第一篇：立體幾何中翻折問題的求解策略

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立體幾何中翻折問題的求解策略

作者：司政君

來源：《中學(xué)課程輔導(dǎo)·教學(xué)研究》2013年第18期

摘要：文章結(jié)合幾道高考試題，對(duì)立體幾何中翻折問題的求解策略進(jìn)行簡(jiǎn)單分析.關(guān)鍵詞：翻折；對(duì)應(yīng)；垂直；角度 在立體幾何中，經(jīng)常將一些平面幾何圖形如：三角形、平行四邊形、梯形等沿其高線、中線、角平分線、對(duì)角線進(jìn)行翻折，或沿經(jīng)過某一頂點(diǎn)與邊垂直、平行的直線翻折，或過其邊上某點(diǎn)（頂點(diǎn)除外）與一邊平行的直線翻折，得到一個(gè)多面體，然后根據(jù)給出的條件，進(jìn)行平行（直線與直線、直線與平面）關(guān)系、垂直（直線與直線、直線與平面和平面與平面）關(guān)系的證明及距離、角度、面積和體積等的計(jì)算.這類問題在高考中也常常出現(xiàn).在解題過程中，學(xué)生由于忽視一些隱含條件而導(dǎo)致思路受阻或解題出錯(cuò).這些隱含條件就是翻折后得到幾何體中，一些點(diǎn)、線、角、面與原平面幾何圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及一些點(diǎn)、線段、角、面之間的位置關(guān)系的“變”和“不變”.弄清這些對(duì)應(yīng)關(guān)系與變”和“不變”，是會(huì)解并正確解題的關(guān)鍵.下面就結(jié)合幾道高考試題來談?wù)劻Ⅲw幾何中翻折問題的解決策略.通過上述幾道高考試題的分析及解答，立體幾何中翻折問題的解決，關(guān)鍵要弄清翻折后的幾何體中，某些點(diǎn)、線、面、角等 與翻折前平面圖形中點(diǎn)、線、面、角等的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及一些點(diǎn)、線段、角、面之間的位置關(guān)系的“變”和“不變”.這些對(duì)應(yīng)關(guān)系以及“變”和“不變”是解決問題的隱含條件，準(zhǔn)確挖掘出這些隱含條件，尤顯重要.（作者單位：甘肅省隴南市武都區(qū)兩水中學(xué) 746010）

第二篇：二項(xiàng)式定理問題的求解策略

二項(xiàng)式定理的常見問題及其求解策略

濟(jì)寧一中高一數(shù)學(xué)組

賈廣素 王艷英(郵編：272000)

電話：*** 二項(xiàng)式問題是歷年高考必定考查的內(nèi)容之一，這部分題目的難度不大，但需要一定的技巧和和求解策略，才能快速求解。本類題目首先需要明確研究的對(duì)象，即明確所要研究的是二項(xiàng)式系數(shù)還是二項(xiàng)式展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，從方法上來講，主要為公式法、性質(zhì)法和分析法等。下面就通過二項(xiàng)式定理中經(jīng)常出現(xiàn)的問題談一談這類題目的解法。

一、求展開式中的指定項(xiàng)、指定項(xiàng)的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)問題

此類問題的求解關(guān)鍵在于求出r的值，也可以說是求出指定項(xiàng)是第幾項(xiàng)。

1??例

1、?x??展開式中間的項(xiàng)是__________。

x??分析：由二項(xiàng)工系數(shù)的性質(zhì)知，若求展開式的中間項(xiàng)，只需判斷冪指數(shù)的奇、偶特征即可。因?yàn)?n是偶數(shù)，所以展開式的中間式是第n2n2n2n?n。根?1項(xiàng)，此時(shí)r?22據(jù)展開式的通項(xiàng)公式知：T2nnnn?1?nn?C2?x???(?1)C??n2n。

?x?例

2、在?x?3?610的展開式中，含x項(xiàng)的系數(shù)是（）。

4646A、?27C10

B、27C10

C、?9C10

D、9C10 解：Tr?1r10?r?C10x?3???r?0,1,2,?,10?，令10?r?6得r?4，r? 含x項(xiàng)的系數(shù)是C10(?10644，故選D。3)4?9C101??例

3、?x??的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_________。

3x??解：rTr?1?C10?x?10?r5?r?1?rr??3??C10???1??x6?r?0,1,2,?,10?，令

x??r55665?r?0解得r?6?常數(shù)項(xiàng)為T7?C10???1??210。

6二、近似計(jì)算問題

解決此類問題要注意題目要結(jié)果精確到什么或保留幾位有效數(shù)字，以便考慮最后一項(xiàng)的取舍，一般要四舍五入。求數(shù)的n次冪的近似值 時(shí)，把底數(shù)化為最靠近它的那個(gè)整數(shù)加一個(gè)小數(shù)(或減一個(gè)小數(shù))的形式。

例

4、求?3.002?6的近似值(精確到0.001)

6解：原式=(3+0.002)=36?6?35?0.002?15?34?0.0022?20?33?0.0023??

?729?2.916?0.00486?731.92086?731.921

三、整除與求余問題

此類題目往往考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明，但是步驟較為繁瑣，而用二項(xiàng)式定理證明則顯得更為簡(jiǎn)捷。

例

5、利用二項(xiàng)式定理證明：當(dāng)n?N?時(shí)，32n?2?8n?9能被64整除。

證明：32n?2?8n?9?9n?1?8n?9?(8?1)n?1?8n?9

1n2n?1n?12n?8n?1?Cn???Cn?1?8?Cn?1?8?1?8?Cn?1?8?1?8n?9 1n?223n?1?82?（8n?1?Cn。?Cn?1?8?1?8???Cn?1）1n?223n?1而8n?1?Cn?Cn?1?8?1?8???Cn?1?N?

?32n?2?8n?9能被64整除。

例

6、求C33?C33?C33???C33除以9 的余數(shù)。

解：由于C33?C33?C33???C33=233?1?811?1?(9?1)11?1

1210=911?C9?910?C9?99???C11?9?1?1 1210=9910?C9?99?C9?98???C11?2 1233312333???所求的余數(shù)為7。

四、證明有關(guān)的不等式問題

有些不等式可應(yīng)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合放縮法證明，即把二項(xiàng)展開式中的某些正項(xiàng)適當(dāng)刪去（縮?。?，或把某些負(fù)項(xiàng)刪去（放大），使等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后再根據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行證明。

?1?例

7、求證：2??1???3?n?2?。

?n?證明：?當(dāng)n?2時(shí)，n12?1?0112n1n011?1???Cn?Cn??Cn?()???Cn()?Cn?Cn??2。

nnnn?n?1?1?0112n1n又??1???Cn?Cn??Cn?()2???Cn()

nnn?n?＝2?nn11112(1?)?(1?)(1?)???3 2!n3!nnn ?不等式2????1?1?n???3?n?2?成立。

五、利用賦值法求各項(xiàng)系數(shù)的和的問題

例

8、設(shè)(1?x?x2)n?a0?a1x?a2x2???a2n2nx

求a1?a3?a5???a2n?1的值。

解：令x?1，得a0?a1?a2???a2n?3n ①

再令x??1得a0?a1?a2?a3???a2n?1?a2n?1 ①－②可得a3n?11?a3?a5???a2n?1＝2。

②。

第三篇：立體幾何中的最值問題

立體幾何中的最值問題

上猶中學(xué)數(shù)學(xué)教研組劉道生

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)科考試大綱指出，通過考試，讓學(xué)生提高多種能力，其中空間想象能力是對(duì)空間形式的觀察、分析、抽象的能力.要在立體幾何學(xué)習(xí)中形成。立體幾何主要研究空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，查遍近幾年全國(guó)各省市的高考題中，與空間圖形有關(guān)的線段、角、距離、面積、體積等最值問題常常在高考試題中出現(xiàn)，并且成增長(zhǎng)趨勢(shì)。下面舉例說明解決這類問題的常用方法。

策略

一、公理與定義法

例

1、在正四棱錐S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，S

底面邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P、Q分別在線段BD、SC上移動(dòng)，則P、Q兩點(diǎn)的最短距離為（）B

A.55 B.255 C.2D.1【解析】如圖1，由于點(diǎn)P、Q分別在線段BD、SC上移動(dòng)，先讓點(diǎn)P在BD上固定，Q在SC上移動(dòng)，當(dāng)OQ最小時(shí)，PQ最小。過O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，OQ?

P在BD上運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，PQ最小，2。又

5等于OQ的長(zhǎng)為2，也就是異面直線BD和SC的 5

公垂線段的長(zhǎng)。故選B。

策略二建立函數(shù)法

例2正?ABC的邊長(zhǎng)為a，沿BC的平行線PQ折疊，使平面A?PQ?平面BCQP，求四棱錐的棱A?B取得最小值時(shí)，四棱錐A??BCQP的體積。

分析：棱A?B的長(zhǎng)是由A?點(diǎn)到PQ的距離變化而變化，因此我們可建立棱A?B與點(diǎn)A?到PQ的距離的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，從而求出棱A?B的最小值，進(jìn)而求出體積。

【解析】如圖所示，取PQ中點(diǎn)o，顯然AO?PQ，即A?O?PQ

?

由平面A?PQ?平面BCQP，則A?O?平面BCQP，如圖建立直角坐標(biāo)系O?xyz，設(shè)

?3?

1?，得 A?O?x，因正?ABC的邊長(zhǎng)為a，易知A??0,0,x?,O?0,0,0?,B?a?x,?a,0?2?2?????3?11

???A?A???0,0,?x???a?x,?a,0???a?x,?a,?x?? 2222????

3??1?2??5

2????a????x?2?2x2?ax?a2?2?x???a?xa??a?2??2???4?8???

即當(dāng)x?

3a時(shí)，A?Bmin?a 4

423?11?3133a??2??SBCPQ?A?O???a?a???a? ???33?44?2??464

?VA??BCPQ

評(píng)注：對(duì)于圖形的翻折問題,關(guān)健是利用翻折前后不變的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系；同時(shí)還

要仔細(xì)觀察翻折前后圖形的性質(zhì)。很多情況下，我們都是把這類動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)，最終利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值。策略三；解不等式法

例3求半徑為R的球內(nèi)接正三棱錐體積的最大值。

分析:要使球內(nèi)接正三棱錐的體積最大,則需正三棱錐的邊或高最大,而高過球心,則可尋球高與半徑之間的關(guān)系。

【解析】如右圖所示，設(shè)正三棱錐高O1A=h,底面邊長(zhǎng)為a由正三棱錐性質(zhì)可知O1B

又知OA=OB=R則在Rt?ABC中，2a)?R2?(h?R)2? a2?3h(2R?h)

3?hh???2R?h1hh??R3 2V=2h(2R?h)?

(2R?

h)??2233????

(當(dāng)且僅當(dāng)

h4

?2R?h，即h?R時(shí)，取等號(hào))?正三棱錐體積最大值為

策略四；變量分析法

例4 如圖已知在?ABC中，?C?90，PA⊥平面ABC，AE⊥PB交PB于E，AF⊥PC于F，當(dāng)AP=AB=2，?AEF??，當(dāng)?變化時(shí)，求三棱錐P-AEF體積的最大值。

分析：?的變化是由ＡＣ與ＢＣ的變化引起的，要求三棱錐P-AEF的體積，則需找到三棱錐P-AEF的底面積和高，高為定值時(shí)，底面積最大，則體積最大。

【解析】∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC∴ PA⊥BC

又∵BC⊥AC，PA

?AC?

∴ BC⊥平面PAC，AF?平面PAC，∴ BC⊥AF，又∵ AF⊥PC，PC?BC?C∴AF?平面PBC平面PBC，∴AF⊥EF ∴ EF是AE在平面PBC上的射影，∵AE⊥PB，∴EF⊥PB∴ PE⊥平面AEF

在三棱錐P-AEF中，∵AP=AB=2，AE⊥PB，∴PE?2，AE?2，AF?2sin?，1112

sin2? EF?2cos?，VP?AEF?S?AEF?PE???2sin??2cos??2?

3326

∵0???

?，∴0?2???，0?sin2??1∴ 當(dāng)??

?

時(shí)，VP?AEF取得最大值為

。6

策略五：展開體圖法

例5.如圖3-1，四面體A-BCD的各面都是銳角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分別截棱AB、BC、CD、DA于點(diǎn)P、Q、R、S，A

C

則四邊形PQRS的周長(zhǎng)的最小值是（）

A.2a

B.2b

C.2c

D.a+b+c

D

圖

5【解析】如圖3-2，將四面體的側(cè)面展開成平面圖形。由于四面體各

側(cè)面均為銳角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A與A’、D與D’在四面體中是同一點(diǎn)，且AD//BC//A'D'，AB//CD'，A、C、A’共線，D、B、D’共線，AA'?DD'?2BD。又四邊形PQRS在展開圖中變?yōu)檎劬€S’PQRS，S’與S在四面體中是同

一點(diǎn)。因而當(dāng)P、Q、R在S’S上時(shí)，′

′

S'P?PQ?QR?RS最小，也就是四邊形

SPQRS周長(zhǎng)最小。又S'A?SA'，所以最小值L?SS'?DD'?2BD?2b。故選B。策略六 布列方程法

例

6、棱長(zhǎng)為2cm的正方形體容器盛滿水，把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒，然后再放入一個(gè)鐵球，使它淹沒水中，要 使流出來的水量最多，這個(gè)鐵球的半徑應(yīng) 該為多大？

【解析】：過正方形對(duì)角線的截面圖如圖所示，AC1?2，AO?

3AS?AO?OS??1設(shè)小球的半徑r，tan?C1AC?

2在?AO1D中，AO1?r，∴AS?AO1?O1S∴?1?3r?r，解得r?2?3（cm）為所求。

策略

七、極限思想法

【解析】三棱錐P-ABC中，若棱PA=x,其余棱長(zhǎng)均為1，探討x是否有最值；2若正三棱錐底面棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)均為1，探討其側(cè)棱否有最值。

解析：如圖第1題：當(dāng)P-ABC為三棱錐時(shí)，x的最小極限是 P、A重合，取值為0，若?PBC繞BC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，PA變大，最大極限是P,A,B,C共面時(shí)，PA為菱形ABPC

第2題：若P在底面的射影為O,易知PO越小，側(cè)棱越小。故P、O重合時(shí)，側(cè)棱取最小極

PO無窮大時(shí)，側(cè)棱也無窮大。可知兩題所問均無最值。策略

八、向量運(yùn)算法

例8.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-EFGH中，P是AF上的動(dòng)點(diǎn)，則GP+PB的最小值為_______。

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AE所在直線為x，y，z軸，建立如圖4所示

?，0，x)，的空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），G（1，1，1）。根據(jù)題意設(shè)P（x，0，x），則BP?(x?1?

GP?(x?1，?1，x?1)，那么

GP?PB?2x2?4x?3?2x2?2x?

12??2

2??211??????????x????0??

?2?(x?1)2??0??2?2??2????????

?2?1??1??2

???x????0??可以看成x軸正半軸上一點(diǎn)式子(x?1)??0?（x，??2?2??2???

0，0）到xAy平面上兩點(diǎn)?1?

??2??11?2，0?、?，的距離之和，其最小值為。所以0???2??22?

2GP+PB的最小值為2??

?2?2。2

[規(guī)律小結(jié)]

建立函數(shù)法是一種常用的最值方法，很多情況下，我們都是把這類動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)，最終利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值。解題途徑很多，在函數(shù)建成后，可用一次函數(shù)的端點(diǎn)法；二次數(shù)的配方法、公試法； 有界函數(shù)界值法（如三角函數(shù)等）及高階函數(shù)的拐點(diǎn)導(dǎo)數(shù)法等。

公理與定義法通常以公理與定義作依據(jù)，直接推理問題的最大值與最小值，一般的公理與定理有：兩點(diǎn)之間以線段為最短，分居在兩異面直線上的兩點(diǎn)的連線段中，以它們的公垂線段為短。球面上任意兩點(diǎn)間的連線中以過這兩點(diǎn)與球心的平面所得圓的劣弧長(zhǎng)為最短等。如果直接建立函數(shù)關(guān)系求之比較困難，而運(yùn)用兩異面直線公垂線段最短則是解決問題的捷徑。

解不等式法是解最值問題的常用方法、在立體幾何中同樣可利用不等式的性質(zhì)和一些變

a2?b

2?ab量的特殊不等關(guān)系求解：如

ab?

a?b

最小角定理所建立的不等關(guān)系2

等等。

展開體圖法是求立體幾何最值的一種特殊方法，也是一種常用的方法，它可將幾何題表面展開，也可將幾何體內(nèi)部的某些滿足條件的部分面展開成平面，這樣能使求解問題，變得十分直觀，由難化易。

變量分析法是我們要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在幾何體中的點(diǎn)、線、面，哪些在動(dòng)，哪些不動(dòng)，要分析透徹，明白它們之間的相互關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化成求某些線段或角等一些量的求解最值總題的方法。

除了上述5種常用方法外，還有一些使用并不普遍的特殊方法，可以讓我們達(dá)到求解最值問題的目的，這就是：布列方程法、極限思想法、向量計(jì)算法等等其各法的特點(diǎn)與普遍性，大家可以通過前述實(shí)例感受其精彩內(nèi)涵與真理所在。

在解題時(shí)，通常應(yīng)注意分析題目中所有的條件，首先應(yīng)該在充分理解題意的基礎(chǔ)上，分析是否能用公理與定義直接解決題中問題；如果不能，再看是否可將問題條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)，若能寫出確定的表意函數(shù)，則可用建立函數(shù)法求解；再不能，則要考慮其中是否存在不等關(guān)系，看是否能運(yùn)用解等不式法求解；還不行則應(yīng)考慮是否可將其體圖展開成平面，這樣依次從本文所標(biāo)定的方法順序思考，必能找到解題的途徑。

第四篇：含參不等式恒成立問題的求解策略

含參不等式恒成立問題的求解策略

授課人：李毅軍

“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來，其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特點(diǎn)而倍受高考、競(jìng)賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對(duì)鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨(dú)到的作用。現(xiàn)就結(jié)合實(shí)例談?wù)勥@類問題的一般求解策略。

一、最值法

一般的，若函數(shù)f(x)在定義域?yàn)镈，則當(dāng)x∈D時(shí)，有f(x)≥M恒成立?f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立?f(x)max≤M。因而，含參數(shù)不等式的恒成立問題常根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)的最值討論。

例1：已知a＞0，函數(shù)f(x)=ax－bx2，當(dāng)b＞1時(shí)，證明：對(duì)任意x∈[0，1]，|f(x)| ≤1的充要條件是b－1≤a≤2b。

二、分離參數(shù)法

例2：設(shè)f(x)=lg??1?2x???(n?1)x?nxa??n?，其中a是實(shí)數(shù)，n是任意給定的自

?然數(shù)且n≥2，若f(x)當(dāng)x∈???，1?時(shí)有意義，求a的取值范圍。

一般地，利用最值分離參數(shù)法來確定不等式f(x，?)≥0，（x∈D ?為實(shí)參數(shù)）恒成立中參數(shù)取值范圍的基本步驟：

（1）將參數(shù)與變量分離，即化為f1(?)≥f2(x)（或f2(?)≤f2(x)）的形式；（2）求f2(x)在x∈D時(shí)的最大（或最?。┲?；

（3）解不等式f1(?)≥f2max(x)（或≤f2min(x)）得?的取值范圍。

練習(xí)1：已知定義在R上函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在?0，???上是增函數(shù)，對(duì)于任意x∈R求實(shí)數(shù)m范圍，使f(cos2?－3)+f(4m－2mcos?)＞0恒成立。

練習(xí)2：設(shè)0＜a≤54，若滿足不等式|x－a|＜b的一切實(shí)數(shù)x，亦滿足不等式| x－a 2|

＜12，求正實(shí)數(shù)b的取值范圍。

練習(xí)3：已知向量a=(x2，x+1)，b=(1－x，t)。若函數(shù)f(x)=a·b在區(qū)間（－1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。

三、數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立的問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：

1．f(x)＞g(x)?函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方； 2．f(x)＜g(x)?函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象下方。

例3：若不等式3x2－logax＜0在x∈??1??0，3??內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

練習(xí)：設(shè)f(x)=?x2?4x，g(x)=43x+1－a，若恒有f(x)≤g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

四、主參換位法

某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會(huì)遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)，可考慮變換思維角度。即把變?cè)c參數(shù)換個(gè)位置，再結(jié)合其它知識(shí)，往往會(huì)取得出奇制勝的效果。

例4：若對(duì)于任意a∈??1，1?，函數(shù)f(x)=x2(a－4)x+4－2a的值恒大于0，求x的取值范圍。

五、利用集合與集合間的關(guān)系

在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來求解，即：[m，n]?[f(a)，g(a)]，則f(a)≤m且g(a)≥n，不等式的解即為實(shí)數(shù)a的取值范圍。

例5：當(dāng)x∈??1??3，3??時(shí)，|logax|＜1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

六、課后練習(xí)

1．已知函數(shù)f(x)=lg???x?ax?2???，若對(duì)任意x∈?2，???恒有f(x)＞0，試確定a的取值

范圍。

2．若(x，y)滿足方程x2+(y－1)2=1，不等式x+y+c≥0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。

n??3．若不等式???1?1?n??≤e對(duì)任意的n∈N*都成立，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求?的最大值。

4．定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log23且對(duì)任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，（1）求證f(x)為奇函數(shù)；

（2）若f(k·3x)+f(3x－9x－2)＜0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

第五篇：立體幾何的證明策略

立體幾何的證明策略：

幾何法證明

證明平行：3，2，11、線線平行：公理四，10頁(yè)

線面平行的性質(zhì)定理，課本20頁(yè)面面平行的性質(zhì)定理，36頁(yè)

2、線面平行：線面平行的判定定理，19頁(yè)面面平行的性質(zhì)，36頁(yè)

3、面面平行：面面平行的判定定理，35頁(yè) 證明垂直：2，2，11、線線垂直：平移，相交，解三角形線面垂直的定義，23頁(yè)

2、線面垂直：線面垂直的判定定理，24頁(yè)面面垂直的性質(zhì)定理，43頁(yè)

3、面面垂直：面面垂直的判定定理，43頁(yè) 向量法證明：

1、線線平行：??

a??b ????

2、線面平行：a??1b?2c

???????

3、面面平行：a??1c??2d且b??3b??4c ??

4、線線垂直：a?b?0

????

5、線面垂直：a?b?0且a?c?0

?????

6、面面垂直：n1?n2?0

求角的方法：

線線角：平移，相交，解三角形

??cos??a?b

| a|?b|||

線面角：斜線與射影夾角

??

?a?n

2?arcco|a

|?n|||

二面角：位置形狀兩個(gè)角度

位置：水平，豎直，有垂面（借助三垂線定理）形狀：等腰，直角，全等cos??

s1s

?????

與arccos|n1?n2

|n|相等或互補(bǔ) 1|?|n2|

求距離的方法

線線距離：公垂線段

轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離

??

d?|a??n

|n|

|其中a是斜向量 點(diǎn)面距離：垂線段（可以借助垂面）轉(zhuǎn)化為其他點(diǎn)到平面距離等體積法

??

d?|a?n

?|n|

|其中a是斜向量