第一篇：2013年廣西大學(xué)高等代數(shù)考研真題

2013年廣西大學(xué)研究生入學(xué)考試——高等代數(shù)

一、填空題：

11、已知A為三階矩陣，且A??，求A?1?2A?=------------

22、已知A3?0，則(E?A)?1?----------

3、與三階矩陣等價(jià)的矩陣標(biāo)準(zhǔn)型有----------

4、實(shí)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式為----------

5、設(shè)A為n階方陣，則A'A的特征值為----------，且A'A為-----------矩陣

6、n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的維數(shù)是------------

7、已知?1,?2,?3線性相關(guān)，則?1??2,?2??3,?1??3線性相關(guān)性---------------

8、設(shè)V是n維線性空間，則核空間與象空間的維數(shù)之間的關(guān)系是-------

9、設(shè)歐氏空間上的內(nèi)積定義為?f(x),g(x)???f(x)g(x)dx，則1=----------------

0?

10、設(shè)瑞利商Rn?x'Enxx'Ax，求REn??-------------x'xx'xa1

1二、已知a12?a1na22?an2a21?an1?a11x1?a12x2??a1,n?1xn?1?a1n??a2n?a21x1?a22x2??a2,n?1xn?1?a2n，求證無(wú)解 ?0??????an1x1?an2x2??an,n?1xn?1?ann?ann?

三、實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式f(x),g(x)滿足（f(x),g(x)）=1, 并設(shè)?(x)與?(x)如下：3n32m???(x)?(x?1)f(x)?(x?x)g(x)，求證：(?(x),?(x))?x?1 ?2n2m???(x)?(x?x)f(x)?(x?1)g(x)

四、設(shè)有n個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f1(x),f2(x),?,fn(x)的次數(shù)不大于n-2，且a1,a2,?,anf1(a1)為任意常數(shù)，求證：

f1(a2)?f2(a2)??fn(a2)?f1(an)f2(an)?fn(an)?0

f2(a1)?fn(a1)??

五、設(shè)三階矩陣A???????，是否存在可逆矩陣使之相似于對(duì)角陣 ?? 注：矩陣A里面的具體數(shù)值記不清了，但A是一個(gè)非對(duì)稱(chēng)矩陣。比如說(shuō)由?E?A?0可計(jì)算出特征值為-2，-2，5，其中特征值-2對(duì)應(yīng)兩個(gè)特征向量，特征值5對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量，因此得出可相似于對(duì)角陣

1求Im?,Ker?

六、設(shè)?為線性空間V上的的一線性變換，且?(f(x))?f'(x)，○2線性空間V是否為Im?與Ker?的直和

○

七、設(shè)復(fù)數(shù)域C6上一線性變換在基底?1,?2,?,?6下的矩陣是Jordan矩陣，且?21???2????311J的初等因子○2C6的??不變子空間直和 J???，求：○31???3?????5??

八、線性空間V上的兩組向量?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?m，滿足(?i,?j)?(?i,?j)其中i、j?1,2,?m，求證：L(?1,?2,?,?m)?L(?1,?2,?,?m)

九、設(shè)A為實(shí)二次型對(duì)應(yīng)的矩陣，A的n個(gè)特征根?1,?2,?,?n滿足?1??2????n 求證：?1x'x?x'Ax??nx'x

第二篇：2014年浙江大學(xué)高等代數(shù)考研真題

2014年浙江大學(xué)研究生入學(xué)考試高等代數(shù)試題

1.A??

數(shù)。?0?EnEn??，L??B?M2n(R)AB?BA?。證明L為M2n(R)的子空間并計(jì)算其維0?En??，請(qǐng)問(wèn)A是否可對(duì)角化并給出理由。若A可對(duì)角化為C，給出可逆矩陣0??02.A???En

P，使得P?1AP?C.3.方陣A的特征多項(xiàng)式為f(?)?(??2)3(??3)2，請(qǐng)給出A所有可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。

54.?1，?2，?3為AX?0的基礎(chǔ)解系，A為3行5列實(shí)矩陣。求證：存在R的一組基，其包含?1??2??3，?1??2??3，?1?2?2?4?3。

5．X，Y分別為m?n和n?m矩陣，YX?En，A?Em?XY，證明A相似于對(duì)角矩陣。

6.A為n階線性空間V的線性變換，?1，?2，…，?m為A的不同特征值，V?i為其特征子空間。證明：對(duì)任意V的子空間W，有W?(W?V?1)?????(W?V?m).7.矩陣A，B均為m?n矩陣，AX?0與BX?0同解，求證A、B等價(jià)。若A、B等價(jià)，是否有AX?0與BX?0同解？證明或舉反例否定。

8.證明：A正定的充分必要條件是存在方陣Bi（i?1,2,???,n），Bi中至少有一個(gè)非退化，使得A??BBi

i?1nTi。

9.定義?為[0,1]到n階方陣全體組成的歐式空間的連續(xù)映射，使得?(0)為第一類(lèi)正交矩陣，?(1)為第二類(lèi)正交矩陣。證明：存在T0?(0,1)，使得?(T0)退化。

10.設(shè)g，h為復(fù)數(shù)域C上n維線性空間V的線性變換，gh?hg。求證g，h有公共的特征向量。若不是在復(fù)數(shù)域C上而是在實(shí)數(shù)域R上，則結(jié)論是否成立？若成立，給出理由；不成立舉出反例。

對(duì)試題有任何疑問(wèn)，或者需要更多浙江大學(xué)或數(shù)學(xué)系的考研資料，可以進(jìn)一步與我討論。QQ：334216522。

第三篇：湖南大學(xué)考研2000年高等代數(shù)真題

湖南大學(xué)2000年高等代數(shù)真題

1． 設(shè)a為實(shí)數(shù)，試證：多項(xiàng)式xn?axn?1?a2xn?2?...?an?1x?an至少

有一個(gè)實(shí)根（重根以一個(gè)計(jì)算）。問(wèn)此多項(xiàng)式何時(shí)無(wú)實(shí)根？何時(shí)有重根？

a1

2． xx...xxa2x...x

xa3...x 計(jì)算行列式x

.........xxx...an

3． 設(shè)V1,V2,...,Vs是線性空間V的s個(gè)非平凡的子空間，證明：V中至少有一個(gè)

向量不屬于V1,V2,...,Vs中任何一個(gè)。

4． 設(shè)A?E???,，其中E是n階單位矩陣，?是n維非零列向量，?,是?的2轉(zhuǎn)置，試證明：（1）A?A的充分必要條件是??,?1；

（2）當(dāng)??,?1時(shí)，A是奇異矩陣。

5.令S是R上向量空間V的一些線性變換作成的集合，V的一個(gè)子空間W如果在S中每一線性變換下不變，那么就說(shuō)W是S的一個(gè)不變子空間。設(shè)S不可約，而?是V的一個(gè)線性變換，它與S中每一線性變換可換，試證明：?或者是零變換，或者是可逆變換。

6.設(shè)f?XAX，g?XBX,是正定二次型，其中

A?(aij)bij)cij)n?n,B?(n?n，令cij?aijbij，對(duì)于陣C?(n?n，是 XCX,也是正定的。

em為n維歐式空間V的一組便準(zhǔn)正交基，證明：對(duì)于任意??V，7.設(shè)e1,e2,...,以下不等式成立

i?1?(?,e)im2??2。,8.設(shè)A是s*n實(shí)矩陣，In是n階單位陣，n是任一正整數(shù)A是A的轉(zhuǎn)置求證：

r(In?AA,)?r(Is?AA,)?n?s，其中，r（A）為A的秩。

第四篇：河南大學(xué)2009年考研 高等代數(shù)真題

河南大學(xué)2009年研究生招生入學(xué)考試業(yè)務(wù)課試卷

考試科目及代碼：高等代數(shù) 839

n,ns和s t的三個(gè)矩陣，且ABC=0，其中A的秩為一．（15分）設(shè)A,B,C分別為m創(chuàng)

n，C的秩為s．證明：B=0.二．（15分）若4級(jí)方針A的每一個(gè)行向量、每一個(gè)列向量的分量均由兩個(gè)0和兩個(gè)1組成，那么A的行列式等于０．

三．（15分）設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：V={x|x'Ax=0}是n維歐式空間Rn的一個(gè)子空間。

四．(20分)若以f(x)表示實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，試證： 2

W={f(x)|f(1)=0,叮(f(x))

是實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間，并求出它的一組基。n}

五．（20分）設(shè)A,B為兩個(gè)冪等矩陣，即A=A,B=B。

證明：若秩(A)=秩(B)，則A與B相似。

六．（20分）設(shè)A,B為兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且A正定。證明：復(fù)方陣A+iB為可逆矩陣。

七．（20分）設(shè)A,B為數(shù)域P上兩個(gè)不同的n階對(duì)稱(chēng)矩陣，且r(B-A)=r，這里r(A)表示矩陣A的秩。證明：存在r-1個(gè)n階對(duì)稱(chēng)矩陣C1，C2,?,Cr-1，使得 22

r(C1-A)=r(Ci+1-Ci)=r(B-Cr-1)=1,i=1,2,?,r-2。

八．（25分）設(shè)P,Q是數(shù)域P上任意兩個(gè)n階可逆方陣，Mn表示數(shù)域P上全體n32階方陣的集合。在Mn上定義變換s(P,Q)：

s(P,Q)(X)=PXQ,"x Mn。

若將Mn看做數(shù)域P上的線性空間，則s(P,Q)是此線性空間的一個(gè)線性變換。進(jìn)一步令()

驏1琪琪2Q=琪，琪?琪琪n桫

試求線性變換s(Q,Q)的所有特征值和特征向量。-1

第五篇：湖南大學(xué)2004年高等代數(shù)真題

湖南大學(xué)2004年高等代數(shù)真題

?2?1?1?1000????1200?100????10200?10???1.證明A不是一個(gè)正定矩陣，其中A???100200?1?。

?0?100200???00?10020???000?1002???

2.已知n階方陣A的秩，試求其伴隨矩陣A*的秩。

3.令s1（n，F(xiàn)）={A|A是數(shù)域F上的n階方陣，并且A的跡是零}，找出向量空間s1（n，F(xiàn)）的一組基，其中矩陣A的基被定義為A的主對(duì)角線元素之和。

4.問(wèn)當(dāng)p是奇素?cái)?shù)時(shí)多項(xiàng)式xp?px?1是否在有理數(shù)域上可約？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)舉例說(shuō)明。

??1?26???1035.在復(fù)數(shù)域上求矩陣A????的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，并且寫(xiě)出其初等因子。

??1?14???

6.設(shè)?是n維歐氏空間V的一個(gè)單位向量，定義A????2(?,?)?，這個(gè)變換被稱(chēng)為鏡面反射。證明：

（i）每個(gè)鏡面反射A是一個(gè)正交變換，并且A在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣的行列式為-1.（ii）如果B是一個(gè)正交變換，并且B的特征根1的特征子空間是n-1維的，那么，B是一個(gè)鏡面反射。

7.設(shè)A為n階實(shí)可逆矩陣。證明：A可以分解成A=QR，其中Q為正交陣，R是一個(gè)對(duì)角線上全為正實(shí)數(shù)的上三角陣，并且這種分解是唯一的。