第一篇：等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和復(fù)習(xí)學(xué)案(教師版)

等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 【2013年高考會(huì)這樣考】

1．考查運(yùn)用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問題． 2．考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式及綜合應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】

1．掌握等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等．

2．掌握等差數(shù)列的判斷方法，等差數(shù)列求和的方法．

基礎(chǔ)梳理

1．等差數(shù)列的定義

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示． 2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.3．等差中項(xiàng)

如果A＝a＋b

2，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．

4．等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．

(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n為偶數(shù)，則S偶－Snd

2若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項(xiàng))．

5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

若已知首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an，則Sn＝n?a1＋an?

2，或等差數(shù)列

{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其前n項(xiàng)和公式為Sn＝na1＋n?n－1?

26．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系

Sn＝d

d2n2＋??a1－2??n，數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．

7．最值問題

在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．

一個(gè)推導(dǎo)

利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，① Sn＝an＋an－1＋…＋a1，② ①＋②得：Sn＝n?a1＋an?

兩個(gè)技巧

已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元．

(1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元． 四種方法

等差數(shù)列的判斷方法

(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù)；

(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；

(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an＝pn＋q；

(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn.注 后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列． 雙基自測(cè)

1．(人教A版教材習(xí)題改編)已知{an}為等差數(shù)列，a2＋a8＝12，則a5等于()．

A．4B．5C．6D．7 解析 a2＋a8＝2a5，∴a5＝6.答案 C

2．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于()．

A．31B．32C．33D．3

4a1＝26

解析 由已知可得???

a1＋5d＝2，3，?解得?

5a1＋10d＝30，???d＝－4

3.∴S8＝8a18×7

＝32.答案 B 3．(2011·江西)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()． A．1B．9C．10D．5

5解析 由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10?a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.答案 A 4．(2012·杭州質(zhì)檢)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于()．

A．13B．35C．49D．6

37?a1＋a7?

解析 ∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，∴S7＝＝

249.答案 C

5．在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝________.解析 設(shè)公差為d.則a5－a2＝3d＝6，∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.答案 13

713137

由①②可得d＝a1＝所以a5＝a1＋4d＝＋66222266＝67

.666766

答案

考向二 等差數(shù)列的判定或證明

【例2】?已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an＋

12Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a12

?1?

(1)求證：?Sn?是等差數(shù)列；

?

?

(2)求an的表達(dá)式．

[審題視點(diǎn)](1)化簡(jiǎn)所給式子，然后利用定義證明．(2)根據(jù)Sn與an之間關(guān)系求an.(1)證明 ∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，11∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴2(n≥2)．

SnSn－1

?1?11

由等差數(shù)列的定義知?Sn是以＝＝2為首項(xiàng)，以2為

S1a1??公差的等差數(shù)列．

(2)解 由(1)＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，SnS111

∴Sn＝.當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝－2Sn×Sn－1＝－

2n2n?n－1?1

又∵a1＝，不適合上式，∴an＝

考向一 等差數(shù)列基本量的計(jì)算 【例1】?(2011·福建)在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值． [審題視點(diǎn)] 第(1)問，求公差d； 第(2)問，由(1)求Sn，列方程可求k.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.從而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.n[1＋3－2n?]

所以Sn＝＝2n－n2.2進(jìn)而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7為所求．

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中，共涉

及五個(gè)量，知三可求二，如果已知兩個(gè)條件，就可以列出方程組解之．如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)、幾何意義去考慮也可以．體現(xiàn)了用方程思想解決問題的方法． 【訓(xùn)練1】(2011·湖北)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升．

解析 設(shè)竹子從上到下的容積依次為a1，a2，…，a9，由題意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則有4a1＋6d＝3①，3a1＋21d＝4②，?

?

1?2n?n－1?，n≥2.，n＝1，2等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中

項(xiàng)法，而對(duì)于通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適合在選擇題中簡(jiǎn)單判斷． 【訓(xùn)練2】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是n的二次函數(shù)，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.(1)求Sn；

(2)證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

(1)解 設(shè)Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，則－2＝A＋B＋C，??

?0＝4A＋2B＋C，??6＝9A＋3B＋C，解得：A＝2，B＝－4，C＝0.∴Sn＝2n2－4n.(2)證明 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－2.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2(n－1)2－4(n－1)]

＝4n－6.∴an＝4n－6(n∈N*)．

當(dāng)n＝1時(shí)符合上式，故an＝4n－6，∴an＋1－an＝4，∴數(shù)列{an}成等差數(shù)列．

考向三 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值

【例3】?設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值． [審題視點(diǎn)] 第(1)問：列方程組求a1與d；

第(2)問：由(1)寫出前n項(xiàng)和公式，利用函數(shù)思想解決． 解(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得

???a1＋2d＝5，??a1＝9??a1＋9d＝－9，可解得?，??d＝－2.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝11－2n.(2)由(1)知，Sn＝na1＋n?n－1?

d＝10n－n2.因?yàn)镾n＝－(n－5)2＋25，所以當(dāng)n＝5時(shí)，Sn取得最大值．

求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：

(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值．

(2)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．

【訓(xùn)練3】 在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值．

解 法一 ∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋10×915×1

42d＝15×20＋2，∴d

5∴an＝20＋(n－1)×??－53＝－53n＋65

3.∴a13＝0.即當(dāng)n≤12時(shí)，an＞0，n≥14時(shí)，an＜0.∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S12＝S13＝12×20＋12×112×?5?－3＝130.法二 同法一求得d＝－53.∴Sn＝20n＋n?n－1?2??－53?

?

＝－51256n2＋6

n

56n－252??2＋3 125

.∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.法三 同法一得d5

又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0，即a13＝0.∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.考向四 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 【例4】?設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，Sn＝324，最后6項(xiàng)的和為180(n＞6)，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n.[審題視點(diǎn)] 在等差數(shù)列 {an}中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)用此性質(zhì)可優(yōu)化解題過程．

解 由題意可知a1＋a2＋…＋a6＝36① an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180②

①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216.∴a1＋an＝36.又Snn?a1＋an?

2＝324，∴18n＝324.∴n＝

18.本題的解題關(guān)鍵是將性質(zhì)m＋n＝p＋q?am

＋an＝ap＋aq與前n項(xiàng)和公式Snn?a1＋an?

2結(jié)合在一起，采用整體思想，簡(jiǎn)化解題過程．

【訓(xùn)練4】(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝－7，且滿足an＋1＝an＋2(n∈N＋)，則a1＋a2＋…＋a17＝________.(2)等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，則此數(shù)列前20項(xiàng)和等于________． 解析(1)∵an＋1－an＝2，∴{an}為等差數(shù)列． ∴an＝－7＋(n－1)·2，∴a17＝－7＋16×2＝25，S17＝a1＋a17?×17－7＋25?×172

2＝153.(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋

78?(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54?a1＋a20＝18?S20＝a1＋a2018

220＝2×20＝180.答

案

(1)153

(2)180

閱卷報(bào)告6——忽視an與Sn中的條件n≥2而致誤

【問題診斷】 在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項(xiàng)an與其前n項(xiàng)和Sn之間存在下列關(guān)系：an＝blc{rc(avs4alco1(S1?n＝1?，,Sn－Sn－1?n≥2?.))這個(gè)關(guān)系對(duì)任意數(shù)列都是成立的，但要注意的是這個(gè)關(guān)系式是分段的，在n＝1和n≥2時(shí)這個(gè)關(guān)系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，這也是解題中經(jīng)常出錯(cuò)的一個(gè)地方，在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)要牢牢記住其“分段”的特點(diǎn).【防范措施】 由an＝Sn－Sn－1求出an后，一定不要忘記驗(yàn)證n＝1是否適合an.【示例】?(2009·安徽改編)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝2－bn.求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式．

錯(cuò)因 求an、bn時(shí)均未驗(yàn)證n＝1.實(shí)錄 ∵an＝Sn－Sn－1，∴an＝2n2＋2n－2(n－1)2－2(n－1)＝4n.又Tn＝2－bn，∴bn＝Tn－Tn－1＝2－bn－2＋bn－1，1?1

即bn－1，∴bn＝??2?n－1＝21－n.2

正解 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋2n－2(n－1)2－2(n－1)＝4n，又a1＝S1＝4，故an＝4n，當(dāng)n≥2時(shí)，由bn＝Tn－Tn－1＝2－bn－2＋bn－1，1

得bn－1，又T1＝2－b1，∴b1＝1，1∴bn＝??2n－1＝21－n.【試一試】 已知在正整數(shù)數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn滿足：

Sn＝(an＋2)2.8

(1)求證：{an}為等差數(shù)列．

(2)若bn＝an－30.求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值．

[嘗試解答](1)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝(a1＋2)2，8∴(a1－2)2＝0，∴a1＝2.11

當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(an＋2)2－1＋2)2，88∴an－an－1＝4，∴{an}為等差數(shù)列．

(2)由(1)知：an＝a1＋(n－1)4＝4n－2，131

由bn－30＝2n－31≤0得n≤22

∴{bn}的前15項(xiàng)之和最小，且最小值為－225.

第二篇：高三等差數(shù)列及前n項(xiàng)和導(dǎo)學(xué)案

《等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和》導(dǎo)學(xué)案

班級(jí)_______課時(shí)時(shí)間________

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．理解等差數(shù)列的概念，會(huì)用定義證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列； 2．能利用等差中項(xiàng)、通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式列方程求值； 3．善于識(shí)別數(shù)列中的等差關(guān)系或能將其轉(zhuǎn)化為等差關(guān)系。

重點(diǎn)：等差數(shù)列基本功式、概念及性質(zhì)的應(yīng)用。

難點(diǎn)：等差數(shù)列的證明及性質(zhì)的應(yīng)用?？键c(diǎn)梳理

1．等差數(shù)列

(1)定義：________________________.(2)通項(xiàng)公式：________________________________________________________________.(3)前n項(xiàng)和公式：____________________________________________________________.(4)a、b的等差中項(xiàng)A=_______________ 2．等差數(shù)列的常用性質(zhì)

（1）若{an}為等差數(shù)列,m、n、p、q、k是正整數(shù)，且m＋n＝p＋q＝2k，則am＋an＝______＝____.(2)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}_________，公差為________．（3）若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．

（4）若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為______的___數(shù)列．（5）若{an}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，是____數(shù)列，公差為____.（6）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn，則S2n－1＝___________.(7)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列{

Sn

n

}為__________.典例探究

題型一 等差數(shù)列有關(guān)基本量的計(jì)算

例1：在等差數(shù)列{an}中，已知a6=10,s5=5,求a8和s8.題型二 等差數(shù)列的判定與證明

例2：已知數(shù)列{an}中，a3

5＝2－1a(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{b111＝，ann}滿足bn＝(n∈N*)．

n?1an?1an?1

(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.題型三 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

例3：(1)(2011·遼寧高考)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S2＝S6，a4＝1，則a5＝________.(2)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知aa2m?1?m?1?am?0,s2m?1?38,則m=____.（3）等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，,2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為______.達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.（2012年高考北京文）已知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若a1

1?,S2?a3,則a2?________;Sn=________.2數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，則an=________.3．(2011年重慶)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a7＝37，則a2＋a4＋a6＋a8＝_____.

第三篇：等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案

等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案

一、教材分析

1、教材內(nèi)容：等差數(shù)列前n項(xiàng)求和過程以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

2.教材所處的地位和作用：本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和，與前面學(xué)過

的等差數(shù)列的定義、性質(zhì)等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，又能為后面等比數(shù)列前n

項(xiàng)和以及數(shù)列求和做鋪墊。

3、教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，理解公式的推導(dǎo)方法。同時(shí)能

熟練、靈活地應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決問題。

（2）過程與方法：經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體驗(yàn)倒序相加進(jìn)行求和的過程，學(xué)會(huì)

觀察、歸納、反思。體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法。

（3）情感、態(tài)度、價(jià)值觀：通過具體、生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)問題的引入，激發(fā)學(xué)生探

究求和方法的興趣，樹立學(xué)生求知意識(shí)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，逐步養(yǎng)

成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高一般公式推理的能力。

4、重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的掌握與應(yīng)用。

難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的掌握。

二、學(xué)情分析

學(xué)生前幾節(jié)已經(jīng)學(xué)過一些數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法，還學(xué)了等差數(shù)列的定

義以及性質(zhì)，對(duì)等差數(shù)列已經(jīng)有了一定程度的認(rèn)識(shí)。這些知識(shí)也為這節(jié)的等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式做準(zhǔn)備，讓學(xué)生能更容易理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程。同時(shí)也為后面的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式做鋪墊。但由于數(shù)列形式多樣，因此僅僅掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式還是不夠的，更應(yīng)該學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用。

三、教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)，探索發(fā)現(xiàn)

四、教學(xué)過程

1．教學(xué)環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境

教學(xué)過程：200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題： 1?2?3???100?？。據(jù)說，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯迅速得出5050這個(gè)答案。讓同學(xué)思考并討論高斯是怎么算的。

設(shè)計(jì)意圖：由著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯的例子引發(fā)同學(xué)們的思考，為下面引入倒序相加法求和做準(zhǔn)備。2．教學(xué)環(huán)節(jié)：介紹倒序相加法

教學(xué)過程：請(qǐng)同學(xué)將自己的計(jì)算方法在課上發(fā)表，老師接著介紹倒序相加

法。記S?1?2?3???10098???1S?100?99?，從而發(fā)現(xiàn)每一列相加都得101。

則2S?(1?100)?(2?99)?(3?98)???(100?1)?101*100

S?101*1002?5050

類似地，用同樣的方法計(jì)算1,2,3，?，n，?的前n項(xiàng)和，可以得到 1?2?3???n?(n?1)n。2 設(shè)計(jì)意圖：介紹倒序相加法，并用這個(gè)方法計(jì)算1,2,3，?，n，?的前n 項(xiàng)和，從而為下面推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式做鋪墊。

3.教學(xué)環(huán)節(jié)：推導(dǎo)公式

教學(xué)過程：首先介紹數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，用Sn來表示，即

Sn?a1?a2?a3???an。對(duì)于公差為d的等差數(shù)列，我們用兩種方法表示Sn。Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)???[a1?(n?1)d]Sn?an?(an?d)?(an?2d)???[an?(n?1)d]

則兩式相加得：

2Sn?(a1?an)?(a1?an)?(a1?an)???(a1?an)?n(a1?an)

???????????????????n個(gè)n(a1?an)，將等差數(shù)列的通項(xiàng)公2n(n?1)d。式an?a1?(n?1)d代入，得到公式Sn?na1?2 推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式為Sn? 設(shè)計(jì)意圖：用倒序相加法推導(dǎo)得到等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，由于有前面的鋪墊讓學(xué)生更容易理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，對(duì)后面的應(yīng)用也有幫助。

4、教學(xué)環(huán)節(jié)：例題講解

教學(xué)過程：例1：用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式計(jì)算1+3+5+?+99的值。

例2：a1?1,a8?6，求這個(gè)等差數(shù)列的前8項(xiàng)和S8以及公

差d。例3：已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?n2?n，求這個(gè)數(shù)列 的通項(xiàng)公式。這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？

設(shè)計(jì)意圖：鞏固等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，加深學(xué)生對(duì)該公式的印象。6．教學(xué)環(huán)節(jié)：回顧總結(jié)

教學(xué)過程：

1、倒序相加法進(jìn)行求和的思想

2、復(fù)習(xí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn? Sn?na1?n(a1?an)和 2n(n?1)強(qiáng)調(diào)要根據(jù)條件選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn) d，行求解。以及公式的適用范圍。7．教學(xué)環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

七、板書設(shè)計(jì)

1、問題的提出

2、倒序相加法

3、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

4、例題

5、回顧總結(jié)

6、布置作業(yè)

第四篇：2.3等差數(shù)列前n項(xiàng)和學(xué)案

2.3.1等差數(shù)列前n項(xiàng)和學(xué)案（第一課時(shí)）

姓名：班級(jí)：日期：【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路；

2.會(huì)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題.【本節(jié)重點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用.【本節(jié)難點(diǎn)】靈活運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問題

一、復(fù)習(xí)回顧

1：什么是等差數(shù)列？等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？

2：等差數(shù)列有哪些性質(zhì)？

二、學(xué)習(xí)探究

探究：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式問題：

1.計(jì)算1+2+?+100=?

2.如何求1+2+?+n=?

新知：

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和：

一般地，稱{an}的前n項(xiàng)的和，用Sn表示，即Sn?反思：

① 如何求首項(xiàng)為a1，第n項(xiàng)為an的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和?

② 如何求首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和?

試試：根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.⑴a1??4，a8??18，n?8；⑵a1?14.5，d?0.7，n?1

5小結(jié)： 1.用Sn(a1?an)

n?，必須具備三個(gè)條件：.2.用Sn(n?1)d

n?na1?，必須已知三個(gè)條件：.三、典型例析：在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求

s60

(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

四、學(xué)習(xí)小結(jié) 1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的兩種形式；2.兩個(gè)公式適用條件，并能靈活運(yùn)用；

3.等差數(shù)列中的“知三求二”問題，即：已知等差數(shù)列之a(chǎn)1,an,q,n,Sn五個(gè)量中任意的三個(gè)，列方程組可以求出其余的兩個(gè).五、當(dāng)堂檢測(cè) 1.在等差數(shù)列{an}中，S10?120，那么a1?a10?（）.A.12B.24C.36D.48 2.在50和350之間，所有末位數(shù)字是1的整數(shù)之和是（）.A．5880B．5684C．4877D．4566 3.已知等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為21，末4項(xiàng)和為67，前n項(xiàng)和為286，則項(xiàng)數(shù)n 為（）A.24B.26C.27D.28 4.在等差數(shù)列{an}中，a1?2，d??1，則S8?.5.在等差數(shù)列{an

}中，a1?25，a5

?33，則S6

?

第五篇：等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案

等差數(shù)列前n項(xiàng)和(第一課時(shí)）教案

【課題】

等差數(shù)列前n項(xiàng)和第一課時(shí)

【教學(xué)內(nèi)容】

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)和練習(xí)

【教學(xué)目的】

（1）探索等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；

（2）掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式；

（3）能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問題

【教學(xué)方法】 啟發(fā)引導(dǎo)法，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，從而理解并掌握.【重點(diǎn)】

等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及其應(yīng)用。

【難點(diǎn)】

等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)思路的獲得 【教具】

實(shí)物投影儀，多媒體軟件，電腦 【教學(xué)過程】

1.復(fù)習(xí)回顧 a1 + a2 + a3 +......+ an=sn

a1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自學(xué)

問題一： 一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1 支鉛筆，往上每一層都比它下面一層 多放一支，最上面一層放 100支，這個(gè)V 形架上共放著多少支鉛筆？

思考：(1)問題轉(zhuǎn)化求什么 能用最短時(shí)間算出來嗎？

(2)閱讀課本后回答，高斯是如何快速求和的？

他抓住了問題的什么特征？

(3)如果換成1+2+3+…+200=？我們能否快速求和？，(4)根據(jù)高斯的啟示，如何計(jì)算 18+21+24+27+…+624=？

3..合作互學(xué)（小組討論，總結(jié)方法）

問題二： Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?

倒序相加法

探究：能把以上問題的解法推廣到求一般等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和嗎？

問題三： 已知等差數(shù)列{an }中，首項(xiàng)a1，公差為d，第n項(xiàng)為an , 如何求前n項(xiàng)和Sn ？

等差數(shù)列前項(xiàng)和公式： n(a1 + an)=2Sn

問題四： 比較以上兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征，類比于問題一，你能給出它們的幾何解釋嗎？

n(a1 + a n)=2Sn

公式記憶 —— 類比梯形面積公式記憶

n（a1 + a n)=2S 問題五： 兩個(gè)求和公式有何異同點(diǎn)？能夠解決什么問題？

展示激學(xué)

應(yīng)用公式

例1.等差數(shù)列－10，－6，－2，2的前多少項(xiàng)的和為-16 例2.已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和是310,前20項(xiàng)的和是1220,由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎?

【思考問題】如果一個(gè)數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和Sn = pn2 + qn + r，(其中p,q,r為常數(shù)，且p ≠ 0)，那么這個(gè)數(shù)列 一定是等差數(shù)列嗎？若是，說明理由，若不是，說明Sn必須滿足的條件。

【教學(xué)后記】新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出“數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言 是現(xiàn)代文明的重要組成部分” “要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”等，將數(shù)學(xué)史有機(jī)地融入到課堂教學(xué)中，不僅不會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)，相反卻會(huì)激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的熱情，起到正面推動(dòng)作用，提升數(shù)學(xué)教育成效.這也是貫徹德育、提倡人文精神的重要組成部分.由具體的問題情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)由教師引導(dǎo)學(xué)生自主探索, 由于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和學(xué)生認(rèn)知的不完備性是一個(gè)矛盾，因此公式的發(fā)現(xiàn)過程是一個(gè)不斷修改、不斷完善、逐步發(fā)現(xiàn)的過程.引導(dǎo)學(xué)生積極參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程, 并弄清楚每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系,要適當(dāng)延遲判斷,多讓學(xué)生想一想、議一議、說一說,重視思路分析的訓(xùn)練．須知教師講課的最精彩之處,不是自己分析的頭頭是道,而是引導(dǎo)學(xué)生探求解題思路最后再引導(dǎo)學(xué)生歸納引出結(jié)論．通過例題的講解和練習(xí)的訓(xùn)幫助學(xué)生掌握 和記憶公式,例題的變式訓(xùn)練加大課堂教學(xué)的研究性、開放性和自主性，在開展探究活 動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的基本技能.