第一篇：等差數(shù)列問(wèn)題探究六則

等差數(shù)列問(wèn)題探究六則

探究1：等差數(shù)列的證明問(wèn)題

提升對(duì)an?1?an?d（常數(shù)）本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，只要后項(xiàng)減前項(xiàng)為同一個(gè)常數(shù)，就能證明數(shù)列?an?是等差數(shù)列.根據(jù)條件，判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列？

22（1）an（2）an?1?an?2；（3）?1?an?4；11??1； an?1an

an?1an?n?1； n?122（4）lgan?1?lgan?2；（5）

2an?1?2an?2；（6）

思考1.已知數(shù)列?an?及?bn?是兩個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列，公差分別是d1和d2，求證：?an?bn?成等差數(shù)列，并求它的公差.思考2.已知a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：等差數(shù)列.思考3.（2012年江蘇20）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{b

n}滿足：

2????bb????nnan?1?n?N．設(shè)bn?1?1?，n?N，求證：數(shù)列????是等差數(shù)列.ana???n???abc，的倒數(shù)也成b?c?ac?a?ba?b?c

探究2：含絕對(duì)值的數(shù)列問(wèn)題

已知等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?16，公差d??

（1）此等差數(shù)列中從第幾項(xiàng)開始出現(xiàn)負(fù)數(shù)？

（2）當(dāng)an最小時(shí)，求n.3.4探究3：三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列問(wèn)題

1.三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和是15，它們的平方和等于83，求這三個(gè)數(shù).2.成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)之積為40，求這四個(gè)數(shù).探究4：等差數(shù)列通項(xiàng)的若干性質(zhì)探究.1.已知x?y，兩個(gè)數(shù)列x,a1,a2,a3,y和x,b1,b2,b3,b4,y都是等差數(shù)列，且公差分別為d1和d2，求d1:d2.2.已知?an?是等差數(shù)列，當(dāng)m?n?p?q（m,n,p,q?N*）時(shí)，是否有

am?an?ap?aq？如果是，請(qǐng)給出證明.并思考能否對(duì)該結(jié)論作進(jìn)一步推廣？

例：在等差數(shù)列?an?中，已知a2?a7?a15?12，則a8?______.3.（1）已知?an?是等差數(shù)列，且ap?q，aq?p（p?q），求ap?q.n

（2）若已知數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為：an?(3?p)2?4n?3，則p的值為________.4.（1）在等差數(shù)列數(shù)列?an?中，2an?an?k?an?k(n?k?0)是否成立？

（2）如果在數(shù)列?an?中，2an?an?k?an?k(n?k?0)，你能得到什么結(jié)論？

探究5：數(shù)陣數(shù)表問(wèn)題

下列數(shù)陣稱為“森德拉姆篩”，其特點(diǎn)是每行每列都是等差數(shù)列.2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 4 7 10 13 16 5 9 13 17 21 6 11 16 21 26 7 13 19 25 31 ?

?

?

?

?

定義第i行第j列的項(xiàng)為aij，求數(shù)列?aij?的通項(xiàng)公式.?13 ?19 ?25 ?31 ?37 ??

?

探究6：等差數(shù)列探究性問(wèn)題

1.在一個(gè)等差數(shù)列中，如果其中有一項(xiàng)為連續(xù)三項(xiàng)？

變式：（2009北大、北師大等高水平學(xué)校自主招生試題）已知由正數(shù)組成的無(wú)窮等差數(shù)列中有3項(xiàng)13,25,41.求證：2009是其中一項(xiàng).2.已知數(shù)列?an?滿足：a1?1，an?1?(n2?n??)an（n?1,2,3,?），其中?為常數(shù).（1）當(dāng)a2??1時(shí)，求?與a3的值；

（2）數(shù)列?an?是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由.26151，能否成為該等差數(shù)列的，那么

3x?16xx

第二篇：類比探究等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)

類比探究等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)

上海市桐柏高級(jí)中學(xué)李淑艷 馬莉

上海市普陀區(qū)教育學(xué)院劉達(dá)

一、案例背景

本課的教學(xué)內(nèi)容是上海市高中課本《數(shù)學(xué)》（華東師范大學(xué)出版社）高中二年級(jí)第二學(xué)期《數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法》章節(jié)的數(shù)列性質(zhì)探究課。

上海市《中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》提出：普通中小學(xué)課程的基本觀念是以學(xué)生發(fā)展為本，堅(jiān)持全體學(xué)生的全面發(fā)展，關(guān)注學(xué)生個(gè)性的健康發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展。并指出：“關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程，通過(guò)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，開發(fā)實(shí)踐環(huán)節(jié)和拓寬學(xué)習(xí)渠道，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中體驗(yàn)、感悟、建構(gòu)并豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳承、能力發(fā)展、積極情感形成的統(tǒng)一”。在顧泠沅博士的“三個(gè)階段、二次反思、行動(dòng)跟進(jìn)”的行動(dòng)教育研究模式下。本課例從“背景研究”，“教學(xué)實(shí)踐”和“評(píng)價(jià)反思”，都是在“以學(xué)定教”原則的基礎(chǔ)上的。從教材體系來(lái)看，等比數(shù)列概念的學(xué)習(xí)就滲透類比的研究方法，鑒于學(xué)生的實(shí)際水平及樂(lè)于思考新問(wèn)題的特點(diǎn)，我們?cè)O(shè)置了有一定層次的供類比的數(shù)列問(wèn)題，同時(shí)也對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行了預(yù)測(cè)。同時(shí)根據(jù)學(xué)生目前現(xiàn)狀，以及教材內(nèi)容收集、整理、提煉利用類比的思想方法，研究數(shù)列中問(wèn)題等有關(guān)素材，在自我理解的層面上設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)思路及手段、教學(xué)過(guò)程，先進(jìn)行第一次教學(xué)嘗試，然后進(jìn)行反思；再請(qǐng)專家、教研員、教研組長(zhǎng)、全體組員在聽取本人的設(shè)計(jì)初衷及反思后進(jìn)行全方位的再設(shè)計(jì)與指導(dǎo)，而后開設(shè)公開課進(jìn)行教研，在系統(tǒng)評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行第二次實(shí)踐；第三次看目標(biāo)的達(dá)成度與教師理念的轉(zhuǎn)變、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)的總結(jié)。我們就是按照這種“行動(dòng)教育”模式開展課堂教學(xué)研究的。

二、目標(biāo)分析

本課教學(xué)目標(biāo)的確定圍繞著“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的研究性學(xué)習(xí)課堂教學(xué)模式。探索如何運(yùn)用研究性學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)模式在《等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)探究》教學(xué)中融合類比的本課希望通過(guò)“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)類比在數(shù)學(xué)教學(xué)中的三個(gè)維度：“一維——知識(shí)結(jié)構(gòu)上的類比；二維——證明方法上的類比；三維——學(xué)生自主的理性思想方法的類比?！?/p>

三、教學(xué)流程

首先通過(guò)科學(xué)事實(shí)——魯班造鋸的典故引入類比思想，然后提出第一維問(wèn)題（以回顧的通過(guò)這一回顧，學(xué)生能從“第一維”層面上開展類比學(xué)習(xí)，體會(huì)等差數(shù)列和等比數(shù)列在概念形式上的相似之處。

在基本認(rèn)識(shí)了類比探究方法之后，教師通過(guò)問(wèn)題提升本節(jié)探究課活動(dòng)性和探究性，設(shè)置了若干性質(zhì)探究的問(wèn)題供學(xué)生思考。

問(wèn)題1：在等差數(shù)列?an?中，若項(xiàng)數(shù)數(shù)列?kn?是等差數(shù)列(kn?N)，則akn仍是等差數(shù)

列。

類比：若?an?是等比數(shù)列，當(dāng)?kn?(kn?N)是________數(shù)列時(shí)，akn是________數(shù)列。

問(wèn)題一是在學(xué)生已掌握“數(shù)列?an?是等差數(shù)列，對(duì)?an?中下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)也成等差數(shù)列”這一性質(zhì)后，將“文字語(yǔ)言”轉(zhuǎn)化成“符號(hào)語(yǔ)言”，讓學(xué)生來(lái)類比等比數(shù)列中相應(yīng)的性質(zhì)，并加以證明。學(xué)生一方面從形式上加以類比，另一方面，從證明方法上也進(jìn)行類比證明。這樣的問(wèn)題，在學(xué)生理解性質(zhì)后，初步體驗(yàn)了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題的“類比”方法。

問(wèn)題一結(jié)束后，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生如何類比并得到正確結(jié)論？經(jīng)歷運(yùn)用類比思想方法研究數(shù)列問(wèn)題的過(guò)程。

問(wèn)題2：有一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若?an?為等差數(shù)列，則?an?1?an?也成等差數(shù)列。由此經(jīng)過(guò)類比，他猜想：若?an?為等比數(shù)列，則?an?1?an?、?an?1?an?也為等比數(shù)列。你認(rèn)為呢？

問(wèn)題二是一道開放性問(wèn)題，有近85%的學(xué)生最初得到了?an?1?an?、?an?1?an?也為等比數(shù)列，并有部分同學(xué)給予了“證明”。學(xué)生初步感覺(jué)到“和”與“積”的類比，“差”與“商”的類比。此時(shí)，教師再拋出一個(gè)問(wèn)題：“積”為等比數(shù)列，那么“和”呢？在你證明完“積”為等比數(shù)列后能說(shuō)明“和”不是等比嗎？對(duì)于這一問(wèn)題，學(xué)生根據(jù)前面兩個(gè)問(wèn)題的解決已經(jīng)隱約體驗(yàn)到類比不但是形式上的模仿，其證明方法、考慮角度也可進(jìn)行類比，說(shuō)明這種思考問(wèn)題的方法已不自覺(jué)地納入他們的思維體系之中，下面是一段課堂實(shí)錄：

師：對(duì)剛才問(wèn)題，同學(xué)可以得到什么結(jié)論？

生1：我判斷并證明了等比數(shù)列的“和”仍然是等比數(shù)列，且公比什q。

（師環(huán)視四周，似乎每個(gè)人都投以贊同的目光，并且頻繁點(diǎn)頭表示同意）。

生2：我有點(diǎn)不同意（全班只有他一人有不同意見），我覺(jué)得，對(duì)數(shù)列-1，1，-1，1，?這個(gè)數(shù)列來(lái)說(shuō)，其和不是等比數(shù)列。（此時(shí)全班恍然，都認(rèn)為是正確的）

師：我們來(lái)看一下生1的證明過(guò)程（投影儀）： ?????an?1?ana(q?1)?n?（常數(shù)）q，an?an?1an?1(q?1)

??an?1?an?是等比數(shù)列。你們看證明過(guò)程嚴(yán)密嗎？

生3：當(dāng)q=－1時(shí)，他的第二步不成立。（此時(shí)同學(xué)們又都給予肯定）。

師：答得好。本來(lái)我們不知道這一反例，但在證明過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題的存在，由此找到了反例，說(shuō)明同學(xué)們?cè)诎l(fā)現(xiàn)問(wèn)題時(shí)，能夠進(jìn)行大膽猜想、小心論證的嚴(yán)密的科學(xué)態(tài)度。

師：學(xué)到這里，你有什么樣的感受呢？

生4：在等差數(shù)列和等比數(shù)列的類比中，我發(fā)現(xiàn)除了形式上存在著類比之外，正確的要加以證明，錯(cuò)誤的可以舉出反例。

生5：我感到就算是類比的結(jié)論在形式上未必一致，但證明方法有相似之處。

這番交流的過(guò)程中，學(xué)生的思維幾經(jīng)“沖浪”輾轉(zhuǎn)，他們的好奇心和探索熱情已被喚起，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)歷程正在探索中內(nèi)化著。

問(wèn)題3：一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若Sn是等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，則Sk,S2k?Sk,S3k?S2k也是等差數(shù)列。在等比數(shù)列中是否也有這樣的結(jié)論？為什么？

問(wèn)題4：我們知道對(duì)于等差數(shù)列?an?，a1?a2?a3???an?na1?n(n?1)d成立。通過(guò)

2類比，嘗試發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列中的相似結(jié)論并給予證明.問(wèn)題三的設(shè)計(jì)和問(wèn)題四是結(jié)合在一起的，設(shè)計(jì)問(wèn)題三的時(shí)候考慮到學(xué)生有可能只能通過(guò)證明找到反例從而得出Sk,S2k?Sk,S3k?S2k不成等比數(shù)列的結(jié)論，而對(duì)類比的結(jié)論有困難，甚至?xí)型瑢W(xué)得出Sk,S2kS3k成等比數(shù)列的結(jié)論。對(duì)于問(wèn)題四，可以將問(wèn)題三溝通起,SkS2k

來(lái)探索。經(jīng)過(guò)討論、形式上類比、對(duì)結(jié)論進(jìn)行論證。我們可以在學(xué)生最終明確結(jié)論后再回到問(wèn)題三，讓同學(xué)們進(jìn)一步思考并指出“Sk,S2kS3k成等比數(shù)列”的說(shuō)法雖然不對(duì)，但在“類,SkS2k

比——發(fā)現(xiàn)”的探究過(guò)程中也有不少新的收獲。繼而提問(wèn)：如何改動(dòng)使得結(jié)論成立？這個(gè)過(guò)程，將“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”模式的核心——學(xué)生在思維上經(jīng)過(guò)反復(fù)的類比、驗(yàn)證，自我領(lǐng)悟并掌握類比的思想方法——完全體現(xiàn)在了教學(xué)過(guò)程中。

四、教學(xué)反思

第一次教學(xué)之后，在教研員、教研組長(zhǎng)等老師的指導(dǎo)下，總結(jié)了以下一些不足：

1．在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，偏向于行形式上類比，盡管在形式上的類比達(dá)成度較高，但反映在數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上的內(nèi)容偏少；

2．問(wèn)題之間的聯(lián)系不是很好，問(wèn)題似乎有些孤立；

3．題目偏多；

為此，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)的調(diào)整過(guò)程中關(guān)注了這兩個(gè)方面：

1．為將“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的模式更加清晰地在教學(xué)中體現(xiàn)，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)由重形式向重思維方式轉(zhuǎn)變；

2．精選例題，設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題關(guān)注一題多變、多題環(huán)環(huán)相扣的連鎖關(guān)系，同時(shí)體現(xiàn)思維“嚴(yán)密性”，并且搭建腳手架，幫助學(xué)生努力實(shí)現(xiàn)“發(fā)現(xiàn)——自悟”的過(guò)程。

在公開課教學(xué)之后，聽課老師以及學(xué)科組的專家在一起再次開展了評(píng)課探討，結(jié)合教師的反思總結(jié)如下：

1．本堂課是等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的類比，在學(xué)生經(jīng)歷了類比的學(xué)習(xí)后，能夠體會(huì)：從形式上得到類比的特征，從本質(zhì)上體驗(yàn)思維的過(guò)程，了解類比不僅是形式上的“相似”，而是從相似中得到結(jié)論，再由論證使之成為類比。這樣的教學(xué)模式，有利于激發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生在辯證中掌握類比的思想方法。

2．本堂課知識(shí)目標(biāo)的達(dá)成度較好，學(xué)生能夠基本掌握類比的特征，但學(xué)習(xí)過(guò)程中教師沒(méi)有刻意地總結(jié)、引導(dǎo)，學(xué)生在探究過(guò)程中以體驗(yàn)為主，只是學(xué)生對(duì)于“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的探究方式仍略顯模糊，需要今后不斷嘗試采用類似地教學(xué)方法促進(jìn)學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)方式的形成。

3．教師在平時(shí)應(yīng)時(shí)時(shí)具備二期課改的理念，重視學(xué)生的思維活動(dòng)。比如，在問(wèn)題二中，有學(xué)生提出反例：在數(shù)列-1，1，-1，1，-1，1，?中，an?1?an?0，所以?an?1?an?不是等比數(shù)列。教師應(yīng)加以表?yè)P(yáng)，并緊接著提問(wèn)：你是怎樣想到這個(gè)反例的，你能得出什么樣的規(guī)律？如果這位學(xué)生不能回答清楚的，可以再回顧他們的證明過(guò)程，從中尋找問(wèn)題所在。這樣不但順應(yīng)了學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，而且在老師的點(diǎn)撥下，學(xué)生能進(jìn)一步更深層次地考慮問(wèn)題，從而為問(wèn)題三打下伏筆。

4．在學(xué)生有困難的地方可以預(yù)先做準(zhǔn)備工作，這樣可以使這堂課的達(dá)成度更高。比如，在問(wèn)題三中，Sk,S2k?Sk,S3k?S2k是非常抽象的，它牽涉到子數(shù)列的問(wèn)題，而且在原設(shè)計(jì)中是“數(shù)列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?,S(k?1)n?Skn是等差數(shù)列，請(qǐng)同學(xué)在等比數(shù)列中進(jìn)行類比”，但由于證明過(guò)于抽象，學(xué)生不容易理解，因此改為上述形勢(shì)，而且考慮如果在課前能舉一些例子，滲透子數(shù)列的概念，學(xué)生理解起來(lái)也許更容易。

因此在下一堂的課中，作了如下改進(jìn)：

1．在等差數(shù)列復(fù)習(xí)中，將問(wèn)題2、3在等差數(shù)列中的情況進(jìn)行證明，再事先將等差數(shù)列的證明打在幻燈片上，如果在課堂中學(xué)生在證明等比數(shù)列的過(guò)程中遇到困難的話，就可以把等差數(shù)列的證明顯示給他們看，從而使他們體驗(yàn)到證明的方法也可以進(jìn)行類比，更加凸顯類比的本質(zhì)特征。事實(shí)上，在本堂課中也達(dá)到了這樣的目的，學(xué)生的掌握度也更好了。如：在證明問(wèn)題3的時(shí)候，有的同學(xué)利用前n項(xiàng)和公式證明較為繁瑣，而有的同學(xué)很快就得出結(jié)論，她說(shuō)：“證明是類比等差數(shù)列的思路和步驟，結(jié)論是類比問(wèn)題二得出的?！边@就充分說(shuō)明她已經(jīng)掌握了類比的本質(zhì)，表明經(jīng)歷幾次設(shè)計(jì)問(wèn)題并逐步解決、探索，學(xué)生正體驗(yàn)著數(shù)學(xué)思想和方法，領(lǐng)悟其價(jià)值，滋生應(yīng)用意識(shí)。

2．因?yàn)閱?wèn)題2和問(wèn)題3是同類型的問(wèn)題，尤其是它們的證明以及在證明過(guò)程中發(fā)現(xiàn)反例的這一思路是相近的，所以為了提高課堂效率，這里就采取分組的方法，請(qǐng)兩組同學(xué)解決問(wèn)題二，另兩組同學(xué)解決問(wèn)題三，再進(jìn)行討論總結(jié)。實(shí)施下來(lái)，時(shí)間縮短了，而且有了比較，同學(xué)的積極性也提高了，大大地提高了課堂的效率。并且把原先在上課時(shí)來(lái)不及解決的推論解決了，使得學(xué)生的思維得到延伸，而且使學(xué)生對(duì)類比的本質(zhì)特征有了理性上的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到了第三維：學(xué)生自主的理性思想的類比。

通過(guò)“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的初步實(shí)施，學(xué)生在自主的學(xué)習(xí)和探究過(guò)程中體驗(yàn)知識(shí)發(fā)生的過(guò)程，通過(guò)對(duì)產(chǎn)生的見解的辯論進(jìn)行了思維方式的轉(zhuǎn)變，使得學(xué)習(xí)方法得到了改善，為他們今后的學(xué)習(xí)帶來(lái)了信心和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式，其效果應(yīng)該說(shuō)是顯見的。教師方面，我們得到的感受是：教學(xué)理念得到了很大的提升，尤其對(duì)于“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的研究性學(xué)習(xí)課堂教學(xué)模式的初步應(yīng)用的效果啟發(fā)我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中應(yīng)多為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)氛圍和問(wèn)題情境，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)多從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中體驗(yàn)、感悟?qū)W習(xí)經(jīng)驗(yàn)。另外，用先進(jìn)理念和經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)教學(xué)，能使自己不斷加深對(duì)課改理念的理解，并逐漸內(nèi)化為自身的教學(xué)風(fēng)格，促進(jìn)自身業(yè)務(wù)水平的提高。

參考資料：

[1] 廖哲勛：關(guān)于課堂教學(xué)案例開發(fā)的理性思考——《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2003.6

[2] 鄭毓信：《數(shù)學(xué)方法論》 廣西教育出版社1998.5

第三篇：等差數(shù)列專題

等差數(shù)列的運(yùn)算和性質(zhì)專題復(fù)習(xí)

【方法總結(jié)1】

(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題．

(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．

【方法總結(jié)2】

1.一般地，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以化繁為簡(jiǎn)、優(yōu)化解題過(guò)程．但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件，如m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，需要當(dāng)序號(hào)之和相等、項(xiàng)數(shù)相同時(shí)才成立．

2.將性質(zhì)m?n?p?q?am?an?ap?aq與前n項(xiàng)和公式Sn?

題過(guò)程．

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．

(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．

(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n為偶數(shù)，則S偶－S奇ndn為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項(xiàng))． 2n(a1?an)結(jié)合在一起，采用整體思想，簡(jiǎn)化解

2【方法總結(jié)3】

1.公差不為0的等差數(shù)列，求其前n項(xiàng)和的最值，一是把Sn轉(zhuǎn)化成n的二次函數(shù)求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最小值或最大值的項(xiàng)數(shù)n，代入前n項(xiàng)和公式求最值．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，2.常用的方法：

(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；

(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；

(3)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值． 與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合則以解答題為主.【規(guī)律總結(jié)】

一個(gè)推導(dǎo)：利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn?

n(a1?an)

.2

兩個(gè)技巧：已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問(wèn)題，要善于設(shè)元．

(1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元．

四種方法：等差數(shù)列的判斷方法

(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù)；(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an＝pn＋q；(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn.注：后兩種方法只能用來(lái)判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來(lái)證明等差數(shù)列．

熱點(diǎn)一 等差數(shù)列基本量的計(jì)算

1.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（安徽卷文科）】設(shè)Sn為等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，S8?4a3,a7??2，則a9=（）

（A）?6（B）?4（C）?2（D）2

2,【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）理】 在等差數(shù)列?an?中,已知a3?a8?10,則3a5?a7? _____.3．（2012年高考遼寧文）在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則a2+a10=（）A．12

B．16

C．20

D．24

4．（2012年高考北京文）已知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若a1?,S?a3,則 22

a2?________;Sn=________.5.（2012年高考重慶理）在等差數(shù)列{an}中,a2?1,a4?5,則{an}的前5項(xiàng)和S5=（）A．7B．15C．20D．25

6．（2012年高考福建理）等差數(shù)列?an?中,a1?a5?10,a4?7,則數(shù)列?an?的公差為

A．1

B．2C．3

D．4

（）

27．（2012年高考廣東理）已知遞增的等差數(shù)列?an?滿足a1?1,a3?a2?4,則an?______________.8.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國(guó)理科】

2等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S3?a2，且S1,S2,S4成等比數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)公式.9.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（福建卷）文科】已知等差數(shù)列an?的公差d=1，前n項(xiàng)和為Sn(I)若1,a1,a3成等比數(shù)列，求a1；

10．（2012年高考（山東文））已知等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和為105,且a20?2a5.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)對(duì)任意m?N*,將數(shù)列{an}中不大于72m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm.求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm.?

(II)若S5?a1a9，求a1的取值范圍。

熱點(diǎn)二 等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用

11.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（上海卷）文】在等差數(shù)列?an?中，若a1?a2?a3?a4?30，則

a2?a3?．

12．（2012年高考遼寧理）在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11=（）

A．58

B．88

C．143

D．176

13．（2012年高考江西理）設(shè)數(shù)列?an?,?bn?都是等差數(shù)列,若a1?b1?7,a3?b3?21,則a5?b5?__________ 14．（2012年高考四川文）設(shè)函數(shù)f(x)?(x?3)?x?1,{an}是公差不為0的等差數(shù)列,f(a1)?f(a2)?????f(a7)?14,則a1?a2??a7?（）

A．0 B．7 C．14 D．21

15.（2012年高考大綱理）已知等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn,a5?5,S5?15,則數(shù)列?（）A．

?

1?

?的前100項(xiàng)和為

?anan?1?

B．

101

C．

100

D．

16．（2012年高考山東理）在等差數(shù)列?an?中,a3?a4?a5?84,a9?73.(Ⅰ)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)對(duì)任意m?N*,將數(shù)列?an?中落入?yún)^(qū)間(9,9)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm,求數(shù)列?bm? 的前m項(xiàng)和Sm.m

2m

17.【2013年高考新課標(biāo)Ⅱ數(shù)學(xué)（文）卷】已知等差數(shù)列｛an｝的公差不為零，a1=25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列.（Ⅰ）求?an?的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2.熱點(diǎn)三 等差數(shù)列的定義與應(yīng)用

18.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科】下面是關(guān)于公差d?0的等差數(shù)列?an?的四個(gè)命題：

p2:數(shù)列?nan?是遞增數(shù)列； p1:數(shù)列?an?是遞增數(shù)列；

?a?

p4:數(shù)列?an?3nd?是遞增數(shù)列； p3:數(shù)列?n?是遞增數(shù)列；

?n?

其中的真命題為（）

（A）p1,p2（B）p3,p4（C）p2,p3（D）p1,p4 19．（2012年高考四川理）設(shè)函數(shù)f(x)?2x?cosx,{an}是公差為

f(a1)?f(a2)?????f(a5)?5?,則[f(a3)]?a1a3?（）

?的等差數(shù)列, 8

A．0

B．

? 16

C．?

D．

132

? 16

20．（2012年高考浙江理）設(shè)S n是公差為d(d≠0)的無(wú)窮等差數(shù)列{a n}的前n項(xiàng)和,則下列命題錯(cuò)誤的是（）．．A．若d<0,則數(shù)列{S n}有最大項(xiàng)B．若數(shù)列{S n}有最大項(xiàng),則d<0

C．若數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列,則對(duì)任意的n?N*,均有S n>0D．若對(duì)任意的n?N*,均有S n>0,則數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列

21.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題新課標(biāo)Ⅱ數(shù)學(xué)（理）卷】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15 =25，則nSn 的最小值為________.

第四篇：植樹問(wèn)題探究

植樹問(wèn)題

學(xué)情分析：

由于學(xué)生初次接觸植樹問(wèn)題，這部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)生一定會(huì)很感興趣，學(xué)習(xí)的熱情也會(huì)比較高漲。這部分內(nèi)容對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，是不容易理解和掌握的。學(xué)生已經(jīng)掌握了關(guān)于線段的相關(guān)知識(shí)，也具備了一定的生活經(jīng)驗(yàn)和分析思考能力與計(jì)算能力，因此在教學(xué)過(guò)程中對(duì)教科書內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，并充分利用學(xué)生原有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)組織學(xué)生開展各個(gè)環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過(guò)動(dòng)手操作的實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與植樹棵數(shù)之間的關(guān)系。

2.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律解決問(wèn)題的能力。

3.通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)激發(fā)熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感，感受日常生活中處處有數(shù)學(xué)、體驗(yàn)學(xué)習(xí)成功的喜悅。

教學(xué)重、難點(diǎn)：

引導(dǎo)學(xué)生在觀察、操作和交流中探索并發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與棵數(shù)的規(guī)律，并能運(yùn)用規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題。

教學(xué)準(zhǔn)備：

課件、教具

教學(xué)過(guò)程：

一：復(fù)習(xí)導(dǎo)入：

同學(xué)們，我們開始上課。看黑板上這樣一個(gè)問(wèn)題：20米的路，每5米分一段，共分成幾段？會(huì)做的請(qǐng)舉手。（回顧“平均分”知識(shí)）

再看老師給大家準(zhǔn)備的第二道題目，大家一起來(lái)讀一讀：20米的路，每5米種一棵樹，共種幾棵樹？（指名學(xué)生匯報(bào)）這就是我們今天要研究的植樹問(wèn)題。（板書：植樹問(wèn)題）

二：互動(dòng)新授

同學(xué)們，那么到底種多少棵樹呢？接下來(lái)讓我們自己動(dòng)手來(lái)研究一下。（小組活動(dòng)）

小組展示：你們組是怎么種的？樹是種在哪里？（點(diǎn)上）

總結(jié)：哦！我們種樹先平均分分出“段”來(lái)，再把樹種在點(diǎn)上。那么，點(diǎn)和段之間有什么關(guān)系？（點(diǎn)比段多1）

結(jié)論：20米長(zhǎng)的路，平均分成4段，共5個(gè)點(diǎn)，所以種了5棵。

在植樹問(wèn)題里，我們兩棵樹之間的距離叫做間隔米數(shù)，這里的段數(shù)叫做間隔數(shù)。那么我們間隔數(shù)怎么計(jì)算呢？（間隔數(shù)=路長(zhǎng)÷間隔米數(shù)）我們種的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系是什么？（棵數(shù)=間隔數(shù)+1）那如果是25米的路呢？要種幾棵樹？35米呢？

好，同學(xué)們，生活中的種樹很復(fù)雜的。大家看，我在路盡頭造了一個(gè)房子。那么現(xiàn)在棵樹和間隔數(shù)之間有什么關(guān)系呢？（棵數(shù)=間隔數(shù)+1再減1，也就是棵數(shù)=間隔數(shù)）。

如果我在路的兩端都造了房子呢？你怎么種？所以我們這個(gè)規(guī)律要變成：棵數(shù)=間隔數(shù)+1再減2，也就是棵數(shù)=間隔數(shù)-1

三、拓展練習(xí)

1.同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng) 100 m 的小路一邊植樹，每隔 5 m 栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？

2.在一條全長(zhǎng) 2 km 的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔 50 m 安一盞。一共要安裝多少盞路燈？

3.小明家門前有一條 35 m 的小路，綠化隊(duì)要在路旁栽一排樹。每隔 5 m 栽一棵樹（一端栽，一端不栽）。一共要栽多少棵？

4.大象館和猴山相距 60 m。綠化隊(duì)要在兩館間的小路兩旁栽樹（兩端不栽），相鄰兩棵樹之間的距離是 3 m。一共要栽多少棵樹？

四、課堂總結(jié)：

通過(guò)本節(jié)課的種樹，你有什么收獲？

板書設(shè)計(jì)

植樹問(wèn)題

點(diǎn)=段+1

間隔數(shù)=路長(zhǎng)÷間隔米數(shù)

兩端要栽 棵樹=間隔數(shù)+1

一端栽一端不栽 棵樹=間隔數(shù)

兩端不栽 棵樹=間隔數(shù)-1

教學(xué)反思：本節(jié)課的小組活動(dòng)中，是由我準(zhǔn)備好一張紙條代表路，還有幾棵樹，讓學(xué)生在紙上擺放，可能在無(wú)形中誤導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行兩端都栽樹，導(dǎo)致試教和正式上課中都沒(méi)有出現(xiàn)兩端不栽或者一端栽一端不栽的情況，阻礙了學(xué)生的思維發(fā)揮。在以后的教學(xué)中，我認(rèn)為還是讓學(xué)生自己在草稿紙上進(jìn)行畫線段圖種樹，這樣可以發(fā)散學(xué)生的思維，不受誤導(dǎo)。另外，在教學(xué)上剛開始復(fù)習(xí)的平均分概念和植樹中的聯(lián)系上銜接的不夠好，導(dǎo)致平均分概念復(fù)習(xí)的有些多余。如何從平均分引導(dǎo)到點(diǎn)段區(qū)別再到植樹問(wèn)題上的棵數(shù)，需要再多揣摩。

第五篇：?jiǎn)斡H家庭問(wèn)題探究

單親家庭問(wèn)題探究及解決

姓名：潘玉茹

一、基本情況

（一）社會(huì)調(diào)查題目：?jiǎn)斡H家庭問(wèn)題調(diào)查

（二）參加時(shí)間：2015年2月1日

（三）地點(diǎn)：廣東省廣州市增城區(qū)小樓鎮(zhèn)約場(chǎng)村

（四）方式：本次調(diào)查采用問(wèn)卷調(diào)查、入戶走訪等方式進(jìn)行。

（五）內(nèi)容：調(diào)查的具體內(nèi)容具體包括單親家庭的人數(shù)、家庭收入和家庭收入情況、單親家庭的生活方式及狀態(tài)等等。

（六）過(guò)程：進(jìn)行調(diào)查的對(duì)象共有1000人，首先在小樓鎮(zhèn)約場(chǎng)村派了980份問(wèn)卷，隨機(jī)進(jìn)入了一些家庭進(jìn)行入戶訪問(wèn)。共收回975份有效調(diào)查問(wèn)卷，共進(jìn)入30個(gè)家庭進(jìn)行入戶訪問(wèn)。

二、發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題

從調(diào)查問(wèn)卷及入戶訪問(wèn)收集的信息得知，在接受調(diào)查的1000人中共有50個(gè)單親家庭。該鎮(zhèn)的單親家庭有主要有以下幾點(diǎn)突出問(wèn)題：

（一）單親家庭的類型主要有：

1、母親去世或父母離異，父親與子女共同生活；

2、父親去世或父母離異，母親與子女共同生活；

3、父母雙亡，子女與爺爺奶奶共同生活。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，與父親共同生活的子女在經(jīng)濟(jì)方面比較富裕，但父親與子女之間的關(guān)系較疏遠(yuǎn)，平時(shí)交流很少；與母親共同生活的子女在經(jīng)濟(jì)方面較貧窮，但母親與子女之間的交流較多；與爺爺奶奶生活在一起子女經(jīng)濟(jì)方面普遍較貧窮，且他們之間的交流也很少。

（二）單親家庭中孩子的性格普遍沉默寡言，存在自卑心理：平時(shí)很少主動(dòng)與別人交流也不會(huì)把自己感受說(shuō)出來(lái)，單親家庭中父母心理特征主要有以下幾點(diǎn)：

1、過(guò)分溺愛(ài)孩子。溺愛(ài)是很多家庭的存在的通病，在單親家庭中的家長(zhǎng)表現(xiàn)的更加嚴(yán)重，他們總覺(jué)得給不了孩子幸福美滿的家庭很對(duì)不起孩子，所以無(wú)論在精神上還是物質(zhì)上都無(wú)條件滿足，以為這樣就能彌補(bǔ)家庭的殘缺，由此造成孩子自傲、任性、自私、孤僻等性格的缺點(diǎn)。

2、過(guò)分冷漠，對(duì)孩子不聞不問(wèn)。

3、一味排斥對(duì)方。這是離異家庭而言的，很多夫妻離婚后，一方帶著孩子生活，就不愿意讓對(duì)方接觸孩子，有意識(shí)的把對(duì)方貶得一無(wú)是處，向孩子灌輸敵對(duì)情緒，由此造成孩子性格偏離正常軌道。單親家庭中孩子的心理特征主要有以下幾點(diǎn)：

1、抑郁，有的孩子對(duì)痛失父或母十分痛苦，久久不能從傷心中走出來(lái)，心理非常壓抑。

2、憎恨，單親家庭中的孩子會(huì)對(duì)父母的離異充滿憎恨，進(jìn)而擴(kuò)展到對(duì)社會(huì)和學(xué)校的生活不感興趣。

3、易怒，家庭的缺陷會(huì)使他們脾氣變得暴躁易怒。

4、自卑，這是他們最大的心理特征，他們會(huì)認(rèn)為自己的家庭有缺陷是件很丟人的事情，所以變得很自卑。單親家庭中的孩子特別容易走上歪路，染上社會(huì)惡習(xí)，如網(wǎng)癮、吸毒等，由此可見，單親家庭對(duì)孩子的危害有多大。

(三）放羊式教育：“放羊式”教育已經(jīng)成了單親家庭存在教育現(xiàn)象，父或母忙于生計(jì)便很少與孩子們溝通，因而對(duì)孩子的教育無(wú)暇顧及，不得不實(shí)行“放羊”，對(duì)孩子的一切采取不關(guān)心的態(tài)度，給孩子犯罪創(chuàng)造了條件。在這50個(gè)單親家庭中，其中有35個(gè)家庭的孩子中學(xué)未讀完就輟學(xué)了，學(xué)歷低會(huì)對(duì)他們以后的生活造成嚴(yán)重的影響。

三、解決建議

針對(duì)調(diào)查中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，我采取了以下措施：

（一）防患于未然：在該鎮(zhèn)開展了主題為“大手牽小手，共創(chuàng)造美滿家庭”的活動(dòng)，活動(dòng)的主要目的是通過(guò)本次活動(dòng)來(lái)宣傳美滿家庭對(duì)孩子的健康成長(zhǎng)的重要性，同時(shí)也讓村民們一起來(lái)創(chuàng)造幸福美滿的家庭。本次活動(dòng)設(shè)有有獎(jiǎng)?chuàng)尨?、家庭成員互動(dòng)、知識(shí)競(jìng)賽等環(huán)節(jié)。為了本次活動(dòng)能夠順利如期的進(jìn)行，事先招募了20個(gè)志愿來(lái)共同促進(jìn)活動(dòng)的順利進(jìn)行。此次活動(dòng)共開展了三個(gè)小時(shí)，獲得了圓滿的成功。該鎮(zhèn)村民的參與度很高，很多村民表示通過(guò)這次活動(dòng)會(huì)更加努力的創(chuàng)造美滿家庭給孩子一個(gè)健康快樂(lè)的成長(zhǎng)壞境，也會(huì)更加珍惜與家人相處的時(shí)間。此次活動(dòng)獲得比較高的評(píng)價(jià)，且預(yù)期效果也得到了很好實(shí)現(xiàn)。

（二）亡羊補(bǔ)牢：共開展了三次活動(dòng)。

1、“釋放自己的壓力，讓孩子健康成長(zhǎng)”，這個(gè)活動(dòng)的主角是單親家庭中的家長(zhǎng)們，此次活動(dòng)的主要目的是讓單親家庭中的家長(zhǎng)們釋放自己的心理壓力，關(guān)愛(ài)孩子，給孩子一個(gè)健康快樂(lè)的成長(zhǎng)環(huán)境。這次活動(dòng)的主要采取座談的方式進(jìn)行，把家長(zhǎng)們集合起來(lái)，在室內(nèi)圍成一圈坐著，輪流來(lái)分享自己的家庭故事。一開始家長(zhǎng)們有點(diǎn)抗拒，隨后有第一位分享了自己的故事，接著氣氛慢慢的活躍起來(lái)。大部分家長(zhǎng)都分享了自己的故事，他們的心理壓力得到了釋放。

2、“我們都一樣”，這個(gè)活動(dòng)針對(duì)的是單親家庭中的孩子們，活動(dòng)采取座談的形式進(jìn)行，讓孩子們釋放心理壓力，并告訴了他們單親家。庭的孩子與所有的孩子一樣，并通過(guò)案例來(lái)說(shuō)服他們。

3、“我們?cè)谝黄稹?，這次活動(dòng)的主角是單親家庭中的家長(zhǎng)們和孩子們，活動(dòng)采用戶外活動(dòng)的形式進(jìn)行。組織家長(zhǎng)們和孩子們一起到戶外開展親子活動(dòng)，給他們一次共同參加活動(dòng)的機(jī)會(huì)，此次活動(dòng)包括家長(zhǎng)和孩子共有80人參加，事先招募了10個(gè)志愿者參加以促進(jìn)活動(dòng)的順利進(jìn)行?；顒?dòng)的內(nèi)容包括玩游戲、親情表白等節(jié)目。通過(guò)親子體育游戲增加家長(zhǎng)與孩子之間的交流與互動(dòng)，親情表白是讓孩子和家長(zhǎng)跟彼此說(shuō)出自己的想法，讓對(duì)方知道了自己心理最真實(shí)的感情，加深他們對(duì)彼此之間的了解。通過(guò)這次親子活動(dòng)，家長(zhǎng)和孩子們之間的關(guān)系得到了大大的改善，家長(zhǎng)對(duì)孩子多了關(guān)愛(ài)，孩子對(duì)家長(zhǎng)多了理解，家庭關(guān)系變得和諧。一個(gè)月后回訪該鎮(zhèn)，該鎮(zhèn)的村民們表示自活動(dòng)開展以來(lái)，家庭矛盾減少了不少，家庭成員之間的關(guān)系也得到了很大的改善。