第一篇：湖南大學2004年高等代數真題

湖南大學2004年高等代數真題

?2?1?1?1000????1200?100????10200?10???1.證明A不是一個正定矩陣，其中A???100200?1?。

?0?100200???00?10020???000?1002???

2.已知n階方陣A的秩，試求其伴隨矩陣A*的秩。

3.令s1（n，F）={A|A是數域F上的n階方陣，并且A的跡是零}，找出向量空間s1（n，F）的一組基，其中矩陣A的基被定義為A的主對角線元素之和。

4.問當p是奇素數時多項式xp?px?1是否在有理數域上可約？如果是，請證明；如果不是，請舉例說明。

??1?26???1035.在復數域上求矩陣A????的約當標準型，并且寫出其初等因子。

??1?14???

6.設?是n維歐氏空間V的一個單位向量，定義A????2(?,?)?，這個變換被稱為鏡面反射。證明：

（i）每個鏡面反射A是一個正交變換，并且A在標準正交基下的矩陣的行列式為-1.（ii）如果B是一個正交變換，并且B的特征根1的特征子空間是n-1維的，那么，B是一個鏡面反射。

7.設A為n階實可逆矩陣。證明：A可以分解成A=QR，其中Q為正交陣，R是一個對角線上全為正實數的上三角陣，并且這種分解是唯一的。

第二篇：湖南大學考研2000年高等代數真題

湖南大學2000年高等代數真題

1． 設a為實數，試證：多項式xn?axn?1?a2xn?2?...?an?1x?an至少

有一個實根（重根以一個計算）。問此多項式何時無實根？何時有重根？

a1

2． xx...xxa2x...x

xa3...x 計算行列式x

.........xxx...an

3． 設V1,V2,...,Vs是線性空間V的s個非平凡的子空間，證明：V中至少有一個

向量不屬于V1,V2,...,Vs中任何一個。

4． 設A?E???,，其中E是n階單位矩陣，?是n維非零列向量，?,是?的2轉置，試證明：（1）A?A的充分必要條件是??,?1；

（2）當??,?1時，A是奇異矩陣。

5.令S是R上向量空間V的一些線性變換作成的集合，V的一個子空間W如果在S中每一線性變換下不變，那么就說W是S的一個不變子空間。設S不可約，而?是V的一個線性變換，它與S中每一線性變換可換，試證明：?或者是零變換，或者是可逆變換。

6.設f?XAX，g?XBX,是正定二次型，其中

A?(aij)bij)cij)n?n,B?(n?n，令cij?aijbij，對于陣C?(n?n，是 XCX,也是正定的。

em為n維歐式空間V的一組便準正交基，證明：對于任意??V，7.設e1,e2,...,以下不等式成立

i?1?(?,e)im2??2。,8.設A是s*n實矩陣，In是n階單位陣，n是任一正整數A是A的轉置求證：

r(In?AA,)?r(Is?AA,)?n?s，其中，r（A）為A的秩。

第三篇：2014年浙江大學高等代數考研真題

2014年浙江大學研究生入學考試高等代數試題

1.A??

數。?0?EnEn??，L??B?M2n(R)AB?BA?。證明L為M2n(R)的子空間并計算其維0?En??，請問A是否可對角化并給出理由。若A可對角化為C，給出可逆矩陣0??02.A???En

P，使得P?1AP?C.3.方陣A的特征多項式為f(?)?(??2)3(??3)2，請給出A所有可能的Jordan標準型。

54.?1，?2，?3為AX?0的基礎解系，A為3行5列實矩陣。求證：存在R的一組基，其包含?1??2??3，?1??2??3，?1?2?2?4?3。

5．X，Y分別為m?n和n?m矩陣，YX?En，A?Em?XY，證明A相似于對角矩陣。

6.A為n階線性空間V的線性變換，?1，?2，…，?m為A的不同特征值，V?i為其特征子空間。證明：對任意V的子空間W，有W?(W?V?1)?????(W?V?m).7.矩陣A，B均為m?n矩陣，AX?0與BX?0同解，求證A、B等價。若A、B等價，是否有AX?0與BX?0同解？證明或舉反例否定。

8.證明：A正定的充分必要條件是存在方陣Bi（i?1,2,???,n），Bi中至少有一個非退化，使得A??BBi

i?1nTi。

9.定義?為[0,1]到n階方陣全體組成的歐式空間的連續(xù)映射，使得?(0)為第一類正交矩陣，?(1)為第二類正交矩陣。證明：存在T0?(0,1)，使得?(T0)退化。

10.設g，h為復數域C上n維線性空間V的線性變換，gh?hg。求證g，h有公共的特征向量。若不是在復數域C上而是在實數域R上，則結論是否成立？若成立，給出理由；不成立舉出反例。

對試題有任何疑問，或者需要更多浙江大學或數學系的考研資料，可以進一步與我討論。QQ：334216522。

第四篇：2013年廣西大學高等代數考研真題

2013年廣西大學研究生入學考試——高等代數

一、填空題：

11、已知A為三階矩陣，且A??，求A?1?2A?=------------

22、已知A3?0，則(E?A)?1?----------

3、與三階矩陣等價的矩陣標準型有----------

4、實數域上的不可約多項式為----------

5、設A為n階方陣，則A'A的特征值為----------，且A'A為-----------矩陣

6、n階實對稱矩陣的維數是------------

7、已知?1,?2,?3線性相關，則?1??2,?2??3,?1??3線性相關性---------------

8、設V是n維線性空間，則核空間與象空間的維數之間的關系是-------

9、設歐氏空間上的內積定義為?f(x),g(x)???f(x)g(x)dx，則1=----------------

0?

10、設瑞利商Rn?x'Enxx'Ax，求REn??-------------x'xx'xa1

1二、已知a12?a1na22?an2a21?an1?a11x1?a12x2??a1,n?1xn?1?a1n??a2n?a21x1?a22x2??a2,n?1xn?1?a2n，求證無解 ?0??????an1x1?an2x2??an,n?1xn?1?ann?ann?

三、實數域上的多項式f(x),g(x)滿足（f(x),g(x)）=1, 并設?(x)與?(x)如下：3n32m???(x)?(x?1)f(x)?(x?x)g(x)，求證：(?(x),?(x))?x?1 ?2n2m???(x)?(x?x)f(x)?(x?1)g(x)

四、設有n個實系數多項式f1(x),f2(x),?,fn(x)的次數不大于n-2，且a1,a2,?,anf1(a1)為任意常數，求證：

f1(a2)?f2(a2)??fn(a2)?f1(an)f2(an)?fn(an)?0

f2(a1)?fn(a1)??

五、設三階矩陣A???????，是否存在可逆矩陣使之相似于對角陣 ?? 注：矩陣A里面的具體數值記不清了，但A是一個非對稱矩陣。比如說由?E?A?0可計算出特征值為-2，-2，5，其中特征值-2對應兩個特征向量，特征值5對應一個特征向量，因此得出可相似于對角陣

1求Im?,Ker?

六、設?為線性空間V上的的一線性變換，且?(f(x))?f'(x)，○2線性空間V是否為Im?與Ker?的直和

○

七、設復數域C6上一線性變換在基底?1,?2,?,?6下的矩陣是Jordan矩陣，且?21???2????311J的初等因子○2C6的??不變子空間直和 J???，求：○31???3?????5??

八、線性空間V上的兩組向量?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?m，滿足(?i,?j)?(?i,?j)其中i、j?1,2,?m，求證：L(?1,?2,?,?m)?L(?1,?2,?,?m)

九、設A為實二次型對應的矩陣，A的n個特征根?1,?2,?,?n滿足?1??2????n 求證：?1x'x?x'Ax??nx'x

第五篇：河南大學2009年考研 高等代數真題

河南大學2009年研究生招生入學考試業(yè)務課試卷

考試科目及代碼：高等代數 839

n,ns和s t的三個矩陣，且ABC=0，其中A的秩為一．（15分）設A,B,C分別為m創(chuàng)

n，C的秩為s．證明：B=0.二．（15分）若4級方針A的每一個行向量、每一個列向量的分量均由兩個0和兩個1組成，那么A的行列式等于０．

三．（15分）設A為n階實對稱矩陣，證明：V={x|x'Ax=0}是n維歐式空間Rn的一個子空間。

四．(20分)若以f(x)表示實系數多項式，試證： 2

W={f(x)|f(1)=0,叮(f(x))

是實數域上的一個線性空間，并求出它的一組基。n}

五．（20分）設A,B為兩個冪等矩陣，即A=A,B=B。

證明：若秩(A)=秩(B)，則A與B相似。

六．（20分）設A,B為兩個實對稱矩陣，且A正定。證明：復方陣A+iB為可逆矩陣。

七．（20分）設A,B為數域P上兩個不同的n階對稱矩陣，且r(B-A)=r，這里r(A)表示矩陣A的秩。證明：存在r-1個n階對稱矩陣C1，C2,?,Cr-1，使得 22

r(C1-A)=r(Ci+1-Ci)=r(B-Cr-1)=1,i=1,2,?,r-2。

八．（25分）設P,Q是數域P上任意兩個n階可逆方陣，Mn表示數域P上全體n32階方陣的集合。在Mn上定義變換s(P,Q)：

s(P,Q)(X)=PXQ,"x Mn。

若將Mn看做數域P上的線性空間，則s(P,Q)是此線性空間的一個線性變換。進一步令()

驏1琪琪2Q=琪，琪?琪琪n桫

試求線性變換s(Q,Q)的所有特征值和特征向量。-1