直線外一點，有且只有一個平面與兩條異面直線平行（）

41、有且只有一個平面到到兩條異面直線的距離相等（）

42、一個平面和兩個平面相交，且交線平行，則這兩個平面平行（）

43、若一條直線平行于一個平面，則垂直于已知平面的直線必垂直于這條直線（）

44、若一條直線平行于一個平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個平面（）

45．異面直線a,b所成的角是30?,則過一定點A與a,b所成的角都等于15?的直線有條，與兩條 a,b所成的角都等于55?的直線條，與a,b所成的角都有等于75?的直線有 與a,b所成的角都等于80?的直線有條，與a,b所成的角都等于90?的直線有條。）

第二篇：立幾大題參考學習

,E為D1C1的中點，如圖所示。19.已知長方體AC1中，AD?AB?2,AA1?1（1）在所給的圖中畫出平面ABD； 1與平面B1EC的交線（不必說明理由）（2）證明：BD1//平面B1EC;

（3）求平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的余弦值。

18.如圖，在多面體ABCD﹣EFG中，O是菱形ABCD的對角線AC與BD的交點，四邊形ABGF，ADEF都是矩形．

（1）證明：平面ACF⊥平面BDEG；

（2）若∠ABC=120°，AB=2，AF=3，求直線CG與AE所成角的余弦值．

【考點】平面與平面垂直的判定；異面直線及其所成的角． 【分析】（Ⅰ）推導出AF⊥AB，AF⊥AD，從而AF⊥平面ABCD，進而BD⊥AF，又BD⊥AC，由此能證明平面ACF⊥平面BDEG．

（Ⅱ）以O(shè)為原點，OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，平行于AF所在直線為z軸，建立如圖空間直角坐標系，利用向量法能求出直線CG與AE所成角的余弦值． 【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）∵四邊形ABGF，ADEF都是矩形，∴AF⊥AB，AF⊥AD，（1分）

又AB∩AD=A，且AB、AD?平面ABCD，∴AF⊥平面ABCD．（2分）

又BD?平面ABCD，∴BD⊥AF．（3分）又∵AC，BD是菱形ABCD 的對角線，∴BD⊥AC．（4分）

∵AF，AC?平面ACF，AF∩AC=A，∴BD⊥平面ACF，（5分）又∵BD?平面BDFG，∴平面ACF⊥平面BDEG．（6分）解：（Ⅱ）以O(shè)為原點，OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，平行于AF所在直線為z軸，建立如圖空間直角坐標系．（7分）∵ABCD是菱形，且∠ABC=120°，AB=2，∴△BCD是等邊三角形，OB=OD=1，∵AF=3，∴A，C，E，G的坐標分別為：

．（8分）

．（9分）

∴，（10分）

所以，（11分）

即直線CG與AE所成角的余弦值為．（12分）

【點評】本題考查面面垂直的證明，考查線線角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．

18．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．

（1）求證：BD⊥平面AED；

（2）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】 試題分析：（Ⅰ）由題意及圖可得，先由條件證得AD⊥BD及AE⊥BD，再由線面垂直的判定定理即可證得線面垂直；

（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，可得出AC⊥BC，結(jié)合FC⊥平面ABCD，知CA，CA，CF兩兩垂直，因此可以C為坐標原點，分別以CA，CB，CF所在的直線為X軸，Y軸，Z軸建立如圖的空間直角坐標系，設(shè)CB=1，表示出各點的坐標，再求出兩個平面的法向量的坐標，由公式求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值即可；

解法二：取BD的中點G，連接CG，F(xiàn)G，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可證明出∠FGC為二面角F﹣BD﹣C的平面角，再解三角形求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值．（I）證明：因為四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED；

（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直，以C為坐標原點，分別以CA，CB，CF所在的直線為X軸，Y軸，Z軸建立如圖的空間直角坐標系，不妨設(shè)CB=1，則C（0，0，0），B（0，1，0），D（（，﹣，0），=（0，﹣1，1）

=0，?

=0，﹣，0），F(xiàn)（0，0，1），因此

=設(shè)平面BDF的一個法向量為=（x，y，z），則?所以x=由于y=z，取z=1，則=（，1，1），=（0，0，1）是平面BDC的一個法向量，則cos＜，＞===，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值為

解法二：取BD的中點G，連接CG，F(xiàn)G，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，F(xiàn)C，CG?平面FCG．

所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC為二面角F﹣BD﹣C的平面角，在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，因此CG=CB，又CB=CF，所以GF=故cos∠FGC=，=

CG，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值為

考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定；向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系；二面角的平面角及求法．

18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E、F分別是線段AB、BC的中點．（1）證明：PF⊥FD；

（2）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值；．

【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質(zhì)． 【分析】（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質(zhì)定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質(zhì)定理得到PF⊥FD；

（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A﹣PD﹣F的平面角，解三角形MNF可得答案． 【解答】（Ⅰ）證明：連接AF，則，222又AD=2，∴DF+AF=AD，∴DF⊥AF（2分）又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，∴

（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°． ∴PA=AB=1（9分）取AD的中點M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A﹣PD﹣F的平面角 ∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴∵∴，，且∠FMN=90°，∴

【點評】本題考查的知識點是空間直線與直線之間的位置關(guān)系，二面角大小度量．考查空間想象、推理論證、計算能力．

19.如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．（1）求證：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的余弦值．

答案：

?19.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，四邊形A1ABB1為菱形，?A1AB?45，四邊形BCC1B1為矩形，若AC?5,AB?4,BC?3

（1）求證：AB1?A1BC；（2）求二面角C?AA1?B的余弦值

18.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點D是AB的中點．

（1）求證：AC⊥BC1；

（2）求二面角D﹣CB1﹣B的平面角的正切值．

【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的性質(zhì)． 【專題】計算題；證明題． 【分析】（I）根據(jù)所給的直三棱柱的條件，寫出勾股定理得到兩條線段垂直，根據(jù)側(cè)棱與底面垂直，得到一條直線與一個平面上的兩條相交直線垂直，得到線面垂直，進而得到線線垂直．

（II）以CA、CB、CC1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，寫出要用的點的坐標，寫出向量，設(shè)出平面的法向量，求出法向量，根據(jù)兩個向量的夾角（或其補角）的大小就是二面角D﹣CB1﹣B的大?。?【解答】解：（Ⅰ）證明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，222∵AC+BC=AB ∴AC⊥BC，又 AC⊥C1C，且BC∩C1C=C ∴AC⊥平面BCC1，又BC1?平面BCC1 ∴AC⊥BC1

（II）以CA、CB、CC1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系 ∵AC=3，BC=4，AA1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0）C（0，0，0），B1（0，4，4），∴，，平面CBB1C1的法向量設(shè)平面DB1C的法向量則，的夾角（或其補角）的大小就是二面角D﹣CB1﹣B的大小 則由

令x0=4，則y0=﹣3，z0=3 ∴…（10分），則∵二面角D﹣B1C﹣B是銳二面角 ∴二面角D﹣B1C﹣B的正切值為

【點評】本題考查空間中直線與平面之間的垂直關(guān)系，用空間向量求解面與面的夾角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標系，把理論的推導轉(zhuǎn)化成數(shù)字的運算，降低了題目的難度．

18.如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點．（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的大?。?/p>

【考點】直線與平面垂直的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題． 【專題】證明題；綜合題；轉(zhuǎn)化思想． 【分析】法一：（Ⅰ）先證明直線AB1垂直平面A1BD內(nèi)的兩條相交直線BD、A1B，即可證明AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）設(shè)AB1與A1B交于點C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，連接AF，說明∠AFG為二面A﹣A1B﹣B的平面角，然后求二面角A﹣A1D﹣B的大?。?/p>

法二：取BC中點O，連接AO，以0為原點，向建立空間直角坐標系，求出，的方向為x、y、z軸的正方即可證明AB1⊥平面A1BD．

求出平面A1AD的法向量為=（x，y，z），為平面A1BD的法向量，然后求二者的數(shù)量積，求二面角A﹣A1D﹣B的大?。?【解答】解：法一：（Ⅰ）取BC中點O，連接AO、∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC． ∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，連接B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分別為BC、CC1的中點，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD．

在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD．

（Ⅱ）設(shè)AB1與A1B交于點G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，連接AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD，∴∠AFG為二面A﹣A1D﹣B的平面角，在△AA1D中，由等面積法可求得AF=又∵AG=∴sin∠AFG==，，所以二面角A﹣A1D﹣B的大小為arcsin

．

法二：（Ⅰ）取BC中點O，連接AO． ∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC、∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中點O1，以0為原點，的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直），A（0，0，），B1（1，⊥⊥，角坐標系，則B（1，0，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，2，0），∴∵∴∴AB1⊥平面A1BD．（Ⅱ）設(shè)平面A1AD的法向量為=（x，y，z），．

∵⊥⊥，∴∵∴

令z=1得=（﹣，0，1）為平面A1AD的一個法向量．

由（Ⅰ）知AB1⊥A1BD． ∴為平面A1BD的法向量．

cos＜，＞===﹣．

∴二面角A﹣A1D﹣B的大小為arccos

．

【點評】本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．

18.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC．（1）證明：PC⊥平面BED；

（2）設(shè)二面角A﹣PB﹣C為90°，求PD與平面PBC所成角的大?。?/p>

【考點】用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的判定；向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系． 【專題】計算題． 【分析】（I）先由已知建立空間直角坐標系，設(shè)D（，b，0），從而寫出相關(guān)點和相關(guān)向量的坐標，利用向量垂直的充要條件，證明PC⊥BE，PC⊥DE，從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可；

（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用兩平面垂直的性質(zhì)，即可求得b的值，最后利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值，進而求得線面角 【解答】解：（I）以A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz，設(shè)D（0）∴∴，b，0），則C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，=（2?，0，﹣2），?

=（=0，b，），=（，﹣b，）

=﹣=0，∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E ∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）

設(shè)平面PAB的法向量為=（x，y，z），則

取=（b，0）

設(shè)平面PBC的法向量為=（p，q，r），則

取=（1，﹣，）

∵平面PAB⊥平面PBC，∴?=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，∴cos＜，＞=），=（﹣

=，﹣，2）

設(shè)PD與平面PBC所成角為θ，θ∈[0，∴θ=30°

∴PD與平面PBC所成角的大小為30°

]，則sinθ=

【點評】本題主要考查了利用空間直角坐標系和空間向量解決立體幾何問題的一般方法，線面垂直的判定定理，空間線面角的求法，有一定的運算量，屬中檔題

18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB=1，AA1=BD與AB1交于點O，CO⊥側(cè)面ABB1A1．（Ⅰ）證明：BC⊥AB1；

（Ⅱ）若OC=OA，求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值．，D為AA1的中點，【考點】用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面所成的角． 【專題】證明題；空間位置關(guān)系與距離． 【分析】（Ⅰ）要證明BC⊥AB1，可證明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于側(cè)面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1內(nèi)證明BD垂直于AB1即可，可利用角的關(guān)系加以證明；

（Ⅱ）分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線為x，y，z軸，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標系，求出，平面ABC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論．

【解答】（I）證明：由題意，因為ABB1A1是矩形，D為AA1中點，AB=1，AA1=，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=在直角三角形ABD中，tan∠ABD=，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因為CO⊥側(cè)面ABB1A1，AB1?側(cè)面ABB1A1，所以CO⊥AB1

所以，AB1⊥面BCD，因為BC?面BCD，所以BC⊥AB1．

（Ⅱ）解：如圖，分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線為x，y，z軸，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標系，則A（0，﹣0），D（又因為所以，0，0），=2=（﹣，所以，0），=（0，），=（），0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，設(shè)平面ABC的法向量為=（x，y，z），則根據(jù)可得=（1，﹣）是平面ABC的一個法向量，設(shè)直線C1D與平面ABC所成角為α，則sinα=

．

【點評】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查線面角，考查向量方法的運用，屬于中檔題．

第三篇：一堂立幾習題課的教學設(shè)計

一堂立幾習題課的教學設(shè)計

房之華

【專題名稱】中學數(shù)學教與學 【專 題 號】G35

【復(fù)印期號】1999年05期

【原文出處】《中學數(shù)學研究》(南昌)1999年03期第8～10頁 【作者簡介】房之華，蘇州大學附屬中學 215006

數(shù)學習題課是容易上但又很難上好的課。一堂出色的習題課，應(yīng)當是融知識的復(fù)習與能力的培養(yǎng)為一體，充分挖掘習題潛在的智力功能，去激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生的思維能力和勇于探索的精神。變被動的學習為主動的進取，通過自身的力量去獲取知識，形成良好的學習習慣。因此，我們在習題課的教學方案設(shè)計時，要花一番功夫。若只為解題而解題，一堂課容納大量的習題，勢必造成學生在學習上的消化不良。更重要的是，既發(fā)揮不了習題的作用，又扼殺了學生智力的開發(fā)和能力的培養(yǎng)。這就要求我們在設(shè)計習題課的教案時，要精心設(shè)計，全面考慮。下面給出一堂習題課的案例，供同行參考和評析。

課題：一道立幾命題的證明與探究

教學目的：通過本堂課的教學，熟練掌握證明直線與直線垂直的方法，學會探索解題思路的方式手法，善于挖掘習題的智力功能，養(yǎng)成解題后反思的習慣，靈活應(yīng)用知識于解題之中。

教學過程：

一、問題的解決

（課堂一開始用投影儀將問題放映到黑板上）

[問題]如圖，在正方體ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]中，棱長為a,M、N分別為AD[，1]和A[，1]C[，1]的中點，求證：AD⊥MN。

思維從問題開始，教師引導學生探索其解題思路。

師：若聯(lián)想異面直線所成角的定義，本題該怎樣證明呢？

生：須先尋找AD與MN所成的角，然后證明AD與MN成90°角。

師：怎樣尋找角呢？

生：聯(lián)想異面直線所成角的定義，如圖1，分別取DD[，1]、C[，1]D[，1]的中點E、F，連結(jié)ME、EF、FN，構(gòu)造平行四邊形MNFE，則∠FEM就是AD與MN所成的角。

由線面垂直的關(guān)系，容易證明∠FEM=90°。

師：還可以怎樣找角？

生：過MN上一點M（或N）在面AD[，1]內(nèi)作ME∥AD交DD[，1]于點E，則E為DD[，1]的中點，故∠EMN為AD與MN所成的角。（如圖2）

師：若采用此法，該怎樣證明？

生：可構(gòu)造三角形MNE，使用余弦定理或勾股定理的逆定理證明。

師：這種證法有什么缺點？

生：計算太繁。

師：若聯(lián)想三垂線定理，該怎樣思考呢？

生：必須構(gòu)造三垂線定理的模型，尋找MN在某一個平面上的射影，方法又有多種：

其一：（如圖3）連結(jié)AC，過N作NF⊥AC，則NF⊥平面AC，同理過M作ME⊥AD，得ME⊥平面AC，故EF為MN在底面AC上的射影，從而問題便轉(zhuǎn)化為證明AD⊥EF。通過觀察，只要證明△AEM≌△AEF即可，這由已知條件容易證得。

其二：（如圖4）過N作NE⊥A[，1]D，則NE⊥平面AA[，1]D[，1]D，連ME，則ME為MN在平面AA[，1]D[，1]D上的射影。從而只要證明AD⊥NE，即證A[，1]D[，1] ⊥NE即可。這由△A[，1]EN≌△D[，1]EM不難證得。

其三：也可以過M作ME⊥A[，1]D[，1]，證明AD⊥EN，即證A[，1]D[，1] ⊥EN即可。

學生還可能會給出其它構(gòu)造圖形的方法。

師：若聯(lián)想到線面垂直的定義，該如何思考呢？

生：必須經(jīng)過AD或MN中的一條作一個平面，設(shè)法證明線面垂直即可。如圖5，過MN作平面EGFH，只要證明AD⊥平面EGFH即可。只要證明AD垂直平面EGFH內(nèi)兩條相交直線即可。

二、問題的變換 解題后的探究是培養(yǎng)學生創(chuàng)造能力的重要手段，在學生給出上述問題的證明之后，繼續(xù)引導學生將問題進行變換，探索變換后新問題解決的門徑，從而培養(yǎng)思維的靈活性與深刻性。

師：如果把題設(shè)中M、N分別為AD[，1]和A[，1]C[，1]的中點的條件變換為AM=A[，1]N，那么AD與MN還互相垂直嗎？請同學們思考。（要求學生在獨立思考的基礎(chǔ)上進行討論）

通過學生的探索，可得出如下的結(jié)論：

生：把特殊情形變換為一般情形，結(jié)論仍然成立。證明的方法同前面大致一樣。

若采用圖1的思路，在證明EM=FN時，不是根據(jù)中位線定理或全等三角形，而是利用平行線截線段成比例定理證之。

若采用圖3的思路，在證明AD⊥EF時，可通過△AEF與△AEM相似證得。

若采用圖4的思路，在證明A[，1]D[，1] ⊥EM時，可通過△A[，1]NE與△D[，1]ME相似證得。

若采用圖5的思路，在證明AD⊥平面EGFH時，可通過△AEM∽△A[，1]HN證得。

（通過對問題的探討，可以發(fā)現(xiàn)，前者是后者的特殊情形，后者具有一般性。而且問題的本身滲透著辯證的思想：“動中有靜”。即動點M、N在面對角線AD[，1]與A[，1]C[，1]上運動時，只要滿足A[，1]N⊥AM，則AD與MN的關(guān)系是不變的。）

師：若M、N為AD[，1]與A[，1]C[，1]上的任意兩點，則AD與MN所成角的范圍是多少？請同學們思考。（教師給予適當?shù)奶崾荆河脛討B(tài)的思想，通過直覺思維打開解題思路）

生：通過觀察，若把N固定在A[，1]點上，讓M從點A運動到點D[，1]，則發(fā)現(xiàn)直線AD與MN所成的角從90°逐漸減小到0°，故AD與MN所成角的范圍是0°≤α≤90°。

三、問題的功能

1.深化概念的理解和應(yīng)用

通過對上述問題的研究可進一步復(fù)習立幾與平幾中的許多概念。如：兩條異面直線所成的角；線線垂直與平行、線面垂直與平行、面面垂直與平行的判定定理和性質(zhì)定理；三垂線定理及逆定理；三角形全等與相似的判別方法；平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)等等。雖然只是一道題，但是涉及到的知識面很廣，在授課過程中，有意識引導學生復(fù)習相關(guān)的概念，并做到靈活應(yīng)用，深化理解。

2.寓能力培養(yǎng)于解題過程之中 在證明過程中，多處用到了構(gòu)造的思維方式。如構(gòu)造平行四邊形，構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造三垂線定理的模型，構(gòu)造平面，構(gòu)造直角梯形等。這是建模思想在解題中的應(yīng)用，從而可以培養(yǎng)學生創(chuàng)造性的思維能力。

化歸的思想在證題過程中表現(xiàn)得尤為突出。如將證明線線垂直的問題向兩條異面直線所成的角為90°轉(zhuǎn)化；向共面的兩條直線垂直的問題轉(zhuǎn)化；向射影轉(zhuǎn)化；向線面垂直的問題轉(zhuǎn)化；向代數(shù)問題轉(zhuǎn)化，利用余弦定理或勾股定理等去解決。通過轉(zhuǎn)化，使問題變得明朗化、簡單化。

本課從一個簡單的問題出發(fā)，由淺入深，由易到難地變換出更多的命題讓學生去探討，一方面可以復(fù)習到更多的知識點，另一方面可以培養(yǎng)學生勇于探索的精神，同時使學生的思維品質(zhì)得到訓練。

在探索問題的過程中，采用了動態(tài)的思想研究圖形的變化規(guī)律，在“動”中求“靜”，需要仔細的觀察，通過對圖形的觀察和想象，可以培養(yǎng)學生的觀察能力、空間想象能力、直覺思維能力和樹立學生的辯證唯物主義的哲學思想。

本課的教學方法采用的是啟導探索法。在教師的啟發(fā)引導下，由學生自己探索問題的結(jié)論。讓學生走上講臺，講解和討論問題。這樣做充分發(fā)揮了學生的主體作用，調(diào)動了他們學習數(shù)學的積極性，激發(fā)了他們學習數(shù)學的興趣。

第四篇：職專立幾口訣

職專數(shù)學立體幾何口訣

學好立幾不容易，空間觀念最關(guān)鍵 點在線面用屬于，線在面內(nèi)用包含 四個公理三推論，確定平面確定線 空間之中兩直線，平行相交和異面 線線平行同方向，等角定理進空間 想要證明線線平, 中位線加公理4 線面平行怎么證，面中找條平行線 線面平行有性質(zhì)，過線作面平交線 要證面面來平行，兩面各找兩交線 面面平行性質(zhì)1，面面平行線線平面面平行性質(zhì)2，面內(nèi)一線平另面 線面垂直好判斷，垂直面中兩交線 要證線線來垂直，線面垂直作先鋒 兩線垂直同一面，相互平行共伸展 兩面垂直同一線，一面平行另一面 面面垂直也容易，面過另面一垂線 面面垂直的性質(zhì)，垂直交線垂直面 空間距離和夾角，一找二證三計算 正三角形高邊，正方形對角線2 2

正余弦用3123，正切常用1 3222

數(shù)學常識記心間，人要自助天也助

第五篇：高中數(shù)學立體幾何口訣 學好立幾并不難

高中數(shù)學立體幾何口訣 學好立幾并不難

學好立幾并不難，空間想象是關(guān)鍵。點線面體是一家，共筑立幾百花園。點在線面用屬于，線在面內(nèi)用包含。四個公理是基礎(chǔ)，推證演算巧周旋?？臻g之中兩條線，平行相交和異面。線線平行同方向，等角定理進空間。判定線和面平行，面中找條平行線。已知線與面平行，過線作面找交線。要證面和面平行，面中找出兩交線，線面平行若成立，面面平行不用看。已知面與面平行，線面平行是必然；若與三面都相交，則得兩條平行線。判定線和面垂直，線垂面中兩交線。兩線垂直同一面，相互平行共伸展。兩面垂直同一線，一面平行另一面。要讓面與面垂直，面過另面一垂線。面面垂直成直角，線面垂直記心間。

一面四線定射影，找出斜射一垂線，線線垂直得巧證，三垂定理風采顯?？臻g距離和夾角，平行轉(zhuǎn)化在平面，一找二證三構(gòu)造，三角形中求答案。引進向量新工具，計算證明開新篇?？臻g建系求坐標，向量運算更簡便。知識創(chuàng)新無止境，學問思辨勇攀登。

多面體和旋轉(zhuǎn)體，上述內(nèi)容的延續(xù)。扮演載體新角色，位置關(guān)系全在里。算面積來求體積，基本公式是依據(jù)。規(guī)則形體用公式，非規(guī)形體靠化歸。展開分割好辦法，化難為易新天地。