第一篇：有關(guān)微分與積分章節(jié)知識點(diǎn)的總結(jié)

有關(guān)微分與積分章節(jié)知識點(diǎn)的總結(jié)

姜維謙PB0820706

3一元函數(shù)的積分

一．求不定積分

1.積分基本公式

2.換元積分法

湊微分法∫f(u(x))u’(x)dx=∫f(u(x))du(x)=F(u(x))+C

第二換元法∫f(x)dx=∫f(u(t))u’(t)dt=F(u-1(x))+C

注意：x=u(t)應(yīng)單調(diào)（可以反解）—不單調(diào)時應(yīng)分類討論(e:g開方去絕對值時)

3.分部積分法

∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)-∫v(x)du(x)

適用于解異名函數(shù)“反對冪三指”（與dx結(jié)合性遞增）

應(yīng)用：解二元方程，遞推式

e.g:①In=∫(lnx)n(次方)dx,n>=

1②In=∫dx/(x2+a2)^n(次方)，n>=1

4.模式函數(shù)：有理函數(shù)類

⑴整形分式—部分分式法（通解）

∫P(x)/Q(x)dx——分離常數(shù)得既約真分式與多項式——Q(x)因式分解化為部分分式和 ——待定系數(shù)后比較系數(shù)（還可以結(jié)合賦值，求導(dǎo)數(shù)，取極限等）

——化為Ik=∫dx/(x-a)^k(次方)類與Jk=∫(Bx+C)/(x2+bx+c)^k(次方)dx類積分 ⑵三角有理式

㈠萬能代換（通解）

㈡特殊代換R(cosx,sinx)=-R(cosx,-sinx)

R(cosx,sinx)=-R(-cosx,sinx)

R(cosx,sinx)=R(-cosx,-sinx)

⑶可有理化的無理式

㈠三角換元

㈡代數(shù)換元∫R(x,(ax+b)/(cx+d)^1/m(次方))

∫R(x,(ax2+bx+c)^1/2(次方))——Euler代換消除平方項

注：三角有理式，可有理化的無理式均可以通過代換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)有理函數(shù)形式后積分，但通解過程均較繁瑣。故而在求解有理函數(shù)類積分時應(yīng)適當(dāng)考慮湊配，變形等技巧并 利用上述1.2.3.常用方法簡化運(yùn)算詳見書P103

一．求定積分

1.N-L公式（形式直接易求）∫

在[a,b]上連續(xù)，x在[a,b]上)(積分形式的微積分基本定理)

~微分形式：F(x)=是f(t)的一個原函數(shù) 2.Riemann積分

步驟：分割——求和近似——取極限

~求極限（T

(注意x對應(yīng)的上下限)

3.換元法

’(t)dt

注：①只需注意上下限的變化（不同積分變元）

②變量代換思路：被積函數(shù)，積分上下限，無窮積分與常義積分的轉(zhuǎn)化

③觀察利用被積函數(shù)在積分區(qū)間上的對稱關(guān)系

&

e.g:Im=次方)dx=次方)dx

5.∞)

Cauchy

主值V.P.lim∫

V.P.lim∫∫

廣義積分也可以用上述1.3.4.解法求解

注：求定積分時應(yīng)結(jié)合分項積分與分段積分

二．積分的性質(zhì)運(yùn)用

1.單調(diào)性2.有界性3.積分絕對值三角不等式（Riemann和理解）

——用于放縮為“易積分形式”如常值積分

4.區(qū)間加合性 5.積分中值6.定理4.1.11

——有關(guān)積分不等式的證明

結(jié)合微分中值定理

結(jié)合Rolle定理

7．線性8.對稱性

F＇(x)=(=f(x)）’=f(Ψ(x))φ’(x)-f(φ(x))φ’(x)

---積分式求導(dǎo)—注意區(qū)分各步的積分與微分變元

~1.研究函數(shù)極值、拐點(diǎn)、單調(diào)性

2.結(jié)合R’H法則求極限

3．Rolle定理

五．定積分的應(yīng)用舉例（詳見書）

一元函數(shù)的微分

一．導(dǎo)數(shù)的求解

1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義

F’(x0)=lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)(x->x0)

~間斷點(diǎn)可導(dǎo)性判斷：比較limf’(x0)（x->x0）與lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)(x->x0)

2.復(fù)合函數(shù)

（f-1(y0)）’=1/f’(x0)(f(x)=f-1(y))

3.高階導(dǎo)數(shù)

㈠Leibniz定理（uv）^(n)(n階導(dǎo)數(shù))=Σ

㈡化積商形式為和差形式

e.g:y=Pn(x)

y=㏑(ax+b)&(c/(ax+b))^(n)

sinx^(n)=sin(x+nπ/2)

~求遞推關(guān)系

三．重要定理的運(yùn)用

Rolle——證明ε存在性的等式（微分式的轉(zhuǎn)化）

注意①輔助函數(shù)的構(gòu)造

②f(a)=f(b)形式

Lagrange中值——證明不等式

求未定式極限

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)

~研究函數(shù)性質(zhì)——單調(diào)性—不等式證明

求極小（大）值、最值

凹凸性判斷㈠定義㈡f’’(x)

漸近線求法①垂直漸近線②非垂直漸近線

Cauchy中值——證明不等式

求未定式極限

L’H法則注：①l可以無窮大，x0任意

②適用于0/0、∞/∞型，其他形式未定式應(yīng)做適當(dāng)轉(zhuǎn)化

Taylor公式——等價無窮小量

有關(guān)ε的恒等式證明

四．求未定式極限

㈠R’H法則（僅適用于未定式）

㈡中值定理

㈢重要極限~冪指函數(shù)的轉(zhuǎn)化

㈣等價無窮小量（因子替換）

㈤Taylor展開---統(tǒng)一形式

注：各種極限求法各有其使用范圍，在具體求解過程中還應(yīng)考慮比較優(yōu)化、綜合運(yùn)用

結(jié)語：由于個人對知識的理解有限，所以只能在知識點(diǎn)方面作出一點(diǎn)總結(jié)，而無法就某個方面作深入的探討。另外，鑒于本人對Word中數(shù)學(xué)語言表述的能力更加有限，在一些語言和

知識點(diǎn)上無法詳細(xì)闡明，并且版面質(zhì)量較差，敬請見諒姜維謙（PB08207063）

第二篇：第二章導(dǎo)數(shù)與微分總結(jié)

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分總結(jié)

一、導(dǎo)數(shù)與微分概念

1．導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量x在x0處有增量?x，相應(yīng)地函數(shù)增量?y?f?x0??x??f?x0?。如果極限

limf?x0??x??f?x0??y ?lim?x?0?x?x?0?x，存在，則稱此極限值為函數(shù)f?x?在x0處的導(dǎo)數(shù)（也稱微商），記作f??x0?，或y?x?x0df?x?dy，等，并稱函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處可導(dǎo)。如果上面的極限不存在，x?xx?xdxdx00則稱函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

導(dǎo)數(shù)定義的另一等價形式，令x?x0??x，?x?x?x0，則f??x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?xf?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?x

我們也引進(jìn)單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。

右導(dǎo)數(shù)：f???x0??lim?x?x0

左導(dǎo)數(shù)：f???x0??lim?x?x0

則有

f?x?在點(diǎn)x0處可導(dǎo)?f?x?在點(diǎn)x0處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相等。

2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義

如果函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)f??x0?存在，則在幾何上f??x0?表示曲線y?f?x?在點(diǎn)?x0,f?x0??處的切線的斜率。

切線方程：y?f?x0??f??x0??x?x0?

法線方程：y?f?x0???1?x?x0??f??x0??0? f??x0?

設(shè)物體作直線運(yùn)動時路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系為S?f?t?，如果f??t0?存在，則f??t0?表示物體在時刻t0時的瞬時速度。

3．函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系

如果函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f?x?在點(diǎn)x0處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn)x0處可導(dǎo)。例如，y?f?x??x，在x0?0處連續(xù)，卻不可導(dǎo)。

4．微分的定義

設(shè)函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處有增量?x時，如果函數(shù)的增量?y?f?x0??x??f?x0?有下面的表達(dá)式

?y?A?x0??x?o??x?

??x?0?

其中A?x0?為?x為無關(guān)，o??x?是?x?0時比?x高階的無窮小，則稱f?x?在x0處可微，并把?y中的主要線性部分A?x0??x稱為f?x?在x0處的微分，記以dy或

x?x0df?x?x?x0。

我們定義自變量的微分dx就是?x。

5．微分的幾何意義

?y?f?x0??x??f?x0?是曲線y?f?x?在點(diǎn)x0處相應(yīng)于自變量增量?x的縱坐標(biāo)f?x0?的增量，微分dy增量（見圖）。x?x0是曲線y?f?x?在點(diǎn)M0?x0,f?x0??處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的6．可微與可導(dǎo)的關(guān)系

f?x?在x0處可微?f?x?在x0處可導(dǎo)。

且dyx?x0?A?x0??x?f??x0?dx

一般地，y?f?x?則dy?f??x?dx

所以導(dǎo)數(shù)f??x??dy也稱為微商，就是微分之商的含義。dx

7．高階導(dǎo)數(shù)的概念

如果函數(shù)y?f?x?的導(dǎo)數(shù)y??f??x?在點(diǎn)x0處仍是可導(dǎo)的，則把y??f??x?在點(diǎn)x0處

d2y的導(dǎo)數(shù)稱為y?f?x?在點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)，記以y??，或f???x0?，或等，x?x0dx2x?x0也稱f?x?在點(diǎn)x0處二階可導(dǎo)。

如果y?f?x?的n?1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，稱為y?f?x?的n階導(dǎo)數(shù)，記以y?n?，dnyy?x?，n等，這時也稱y?f?x?是n階可導(dǎo)。

dx?n?

二、導(dǎo)數(shù)與微分計算

1．導(dǎo)數(shù)與微分表（略）

2．導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則

（1）四則運(yùn)算求導(dǎo)和微分公式

[f1f2]?f1f2?f1f2

[f1f2f3]?f1f2f3?f1f2f3?f1f2f3 '''''''f'f'g?fg'

()? 2gg

（2）反函數(shù)求導(dǎo)公式

設(shè)y?f(x)的反函數(shù)為x?g(y)，則g(y)?

（3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和微分公式

設(shè)y?f(u),u?g(x)，則

（4）隱函數(shù)求導(dǎo)法則

每一次對x求導(dǎo)，把y看作中間變量，然后解出y

例：ex?y''11? ''f(x)f[g(y)]dydydu??f'[g(x)]g'(x)dxdudx?sin(3x?2y)?5x?6y?7，確定y?y(x)，求y'

解：兩邊每一項對x求導(dǎo)，把y看作中間變量

ex?y(1?y')?[cos(3x?2y)](3?2y')?5?6y'?0

'

然后把y解出來

（5）對數(shù)求導(dǎo)法

取對數(shù)后，用隱函數(shù)求導(dǎo)法則

y?

lny?

求導(dǎo)得

(x?1)(x?2)

(x?3)(x?4)1[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)?ln(x?4)] 2y'11111?(???)y2x?1x?2x?3x?4

解出y'

y?xxx?0

xlnx

y?e 解出y'

lny?xlnx

y'?lnx?1解出y' y

（6）用參數(shù)表示函數(shù)的求導(dǎo)公式

dydydt?'(t)設(shè)x??(t),y??(t),則??dxdx?'(t)dt

(?'(t)?0)

第三篇：PID_調(diào)節(jié)比例積分微分作用的特點(diǎn)和規(guī)律總結(jié)

（一）在自動控制系統(tǒng)中，P、I、D調(diào)節(jié)是比例調(diào)節(jié)，積分調(diào)節(jié)和微分調(diào)節(jié)作用。調(diào)節(jié)控制質(zhì)量的好壞取決于控制規(guī)律的合理選取和參數(shù)的整定。在控制系統(tǒng)中總是希望被控參數(shù)穩(wěn)定在工藝要求的范圍內(nèi)。但在實(shí)際中被控參數(shù)總是與設(shè)定值有一定的差別。調(diào)節(jié)規(guī)律的選取原則為：調(diào)節(jié)規(guī)律有效，能迅速克服干擾。

比例、積分、微分之間的聯(lián)系與相匹配使用效果

比例調(diào)節(jié)簡單，控制及時，參數(shù)整定方便，控制結(jié)果有余差。因此，比例控制規(guī)律適應(yīng)于對象容量大負(fù)荷變化不大純滯后小，允許有余差存在的系統(tǒng)，一般可用于液位、次要壓力的控制。

比例積分控制作用為比例及時加上積分可以消除偏差。積分會使控制速度變慢，系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。比例積分適應(yīng)于對象滯后大，負(fù)荷變化較大，但變化速度緩慢并要求控制結(jié)果沒有余差。廣泛使用于流量，壓力，液位和那些沒有大的時間滯后的具體對象。

比例微分控制作用：響應(yīng)快、偏差小，能增加系統(tǒng)穩(wěn)定性，有超前控制作用，可以克服對象的慣性，控制結(jié)果有余差。適應(yīng)于對象滯后大，負(fù)荷變化不大，被控對象變化不頻繁，結(jié)果允許有余差的系統(tǒng)。

在自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)中，E=SP-PV。其中，E為偏差，SP為給定值，PV為測量值。當(dāng)SP大于PV時為正偏差，反之為負(fù)偏差。

比例調(diào)節(jié)作用的動作與偏差的大小成正比；當(dāng)比例度為100時，比例作用的輸出與偏差按各自量程范圍的1：1動作。當(dāng)比例度為10時，按lO：l動作。即比例度越小。比例作用越強(qiáng)。比例作用太強(qiáng)會引起振蕩。太弱會造成比例欠調(diào)，造成系統(tǒng)收斂過程的波動周期太多，衰減比太小。其作用是穩(wěn)定被調(diào)參數(shù)。積分調(diào)節(jié)作用的動作與偏差對時間的積分成正比。即偏差存在積分作用就會有輸出。它起著消除余差的作用。積分作用太強(qiáng)也會引起振蕩，太弱會使系統(tǒng)存在余差。

微分調(diào)節(jié)作用的動作與偏差的變化速度成正比。其效果是阻止被調(diào)參數(shù)的一切變化，有超前調(diào)節(jié)的作用。對滯后大的對象有很好的效果。但不能克服純滯后。適用于溫度調(diào)節(jié)。使用微分調(diào)節(jié)可使系統(tǒng)收斂周期的時間縮短。微分時間太長也會引起振蕩。

參數(shù)設(shè)定的方法一般是，先比例次積分后微分的順序進(jìn)行?？辞€調(diào)參數(shù)，從調(diào)節(jié)品質(zhì)的曲線逐步找到最佳參數(shù)．

在隨動系統(tǒng)中，采用數(shù)字PI控制可以達(dá)到控制精度高、無超調(diào)、響應(yīng)快、曲線擬合精度高等優(yōu)點(diǎn)，并簡化了控制電路。傳統(tǒng)的位置式PI算法一般是可以達(dá)到基本控制要求，但必須有一個前提：控制周期要足夠小。如果控制周期過長，曲線擬合差，要達(dá)到15％的曲線擬合誤差有點(diǎn)困難，甚至可能會造成系統(tǒng)失控，并造成對機(jī)械設(shè)備的損傷。因此，針對本文所提到的控制系統(tǒng)，不能簡單的采用位置式PI算法，而應(yīng)該對其進(jìn)行改進(jìn)，以適應(yīng)該控制系統(tǒng)的要求。

比例系數(shù)K是和每次采樣的偏差值有直接關(guān)系，因此提高Kp能使系統(tǒng)響應(yīng)較快；同時積分系數(shù)Ⅸ尾和前面所有的采樣偏差值有關(guān)，由于采樣周期長，每次采樣的誤差影響較大，因此降低積分系數(shù)對提高控制精度有好處。但提高比例系數(shù)和降低積分系數(shù)會使計算機(jī)每次輸出值的變化較大。

（二）PID控制(實(shí)際中還有僅用到PI和PD的控制)，就是根據(jù)系統(tǒng)的誤差或者加上系統(tǒng)誤差的變化率，利用比例、積分、微分計算出控制量進(jìn)行控制。任何閉環(huán)控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié)目標(biāo)是使系統(tǒng)的響應(yīng)達(dá)到快(快速)、準(zhǔn)(準(zhǔn)確)、穩(wěn)(穩(wěn)定)的最佳狀態(tài)，PID調(diào)整的主要工作就是如何實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。

增大比例P項將加快系統(tǒng)的響應(yīng)，其作用是放大誤差的幅值，它能快速影響系統(tǒng)的控制輸出值，但僅靠比例系數(shù)的作用，系統(tǒng)不能很好地穩(wěn)定在一個理想的數(shù)值，其結(jié)果是雖較能有效地克服擾動的影響，但有穩(wěn)態(tài)誤差出現(xiàn)。過大的比例系數(shù)還會使系統(tǒng)出現(xiàn)較大的超調(diào)并產(chǎn)生振蕩，使穩(wěn)定性變差。

積分I項的作用是消除穩(wěn)態(tài)誤差，它能對穩(wěn)定后有累積誤差的系統(tǒng)進(jìn)行誤差修整，減小穩(wěn)態(tài)誤差。在積分控制中，控制器的輸出與輸入誤差信號的積分成 正比關(guān)系。對一個自動控制系統(tǒng)，如果在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后存在穩(wěn)態(tài)誤差，則稱這個控制系統(tǒng)為有差系統(tǒng)。為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，在控制器中必須引入積分項。積分項 對誤差的作用取決于時間的積分，隨著時間的增加，積分項會增大。這樣，即便誤差很小，積分項也會隨著時間的增加而加大，它推動控制器的輸出向穩(wěn)態(tài)誤差 減小的方向變化，直到穩(wěn)態(tài)誤差等于零。

微分具有超前作用，對于具有滯后的控制系統(tǒng)，引入微分控制，在微分項設(shè)置得當(dāng)?shù)那闆r下，對于提高系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)有著顯著效果，它可以使系統(tǒng)超 調(diào)量減小，穩(wěn)定性增加，動態(tài)誤差減小。在微分控制中，控制器的輸出與輸入誤差信號的微分(即誤差的變化率)成正比關(guān)系。自動控制系統(tǒng)在克服誤差的調(diào)節(jié)過 程中可能會出現(xiàn)振蕩甚至失穩(wěn)，其原因是由于存在有較大慣性環(huán)節(jié)或滯后的被控對象，具有抑制誤差的作用，其變化總是落后于誤差的變化。解決的辦法是使抑制誤差作用的變化“超前”，即在誤差接近零時，抑制誤差的作用就應(yīng)該是零。微分項能預(yù)測誤差變化的趨勢，從而做到提前使抑制誤差的控制作用等于零，甚 至為負(fù)值，從而避免了被控量的嚴(yán)重超調(diào)，改善了系統(tǒng)在調(diào)節(jié)過程中的動態(tài)特性。

（三）PID控制器參數(shù)調(diào)節(jié)的方法很多，概括起來有兩大類：一是理論計算法，它主要是依據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過理論計算來確定控制器參數(shù)，這種方法可能會由于系統(tǒng)模型的不精確性使得所得到的PID參數(shù)不能直接應(yīng)用，還必須通過工程實(shí)際進(jìn)行調(diào)整和修改；二是工程方法，它主要依賴工程經(jīng)驗，直接在控制系統(tǒng)的試驗中進(jìn)行，該方法簡單、易于掌握，在工程實(shí)際中被廣泛采用。工程實(shí)際中，PID控制器參數(shù)的調(diào)節(jié)方法主要有臨界比例法、反應(yīng)曲線法和衰減法。3種方法各有其特點(diǎn)，其共同點(diǎn)都是通過試驗，然后按照工程經(jīng)驗公式對控制器參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。但無論采用哪一種方法所得到的控制器參數(shù)，都需要在實(shí)際運(yùn)行中進(jìn)行最后調(diào)整與完善?，F(xiàn)在一般采用的是臨界比例法，利用該方法進(jìn)行PID控制器參數(shù)的調(diào)節(jié)步驟如下：①首先預(yù)選擇一個足夠短的采樣周期讓系統(tǒng)工作；②僅加入比例控制環(huán)節(jié)，直到系統(tǒng)對輸入的階躍響應(yīng)表現(xiàn)出臨界振蕩，記下這時的比例放大系數(shù)和臨界振蕩周期；③在一定的控制度下通過公式計算得到PID控制器的參數(shù)。PID控制器參數(shù)的調(diào)試實(shí)例當(dāng)調(diào)速系統(tǒng)的各項基本參數(shù)設(shè)定后，接下來是調(diào)整PID參數(shù)以取得最理想的控制效果。下面以控制目標(biāo)為恒定轉(zhuǎn)速的柴油機(jī)電站的PID調(diào)節(jié)器為例，具體說明工程法的調(diào)節(jié)步驟。(1)比例參數(shù)：在保持轉(zhuǎn)速穩(wěn)定時應(yīng)使用最大比例增益。增加比例增益直到轉(zhuǎn)速開始波動，然后減小比例增益直到波動停止。如果一直沒有轉(zhuǎn)速波動，則抖動執(zhí)行器連桿，然后減小比例增益直到波動停止。但比例增益太大會導(dǎo)致系統(tǒng)轉(zhuǎn)速出現(xiàn)振蕩，這時應(yīng)減小比例增益。

(2)積分參數(shù)：在保持轉(zhuǎn)速穩(wěn)定時應(yīng)使用最大積分增益。增加積分增益直到轉(zhuǎn)速開始波動，然后減小積分增益直到波動停止。如果一直沒有轉(zhuǎn)速波動，則抖動執(zhí)行器連桿，然后減小積分增益直到波動停止。但積分增益太大會導(dǎo)致系統(tǒng)轉(zhuǎn)速出現(xiàn)振蕩，這時應(yīng)減小積分增益。

(3)微分參數(shù)：增加微分增益直到出現(xiàn)反應(yīng)對負(fù)載瞬變有最小的超調(diào)量。但微分增益太大也會導(dǎo)致系統(tǒng)轉(zhuǎn)速出現(xiàn)振蕩，這時應(yīng)減小微分增益。

(4)PID調(diào)整順序：調(diào)試時，可以先調(diào)比例參數(shù)，然后調(diào)積分參數(shù)，最后調(diào)微分參數(shù)，之后再調(diào)比例參數(shù)和積分參數(shù)。如果需要，重復(fù)進(jìn)行(1)～(3)步驟，直 至達(dá)到理想的效果。

PID控制是工程實(shí)際中應(yīng)用最為廣泛的調(diào)節(jié)器控制規(guī)律，它具有結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便等優(yōu)點(diǎn)。但在實(shí)際在線調(diào)試中，需要遵循一定的規(guī)律，掌握一定的調(diào)試技巧才能又快又好地將控制系統(tǒng)調(diào)整到最佳的效果。溫度控制系統(tǒng)具有非線性、時變性和滯后性的特性，并且鍋爐水溫控制系統(tǒng)中的循環(huán)水也是強(qiáng)干擾，增加了系統(tǒng)控制的復(fù)雜性，常規(guī)PID控制效果不太理想，而模糊PID參數(shù)自整定控制算法對于解決溫度系統(tǒng)中的非線性、時變性和大延時起到明顯的改善效果，對干擾也具有較好的抑制詞節(jié)能力。PID控制基礎(chǔ)理論

教學(xué)用PID參數(shù)調(diào)節(jié)實(shí)驗裝置的研究

當(dāng)前絕大多數(shù)生產(chǎn)過程的自動控制系統(tǒng)中采用的自動控制裝置，盡管它們的 結(jié)構(gòu)不同，但是它們具有的控制規(guī)律都是比例、積分和微分規(guī)律(即PID控制規(guī) 律)，敵稱之為PID控制器。在生產(chǎn)過程自動控制的發(fā)展過程中，PID控制器是 歷史最久、生命力最強(qiáng)的基本控制裝置。PID控制器具有以下優(yōu)點(diǎn)：(1)原理簡單，應(yīng)用方便。

(2)適應(yīng)性強(qiáng)。已經(jīng)廣泛應(yīng)用于電力、機(jī)械、化工、熱工、冶金、建材和 石油等各種蹩產(chǎn)部門。酃便是目前最薪發(fā)展的過程計算機(jī)控制系統(tǒng)，其基本的控 制規(guī)律仍然是PID控制規(guī)律。

(3)魯棒性強(qiáng)。即其控制品質(zhì)對被控對象特性的變化不敏感。大多數(shù)受控 對象在受到外界擾動時，尤其是當(dāng)外界負(fù)荷變化時，受控對象的動態(tài)特性往往會 有較大的變化，為了滿足要求的控制性能，就需要經(jīng)常改變控制器的參數(shù)，這是 很麻煩的。如果控制器的魯棒性好，就無需頻繁地改變控制器的參數(shù)。

第四篇：導(dǎo)數(shù)與微分(教案)

重慶工商大學(xué)融智學(xué)院

《微積分》教案

（上冊）

章節(jié)名稱： 第三章導(dǎo)數(shù)與微分 主講教師： 聯(lián)系方式：

岳斯瑋 ***

《微積分》（上冊）教案

第三章 導(dǎo)數(shù)與微分

本章教學(xué)目標(biāo)與要求

理解導(dǎo)數(shù)的概念，會利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)。了解導(dǎo)數(shù)的物理意義（速度），幾何意義（切線的斜率）和經(jīng)濟(jì)意義（邊際），掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。掌握反函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)法，對數(shù)求導(dǎo)法。理解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。理解微分的概念，導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系，以及一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。了解導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

本章教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

1．導(dǎo)數(shù)概念及其求導(dǎo)法則； 2．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；

4．微分的概念，可微和可導(dǎo)的關(guān)系，微分的計算

§3.1 導(dǎo)數(shù)的概念

教學(xué)目的與要求

1.理解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義.2.掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求平面曲線的切線和法線.3.了解導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系.4.理解左右導(dǎo)數(shù)的概念、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

1.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念、利用定義求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)過程

一、引例

導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat)為研究極值問題而引入的，但與導(dǎo)數(shù)概念直接相聯(lián)系的是以下兩個問題：已知運(yùn)動規(guī)律求速度和已知曲線求它的切線．這是由英國數(shù)學(xué)家牛頓(Newton)和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨(Leibniz)分別在研究力學(xué)和幾何學(xué)過程中建立起來的．

下面我們以這兩個問題為背景引入導(dǎo)數(shù)的概念．

《微積分》（上冊）教案

1．瞬時速度

思考：已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律為s?s(t)，t0為某一確定時刻，求質(zhì)點(diǎn)在t0時刻的速度。在中學(xué)里我們學(xué)過平均速度

?s，平均速度只能使我們對物體在一段時間內(nèi)的運(yùn)動大致?t情況有個了解，這不但對于火箭發(fā)射控制不夠，就是對于比火箭速度慢的多的火車、汽車運(yùn)行情況也是不夠的，火車上坡、下坡、轉(zhuǎn)彎、穿隧道時速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不僅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飛行速度的變化規(guī)律.不過瞬時速度的概念并不神秘，它可以通過平均速度的概念來把握.根據(jù)牛頓第一運(yùn)動定理，物體運(yùn)動具有慣性，不管它的速度變化多么快，在一段充分短的時間內(nèi)，它的速度變化總是不大的，可以近似看成勻速運(yùn)動.通常把這種近似代替稱為“以勻代不勻”.設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的路程是時間的函數(shù) s(t)，則質(zhì)點(diǎn)在 t0到 t0??t 這段時間內(nèi)的平均速度為

v?s(t0??t)?s(t0)

?t可以看出它是質(zhì)點(diǎn)在時刻t0速度的一個近似值，?t越小，平均速度 v 與 t0時刻的瞬時速度越接近.故當(dāng)?t?0時，平均速度v就發(fā)生了一個質(zhì)的飛躍，平均速度轉(zhuǎn)化為物體在t0時刻的瞬時速度，即物體在 t0時刻的瞬時速度為

v?limv?lim?t?0_s(t0??t)?s(t0)（1）

?t?0?t思考：按照這種思想和方法如何計算自由落體的瞬時速度？ 因為自由落體運(yùn)動的運(yùn)動方程為：

s?12gt，2按照上面的公式，可知自由落體運(yùn)動在t0時刻的瞬時速度為

112g(t0??t)2?gt0s(t??t)?s(t0)12v(t0)?lim0?lim2?lim(gt0?g?t)?gt0。?t?0?t?0?t?00?t?t2這正是我們高中物理上自由落體運(yùn)動的速度公式.2．切線的斜率

思考：圓的的切線的定義是什么？這個定義適用于一般的切線嗎？

引導(dǎo)學(xué)生得出答案：與圓只有一個交點(diǎn)的直線叫做圓的切線，但這個定義只適用于圓周曲線，并不適用于一般的曲線.因此，曲線的某一點(diǎn)的切線應(yīng)重新定義.（1）切線的概念

《微積分》（上冊）教案

曲線C上一點(diǎn)M的切線的是指：在M外另取C上的一點(diǎn)N，作割線MN，當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨向點(diǎn)M時，如果割線MN繞點(diǎn)M轉(zhuǎn)動而趨向極限位置MT，直線MT就叫做曲線C在點(diǎn)M處的切線。簡單說：切線是割線的極限位置。這里的極限位置的含義是：只要弦長MN趨于0，?NMT也趨向于0.（如圖所示）

（2）求切線的斜率

設(shè)曲線C為函數(shù)y?f(x)的圖形，M(x0,y0)?C，則y0?f(x0)，點(diǎn)N(x0??x,y0??y)為曲線C上一動點(diǎn)，割線MN的斜率為：

?yf(x0??x)?f(x0)??x?x根據(jù)切線的定義可知，當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于M時，即?x?0，割線的斜率趨向于切線的tan??斜率。也就是說，如果?x?0時，上式的極限存在，則此極限便為切線的斜率記為k，即

k?tan??limf(x0??x)?f(x0)?y

（2）?lim?x?0?x?x?0?x3.邊際成本

設(shè)某產(chǎn)品的成本C是產(chǎn)量x的函數(shù)C?C(x)，試確定產(chǎn)量為x0個單位時的邊際成本。用前兩例類似的方法處理得：

?CC(x0??x)?C(x0)表示由產(chǎn)量x0變到x0??x時的平均成本，如果極限 ??x?x?CC(x0??x)?C(x0)

（3）

lim??x?0?x?x存在，則此極限就表示產(chǎn)量為x0個單位時成本的變化率或邊際成本。

思考：上述三個問題的結(jié)果有沒有共同點(diǎn)？

上述兩問題中，第一個是物理學(xué)的問題，第二個是幾何學(xué)問題，第三個是經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，分屬不同的學(xué)科，但問題都?xì)w結(jié)到求形如

lim

?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x68

《微積分》（上冊）教案 的極限問題.事實(shí)上，在學(xué)習(xí)物理學(xué)時會發(fā)現(xiàn)，在計算諸如物質(zhì)比熱、電流強(qiáng)度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都?xì)w化為討論形如（4）的極限問題.為了統(tǒng)一解決這些問題，引進(jìn)“導(dǎo)數(shù)”的概念.二、導(dǎo)數(shù)的定義

1．導(dǎo)數(shù)的概念

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處取得增量?x（點(diǎn)x0??x仍在該鄰域內(nèi)）時，函數(shù)相應(yīng)地取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)，如果極限

f(x0??x)?f(x0)?y ?lim?x?0?x?x?0?xlim存在，則這個極限叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為

y'?x?x0,f(x0),dydxx?x0或df(x)dxx?x0

當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)存在時，就說函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，否則就說f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo).特別地，當(dāng)?x?0時，點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大.關(guān)于導(dǎo)數(shù)有幾點(diǎn)說明：

（1）導(dǎo)數(shù)除了定義中的形式外，也可以取不同的形式，常見的有

?y??，為了方便起見，有時就說y?f(x)在?xf?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)

hf(x)?f(x0)

x?x0f?(x0)?lim（2）

x?x0?yf(x0??x)?f(x0)反映是自變量 x 從x0改變到x0??x時，函數(shù)f(x)的??x?x?y'平均變化速度，稱為函數(shù)f(x)的平均變化率；而導(dǎo)數(shù)f(x0)?lim反映的是函數(shù)f(x)?x?0?x在點(diǎn)x0處的變化速度，稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的變化率。

2．導(dǎo)函數(shù)的概念

《微積分》（上冊）教案

上面講的是函數(shù)在某一點(diǎn)處可導(dǎo)，如果函數(shù)y?f(x)在開區(qū)間I的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)y?f(x)在開區(qū)間I上可導(dǎo)，這時，?x?I，都對應(yīng)f(x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值，就構(gòu)成一個新的函數(shù)，這個函數(shù)叫做y?f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作：

y',f'(x),即，導(dǎo)函數(shù)的定義式為：

dydf(x)?；騞xdxf(x??x)?f(x)f(x?h)?f(x)或f?(x)?lim.?x?0h?0?xh在這兩個式子中，x可以取區(qū)間I的任意數(shù)，然而在極限過程中，x是常量，?x或h才y??lim是變量；并且導(dǎo)數(shù)f(x0)恰是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值.''3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念

我們知道在極限有左、右極限之分，而導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是一個“比值”的極限。因此，根據(jù)左右極限的定義，不難得出函數(shù)左右導(dǎo)數(shù)的概念。

定義

極限lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)和lim?分別叫做函數(shù)?x?0?x?xf(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，記為f??(x0)和f??(x0).如同左、右極限與極限之間的關(guān)系，顯然：

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)f??(x0)和右導(dǎo)數(shù)f??(x0)都存在并且相等.還應(yīng)說明：如果f(x)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，且f??(a)和f??(b)都存在，就說f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo).三、按定義求導(dǎo)數(shù)舉例

1．根據(jù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可以總結(jié)出求函數(shù)某一點(diǎn)的步驟為： ① 求增量：?y?f(x??x)?f(x)

?yf(x??x)?f(x)??x?x?y③ 求極限：y??lim

?x?0?x2．運(yùn)用舉例 ② 算比值： 70

《微積分》（上冊）教案

例

1求y?C的導(dǎo)數(shù)（C為常數(shù)）.解 求增量?y?C?C?0

?y?0 ?x?y取極限

lim?0

?x?0?x作比值

所以

(C)?0

即常量的導(dǎo)數(shù)等于零.例

2求函數(shù)y?x(x?N)的導(dǎo)數(shù).解 ?y?(x??x)?x?nxnnn?1n?'?x?n(n?1)n?2x(?x)2???(?x)n，2!?yn(n?1)n?2?nxn?1?x?x???(?x)n?1，?x2!?yy'?lim?nxn?1，?x?0?x即

(xn)'?nxn?1

注意：以后會證明當(dāng)指數(shù)為任意實(shí)數(shù)時，公式仍成立，即

(x?)???x??1.'例如：(x)?(??R)

12x?1'，(x)??1x2

例3 求f(x)?sinx的導(dǎo)數(shù).解

(sinx)?lim'f(x?h)?f(x)sin(x?h)?sinx?lim

h?0h?0hhhsinh2?cosx ?limcos(x?)?h?0h22即

(sinx)'?cosx.用類似方法，可求得

(cosx)'??sinx.71

《微積分》（上冊）教案

例4 求y?logax(a?0,a?1)的導(dǎo)數(shù).hloga(1?)loga(x?h)?logaxx 解 y'?lim?limh?0h?0hhhloga(1?)x11hx??limlog(1?)h ?limah?0hxxh?0xx1?logae x所以

(logax)'?特別地，當(dāng)a?e時，有

1logae x(lnx)'?例5 教材例3.4 x

四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由前面對切線問題的討論及導(dǎo)數(shù)的定義可知：函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)在幾何上表示曲線y?f(x)在點(diǎn)M（x0,f(x0)）處的切線的斜率。因此，曲線y?f(x)在點(diǎn)M（x0,f(x0)）處的切線方程為

'y?y0?f?(x0)(x?x0).思考：曲線某一點(diǎn)處切線和法線有什么關(guān)系？能否根據(jù)點(diǎn)M處切線的斜率求點(diǎn)M處的法線方程？

根據(jù)法線的定義：過點(diǎn)M（x0,f(x0)）且垂直于曲線y?f(x)在該點(diǎn)處的切線的直線叫做曲線y?f(x)在點(diǎn)M（x0,f(x0)）處的法線.如果f(x0)?0，根據(jù)解析幾何的知識可知，切線與法線的斜率互為倒數(shù)，則可得點(diǎn)M處法線方程為：

y?y0??例6 求雙曲線y?程.1(x?x0).f?(x0)11在點(diǎn)(,2)處的切線的斜率，并寫出該點(diǎn)處的切線方程和法線方

2x 72

《微積分》（上冊）教案

解

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，所求的切線的斜率為：

k?y'所以切線的方程為

121?()'x12??1x212??4

1y?2??4(x?)，2即 4x?y?4?0.法線的方程為

11y?2?(x?)，42即

2x?8y?15?0.五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理 函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)連續(xù).證明：因為如果函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，即

?y?f?(x0)?x?0?x，lim從而有

?y?f?(x0)???x，其中，??0(?x?0)，于是

?y?f?(x0)?x???x，因而，當(dāng)?x?0時，有?y?0。這說明函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)。

思考：定理的逆命題成立嗎？

例7 討論函數(shù)f(x)?x在x?0處是否可導(dǎo)。解

因f??(0)?lim?f(0??x)?f(0)?x?lim??1，h?0h?0?x?xf(0??x)?f(0)??xf??(0)?lim??lim???1，h?0h?0?x?x即f(x)在點(diǎn)x?0處的左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)都存在但不相等，從而f(x)?x在x?0處不可導(dǎo)。

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注意：通過例7可知，函數(shù)f(x)?x在原點(diǎn)（0,0）處雖然連續(xù)，但該點(diǎn)卻不可導(dǎo)，所以函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，則一定連續(xù)，反之不一定成立.課堂小結(jié)

1.導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式：limf(x0??x)?f(x0)?y ?lim?x?0?x?x?0?x2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(C)'?0(x)?nxn'n?1(sinx)'?cosx(cosx)'??sinx

(logax)'?11logae(lnx)'?(ax)'?axlna(ex)'?ex xx3.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)連續(xù)，反之不一定成立。4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，在幾何表示為曲線在此點(diǎn)的切線的斜率。

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§3.2 求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式

教學(xué)目標(biāo)與要求

1.掌握并能運(yùn)用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 2.理解反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并能應(yīng)用；

3.理解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并會求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 4.掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法； 5.掌握并能運(yùn)用對數(shù)求導(dǎo)法；

6.熟記求導(dǎo)法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

教學(xué)重點(diǎn)與難度

1.會用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)； 2.會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 3.會求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

4.會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及能運(yùn)用對數(shù)求導(dǎo)法。

教學(xué)過程

前面，我們根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求出了一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。但是，如果對每一個函數(shù)都用定義去求它的導(dǎo)數(shù),有時候?qū)⑹且患浅?fù)雜或困難的事情。因此，本節(jié)介紹求導(dǎo)數(shù)的幾個基本法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。鑒于初等函數(shù)的定義，有了這些法則和公式，就能比較方便地求出常見的函數(shù)——初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

一、函數(shù)的和、差、積、商求導(dǎo)法則

1.函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則

定理1 函數(shù)u(x)與v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)y?u(x)?v(x)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且

y'?[u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x)。

同理可證：[u(x)?v(x)]?u(x)?v(x)即證。

''' 75

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注意：這個法則可以推廣到有限個函數(shù)的代數(shù)和，即

''[u1(x)?u2(x)???un(x)]'?u1'(x)?u2(x)???un(x)，即有限個函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和。

例1 教材例3.9

2.函數(shù)積的求導(dǎo)公式

定理2 函數(shù)u(x)與v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)y?u(x)?v(x)在點(diǎn)x也可導(dǎo)，且

y'?[u(x)?v(x)]'?u'(x)?v(x)?u(x)?v'(x)。

注意：1）特別地，當(dāng)u?c（c為常數(shù)）時，y'?[cv(x)]'?cv'(x)，即常數(shù)因子可以從導(dǎo)數(shù)的符號中提出來。而且將其與和、差的求導(dǎo)法則結(jié)合，可得：

y'?[au(x)?bv(x)]'?au'(x)?bv'(x)。

2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則，也可以推廣到有限個函數(shù)乘積的情形，即

''(u1u2?un)'?u1'u2?un?u1u2?un???u1u2?un。

例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

1）y?3x?2x?5x?4sinx；

2）y?3x?4lnx?5cosx。解 1）323

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2）y'?4x?4?5sinx x3例3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（教材例3.10）。

sinx；

2）y?x?1）y?x?4x?lnx?cosx

解

1）3y'?(x3?4x?sinx)'?(x3)'?4[(x)'sinx?x(sinx)'] 2sinx?3x?4(?sinx?x?cosx)?3x??4x?cosx2xx2122）

y'?(x3?lnx?cosx)'?(x3)'?lnx?cosx?x3?(lnx)'?cosx?x3?lnx?(cosx)'1?3x2?lnx?cosx?x3??cosx?x3?lnx?sinxx?x2(3lnx?cosx?cosx?x?lnx?sinx)

3.函數(shù)商的求導(dǎo)法則

定理3 函數(shù)u(x)與v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且v(x)?0，則函數(shù)y?導(dǎo)，且

u(x)在點(diǎn)x處也可v(x)u(x)'u'(x)?v(x)?u(x)?v'(x)y?[]?。

v(x)v2(x)'

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注意：特別地，當(dāng)u?c（c為常數(shù)）時，c'cv'(x)y?[]??2(v(x)?0)。

v(x)v(x)'

思考：請各位同學(xué)總結(jié)一下三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

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總結(jié)：根據(jù)上一節(jié)中求出的正弦和余弦的導(dǎo)數(shù)公式，可得三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：

二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

想一想：在基本初等函數(shù)中，還有那么函數(shù)沒有求導(dǎo)法則？

在基本初等函數(shù)中，我們還有反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法沒有討論，如何求呢？易知，反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)分別是三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。能否通過三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)呢？這是可以的，這就是我們下面將要介紹的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

定理4 設(shè)函數(shù)y?f(x)在某一區(qū)間是單調(diào)連續(xù)，在區(qū)間任一點(diǎn)x處可導(dǎo)，且f(x)?0，則它的反函數(shù)x?f?1(y)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也處處可導(dǎo)，且

[f?1(x)]'?或 f'(x)[f(x)]'?1

[f?1(x)]'?1證 因為函數(shù)y?f(x)在某一區(qū)間內(nèi)是單調(diào)連續(xù)函數(shù)，可知其反函數(shù)x?f應(yīng)區(qū)間內(nèi)也是單調(diào)連續(xù)函數(shù)。

當(dāng)y?f(x)的反函數(shù)x?f的單調(diào)性知?x?f?1?1(y)在相

?1(y)的自變量y取得改變量?y(?y?0)時，由x?f(y)(y??y)?f?1(y)?0，于是

?x1 ??y?y?x

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又因為x?f?1(y)連續(xù)，所以當(dāng)?y?0時，?x?0。由條件知f(x)?0，所以

[f?1(y)]'?lim故

?x111 ?lim??'?y?0?y?x?0?y?yf(x)lim?x?0?x?x11'或。[f(x)]?f'(x)[f?1(x)]'[f?1(x)]'?即證。

例6 求下列反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

1）y?arcsinx；

2）y?arccosx；

3）y?arctanx；

4）y?arccotx。

例7 求函數(shù)y?a(a?0,a?1)的導(dǎo)數(shù)。

解 由于y?a(x?(??,??))為對數(shù)函數(shù)x?logay(y?(0,??))的反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則得 xxy'?(ax)'?所以，指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為

1x?y?lna?alna '(logay)(ax)'?axlna

特別地，當(dāng)a?e時，有

(ex)'?ex

三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

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綜上，我們對基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都進(jìn)行討論，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，以及求導(dǎo)法則，就可以求一些較復(fù)雜的初等函數(shù)了。但是，在初等函數(shù)的構(gòu)成過程中，除了四則運(yùn)算外，還有復(fù)合函數(shù)形式，例如：y?sin2x。

思考：如果y?sin2x，是否有(sin2x)?cos2x？

因此，要完全解決初等函數(shù)的求導(dǎo)法則還必須研究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

定理 設(shè)函數(shù)u??(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)ux??(x)，函數(shù)y?f(u)在對應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)yu?f(u)，則復(fù)合函數(shù)y?f[?(x)]在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且 '''''(f[?(x)])'?f'(u)??'(x)

簡記為dydydu'''?yu?ux。??或yxdxdudx（證明略）

注意：（1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則表明：復(fù)合函數(shù)對自變量的的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對中間變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo)。這種從外向內(nèi)逐層的求導(dǎo)的方法，形象稱為鏈?zhǔn)椒▌t。

（2）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到有限個中間變量的情形。例如，設(shè)y?f(u)，u?g(v),v??(x)，則

dydydudv''''?yu?uv?vx ???或yxdxdudvdx（3）在熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，求導(dǎo)時不必寫出具體的復(fù)合步驟。只需記住哪些變量是自變量，哪些變量是中間變量，然后由外向內(nèi)逐層依次求導(dǎo)。

例8

教材例3.15 例9

教材例3.16 例10 求冪函數(shù)y?x的導(dǎo)數(shù)。

u

例11 教材例3.17（抽象函數(shù)求導(dǎo)）例12 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

1）y?f()；

2）y?e1xf(x)。

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四、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及對數(shù)求導(dǎo)法

1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（1）隱函數(shù)的概念

函數(shù)y?f(x)表示兩個變量y與x之間的對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系可以用各種不同的方式表達(dá)。例如y?sinx,y?lnx?1等，用這種方式表達(dá)的函數(shù)稱為y是x得顯函數(shù)。而有些函數(shù)自變量x與因變量y之間的對應(yīng)規(guī)律是由一個包含x，y的方程F(x,y)?0來確定的，例如x?y?1,y?5y?x?0等，用這種方式表達(dá)的函數(shù)稱為y為x的隱函數(shù)。

（2）隱函數(shù)的求導(dǎo)方法

1）可以化為顯函數(shù)的隱函數(shù)：先化為顯函數(shù)，再用前面所學(xué)的方法求導(dǎo)。

2）不易或不能化為顯函數(shù)的隱函數(shù)：將方程兩邊同時對自變量x求導(dǎo)，對與只含x的項，按通常的方法求導(dǎo)，對于含有y以及y的函數(shù)的項求導(dǎo)時，則分別作為x的函數(shù)和x的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。這樣求導(dǎo)后，就得到一個含有x，y，y的等式，從等式中解出y，即得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（3）隱函數(shù)求導(dǎo)舉例

例13（教材例3.18）由方程e?xy?e?0確定y是x得函數(shù)，求y的導(dǎo)數(shù)。解

將方程中的y看成x的函數(shù)y?f(x)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將方程兩邊同時對x求導(dǎo)得

y2235''ey?y'?y?x?y'?0?0，解出y??'yy(x?e?0)。yx?e

例1

4教材例3.19

2.對數(shù)求導(dǎo)法

（1）方法

對于某些類型的函數(shù)，可以采用先取對數(shù)，變成隱函數(shù)，利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法：對x求導(dǎo),解出y的方法求導(dǎo)。即所謂的對數(shù)求導(dǎo)法。

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（2）適用范圍：

對數(shù)求導(dǎo)法對冪指函數(shù)y?[f(x)]g(x)與多個函數(shù)乘積的形式特別方便。它可以使積、商導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算化為和、差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算。

例1

5求函數(shù)y?x(x?0)的導(dǎo)數(shù)。

x

例16 教材例3.22

課堂小結(jié)

想一想：求導(dǎo)法則、基本初等函數(shù)的公式、反函數(shù)求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則？

通過本節(jié)以及上一節(jié)學(xué)習(xí)，到目前為止。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了全部初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和函數(shù)的求導(dǎo)法則，以及反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。從而解決了初等函數(shù)的求導(dǎo)問題。這些公式和法則是基礎(chǔ)，所以，必須要牢記和熟記。歸納如下：

1.求導(dǎo)法則

（1）[u?v]?u?v

（2）(uv)?uv?uv ''''''u'u'v?uv'(v?0)（3）(cu)?cu（c為常數(shù)）

（4）()?vv2''c'cv'（5）()??2（c為常數(shù)）

vv（6）[f'?1(y)]'?''1(f'(x)?0)'f(x)ux，其中y?f(u),u??(x)（7）yx?yu? 83

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2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

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§3.3 高階導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目標(biāo)與要求

1.高階導(dǎo)數(shù)的定義以及求法； 2.熟記一些常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式。

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

高階導(dǎo)數(shù)的求法

教學(xué)過程

一、回顧一階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念

1．導(dǎo)數(shù)的定義 2．到函數(shù)的概念

二、高階導(dǎo)數(shù)

1.高階導(dǎo)數(shù)的定義

思考：什么是變速直線運(yùn)動物體的加速度？

前面講過，若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程s?s(t)，則物體的運(yùn)動速度為v(t)?s?(t)，或v(t)?ds，dt而加速度a(t)是速度v(t)對時間t的變化率，即a(t)是速度v(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)：??a(t)?dvdt???dds由上可見，加速度?是s(t)的()或??v?(t)?(s?(t))?，dtdt導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這樣就產(chǎn)生了高階導(dǎo)數(shù)，一般地，先給出下列定義：

定義 若函數(shù)y?f(x)的導(dǎo)函數(shù)f?(x)在x點(diǎn)可導(dǎo)，就稱f?(x)在點(diǎn)x的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)

d2yddyy?f(x)在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)，記為y,f(x)或2?()，即

dxdxdx''''f'(x??x)?f'(x)y?f(x)?lim，?x?0?x''''此時，也稱函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x處二階可導(dǎo)。

關(guān)于高階導(dǎo)數(shù)有以下幾點(diǎn)說明：

1）若y?f(x)在區(qū)間I上的每一點(diǎn)都二次可導(dǎo)，則稱f(x)在區(qū)間I上二次可導(dǎo)，并稱f??(x),x?I為f(x)在I上的二階導(dǎo)函數(shù)，簡稱二階導(dǎo)數(shù)；

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2）仿上定義，由二階導(dǎo)數(shù)f??(x)可定義三階導(dǎo)數(shù)f???(x)，即

f''(x??x)?f''(x)。y?f(x)?lim?x?0?x''''''由三階導(dǎo)數(shù)f???(x)可定義四階導(dǎo)數(shù)f導(dǎo)數(shù)f(n)(4)(x)，一般地，可由n?1階導(dǎo)數(shù)f(n?1)(x)定義n階(x)；

3）二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)函數(shù)分別記為：f(n)(x0)，y(n)dny(x0)，ndxx?x0dnf或dxnx?x0與f(n)(x),y(n)dnydnf(x),n或n；

dxdxd2s

4）開始所述的加速度就是s對t的二階導(dǎo)數(shù)，依上記法，可記??或??s??(t)； 2dt

5）未必任何函數(shù)所有高階都存在；

6）由定義不難知道，對y?f(x)，其導(dǎo)數(shù)（也稱為一階導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為四階導(dǎo)數(shù)，一般地，n?1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為n階導(dǎo)數(shù)，否則，因此，求高階導(dǎo)數(shù)是一個逐次向上求導(dǎo)的過程，無須其它新方法，只用前面的求導(dǎo)方法就可以了。

2.求高階導(dǎo)數(shù)舉例

例

1y?ax?bx?c，求y??,y???,y解

y??2ax?b例2 教材例3.23

例3 y?e，求各階導(dǎo)數(shù)。解

y??e，y???e，y????e，y

即(e)

例

4y?sinx，求各階導(dǎo)數(shù)。解 y?sinx,x(n)xxx(4)x2(4)。

?y???2a?y????0,y(4)?0。

?ex，顯然易見，對任何n，有y(n)?ex，?ex。

y??cosx?sinx(??2)

《微積分》（上冊）教案

y????sinx?sinx(??)?sinx(?2?

y?????cosx??sinx(??2)

?2)?sinx(????)?sinx(?3?)

22?

y(4)?sinx?sinx(?2?)?sinx(?4?

??

一般地，有y(n)?sin(x?n?2)

?)，即(sinx)(n)?sinx(?n)。

22?

同樣可求得(coxs)(n)?cosx(?n

?2)。

例

5y?ln1(?x)，求各階導(dǎo)數(shù)。解

y?ln1(?x)，y??11?21???y?，y????，1?x(1?x)2(1?x)y(4)??1?2?3，?? 4(1?x)(n)

一般地，有

y?(?1)n?1(n?1)!n(1?x)(n)

即

(ln(1?x))?(?1)n?1(n?1)!。

(1?x)n例6

y?x，?為任意常數(shù)，求各階導(dǎo)數(shù)。解

y?x，y???x

y一般地，y(4)????1,y????(??1)x??2，y?????(??1)(??2)x??3，??(??1)(??2)(??3)x??4，??(??1)(??2)??(??n?1)x??n ??(??1)(??2)??(??n?1)x??n。(n)即

(x)?(n)當(dāng)??k為正整數(shù)時，n?k時，(x)

n?k時，(x)

n?k時，(x)kkk(n)?k(k?1)(k?2)??(k?n?1)xk?n；

(k)?k!(?n!)； ?0。(n)87

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注意：上述例子中，所得的結(jié)論是一些常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式，因此。請各位同學(xué)牢記，以后直接作為公式應(yīng)用。為了便于同學(xué)們掌握，特歸納如下：

課堂小結(jié)

1.二節(jié)導(dǎo)數(shù)的定義是什么？ 2.常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式。

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§3.4 函數(shù)的微分

教學(xué)目標(biāo)與要求

1.理解函數(shù)微分的定義以及可微與可導(dǎo)的關(guān)系； 2.知道微分的幾何意義；

3.掌握微分的基本公式和運(yùn)算法則。

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

1． 微分的定義的理解；

2． 微分的基本公式和運(yùn)算法則的運(yùn)用。

教學(xué)過程

一、微分的定義

1.微分的定義

思考：在學(xué)習(xí)微分之前，請同學(xué)們想一想，導(dǎo)數(shù)有何實(shí)際意義？

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識，知道導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)相對于自變量的變化快慢的程度。在實(shí)際生活中，還會經(jīng)常遇到與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的一種問題，即在運(yùn)動或變化過程中，當(dāng)自變量有一個微小的改變量時，要計算相應(yīng)的函數(shù)改變量。但是，通常，計算函數(shù)的改變量是比較困難的，因此，希望能找到函數(shù)改變量的一個便于計算的近似表達(dá)式，這樣就引入了微分學(xué)中的另一個重要概念——微分。

那么，微分的定義是什么呢？首先，我們通過一個簡單的例子來體會一下微分的思想。引例：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由x0變到x0??x(?x?0)，如圖所示，問此薄片的面積改變了多少？

《微積分》（上冊）教案

設(shè)正方形的邊長為x，面積為S，則有S?x。因此，當(dāng)薄片受溫度變化的影響時面積改變量可以看成是當(dāng)自變量x由由x0變到x0??x(?x?0)時，函數(shù)S?x相應(yīng)的改變量

2?2x0?x?(?x)2。?S。即?S?(x0??x)2?x022從上式可以看出，?S由兩部分構(gòu)成： 1）第一部分2x0?x是?x的線性函數(shù)；

2）第二部分(?x)，當(dāng)?x?0時，是比?x高階的無窮小。

于是，當(dāng)?x很小時，面積S的增量?S可以近似地用其線性主部2x0?x來代替。即2?S?2x0?x。

數(shù)學(xué)上，這樣的例子有很多，思考：是否所有函數(shù)的?y都可以分成兩部分：一部分是?x的線性部分，其余部分是?x的高階無窮?。?/p>

并不是所有函數(shù)的?y都具有上述特點(diǎn)，數(shù)學(xué)上，將具有上述特性的函數(shù)的?x的線性部分稱為函數(shù)的微分。因此，微分的定義如下;定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在某區(qū)間內(nèi)由定義，x及x??x在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量?y?f(x??x)?f(x)可以表示為

?y?A??x?o(?x)，其中A是不依賴?x的常數(shù)，而o(?x)是?x的高階無窮小量。則稱函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x處可微，并稱A??x為函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x處的微分，記為dy或df(x)，即

dy?A??x或df(x)?A??x。

《微積分》（上冊）教案

如果改變量?y不能表示為?y?A??x?o(?x)的形式，則稱函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x處不可微或微分不存在。

根據(jù)微分定義，易知：

2．微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

注意：

《微積分》（上冊）教案

綜上可知，求微分的問題可歸結(jié)為求導(dǎo)數(shù)的問題，因此求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法稱為微分法。

二、微分的幾何意義

設(shè)函數(shù)y?f(x)的圖形如圖所示，過曲線y?f(x)上一點(diǎn)M(x,y)處作切線

tan??f?(x)MT，設(shè)MT的傾角為?，則

當(dāng)自變量x有增量?x時，切線MT的縱坐標(biāo)相應(yīng)地有增量

QP?tan???x?f?(x)??x?dy

因此，微分dy點(diǎn)M(x,?f?(x)?x幾何上表示當(dāng)自變量x有增量?x時，曲線y?f(x)在對應(yīng)y)處的切線MT的縱坐標(biāo)的增量.由dy近似代替?y就是用點(diǎn)M處的縱坐標(biāo)的增量QP近似代替曲線y?f(x)的縱坐標(biāo)的增量QN。由圖可知，函數(shù)的微分dy與函數(shù)的增量?y相差的量在圖中以PN表示，當(dāng)?x?0時，變動的PN是?x的高階無窮小量.因此，在點(diǎn)M的鄰近，可以用切線段來近似代替曲線段。簡稱“以直代曲”。

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三、微分的基本公式與運(yùn)算法則

由微分的定義dy?f(x)dx可以看出，要計算函數(shù)的微分，只要計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分。因此，利用函數(shù)求導(dǎo)的基本公式和運(yùn)算法則，可得出求函數(shù)微分的基本公式和運(yùn)算法則.為使用方便，列出如下.'1.微分公式

（1）dC?0

（C為任意常數(shù)）

?（2）d(x（3）d(a)???x??1dx

（?為任意實(shí)數(shù)）)??x?lnadx

（??0且??1）特殊

d(ex)?exdx x（4）d(loga（5）

x)?11dx（??0且??1）特殊

d(lnx)?dx xlnaxd(sinx)?cosxdx

d(cosx)??sinxdx

22d(tanx)?secxdx

d(cotx)??cscxdx

d(secx)?secx?tanxdx

d(cscx)??cscx?cotxdx

（6）d(arcsinx)?11?x2dx(?1?x?1)dx(?1?x?1)d(arccosx)??11?x211dx d(arctanx)?dx

d(arccotx)??1?x21?x2

2．微分的運(yùn)算法則

d(u?v)?du?dv

d(Cu)?Cdu

（C為任意常數(shù)）d(uv)?udv?vdu

?u?vdu?udvd??? 2v?v?

（證明略）

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3．復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)函數(shù)y?f(u),u??(x)分別關(guān)于u和x可導(dǎo)，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可知

'''yx?yu?ux?f'(u)??'(x)

于是，根據(jù)微分的定義有

'dy?yxdx?f'(u)??'(x)dx

并且du??(x)dx。所以，dy?f(u)du或dy?yudu。

注意：由此可見不管自變量u是自變量還是中間變量，微分的形式dy?f(u)du總保持不變，我們稱此性質(zhì)為微分形式的不變性。

''''4．微分的運(yùn)算舉例

例3 教材例3.27

例4 教材例3.28

《微積分》（上冊）教案

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課堂小結(jié)

1.微分的概念； 2.微分的幾何意義； 3.微分的基本公式 4.微分的運(yùn)算法則。

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§3.5 導(dǎo)數(shù)與微分的簡單應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)與要求

1.掌握導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用：邊際分析與彈性分析 2.了解微分的應(yīng)用：近似計算與誤差分析

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

理解并能運(yùn)用邊際分析與彈性分析

教學(xué)過程

一、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

邊際與彈性是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的兩個重要概念。從實(shí)質(zhì)上講，它們都是變量的某種增量比的極限。由于增量比值的極限總與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，而許多經(jīng)濟(jì)函數(shù)又均可視為一個連續(xù)、可導(dǎo)的函數(shù)，因此可利用導(dǎo)數(shù)的概念來研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際和彈性。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常把用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量邊際和彈性的方法，稱為邊際分析與彈性分析。下面我們就具體來介紹邊際分析與彈性分析.（一）邊際與邊際分析

1．函數(shù)的變化率與邊際函數(shù)

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常常用到平均變化率與邊際這兩個概念。設(shè)函數(shù)y?f(x)可導(dǎo)，在數(shù)量關(guān)系上，1）平均變化率指的是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值，如果用函數(shù)形式來表示的話，就是?yf(x0??x)?f(x0)，它表示在(x0,x0??x)內(nèi)f(x)的平均變化速度。??x?x?y'2）而邊際則是自變量的改變量?x趨于零時的極限，即f(x)，可以說，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

?x'在經(jīng)濟(jì)學(xué)上就是邊際，f(x)在點(diǎn)x?x0的導(dǎo)數(shù)f(x0)稱為f(x)在點(diǎn)x?x0的邊際函數(shù)值，f'(x0)表示f(x)在點(diǎn)x?x0處的變化速度。

值得注意是：

對于經(jīng)濟(jì)函數(shù)f(x)，經(jīng)濟(jì)變量x在x0有一個改變量?x，則經(jīng)濟(jì)變量y的值也有一個相應(yīng)的改變量為

?y?f(x0??x)?f(x0)?f'(x0)?x

特別是，當(dāng)?x?1時，則?y?f(x0)。這就說明當(dāng)x在x0改變“一個單位”時，y相應(yīng)地近似改變f(x0)個單位。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家常常略去“近似”而直接說y改變f(x0)

'''《微積分》（上冊）教案

個單位，這就是邊際函數(shù)值的含義。

2．邊際成本

設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)q個單位時的總成本為C = C(q)，當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到q 個單位時，任給產(chǎn)量一個增量?q，相應(yīng)的總成本將增加?C?C(q??q)?C(q)，于是再生產(chǎn)?q個單位時的平均成本為(總成本在產(chǎn)量從q變到q+?q時的平均變化率)：

C??CC(q??q)?C(q)??q?q如果總成本為C = C(q)在q可導(dǎo)，那么，C?(q)?limC(q??q)?C(q)

?q?0?q稱為產(chǎn)量為q個單位時的邊際成本，一般記為： CM(q)?C?(q)。

邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到q 個單位時，再增加一個單位的產(chǎn)量，即。?q?1時，總成本將增加C?(q)個單位（近似值）例1 設(shè)一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的日產(chǎn)量為800臺，日產(chǎn)量為q個單位時的總成本函數(shù)為：

C(q)?0.1q2?2q?5000

求（1）產(chǎn)量為600臺時的總成本；

（2）產(chǎn)量為600臺時的平均總成本；

（3）產(chǎn)量由600臺增加到700臺時總成本的平均變化率；

（4）產(chǎn)量為600臺時的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。

解（1）C(600)?0.1?600?2?600?5000?42200；

（2）C(600)?

（3）

2C(600)211 ?6003?CC(700)?C(600)??132 ?q100

（4）CM(600)?0.2?600?2?122

這說明，當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到600臺時，再增加一臺的產(chǎn)量，總成本大約增加122。3．邊際收益

設(shè)某商品銷售量為q個單位時的總收入函數(shù)為R = R(q)，當(dāng)銷量達(dá)到q 個單位時，再給銷量一個增量?q，其相應(yīng)的總收入將增加?R?R(q??q)?R(q)，于是再多銷售?q個單位時的平均收益為：

《微積分》（上冊）教案

R??RR(q??q)?R(q)??q?q如果總收入函數(shù)R = R(q)在q可導(dǎo)，那么，R?(q)?limR(q??q)?R(q)

?q?0?q稱為銷售量為q個單位時的邊際收入，一般記為：RM(q)?R?(q)

邊際收入的經(jīng)濟(jì)意義是：銷售量達(dá)到q個單位的時候，再增加一個單位的銷量，即?q?1時，相應(yīng)的總收入增加R?(q)個單位。

例3設(shè)某種電器的需求價格函數(shù)為：q?120?4p。其中，p為銷售價格，q為需求量。求銷售量為60件時的邊際收益，銷售量達(dá)到70件時，邊際收益如何？并作出相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)解釋。（單位：元）

1q)

41'于是，銷售量為60件時的總收入為：R(q)?30?p（元）；

41所以，銷售量為60件時的邊際收益為：RM(60)?R?(60)?30??60?0。

2解 由已知總收入函數(shù)為： R?pq?q(30?這說明，當(dāng)銷售量達(dá)到60件時，再增加一件的銷量，不增加總收入。

銷售量為70件時的邊際收益為：RM(70)?R?(70)?30?1?70??5。

2這說明，當(dāng)銷售量達(dá)到70件時，再增加一件的銷量，總收入會減少5元。

4．邊際利潤

設(shè)某商品銷售量為q個單位時的總利潤函數(shù)為L = L(q)，當(dāng)銷量達(dá)到q 個單位時，再給銷量一個增量?q，其相應(yīng)的總利潤將增加?L?L(q??q)?L(q)，于是再多銷售?q個單位時的平均利潤為：

L?如果總利潤函數(shù)在q可導(dǎo)，那么，L(q??q)?L(q)

?qL?(q)?limL(q??q)?L(q)

?q?0?q稱為銷售量為q個單位時的邊際利潤，一般記為：LM(q)?L?(q)

邊際利潤的經(jīng)濟(jì)意義是：銷售量達(dá)到q個單位的時候，再增加一個單位的銷量，即?q?1 99

《微積分》（上冊）教案

時，相應(yīng)的總利潤增加L?(q)個單位。

由于總利潤、總收入和總成本有如下關(guān)系：

L(q)?R(q)?C(q)

因此，邊際利潤又可表示成：L?(q)?R?(q)?C?(q)

例3 設(shè)生產(chǎn)q件某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為：

C(q)?1500?34q?0.3q2

如果該產(chǎn)品銷售單價為：p = 280元／件，求

（1）該產(chǎn)品的總利潤函數(shù)L(q)；

（2）該產(chǎn)品的邊際利潤函數(shù)LM(q)以及銷量為q?420個單位時的邊際利潤，并對此結(jié)論作出經(jīng)濟(jì)意義的解釋。（3）銷售量為何值時利潤最大？

解（1）由已知可得總收入函數(shù)：R(q)?pq?280q，因此總利潤函數(shù)為：

L(q)?R(q)?C(q)?280q?1500?34q?0.3q2

??1500?246q?0.3q

（2）該產(chǎn)品的邊際利潤函數(shù)為：LM(q)?L?(q)?246?0.6q；

2LM(420)?246?0.6?420?? 6

這說明，銷售量達(dá)到420件時，多銷售一件該產(chǎn)品，總利潤會減少6元。

（3）令L?(q)?0，解得q?410（件），又L??(410)?? 0.6?0，所以當(dāng)銷售量q?410件時，獲利最大。

（二）彈性與彈性分析

1．彈性函數(shù)

在引入概念之前，我們先看一個例子：

有甲、乙兩種商品，它們的銷售單價分別為p1 = 12元，p2 = 1200元，如果甲、乙兩種商品的銷售單價都上漲10元，從價格的絕對改變量來說，它們是完全一致的。但是，甲商品的上漲是人們不可接受的，而對乙商品來說，人們會顯得很平靜。

就其原因，就是相對改變量的問題。相比之下，甲商品的上漲幅度為83.33％，而乙商品的漲幅只有0.0083％，乙商品的漲幅人們自然不以為然。

在這一部分，我們將給出函數(shù)的相對變化率的概念，并進(jìn)一步討論它在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。

《微積分》（上冊）教案

定義 設(shè)f(x)在x0處可導(dǎo)，那么函數(shù)的相對改變量

?yf(x0??x)?f(x0)?與自變y0f(x0)?y?xy量的相對改變量的比值：0稱為函數(shù)y = f(x)從x0到x0??x之間弧彈性，令

?xx0x0?yy?x?0，0?xx0的極限稱為y = f(x)在x0的點(diǎn)彈性，一般就稱為彈性。并記為

EyExx?x0。即EyExx?x0?limx?yx0?f?(x0)0。

?x?0?xf(x)f(x0)0y = f(x)在任一點(diǎn)x的彈性記為：

EyEx?f?(x)x，并稱其為彈性函數(shù)。f(x)Ey?yEy?x??一般來說，因此函數(shù)的彈性反映了自變量相對改變量對相應(yīng)函數(shù)yExxEx值的相對改變量影響的靈敏程度。即

EyExx?x0表示當(dāng)自變量在點(diǎn)x?x0處變化1%時，函數(shù)f(x)近似地變化EyExx?x0%，在實(shí)際應(yīng)用問題中解釋彈性的具體意義時，略去“近似”二字。

例

4教材例3.32

2．需求彈性和供給彈性（1）需求彈性

定義

1設(shè)某種商品的需求量為Q，銷售價格為p，若需求函數(shù)為Q?f(p)在p0處可導(dǎo)，稱?QQ0為該商品在p0到p0??p兩點(diǎn)間的需求彈性，記為

?pp0?(p0,p0??p)?_?QQ0?Qp0??

?pp0?pQ0 101

《微積分》（上冊）教案

而極限lim?QQ0p0?Qp0稱為該商品在p0處的需求彈性，?lim??f'(p0)??p?0?pp?p?0?pQf(p0)00?QQ0p0。?f'(p0)??p?0?ppf(p)00'記為?p?p0?lim一般地，若需求函數(shù)Q?f(p)可導(dǎo)，任意一點(diǎn)的需求彈性為：f(p)?需求彈性函數(shù)，記為

p，稱其為f(p)??f'(p)?p f(p)注意：一般情況下，Q?f(p)是減函數(shù)，價格高了，需求量反而會降低，為此??0。

另外，?Q?p，其經(jīng)濟(jì)解釋為：在銷售價格為p的基礎(chǔ)上，價格上漲1％，相應(yīng)的需??Qp求量將下降?％。

例

5教材例3.33

（2）供給彈性

定義

2設(shè)某種商品的供給量為Q，供給價格為p，若供給函數(shù)為Q??(p)在p0處可導(dǎo)，稱?QQ0為該商品在p0到p0??p兩點(diǎn)間的供給彈性，記為

?pp0?(p0,p0??p)?_?QQ0?Qp0??

?pp0?pQ0而極限lim?QQ0p0?Qp0?lim???'(p0)?稱為該商品在p0處的供給彈性，?p?0?pp?p?0?pQf(p0)00?QQ0p0??'(p0)?。

?p?0?ppf(p)00'記為?p?p0?lim一般地，若供給函數(shù)Q??(p)可導(dǎo)，任意一點(diǎn)的供給彈性為：?(p)?供給彈性函數(shù)，記為

p，稱其為f(p)???'(p)?

p f(p)《微積分》（上冊）教案

注意：一般情況下，供給函數(shù)Q?f(p)是增函數(shù)，價格高了，供給量會增加，為此??0。

另外，?Q?p，其經(jīng)濟(jì)解釋為：在供給價格為p的基礎(chǔ)上，價格上漲1％，相應(yīng)的供??Qp給量將增加?％。

（3）用需求彈性分析總收益的變化

在商品經(jīng)濟(jì)中，經(jīng)營者關(guān)心的是提價（?p?0）或降價（?p?0）對總收益的影響。而根據(jù)我們需求彈性的概念，可以分析出價格變動是如何影響銷售收益的。具體分析為： 根據(jù)前面的知識可知：總收益R是商品價格p與銷售量Q的乘積，即R=Qp。又因為需求彈性為??Q(p)?'pdQp??。所以pdQ??Qdp。QdpQ根據(jù)函數(shù)的微分知，當(dāng)價格p變化很小的時候，收益的改變量

?R??(Qp)?d(Qp)?Qdp?pdQ?Qdp??Qdp?(1??)Qdp

即?R?(1??)Qdp?(1??)Q?p。

由此，我們給出三類商品的經(jīng)濟(jì)分析：（1）富有彈性商品

若|?|?1，則稱該商品為富有彈性商品。

對于富有彈性商品，適當(dāng)降價會增加總收入。如果價格下降10％，總收入將相對增加10(|?|?1)％。

富有彈性商品也稱為價格的敏感商品，價格的微小變化，會造成需求量較大幅度的變化。（2）單位彈性商品

若??1，則稱該商品為具有單位彈性的商品。

單位彈性的商品，對價格作微小的調(diào)整，并不影響總收入。（3）缺乏彈性商品

若|?|?1，則稱該商品為缺乏彈性商品。

對于缺乏彈性商品，適當(dāng)漲價會增加總收入。如果價格上漲10％，總收入將相對增加10(1?|?|)％。

例6

教材例3.34 例7 設(shè)某商品的需求價格函數(shù)為：q?1.5e并進(jìn)一步做出相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)解釋。

? p5，求銷售價格p?9時的需求價格彈性，103

《微積分》（上冊）教案

解 Eqpp?9?? 0.3e? p5p1.5e? p5p?9?? 1.8，由于Eqp|p?9?1.8?1，這是一種富有彈性的商品，價格的變化對需求量有較大的影響，在p?9的基礎(chǔ)上，價格上漲10％，需求量將下降18％，總收入下降8％，當(dāng)然價格下降10％，需求量將上升18％，總收入上升8％。通過以上分析，價格p?9時應(yīng)當(dāng)作出適當(dāng)降價的決策。

二、微分的應(yīng)用

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處可微。則根據(jù)微分的定義有近似公式：

?y?f(x0??x)?f(x0)?f'(x0)?x

（1）

或

f(x0??x)?f(x0)?f'(x0)?x

（2）

并且，近似公式（1）通常用來計算函數(shù)的改變量?y的近似值，常用于誤差估計；近似公式（2）常用于計算函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0附近的近似值f(x0??x)。下面我們就分別來介紹兩個近似公式的應(yīng)用。

1．近似計算

在近似計算某點(diǎn)處的近似值時，對近似公式（2）常作如下的變換：令x0=0，?x?x，得到如下更簡單的近似公式：當(dāng)x很小時，有

f(x)?f(0)?f'(0)x

例8 教材例3.35 例9 教材例3.36 例10 教材例3.37 例11 教材例3.38

2．誤差估計

（1）絕對誤差與相對誤差

設(shè)函數(shù)y?f(x)可微，若自變量經(jīng)過測量而得到的近似值為x，它與自變量實(shí)際值得誤差估計為?x，那么由x確定的函數(shù)值的近似值y與實(shí)際值的誤差可相應(yīng)地估計為

?y?f(x??x)?f(x)，104

《微積分》（上冊）教案

則稱?x與?y分別為自變量x與函數(shù)y的絕對誤差，稱數(shù)y的相對誤差

關(guān)于絕對誤差和相對誤差有幾點(diǎn)說明：

?y?x與分別為自變量x與函

yx1）絕對誤差不足以說明近似程度的好壞，只有相對誤差才能較準(zhǔn)確地說明近似地精確度。

2）實(shí)際中，由于很難得知?x的精確值，所以實(shí)際計算中總是估計自變量的最大絕對誤差為?x，即?x

?y?dy?f'(x)??x?f'(x)??x。

因此，在用x的實(shí)際測量值算出的近似值f(x)來代替準(zhǔn)取值f(x??x)時，可用f(x)??x'f'(x)??x作為最大相對誤差。因此，若記函數(shù)作為近似值y?f(x)的最大絕對誤差；用

f(x)y?f(x)的絕對誤差和相對誤差分別別為：?y與

?y，則有 yf'(x)??x。?y?f(x)??x，?yf(x)'?y（2）應(yīng)用舉例 例12 教材例3.39

課堂小結(jié)

1.導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

（1）邊際與邊際分析：邊際成本、邊際收益、邊際利潤

（2）彈性與彈性分析：需求彈性、供給彈性 2.微分的應(yīng)用

（1）近似計算

（2）誤差估計

第五篇：D123一元微分總結(jié)

一元微分總結(jié)

一 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)

定義1 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x?x0的一個鄰域有定義, 如果lim存在, 則稱其為y?f(x)在點(diǎn)x?x0的導(dǎo)數(shù).記作y??f?(x0).等價寫法: limf(x)?f(x0)x?x0f(x0??x)?f(x0)?x?0?x

x?x0

方法 導(dǎo)數(shù)是一種特殊形式的極限.因此, 極限的各種結(jié)果適用.在一點(diǎn)可導(dǎo)與在一個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).導(dǎo)函數(shù).方法 導(dǎo)函數(shù)是一個函數(shù).因此, 可以研究它的各種性質(zhì).2 單側(cè)導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù).定理1 函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件是: 它得左, 右導(dǎo)數(shù)存在且相等.3 可導(dǎo)與連續(xù)

定理2 如果函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo), 則它在該點(diǎn)連續(xù).4 高階導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).5 微分

定義2 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x?x0的一個鄰域有定義, 如果存在與?x無關(guān)的數(shù)A, 使得limf(x0??x)?f(x0)?A?x?x?0?x?0, 則稱y?f(x)在點(diǎn)x?x0可微, 而稱A?x為函數(shù)在該點(diǎn)的微分.定理3

函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x?x0可微的充分必要條件是: 它在該點(diǎn)可導(dǎo).且有A?f?(x0)

一階微分形式不變性.二 計算導(dǎo)數(shù)與微分 工具

1?2?xsin,x?01.導(dǎo)數(shù)定義: 求證：函數(shù)f(x)??在點(diǎn)x?0處可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)不連x??0,x?0續(xù).?ex,x?12.單側(cè)導(dǎo)數(shù): 求a,b, 使得函數(shù)y??在點(diǎn)x?1處可導(dǎo).?ax?b,x?133.四則運(yùn)算: 設(shè)y?x?4cosx?sin?, 求f?(x)和f?(?).4.高階導(dǎo)數(shù): 求證: 函數(shù)y?設(shè)y?2，求yx(n)2x?x2滿足yy???1?0.設(shè)y?xsinx, 求y32(n)..1 5.反函數(shù): 設(shè)y?arctanx, 求y?.設(shè)y?x?sinlnx, 求6.復(fù)合函數(shù): 設(shè)y?lncose, 求

xdxdy

dydx與

dydx22.dydxx?07.隱函數(shù): 求由方程y5?2y?x?3x7?0所確定的函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)x?y?12siny?0所確定的函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù)

.求由方程

dy22dx8.參數(shù)方程: 計算由參數(shù)方程x?a(t?sint),y?a(1?cost)所確定的函數(shù)y?y(x)的.二階導(dǎo)數(shù).設(shè)函數(shù)y?y(x)的極坐標(biāo)方程為r?a?, 求

2dydx.9.微分: 設(shè)y?ln(1?ex), 求dy.設(shè)函數(shù)y?y(x)由方程ey?xy?e?0確定, 求dy.2 技巧

1.化積商為和差: 設(shè)y?1?x?xx2, 求y?.(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)2.對數(shù)求導(dǎo)法: 求y?xsinx(x?0)的導(dǎo)數(shù).求y? 的導(dǎo)數(shù).三 中值定理 羅爾定理

證明中值等式(導(dǎo)函數(shù)的根).2 拉格朗日中值定理

1.證明中值等式.2.證明不等式.3.證明恒等式(用推論).方法 拉格朗日中值定理在函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)之間建立聯(lián)系.從導(dǎo)函數(shù)出發(fā), 可以研究函數(shù).反之, 從函數(shù)出發(fā)也可以研究導(dǎo)函數(shù).3 柯西中值定理

證明中值等式: 4 洛必達(dá)法則

1.商: limesinx?x(1?x)tan?1?1?cosx3xx?0x?.2.差：lim?x?0?1??2??2limx?xln1?.???.??2x??x??x???11?cosx?sinx?3.冪指函數(shù)：lim??x?0x??.2 4.數(shù)列極限: limnn??1???12n.limn?cos?e2n?.n??n??4 5.抽象函數(shù)：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?a二次可導(dǎo), 且f?(a)?0, 計算極限 ??11lim???.x?a?f(x)?f(a)(x?a)f?(a)?已知lim6?f(x)f(x)??sin6x, 求.lim??0232?x?0x?0?xx??x5 泰勒公式

近似計算.四 函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)性判定

1.單調(diào)函數(shù): 判定函數(shù)y?x3的單調(diào)性.2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: 確定函數(shù)y?32x?23x的單調(diào)區(qū)間.3.證明題: 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,??)上連續(xù), 在(0,??)內(nèi)可導(dǎo).且f(0)?0,f?(x)單調(diào)增加, 則函數(shù)F(x)?f(x)x在區(qū)間(0,??)內(nèi)單調(diào)增加.2 凸凹性判定

1.凸函數(shù): 判定函數(shù)y?lnx的凸凹性.2.函數(shù)的凸區(qū)間: 確定函數(shù)y?x3?6x?1的凸凹區(qū)間.3.證明題: 設(shè)函數(shù)f(x)?0二次可導(dǎo), 且有f(x)f??(x)?[f?(x)]2, 求證: 函數(shù)F(x)?lnf(x)是下凸函數(shù).3 拐點(diǎn)

1.二階導(dǎo)數(shù)條件: 求曲線y?3x的拐點(diǎn).4 極值

1.必要條件: 費(fèi)馬定理, 駐點(diǎn).2.一階導(dǎo)數(shù)充分條件: 求函數(shù)y?1?(x?2)值.422/3的極值.求函數(shù)y?(x?1)?1的極

233.二階導(dǎo)數(shù)充分條件: 求函數(shù)y?x?2x?4的極值.4.證明題: 設(shè)函數(shù)y?f(x)滿足limf(x)1?cosxx?0?2, 則點(diǎn)x?0是f(x)的極小值點(diǎn).5 最值

1.閉區(qū)間候選點(diǎn): 駐點(diǎn), 不可導(dǎo)點(diǎn), 端點(diǎn).求函數(shù)y?2x?3x?12x?14在區(qū)間[?3,4]上的最值.322.開區(qū)間用一階導(dǎo)數(shù)充分條件: 求函數(shù)y?xe的最小值.x 3 五 幾何應(yīng)用 切線與法線

1.顯函數(shù): 求函數(shù)y?xlnx在點(diǎn)(e,e)處的法線方程.2.隱函數(shù): 求橢圓

3)處的切線方程.2ab3.參數(shù)方程: 已知橢圓的參數(shù)方程x?acost,y?bsint,0?t?2?, 求橢圓在點(diǎn)

2x2?y22?1上點(diǎn)(2,3t??4處的切線方程.?44.極坐標(biāo): 求曲線r?e?在點(diǎn)??處的切線的直角坐標(biāo)方程.(變成參數(shù)方程.)

x25.在曲線上求點(diǎn), 使得該點(diǎn)處的切線滿足所給條件: 在橢圓

4?y29?1上求點(diǎn), 使得該點(diǎn)處的切線與直線2x?3y?1平行.求曲線y?x3/2通過點(diǎn)(5,11)的切線方程.6.證明題: 曲線x?y?a上任意一點(diǎn)處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于常數(shù).2 曲率

1.顯函數(shù): 求拋物線y?ax2?bx?c上曲率的最大值.六 等式與不等式 證明恒等式

1.拉格朗日中值定理的推論: 求證: 當(dāng)?1?x?1時, 有arcsinx?arccosx?

?2.2 證明中值等式

1.羅爾定理: 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且f(a)?f(b)?0, 求證: 存在??(a,b), 使得f(?)?f?(?)?0.(令F(x)?ef(x).)2.拉格朗日中值定理: 設(shè)函數(shù)f(x)?0在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo), 求證: 存在??(a,b), 使得f(b)f?(?).ln?(b?a)f(a)f(?)3.柯西中值定理: 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 其中0?a?b, 則存在??(a,b), 使得f(b)?f(a)??f?(?)ln

bax.3 證明不等式

1.拉格朗日中值定理: 求證: 當(dāng)x?0時, 有2.單調(diào)性: 求證: 當(dāng)x?1時, 2x?3?x3.最值: 求證: 當(dāng)x?1時, 有e?x1?x?ln(1?x)?x.1x.11?x.4

x?y4.凸凹性: 求證: 當(dāng)x?y時, e?e

xy?2e2.七 方程的根 存在性(下限)1.零點(diǎn)定理(函數(shù)): 求證: 方程x2x?1在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個根.2.羅爾定理(導(dǎo)函數(shù)): 設(shè)a1?2a22n在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個根.設(shè)y?f(x)在[0,1]上連續(xù), 在(0,1)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù), 且f(1)?0, 令F(x)?xf(x), 求證: 存在??(0,1), 使得F??(?)?0.(先證存在???an?0, 求證: 方程a1?a2x???anxn?1?0??(0,1), 使得F?(?)?0.)2 唯一性(上限)1.單調(diào)性: 求證: 方程x3?x?1?0在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一個根.設(shè)函數(shù)y?f(x)可導(dǎo), 且滿足f(x)?f?(x)?0, 求證: 方程f(x)?0至多有一個實(shí)根.3 討論個數(shù)

1.作圖: 研究方程lnx?kx的根的個數(shù).八近似計算 函數(shù)值

微分: f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x