第一篇：等差數(shù)列的性質總結

1.等差數(shù)列的定義式：an?an?

12．等差數(shù)列通項公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)，首項:a1，公差:d，末項:an

a?am推廣： an?am?(n?m)d．從而d?n； n?m

3．等差中項

（1）如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項．即：A?

（2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2,n?N+)?2an?1?an?an?

24．等差數(shù)列的前n項和公式：

n(a1?an)n(n?1)d1Sn??na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222

（其中A、B是常數(shù)，所以當d≠0時，Sn是關于n的二次式且常數(shù)項為0）

特別地，當項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，an?1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項

S2n?1?a?b或2A?a?b 2等差數(shù)列性質總結（n?2）； ?d（d為常數(shù)）?2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項）

5．等差數(shù)列的判定方法

（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列．

（2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．⑶數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b（其中k,b是常數(shù)）。

（4）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數(shù)）。

6．等差數(shù)列的證明方法

定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列 等差中項性質法：2an?an-1?an?1(n?2，n?N?)．

7.提醒：

（1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）設項技巧：

①一般可設通項an?a1?(n?1)d

②奇數(shù)個數(shù)成等差，可設為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）； ③偶數(shù)個數(shù)成等差，可設為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d）

8.等差數(shù)列的性質：

（1）當公差d?0時，等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；

n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.前n和Sn?na1?22

2（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。

（3）當m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當m?n?2p時，則有am?an?2ap.注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，（4）若?an?、?bn?為等差數(shù)列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數(shù)列

-讓夢想起飛，讓成績飛揚！

(5)若{an}是等差數(shù)列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數(shù)列

（6）數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數(shù)列

（7）設數(shù)列?an?是等差數(shù)列，d為公差，S奇是奇數(shù)項的和，S偶是偶數(shù)項項的和，Sn是前n項的和

。當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan

2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2

S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an??nd

S偶

S奇?nan?1an?1 ?nanan

。當項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，則

?S偶n?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1 ?????S奇?S偶?an+1S奇n?1?S偶?nan+1???

（其中an+1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項）．

（8）{bn}的前n和分別為An、Bn，且

則An?f(n)，nan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).nn2n?1

（9）等差數(shù)列{an}的前n項和Sm?n，前m項和Sn?m，則前m+n項和Sm?n???m?n? an?m,am?n,則an?m?0

(10)求Sn的最值

法一：因等差數(shù)列前n項是關于n的二次函數(shù)，故可轉化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n?N*。

法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負項之和

?a?0即當a1?0，d?0，由?n可得Sn達到最大值時的n值． ?an?1?0

（2）“首負”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。

?an?0即 當a1?0，d?0，由?可得Sn達到最小值時的n值． a?0?n?1

或求?an?中正負分界項

注意：解決等差數(shù)列問題時，通常考慮兩類方法：

①基本量法：即運用條件轉化為關于a1和d的方程；

②巧妙運用等差數(shù)列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量．

-讓夢想起飛，讓成績飛揚！

第二篇：高中數(shù)學等差數(shù)列性質總結

等差數(shù)列的性質總結

(一)等差數(shù)列的公式及性質

1.等差數(shù)列的定義： an?an?1?d（d為常數(shù)）（n?2）；

2．等差數(shù)列通項公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)，首項:a1，公差:d，末項:an

推廣： an?am?(n?m)d．從而d?

3．等差中項

（1）如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項．即：A?

（2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?

24．等差數(shù)列的判定方法

（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N)? ?an?是等差數(shù)列．?an?am； n?ma?b或2A?a?b 2

（2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．

⑶數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b（其中k,b是常數(shù)）。

（4）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數(shù)）。

5．等差數(shù)列的證明方法

定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N)? ?an?是等差數(shù)列． ?

6.提醒：

（1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）設項技巧：

①一般可設通項an?a1?(n?1)d

②奇數(shù)個數(shù)成等差，可設為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）；

③偶數(shù)個數(shù)成等差，可設為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d）

8..等差數(shù)列的性質：

（1）當公差d?0時，等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；

前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.22

2（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。

（3）當m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當m?n?2p時，則有am?an?2ap.注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，（4）若?an?、?bn?為等差數(shù)列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數(shù)列

(5)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k?N)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數(shù)列 *

(二)．等差數(shù)列的前n項和公式：(1)Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 222

2（其中A、B是常數(shù)，所以當d≠0時，Sn是關于n的二次式且常數(shù)項為0）

特別地，當項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，an?1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項）

（2）若{an}是等差數(shù)列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數(shù)列

（3）設數(shù)列?an?是等差數(shù)列，d為公差，S奇是奇數(shù)項的和，S偶是偶數(shù)項項的和，Sn是前n項的和

1.當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan

2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2

S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd

S奇nana??n S偶nan?1an?

12、當項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，則

?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1 ?????S奇?S偶?an+1S偶n???S偶?nan+1?

（其中an+1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項）．

（4）?an?、{bn}的前n和分別為An、Bn，且

則

（5）等差數(shù)列{an}的前n項和Sm?n，前m項和Sn?m，則前m+n項和Sm?n???m?n?

(6)求Sn的最值

法一：因等差數(shù)列前n項和是關于n的二次函數(shù)，故可轉化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性An?f(n)，nan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).nn2n?1n?N*。

法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負項之和

?an?0即當a1?0，d?0，由?可得Sn達到最大值時的n值． a?0?n?1

（2）“首負”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。

即 當a1?0，d?0，由?

或求?an?中正負分界項 ?an?0可得Sn達到最小值時的n值． ?an?1?0

法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項和的圖像是過原點的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為n?

注意：解決等差數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：

①基本量法：即運用條件轉化為關于a1和d的方程；

②巧妙運用等差數(shù)列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量．

p?q 2

第三篇：等差數(shù)列的性質(定稿)

等差數(shù)列的性質

1．數(shù)列

為等差數(shù)列，則a3=

2．設x，a1，a2，a3，y成等差數(shù)列，x，b1，b2，b3，b4，y成等差數(shù)列，則的值是

第四篇：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質

第24課 等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質

●考試目標主詞填空

1.等差數(shù)列的性質.

①等差數(shù)列遞增的充要條件是其公差大于0，②在有窮等差數(shù)列中，與首末兩端距離相等的和相等.即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=ak+an+1-k，③在等差數(shù)列{an}中，使am+a0=ap+aq成立的充要條件是是等差數(shù)列，⑤若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列，且m，k為常數(shù)，則{man+kbn}Sn=an2+bn+c能表示等差數(shù)列前n項和的充要條件是2.等比數(shù)列的性質.①在等比數(shù)列{an}中，公比為q，其單調性的考察應視a1及q的取值范圍而定.②在有窮的等比數(shù)列{an}即：a1an=a2·an-1=a3·an-2=?=ak·an+1-k.

③在等比數(shù)列{an}中，使am·a0=ap·ak成立的充要條件是m+n=p+k. ④在等比數(shù)列中，每隔相同的項抽出來，依原來的順序構成一個新數(shù)列，則此新數(shù)列仍是等比數(shù)列.?man?⑤若數(shù)列{an}與{bn}均為等比數(shù)列，m是不等于零的常數(shù)，則{m·an·bn}與??仍為等比數(shù)列.b?n?

●題型示例點津歸納

【例1】證明下列論斷：

(1)從等差數(shù)列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列.(2)從等比數(shù)列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列.

【解前點津】等差數(shù)列的公差以及等比數(shù)列的公比都是已知常數(shù)，且每隔k項抽取一個數(shù)中的k邊應視為已知正整數(shù)，按定義證明即可.【規(guī)范解答】(1)設{xn}是公差為d的等差數(shù)列，抽取的第一個數(shù)為xm，隔k項抽取的第二個數(shù)為xm+k，再隔k項抽取的第三個數(shù)為xm+2k，依次類推，則新數(shù)列的第p項(p≥1)必為xm+(p-1)k ·第p+1項為xm+pk.由通項公式：

∵xm+pk-xm+(p-1)k=x1+(m+pk-1)d-［x1+(m+pk-k-1)d］=(k-1)d是一個p無關的常數(shù)，故新數(shù)列是一個公差為kd的等差數(shù)列.(2)設{yn}是一個公比為q的等比數(shù)列，抽取的第一個數(shù)為ym，隔k項抽取的第二個數(shù)為ym+k，再隔k項抽取的第三個數(shù)為ym+2k，依次類推，則新數(shù)列的第p項(p≥1)必為ym+(p-1)k，第p+1項為ym+pk.由等比數(shù)列通項公式： ∵ym?pk

ym?(p?1)ky1?qm?pk?1k==q是一個與p無關的常數(shù).m?pk?k?1y1?q

故新數(shù)列是一個公比為qk的一個等比數(shù)列.【解后歸納】證明{xn}是一個等差數(shù)列，只須證明xn-xn-1=常數(shù)即可，類似地，證明{yn}是一個等比數(shù)列，只證明yn=常數(shù)即可. yn?

1【例2】設x，y，z∈R，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且

111xz，成等差數(shù)列，求?的值.xzxyz

【解前點津】依條件列方程組，從方程組中推導

xz

?之值. zx

?(4y)2?(3x)?(5z)

2xz?

?y=【規(guī)范解答】由題意得：?211代入第一個方程消去y得：

x?z?y?x?z

?2xz2xz34(x?z)26416()=15xz?=，故?=.x?z15zx15xz

【解后歸納】因（xz

?)中不含y，故在方程組中，y成為消去的對象.zx

【例3】已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項之和為Sn，求滿足不等式|Sn-n-6|<的最小正整數(shù)n. 12

5【解前點津】構造“新數(shù)列”，求出通項公式，注意到3(an+1-1)=-(an-1).【規(guī)范解答】由條件得：3(an+1-1)=-(an-1).視為3xn+1=-xn，∵a1-1=8，故新數(shù)列{an-1}是首項為8，公比為-的一個等比數(shù)列.故：

3??1?n?8?1????

?3???1n-11n-1???=6-6×(-1)n，an-1=8(-)，即an=1+8(-)Sn-n=

333?1?

?1???3?

11?n-1

∴|Sn-n-6|=6×()n <3>250>35?n-1>5.3125

∴n>6從而n≥7.故n=7是所求的最小正整數(shù).

【解后歸納】將一個簡單的遞推公式進行變形，從而轉化為一個等差數(shù)列，或一個等比數(shù)列的模型.這是一種“化歸”的數(shù)學思想.【例4】設{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且b1=a1，b2=a2，b3=a3(a1

n??

2+bn)=2+1,試求{an}的首項與公差.【解前點津】設

b2b

=q，則1=2+1.1?qb1

【規(guī)范解答】設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，則由條件知，b2=b1b3?(a2)2=(a1)·(a3)

a2

=(1+2)(2+1)

a1

(a1+d)

4=a22，a12a22=a1

·(a1+2d)?(a1+d)=|a1(a1+2d)|又b1=(1+q)（22

2+1),故

2a1

42即a1=［a1+(a1+d)2］(2+1)，解關于a1及d的方程組得：a1=-2，d=22-2.

【解后歸納】將所列方程組轉化為關于基本量a1，d的方程，是常規(guī)思路.此題是否有另外思路?讀者可自己尋找.●對應訓練分階提升

一、基礎夯實

1.在等比數(shù)列{an}中，a9+a10=a(a≠0)，a19+a20=b，則a99+a100等于()

bbb9b10

A.8B.()C.9D.()10

aaaa

2.已知等差數(shù)列{an}中，|a3|=|a9|,公差d<0，則使前n項和Sn取得最大值的自然數(shù)n是()

A.4和5B.5或6C.6或7D.不存在3.若{an}為一個遞減等比數(shù)列，公比為q，則該數(shù)列的首項a1和公比q一定為()A.q<0，a1≠0B.a1>0，01 C.q>1，a1<0D.00

4.由公差為d的等差數(shù)列a1，a2，a3，?，重新組成的數(shù)列a1+a4，a2+a5，a3+a6，?是()A.公差為d的等差數(shù)列B.公差為2d的等差數(shù)列 C.公差為3d的等差數(shù)列D.非等差

5.設2a=3，2b=6，2c=12，則a、b、c()A.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列

6.若{an}是等比數(shù)列，a4a7=-512，a3+a8=124，且公比q為整數(shù)，則a10的值是()A.256B.-256C.512D.-51

27.設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a5·a6=81，那么log3a1+log3a2+log3a3+?+log3a10的值是()A.5B.10C.20D.30

8.在3和9之間插入兩個正數(shù)，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個數(shù)的和是()A.1

11111B.12C.13D.14 444

49.在等比數(shù)列{an}中，已知對任意自然數(shù)n，a1+a2+?+an=2n-1，則a1+a2+?+a2n=()A.(2n-1)2B.1n2n1

(2-1)C.4-1D.(4n-1)3

310.上一個n級的臺階，若每次可上一級或兩級，設上法的總數(shù)為f(n)，則下列猜想中正確的是()

A.f(n)=nB.f(n)=f(n-1)+f(n-2)

?n(n?1,2)

C.f(n)=f(n-1)·f(n-2)D.f(n)=?

f(n?1)?f(n?2)(n?3)?

二、思維激活

11.在等差數(shù)列{an}中，若Sm=n，Sn=m(Sn為前n項和)且m≠n，則Sm+n

三、能力提高

12.在等差數(shù)列{an}中，a1，a4，a25三個數(shù)依次成等比數(shù)列，且a1+a4+a25=114,求這三個數(shù).13.已知{an}為等差數(shù)列，(公差d≠0)，{an}中的部分項組成的數(shù)列ak1，ak2，ak13，?，ak，?，n

恰好為等比數(shù)列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+k3+?+kn.14.設f(x)=a1x+a2x2+?+anxn(n為正偶數(shù))，{an}是等差數(shù)列，若f(1)=(1)求an；(2)求證：f（1nn(n+1)，f(-1)=. 22)<2. 2

15.數(shù)列{an}的前n項和Sn=100n-n2(n∈N).(1){an}是什么數(shù)列?

(2)設bn=|an|，求數(shù)列|bn|的前n項和.第3課等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質習題解答

1.A先求a1與公比q.2.B∵d<0，∴a3>a9，∴a3=-a9.3.B分別考察a1>0與a1<0兩種情況.4.B∵(an+an+3)-(an-1+an+2)=(an-an-1)+(an+3-an+2)=d+d=2d.5.A∵62=3×12，∴(2b)2=2a·2c?2b=a+c且b2≠ac.6.C∵a4a7=a3a8=-512，a3+a8=124，∴a3，a8是x2-124x-512=0的兩根.解之：a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4?q=-2或-

但q=-不合題意，∴a10=a8·q2=512.22

7.C其值為log3(a1a2?a10)=log3(a1a10)·(a2a9)?(a5a6)=log3(a5a6)5=5log3(a5·a6)=5log381=20.9?

x???x2?3y?2??8.A設這兩個正數(shù)為x，y，由題意可得：?.272y?x?9??y??4?

9.D∵Sn=2n-1，∴an+1=Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n，又a1=S1=21-1=1=21-1，∴an=2n-1.10.D每次可上一級或兩級，故需分段考慮.11.Sm+n=-(m+n)運用公式求和.2?a4?(a1?3d)2?a1(a1?24d)?a1?a25

??12.設公差d，依題意得：??

?a1?a4?a25?114?3a1?27d?114

?a4?38?a4?a1?3d?2?3?4?14?a1?38?a1?2

或?，或????

a?38a?a?24d?2?24?4?98d?0d?4?25??1?25

∴這三個數(shù)是38，38，38或2，14，98.

13.∵a1，a5，a17成等比數(shù)列，∴(a1+4d)2=a1(a1+16d)?d=

aa11，an=a1(n+1)，a5=a1+4d=3a1，∴q=5

22a1

=3，akn=

k?11

a1(kn+1)?akn=a1·qn-1=a1×3n-1，∴na1=a1×3n-1，∴kn=2×3n-1-1?k1+k2+k3+?22

n-1

2(1?3n)

+kn=2(1+3+9+?+3)-n= =3n-n-1.(1?3)?n

14.(1)設{an}的公差為d，則f(1)=a1+a2+?+an=d=1，由na1+

1nn

n(n+1)，f(-1)=-a1+a2-a3+a4+?-an-1+an=d=，∴222

n(n?1)n(n?1)

?得a1=1，∴an=n. 22

2n

1123111111?n(2)f()=+2+3+?+?(1-)]f()=+2+3+?+n+n?1

22222222222

兩式相減：

1??

1???1n

1111n?2n?nf()=1++2+?+n?1-n=-n=2-2n?1-2n<2. 22222?1?2

?1???2?

15.(1)an=Sn-Sn-1=(100n-n2)-［100(n-1)-(n-1)2］=101-2n(n≥2)，∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1，∴數(shù)列{an}的通項公式為an=101-2n又∵an+1-an=-2為常數(shù).∴數(shù)列{an}是首項為a1=99，公差d=-2的等差數(shù)列.(2)令an=101-2n≥0得n≤50(n∈N*)，①當1≤n≤50時，an>0，此時bn=|an|=an，所以{bn}的前n項和Sn′=100n-n2且S50′=100×50-502=2500，②當n≥51時，an<0，此時bn=|an|=-an由b51+b52+?+bn=-(a51+a52+?+an)=-(Sn-S50)=S50-Sn得數(shù)列{bn}前n項和為Sn′=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2500-(100n-n2)=5000-100n+n2.?(n?N*,1?n?50)?100n?n

由①②得數(shù)列{bn}的前n項和為Sn′=?.2*

?(n?N,n?51)?5000?100n?n

第五篇：《等差數(shù)列性質》的教學反思

高三一輪復習，重在夯基釋疑，培養(yǎng)和提高學生運用知識、解決問題的能力。本節(jié)課以學生為主體，教師為主導，充分調動了學生的積極性。教師教態(tài)自然，親和力好，課堂氣氛融洽。教學環(huán)節(jié)的設置松弛有度，從例題入手，探索實驗，概括提煉，綜合應用，步驟層次感強，學生參與度高，老師指導有方，引導得法，學生能充分體會成功的喜悅，從而促進學生學習的興趣。

1.選題針對性強，點評到位

選材取自學生練習，針對性強，內容相對集中；從學生問題的點評答疑中，提煉結論，符合從具體到抽象的認知規(guī)律

2.充分發(fā)揮學生學習的自主性

學生在課堂上體現(xiàn)了高度的參與和熱情。學生對于本節(jié)課的內容由于事先做好了導學案，所以有充分的思考和訓練時間，通過合作學習，進一步應用定義解決問題，學生積極主動參與復習的全過程，特別是讓學生參與歸納、整理的過程，為學生提供了充分的鍛煉機會。

3.系統(tǒng)有效的完成教學任務

系統(tǒng)規(guī)劃復習和訓練的內容，幫助學生將所學的分散知識系統(tǒng)化。注意從學生的認識出發(fā)，通過學生解題的體驗，挖掘提升數(shù)學方法和知識；注意細節(jié)和糾錯，及時反饋作業(yè)中的問題。學生錯誤得到點評糾正，學生的思維和創(chuàng)造性得到提高。