第一篇：等差數(shù)列的一個(gè)特征性質(zhì)及應(yīng)用
等差數(shù)列第一個(gè)特征性質(zhì)及應(yīng)用
江西南昌市衛(wèi)生學(xué)校熊秋玲
內(nèi)容提要：本文證明等差數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)：數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件為：對(duì)于任意三個(gè)自然數(shù)q,p,r,恒有(q-r）ap+(r-p)aq+(p-q)ar=0成立。并舉實(shí)例說(shuō)明其實(shí)用。
等差數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，有一個(gè)特征性質(zhì)應(yīng)用極為廣泛，即
定理數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件為：對(duì)于任意三個(gè)自然數(shù)p,q,r,恒有(q-r）ap+(r-p)aq+(p-q)ar=0（1）證明必要性，設(shè){an}是一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)為a1,公差為d，則
ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,ar=a1+(r-1)d,于是
（q-r）ap+(r-p)aq+(p-q)ar
=p(ar-aq)+q(ap-ar)+r(aq-ap)
=p(r-d)d+q(p-r)d+r(q-p)d
=0。即(1)式成立。
充分性，若對(duì)任意三個(gè)自然數(shù)p,q,r,恒有（1）式成立。于是對(duì)任意的自然數(shù)n（n≥2），取p=n-1,q=n,r=n+1,則由
（1）式，有
-an-1+2an-an+1=0,即an-1+an+1=2an(n≥2),這說(shuō)明數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列。
定理的等式（1）是循環(huán)對(duì)稱，用數(shù)列中的任意三項(xiàng)來(lái)刻畫等差數(shù)列的特征。應(yīng)用它來(lái)處理與等差數(shù)列有關(guān)的一些問(wèn)題時(shí)，顯得相當(dāng)靈活方便，茲舉幾例說(shuō)明之。
例1.在等差數(shù)列{an}中，已知ap=q=求ap+q qp11解：由（1）式，有
q?(p+q)?p+q ?p ?+ p?q ap+q=0 即-++(p?q)ap+q=0 qppq11qp
∴(p-q)ap+q=?= p?q(+
故 ap+q=+ pq1q1ppqpq11例2.在等差數(shù)列{an}中，已知am+n=A,am-n=B(m>
第二篇：等差數(shù)列的性質(zhì)(定稿)
等差數(shù)列的性質(zhì)
1．?dāng)?shù)列
為等差數(shù)列，則a3=
2．設(shè)x，a1，a2，a3，y成等差數(shù)列，x，b1，b2，b3，b4，y成等差數(shù)列，則的值是
第三篇：等差數(shù)列的性質(zhì)總結(jié)
1.等差數(shù)列的定義式：an?an?
12．等差數(shù)列通項(xiàng)公式：
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)，首項(xiàng):a1，公差:d，末項(xiàng):an
a?am推廣： an?am?(n?m)d．從而d?n； n?m
3．等差中項(xiàng)
（1）如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．即：A?
（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2,n?N+)?2an?1?an?an?
24．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
n(a1?an)n(n?1)d1Sn??na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222
（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）
特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n?1時(shí)，an?1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)
S2n?1?a?b或2A?a?b 2等差數(shù)列性質(zhì)總結(jié)（n?2）； ?d（d為常數(shù)）?2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)）
5．等差數(shù)列的判定方法
（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列．
（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．⑶數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b（其中k,b是常數(shù)）。
（4）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數(shù)）。
6．等差數(shù)列的證明方法
定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列 等差中項(xiàng)性質(zhì)法：2an?an-1?an?1(n?2，n?N?)．
7.提醒：
（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。
（2）設(shè)項(xiàng)技巧：
①一般可設(shè)通項(xiàng)an?a1?(n?1)d
②奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）； ③偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d）
8.等差數(shù)列的性質(zhì)：
（1）當(dāng)公差d?0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；
n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.前n和Sn?na1?22
2（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。
（3）當(dāng)m?n?p?q時(shí),則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時(shí)，則有am?an?2ap.注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，（4）若?an?、?bn?為等差數(shù)列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數(shù)列
-讓夢(mèng)想起飛，讓成績(jī)飛揚(yáng)！
(5)若{an}是等差數(shù)列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數(shù)列
（6）數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k?N*)項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數(shù)列
（7）設(shè)數(shù)列?an?是等差數(shù)列，d為公差，S奇是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，Sn是前n項(xiàng)的和
。當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan
2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2
S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an??nd
S偶
S奇?nan?1an?1 ?nanan
。當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n?1時(shí)，則
?S偶n?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1 ?????S奇?S偶?an+1S奇n?1?S偶?nan+1???
（其中an+1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)）．
（8）{bn}的前n和分別為An、Bn，且
則An?f(n)，nan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).nn2n?1
（9）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sm?n，前m項(xiàng)和Sn?m，則前m+n項(xiàng)和Sm?n???m?n? an?m,am?n,則an?m?0
(10)求Sn的最值
法一：因等差數(shù)列前n項(xiàng)是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n?N*。
法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和
?a?0即當(dāng)a1?0，d?0，由?n可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值． ?an?1?0
（2）“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。
?an?0即 當(dāng)a1?0，d?0，由?可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值． a?0?n?1
或求?an?中正負(fù)分界項(xiàng)
注意：解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，通?？紤]兩類方法：
①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程；
②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量．
-讓夢(mèng)想起飛，讓成績(jī)飛揚(yáng)！
第四篇：高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列性質(zhì)總結(jié)
等差數(shù)列的性質(zhì)總結(jié)
(一)等差數(shù)列的公式及性質(zhì)
1.等差數(shù)列的定義： an?an?1?d（d為常數(shù)）（n?2）；
2．等差數(shù)列通項(xiàng)公式：
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)，首項(xiàng):a1，公差:d，末項(xiàng):an
推廣： an?am?(n?m)d．從而d?
3．等差中項(xiàng)
（1）如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．即：A?
（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?
24．等差數(shù)列的判定方法
（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N)? ?an?是等差數(shù)列．?an?am； n?ma?b或2A?a?b 2
（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．
⑶數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b（其中k,b是常數(shù)）。
（4）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數(shù)）。
5．等差數(shù)列的證明方法
定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N)? ?an?是等差數(shù)列． ?
6.提醒：
（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。
（2）設(shè)項(xiàng)技巧：
①一般可設(shè)通項(xiàng)an?a1?(n?1)d
②奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）；
③偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d）
8..等差數(shù)列的性質(zhì)：
（1）當(dāng)公差d?0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；
前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.22
2（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。
（3）當(dāng)m?n?p?q時(shí),則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時(shí)，則有am?an?2ap.注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，（4）若?an?、?bn?為等差數(shù)列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數(shù)列
(5)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k?N)項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數(shù)列 *
(二)．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(1)Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 222
2（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）
特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n?1時(shí)，an?1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)
S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)）
（2）若{an}是等差數(shù)列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數(shù)列
（3）設(shè)數(shù)列?an?是等差數(shù)列，d為公差，S奇是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，Sn是前n項(xiàng)的和
1.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan
2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2
S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd
S奇nana??n S偶nan?1an?
12、當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n?1時(shí)，則
?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1 ?????S奇?S偶?an+1S偶n???S偶?nan+1?
（其中an+1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)）．
（4）?an?、{bn}的前n和分別為An、Bn，且
則
（5）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sm?n，前m項(xiàng)和Sn?m，則前m+n項(xiàng)和Sm?n???m?n?
(6)求Sn的最值
法一：因等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性An?f(n)，nan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).nn2n?1n?N*。
法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和
?an?0即當(dāng)a1?0，d?0，由?可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值． a?0?n?1
（2）“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。
即 當(dāng)a1?0，d?0，由?
或求?an?中正負(fù)分界項(xiàng) ?an?0可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值． ?an?1?0
法三：直接利用二次函數(shù)的對(duì)稱性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對(duì)稱軸最近的整數(shù)時(shí)，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對(duì)稱軸為n?
注意：解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，通?？紤]兩類方法：
①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程；
②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量．
p?q 2
第五篇：等差數(shù)列應(yīng)用舉例
第5課時(shí)
【教學(xué)題目】§6.2.4等差數(shù)列應(yīng)用舉例 【教學(xué)目標(biāo)】
1.掌握等差數(shù)列的概念； 2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式； 3.掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；
4.會(huì)應(yīng)用等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解答實(shí)際問(wèn)題.【教學(xué)內(nèi)容】
1.等差數(shù)列的概念； 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式； 3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；
4.應(yīng)用等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解答實(shí)際問(wèn)題.【教學(xué)重點(diǎn)】
1.等差數(shù)列的概念； 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式； 3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.【教學(xué)難點(diǎn)】
應(yīng)用等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解答實(shí)際問(wèn)題.【教學(xué)過(guò)程】
一、知識(shí)點(diǎn)梳理
（一）等差數(shù)列的定義
an?1?an?d；
（二）等差數(shù)列的遞推公式
an?1?an?d；
（三）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
an?a1??n?1?d；
（四）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
二、例題講解 Sn?n?a1?an?2Sn?na1?n?n?1?d.2例
1、某禮堂共有25排座位，后一排比前一排多兩個(gè)座位，最后一排有70個(gè)座位，問(wèn)禮堂共有多少個(gè)座位？
解法1：由題意可知，各排座位數(shù)成等差數(shù)列，公差d?2,a25?70于是
70?a1??25?1??2，解得
a1?22.所以 S25?答：禮堂共有1150個(gè)座位.解法2：由題意可知，各排座位數(shù)成等差數(shù)列，將最后一排看作第1排，則a1?70，25??22?70??1150.2d??2，n?25，因此
S25?25?70?答：禮堂共有1150個(gè)座位.25??25?1????2??1150.2例
2、小王參加工作后，采用零存整取方式在農(nóng)行存款.從元月份開(kāi)始，每月第1天存入銀行1000元，銀行一年利率1.71%計(jì)息，試問(wèn)年終結(jié)算時(shí)本金與利息之和（簡(jiǎn)稱本利和）是多少（精確到0.01元）？
說(shuō)明：
（1）年利率1.71%，折合月利率為0.1425%.計(jì)算公式為月利率=年利率÷12；（2）年終結(jié)算時(shí)本金為1000*12；
（3）每個(gè)月產(chǎn)生的利息是不同的，第一個(gè)月到年底時(shí)產(chǎn)生的利息為：1000*0.1425%*12，第二個(gè)月到年底時(shí)產(chǎn)生的利息為：1000*0.1425%*11，以此類推.解：年利率1.71%，折合月利率為0.1425%.第1個(gè)月的存款利息為 1000×0.1425%×12（元）； 第2個(gè)月的存款利息為 1000×0.1425%×11（元）； 第3個(gè)月的存款利息為 1000×0.1425%×10（元）；
…
第12個(gè)月的存款利息為 1000×0.1425%×1（元）.應(yīng)得到的利息就是上面各期利息之和：
Sn?1000?0.1425%??1?2?3?12??111.15（元）.故年終本金與利息之和為：
12?1000?111.15?12111.15（元）.答：年終結(jié)算時(shí)本金與利息之和（簡(jiǎn)稱本利和）為12111.15元.三、學(xué)生練習(xí)
一個(gè)堆放鋼管的V型架的最下面一層放1根鋼管，往上每一層都比它下面一層多放一個(gè)，最上面一層放30根鋼管，求這個(gè)V型架上共放著多少根鋼管.分析：由題意知，V型架每一層放的鋼管數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，且a1?1，d?1，an?30.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an?a1??n?1?d知：30?1??n?1??1，解得n?30，故 S30?
四、課堂小結(jié)
（一）等差數(shù)列的概念；
（二）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（三）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；
（四）應(yīng)用等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解答實(shí)際問(wèn)題.五、作業(yè)布置
（一）課本P11練習(xí)6.2.4；
（二）課本P11練習(xí)6.2A組第9題、第10題、第7題，第8題.六、教學(xué)反思
本節(jié)課的重點(diǎn)在于使學(xué)生利用等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解答實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，是學(xué)生能將所學(xué)到的只是很好的應(yīng)用到實(shí)際生活中去.這樣有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和興趣、也有利于使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)理論聯(lián)系實(shí)際.通過(guò)課堂練習(xí)和作業(yè)反映的情況來(lái)看，學(xué)生都能較好地將等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)應(yīng)用于解答實(shí)際問(wèn)題，但也有些學(xué)生表現(xiàn)出基礎(chǔ)計(jì)算能力較弱，需教師加強(qiáng)指導(dǎo).n?a1?an?30??1?30???465.22
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