第一篇：[41KB]山東大學(xué)2000年高等代數(shù)考研試卷

山東大學(xué)

2000年碩士研究生研究生入學(xué)考試試題

考試科目：高等代數(shù)

注意：

1、所有答案必須寫(xiě)在“山東大學(xué)研究生入學(xué)考試答題紙”上，寫(xiě)在試卷和其他紙上無(wú)效

2、本科目允許/不允許使用無(wú)字典存儲(chǔ)和編程功能的計(jì)算器。

1.設(shè)

?1,?2,??m

（m>1），是線性無(wú)關(guān)的向量組。令

試討論?1,?2,?,?m的?1??1??2,?2??2??3,?,?m?1??m?1??m,?m??m??1，線性相關(guān)性。

2.設(shè)A，B是數(shù)域F上的n階文陣，E是n階單位矩陣。（1）如果E－AB可逆。證明：E

－BA也可逆。（2）利用（1），證明：AB與BA有相同的特征值。

3.設(shè)，為A?(aij),B?(bij)，n階正定矩陣，證明：C?(cij)（其中cij?aijbij）是正定

矩陣。

4.設(shè)T是n維歐氏空間Rn的一個(gè)保距變換即：??,??R,T??T?????。如果T

將零向量變?yōu)榱阆蛄浚C明：T是正交變換。

5.設(shè)A為n階方陣。證明：A2?A是充要條件是A秩＋（A－E）秩＝n.6.設(shè)M為無(wú)限多個(gè)n階矩陣組成的集合，且M中任意兩個(gè)矩陣相乘時(shí)可交換。如果M中

每個(gè)矩陣都可以對(duì)角化，試證明：存在一個(gè)可逆矩陣P，使得對(duì)M中任意矩陣X，恒有

PXP，為對(duì)角矩陣。

?1

n

第二篇：2014福州大學(xué)高等代數(shù)考研資料免費(fèi)下載

2014福州大學(xué)高等代數(shù)考研資料免費(fèi)下載

歷年考研真題試卷

福州大學(xué)2007年招收碩士研究生入學(xué)考試試卷

考試科目高等代數(shù)科目編號(hào)818

注意：作圖題答案可直接做在試卷上。所有的作圖題均應(yīng)保留精確的作圖線條。試卷必須與答卷一起交。答題時(shí)不必抄原題，但必須寫(xiě)清所答題目順序號(hào)。

一、簡(jiǎn)答題（每小題3分，滿分30分）

1、計(jì)算行列式，其中，但(思遠(yuǎn)福大考研網(wǎng))。

2、在線性空間中，求向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。

3、已知3階矩陣滿足，求的所有特征值，這里表示單位矩陣。

4、在線性空間中，已知向量共面，求。

5、設(shè)是線性空間中的線性變換，滿足

求在基下的矩陣(思遠(yuǎn)福大考研網(wǎng))。

6、設(shè)，若被整除，求。

7、設(shè)矩陣，其中線性無(wú)關(guān)，向量，求方程組的通解；

8、設(shè)，它們相似嗎？

9、求矩陣的最小多項(xiàng)式和若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

10、討論二次型何時(shí)正定(思遠(yuǎn)福大考研網(wǎng))。

二、解答題（第11-18題，每題15分滿分120分）

11、（1）設(shè)是正定實(shí)對(duì)稱矩陣，則對(duì)任一正整數(shù)，存在正定實(shí)對(duì)稱矩陣，使；

（2）設(shè)是滿秩實(shí)矩陣，則存在正定實(shí)對(duì)稱矩陣和正交矩陣，使。

12、設(shè)是數(shù)域，（表示元素在的矩陣全體），且，對(duì)于的子空間，,，證明：。

13、設(shè)為有理數(shù)域，是上的線性空間，是的線性變換，設(shè)，且，，證明：（1）線性無(wú)關(guān)；

（2）線性無(wú)關(guān)(思遠(yuǎn)福大考研網(wǎng))。

14、設(shè)是數(shù)域上矩陣關(guān)于矩陣加法和數(shù)乘作成的線性空間，定義變換。（1）證明是上的的對(duì)合線性變換，即滿足（恒等變換）的線性變換；（2）求的特征值和特征向量；

15、求多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的分解式。

16、設(shè)，求一個(gè)正交矩陣，使成對(duì)角矩陣。

17、設(shè)向量分別屬于方陣的不同特征值的特征向量(思遠(yuǎn)福大考研網(wǎng))，證明向量組線性無(wú)關(guān)。

18、設(shè)是有限維歐式空間的一個(gè)正交變換，且其中是一個(gè)正整數(shù)且，是的恒等變換，令，證明：

（1）是的一個(gè)子空間；（2）是的一個(gè)不變子空間，其中是的正交補(bǔ)；

第三篇：高等代數(shù)課程試卷及參考答案

《高等代數(shù)》自測(cè)題（2）

一、計(jì)算（20分）

3?21?4

?57?46

1?2?13

x?a

ax?a?a

????

aa?x?a

52?3

a?a

1）2）

二、證明：（20分）

1）若向量組?1??n線性無(wú)關(guān)，則它們的部分向量組也線性無(wú)關(guān)。2）若向量組?1??n中部分向量線性相關(guān)，則向量組?1??n必線性相關(guān)

三、（15分）已知A為n階方陣A為A的伴隨陣，則|A|=0，A的秩為1或0。

四、（10分）設(shè)A為n階陣，求證，rank（A+I）+rank（A-I）≥n

五、（15分）求基礎(chǔ)解系

?x1?x2?x3?x4?0

?

?x1?x2?x3?3x4?0 ?x?x?2x?3x?0

234?1

~

~

六、（10分）不含零向量的正交向量組是線性無(wú)關(guān)的七、（10分）設(shè)A是n×n正定矩陣，證明A6也是正定的。

第四篇：天津大學(xué) 考研836高等代數(shù)(含解析幾何)

天津大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試業(yè)務(wù)課考試大綱

課程編號(hào)：836課程名稱：高等代數(shù)（含解析幾何）

一、考試的總體要求

要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握代數(shù)的基本方法，要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力、綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力。

二、考試的內(nèi)容及比例

1．多項(xiàng)式：數(shù)域，二元多項(xiàng)式、整除、最大公因式、互素、不可約多項(xiàng)式、因式分解定理、重因式、多項(xiàng)式、函數(shù)、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式，多元多項(xiàng)式。

2．行列式：排列，n階行列式的定義，n階行列式的性質(zhì)及計(jì)算，行列式展開(kāi)（按一行(一列)展開(kāi)，拉普拉斯定理）克萊姆法則。

3．矩陣：矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，逆矩陣、矩陣乘積的行列式、分塊矩陣、初等矩陣、初等變換，分塊矩陣和初等變換及其應(yīng)用，矩陣的秩。

4．線性方程組：n維向量空間，n維向量的線性相關(guān)性，向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，向量組的秩和線性方程組的解法、有解的判別原理、解的結(jié)構(gòu)。

5．二次型：二次型及其矩陣表示，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型、唯一性、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，正定二次型。

6．線性空間：集合、映射、線性空間的定義與性質(zhì)。基、維數(shù)與坐標(biāo)、基變換與坐標(biāo)變換，線性子空間，子空間的交與和，直和，線性空間的同構(gòu)。

7．線性變換的定義及其運(yùn)算，線性變交換的矩陣，特征值與特征向量，對(duì)角矩陣，線性變換的值域與核、不變子空間。

8．λ-矩陣：λ-矩陣的概念，λ的矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，行列式因子，不變因子，及初等因子，矩陣相似的條件，矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及理論推導(dǎo)。

9．歐幾里德空間：歐幾里德空間的定義與基本性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，歐氏空間的同構(gòu)和正交變換，子空間及其正交系，正交補(bǔ)，對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。向量到子空間的距離，最小二乘法，酉空間。

各部分占10%左右。

三、考試的題型及比例

1．填空題15%。2．計(jì)算題40%。3．證明題45%。

四、考試形式及時(shí)間

考試形式均為筆試。考試時(shí)間為三小時(shí)。（滿分150分）

第五篇：2007年考研高等代數(shù)大綱(碩士)

江蘇自動(dòng)化研究所碩士研究生入學(xué)考試

《高等代數(shù)》考試大綱

一、總體要求

要求掌握行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間、(多項(xiàng)式理論、λ-矩陣不單獨(dú)出題)。

二、命題范圍及考查的知識(shí)點(diǎn)

1、行列式

1）行列式的定義與性質(zhì)。

2）低階行列式，高階規(guī)律性較強(qiáng)的行列式計(jì)算。

2、線性方程組

1）解線性方程組

2）線性方程組解的理論

3）線性相關(guān)性的證明

3、矩陣

1）矩陣的運(yùn)算

2）矩陣的逆

3）矩陣秩的不等式的證明

4、二次型

1）化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

2）正定性問(wèn)題的證明

5、線性空間

1）線性空間與子空間的概念

2）基、維數(shù)與坐標(biāo)

3）子空間的直和的證明

6、線性變換

1）特征值、特征向量有關(guān)問(wèn)題

2）求若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、最小多項(xiàng)式

3）線性變換的值域與核

7、歐氏空間

1）正交矩陣與正交變換

2）實(shí)對(duì)稱陣有關(guān)證明

三、考試說(shuō)明

1、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

1)答卷方式：閉卷，筆試，總分150分,2)答題時(shí)間：3小時(shí)，3)總分：滿分150分，4)題型比例

計(jì)算題約 50%

證明題約 50%

四、參考書(shū)目

《高等代數(shù)》（第三版），北京大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社，2003年