第一篇：線性代數(shù)與空間解析幾何期末考試題

… 2011～2012學(xué)年第二學(xué)期課程考試試卷（A卷）

………課程 線性代數(shù)與空間解析幾何B考試時(shí)間 2012 年7 月2 日

……………………注：請(qǐng)將答案全部答在答題紙上，直接答在試卷上無效?！?/p>

…

……

一、填空題（每小題3分，滿分27分）

……x

yz

2x2y2z

…

1、設(shè)行列式4

03?6，則行列式4301?_________.……

1……

2、已知矩陣A滿足A2-2A-8E= 0，則(A+E)-1=_____________.……

3、已知向量組?T…1=(1,2,3)T, ?2=(3,-1,2), ?T3=(2,3,k)線性相關(guān)，則常數(shù)k =_________.線…?…?5200?……

4、設(shè)矩陣A=?2

100???

…?0021?，則A-1

=________________.…???

00

1??

……

5、若A、B為5階方陣，且Ax= 0只有零解，且R(B)=3，則R(AB)=___________.……

6、三元線性方程x1+ x2+ x3=1的通解是_______________.訂…0?

b?

…

7、若矩陣

A=??1

??與矩陣B=?…?

4??3

?

??a

x??相似，則x=_____.?

……?1??……

8、設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解??1=?2???1??,?2=?2??且R(A)=2，則Ax=b的通解為…?…?3????3??

…裝__________________.……

9、若f(x1, x2, x3)=x21?4x22?4x23?2?x1x2?4x2x3為正定二次型,則?的取值應(yīng)滿足______.……

二、選擇題（每小題3分，滿分15分）

……

…

1、若矩陣A可逆，則下列等式成立的是（）

………(A)A=

1…AA*

；(B)A?0；(C)(A2)

?1

?(A

?1)

;(D)(3A)?1

?3A

?1

.………

2、若A、B相似，則下列說法錯(cuò)誤．．的是()…(A)A與B等價(jià)；(B)A與B合同；(C)| A |=| B |；

(A)A與B有相同特征值.…第 1 頁，3、設(shè)有向量組A：?1,?2,?3,?4，其中?1,?2,?3線性無關(guān)，則（）

(A)?1,?3線性無關(guān)；(B)?1,?2,?3,?4線性無關(guān)；(C)?1,?2,?3,?4線性相關(guān)(D)?2,?3,?4線性相關(guān).4、設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣，B為n階反對(duì)稱矩陣，則下列矩陣中為對(duì)稱矩陣的是()(A)AB-BA；(B)AB+BA；(C)AB；(D)BA.5、設(shè)A為m×n矩陣，則n元齊次線性方程組Ax= 0存在非零解的充要條件是（）

(A)A的行向量組線性無關(guān)；(B)A的行向量組線性相關(guān)；(C)A的列向量組線性無關(guān)；(D)A的列向量組線性相關(guān).三、計(jì)算題（每小題9分，滿分18分）

a

00（1）D =?11?ab00?11?bc.?1

1?c

?01?（2）設(shè)矩陣A=?

?0

20?

?,而X滿足AX+E=A2+X，求X.??

1??

四、應(yīng)用題（每小題10分，滿分20分）

（1）求向量組?1??1,1，1，4?T，?3，5?T，?TT

2??2,1，3??3,1,5,6?，?4??1,-1，3，?2?的一個(gè)

極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組表示出來.?1

0??a?（2）設(shè)A =?

?-1

?0

??20?=??

?, b ?-1?，已知非齊次線性方程組Ax=b存在兩個(gè)不同

??

?-1????1??的解，求（I）?，a的值；（II）Ax=b的通解.五、證明題（滿分8分）設(shè)A，B，A+B均為n階正交矩陣，證明:(A?B)?1?A?1?B?1.六、綜合題（滿分12分）

?2

00??100?

設(shè)A=?

?0

3a??的三個(gè)特征值分別為1，2，5，求正交矩陣P，使P-1AP =??0

20??.??

0a

3??

??00

5??

共 1 頁

第二篇：2014線性代數(shù)期末考試題

線性代數(shù)期末考試題

第一部分 選擇題(共20分)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共l0小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1．設(shè)行列式A．-81 B．-9 C．9 D．8l

等于()2．設(shè)A是m×n 矩陣，B是S×n 矩陣，C是m×s矩陣，則下列運(yùn)算有意義的是()A．AB B．BC

3．設(shè)A，B均為n階可逆矩陣，則下列各式中不正確的是(B)

4．已知向量中可以由

線性表出的是(D)，則下列A．(1，2，3)B．(1，-2，0)C．(0，2，3)D．(3，0，5)

6、陣的秩為()A．1 8．2 C．3 D．4 7．設(shè)是任意實(shí)數(shù)，則必有(B)

8．線性方程組 的基礎(chǔ)解系中所含向量的個(gè)數(shù)為()A.1 B．2 C．3 D．4 9．n階方陣A可對(duì)角化的充分必要條件是(D)A．A有n個(gè)不同的特征值 B．A為實(shí)對(duì)稱矩陣

C．A有n個(gè)不同的特征向量 D．A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量

第二部分 非選擇題(共80分)

二、填空題(本大題共l0小題，每小題2分，共20分)不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無分。11．行列式 的值為_________．

12．設(shè)A為2階方陣，且

13．設(shè)向量α=(6，-2，0，4)，β=(一3，l，5，7)，則由2α+γ=3β所確定的向量y=_________． 14．已知向量組k=___．

線性相關(guān)，則

有解的充分必要條件是t=____．

16．設(shè)A是3階矩陣，秩(A)=2，則分塊矩陣的秩為——．5 17．設(shè)A為3階方陣，其特征值為3，一l，2，則|A|=__-6__． 18．設(shè)n階矩陣A的 n個(gè)列向量?jī)蓛烧磺揖鶠閱挝幌蛄?，則_______

三、計(jì)算題(本大題共6小題。每小題8分，共48分)21．計(jì)算行列式的值．

22．設(shè)矩陣23．已知向量組，求矩陣B，使A+2B=AB．

分別判定向量組由。

24．求與兩個(gè)向量向量．

25．給定線性方程組

均正交的單位的線性相關(guān)性，并說明理

(1)問λ在什么條件下，方程組有解?又在什么條件下方程組無解?(2)當(dāng)方程組有解時(shí)，求出通解． 26．求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

四、證明題(本大題共2小題，每小題6分，共12分)，若Aa≠0，但向量組a，Aa線性無關(guān)．

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共l0小題．每小題2分，共20分)1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C 9．D 10.B

二、填空題(本大題共l0小題，每小題2分，共20分)11．0 12．2 13．(-21，7，15，13)14．2 15．1，證明： 16．5 17.-6 18．E

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題8分，共48分)21．解法一

解法二

經(jīng)適當(dāng)?shù)膬尚袑?duì)換和兩列對(duì)換

22．解 由A+28=AB，有(A-2E)B=A，23．解

24．解 設(shè)與均正交的向量為，則

這個(gè)方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為

(一β也是問題的答案)25．解

所以，當(dāng)時(shí)，方程組無解；

(2)當(dāng)時(shí)

方程組有無窮多解．

26．解 此二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為

四、證明題(本大題共2小題，每小題6分，共12分)27．證 由行列式乘法公式

28．證

第三篇：線性代數(shù)與空間解析幾何(電子科技大)課后習(xí)題答案第三單元

習(xí)題3.11.寫出下列平面的方程:(1)過點(diǎn)M(1,1,1)且平行于平面?:-2x?y-z?1?0;(2)過點(diǎn)M1(1,2,0)和M2(2,1,1)且垂直于平面?:y?x?1?0;(3)過z軸且與平面2x?y-5z?0的夾角為?3.?解:(1)所求平面與?平行,故其法向量n???2,1,?1?,由點(diǎn)法式方程, 所求平面方程:?2(x?1)?(y?1)?(z?1)?0,即:2x?y?z?2?0?????(2)法一:設(shè)所求平面的法向量為n,則由已知條件n垂直于平面?的法向量n0?{?1,1,0}???ijk??????????? 與M1M2?{1,?1,1},?n??110?i?j1?11 由點(diǎn)法式方程,所求平面方程為(x?1)?(y?2)?0,即x?y?3?0法二:設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cx+D=0將M1,M2的坐標(biāo)代入,且由向量{A,B,C}與平面?A?2B?D?0???? ?的法向量n0?{?1,1,0}垂直得方程組?2A?B?C?D?0??A?B?0? 解得A?B??-1313D,C?0,所求平面方程為Dy?D?0,即x?y?3?0.Dx?13(3)因平面過z軸,故可設(shè)其方程為Ax?By?0,因其與已知平面的夾角為?3,????? ?其法向量n?{A,B,0}與已知平面的法向量n0?{2,1,?5}的夾角為,3????n?n0?2A?B1???? ?cos???,2232||n||?||n0||10?A?B ?6A?16AB?6B22?0,即A?13B或?3B ?平面x?3y?0或3x-y?0為所求.2.下列圖形有何特點(diǎn)?畫出其圖形.(1)2z?3?0;(2)y?0;(3)3x?4y?z?0.解:(1)平面平行于xOy面,圖形如下圖.(2)與xOz面重合,圖形如下圖.(3)平面過原點(diǎn),其圖形如下圖.3.由原點(diǎn)向平面作垂線,垂足為(x0,y0,z0),求此平面的方程.解:連結(jié)(x0,y0,z0)點(diǎn)與原點(diǎn)的向量{x0,y0,z0},可作為平面的法向量, 由平面的點(diǎn)法式方程得: x0(x?x0)?y0(y?y0)?z0(z?z0)?0,即 x0x?y0y?z0z?x0?y0?z0為所求平面方程.4.平面過點(diǎn)A(?2,3,0),B(1,?1,2)且與向量a?(4,5,1)平行,求此平面的方程.?????解法一:平面的法向量n與AB?{3,?4,2}與a垂直,???ijk???????? ?n?a?AB?451?14i?5j?31k,由點(diǎn)法式方程得3?42222 14(x?2)?5(y?3)?31z?0 即14x?5y?31z?43?0.解法二:設(shè)平面的一般式方程為Ax?By?Cz?D?0,將A,B坐標(biāo)代入,?-2A?3B?D?0? 并由其法向量{A,B,C}與a垂直可得方程組?A?B?2C?D?0,?4A?5B?C?0?14?A?D?43?5? 解得?B??D.43?31?C??D?43?由此得平面方程:14x?5y?31z?43?0.5.求以平面xa?yb?zc?1與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積.解法一:設(shè)原點(diǎn)為O,平面與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為A,B,C,則四面體OABC的體積 V?16|abc|,平面ABC上的高為O到平面的距離d?11a2?1b2?1c2，??ABC的面積 S?3Vd?12bc?ac?ab.222222解法二:設(shè)所求平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),???????? 則AB?{?a,b,0},AC?{?a,0,c},則?ABC的面積???ijk???????????111 S?||AB?AC||??ab0?||bci?acj?abk||222?a0c ?12bc?ac?ab2222226.平面?過點(diǎn)M(2,0,?8)且與二平面x?2y?4z?7?0,3x?5y?2z?3?0都垂直,求?的方程.???????解法一:所求平面的法向量n與兩已知平面的法向量n1,n2都垂直,???ijk?????????? ?n?n1?n2?1?24??16i?14j?11k,35?2 由點(diǎn)法式方程得所求平面方程為 16(x-2)-14y-11(z?8)?0,即16x-14y-11z-120?0.解法二:設(shè)所求平面的一般式方程為Ax?By?Cz?D?0,將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入,?????? 由其法向量與兩已知平面的法向量n1,n2垂直可得方程組16?A??D?120?14?解得?B?D120?11?C?D?120??2A?8C?D?0? ?A?2B?4C?0?3A?5B?2C?0??所求平面方程為16x?14y?11z?120?0

7.求由平面?1:x?3y?2z?5?0與?2:3x?2y?z?3?0所成二面角的平分面方程.解法一:設(shè)平面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z),則由平面上任一點(diǎn)到兩已知平面的距離相等得: |x-3y?2z-5|14?13x?2y?z?3114, 從而得所求平面方程為: 2x?y?3z?8?0,或4x?5y?z?2?0.解法二:過平面?1,?2的交線的平面束方程為(3??)x?(2?3?)y?(2??1)z?3?5??0.? 由于它為?1,?2的平分面,因此其法向量n與?1,?2的法向量有相等的夾角.得 |(3??)?3(2?3?)?2(2?-1)||3(3??)?2(2?3?)?(2??1)|???14?||n||14?||n|| 解得??1或?1, 因此,所求平面方程為4x-5y?z-2?0或2x?y-3z?8?0.習(xí)題3.41.對(duì)于直線?x?1??? l1:?y??1?2?,與l2?z???(1)證明:l1//l2;(2)求l1與l2的距離;(3)求l1與l2所確定的平面方程.??解:(1)l1的方向向量s1?{1,2,1},l2的方向向量???ijk???????? s2?2?10?{2,4,2},s2?2s1,01?2????? ?s1//s2,得l1//l2.(2)法一:在l2上找一點(diǎn)A(1,-3,0),過該點(diǎn)作垂直于l2的平面(x?1)?2(y?3)?z?0,即x?2y?z?5?0, 將l1的參數(shù)方程代入 1???2?4????5?0, 解得???23,從而得平面與l1的交點(diǎn)?2x?y?5?0:??y?2z?3?0172 B(,-,-).333 則A與B的距離|AB|?233為所求.????法二:在l1上找一點(diǎn)C(1,?1,0),l2上找一點(diǎn)A(1,-3,0),設(shè)AC與l1的夾角為?,則???????s1?AC?421????? cos????,而sin??,||s1||?||AC||2663????2 則所求距離d?||AC||sin??3.3(3)法一:在l1上找一點(diǎn)C(1,?1,0),l2上找一點(diǎn)A(1,-3,0),則平面的法向量???ijk??????? n?s1?AC?121?{2,0,?2},0?20 由點(diǎn)法式方程得2(x-1)-2z?0,即x-z-1?0為所求.法二:在l1上找兩點(diǎn)C(1,?1,0),D(0,?3,?1),l2上找一點(diǎn)A(1,?3,0)

設(shè)平面的一般式方程為Ax?By?Cz?D?0,將A,C,D的坐標(biāo)代入得方程組?A?3B?D?0? ?A?B?D?0解得??3B?C?D?0? 從而得平面方程x?z?1?0.?A??D??B?0?C?D?2.證明:二直線?2x?y?3z?3?0 l1:?與l2?x?10y?21?0?2x?y?0:??7x?z?6?0 相交,并求出l1與l2的交點(diǎn),夾角以及l(fā)1與l2所確定的平面.???ijk????解法一:l1的方向向量s1?2?13?{?30,3,21},取s1?{?10,1,7},1100??? 在l1上找一點(diǎn)A(21,0,?15),l2的方向向量s2?{1,2,?7}, l2上找一點(diǎn)B(0,0,6)從而得l1與l2的參數(shù)式方程?x?21?10?? l1:?y??,l2?z??15?7???x???:?y?2?,令?z?6?7???21?10?1??2???1?2?2 解得?1?2,?2?1,分別代入l1,l2的參數(shù)方程得(1,2,?1)為l1,l2的交點(diǎn)?????1919 cos?l1,l2??cos?s1,s2??,??l1,l2??arccos,3030?????? 平面的法向量n?s1?s2?{?21,?63,?21}? 取n?{1,3,1},得平面方程(x-21)?3y?(z?15)?0,即x?3y?z-6?0.?????????????????????解法二:s1,s2,A,B同上,則由s1,s2,AB?0,知l1與l2共面,而s1//s2,?l1與l2?? 相交,將l2的參數(shù)式方程代入l1的第一個(gè)方程解得??1,從而得交點(diǎn) 坐標(biāo)(1,2,-1),其余同解法一.3.求與平3.求與平面2x-3y-6z?14?0平行,且與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為5的平面方程.解法一:由已知條件可設(shè)平面的一般式方程為2x-3y-6z?D?0, 原點(diǎn)到平面的距離 d?|D|49?5,得D??35,????解法二:設(shè)原點(diǎn)到平面垂線的垂足為A(x,y,z),由OA與已知平面法向量平行可設(shè)????????5 OA?{2k,?3k,?6k},由||OA||?7|k|?5,得k??,71530??10 ?A的坐標(biāo)為??,?,??,777?? 由點(diǎn)法式方程得平面方程 2(x?107)-3(y?157)-6(z?307)?0,即2x-3y-6z?35?0.?平面方程為2x?3y?6z?35?0?x?y?4z?12?04.求點(diǎn)M(3,1,?4)關(guān)于直線l:?的對(duì)稱點(diǎn).?2x?y?2z?3?0??ij?解法一:設(shè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x,y,z),l的方向向量s?1?121?k?4?{6,?6,3}?2? 取s?{2,?2,1},過M作垂直于l的平面?為:2(x-3)-2(y-1)?(z?4)?0,即 2x-2y?z?0.在l上找一點(diǎn)B(-5,7,0),得l的參數(shù)式方程?x?2?-58 ?代入平面?,得??,3?y??2??7158x?31y?15z?48 從而l與?的交點(diǎn)(，)為MA的中點(diǎn),即?,?,?,333232323158 從而l與?的交點(diǎn)(，)為MA的中點(diǎn),即333 x?32?1y?15z?48,?,?,從而32323

得對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)(-7728，).333????x?3y?1z-4解法二:設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為A(x,y,z),由MA的中點(diǎn)(，)在l上及MA222?x?y?4z??42?? 與l的方向向量s?{2,?2,1}垂直可得方程組?2x?y?2z??21,?2x?2y?z?0?7?x???3?77728? 解得?y?,得對(duì)稱點(diǎn)為(?，).3333?28?z??3?5.求點(diǎn)P(3,1,2)在直線l:x?3t,y?t?1,z?t?1上的投影P?,并求點(diǎn)P到l的距離d.解法一:過點(diǎn)P作垂直于l的平面,其方程為3(x-3)?(y-1)?(z-2)?0,即3x?y?z-12?0,將l的參數(shù)式方程代入得9t?t-1?t?1-12?0,解得t?得投影點(diǎn)P?的坐標(biāo)(36,1,23)及P到l的距離d?|PP|?***1.解法二:設(shè)l上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為A(3t,t?1,t?1),則P,A的距離|PA|?(3t?3)?(t?2)?(t?1)11011222?11t?24t?14,當(dāng)t?36,1,23).21211時(shí),此距離取得最小值即為P到l的距離d?,從而得投影點(diǎn)坐標(biāo)(111111

6.求直線?x?2y?3z?5?0l:?的標(biāo)準(zhǔn)方程和在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影.2x?y?z?2?0????ijk??解:l的方向向量為s?12?3?{?1,?7,?5},取s?{1,7,5}.2?11x1?y?17?z?15.取l上一點(diǎn)A(0,1,?1),得直線標(biāo)準(zhǔn)方程法一:在l的一般式方程中消去z得7x-y?1?0,?7x-y?1?0從而得在xOy面上的投影??z?0在l的一般式方程中消去y得5x-z-1?0,?5x-z-1?0從而得在xOz面上的投影??y?0在l的一般式方程中消去x得5y-7z-12?0,?5y-7z-12?0從而得在yOz面上的投影??x?0法二:過l的平面束為(2??1)x?(???2)y?(?-3)z?(2?-5)?0,其中與xOy面垂直?的平面?1的法向量與k?{0,0,1}垂直,得??3,從而得?1的方程7x-y?1?0,從而得l在xOy面上的投影?7x-y?1?0?5x-z-1?0,同樣方法可得其在xOz面上的投影,在yOz面上的投影??z?0y?0???5y?7z?12?0??x?0

7.證明:直線l1;x?12?y?2?3?z?54與l2;x?73?y?22?z?1?2位于同一平面內(nèi),并求這平面及兩直線間的夾角.?x?1?2??解法一:l1,l2的參數(shù)式方程為?y??2?3??z?5?4???1?2?1?7?3?1??1?0解方程組?得?,??2?3?1?2?2?2??2??2將?1代入l1的參數(shù)式方程得l1與l2的交點(diǎn)(1,?2,5),???ijk??l1與l2共面,平面的法向量n?2?34?{?2,16,13},3由點(diǎn)法式方程得平面方程2x-16y-13z?31?0,兩直線間的夾角為其方向向量的夾角?????8cos?l1,l2??cos(s1,s2)?-,493???l1,l2??arccos?????.493?82?2?x?7?3??,?y?2?2?,?z?1?2???????????解法二:在l1,l2上分別取兩點(diǎn)A(1,?2,5),B(7,2,1),?[s1,s2,AB]?0,?l1與l2共面,設(shè)平面一般式方程為Ax?By?Cz?D?0,將A,B坐標(biāo)代入,且由其法向量與l1的方向向量垂直得方程組2?A?D?31?A-2B?5C?D?0?16??7A?2B?C?D?0,解得B??D,??31?2A?3B?4C?0??13?C??D?31?得平面方程2x-16y-13z?31?0,其余與法一同.8.對(duì)于直線l1:x?73?y?44?z?3?2與l2:x?216?y?5?4?z?2?1(1)證明:它們不在同一平面上;(2)寫出過l2且平行于l1的平面方程.解:(1)法一:l1,l2的參數(shù)式方程為?x??7?3???y??4?4??z??3?2???x?21?6??,?y??5?4?,?z?2?????7?3?1?21?6?2解???4?4?1??5?4?228???1??9得?,將?1,?2代入l1,l2的參數(shù)式方程知l1,l2無公共交點(diǎn).28????2?9?而l1//l2,?l1與l2不在同一平面上.法二:l1,l2上分別取一點(diǎn)A(?7,?4,?3),B(21,?5,2)3?????????則?s1,s2,AB??6??284?4?1?2?1??507?0,?l1與l2不共面.5(2)法一:取l2上點(diǎn)B(21,-5,2),平面的法向量???ijk???????n?s1?s2?34?2?{?12,?9,?36},取n?{4,3,12}6?4?1由點(diǎn)法式方程得平面方程4x?3y?12z?93?0在l2上取兩點(diǎn)B(21,?5,2),C(27,?9,1).設(shè)平面的一般式方程為Ax?By?Cz?D?0,??將B,C的坐標(biāo)代入,且其法向量與s1垂直可得?21A?5B?2C?D?0? ?27A?9B?C?D?0,?3A?4B?2C?0?4?A??D?93?1?解得?B??D,代入得平面方程.4x?3y?12z?93?031?4?C??D?31? 復(fù)習(xí)題三1.設(shè)a,b均為非零向量,且||b||?1,?a,b??lim||a?xb||?||a||x?4,求x?0解:a?b?||a||?cos?原式?lim?4?222||a||,2(a?xb)?ax?0x(||a?xb||?||a||)?lim2a?bx?x||b||22x?0x(||a?xb||?||a||)?2||a||2||a||?22.2.設(shè)向量r與a?i?2j?2k共線,與j成銳角,且||r||?15,求r.????解:由于r與a共線,設(shè)r?{k,?2k,?2k},||r||?3|k|?15.???得k??5,由r與j成銳角,?取k??5,得r?{?5,10,10},3.設(shè)向量p和向量q?3i?6j?8k與x軸都垂直,且||p||?2,求向量p.?????????解:由于p與q和x軸都垂直,?p平行于q?i??6k?8j??????186?設(shè)p?{0,8k,?6k},||p||?10|k|?2,得k??,從而p?{0,?,?}.5554.設(shè)向量?1,?2,?3兩兩垂直,且符合右手系規(guī)則:||?1||?4,||?2||?2,||?3||?3.計(jì)算(?1??2)??3.??????????????????解:由于?1,?2,?3兩兩垂直,且符合右手系規(guī)則,???1??2,?3??0?(?1??2)??3?||?1??2||?||?3||?||?1||?||?2||?||?3||?sin????????????????????????????2?24.5.平面?過M1(1,1,1)和M2(0,1,?1)且與平面x?y?z?0垂直,求?的方程.????????????解法一:由已知條件,平面的法向量n與M1M2?{?1,0,?2}和n1?{1,1,1}均垂直.???ijk?????n??10?2?2i?j?k,由點(diǎn)法式方程得平面方程2x-y-z?0.111解法二:設(shè)?的一般式方程為Ax?By?Cz?D?0,將M1,M2的坐標(biāo)代入?A?B?C?D?0?由?的法向量與已知平面的法向量垂直得方程組?B?C?D?0,?A?B?C?0?

?A??2B?解得?C?B?D?0?從而得?的方程: 2x-y-z?0.6.平面?過?1:2x?3y?z?1?0與?2:x?y?z?0的交線且與平面?2垂直,求?的方程.解法一:過?1,?2的平面束方程為(2??1)x?(1?3?)y?(1??)z???0且由其法向量與?2的法向量垂直得2??1?1-3??1-??0,解得??從而得?的方程 8x-7y-z?3?0.解法二:化?1,?2的交線為標(biāo)準(zhǔn)方程x?12?y?13??iz?2?5??jk31?5?{8,?7,?1},132,??????其方向向量s?{2,3,?5},?的法向量n?s?n1?21由點(diǎn)法式方程得?的方程8x?7y?z?3?0.解法三:設(shè)?的一般式方程為:Ax?By?Cz?D?0,在?1,?2的交線上找兩點(diǎn)(?1,?1,2),(1,2,?3),將其代入?的方程,且由?與?2垂直可得方程組8?A?D?3?-A-B?2C?D?0?7??A?2B?3C?D?0解得B??D??3?A?B?C?0??1?C??D?3?從而得?的方程8x?7y?z?3?07.求點(diǎn)A(1,-2,1)到直線l:x?32?y?1?3?z?24的距離.?x??3?2t?解:法一:將l寫成參數(shù)方程:?y?1?3t?z??2?4t?點(diǎn)A(1,?2,1)到l上一點(diǎn)(?3?2t,1?3t,?2?4t)的距離為:d?(4?2t)?(?3?3t)?(3?4t)222?29t?58t?34?229(t?1)?52最小值為d?5,此即點(diǎn)A到l的距離法二:過點(diǎn)A做一平面與l垂直,平面方程為2(x-1)-3(y?z)?4(z-1)?0?2(x-1)-3(y?2)?4(z-1)?0?求平面與直線的交點(diǎn)?x?3,解得y?1z?2????34?2故距離為d?(-1-1)?(?2?2)?(2?1)222?x??1?:?y??2,?z?2??5.8.求過點(diǎn)A(?1,2,3)與向量??(4,3,1)垂直,并與直線l:直線方程.解:關(guān)鍵是求出待求直線與已知直線l的交點(diǎn)法一:過點(diǎn)A且與向量?垂直的平面方程為4(x?1)?3(y-2)?(z-3)?0此平面與l的交點(diǎn)應(yīng)滿足:?4(x?1)?3(y-2)?(z-3)?05510?,求得交點(diǎn)為(,?,)?x?1y?2z?3333????211故待求直線方程為:x?1?8?y?211?z?3?1.x?12?y?21?z?31相交的法二:設(shè)待求之交點(diǎn)為(1?2t,?2?t,3?t),此交點(diǎn)與A的連線應(yīng)與向量?垂直即連線向量與?之內(nèi)積為0,即(2?2t,-4?t,t)(4,3,1)?0?4(2?2t)?3(-4?t)?t?0?t?15510?交點(diǎn)為(,?,)3333x?18?y?211?z?3?1.故待求直線方程為:?

第四篇：線性代數(shù)與空間幾何,教學(xué)大綱

《線性代數(shù)與空間解析幾何》A教學(xué)大綱

Linear Algebra and Analytic Geometry A

課程編碼：09A00110

學(xué)分：3.課程類別：專業(yè)基礎(chǔ)課（必修課）計(jì)劃學(xué)時(shí)：56

其中講課：56

實(shí)驗(yàn)或?qū)嵺`：0

上機(jī)：0 適用專業(yè)：信息科學(xué)與工程、機(jī)械工程、自動(dòng)化與電氣控制、土木建筑、資源與環(huán)境、物理科學(xué)與技術(shù)等學(xué)院理工類各專業(yè)

推薦教材：于朝霞 張?zhí)K梅 苗麗安主編.線性代數(shù)與空間解析幾何(第二版).北京：高等教育出版社，2016.參考書目：

1、鄭寶東主編.線性代數(shù)與空間解析幾何(第三版).北京：高等教育出版社，2015.2、馬柏林等主編.線性代數(shù)與解析幾何.北京：科學(xué)出版社，2001.3、黃廷祝，成孝予主編.線性代數(shù)與空間解析幾何(第三版).北京：高等教育出版社，2014.4、馮良貴等編著.線性代數(shù)與解析幾何.北京：科學(xué)出版社，2013.5、龔冬保等主編.線性代數(shù)與空間解析幾何要點(diǎn)與解題.西安：西安交通大學(xué)出版社，2006.6、黃廷祝，余時(shí)偉主編.線性代數(shù)與空間解析幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)教程.北京：高等教育出版社，2005.課程的教學(xué)目的與任務(wù)

線性代數(shù)與空間解析幾何具有較強(qiáng)的抽象性與邏輯性，所介紹的方法廣泛地應(yīng)用于各個(gè)學(xué)科，是高等學(xué)校本科各專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課。

通過本課程的教學(xué)，使得學(xué)生系統(tǒng)地獲取線性代數(shù)與空間解析幾何的基本知識(shí)、基本理論與基本方法，了解代數(shù)與幾何的相互滲透關(guān)系，會(huì)用代數(shù)理論去解決幾何方面的問題，具有較熟練的運(yùn)算能力。通過本課程的學(xué)習(xí)使學(xué)生初步熟悉和了解抽象的、嚴(yán)格的代數(shù)證明方法，理解具體與抽象、特殊與一般的辯證關(guān)系，提高空間想象、抽象思維、邏輯推理的能力。學(xué)會(huì)理性的數(shù)學(xué)思維技術(shù)和模式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力，能運(yùn)用所獲取的知識(shí)去分析和解決問題，并為后繼課程的學(xué)習(xí)和進(jìn)一步深造打下良好的基礎(chǔ)。

課程的基本要求

通過本課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生達(dá)到以下要求：

1.了解行列式的概念，熟記行列式的性質(zhì)，掌握行列式的基本計(jì)算方法。2.掌握矩陣的基本運(yùn)算，理解矩陣秩的概念及初等矩陣與初等變換的關(guān)系性質(zhì)。

3.理解線性相關(guān)性、向量組的秩的概念，掌握線性相關(guān)性的性質(zhì)及判定定理、三秩相等定理。4.掌握平面、直線、二次曲面的方程及方程所表示的曲面形狀。

5.理解線性方程組解的存在定理、解的結(jié)構(gòu)定理，掌握其在討論空間平面位置關(guān)系中的應(yīng)用。6.理解特征值、特征向量的概念。掌握方陣可相似對(duì)角化的條件及方法，正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。掌握二次型理論在判別三元二次方程所表示的幾何形狀的應(yīng)用。7.借助矩陣的初等行變換熟練掌握各類線性問題解的刻畫及求解方法步驟。8.掌握線性方程組理論及二次型理論在幾何上的應(yīng)用。

各章節(jié)授課內(nèi)容、教學(xué)方法及學(xué)時(shí)分配建議

本課程的內(nèi)容按教學(xué)要求的不同，分為兩個(gè)層次.其中，概念、理論用“理解”一詞表述的，方法、運(yùn)算用“掌握”一詞表述的，屬較高要求，必須使學(xué)生深入理解，牢固掌握，熟練應(yīng)用；概念、理論用“了解”一 詞表述的，方法、運(yùn)算用“會(huì)”或“了解”表述的，也是教學(xué)中必不可少的，只是在要求上低于前者。第一章： 行列式

建議學(xué)時(shí)：8 [教學(xué)目的與要求]

1．理解n階行列式的定義。

2．理解行列式的性質(zhì)，掌握行列式的計(jì)算。3.了解克拉默(Cramer)法則。

[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)] 行列式的性質(zhì)，行列式的計(jì)算。

[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習(xí)為輔。[授

課

內(nèi)

容] 1.1 二階與三階行列式 1.1.1 二階行列式 1.1.2 三階行列式

1.2 n階行列式的定義 1.2.1 排列與逆序數(shù) 1.2.2 n階行列式的定義 1.3 行列式的性質(zhì)與計(jì)算

1.3.1 行列式的性質(zhì) 1.3.2 行列式的計(jì)算 1.4 克拉默法則習(xí)題課

第二章：矩陣及其運(yùn)算

建議學(xué)時(shí)：10 [教學(xué)目的與要求]

1．理解矩陣的概念，知道某些特殊矩陣的定義及性質(zhì)。2．熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算，乘法運(yùn)算，轉(zhuǎn)置及相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)。

3．理解伴隨陣概念及性質(zhì)，理解逆矩陣的概念和性質(zhì)、矩陣可逆充要條件。4．理解矩陣秩的概念，知道滿秩矩陣及其性質(zhì)。

5．理解矩陣的初等變換，熟練地用初等行變換求逆矩陣、求矩陣的秩、解矩陣方程。6．了解分塊矩陣的運(yùn)算，掌握準(zhǔn)對(duì)角矩陣的運(yùn)算性質(zhì)。[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)]

重點(diǎn)：矩陣、逆矩陣、矩陣的秩及矩陣的初等變換的概念。矩陣的各類運(yùn)算及運(yùn)算性質(zhì)。矩陣可逆的充要條件。初等矩陣與初等變換的關(guān)系性質(zhì)，用初等變換求逆矩陣、矩陣的秩、矩陣方程的解的方法。

難點(diǎn)：矩陣秩的概念，有關(guān)矩陣秩的性質(zhì)的應(yīng)用問題。

[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習(xí)為輔。[授

課

內(nèi)

容]

2.1 矩陣及其運(yùn)算 2.1.1 矩陣的概念 2.1.2 矩陣的運(yùn)算 2.2 逆矩陣 2.2.1逆矩陣的定義 2.2.2 方陣可逆的充要條件 2.3 分塊矩陣及其運(yùn)算 2.3.1 分塊矩陣的概念 2.3.2 分塊矩陣的運(yùn)算

2.4 矩陣的初等變換與矩陣的秩 2.4.1 矩陣的初等變換 2.4.2 矩陣秩的概念與求法 2.5 初等矩陣

2.5.1 初等矩陣及其性質(zhì) 2.5.2 用初等變換求逆矩陣習(xí)題課

第三章：向量與向量空間

建議學(xué)時(shí)：10 [教學(xué)目的與要求]

1.了解空間直角坐標(biāo)系、幾何向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算。

2.理解n維向量的概念、理解線性相關(guān)性概念。會(huì)判別向量組的線性相關(guān)性。

3.理解向量組的最大無關(guān)組、秩的概念，理解三秩相等定理。掌握用矩陣的初等變換求向量組的最大無關(guān)組及秩的方法。

4.理解n維向量空間、子空間、基、維數(shù)、坐標(biāo)等概念，會(huì)求向量空間的基、維數(shù)。

[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)]

重點(diǎn)：向量組的線性相關(guān)性的概念及性質(zhì)，向量組的線性相關(guān)性的矩陣判別法及其推論以及上述結(jié)論的應(yīng)用；向量組的最大無關(guān)組與秩的概念與求法；三秩相等定理及應(yīng)用；向量空間、基底及維數(shù)的概念。

難點(diǎn)：向量組的線性相關(guān)性、向量組的最大無關(guān)組與秩及相關(guān)證明題。[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習(xí)為輔。[授

課

內(nèi)

容] 3.1 幾何向量及其線性運(yùn)算 3.1.1 幾何向量的基本概念 3.1.2 幾何向量的線性運(yùn)算 3.2 空間直角坐標(biāo)系 3.2.1 空間直角坐標(biāo)系 3.2.2 幾何向量的坐標(biāo)表示 3.2.3 用坐標(biāo)進(jìn)行向量運(yùn)算

3.3 n維向量及其線性運(yùn)算 3.3.1 n維向量的概念 3.3.2 n維向量的線性運(yùn)算 3.4 向量組的線性相關(guān)性 3.4.1 向量組及其線性組合 3.4.2 線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念 3.4.3 線性相關(guān)性的性質(zhì) 3.4.4 線性相關(guān)性的判定 3.5 向量組的秩

3.5.1 最大線性無關(guān)組 3.5.2 向量組的秩

3.5.3 矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系 3.6 向量空間

3.6.1 向量空間的概念 3.6.2 坐標(biāo)變換習(xí)題課

第四章：歐氏空間

建議學(xué)時(shí)：8 [教學(xué)目的與要求]

1.理解向量的內(nèi)積、長度、夾角等概念及性質(zhì)；理解標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交矩陣;會(huì)求幾何向量的內(nèi)積和外積。

2.掌握空間直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程與平面的點(diǎn)法式、一般式方程。3.理解空間曲面、空間曲線的概念，會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。4.知道二次曲面方程及其所表示圖形的形狀。

[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)] 標(biāo)準(zhǔn)正交基；直線與平面方程、曲面方程。

[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習(xí)為輔。[授

課

內(nèi)

容] 4.1 向量的內(nèi)積

歐氏空間 4.1.1 R3中向量的內(nèi)積

4.1.2 n維向量的內(nèi)積

歐氏空間 4.2 標(biāo)準(zhǔn)正交基

4.3 R3中向量的外積和混合積

4.3.1 向量的外積 4.4 R3中的直線與平面 4.4.1平面及其方程 4.4.2 空間直線及其方程 4.4.3 位置關(guān)系 4.5 空間曲面及其方程

4.5.1 球面 4.5.2 旋轉(zhuǎn)曲面 4.5.3 柱面

4.6 空間曲線及其方程 4.6.1 空間曲線的一般方程 4.6.2 空間曲線的參數(shù)方程 4.6.3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 4.7 二次曲面 4.7.1 橢球面 4.7.2 拋物面 4.7.3 雙曲面 4.7.4 二次錐面習(xí)題課

第五章：線性方程組

建議學(xué)時(shí)：6 [教學(xué)目的與要求]

1．理解齊次線性方程組有非零解的充要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件。2．理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，線性方程組的通解的概念及解的結(jié)構(gòu)。3．熟練掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。

4.掌握線性方程組解的理論在向量組的線性相關(guān)性和在幾何上的應(yīng)用。

[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)] 齊次線性方程組有非零解的判斷及基礎(chǔ)解系的概念；非齊次線性方程組有解的判 斷及通解結(jié)構(gòu)；用矩陣的初等行變換求解線性方程組；線性方程組解的理論在幾何上的應(yīng)用。[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習(xí)為輔。[授

課

內(nèi)

容] 5.1 線性方程組有解的充要條件 5.2 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 5.2.1 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 5.2.2 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

5.3 用初等變換解線性方程組及線性方程組的應(yīng)用 5.3.1 用矩陣的初等行變換求解線性方程組

5.3.2 線性方程組應(yīng)用舉例（只介紹在幾何中的應(yīng)用）習(xí)題課

第六章：特征值、特征向量及相似矩陣

建議學(xué)時(shí)：8 [教學(xué)目的與要求]

1．理解矩陣的特征值與特征向量的概念并掌握其求法。

2．理解相似矩陣的概念與性質(zhì)，理解矩陣可相似對(duì)角化的充要條件。

[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)]

重點(diǎn)：矩陣的特征值與特征向量的概念、性質(zhì)及求法；實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化。

難點(diǎn)：矩陣可相似對(duì)角化的條件及相關(guān)問題。

[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習(xí)為輔。[授

課

內(nèi)

容] 6.1 特征值與特征向量 6.1.1 特征值與特征向量的概念 6.1.2 特征值與特征向量的性質(zhì) 6.2相似矩陣

6.2.1 相似矩陣的概念及性質(zhì) 6.2.2 方陣的相似對(duì)角化問題 6.3 實(shí)對(duì)稱矩陣及其對(duì)角化

6.3.1 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量 6.3.2 實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化習(xí)題課

第七章：二次型

建議學(xué)時(shí)：6 [教學(xué)目的與要求]

1.了解二次型及其矩陣表示、二次型的秩及二次型的標(biāo)準(zhǔn)形等概念。

2.掌握用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法,會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。3.會(huì)用二次型理論討論討論一般二次曲面的形狀。[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)] 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。

[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習(xí)為輔。[授

課

內(nèi)

容] 7.1 二次型

7.1.1 二次型的定義及其矩陣 7.1.2 矩陣的合同 7.2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

7.2.1 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 7.2.2 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 7.3 正定二次型 7.3.1 二次型的慣性定理 7.3.2 正定二次型

7.4 二次型在研究二次曲面中的應(yīng)用 7.4.2 二次曲面方程化標(biāo)準(zhǔn)形

習(xí)題課

撰稿人：張?zhí)K梅

審核人：楊殿武

第五篇：向量代數(shù)與空間解析幾何

1．向量代數(shù)與空間解析幾何

向量代數(shù)：向量的線性運(yùn)算，向量的坐標(biāo)，向量的數(shù)量積，向量積，兩向量平行與垂直的條件。平面與直線：會(huì)利用已知條件求平面的方程、直線的方程。

曲面與空間曲線：了解曲面的概念，如坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。

2．多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)：會(huì)求簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的極限與判斷二元函數(shù)的連續(xù)性。

偏導(dǎo)數(shù)與全微分：偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，復(fù)合函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的求法、隱函數(shù)的求偏導(dǎo)；會(huì)求全微分； 偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：方向?qū)?shù)和梯度；空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線；最大值、最小值問題，條件極值，拉格朗日乘數(shù)法。

3．多元函數(shù)積分學(xué)

二重積分：化二重積分為二次積分、交換二次積分的次序；二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；利用二重積分求曲面面積、立體體積。

三重積分：三重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）；

曲線積分：兩類曲線積分的計(jì)算方法；格林公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

曲面積分：兩類曲面積分的計(jì)算方法；高斯公式。

4．無窮級(jí)數(shù)

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)收斂的判定，幾何級(jí)數(shù)和P—級(jí)數(shù)的斂散性；正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較、比值及根值審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理，絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及其關(guān)系。

冪級(jí)數(shù)：較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域的求法，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)；函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)：函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，函數(shù)與和函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)展開為正弦或余弦級(jí)數(shù)。

5．常微分方程

可分離變量微分方程，齊次方程，一階線性微分方程?？山惦A的高階微分方程。二階常系數(shù)齊次線性微分方程。利用切線斜率建立簡(jiǎn)單的微分方程并求解。

牢固掌握下列公式：

1、向量的數(shù)量積、向量積計(jì)算公式；

2、全微分公式；

3、方向?qū)?shù)公式；

4、拉格朗日乘數(shù)法；

5、格林公式、高斯公式；

6、函數(shù)的麥克勞林展開公式。

7、一階線性方程的通解公式；