第一篇：高等數(shù)學(xué)積分總結(jié)[推薦]

?問題引例：曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程?n?積分定義：bf?x?dx?lim?f????xii?a??0?i?1?b?計(jì)算方法:?f?x?dx?F?b??F?a?a??一元定積分?幾何意義:連續(xù)曲線與x軸所圍曲邊梯形面積的代數(shù)和?物理意義：變力沿直線做功??應(yīng)用?幾何?：平面圖形的面積?直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)?、體積?已知平行截面、旋轉(zhuǎn)體體積??平面曲線的弧長?直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、參數(shù)方程?、旋轉(zhuǎn)曲面的面積????應(yīng)用?物理?：水壓力、質(zhì)量與引力、邊際成本

一元不定積分：解決定積分的計(jì)算問題，將積分問題與求導(dǎo)問題聯(lián)系起來

?問題引例：曲頂柱體的體積、平面薄片的質(zhì)量?n?積分定義：f?x,y?d??lim?f??,????iii????0?i?1D??計(jì)算方法:關(guān)鍵問題是定限，在直角坐標(biāo)下d?=dxdy，在極坐標(biāo)下d?=rdrd??二重積分?幾何意義:以D為底，f?x,y?為曲頂柱體的體積的代數(shù)和??物理意義：?應(yīng)用?幾何?：求平面圖形的面積d????D??應(yīng)用?物理???問題引例：四維空間中曲頂柱體的體積問題?n?積分定義：f?x,y,z?dv?lim?f??,?,???viiii?????0?i?1???計(jì)算方法:直角坐標(biāo) dv=dxdydz?柱面坐標(biāo)x?rcos?,y?rsin?,z?z,dv=rdrd?dz??三重積分?球面坐標(biāo)x?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcos?,dv=r2sin?drd?d??定限的方法參考二重積分 ??幾何意義、物理意義??應(yīng)用?幾何???應(yīng)用?物理???

?問題引例：曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?nn?積分定義：f?x,y?ds?lim?f??,???s,f?x,y,z?ds?lim?f??,?,???siii?iiii???0??0?i?1i?1LL??計(jì)算方法:用路徑函數(shù)L化簡f?x,y?,化為一元定積分?弧長元素ds=dx2?dy2??2?ds=1+??y'?x???dx?對弧長的曲線積分?2ds=1+?x'y??????dy?第一型曲線積分??22?ds=??t+?'t???????????dt?22?ds=r?+r'??????????????d???幾何意義、物理意義?應(yīng)用?幾何???應(yīng)用?物理???n?問題引例:曲面不均勻薄片的質(zhì)量?n?積分定義：f?x,y,z?dS?lim?f??,?,???Siiii????0?i?1??對面積的曲面積分?計(jì)算方法:

1、投影，2、代入，3、轉(zhuǎn)換22?第一型曲面積分??f?x,y,z?dS???f???x,y,z?x,y???1?zx?zydxdy????Dxy??應(yīng)用?幾何?：計(jì)算曲面面積?應(yīng)用物理???

????P??i,?i??xi?Q??i,?i??yi???問題引例：變力沿曲線作功W?lim??0i?1?nn??

1、定義：如果一階微分方程P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0的左端恰好是某一個(gè)二元積分定義：Px,ydx?limP?,??x,Qx,ydy?limQ??i,?i??yi?ii?i?L?????L????0???0?i?1i?1??函數(shù)u的全微分，此時(shí)方程的通解為u=C,因此全微分方程的關(guān)鍵就是求u?積分的定義可推廣到空間的情況，并可簡寫成?P?x,y?dx?Q?x,y?dy?

2、求解方法：L對坐標(biāo)的曲線積分????計(jì)算方法：本質(zhì)是將其化為一元定積分?用參數(shù)方程、將y化為x?'全微分方程?u?u???第二型曲線積分???①不定積分法：?P,u?Pdx??y,?Pdx??y??????Q???x?y???兩種曲線積分的關(guān)系：???②湊微分法???Pdx?Qdy????Pcos??Qcos??ds??③積分因子法：見筆記?Pdx?Qdy?Rdz???Pcos??Qcos??Rcos??ds???? ?其中cos?，cos?，cos?是曲線在一點(diǎn)的與有向曲線同向的切向量的方向余弦?? ?問題引例：曲面的側(cè)的定義?指明了曲面是有方向的??????曲面的投影，流體力學(xué)中流量問題?=??v?dS???n?積分定義：lim?P??i,?i,?i??Szy?Q??i,?i,?i??Sxz?R??i,?i,?i??Sxy????Pcos??Qcos??Rcos??dS??0?i?1?對坐標(biāo)的曲面積分??n?limP??i,?i,?i??Szy?Q??i,?i,?i??Sxz?R??i,?i,?i??Sxy???Pdydz?Qdxdz?Rdxdy??第二型曲面積分????0i?1??第一式將定義以第一型曲面積分的形式給出；第二式是我們普遍用的第二型曲面積分??兩個(gè)式子反應(yīng)的是一個(gè)東西，也就闡明了兩類曲面積分的聯(lián)系??計(jì)算方法：投影、代入、轉(zhuǎn)換???應(yīng)用：流量的計(jì)算

???Q?P? ??格林定理：①曲線正向的定義；②???dxdy,L為D的取正向的邊界曲線?LPdx?Qdy????x?y?D? ???Q?P應(yīng)用格林公式應(yīng)注意：1?曲線L必須封閉；2?、在D內(nèi)每點(diǎn)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)；3?L為正向曲線 ??x?y?

A?格林公式?曲線積分的路徑無關(guān)性：概念，積分值只與初始點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)?Pdx?Qdy B? ?四個(gè)等價(jià)命題：在一個(gè)單連通區(qū)域內(nèi)，函數(shù)P?x,y?、Q?x,y?在G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)? 則下面四個(gè)命題等價(jià)：???Q?P ①=；②Pdx?Qdy?0；③Pdx?Qdy與路徑無關(guān)；④存在函數(shù)ux,y,使du?Pdx?Qdy?????L??L ??x?y ?高斯公式：?是閉曲面?圍成的區(qū)域，函數(shù)P、Q、R在?上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)，則???P?Q?R??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?++?dV?????????x?y?z????????P?Q?R?Pcos??Qcos??Rcos?dS?++?dV????????高斯公式?通量散度????x?y?z?????其中?是?的外側(cè)，cos?、cos?、cos?是點(diǎn)出法向量的方向余弦?????????P?Q?R?通量與散度：?=?A?dS,divA?++????x?y?z??

?斯托克斯公式：設(shè)?是以?為邊界的有向曲面，?的正向與?的側(cè)符合右手規(guī)則,P,Q,R具有一階連續(xù)偏導(dǎo) ? ??R?Q???Q?P???P?R??Pdx?Qdy?Rdz??dydz??dzdx??dxdy????????L??? ?y?z?z?x?x?y???????????????斯托克斯公式?環(huán)流量與旋度?

?環(huán)流量與旋度：向量場A沿有向閉曲線?的曲線積分???A?ds稱為A沿?的環(huán)流量 ?????R?Q????P?R????Q?P???旋度：rotA= ?????i???k?j????y?z?z?x?x?y???????

積分應(yīng)用歸納幾何應(yīng)用：

1、求曲邊梯形的面積：用一元定積分可做

2、求曲頂柱體的體積：用二重積分可做，用三重積分可做

3、曲面的面積:??1dS???dS ?????柱面面積=f?x,y?ds——?牟合方蓋的表面積???Lfy,zds,fx,zds???????LL?該柱面以L為準(zhǔn)線，母線平行于z軸，介于z?0與曲面z?f?x,y?之間的部分?

4、平面的面積：其實(shí)就是曲面面積的特殊情況，用一元定積分可做，用二重積分可做

物理應(yīng)用：

1、質(zhì)量??平面直線桿?一元定積分?????線狀質(zhì)量?線密度?長度??平面曲線桿?對弧長的曲線積分??這也就解釋了為什么對弧長的積分化為定積分??空間曲線桿被積函數(shù)為三元函數(shù)的對弧長的曲線積分????????平面面片?二重積分?面狀質(zhì)量?面密度?面積????空間面片?對曲面的面積積分?立體快質(zhì)量?體密度?體積??三重積分????解釋了為什么對曲面的面積積分化為二重積分???=f?P?;M??f?P?d??

2、質(zhì)心?物理重心——質(zhì)心——幾何中心——形心?概念解釋:物理重心——是在重力場中，物體處于任何方位時(shí)所有各組成質(zhì)點(diǎn)的重力的合力都通過的那一點(diǎn)。規(guī)則而密度均勻物體的重心就是它的幾何中心。質(zhì)心——質(zhì)量中心簡稱質(zhì)心，指物質(zhì)系統(tǒng)上被認(rèn)為質(zhì)量集中于此的一個(gè)假想點(diǎn)。與重心不同的是，質(zhì)心不一定要在有重力場的系統(tǒng)中。值得注意的是，除非重力場是均勻的，否則同一物質(zhì)系統(tǒng)的質(zhì)心與重心不通常在同一假想點(diǎn)上。形心——面的形心就是截面圖形的幾何中心，質(zhì)心是針對實(shí)物體而言的,而形心是針對抽象幾何體而言的，對于密度均勻的實(shí)物體，質(zhì)心和形心重合。質(zhì)心的計(jì)算：?引入了靜力矩的概念?????x??x,y?d?y??x,y??薄片:x?D???x,y?d?,y???d?D??x,y?d?平面????D??D?x??x,y??dsy??x,曲線桿:x??L?y?ds??????x,y?ds,y?L??x,y?dsL?L3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：定義：I?Mr2Ix???y2??x,y?d?DIy???x2??x,y?d?DI0????x2?y2???x,y?d? D

??

?塊：x??x?dv,y??y?dv???dv??dv空間??面片:x??x?d?,y??y??d????d???d????曲桿:x??x?ds,y??y?ds????ds??ds

第二篇：高等數(shù)學(xué)三重積分計(jì)算方法總結(jié)

高等數(shù)學(xué)三重積分計(jì)算方法總結(jié)

1、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分：（1）投影法（先一后二）：

1）外層(二重積分)：區(qū)域Ω在xoy面上的投影區(qū)域Dxy 2）內(nèi)層(定積分)：

從區(qū)域Ω的底面上的z值，到區(qū)域Ω的頂面上的z值。

（2）截面法（先二后一）：

1)外層(定積分): 區(qū)域Ω在z 軸上的投影區(qū)間。2)內(nèi)層(二重積分):Ω垂直于z 軸的截面區(qū)域。

2、利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ????f(x,y,z)dv?????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz3、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

????f(x,y,z)dxdydz?????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)rsin?drd?d?2定限方法:(1)轉(zhuǎn)面定θ(2)轉(zhuǎn)線定φ(3)線段定r

4、利用對稱性化簡三重積分計(jì)算 設(shè)積分區(qū)域Ω關(guān)于xoy平面對稱，(1)若被積函數(shù) f(x,y,z)是關(guān)于z 的奇函數(shù)，則三重積分為零。(2)若被積函數(shù) f(x,y,z)是關(guān)于z 的偶函數(shù)，則三重積分等于：在xoy平面上方的半個(gè)Ω，區(qū)域上的三重積分的兩倍.使用對稱性時(shí)應(yīng)注意：

1）積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性； ２）被積函數(shù)關(guān)于變量的奇偶性。

2例 計(jì)算

???

x(x

?

y

?

z)

dxdydz，其中Ω是由曲面z = x2 + y2和x2 + y2 + z2 =2所圍成的空間閉區(qū)域.解：? x(x?y?z)2 ?x(x2?y2?z2)?2x2y?2xyz?2zx2 ?x(x2?y2?z2)?2xyz

?是關(guān)于x 的奇函數(shù)，且?關(guān)于 yoz 面對稱 故其積分為零。

2x2 y是關(guān)于y 的奇函數(shù),且關(guān)于 zox 面對稱

????2x?2ydv?0,?I?????x(x?y?z)2dxdydz

??????2?02x2zdxdydz,22?2????cos??z??d?d?dz????0 d?? d?? 2?cos??zdz?22??2322?d???cos?(2????)d?013224 24?5?

第三篇：高等數(shù)學(xué)第九章重積分教案

第九章 重積分

第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)

9.1.1 二重積分的概念

為引出二重積分的概念，我們先來討論兩個(gè)實(shí)際問題。

設(shè)有一平面薄片占有xOy>面上的閉區(qū)域D>，它在點(diǎn)（x>，y>）處的面密度為ρ（x>，y>），這里ρ（x>，y>）> 0>且在D>上連續(xù)?，F(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M>。

>由于面密度ρ（x>，y>）是變量，薄片的質(zhì)量不能直接用密度公式（M =>ρS>）來計(jì)算。但ρ（x>，y>）是連續(xù)的，利用積分的思想，把薄片分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域D s i>的直徑很小，這些小塊就可以近似地看作均勻薄片。在D s i>（這小閉區(qū)域的面積也記作D s i

>）上任取一點(diǎn)（x i>，h i>），則ρ（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，?，n）可看作第i>個(gè)小塊的質(zhì)量的近似值。通過求和，再令n個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值（記作λ）趨于零，取和的極限，便自然地得出薄片的質(zhì)量M>，即 >。

>再設(shè)有一立體，它的底是xOy>面上的閉區(qū)域D>，它的側(cè)面是以D>的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z>軸的柱面，它的頂是曲面z = f>（x>，y>），這里f>（x>，y>）≥ 0>且在D>上連續(xù)。這種立體叫做曲頂柱體?，F(xiàn)在要計(jì)算上述曲頂柱體的體積V>。

>由于曲頂柱體的高f>（x>，y>）是變量，它的體積不能直接用體積公式來計(jì)算。但仍可采用上面的思想方法，用一組曲線網(wǎng)把D>分成n個(gè)小閉區(qū)域D s 1，D s 2>，?，D s n>，在每個(gè)D s i>上任取一點(diǎn)（x i>，h i>），則f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，?，n）可看作以f>（x i>，h i>）為高而底為D s i>的平頂柱體的體積>。通過求和，取極限，便得出 >。

上面兩個(gè)問題所要求的，都?xì)w結(jié)為同一形式的和的極限。在其他學(xué)科中，由許多物理量和幾何量也可歸結(jié)為這一形式的和的極限。因此我們要一般地研究這種和的極限，并抽象出下述二重積分的定義。> 定義 >設(shè)f>（x>，y>）是有界閉區(qū)域D>上的有界函數(shù)。將閉區(qū)域D>任意分成n>個(gè)小閉區(qū)域

>D s 1，D s 2>，?，D s n>，>其中D s 也表示它的面積。在每個(gè)D s（x h，i>表示第i>個(gè)小閉區(qū)域，i>上任取一點(diǎn)i>，i>）作乘積 f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1, 2, >?, n,>），并作和。如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l 趨于零時(shí)，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上的二重積分，記作，即

>。（*>）

>其中f>（x>，y>）叫做被積函數(shù)，f>（x>，y>）ds >叫做被積表達(dá)式，ds >叫做面積元素，x>與y>叫做積分變量，D>叫做積分區(qū)域，叫做積分和。

>在二重積分的定義中對閉區(qū)域D>的劃分是任意的，如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分D>，那末除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域。設(shè)矩形閉區(qū)域D s i>的邊長為D xj>和D yk>，則D s = D xj>·D yk>。因此在直角坐標(biāo)系中，有時(shí)也把面積元素ds >記作dxdy>，而把二重積分記作 >

>其中dxdy>叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素。

>這里我們要指出，當(dāng)f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上連續(xù)時(shí)，（*>）式右端的和的極限必定存在，也就是說，函數(shù)f>（x>，y>）在D>上的二重積分必定存在。> 9.1.2 二重積分的性質(zhì)

二重積分與定積分有類似的性質(zhì)：

>性質(zhì)1 >被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號的外面，即 > >（k>為常數(shù)）。

>性質(zhì)2 >函數(shù)的和（或差）的二重積分等于各個(gè)函數(shù)的二重積分的和（或差）。例如 >。

>性質(zhì)3 >如果閉區(qū)域D>被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域，則在D>上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和。例如D>分為兩個(gè)閉區(qū)域D1>與 D2>，則 >。

此性質(zhì)表示二重積分對于積分區(qū)域具有可加性。

>性質(zhì)4 >如果在D>上，f>（x>，y>）= 1>，s 為D>的面積，則 >。

>此性質(zhì)的幾何意義很明顯，因?yàn)楦邽?>的平頂柱體的體積在數(shù)值上就等于柱體的底面積。>性質(zhì)5 >如果在D>上，f>（x>，y>）≤ j >（x>，y>），則有不等式 >。

特殊地，由于

>-| f>（x>，y>）| >≤ f>（x>，y>）≤ | f>（x>，y>）|>，> 又有不等式。

>性質(zhì)6 >設(shè)M>，m>分別是f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上的最大值和最小值，s 是D>的面積，則有 >。

上述不等式是對二重積分估值的不等式。

>性質(zhì)7>（二重積分的中值定理）>設(shè)函數(shù)f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上連續(xù)，s 是D>的面積，則在D>上至少存在一點(diǎn)（x，h）使得下式成立： >。

第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)）

按照二重積分的定義來計(jì)算二重積分，對少數(shù)特別簡單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說是可行的，但對一般的函數(shù)和積分區(qū)域來說，這不是一種切實(shí)可行的方法。這里介紹一種方法，把二重積分化為兩次單積分（即兩次定積分）來計(jì)算。9.2.1 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

下面用幾何的觀點(diǎn)來討論二重積分的計(jì)算問題。

在討論中我們假定f（x，y）≥ 0。并設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式 j 1（x）≤ y ≤ j 2（x），a≤x≤b

來表示，其中函數(shù)j 1（x）、j 2（x）在區(qū)間 [a，b] 上連續(xù)。

我們應(yīng)用“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法，來計(jì)算這個(gè)曲頂柱體的體積。為計(jì)算截面面積，在區(qū)間 [a，b] 上任意取定一點(diǎn)x0，作平行于yOz面的平面x=x0。這平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間 [j 1（x0），j 2（x0）] 為底、曲線z = f（x0，y）為曲邊的曲邊梯形，所以這截面的面積為。

一般的，過區(qū)間 [a，b] 上任一點(diǎn)x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為，于是，得曲頂柱體的體積為。

這個(gè)體積也就是所求二重積分的值，從而有等式

。（1）

上式右端的積分叫做先對y、后對x的二次積分。就是說，先把x看作常數(shù)，把f（x，y）只看作y的函數(shù)，并對y計(jì)算從j 1（x）到j(luò) 2（x）的定積分；然后把算得的結(jié)果（是x的函數(shù)）再對x計(jì)算在區(qū)間 [a，b] 上的定積分。這個(gè)先對y、后對x的二次積分也常記作。

因此，等式（1）也寫成，（1’）

在上述討論中，我們假定f（x，y）≥ 0，但實(shí)際上公式（1）的成立并不受此條件限制。類似地，如果積分區(qū)域D可以用不等式 ψ1（y）≤ x ≤ ψ2（y），c≤y≤d

來表示，其中函數(shù)ψ1（y）、ψ2（y）在區(qū)間 [c，d] 上連續(xù)，那末就有。

上式右端的積分叫做先對x、后對y的二次積分，這個(gè)積分也常記作。

因此，等式（2）也寫成，（2’）

這就是把二重積分化為先對x、后對y的二次積分的公式。

我們稱圖9-2-1所示的積分區(qū)域?yàn)閄-型區(qū)域，圖9-2-3所示的積分區(qū)域?yàn)閅-型區(qū)域。對不同的區(qū)域，可以應(yīng)用不同的公式。如果積分區(qū)域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我們可以把D分成幾個(gè)部分，使每個(gè)部分是X-型區(qū)域或是Y-型區(qū)域。如果積分區(qū)域D既是X-型的，又是Y-型的，則由公式（1’）及（2’）就得。

上式表明，這兩個(gè)不同次序的二次積分相等，因?yàn)樗鼈兌嫉扔谕粋€(gè)二重積分。

二重積分化為二次積分時(shí)，確定積分限是一個(gè)關(guān)鍵。而積分限是根據(jù)積分區(qū)域D的類型來確定的。

例1 計(jì)算，其中D是由直線y =

1、x = 2及y = x所圍成的閉區(qū)域。

解法1 首先畫出積分區(qū)域D。D是X-型的，D上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的變動(dòng)范圍是區(qū)間[1，2]。在區(qū)間[1，2]上任意取定一個(gè)x值，則D上以這個(gè)x值為橫坐標(biāo)的點(diǎn)在一段直線上，這段直線平行于y軸，該線段上點(diǎn)的縱坐標(biāo)從y = 1變到y(tǒng) = x。利用公式（1）得。

解法2 把積分區(qū)域D看成是Y-型的。同學(xué)們可作為練習(xí)，驗(yàn)證解出的答案是否與解法1的相一致。

對于較復(fù)雜的積分區(qū)域，在化二重積分為二次積分時(shí)，為了計(jì)算簡便，需要選擇恰當(dāng)?shù)亩畏e分的次序。這時(shí)，既要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)f（x，y）的特性。例2 求量各底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積。解 設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為 x + y = R及x + z = R

利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱性，只要算出它在第一卦限部分的體積V1，然后再乘以9就行了。

所求立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的底為 2222

22，如圖9-2-5（b）所示。它的頂是柱面。于是。

利用公式（1）得

從而所求立體體積為。

9.2.2 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

有些二重積分，積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來表示比較方便，且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量r，θ比較簡單。這時(shí)，我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來計(jì)算二重積分按二重積分的定義有

。，下面將推導(dǎo)出這個(gè)和的極限在極坐標(biāo)系中的形式。

假定從極點(diǎn)O出發(fā)且穿過閉區(qū)域D內(nèi)部的射線與D的邊界曲線相交不多于兩點(diǎn)。我們用以極點(diǎn)為中心的一族同心圓：r=常數(shù)，以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線：θ=常數(shù)，把D分成n個(gè)小閉區(qū)域。除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積D s i可計(jì)算如下：

其中表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值。在這小閉區(qū)域內(nèi)取圓周點(diǎn)的直角坐標(biāo)設(shè)為x i，h i，則由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系有

。于是

上的一點(diǎn)，該，即。

由于在直角坐標(biāo)系中也常記作，所以上式又可寫成

。（4）

這就是二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換公式，其中rdrdθ就是極坐標(biāo)系中的面積元素。公式（4）表明，要把二重積分中的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)，只要把被積函數(shù)中的x、y分別換成rcosθ、rsinθ，并把直角坐標(biāo)系中的面積元素dxdy換成極坐標(biāo)系中的面積元素rdrdθ。

極坐標(biāo)系中的二重積分，同樣可以化為二次積分來計(jì)算。，二重積分化為二次積分的公式為

。（5）

上式也寫成

。（5'）

特別地，如果積分區(qū)域D是所示的曲邊扇形，那末相當(dāng)于圖9-2-7（a）中φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。這時(shí)閉區(qū)域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β 來表示，而公式（5'）成為。

如果積分區(qū)域D如圖）所示，極點(diǎn)在D的內(nèi)部，那末相當(dāng)于圖9-2-9中α= 0、β= 2π。這時(shí)閉區(qū)域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π 來表示，而公式（5'）成為。

由二重積分的性質(zhì)4，閉區(qū)域D的面積s 可以表示為。

在極坐標(biāo)系中，面積元素ds = rdrdθ，上式成為。

如果閉區(qū)域D如圖9-2-7（a）所示，這由公式（5'）有。

特別地，如果閉區(qū)域D如圖9-2-9所示，則φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是。

例3 計(jì)算，其中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域。

解 在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為 0≤r≤a，0≤θ≤2π。由公式（4）及（5）有

例4 求球體x+y+z≤4a圓柱面x+y=2ax（a>0）所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。解 由對稱性，22

222

2，其中D為半圓周式

及x軸所圍成的閉區(qū)域。在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可用不等0≤r≤2acos（θ），0≤θ≤π/2 來表示。于是。

第三節(jié) 二重積分的應(yīng)用實(shí)例

在二重積分的應(yīng)用中，由許多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理。如果所要計(jì)算的某個(gè)量對于閉區(qū)域D具有可加性（就是說，當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和），并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域dσ時(shí)，相應(yīng)的部分量可近似地表示為f（x，y）dσ的形式，其中（x，y）在dσ內(nèi)。這個(gè)f（x，y）dσ稱為所求量U的元素而記作dU，以它為被積表達(dá)式，在閉區(qū)域D上積分：，這就是所求量的積分表達(dá)式。9.3.1 曲面的面積 設(shè)曲面S由方程 z = f（x，y）

給出，D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域，函數(shù)f（x，y）在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx（x，y）和fy（x，y）。我們要計(jì)算曲面S的面積A。

在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ）。在dσ上取一點(diǎn)P（x，y），對應(yīng)地曲面S上有一點(diǎn)M（x，y，f（x，y）），點(diǎn)M在xOy面上的投影即點(diǎn)P。點(diǎn)M處曲面S的切平面設(shè)為T。以小閉區(qū)域dσ的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，這柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面。由于dσ的直徑很小，切平面T上的那一小片平面的面積dA可以近似代替相應(yīng)的那一小片面積的面積。設(shè)點(diǎn)M處曲面S上的法線（指向朝上）于z軸所成的角為γ，則

。因?yàn)?，所以?/p>

這就是曲面S的面積元素，以它為被積表達(dá)式在閉區(qū)域D上積分，得。

上式也可寫為這就是計(jì)算曲面面積的公式。

設(shè)曲面的方程為x=g（x，y）或y=h（z，x），可分別把曲面投影到xOy面上（投影區(qū)域記作Dyz）或zOx面上（投影區(qū)域記作Dzx），類似地可得，或例1 求半徑為a的球的表面積。

解：取上半球面的方程為x+y≤a。222，則它在xOy面上的投影區(qū)域D可表示為由，得。因?yàn)檫@函數(shù)在閉區(qū)域D上無界，我們不能直接應(yīng)用曲面面積公式。所以先取區(qū)域D1：x+y≤b（0

222，利用極坐標(biāo)，得

于是。

這就是半個(gè)球面的面積，因此整個(gè)球面的面積為

A = 4πa2。

9.3.2平面薄片的重心

設(shè)有一平面薄片，占有xOy面上的閉區(qū)域D，在點(diǎn)（x，y）處的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上連續(xù)。現(xiàn)在要找該薄片的重心的坐標(biāo)。

在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ），（x，y）是這小閉區(qū)域上的一個(gè)點(diǎn)。由于dσ的直徑很小，且ρ（x，y）在D上連續(xù)，所以薄片中相應(yīng)于dσ的部分的質(zhì)量近似等于ρ（x，y）dσ，這部分質(zhì)量可近似看作集中在點(diǎn)（x，y）上，于是可寫出靜矩元素dMy及dMx：

dMy = xρ（x，y）dσ，dMx =yρ（x，y）dσ。以這些元素為被積表達(dá)式，在閉區(qū)域D上積分，便得。

又由第一節(jié)知道，薄片的質(zhì)量為。

所以，薄片的重心的坐標(biāo)為。

如果薄片是均勻的，即面密度為常量，則上式中可把ρ提到積分記號外面并從分子、分母中約去，這樣便得均勻薄片重心的坐標(biāo)為

（1）

其中為閉區(qū)域D的面積。這時(shí)薄片的重心完全由閉區(qū)域D的形狀所決定。我們把均勻平面薄片的重心叫做這平面薄片所占的平面圖形的形心。因此，平面圖形D的形心，就可用公式（1）計(jì)算。

例2 求位于兩圓r = 2sinθ和r = 4sinθ之間的均勻薄片的重心

解 因?yàn)殚]區(qū)域D對稱于y軸，所以重心再按公式

必位于y軸上，于是。

計(jì)算。由于閉區(qū)域D位于半徑為1與半徑為2的兩圓之間，所以它的面積等于這兩個(gè)圓的面積之差，即A = 3π。再利用極坐標(biāo)計(jì)算積分：。

因此，所求重心是C（0，7/3）。

三、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)有一薄片，占有xOy面上的閉區(qū)域D，在點(diǎn)（x，y）處的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上連續(xù)?，F(xiàn)在要求該薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix以及對于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iy。應(yīng)用元素法，在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ），（x，y）是這小閉區(qū)域上的一個(gè)點(diǎn)。由于dσ的直徑很小，且ρ（x，y）在D上連續(xù)，所以薄片中相應(yīng)于dσ的部分的質(zhì)量近似等于ρ（x，y）dσ，這部分質(zhì)量可近似看作集中在點(diǎn)（x，y）上，于是可寫出薄片對于x軸以及對于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素： dIx = yρ（x，y）dσ,dIy = xρ（x，y）dσ。以這些元素為被積表達(dá)式，在閉區(qū)域D上積分，便得

22。

例3 求半徑為a的均勻半圓薄片（面密度為常量ρ）對于其直徑邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：取坐標(biāo)系如圖所示，則薄片所占閉區(qū)域D可表示為 x+y≤a，y≥0；

而所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即半圓薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix。222

其中 為半圓薄片的質(zhì)量。

第四節(jié) 利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

與二重積分的計(jì)算類似，三重積分有時(shí)也要利用柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo)來進(jìn)行計(jì)算。9.4.1 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M（x，y，z）為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P的極坐標(biāo)為r，θ，則這樣的三個(gè)數(shù)r，θ，z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)，這里規(guī)定r、θ、z的變化范圍為： 0 ≤ r < +∞, 0 ≤θ≤ 2π,-∞ < z < +∞。三組坐標(biāo)面分別為

r = 常數(shù)，即以z軸為軸的圓柱面； θ=常數(shù)，即過z軸的半平面； z = 常數(shù)，即與xOy面平行的平面。顯然，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為

（1）

現(xiàn)在要把三重積分中的變量變換為柱面坐標(biāo)。為此，用三組坐標(biāo)面r = 常數(shù)，θ=常數(shù)，z = 常數(shù)把Ω分成許多小閉區(qū)域，除了含Ω的邊界的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，這種小閉區(qū)域都是柱體?？紤]由r，θ，z各取得微小增量dr，dθ，dz所成的柱體的體積。柱體的高為dz、底面積在不計(jì)高階無窮小時(shí)為r dr dθ（即極坐標(biāo)系中的面積元素），于是得

dv = r dr dθdz，這就是柱面坐標(biāo)中的體積元素。再注意到關(guān)系式（1），就有

（2）

其中F（r，θ，z）= f（r cosθ，r sinθ，z）。（2）式就是把三重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為柱面坐標(biāo)的公式。至于變量變換為柱面坐標(biāo)后的三重積分的計(jì)算，則可化為三次積分來進(jìn)行?；癁槿畏e分時(shí)，積分限是根據(jù)r，θ，z在積分區(qū)域Ω中的變化范圍來確定的，下面通過例子來說明。例1 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分圍成的閉區(qū)域。，其中Ω是由曲面z = x+y與平面z = 4所

22解 把閉區(qū)域Ω投影到xOy面上，得半徑為2的圓形閉區(qū)域D：0≤r≤2，0≤θ≤2π。在D22內(nèi)任取一點(diǎn)（r，θ），過此點(diǎn)作平行于z軸的直線，此直線通過曲面z = x+y穿入Ω內(nèi)，然后通過平面z = 4穿出Ω外。因此閉區(qū)域Ω可用不等式 r2≤z≤4，0≤r≤2，0≤θ≤2π 來表示。于是

9.4.2 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M（x，y，z）為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r，φ，θ來確定，其中r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離，φ為有向線段看自x軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段

與z軸正向所夾的角，θ為從正z軸來的角，這里P為點(diǎn)M在xOy面上的投影。這樣的三個(gè)數(shù)r，φ，θ叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)，這里r，φ，θ的變化范圍為 0 ≤ r < +∞, 0 ≤φ≤ π, 0 ≤θ≤ 2π.r = 常數(shù)，即以原點(diǎn)為心的球面；

φ= 常數(shù)，即以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、z軸為軸的圓錐面； θ = 常數(shù)，即過z軸的半平面。點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為

（3）

為了把三重積分中的變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)，用三組坐標(biāo)面r = 常數(shù)，φ=常數(shù)，θ= 常數(shù)把積分區(qū)域Ω分成許多小閉區(qū)域?？紤]由r，φ，θ各取得微小增量dr，dφ，dθ所成的六面體的體積。不計(jì)高階無窮小，可把這個(gè)六面體看作長方體，其經(jīng)線方向的長為rdφ，緯線方向的寬為r sinφdθ，向徑方向的高為dr，于是得 dv = r sinφdrdφdθ，這就是球面坐標(biāo)系中的體積元素。再注意到關(guān)系式（3），就有 2,（4）

其中F（r，φ，θ）= f（r sinφcosθ，r sinφsinθ，r cosφ）。（4）式就是把三重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)的公式。

要計(jì)算變量變換為球面坐標(biāo)后的三重積分，可把它化為對r對φ及對θ的三次積分。若積分區(qū)域Ω的邊界曲面是一個(gè)包圍原點(diǎn)在內(nèi)的閉曲面，其球面坐標(biāo)方程為r = r（φ，θ），則。

當(dāng)積分區(qū)域Ω為球面r = a所圍成時(shí)，則。

特別地，當(dāng)F（r，φ，θ）= 1時(shí)，由上式即得球的體積，這是我們所熟知的。

例2 求半徑為a的球面與半頂角為α的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積。解 設(shè)球面通過原點(diǎn)O，球心在z軸上，又內(nèi)接錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，其軸與z軸重合，則球面方程為r = 2acosφ，錐面方程為φ=α。因?yàn)榱Ⅲw所占有的空間閉區(qū)域Ω可用不等式 0≤r≤2acosφ, 0≤φ≤α, 0≤θ≤2π 來表示，所以

在三重積分的應(yīng)用中也可采用元素法。

設(shè)物體占有空間閉區(qū)域Ω，在點(diǎn)（x，y，z）處的密度為ρ（x，y，z），假定這函數(shù)在Ω上連續(xù)，求該物體的重心的坐標(biāo)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。與第三節(jié)中關(guān)于平面薄片的這類問題一樣，應(yīng)用元素法可寫出

等，其中為物體的質(zhì)量。

例3 求均勻半球體的重心。

解 取半球體的對稱軸為z軸，原點(diǎn)取在球心上，又設(shè)球半徑為a，則半球體所占空間閉區(qū)域Ω可用不等式 x+y+z≤a，z≥0 來表示。2222顯然，重心在z軸上，故。，其中為半球體的體積。

因此，重心為。

第四篇：高等數(shù)學(xué)總結(jié)

FROM BODY TO SOUL

高等數(shù)學(xué)

第一講 函數(shù)、極限和連續(xù)

一、函數(shù) 1.函數(shù)的概念

幾種常見函數(shù) 絕對值函數(shù)： 符號函數(shù)： 取整函數(shù)： 分段函數(shù)：

最大值最小值函數(shù)：

2.函數(shù)的特性

有界性： 單調(diào)性： 奇偶性： 周期性：

3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

反函數(shù)：

復(fù)合函數(shù)：

第五篇：高等數(shù)學(xué)難點(diǎn)總結(jié)

高等數(shù)學(xué)難點(diǎn)總結(jié) 上冊：

函數(shù)（高等數(shù)學(xué)的主要研究對象）

極限：數(shù)列的極限（特殊）——函數(shù)的極限（一般）極限的本質(zhì)是通過已知某一個(gè)量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個(gè)量（因變量）的變化趨勢

由極限可以推得的一些性質(zhì)：局部有界性、局部保號性……應(yīng)當(dāng)注意到，由極限所得到的性質(zhì)通常都是只在局部范圍內(nèi)成立

在提出極限概念的時(shí)候并未涉及到函數(shù)在該點(diǎn)的具體情況，所以函數(shù)在某點(diǎn)的極限與函數(shù)在該點(diǎn)的取值并無必然聯(lián)系

連續(xù)：函數(shù)在某點(diǎn)的極限 等于 函數(shù)在該點(diǎn)的取值 連續(xù)的本質(zhì)：自變量無限接近，因變量無限接近

導(dǎo)數(shù)的概念

本質(zhì)是函數(shù)增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時(shí)的極限，更簡單的說法是變化率

微分的概念：函數(shù)增量的線性主要部分，這個(gè)說法有兩層意思，一、微分是一個(gè)線性近似，二、這個(gè)線性近似帶來的誤差是足夠小的，實(shí)際上任何函數(shù)的增量我們都可以線性關(guān)系去近似它，但是當(dāng)誤差不夠小時(shí)，近似的程度就不夠好，這時(shí)就不能說該函數(shù)可微分了

不定積分：導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算 什么樣的函數(shù)有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質(zhì)是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作規(guī)則的許多個(gè)小的部分，然后再綜合，最后求極限，當(dāng)極限存在時(shí)，近似成為精確 什么樣的函數(shù)有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數(shù)有不同的優(yōu)先級別，按反對冪三指的順序來記憶

定積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)里最重要的數(shù)學(xué)思想方法：微元法

微分和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質(zhì)是用多項(xiàng)式來逼近連續(xù)函數(shù)。要學(xué)好這部分內(nèi)容，需要考慮兩個(gè)問題：

一、這些多項(xiàng)式的系數(shù)如何求？

二、即使求出了這些多項(xiàng)式的系數(shù)，如何去評估這個(gè)多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)的精確程度，即還需要求出誤差（余項(xiàng)），當(dāng)余項(xiàng)隨著項(xiàng)數(shù)的增多趨向于零時(shí)，這種近似的精確度就是足夠好的。下冊

（一）：

多元函數(shù)的微積分：將上冊的一元函數(shù)微積分的概念拓展到多元函數(shù)

最典型的是二元函數(shù)

極限：二元函數(shù)與一元函數(shù)要注意的區(qū)別，二元函數(shù)中兩點(diǎn)無限接近的方式有無限多種（一元函數(shù)只能沿直線接近），所以二元函數(shù)存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點(diǎn)，函數(shù)值都要有確定的變化趨勢

連續(xù)：二元函數(shù)和一元函數(shù)一樣，同樣是考慮在某點(diǎn)的極限和在某點(diǎn)的函數(shù)值是否相等

導(dǎo)數(shù)：上冊中已經(jīng)說過，導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率（變化情況），在二元函數(shù)中，一點(diǎn)處函數(shù)的變化情況與從該點(diǎn)出發(fā)所選擇的方向有關(guān)，有可能沿不同方向會(huì)有不同的變化率，這樣引出方向?qū)?shù)的概念

沿坐標(biāo)軸方向的導(dǎo)數(shù)若存在，稱之為偏導(dǎo)數(shù)

通過研究發(fā)現(xiàn)，方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)存在一定關(guān)系，可用偏導(dǎo)數(shù)和所選定的方向來表示，即二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)已經(jīng)足夠表示清楚該函數(shù)在一點(diǎn)沿任意方向的變化情況

高階偏導(dǎo)數(shù)若連續(xù)，則求導(dǎo)次序可交換

微分：微分是函數(shù)增量的線性主要部分，這一本質(zhì)對一元函數(shù)或多元函數(shù)來說都一樣。只不過若是二元函數(shù)，所選取的線性近似部分應(yīng)該是兩個(gè)方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導(dǎo)數(shù)存在，不能推出用線性關(guān)系近似表示函數(shù)增量后帶來的誤差足夠小，即偏導(dǎo)數(shù)存在不一定有微分存在

若偏導(dǎo)數(shù)存在，且連續(xù)，則微分一定存在

極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和可微的關(guān)系在多元函數(shù)情形里比一元函數(shù)更為復(fù)雜

極值：若函數(shù)在一點(diǎn)取極值，且在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）存在，則此導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）必為零

所以，函數(shù)在某點(diǎn)的極值情況，即函數(shù)在該點(diǎn)附近的函數(shù)增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數(shù)來說，二階微分的符號就是二階導(dǎo)數(shù)的符號，對二元函數(shù)來說，二階微分的符號可由相應(yīng)的二次型的正定或負(fù)定性判斷。

級數(shù)斂散性的判別思路：首先看通項(xiàng)是否趨于零，若不趨于零則發(fā)散。若通項(xiàng)趨于零，看是否正項(xiàng)級數(shù)。若是正項(xiàng)級數(shù)，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數(shù)和調(diào)和級數(shù)是常用來作比較的級數(shù)，若通項(xiàng)是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項(xiàng)是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項(xiàng)級數(shù)，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項(xiàng)，看是否交錯(cuò)級數(shù)，用萊布尼茲準(zhǔn)則判斷。若不是交錯(cuò)級數(shù)，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項(xiàng)和是否有極限，具體問題具體分析。

比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)情況復(fù)雜，一般只研究冪級數(shù)。阿貝爾定理揭示了冪級數(shù)的重要性質(zhì)：收斂區(qū)域存在一個(gè)收斂半徑。所以對冪級數(shù)，關(guān)鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。

逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分不改變冪級數(shù)除端點(diǎn)外的區(qū)域的斂散性，端點(diǎn)情況復(fù)雜，需具體分析。

一個(gè)函數(shù)能展開成冪級數(shù)的條件是：存在任意階導(dǎo)數(shù)。展開后的冪級數(shù)能收斂于原來函數(shù)的條件是：余項(xiàng)（誤差）要隨著項(xiàng)數(shù)的增加趨于零。這與泰勒展開中的結(jié)論一致。

微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。