第一篇：立幾中平行的證明

立幾中平行的證明

例1.如圖1，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，練習(xí)1：已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)N是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)M是B1C的中點(diǎn)，求證：MN//平面ABB1A1.點(diǎn)F是線段PC的中點(diǎn)，求證：PA//平面

BFD

如圖1例2.已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形 ,點(diǎn)M、N分別是線段AB、PC的中點(diǎn)，求證：直線MN//平面PAD

?

如圖

2練習(xí)2：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，證明：AC1//平面CDB

1.練習(xí)

3、已知正方體ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點(diǎn).求證：C1O∥面AB1D1；

DBC

1練習(xí)

5、已知平面PAD⊥平面ABCD, ABCD為正方形, ∠PAD=90°, 且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn).(1)求證：PB//平面EFG；

(2)求點(diǎn)A到平面PBD的距離；

(3)求異面直線EG與BDA

D

C

A

B

練習(xí)

4、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、AD、C1D1的中點(diǎn).求證：平面D1EF∥平面BDG.所成的角的余弦值．

第二篇：立幾判斷題2005

幾何判斷題:

1、平行于同一直線的兩直線平行（）

2、垂直于同一直線的兩直線平行（）

3、平行于同一平面的兩直線平行（）

4、垂直于同一平面的兩直線平行（）

5、垂直于同一直線的兩個平面平行（）

6、經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行（）

7、經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一個平面和已知直線平行（）

8、經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線和這個平面平行（）

9、經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線和這個平面垂直（）

10、經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面和已知平面平行（）

11、一條直線和已知平面平行，那么它和這個平面內(nèi)的任意直線平行（）

12、一條直線和已知平面垂直，那么它和這個平面內(nèi)的任意直線垂直（）

13、一個平面和另一個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)直線和另一個平面平行（）

14、一個平面和另一個平面垂直，那么其中一個平面內(nèi)任意直線和另一個平面垂直（）

15、經(jīng)過平面外兩點(diǎn)有且只有一個平面和已知平面垂直（）

16、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（）

17、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（）

18、四邊相等的四邊形是菱形（）

19、四角相等的四邊形是矩形（）

20、四邊相等四角相等的四邊形是矩形（）

21、四個角都是直角的四邊形是矩形（）,三個角都是直角的四邊形是矩形（）

22、異面直線的公垂線有且只有一條（）

23、若兩條直線與第三條直線成等角，則這兩條直線平行（）

24、和兩條異面直線都垂直的兩直線是異面直線（）

25、一條直線和平行四邊形兩邊相交，則它一定落在平行四邊形所在的平面內(nèi)（）

26、一個角的兩邊和另一個角的兩邊互相垂直，則這兩個角相等或互補(bǔ)（）

27、一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補(bǔ)（）

28、和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線（）

29、過已知平面外一點(diǎn)平行于該平面的直線在過該點(diǎn)和已知平面平行的平面內(nèi)（）

30、過一點(diǎn)和已知直線垂直的直線在過該點(diǎn)和已知直線垂直的平面內(nèi)（）

31、一條直線和平面的一條斜線垂直，則它和這條斜線在平面內(nèi)的斜影垂直（）

32、兩個平面互相平行，則一個平面內(nèi)的直線的另一個平面相交或平行（）

33、直線和平面所成的角比它和平面內(nèi)經(jīng)過交點(diǎn)的直線和它所成的角?。ǎ?/p>

34、過二面角棱上一點(diǎn)，分別在平面內(nèi)引射線，它們所成的角最小時，這個角叫做二面角的平面角（35、過二面角棱上一點(diǎn)，分別在平面內(nèi)的兩條射線，如果它們所成的角等于二

二面角的平面角，則這兩條射線都垂直于棱（）

36、如果直線上兩點(diǎn)到平面距離相等，則直線和平面平行（）

37、兩條平行線分別在兩平面內(nèi)，則這兩直線的距離就是兩平面的距離（）

38、兩條異面直線分別在兩個平行平面內(nèi)，則這兩條直線的距離就是兩平面的距離（）

39、同垂直于同一平面的兩個平面平行（）

40、過兩條異面直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面與兩條異面直線平行（）

41、有且只有一個平面到到兩條異面直線的距離相等（）

42、一個平面和兩個平面相交，且交線平行，則這兩個平面平行（）

43、若一條直線平行于一個平面，則垂直于已知平面的直線必垂直于這條直線（）

44、若一條直線平行于一個平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個平面（）

45．異面直線a,b所成的角是30?,則過一定點(diǎn)A與a,b所成的角都等于15?的直線有條，與兩條 a,b所成的角都等于55?的直線條，與a,b所成的角都有等于75?的直線有 與a,b所成的角都等于80?的直線有條，與a,b所成的角都等于90?的直線有條。）

第三篇：平行證明

北師版 八上7單元測試

一、填空題

1、如圖1，直線AB、CD被直線EF所截①量得∠3=100°，∠4=100°,則AB與CD的關(guān)系是_______，根據(jù)是_____________

②量得∠1=80°,∠3=100°,則AB與CD的關(guān)系是_______，根據(jù)是________________

2、如圖2，BE是AB的延長線，量得∠CBE=∠A=∠C ①從∠CBE=∠A，可以判定直線_______與直線_______平行，它的根據(jù)是___________

②從∠CBE=∠C，可以判定直線_______和直線_______平行，它的根據(jù)是___________

圖

1圖

2圖3圖

43、如圖3，∠α=125°,∠1=50°，則∠β的度數(shù)是_______.4、如圖4，AD、BE、CF為△ABC的三條角平分線，則：∠1+∠2+∠3=________.5、已知，如圖5，AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠

D=__________.6、已知，如圖6，AB∥CD，若∠ABE=130°,∠CDE=152°,則∠BED

=__________.圖

5圖67、在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，則∠A=____，∠B=____，∠C=____.8、在△ABC中，若∠A=65°,∠B=∠C，則∠B=_______.9、命題“任意兩個直角都相等”的條件是_____，結(jié)論是

_____，它是____（真或假）命題.10、如圖7，根據(jù)圖形及上下文的含義推理并填空：

（1）∵∠A=_______（已知）∴AC∥ED（）

（2）∵∠2=_______（已知）

∴AC∥ED（）

（3）∵∠A+_______=180°（已知）∴AB∥FD（）

圖7圖8

二、選擇題

1.下列語言是命題的是()

A.畫兩條相等的線段 B.等于同一個角的兩個角相等嗎？

C.延長線段AO到C使OC=OA D.兩直線平行，內(nèi)錯角相等.2.如圖8，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,則∠DEC

等于A.63°B.62°C.55°D.118°

3.下列語句錯誤的是()

A.同角的補(bǔ)角相等B.同位角相等C.同垂直于一條直線的兩直線平行D.兩條直線相交只有一個交點(diǎn)

4、在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，則∠BOC等于（）A.65°B.115°C.80° D.505、兩條平行線被第三條直線所截，那么一組同旁內(nèi)角的平分線

A.相互重合B.互相平行C.相互垂直D.無法確定相互關(guān)系

6、如圖9，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E等于（）

A.35B.45°C.55°D.75°

三、判斷下列命題是真命題還是假命題.（）（1）若|a|=|b|，則a=b;（）（2）若a=b，則a3=b3;

（）（3）若x=a，則x2－(a+b)x+ab=0;（4）如果a2=ab,則a=b;（）（5）若x＞3，則x＞2.四、把下列命題寫成“如果??，那么??”的形式，并指出條件和結(jié)論.（1）全等三角形的對應(yīng)角相等；（2）等角的補(bǔ)角相等；

（3）同圓或等圓的半徑相等；（4）自然數(shù)必為有理數(shù)；

（5）同角的余角相等；（6）兩直線平行，同位角相等；

五、解答下列問題

1、如圖，一個彎形管道ABCD的拐角∠ABC=120°,∠BCD=60°,這時說管道AB∥CD對嗎？為什么？

2、如圖，已知∠1與∠2互補(bǔ)，問∠3和∠4互補(bǔ)嗎？為什么？

六、在橫線或括號中填上適當(dāng)?shù)姆柡屠碛?，完成下面的證明過

（1）如圖10，已知EF∥AB，∠A+∠AEC+∠C=360°求證：AB∥CD

證明：∵EF∥AB（已知）∴∠A+_______=180°又∵∠A+∠AEC+∠C=360°()∴∠C+∠CEF=_______()

∴_______∥CD()∴AB∥CD()

(2)如圖11，已知∠ADE=∠B，∠1=∠2，F(xiàn)G⊥AB，求證：CD⊥AB

證明：∠ADE=∠B（）

∴DE∥_______()

∠1=_______()

∵∠1=∠2（∴∠2=∠3（CD∥_______（∠BGF=_______（又∵FG⊥AB（∴∠BGF=_______（∴∠BDC=_______（∴CD⊥AB（圖10圖11))))))))

七、證明題

1.已知，如圖，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C.求證：∠1=∠2.2、已知，如圖，∠ACE是△ABC的外角，∠ABC與∠ACE的角平分線BP、CP交于點(diǎn)P.。求證：∠P=1∠A.2

第四篇：立幾大題參考學(xué)習(xí)

,E為D1C1的中點(diǎn)，如圖所示。19.已知長方體AC1中，AD?AB?2,AA1?1（1）在所給的圖中畫出平面ABD； 1與平面B1EC的交線（不必說明理由）（2）證明：BD1//平面B1EC;

（3）求平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的余弦值。

18.如圖，在多面體ABCD﹣EFG中，O是菱形ABCD的對角線AC與BD的交點(diǎn)，四邊形ABGF，ADEF都是矩形．

（1）證明：平面ACF⊥平面BDEG；

（2）若∠ABC=120°，AB=2，AF=3，求直線CG與AE所成角的余弦值．

【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；異面直線及其所成的角． 【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出AF⊥AB，AF⊥AD，從而AF⊥平面ABCD，進(jìn)而BD⊥AF，又BD⊥AC，由此能證明平面ACF⊥平面BDEG．

（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，平行于AF所在直線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線CG與AE所成角的余弦值． 【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）∵四邊形ABGF，ADEF都是矩形，∴AF⊥AB，AF⊥AD，（1分）

又AB∩AD=A，且AB、AD?平面ABCD，∴AF⊥平面ABCD．（2分）

又BD?平面ABCD，∴BD⊥AF．（3分）又∵AC，BD是菱形ABCD 的對角線，∴BD⊥AC．（4分）

∵AF，AC?平面ACF，AF∩AC=A，∴BD⊥平面ACF，（5分）又∵BD?平面BDFG，∴平面ACF⊥平面BDEG．（6分）解：（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，平行于AF所在直線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．（7分）∵ABCD是菱形，且∠ABC=120°，AB=2，∴△BCD是等邊三角形，OB=OD=1，∵AF=3，∴A，C，E，G的坐標(biāo)分別為：

．（8分）

．（9分）

∴，（10分）

所以，（11分）

即直線CG與AE所成角的余弦值為．（12分）

【點(diǎn)評】本題考查面面垂直的證明，考查線線角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．

18．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．

（1）求證：BD⊥平面AED；

（2）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】 試題分析：（Ⅰ）由題意及圖可得，先由條件證得AD⊥BD及AE⊥BD，再由線面垂直的判定定理即可證得線面垂直；

（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，可得出AC⊥BC，結(jié)合FC⊥平面ABCD，知CA，CA，CF兩兩垂直，因此可以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CF所在的直線為X軸，Y軸，Z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CB=1，表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出兩個平面的法向量的坐標(biāo)，由公式求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值即可；

解法二：取BD的中點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)G，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可證明出∠FGC為二面角F﹣BD﹣C的平面角，再解三角形求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值．（I）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED；

（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CF所在的直線為X軸，Y軸，Z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)CB=1，則C（0，0，0），B（0，1，0），D（（，﹣，0），=（0，﹣1，1）

=0，?

=0，﹣，0），F(xiàn)（0，0，1），因此

=設(shè)平面BDF的一個法向量為=（x，y，z），則?所以x=由于y=z，取z=1，則=（，1，1），=（0，0，1）是平面BDC的一個法向量，則cos＜，＞===，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值為

解法二：取BD的中點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)G，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，F(xiàn)C，CG?平面FCG．

所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC為二面角F﹣BD﹣C的平面角，在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，因此CG=CB，又CB=CF，所以GF=故cos∠FGC=，=

CG，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值為

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定；向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系；二面角的平面角及求法．

18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn)．（1）證明：PF⊥FD；

（2）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值；．

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質(zhì)． 【分析】（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質(zhì)定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質(zhì)定理得到PF⊥FD；

（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點(diǎn)M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A﹣PD﹣F的平面角，解三角形MNF可得答案． 【解答】（Ⅰ）證明：連接AF，則，222又AD=2，∴DF+AF=AD，∴DF⊥AF（2分）又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，∴

（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°． ∴PA=AB=1（9分）取AD的中點(diǎn)M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A﹣PD﹣F的平面角 ∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴∵∴，，且∠FMN=90°，∴

【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是空間直線與直線之間的位置關(guān)系，二面角大小度量．考查空間想象、推理論證、計(jì)算能力．

19.如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．（1）求證：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的余弦值．

答案：

?19.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，四邊形A1ABB1為菱形，?A1AB?45，四邊形BCC1B1為矩形，若AC?5,AB?4,BC?3

（1）求證：AB1?A1BC；（2）求二面角C?AA1?B的余弦值

18.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

（1）求證：AC⊥BC1；

（2）求二面角D﹣CB1﹣B的平面角的正切值．

【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；證明題． 【分析】（I）根據(jù)所給的直三棱柱的條件，寫出勾股定理得到兩條線段垂直，根據(jù)側(cè)棱與底面垂直，得到一條直線與一個平面上的兩條相交直線垂直，得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直．

（II）以CA、CB、CC1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出向量，設(shè)出平面的法向量，求出法向量，根據(jù)兩個向量的夾角（或其補(bǔ)角）的大小就是二面角D﹣CB1﹣B的大?。?【解答】解：（Ⅰ）證明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，222∵AC+BC=AB ∴AC⊥BC，又 AC⊥C1C，且BC∩C1C=C ∴AC⊥平面BCC1，又BC1?平面BCC1 ∴AC⊥BC1

（II）以CA、CB、CC1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 ∵AC=3，BC=4，AA1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0）C（0，0，0），B1（0，4，4），∴，，平面CBB1C1的法向量設(shè)平面DB1C的法向量則，的夾角（或其補(bǔ)角）的大小就是二面角D﹣CB1﹣B的大小 則由

令x0=4，則y0=﹣3，z0=3 ∴…（10分），則∵二面角D﹣B1C﹣B是銳二面角 ∴二面角D﹣B1C﹣B的正切值為

【點(diǎn)評】本題考查空間中直線與平面之間的垂直關(guān)系，用空間向量求解面與面的夾角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把理論的推導(dǎo)轉(zhuǎn)化成數(shù)字的運(yùn)算，降低了題目的難度．

18.如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的大?。?/p>

【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題． 【專題】證明題；綜合題；轉(zhuǎn)化思想． 【分析】法一：（Ⅰ）先證明直線AB1垂直平面A1BD內(nèi)的兩條相交直線BD、A1B，即可證明AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，連接AF，說明∠AFG為二面A﹣A1B﹣B的平面角，然后求二面角A﹣A1D﹣B的大?。?/p>

法二：取BC中點(diǎn)O，連接AO，以0為原點(diǎn)，向建立空間直角坐標(biāo)系，求出，的方向?yàn)閤、y、z軸的正方即可證明AB1⊥平面A1BD．

求出平面A1AD的法向量為=（x，y，z），為平面A1BD的法向量，然后求二者的數(shù)量積，求二面角A﹣A1D﹣B的大?。?【解答】解：法一：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)O，連接AO、∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC． ∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，連接B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分別為BC、CC1的中點(diǎn)，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD．

在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD．

（Ⅱ）設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，連接AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD，∴∠AFG為二面A﹣A1D﹣B的平面角，在△AA1D中，由等面積法可求得AF=又∵AG=∴sin∠AFG==，，所以二面角A﹣A1D﹣B的大小為arcsin

．

法二：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)O，連接AO． ∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC、∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中點(diǎn)O1，以0為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤、y、z軸的正方向建立空間直），A（0，0，），B1（1，⊥⊥，角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，2，0），∴∵∴∴AB1⊥平面A1BD．（Ⅱ）設(shè)平面A1AD的法向量為=（x，y，z），．

∵⊥⊥，∴∵∴

令z=1得=（﹣，0，1）為平面A1AD的一個法向量．

由（Ⅰ）知AB1⊥A1BD． ∴為平面A1BD的法向量．

cos＜，＞===﹣．

∴二面角A﹣A1D﹣B的大小為arccos

．

【點(diǎn)評】本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，是中檔題．

18.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC上的一點(diǎn)，PE=2EC．（1）證明：PC⊥平面BED；

（2）設(shè)二面角A﹣PB﹣C為90°，求PD與平面PBC所成角的大?。?/p>

【考點(diǎn)】用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的判定；向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系． 【專題】計(jì)算題． 【分析】（I）先由已知建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)D（，b，0），從而寫出相關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件，證明PC⊥BE，PC⊥DE，從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可；

（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用兩平面垂直的性質(zhì)，即可求得b的值，最后利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值，進(jìn)而求得線面角 【解答】解：（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，設(shè)D（0）∴∴，b，0），則C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，=（2?，0，﹣2），?

=（=0，b，），=（，﹣b，）

=﹣=0，∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E ∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）

設(shè)平面PAB的法向量為=（x，y，z），則

取=（b，0）

設(shè)平面PBC的法向量為=（p，q，r），則

取=（1，﹣，）

∵平面PAB⊥平面PBC，∴?=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，∴cos＜，＞=），=（﹣

=，﹣，2）

設(shè)PD與平面PBC所成角為θ，θ∈[0，∴θ=30°

∴PD與平面PBC所成角的大小為30°

]，則sinθ=

【點(diǎn)評】本題主要考查了利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量解決立體幾何問題的一般方法，線面垂直的判定定理，空間線面角的求法，有一定的運(yùn)算量，屬中檔題

18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB=1，AA1=BD與AB1交于點(diǎn)O，CO⊥側(cè)面ABB1A1．（Ⅰ）證明：BC⊥AB1；

（Ⅱ）若OC=OA，求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值．，D為AA1的中點(diǎn)，【考點(diǎn)】用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面所成的角． 【專題】證明題；空間位置關(guān)系與距離． 【分析】（Ⅰ）要證明BC⊥AB1，可證明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于側(cè)面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1內(nèi)證明BD垂直于AB1即可，可利用角的關(guān)系加以證明；

（Ⅱ）分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線為x，y，z軸，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，平面ABC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論．

【解答】（I）證明：由題意，因?yàn)锳BB1A1是矩形，D為AA1中點(diǎn)，AB=1，AA1=，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=在直角三角形ABD中，tan∠ABD=，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因?yàn)镃O⊥側(cè)面ABB1A1，AB1?側(cè)面ABB1A1，所以CO⊥AB1

所以，AB1⊥面BCD，因?yàn)锽C?面BCD，所以BC⊥AB1．

（Ⅱ）解：如圖，分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線為x，y，z軸，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，﹣0），D（又因?yàn)樗裕?，0），=2=（﹣，所以，0），=（0，），=（），0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，設(shè)平面ABC的法向量為=（x，y，z），則根據(jù)可得=（1，﹣）是平面ABC的一個法向量，設(shè)直線C1D與平面ABC所成角為α，則sinα=

．

【點(diǎn)評】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查線面角，考查向量方法的運(yùn)用，屬于中檔題．

第五篇：平行的證明

高中立體幾何證明平行的專題訓(xùn)練

立體幾何中證明線面平行或面面平行都可轉(zhuǎn)化為線線平行，而證明線線平行一般有以下的一些方法：

?1?通過平移;

?2?利用三角形中位線的性質(zhì)；

?3?利用平行四邊形的性質(zhì)；

?4?利用對應(yīng)線段成比例；

?5?利用面面平行，等等

一．通過“平移”再利用平行四邊形的性質(zhì)

1.如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，點(diǎn)E、F 分別為棱AB、PD的中點(diǎn)．求證：AF?平面PCE

第1題圖

2、如圖，已知直角梯形ABCD中，AB?CD，AB?BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1A作AE?CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點(diǎn)，現(xiàn)將?ADE沿AE折疊，使得DE?EC.?Ⅰ?求證：BC?面CDE；

?Ⅱ?求證：FG?面BCD；

3.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分別為AA1, CC1, AB的中點(diǎn)，M為BE的中點(diǎn),AC?BE.求證：

?Ⅰ?C1D?BC；

?Ⅱ?C1D?平面B1FM.4、如圖所示,四棱錐PABCD底面是直角梯形,CD?2AB,E為PC的中點(diǎn),證明:EB?面PAD

二．利用三角形中位線的性質(zhì)

5、如圖，已知E、F、G、M分別是四面體的棱AD、CD、BD、BC的中點(diǎn)，求證：AM∥平面EFG。

6.如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中點(diǎn)。求證：PA?平面BDE

7.如圖，三棱柱ABC—A1BC中，D為AC的中點(diǎn).求證：AB1//面BDC1；1

18.如圖，平面ABEF?平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，?BAD??FAB?90?，11BC?AD，BE?AF,G,H分別為FA,FD的中點(diǎn)

?2?

2?Ⅰ?證明：四邊形是平行四邊形；

?Ⅱ?四點(diǎn)是否共面？為什么？

E

三．利用平行四邊形的性質(zhì)

9.正方體ABCD A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點(diǎn)，求證：D1O//平面A1BC1;

A

10.在四棱錐P?ABCD中，AB?CD，AB?DC，為.EPD的中點(diǎn)，求證：AE?平面PBC；

11.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，?ACB?90?EA?平面ABCDEF//AB,FG//BC,EG//AC,AB?2EF

?1?若M是線段AD的中點(diǎn)，求證：GM//平面ABFE;

?2?若AC?BC?2AE，求二面角A-BF-C的大小。

四．利用對應(yīng)線段成比例

12.如圖：S是平行四邊形ABCD平面外一點(diǎn)，M、N分別是SA、BD上的點(diǎn)，且AMBN=，求證：MN//平面SDC SMND

13.如圖正方形ABCD與ABEF交于AB，M，N分別為AC和BF上的點(diǎn)且AM?FN求證：MN?平面BEC

五。利用面面平行

14.如圖，三棱錐P?ABC中，PB?底面ABC，?BCA?90，PB?BC?CA，E為PC的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PA上，且AF?2FP.（1）求證：BE?平面PAC；

（2）求證：CM

//平面BEF； ?

C