第一篇：等差數列一(學生)

等差數列

（一）一、選擇題

1．等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a6＋a7＝18，則S9的值是()

A．64B．72C．54D．以上都不對

2．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a4＝18－a5，則S8等于()

A．18B．36C．54D．72

3．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若m>1，am－1＋am＋1－am2－1＝0，S2m－1＝39，則m等于()

A．10B．19C．20D．39

4．等差數列{an}的前n項和為Sn(n＝1,2,3，…)，若當首項a1和公差d變化時，a5＋a8＋a11是一個定值，則下列選項中為定值的是()

A．S17B．S18C．S15D．S14

5．設等差數列{an}的前n項和為Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當Sn取最小值時，n等于()

A．6B．7C．8D．9

6．已知在等差數列{an}中，對任意n∈N*，都有an>an＋1，且a2，a8是方程x2－12x＋m＝0的兩根，且前15項的和S15＝m，則數列{an}的公差是()

A．－2或－3B．2或3C．－2D．－3

7．等差數列{an}前9項的和等于前4項的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝________.8．已知{an}是等差數列，a4＝15，S5＝55，則過點P(3，a3)，Q(4，a4)的直線的斜率是________．

9．設a1，d為實數，首項為a1公差為d的等差數列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0，則d的取值范圍是________．

三、解答題

10．在數列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．

1(1)求證：數列{是等差數列； an

(2)求數列{an}的通項．

31111．已知數列{an}中，a1an＝2－n≥2，n∈N*)，數列{bn}滿足bn＝(n∈N*)． 5an－1an－1

(1)求證：數列{bn}是等差數列；

(2)求數列{an}中的最大項和最小項，并說明理由．

第二篇：等差數列練習題(一)

等差數列練習題

（一）35241.已知為等差數列，1

A.-1B.1C.3D.7 a?a?a?105,a?a?a6?99，則a20等于（）

2.設Sn是等差數列?an?的前n項和，已知a2?3，a6?11，則S7等于()

A．13B．35C．49D． 63

3.等差數列{an}的前n項和為Sn，且S3 =6，a1=4，則公差d等于

A．1B5C.-2D 3 3

4.已知?an?為等差數列，且a7－2a4＝－1,a3＝0,則公差d＝

11C.D.2 22

5.若等差數列{an}的前5項和S5?25，且a2?3，則a7?()A.－2B.－

A.12B.13C.14D.156、已知為等差數列，A.-1B.1C.3D.7，則等于()

7、若數列?an?的通項公式為an?2n?5，則此數列是（）

A.公差為2的等差數列B.公差為5的等差數列

C.首項為5的等差數列D.公差為n的等差數列

8、已知等差數列?an?的首項為23，公差是整數，從第7項開始為負值，則公差為（）

A.－5 B.－4C.－3D.－29、在等差數列?an?中,若a3?a4?a5?a6?a7?450，則a2?a8?（）

A.45B.75C.180D.30010、等差數列?an?中，a3?50，a5?30，則a9?.11、等差數列?an?中，a3?a5?24，a2?3，則a6?.12、已知等差數列?an?中，a2與a6的等差中項為5，a3與a7的等差中項為7，則an?.13、在等差數列{an}中,a3?7,a5?a2?6,則a6?____________.14、在等差數列?an?中，a12?23，a42?143，an?239，求n及公差d．

第三篇：數列專題一 等差數列知識點

數列專題一 等差數列知識點

——等差、等比數列是重要的、基本的數列，許多其它數列要轉化成這種數列來處理，要站好這塊地盤

一、建構知識網絡

1．定義：an?1?an?d(常數)(n?N*)

2．通項公式：an?a1?(n?1)d，推廣：an?am?(n?m)d

d=an?a1a?am，d=n是點列（n，an）所在直線的斜率.n?1n?m

ddn(a1?an)n(n?1)?na1?d?n2?(a1?)n 2222

變式：由于“m?n?p?q,則am?an?ap?aq”，所以只要有p?q?n?1，3．前n項的和：Sn?則 nan?1 222

4.等差中項：若a、b、c等差數列，則b為a與c的等差中項:2b=a+cSn?n(ap?aq)，特別的，當n為奇數時，Sn?

5．性質:設{an}是等差數列，公差為d,則

(1)m?n?p?q,則am?an?ap?aq

(2)an,an?m,an?2m,?組成公差為md的等差數列.(3)Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?組成公差為n2d的等差數列.6．等差數列的判定方法(n∈N*)

(1)定義法: an+1-an=d是常數(2)等差中項法:2an?1?an?an?2

(3)通項法:an?a1?(n?1)d(4)前n項和法:Sn?An2?Bn

7．a1,d,n,an,Sn知三求二, 可考慮統一轉化為兩個基本量;或利用數列性質,三數:a?d,a,a?d； 四數：a?3d,a?d,a?d,a?3d

8.會從函數角度理解和處理數列問題，等差數列性質：單調性① 當d?0時，數列an?a1?(n?1)d單調遞增，前n項的和Sn有最小值；② 當d?0時，數列an?a1?(n?1)d單調遞減，前n項的和Sn有最大值；③ 當d?0時，數列{an}為常數列；

④ |an|的性質。

第四篇：等差數列專題(學生版、教師版)

等差數列專題（學生版、教師版）

知識回顧

1．等差數列的判定方法

①定義法：an＋1－an＝d(常數)?{an}是等差數列．②中項公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數列．③通項公式法：an＝pn＋q(p，q為常數)?{an}是等差數列．④前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)?{an}是等差數列．

2．等差數列的性質

①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．

②若m，n，p，k∈N*，且m＋n＝p＋k，則am＋an＝ap＋ak，其中am，an，ap，ak是數列中的項．特別地，當m＋n＝2p時，有am＋an＝2ap.③若{an}成等差數列，且Sn為其前n項的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數列．

Sa④項數為偶數2n的等差數列{an}，有S偶?S奇?nd；奇?n.S偶an?

1S奇n項數為奇數(2n－1)的等差數列{an}，有S2n－1＝(2n－1)an(an為中間項)；S奇－S偶＝an；＝S偶n－1

⑤在等差數列中，若ap＝q，aq＝p，則ap＋q＝0；若Sm＝n，Sn＝m，則Sm＋n＝－(m＋n).3．用函數的觀點審視等差數列

(1)等差數列的通項公式可表示為an＝dn＋b(這里b＝a1－d，a1是首項，d為公差)．

d1(2)Snn2d－2a1)n.∴當d≠0時，等差數列的前n項和Sn是n的二次函數． 2

2典型例題

【例1】在等差數列{an}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61；

(2)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；

(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8.答案(1)d=4，a61＝217；(2)a1＝－8，d＝4；（3）a1＝－5，d＝3，a8＝16，S8＝

a1?2a2?????nan.1?2???n

求證：(1)若{bn}為等差數列，數列{an}也是等差數列；

(2)若{an}是等差數列，則數列{bn}也是等差數列．

11證明(1)由已知得a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)bn，a1＋2a2＋…＋(n＋1)an＋1n＋1)(n＋2)·bn＋1，22

113∴an＋1＝(n＋2)bn＋1－·b.∴an＋1－an＝(bn＋1－bn)為常數，∴{an}為等差數列． 222

1111(2)由已知得an(n＋1)bn(n－1)·bn－1，an＋1＝(n＋2)·bn＋1－n·b，2222n

32∴an＋1－an＝(bn＋1－bn)為常數，∴bn＋1－bn＝an＋1－an)為常數，∴數列{bn}也為等差數列． 2

3aA7n?45【例3】已知兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為An，Bn，且n?，則使得為整數的正整bnBnn?38?a1＋a844.2【例2】兩個數列{an}和{bn}滿足bn＝

數n的個數是()

A．2B．3C．4D．

5A2n－12aaa12a解析 ∵＝∴＝7＋，∴當n＝1,2,3,5,11時，D.bnbnB2n－12bnbnn＋1

【例4】已知{an}為等差數列，Sn＝m，Sm＝n，其中m≠n，m，n∈N*，求Sm＋n.答案 解法一：設首項為a1，公差為d，解方程得Sm＋n＝－(m＋n)．

?Am2＋Bm＝n，①?

解法二：設Sx＝Ax2＋Bx，則?，①－②得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m，2??An＋Bn＝m，②

∵m≠n，∴A(m＋n)＋B＝－1，∴Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)．

m?n

解法三：Sm－Sn＝n－m＝an＋1＋an＋2＋…＋am＝(an?1?am).∴an＋1＋am＝a1＋an＋m＝－2，∴Sm＋n＝－(m＋n)．

【例5】(1)在等差數列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15，求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值；

(2)已知數列{an}的通項公式是an＝4n－25，求數列{|an|}的前n項和.?5＝－5n＋65.∴a13＝0，即當n≤12時，an>0，n≥14時，an<0，解(1)方法一 an＝20＋(n－1)×?333

12×11?5?

∴當n＝12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S13＝S12＝12×20?－3?＝130.2

25553 125n－?2＋方法二 同方法一求得d＝－∴Sn＝－2?3624∵n∈N*，∴當n＝12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.方法三 同方法一得d＝－.又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0，即a13＝0.∴當n＝12或13時，Sn有最大值.且最大值為S12＝S13＝130.(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.11?a?0所以數列{an}是以－21為首項，以4為公差的遞增的等差數列.令?n得nn≥5，所以n＝6.4

4?an?1?0

??－2n＋23n n≤6?，設{|an|}的前n項和為Tn，則Tn＝?

?2n－23n＋132 ?n≥7?.?

【例6】兩個等差數列{an}：5,8,11，…和{bm}：3,7,11，…，都有100項，問它們有多少個共同的項． 解析 解法一：∵an＝5＋(n－1)×3＝3n＋2，bm＝3＋(m－1)×4＝4m－1，∴兩數列共同的項需3n＋2＝4m－1，∴n－1，而n∈N*，m∈N*

??1≤3r≤100，∴設m＝3r(r∈N)，得n＝4r－1.?∴1≤r≤25，∴共有25個共同的項．

??1≤4r－1≤100.*

解法二：設兩數列共同項組成新數列{Cn}，則C1＝11，又an＝3n＋2，bm＝4m－1，由題意知{Cn}為等差數列，且公差d＝12，∴Cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，∴Cn＝12n－1≤302，由n∈N*得n≤25，∴兩數列有25個共同的項． 點評 可以看出，新數列的公差應是原來兩數列的公差的最小公倍數.【例7】在下表所示的5×5正方形的25個空格中填入正整數，使得每一行，每一列都成等差數列，則標有*號的空格中的數是

解析 記aij為從上到下第i行，從左到右第j列的空格中所填的數，則a52＝x，a41＝y.由第3行得a33＝2y＋186，由第3列得a33＝2×103－2x，所以2x＋y＝113.① 2

由第2行得a23＝2×74－3y，由第3列得a23＝2a33－103＝3×103－4x，所以148－3y＝3×103－4x，整理得4x－3y＝161.②

聯立①②解得x＝50，y＝13.所以a15＝2×186－a55＝2×186－4x＝172，a13＋a15a13＝2a33－a53＝112，故a14＝＝142.故標有*號的空格應填142.【例8】已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋cn(c∈R，n＝1,2,3…)，且S1，S3

成等差數列.3

(1)求c的值；

(2)求數列{an}的通項公式.Sn＋cnSSSSSS解：(1)∴－n＝1,2,3，…).∵S1，成等差數列，∴∴c＝1.232132n＋1nn(n＋1)

S2，2

Sn＋1

Sn＋1SSS(2)由(1)得1(n＝1,2,3，…).∴數列{}，公差為1的等差數列.n1n＋1n

SS∴(n－1)·1＝n.∴Sn＝n2.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.n1

當n＝1時，上式也成立∴an＝2n－1(n＝1,2,3，…).【例9】（1）設Sn為數列{an}的前n項和，且Sn＝an－1)(n∈N *)．求數列{an}的通項公式．

2an?2an?120

（2）已知數列{an}的前n項和為Sn，an>0，a1＝12，且滿足Sn＝.試證明{an}為等差數列，并求{an}的通項公式．

解析（1）∵Sn＝(an－1)，∴當n＝1時，S1＝a1＝·(a－1)．解得a1＝3.當n≥2時，22133aan＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得3，22an－1∴當n≥2時，數列{an}是以3為公比的等比數列，且首項a2＝3a1＝9.∴n≥2時，an＝9·3n－2＝3n.顯然，當n＝1時也成立．故數列的通項公式為an＝3n(n∈N *).22an－1＋2an－1－120an?2an?120

（2）當n≥2時，Sn＝，①Sn－1＝②

①－②整理得：(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0，又an>0，則an

－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，因此

{an}為等差數列，an＝a1＋2(n－1)＝2n＋10.【例10】（1）求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值；

（2??????的前n項和；

111cos1?

（3）求證：.???????

cos0?cos1?cos1?cos2?cos88?cos89?sin21?

【解】（1）倒序相加法：2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89 ∴S＝44.5（2）裂項相消法：

Sn???????

1.sin1?111（3）解：設S?，∵?tan(n?1)??tann? ??????????????

cosncos(n?1)cos0cos1cos1cos2cos88cos89

S?????????????

cos0cos1cos1cos2cos88cos891＝{(tan1??tan0?)?(tan2??tan1?)?(tan3??tan2?)?[tan89??tan88?]} ?

sin1

cos1?1??

＝(tan89?tan0)＝2?.∴ 原等式成立

sin1sin1?

反饋練習

1.在等差數列{an}中，2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,則此數列的前13項之和等于()（A）13（B）26（C）52（D）156 2.若等差數列{an}的前5項和為S5=25，且a2=3,則a7=()(A)12(B)13(C)14(D)15

3.如果等差數列{an}中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=()(A)14(B)21(C)28(D)35

?n?1(n為奇數）

4.已知數列an??則a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=()

n(n為偶數）?

（A）4 800（B）4 900（C）5 000（D）5 100

5.已知等差數列{an}中，|a3|=|a9|,公差d<0；Sn是數列{an}的前n項和，則()（A）S5>S6(B)S5

6.在遞減等差數列{an}中，若a1+a100=0,則其前n項和Sn取最大值時的n值為()(A)49(B)51(C)48(D)50 7.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且

SS41

?，則8=_______． S83S16

8.各項均不為零的等差數列{an}中，若an?an?1?an?1?0（n∈N*,n≥2),則S2 012等于________.9.項數大于3的等差數列{an}中，各項均不為零，公差為1，且_______.10.在數列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n,設bn?,求證：數列{bn}是等差數列.2n?1

11.已知數列{an}中，a1=8,a4=2,且滿足an+2+an=2an+1.（1）求數列{an}的通項公式；

（2）設Sn是數列{|an|}的前n項和，求Sn.【答案】1.B，2.B，3.C，4.C，5.D，6.D

an

111???1,則其通項公式為a1a2a2a3a1a3

3*；

8、4 024；

9、an=n(n∈N)10

an?12an?2nann

??1?bn?1，10.【證明】∵an+1=2an+2，∴bn?1?n?

22n2n?

17、∴bn+1-bn=1.又b1=a1=1，∴數列{bn}是首項為1，公差為1的等差數列.11.【解析】（1）∴an=a1+(n-1)d=-2n+10.??n2?9n(n?5),?(2)令an≥0得n≤5.即當n≤5時，an≥0；n≥6時，an<0.∴Sn=?2

??n?9n?40(n?6).

第五篇：等差數列練習題學生版

一、選擇題

1．在等差數列{an}中，a1＝21，a7＝18，則公差d＝（）A.12 B.13 C．－12 D．－13 2．在等差數列{an}中，a2＝5，a6＝17，則a14＝（）A．45 B．41 C．39 D．37 3．已知數列{an}對任意的正整數n，點Pn(n，an)都在直線y＝2x＋1上，則數列{an}為（）A．公差為2的等差數列 B．公差為1的等差數列 C．公差為－2的等差數列 D．非等差數列

4．已知m和2n的等差中項是4，2m和n的等差中項是5，則m和n的等差中項是（）A．2 B．3 C．6 D．9 5．下面數列中，是等差數列的有（）①4,5,6,7,8，…

②3,0，－3,0，－6，…

③0,0,0,0，… ④110，210，310，410，…

A．1個 B．2個 C． 3個 D．4個

6．數列{an}是首項為2，公差為3的等差數列，數列{bn}是首項為－2，公差為4的等差數列．若an＝bn，則n的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知等差數列{an}的首項a1＝1，公差d＝2，則a4等于（）A．B．6 C．7 D．9 8．在數列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，則該數列的通項公式an＝（）A．2n＋1 B．2n－1 C．2n D．2(n－1)

二、填空題

9．△ABC三個內角A、B、C成等差數列，則B＝__________.10．已知等差數列{an}，an＝4n－3，則首項a1為__________，公差d為__________．

11．在等差數列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝__________.12．已知數列{an}滿足a2n＋1＝a2n＋4，且a1＝1，an＞0，則an＝________.三、解答題

13．在等差數列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求它的通項公式．

14．已知等差數列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2－10x＋16＝0的兩個實根．

(1)求此數列{an}的通項公式；

(2)268是不是此數列中的項？若是，是第多少項？若不是，說明理由． 15．已知(1,1)，(3,5)是等差數列{an}圖象上的兩點．(1)求這個數列的通項公式；(2)畫出這個數列的圖象；(3)判斷這個數列的單調性．