第一篇：高考真題—普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試—理科數(shù)學(xué)（北京卷）—解析版

絕密★啟用前 2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）理科數(shù)學(xué) 本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1.已知復(fù)數(shù)z=2+i，則 A.B.C.3 D.5 【答案】D 【解析】 【分析】 題先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則即得.【詳解】∵ 故選D.【點(diǎn)睛】本容易題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)程序框圖中的條件逐次運(yùn)算即可.【詳解】運(yùn)行第一次，，運(yùn)行第二次，，運(yùn)行第三次，，結(jié)束循環(huán)，輸出，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算能力的考查.3.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則點(diǎn)（1,0）到直線l的距離是 A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 首先將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求解距離即可.【詳解】直線的普通方程為,即,點(diǎn)到直線的距離,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化,點(diǎn)到直線的距離,屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查.4.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則 A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b 【答案】B 【解析】 【分析】 由題意利用離心率的定義和的關(guān)系可得滿足題意的等式.【詳解】橢圓的離心率,化簡得, 故選B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查.5.若x，y滿足，且y≥?1，則3x+y的最大值為 A.?7 B.1 C.5 D.7 【答案】C 【解析】 【分析】 首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其最值即可.【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè), 當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取最大值5.故選C.【點(diǎn)睛】本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型,根據(jù)“畫?移?解”等步驟可得解.題目難度不大題,注重了基礎(chǔ)知識(shí)?基本技能的考查.6.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為 A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.1 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出，然后將對(duì)數(shù)式換為指數(shù)式求再求 【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足 , 令，，故選D.【點(diǎn)睛】考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.7.設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】 【分析】 由題意結(jié)合向量的減法公式和向量的運(yùn)算法則考查充分性和必要性是否成立即可.【詳解】∵A?B?C三點(diǎn)不共線,∴ |+|>|||+|>|-| |+|2>|-|2?>0與 的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的概念與判斷?平面向量的模?夾角與數(shù)量積,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想.8.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 A.① B.② C.①② D.①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】 將所給方程進(jìn)行等價(jià)變形確定x的范圍可得整點(diǎn)坐標(biāo)和個(gè)數(shù)，結(jié)合均值不等式可得曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最值和范圍，利用圖形的對(duì)稱性和整點(diǎn)的坐標(biāo)可確定圖形面積的范圍.詳解】由得，, 所以可為的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線恰好經(jīng)過(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六個(gè)整點(diǎn),結(jié)論①正確.由得，解得,所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過.結(jié)論②正確.如圖所示,易知, 四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說法③錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程?曲線的幾何性質(zhì)，基本不等式及其應(yīng)用,屬于難題,注重基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力及分析問題解決問題的能力考查,滲透“美育思想”.第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

9.函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是__________． 【答案】.【解析】 【分析】 將所給的函數(shù)利用降冪公式進(jìn)行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.【詳解】函數(shù),周期為 【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎(chǔ)題.10.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________． 【答案】(1).0.(2).-10.【解析】 【分析】 首先確定公差,然后由通項(xiàng)公式可得的值，進(jìn)一步研究數(shù)列中正項(xiàng)?負(fù)項(xiàng)的變化規(guī)律,得到和的最小值.【詳解】等差數(shù)列中，得,公差， 由等差數(shù)列的性質(zhì)得時(shí)，時(shí),大于0,所以的最小值為或,即為.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式?求和公式?等差數(shù)列的性質(zhì),難度不大,注重重要知識(shí)?基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查.11.某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為__________． 【答案】40.【解析】 【分析】 畫出三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體，應(yīng)用割補(bǔ)法求幾何體的體積.【詳解】在正方體中還原該幾何體，如圖所示 幾何體的體積V=43-（2+4）×2×4=40 【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)有二，一是不能正確還原幾何體；

二是計(jì)算體積有誤.為避免出錯(cuò)，應(yīng)注重多觀察、細(xì)心算.12.已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：

①l⊥m；

②m∥；

③l⊥． 以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________． 【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.【解析】 【分析】 將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論加以分析.【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題：

（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；

（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.不正確，有可能m在平面α內(nèi)；

（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.13.設(shè)函數(shù)f（x）=ex+ae?x（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；

若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________． 【答案】(1).-1;(2)..【解析】 【分析】 首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用導(dǎo)函數(shù)的解析式可得a的取值范圍.【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù),則，對(duì)任意的恒成立.若函數(shù)是上的增函數(shù),則恒成立,.即實(shí)數(shù)的取值范圍是 【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性?單調(diào)性?利用單調(diào)性確定參數(shù)的范圍.解答過程中,需利用轉(zhuǎn)化與化歸思想,轉(zhuǎn)化成恒成立問題.注重重點(diǎn)知識(shí)?基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查.14.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%． ①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________． 【答案】(1).130.(2).15.【解析】 【分析】（1）將購買的草莓和西瓜加錢與120進(jìn)行比較，再根據(jù)促銷規(guī)則可的結(jié)果；

（2）根據(jù)、分別探究.【詳解】（1）x=10，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.（2）設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為y元，元時(shí)，李明得到的金額為y×80%，符合要求.元時(shí)，有（y-x）×80%≥y×70%成立，即8（y-x）≥7y，x≤，即x≤（）min=15元.所以x的最大值為15.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)、數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)、數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力，有一定難度.三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

15.在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=． （Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）求sin（B–C）的值． 【答案】(Ⅰ)；

(Ⅱ).【解析】 【分析】(Ⅰ)由題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值；

(Ⅱ)由題意結(jié)合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值.【詳解】(Ⅰ)由題意可得：，解得：.(Ⅱ)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：，結(jié)合正弦定理可得：，很明顯角C為銳角，故，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，兩角和差正余弦公式的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16.如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由． 【答案】(Ⅰ)見解析；

(Ⅱ)；

(Ⅲ)見解析.【解析】 【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個(gè)半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；

(Ⅲ)首先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量可判斷直線是否在平面內(nèi).【詳解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向?yàn)閥軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知：，由可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由可得，設(shè)平面AEF的法向量為：，則，據(jù)此可得平面AEF的一個(gè)法向量為：，很明顯平面AEP的一個(gè)法向量為，二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為.(Ⅲ)易知，由可得，則，注意到平面AEF的一個(gè)法向量為：，其且點(diǎn)A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).17.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

交付金額（元）支付方式（0,1000]（1000,2000] 大于2000 僅使用A 18人 9人 3人 僅使用B 10人 14人 1人（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；

（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由． 【答案】(Ⅰ)；

(Ⅱ)見解析；

(Ⅲ)見解析.【解析】 【分析】(Ⅰ)由題意利用古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值；

(Ⅱ)首先確定X可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望即可.(Ⅲ)由題意結(jié)合概率的定義給出結(jié)論即可.【詳解】(Ⅰ)由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：人，則：

該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率.(Ⅱ)由題意可知，僅使用A支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，僅使用B支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，且X可能的取值為0,1,2.，，X分布列為：

X 0 1 2 其數(shù)學(xué)期望：.(Ⅲ)我們不認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.理由如下：

隨機(jī)事件在一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中是否發(fā)生是隨機(jī)的，是不能預(yù)知的，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率越來越穩(wěn)定于概率。

學(xué)校是一個(gè)相對(duì)消費(fèi)穩(wěn)定的地方，每個(gè)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況每個(gè)月的消費(fèi)應(yīng)該相對(duì)固定，出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”.【點(diǎn)睛】本題以支付方式相關(guān)調(diào)查來設(shè)置問題，考查概率統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用，考查概率的定義和分布列的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān).18.已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)． 【答案】(Ⅰ)，；

(Ⅱ)見解析.【解析】 【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線方程，進(jìn)一步可得準(zhǔn)線方程；

(Ⅱ)聯(lián)立準(zhǔn)線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得圓心坐標(biāo)和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令x=0即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)將點(diǎn)代入拋物線方程：可得：，故拋物線方程：，其準(zhǔn)線方程為：.(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：.故：.設(shè)，則，直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得，易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，圓的半徑為：，且：，則圓的方程為：，令整理可得：，解得：，即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準(zhǔn)線方程的確定，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的方程的求解及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19.已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a的值． 【答案】（Ⅰ）和.（Ⅱ）見解析；

（Ⅲ）.【解析】 【分析】(Ⅰ)首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此求得切點(diǎn)坐標(biāo)即可確定切線方程；

(Ⅱ)由題意分別證得和即可證得題中的結(jié)論；

(Ⅲ)由題意結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)論分類討論即可求得a的值.【詳解】（Ⅰ），令得或者.當(dāng)時(shí)，此時(shí)切線方程為，即；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)切線方程為，即；

綜上可得所求切線方程為和.（Ⅱ）設(shè)，令得或者，所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；

而，所以，即；

同理令，可求其最小值為，所以，即，綜上可得.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，所以是中的較大者，若，即時(shí)，；

若，即時(shí)，；

所以當(dāng)最小時(shí)，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式的方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20.已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第im項(xiàng)(i1

（Ⅱ）已知數(shù)列{an}的長度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為，長度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為.若p

（Ⅲ）設(shè)無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等.若{an}的長度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s–1，且長度為s末項(xiàng)為2s–1的遞增子列恰有2s-1個(gè)（s=1，2，…），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 【答案】(Ⅰ)1,3,5,6.(Ⅱ)見解析；

(Ⅲ)見解析.【解析】 【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合新定義的知識(shí)給出一個(gè)滿足題意的遞增子列即可；

(Ⅱ)利用數(shù)列的性質(zhì)和遞增子列的定義證明題中的結(jié)論即可；

(Ⅲ)觀察所要求解數(shù)列的特征給出一個(gè)滿足題意的通項(xiàng)公式，然后證明通項(xiàng)公式滿足題中所有的條件即可.【詳解】(Ⅰ)滿足題意的一個(gè)長度為4的遞增子列為：1,3,5,6.(Ⅱ)對(duì)于每一個(gè)長度為的遞增子列，都能從其中找到若干個(gè)長度為的遞增子列，此時(shí)，設(shè)所有長度為的子列的末項(xiàng)分別為：，所有長度為的子列的末項(xiàng)分別為：，則，注意到長度為的子列可能無法進(jìn)一步找到長度為的子列，故，據(jù)此可得：

(Ⅲ)滿足題意的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是，下面說明此數(shù)列滿足題意.很明顯數(shù)列為無窮數(shù)列，且各項(xiàng)均為正整數(shù)，任意兩項(xiàng)均不相等.長度為的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s-1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明長度為s末項(xiàng)為2s-1的遞增子列恰有個(gè)：

當(dāng)時(shí)命題顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即長度為k末項(xiàng)為2k-1的遞增子列恰有個(gè)，則當(dāng)時(shí)，對(duì)于時(shí)得到的每一個(gè)子列，可構(gòu)造：和兩個(gè)滿足題意的遞增子列，則長度為k+1末項(xiàng)為2k+1的遞增子列恰有個(gè)，綜上可得，數(shù)列是一個(gè)滿足題意的數(shù)列的通項(xiàng)公式.注：當(dāng)時(shí)，所有滿足題意的數(shù)列為：，當(dāng)時(shí)，數(shù)列對(duì)應(yīng)的兩個(gè)遞增子列為：和.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

第二篇：2019年高考真題—普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試—理科數(shù)學(xué)（全國卷Ⅲ）—解析版

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2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國

III卷）

理科數(shù)學(xué)

一．

選擇題

1、已知集合，則（）

A.B.B.C.C.D.D.答案：

A

解答：，所以.2.若，則（）

A.B.C.D.答案：

D

解答：,.3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著，某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）

A.B.C.D.答案：

C

解答：

4.的展開式中的系數(shù)為（）

A.B.C.D.答案：

A

解答：

由題意可知含的項(xiàng)為，所以系數(shù)為.5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）

A.B.C.D.答案：

C

解答：

設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，由已知得，因?yàn)榍?，則可解得，又因?yàn)?，即可解得，則.6.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）

A.,B.,C.,D.,答案：

D

解析：

令，則，得.，可得.故選D.7.函數(shù)在的圖像大致為（）

A.B.C.D.答案：

B

解析：

∵，∴，∴為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C.又∵，根據(jù)圖像進(jìn)行判斷，可知選項(xiàng)B符合題意.8.如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn)，則（）

A.，且直線，是相交直線

B.，且直線，是相交直線

C.，且直線，是異面直線

D.，且直線，是異面直線

答案：

B

解析：

因?yàn)橹本€，都是平面內(nèi)的直線，且不平行，即直線，是相交直線，設(shè)正方形的邊長為，則由題意可得：，根據(jù)余弦定理可得：，所以，故選B.9.執(zhí)行右邊的程序框圖，如果輸出為，則輸出的值等于（）

A.B.C.D.答案：

C

解析：

第一次循環(huán)：；

第二次循環(huán)：；

第三次循環(huán)：；

第四次循環(huán)：；

…

第七次循環(huán)：，此時(shí)循環(huán)結(jié)束，可得.故選C.10.雙曲線：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為的一條漸近線的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若則的面積為（）

A:

B:

C:

D:

答案:

A

解析：

由雙曲線的方程可得一條漸近線方程為；在中過點(diǎn)做垂直因?yàn)榈玫?所以;故選A;

11.若是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則（）

A.B.C.D.答案：

C

解析:

依據(jù)題意函數(shù)為偶函數(shù)且函數(shù)在單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；因?yàn)椋挥忠驗(yàn)?；所以；故選C.12.設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：

在有且僅有個(gè)極大值點(diǎn)

在有且僅有個(gè)極小值點(diǎn)

在單調(diào)遞增的取值范圍是

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是

A.B.C.D.答案：

D

解析：

根據(jù)題意，畫出草圖，由圖可知，由題意可得，解得，所以，解得，故對(duì)；

令得，∴圖像中軸右側(cè)第一個(gè)最值點(diǎn)為最大值點(diǎn)，故對(duì)；

∵，∴在有個(gè)或個(gè)極小值點(diǎn)，故錯(cuò)；

∵，∴，故對(duì).二.填空題

13.已知，為單位向量，且，若，則

.答案：

解析：

∵，∴，∵，∴.14.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則

.答案：

解析：

設(shè)該等差數(shù)列的公差為，∵，∴，故，∴.15.設(shè)、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為________.答案：

解析：

已知橢圓可知，，由為上一點(diǎn)且在第一象限，故等腰三角形中，，，代入可得.故的坐標(biāo)為.16.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用D打印技術(shù)制作模型。如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點(diǎn)，,D打印機(jī)所用原料密度為，不考慮打印損耗，則作該模型所需原料的質(zhì)量為

.答案：

解答：，..三．解答題

17.為了解甲，乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同，摩爾溶度相同。經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記為事件“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為0.70.（1）

求乙離子殘留百分比直方圖中的值；

（2）

分別估計(jì)甲，乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.答案：

見解析

解答:

（1）

依題意得，解得.（2）

得到甲離子殘留百分比的平均值為4.05,，乙離子殘留百分比的平均值為5.7.18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.(1求B;

(2)

若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.答案：

（1）

（2）見解析

解析：

因?yàn)?；結(jié)合正弦定理,得,即；得到；

（2）

因?yàn)?所以又因?yàn)?;又因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)闉殇J角，若越大越大，則越小越?。辉酱螅?；所以，所以.19.圖1是由矩形，和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，.將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖2.（1）證明：圖2中的四點(diǎn)共面，且平面平面；

（2）求圖2中的二面角的大小.答案：

見解析

解析：

證明：（1）由題意知，，又，平面，又平面，平面平面.(2)分別取，的中點(diǎn)為，連結(jié)，則，四邊形為棱形，且60，又平面，即平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,，令，則,得到，平面的一個(gè)法向量為，,故二面角的大小為.20.已知函數(shù).（1）

討論的單調(diào)性；

（2）

是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.答案：

見解析

解析：

（1）

?當(dāng)時(shí)，此時(shí)在單調(diào)遞增.?當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得.此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.?當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得.此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上可得，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）

由（1）中結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，此時(shí)，∴，滿足題意.當(dāng)時(shí)，若，即，則在單調(diào)遞減，此時(shí)，∴，滿足題意.若，即，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.此時(shí)?

∵

∴當(dāng)時(shí)，?，由??可得，與矛盾，故不成立.當(dāng)時(shí)，?，由??可得，與矛盾，故不成立.綜上可知，或滿足題意.21.已知曲線，為直線上的動(dòng)點(diǎn).過作的兩條切線,切點(diǎn)分別是，（1）證明：直線過定點(diǎn);

（2）若以為圓心的圓與直線相切,且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn),求四邊形的面積.答案：

見解析；

解答：

（1）當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，設(shè)過的直線方程為，與曲線聯(lián)立化簡得，由于直線與曲線相切，則有，解得，并求得坐標(biāo)分別為，所以直線的方程為；

當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)不為時(shí)，設(shè)直線的方程為（），由已知可得直線

不過坐標(biāo)原點(diǎn)即，聯(lián)立直線方程與曲線的方程可得，消并化簡得，∵有兩個(gè)交點(diǎn)∴，設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理有，，由已知可得曲線為拋物線等價(jià)于函數(shù)的圖像，則有，則拋物線在上的切線方程為①，同理，拋物線在上的切線方程為②，聯(lián)立①，②并消去可得，由已知可得兩條切線的交點(diǎn)在直線上，則有，化簡得，∵，∴，即，即為，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件，所以直線的方程為過定點(diǎn)，綜上所述，直線過定點(diǎn)得證.（2）由（1）得直線的方程為，當(dāng)時(shí)，即直線方程為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為圓心的圓與直線相切于恰為中點(diǎn)，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，直線方程與曲線方程聯(lián)立化簡得，，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知可得，即，解得，由對(duì)稱性不妨取，則直線方程為，求得的坐標(biāo)為，到直線距離，到直線距離，則，綜上所述，四邊形的面積為或.四．

選做題（2選1）

22.如圖，在極坐標(biāo)系中，，，弧，所在圓的圓心分別是，，曲線是弧,曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出，的極坐標(biāo)方程；

（2）曲線由，構(gòu)成，若點(diǎn)在上，且,求的極坐標(biāo).答案：

見解答

解答：

（1）

由題意可知，的直角坐標(biāo)方程為：，，所以，的極坐標(biāo)為，.（2）

時(shí)，，時(shí)，或，時(shí)，，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，.23.設(shè)，且.（1）求的最小值；

（2）若成立，證明：或.答案：

見解析

解析：

（1）

根據(jù)柯西不等式，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取最小值;

（2）

方法一：根據(jù)柯西不等式，證得或.方法二：令，有，證得或

第三篇：2019年高考真題—普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試—理科數(shù)學(xué)（全國卷Ⅰ）—解析版

004km.cn

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國

I卷）

理科數(shù)學(xué)

1.已知集合，則（）

A.B.C.D.答案：

C

解答：

由題意可知，又因?yàn)?則，故選.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）

A.B.C.D.答案：

C

解答：

∵復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∴

∴

∴

3.已知，，則（）

A.B.C.D.答案：

B

解答：

由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像可知：；再有指數(shù)函數(shù)的圖像可知：，于是可得到：.4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是

.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為，頭頂至脖子下端的長度為，則其身高可能是（）

A.B.C.D.答案：

B

解答：

方法一：

設(shè)頭頂處為點(diǎn)，咽喉處為點(diǎn)，脖子下端處為點(diǎn)，肚臍處為點(diǎn)，腿根處為點(diǎn)，足底處為，，根據(jù)題意可知,故；又，故；

所以身高，將代入可得.根據(jù)腿長為，頭頂至脖子下端的長度為可得，；

即，將代入可得

所以，故選B.方法二：

由于頭頂至咽喉的長度與頭頂至脖子下端的長度極為接近，故頭頂至脖子下端的長度可估值為頭頂至咽喉的長度；根據(jù)人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是（稱為黃金分割比例）可計(jì)算出咽喉至肚臍的長度約為；將人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度相加可得頭頂至肚臍的長度為，頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是可計(jì)算出肚臍至足底的長度約為；將頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度相加即可得到身高約為，與答案更為接近且身高應(yīng)略小于，故選B.5.函數(shù)在的圖像大致為（）

A.B.C.D.答案：

D

解答：

∵，∴為奇函數(shù)，排除A，又，排除C，排除B，故選D.6.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，下圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有個(gè)陽爻的概率是（）

A.B.C.D.答案：

A

解答：

每爻有陰陽兩種情況，所以總的事件共有種，在個(gè)位置上恰有個(gè)是陽爻的情況有種，所以

.7.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（）

A.B.C.D.答案：

B

解答：

設(shè)與的夾角為，∵

∴

∴

∴.8.右圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（）

A.B.C.D.答案：

A

解答：

把選項(xiàng)代入模擬運(yùn)行很容易得出結(jié)論

選項(xiàng)A代入運(yùn)算可得，滿足條件，選項(xiàng)B代入運(yùn)算可得,不符合條件，選項(xiàng)C代入運(yùn)算可得,不符合條件，選項(xiàng)D代入運(yùn)算可得,不符合條件.9.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，則（）

A.B.C.D.答案：

A

解析：

依題意有，可得，.10.已知橢圓的焦點(diǎn)為，過的直線與交于，兩點(diǎn).若，則的方程為（）

A.B.C.D.答案：

B

解答：

由橢圓的焦點(diǎn)為，可知，又，可設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義可知，得，所以，可知，根據(jù)相似可得代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得，橢圓的方程為.11.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：

①是偶函數(shù)

②在區(qū)間單調(diào)遞增

③在有4個(gè)零點(diǎn)

④的最大值為

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①②④

B.②④

C.①④

D.①③

答案：

C

解答：

因?yàn)?，所以是偶函?shù)，①正確，因?yàn)?，而，所以②錯(cuò)誤，畫出函數(shù)在上的圖像，很容易知道有零點(diǎn)，所以③錯(cuò)誤，結(jié)合函數(shù)圖像，可知的最大值為，④正確，故答案選C.12.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，是邊長為的正三角形，分別是，的中點(diǎn)，則球的體積為（）

A.B.C.D.答案：

D

解答：

設(shè)，則

∴

∵，∴,即，解得，∴

又

易知兩兩相互垂直，故三棱錐的外接球的半徑為，∴三棱錐的外接球的體積為，故選D.13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為

.答案：

解答：

∵，∴結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)處的切線方程的斜率，∴切線方程為.14.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則

.答案：

解答：

∵，設(shè)等比數(shù)列公比為

∴

∴

∴

15.甲乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該對(duì)獲勝，決賽結(jié)束）根據(jù)前期的比賽成績，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為，客場(chǎng)取勝的概率為，且各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以獲勝的概率是

.答案：

解答：

甲隊(duì)要以，則甲隊(duì)在前4場(chǎng)比賽中輸一場(chǎng)，第5場(chǎng)甲獲勝，由于在前4場(chǎng)比賽中甲有2個(gè)主場(chǎng)2個(gè)客場(chǎng)，于是分兩種情況：

.16.已知雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn).若，則的離心率為

.答案：

解答：

由知是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以為中位線且，所以，因此，又根據(jù)兩漸近線對(duì)稱，所以，.17.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.設(shè).（1）

求；

（2）

若，求.答案：

略

解答：

（1）

由得

結(jié)合正弦定理得

∴

又，∴.（2）

由得,∴

∴,∴

∴

又∴

又∴

∴，∴.18.如圖，直四棱柱的底面是菱形，分別是的中點(diǎn).（1）

證明：平面；

（2）

求二面角的正弦值.答案：

（1）

見解析；

（2）

.解答：

（1）

連結(jié)和，∵分別是和的中點(diǎn)，∴且，又是，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）

以為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，由題，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由得，令得，由得，令得，∴，∴二面角的正弦值為.19.已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.（1）

若，求的方程；

（2）

若，求.答案：

（1）；

（2）.解答：

（1）設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線的方程：消去化簡整理得，，依題意可知，即，故，得，滿足，故直線的方程為，即.（2）聯(lián)立方程組消去化簡整理得，，，可知，則，得，故可知滿足，.20.已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).證明：

(1)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)有且僅有個(gè)零點(diǎn).答案：

略

解答：

(1)對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)可得，取，則,在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以在內(nèi)存在一個(gè)，使得，所以在內(nèi)，為增函數(shù)；在內(nèi)，為減函數(shù)，所以在在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；

（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)增，且，可得

則在此區(qū)間單調(diào)減；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)增，且，則在此區(qū)間單調(diào)增；又則在上有唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，單調(diào)減，且，則存在唯一的，使得，在時(shí)，單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減，且，所以在上無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)減，單調(diào)減，則在上單調(diào)減，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上無零點(diǎn).綜上可得，有且僅有個(gè)零點(diǎn).21．為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)．實(shí)驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪實(shí)驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止實(shí)驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪實(shí)驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪實(shí)驗(yàn)中甲藥的得分記為．

（1）求的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在實(shí)驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，其中，．假設(shè)，．

（i）證明：為等比數(shù)列；

（ii）求，并根據(jù)的值解釋這種實(shí)驗(yàn)方案的合理性．

答案：

（1）略；（2）略

解答：

（1）一輪實(shí)驗(yàn)中甲藥的得分有三種情況：、、．

得分時(shí)是施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則；

得分時(shí)是施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則；

得分時(shí)是都治愈或都未治愈，則．

則的分布列為：

（2）（i）因?yàn)?，則，．

可得，則，則，則，所以為等比數(shù)列．

（ii）的首項(xiàng)為，那么可得：，………………，以上7個(gè)式子相加，得到，則，則，再把后面三個(gè)式子相加，得，則．

表示“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只，且甲藥的累計(jì)得分為4”，因?yàn)椋?，則實(shí)驗(yàn)結(jié)果中“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只，且甲藥的累計(jì)得分為4”這種情況的概率是非常小的，而的確非常小，說明這種實(shí)驗(yàn)方案是合理的．

22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）

求和的直角坐標(biāo)方程；

（2）

求上的點(diǎn)到距離的最小值.答案：

略

解答：

(1)曲線:由題意得即，則，然后代入即可得到

而直線：將代入即可得到

（2）

將曲線化成參數(shù)方程形式為

則

所以當(dāng)時(shí)，最小值為

23.已知為正數(shù)，且滿足，證明：

（1）

（2）

答案：

見解析：

解答：

（1），.由基本不等式可得：，于是得到.（2）

由基本不等式得到：，.于是得到

第四篇：2019年高考真題—普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試—理科數(shù)學(xué)（全國卷II）—解析版

004km.cn

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國

II卷）

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

1.設(shè)集合，則s（）

A.B.C.D.答案：

A

解答：

或，∴.2.設(shè),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案：

C

解析：，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為,故選C.3．已知，，則（）

A.B.C.D.答案：

C

解答：

∵，∴，解得，∴.4．2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就。實(shí)現(xiàn)月球背面軟著路需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系。為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地球月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行，點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上。設(shè)地球的質(zhì)量為，月球質(zhì)量為，地月距離為，點(diǎn)到月球的距離為，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，滿足方程。設(shè)。由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則的近似值為（）

A．

B．

C．

D．

答案：

D

解答：

所以有

化簡可得，可得。

5.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某位選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分。7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是（）

A．

中位數(shù)

B．

平均數(shù)

C．

方差

D．極差

答案：

A

解答：

由于共9個(gè)評(píng)委，將評(píng)委所給分?jǐn)?shù)從小到大排列，中位數(shù)是第5個(gè)，假設(shè)為，去掉一頭一尾的最低和最高分后，中位數(shù)還是，所以不變的是數(shù)字特征是中位數(shù)。其它的數(shù)字特征都會(huì)改變。

6.若，則（）

A.B.C.D.答案：

C

解答：

由函數(shù)在上是增函數(shù)，且，可得，即.7.設(shè)為兩個(gè)平面，則的充要條件是（）

A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行

B.內(nèi)有兩條相交直線與平行

C.平行于同一條直線

D.垂直于同一平面

答案：

B

解析：

根據(jù)面面平行的判定定理易得答案.選B.8.若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則（）

A.2

B.3

C.4

D.8

答案：

D

解答：

拋物線的焦點(diǎn)是，橢圓的焦點(diǎn)是，∴，∴.9.下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是（）

A.B.C.D.答案：

A

解答：

對(duì)于A,函數(shù)的周期,在區(qū)間單調(diào)遞增,符合題意；

對(duì)于B,函數(shù)的周期,在區(qū)間單調(diào)遞減,不符合題意；

對(duì)于C，函數(shù)，周期,不符合題意；

對(duì)于D,函數(shù)的周期,不符合題意.10.已知，則（）

A.B.C.D.答案：

B

解析：，則，所以，所以.11.設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與圓交于

兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）

A.B.C.D.答案:

A

解答：

∵，∴,又，∴

解得，即.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，都有，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

答案：

B

解答：

由當(dāng)，且當(dāng)時(shí)，可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，……當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域隨變量的增大而逐漸減小，對(duì)任意的，都有有解得的取值范圍是。

二、填空題

13.我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20

個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為

.答案：

0.98

解答：

經(jīng)停該站的列出共有40個(gè)車次，所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為。

14.已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí),.若，則_______.答案：

解答：

∵，∴.15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若則的面積為_______.答案：

解析：,16.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有

個(gè)面，其棱長為

.(本題第一空2分，第二空3分.)

答案：

解析：

由圖2結(jié)合空間想象即可得到該正多面體有26個(gè)面；將該半正多面體補(bǔ)成正方體后，根據(jù)對(duì)稱性列方程求解.三、解答題

17.如圖，長方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，（1）證明：平面;

（2）若，求二面角的正弦值.答案：

（1）見解析

（2）

解析：

（1）證明：∵平面，平面，∴，又，∴平面.（2）設(shè)底面邊長為，高為，∴，∵平面，∴即，∴解得.∵平面，∴，又，∴平面，故為平面的一個(gè)法向量.∵平面與平面為同一平面，故為平面的一個(gè)法向量，在中，∵故與成角，∴二面角的正弦值為.18.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束.（1）

求；

（2）

求事件“且甲獲勝”的概率.答案：

（1）；（2）

解析：

（1）

時(shí)，有兩種可能：

①甲連贏兩局結(jié)束比賽，此時(shí)；

②乙連贏兩局結(jié)束比賽，此時(shí)，∴；

（2）

且甲獲勝，即只有第二局乙獲勝，其他都是甲獲勝，此時(shí).19.已知數(shù)列和滿足，，.（1）證明：

是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；

（2）求和的通項(xiàng)公式.答案：

（1）見解析

（2），.解析：

(1)將，相加可得，整理可得，又，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.將，作差可得，整理可得，又，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.（2）由是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列可得①；

由是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列可得②；

①②相加化簡得，①②相減化簡得。

20.已知函數(shù)

(1)

討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)

設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線。

答案：

略

解答：

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，又，所以在區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)，且，所以在區(qū)間上也存在一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有且只有2個(gè)零點(diǎn)；

（2）因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以有。曲線在處的切線方程為，曲線曲線當(dāng)切線斜率為時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，化簡為，所以曲線在處的切線也是曲線的切線。

21.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足直線和的斜率之積為，記的軌跡為曲線.（1）求的方程，并說明什么曲線；

（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)

并延長交于點(diǎn).①證明：是直角三角形；

②求的面積的最大值.答案：

見解析

解答：

(1)由題意得：，化簡得：，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓（不含與軸的交點(diǎn)）.(2)

①依題意設(shè)，直線的斜率為，則，∴，又，∴，∴，即是直角三角形.②直線的方程為，聯(lián)立，得，則直線，聯(lián)立直線和橢圓，可得，則，∴，令，則，∴，∵，∴.四、選做題（2選1）

22.選修4-4（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）

在極坐標(biāo)系中，為極點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，直線過點(diǎn)且與垂直，垂足為.（1）

當(dāng)時(shí)，求及的極坐標(biāo)方程；

（2）

當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)且在線段上時(shí)，求點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.答案：

（1），的極坐標(biāo)方程：；

（2）

點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為.解答：

（1）

當(dāng)時(shí)，以為原點(diǎn)，極軸為軸建立直角坐標(biāo)系，在直角坐標(biāo)系中有，，則直線的斜率，由點(diǎn)斜式可得直線：，化成極坐標(biāo)方程為；

（2）

∵∴，則點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，此時(shí)圓的直角坐標(biāo)方程為，化成極坐標(biāo)方程為，又在線段上，由可得，∴點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為.23.選修4-5（不等式選講）

已知。

（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；

（2）若時(shí)，求的取值范圍。

答案：

略

解答：

（1）當(dāng)時(shí)，所以不等式等價(jià)于或或解得不等式的解集為。

（2）當(dāng)時(shí)，由，可知恒成立，當(dāng)時(shí)根據(jù)條件可知不恒成立。所以的取值范圍是。

第五篇：2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(浙江理科卷)

2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（浙江理科卷）

一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出學(xué)科網(wǎng)的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（1）設(shè)全集U??x?N|x?2?，集合A?x?N|x2?5，zxxk則CUA?（）

A.?B.{2}C.{5}D.{2,5}

（2）已知i是虛數(shù)單位，a,b?R,則“a?b?1”是“(a?bi)2?2i”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

（3）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的學(xué)科網(wǎng)表面積是

A.90cmB.129cmC.132cmD.138cm

2222??

4.為了得到函數(shù)zxxky?sin3x?cos3x的圖像，可以將函數(shù)y?2sin3x的圖像（）

A.向右平移

C.向右平移??個(gè)單位B.向左平移個(gè)單位44??個(gè)單位D.向左平移個(gè)單位121

264mn?f(0,3)?5.在(1?x)(1?y)的展開式中，記xy項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n)，則f(3,0)?f(2,1)?f(1,2）

（）

A.45B.60C.120D.210

6.已知函數(shù)f(x)?x3?ax2?bx?c,且0?f(?1)?f(?2)?f(?3)?3,則（）

A.c?3B.3?c?6C.6?c?9D.c?9

7.在同意直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)?xa(x?0),g(x)?logax的圖像可能是（）

?x,x?y?y,x?ymax{x,y}?min{x,y}?8.記，設(shè)a,b為平面向量，則（）??y,x?yx,x?y??

A.min{|a?b|,|a?b|}?min{|a|,|b|}

B.min{|a?b|,|a?b|}?min{|a|,|b|},|a?b|2}?|a|2?|b|2

2222 D.min{|a?b|,|a?b|}?|a|?|b|C.min{|a?b|

9.已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)籃球?qū)W科網(wǎng)?m?3,n?3?，從乙盒中隨2機(jī)抽取i?i?1,2?個(gè)球放入甲盒中.（a）放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為?i?i?1,2?；

（b）放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為zxxkpi?i?1,2?.則

A.p1?p2,E??1??E??2?B.p1?p2,E??1??E??2?

C.p1?p2,E??1??E??2?D.p1?p2,E??1??E??2?

10.設(shè)函數(shù)f1(x)?x2，f2(x)?2(x?x2),f3(x)?

13|sin2?x|，ai

i?99,i?0,1,2,?,99，Ik?|fk(a1)?fk(a0)|?|fk(a2)?fk(a1)|???|fk(a99)?fk(a98)|，k?1,2,3.則

A.I1?I2?I3B.I2?I1?I3C.I1?I3?I2D.I3?I2?I1

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分.11.若某程序框圖如圖所示，當(dāng)輸入50時(shí)，則該程序運(yùn)算后輸出的學(xué)科網(wǎng)結(jié)果是

________.記

12.隨機(jī)變量?的取值為0,1,2，若P???0??1，E????1，則D????________.5?x?2y?4?0,?13.當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足?x?y?1?0,時(shí)，zxxk1?ax?y?4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.?x?1,?

14.在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有_____種（用數(shù)字作答）.2??x?x,x?015.設(shè)函數(shù)f?x???2若f?f?a???2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______ ???x,x?0

x2y

216.設(shè)直線x?3y?m?0(m?0)與雙曲線2?2?1（a?b?0）兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B，若ab

點(diǎn)P(m,0)滿足?PB,則該雙曲線的離心率是__________

17、如圖，某人在垂直于水平地面為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面的射擊線的大小.若的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.學(xué)科網(wǎng)已知點(diǎn)到墻面的距離移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計(jì)算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角則的最大值

19（本題滿分14分）

已知數(shù)列?an?和?bn?滿足a1a2?an?2??n?N?.zxxkbn?若?an?為學(xué)科網(wǎng)等比數(shù)列，且a1?2,b3?6?b2.（1）求an與bn；

（2）設(shè)cn?11?n?N?。記數(shù)列?cn?的前n項(xiàng)和為Sn.anbn??

（i）求Sn；

（ii）求正整數(shù)k，使得對(duì)任意n?N?，均有Sk?Sn.20.（本題滿分15分）如圖，在四棱錐A?BCDE中，zxxk平面ABC?平面BCDE,?CDE??BED?900,AB?CD?2,DE?BE?1,AC?2.（1）證明：DE?平面ACD;

（2）求二面角B?AD?E的大小

21(本題滿分15分)

x2y2

如圖，設(shè)橢圓C:2?2?1?a?b?0?,動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，學(xué)科網(wǎng)且點(diǎn)Pab

在第一象限.（1）已知直線l的斜率為k，用a,b,k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若過原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線l1的距離學(xué)科網(wǎng)的最大值為a?b.22.（本題滿分14分）已知函數(shù)f?x??x3?3x?a(a?R).（1）若f?x?在??1,1?上的最大值和最小值分別記為M(a),m(a)，求M(a)?m(a)；

（2）設(shè)b?R,若?f?x??b??4對(duì)x???1,1?恒成立，zxxk求3a?b的取值范圍.