第一篇：97屆,普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考數(shù)學(xué)試題及答案（文）

1997年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)(文史類)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．第Ⅰ卷1至2頁(yè)．第Ⅱ卷3至8頁(yè)．共150分．考試時(shí)間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題共65分)注意事項(xiàng)：

1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫(xiě)在答題卡上． 2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上． 3．考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回． 一、選擇題：本大題共15小題；

第(1)—(10)題每小題4分，第(11)—(15)題每小題5分，共65分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的(1)設(shè)集合M={x|0≤x<2}，集合N={x|x2－2x－3<0}，集合M∩N=()(A){x|0≤x<1}(B){x|0≤x<2}(C){x|0≤x≤1}(D){x|0≤x≤2}(2)如果直線ax+2y+2=0與直線3x－y－2=0平行，那么系數(shù)a=()(A)－3(B)－6(C)－(D)(3)函數(shù)y=tg在一個(gè)周期內(nèi)的圖像是()(4)已知三棱錐D—ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB=AC=，BC=2，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的大小是()(A)(B)(C)(D)(5)函數(shù)y=sin(－2x)+sin2x的最小正周期是()(A)(B)π(C)2π(D)4π(6)滿足tg a≥ctg a的角a的一個(gè)取值區(qū)間是()(A)(B)(C)(D)(7)設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)y=f(x－1)與y=f(1－x)的圖像關(guān)于()(A)直線y=0對(duì)稱(B)直線x=0對(duì)稱(C)直線y=1對(duì)稱(D)直線x=1對(duì)稱(8)長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)分別是3，4，5且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，這個(gè)球的表面積是()(A)20π(B)25π(C)50π(D)200π(9)如果直線l將圓：x2+y2－2x－4y=0平分，且不通過(guò)第四象限，那么l的斜率的取值范圍是()(A)[0，2](B)[0，1](C)[0，](D)(10)函數(shù)y=cos2x－3cosx+2的最小值為()(A)2(B)0(C)－(D)6(11)橢圓C與橢圓關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，橢圓C的方程是()(A)(B)(C)(D)(12)圓臺(tái)上、下底面積分別為π、4π，側(cè)面積為6π，這個(gè)圓臺(tái)的體積是()(A)(B)(C)(D)(13)定義在區(qū)間(－∞，+∞)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)；

偶函數(shù)g(x)在區(qū)間的圖像與f(x)的圖像重合．設(shè)a>b>0，給出下列不等式()① f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；

② f(b)－f(－a)< g(a)－g(－b)；

③ f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；

④ f(a)－f(－b)

1．第Ⅱ卷共6頁(yè)，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中． 2．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚． 二、填空題：本大題共4小題；

每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．(16)已知的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為，常數(shù)a的值為_(kāi)__________(17)已知直線x－y=2與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn)，那么線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_______(18)的值為_(kāi)_________(19)已知m、l是直線，α、β是平面，給出下列命題：

①若l垂直于α內(nèi)的兩條相交直線，則l⊥α；

②若l平行于α，則l平行于α內(nèi)的所有直線；

③若mα，lβ，且l⊥m，則α⊥β；

④若lβ，且l⊥α，則α⊥β；

⑤若mα，lβ，且α∥β，則m∥l． 其中正確的命題的序號(hào)是___________(注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上)三、解答題：本大題共6小題；

共69分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．(20)(本小題滿分10分)已知復(fù)數(shù)，．求復(fù)數(shù)的模及輻角主值．(21)(本小題滿分11分)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和．已知與的等比中項(xiàng)為，與的等差中項(xiàng)為1．求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)an．(22)(本小題滿分12分)甲、乙兩地相距s千米，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米/時(shí)．已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時(shí))的平方成正比，且比例系數(shù)為b；

固定部分為a元．(Ⅰ)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

(Ⅱ)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛？(23)(本小題滿分12分)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)．(Ⅰ)證明AD⊥D1F；

(Ⅱ)求AE與D1F所成的角；

(Ⅲ)證明面AED⊥面A1FD1；

(Ⅳ)設(shè)AA1=2，求三棱錐E－AA1F的體積．(24)(本小題滿分12分)已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖像交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)的y=log2x的圖像交于C、D兩點(diǎn)．(Ⅰ)證明點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線上；

(Ⅱ)當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．(25)(本小題滿分12分)已知圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；

②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3：1；

③圓心到直線l：x－2y=0的距離為．求該圓的方程． 1997年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試題(文史類)參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 說(shuō)明：

一．本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則． 二．對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；

如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分． 三．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)． 四．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題和填空題不給中間分． 一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．第(1)—(10)題每小題4分，第(11)—(15)題每小題5分．滿分65分．(1)B(2)B(3)A(4)C(5)B(6)C(7)D(8)C(9)A(10)B(11)A(12)D(13)C(14)C(15)B 二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題4分，滿分16分．(16)4(17)(4，2)(18)2－(19)①，④ 注：第(19)題多填、漏填和錯(cuò)填均給0分． 三、解答題(20)本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查利用三角公式進(jìn)行變形的技能和運(yùn)算能力．滿分10分． 解法一：將已知復(fù)數(shù)化為復(fù)數(shù)三角形式：，依題意有zω+zω3 =(cos+isin)+(cos+isin)=(cos+cos)+i(sin+sin)=2cos(cos+isin)故復(fù)數(shù)zω+zω3的模為，輻角主值為． 解法二：zω+zω3 = zω(1+ω2)=(+i)(+i)(1+i)=(－i+i)=(cos+isin)(21)本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、方程組等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力．滿分11分． 解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a，公差為d，則通項(xiàng)為 an =a+(n－1)d，前n項(xiàng)和為，依題意有 其中S5≠0． 由此可得 整理得 解方程組得 由此得 an=1；

或 an=4－(n－1)=－n． 經(jīng)驗(yàn)證知時(shí)an=1，S5=5，或時(shí)，S5=－4，均適合題意． 故所求等差數(shù)列的通項(xiàng)為an=1，或．(22)本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力．滿分12分． 解：(1)依題意知汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為，全程運(yùn)輸成本為 y=a·+bv2·=S(+bv)故所求函數(shù)及其定義域?yàn)? y = S(+bv)，v∈(Ⅱ)依題意知S、a、b、v都為正數(shù)，故有 S(+bv)≥2． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式中等號(hào)成立． 若，則當(dāng)時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最?。?若，當(dāng)時(shí)，有 S(+bv)－S(+bc)= S[(－)+(bv－bc)]=(c－v)(a－bcv)． 因?yàn)閏－v≥0，且a>bc2，故有 a－bcv≥a－bc2>0，所以S(+bv)≥S(+bc)，且僅當(dāng)v=c時(shí)等號(hào)成立． 也即當(dāng)v=c時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最?。?綜上知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為；

當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為．(23)本小題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，考查邏輯推理和空間想象能力．滿分12分． 解：(Ⅰ)∵ AC1是正方體，∴ AD⊥面DC1． 又D1F面DC1，∴ AD⊥D1F．(Ⅱ)取AB中點(diǎn)G，連結(jié)A1G，F(xiàn)G． 因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四邊形，A1G∥D1F． 設(shè)A1G與AE相交于點(diǎn)H，∠AHA1是AE與D1F所成的角． 因?yàn)镋是BB1的中點(diǎn)，所以 Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，從而∠AHA1=90o，也即直線AE與D1F所成的角為直角．(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F，由(Ⅱ)知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED． 又因?yàn)镈1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1．(Ⅳ)∵ 體積，又FG⊥面ABB1A1，三棱錐F－AA1E的高FG=AA1=2，面積 =S□=×22=2． ∴=××FG=×2×2=(24)本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖像、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和分析問(wèn)題的能力，滿分12分． 解：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2由題設(shè)知，x1>1，x2>1．則點(diǎn)A、B縱坐標(biāo)分別為log8x1、log8x2． 因?yàn)锳、B在過(guò)點(diǎn)O的直線上，所以，點(diǎn)C、D坐標(biāo)分別為(x1，log2x1)，(x2，log2x2)． 由于log2x1=－3 log8x1，log2x2==3log8x2 OC的斜率，OD的斜率 ． 由此可知，k1=k2，即O、C、D在同一條直線上．(Ⅱ)由于BC平行于x軸知 log2x1= log8x2，即得 log2x1=log2x2，∴ x2=． 代入x2log8x1=x1log8x2得 log8x1=3x1log8x1． 由于x1>1知log8x1≠0，∴ =3x1． 考慮x1>1解得x1=． 于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，log8)．(25)本小題主要考查軌跡的思想，考查綜合運(yùn)用知識(shí)建立曲線方程的能力．滿分12分． 解：設(shè)圓P的圓心為P(a，b)，半徑為，則點(diǎn)P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|．由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為90o，知圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為．故 r2=2b2 又圓P被y軸所截得的弦長(zhǎng)為2，所以有 r2=a2+1． 從而得2b2－a2=1． 又因?yàn)镻(a，b)到直線x－2y=0的距離為，所以，即有 a－2b=±1，由此有 解方程組得 于是r2=2b2=2，所求圓的方程是(x+1)2+(y+1)2=2，或(x－1)2+(y－1)2=2．

第二篇：78版 普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題及答案

1978年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

（理科考生五，六兩題選做一題文科考生五，六兩題選做一題，不要求做第七題）

一．（下列各題每題4分，五個(gè)題共20分）

1．分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)

2.已知正方形的邊長(zhǎng)為，求側(cè)面積等于這個(gè)正方形的面積，高等于這個(gè)正方形邊長(zhǎng)的直圓柱體的體積

解：設(shè)底面半徑為r，則底面周長(zhǎng)2πr=

則

3．求函數(shù)的定義域

解：

∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1為其定義域

4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值

解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=

5.化簡(jiǎn)：

二

.（本題滿分14分）

已知方程kx2+y2=4，其中k為實(shí)數(shù)對(duì)于不同范圍的k值，分別指出方程所代表圖形的內(nèi)形，并畫(huà)出顯示其數(shù)量特征的草圖

解：1）k>0時(shí)，方程的圖形是橢圓，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)又可分為：①k>1時(shí),長(zhǎng)軸在y軸上，半長(zhǎng)軸=2，半短軸=;

②k=1時(shí),為半徑r=2的圓;

③k<1時(shí),長(zhǎng)軸在x軸上，半長(zhǎng)軸=，半短軸=2

Y

Y

Y

k=2

A

k=1

(0,2)

k=1/4

O

A

X

O

B

X

O

X

如圖：

2)k=0時(shí)，方程為y2=4圖形是兩條平行于x軸的直線

如圖

3）k<0時(shí)，方程為

Y

Y

y=2

k=-4

A

O

O

X

B

X

y=-2

這時(shí)圖形是雙曲線，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，實(shí)軸在y軸上如圖：

三．（本題滿分14分）

（如圖）AB是半圓的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，直線MN切半圓于C點(diǎn)，AM⊥MN于M點(diǎn)，BN⊥MN于N點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，求證：1)CD=CM=CN.2)CD2=AM·BN

M

C

N

A

B

D

1)證：連CA，CB，則∠ACB=900∠ACM=∠ABC

∠ACD=∠ABC

∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC

∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN

2）∵CD⊥AB，∠ACD=900

∴

CD2=AD·DB

由1）知AM=AD，BN=BD

∴CD2=AM·BN

四．（本題滿分12分）

五．（本題滿分20分）

已知△ABC的三內(nèi)角的大小成等差數(shù)列，tgAtgC=求角A，B，C的大小又已知頂點(diǎn)C的對(duì)邊c上的高等于求三角形各邊,b,c的長(zhǎng)（提示：必要時(shí)可驗(yàn)證）

六．（本題滿分20分）

七．（本題滿分20分，文科考生不要求作此題）

已知函數(shù)y=x2+(2m+1)x+m2-1(m為實(shí)數(shù)）

1）m是什么數(shù)值時(shí)，y的極值是0？

2）求證：不論m是什么數(shù)值，函數(shù)圖象（即拋物線）的頂點(diǎn)都在同一條直線L1上畫(huà)出m=-1、0、1時(shí)拋物線的草圖，來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)論

3）平行于L1的直線中，哪些與拋物線相交，哪些不相交？求證：任一條平行于L1而與拋物線相交的直線，被各拋物線截出的線段都相等

解：用配方法得：

3.設(shè)L：x-y=為任一條平行于L1的直線

與拋物線y=x2+(2m+1)x+m2-1方程聯(lián)立求解，消去y，得

x2+2mx+m2-1+=0∴（x+m)2=1-

因而當(dāng)1-≥0即≤1時(shí)，直線L與拋物線相交，而＞1時(shí)，直線L與拋物線不相交

而這與m無(wú)關(guān)

因此直線L被各拋物線截出的線段都相等

一九七八年副題

1．（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3

解：原式=(x-y-1)(x-y+3)

(2)求

解：原式=3/4

（4）已知直圓錐體的底面半徑等于1cm，母線的長(zhǎng)等于2cm，求它的體積

解：

解：原式=30

2．已知兩數(shù)x1,x2滿足下列條件：

1）它們的和是等差數(shù)列1，3，…的第20項(xiàng);

2）它們的積是等比數(shù)列2，-6，…的前4項(xiàng)和

求根為的方程

略解：x1

+x2=39，x1x2=-40故：1/x1+1/x2=-39/40

1/x1·1/x2=-1/40

所求方程為：40x2+39x-1=0.3.已知：△ABC的外接圓的切線AD交BC的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，求證：

A

B

E

C

D

證：因?yàn)锳D是△ABC的外接圓的切線，所以

∠B=∠1∴△ABD∽△CAD

作AE⊥BD于點(diǎn)E，則

A

M

N

α

B

E

F

D

4．（如圖）CD是BC的延長(zhǎng)線，AB=BC=CA=CD=，DM與AB，AC分別交于M點(diǎn)和N點(diǎn)，且∠BDM=α

求證：

證：作ME⊥DC于E，由△ABC是等邊三角形，在直角△MBE中，類似地，過(guò)N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可證：

5．設(shè)有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0）求證：

1）如果f(x)的系數(shù)滿足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一個(gè)二次三項(xiàng)式的平方

2）如果f(x)與F(x)=(2x2+x+b)2表示同一個(gè)多項(xiàng)式，那么

p2-4q-4(m+1)=0

6．已知：sinx+bcosx

=0.………………………………①

Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②

其中,b不同時(shí)為0

求證：2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0

則①可寫(xiě)成cosysinx-sinycosx=0,∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ(k為整數(shù))，∴x=y+kπ

又sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy=

cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=

代入②，得

7．已知L為過(guò)點(diǎn)P而傾斜角為300的直線，圓C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)而半徑等于1的圓，Q表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)而焦點(diǎn)在的拋物線設(shè)A為L(zhǎng)和C在第三象限的交點(diǎn)，B為C和Q在第四象限的交點(diǎn)

1）寫(xiě)出直線L、圓C和拋物線Q的方程，并作草圖

2）寫(xiě)出線段PA、圓弧AB和拋物線上OB一段的函數(shù)表達(dá)式

3）設(shè)P＇、B＇依次為從P、B到x軸的垂足求由圓弧AB和直線段BB＇、B＇P＇、P＇P、PA所包含的面積

Y

O

X

B

Q

L

P

A

C

解：1）直線L、圓C和拋物線Q的方程為

2)由

Y

P＇

B＇

O

X

B

A

C

Q

L

P

第三篇：普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案 83屆

1983年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

（這份試題共九道大題，滿分120分）

一．（本題滿分10分）本題共有5小題，每小題都給出代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的把正確結(jié)論的代號(hào)寫(xiě)在題后的圓括號(hào)內(nèi)每一個(gè)小題：選對(duì)的得2分;不選，選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過(guò)一個(gè)的（不論是否都寫(xiě)在圓括號(hào)內(nèi)），一律得0分

1．兩條異面直線，指的是

（D）

（A）在空間內(nèi)不相交的兩條直線

（B）分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線

（C）某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線

（D）不在同一平面內(nèi)的兩條直線

2．方程x2-y2=0表示的圖形是

（A）

（A）兩條相交直線

（B）兩條平行直線

（C）兩條重合直線

（D）一個(gè)點(diǎn)

3．三個(gè)數(shù)a,b,c不全為零的充要條件是

（D）

（A）a,b,c都不是零

（B）a,b,c中最多有一個(gè)是零

（C）a,b,c中只有一個(gè)是零（D）a,b,c中至少有一個(gè)不是零

4．設(shè)則的值是

（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

5．這三個(gè)數(shù)之間的大小順序是

（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

二．（本題滿分12分）

1．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別畫(huà)出兩個(gè)方程的圖形，并寫(xiě)出它們交點(diǎn)的坐標(biāo)

2．在極坐標(biāo)系內(nèi)，方程表示什么曲線？畫(huà)出它的圖形

解：

Y

O

X

P

1.圖形如左圖所示

交點(diǎn)坐標(biāo)是：O（0，0），P（1，-1）

O

X

(,0)

2．曲線名稱是：圓

圖形如右所示

三．（本題滿分12分）

1．已知，求微分

2．一個(gè)小組共有10名同學(xué)，其中4名是女同學(xué)，6名是男同學(xué)要從小組內(nèi)選出3名代表，其中至少有1名女同學(xué)，求一共有多少種選法

解：1.2．

或：

四．（本題滿分12分）

計(jì)算行列式（要求結(jié)果最簡(jiǎn)）：

解：把第一列乘以加到第2列上，再把第三列乘以加到第2列上，得

五．（本題滿分15分）

1．證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，復(fù)數(shù)的模

適合2．當(dāng)實(shí)數(shù)t取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)的幅角主值適合？

1．證：復(fù)數(shù)（其中t

是實(shí)數(shù)）的模為

要證對(duì)任意實(shí)數(shù)t，有，只要證對(duì)任意實(shí)數(shù)t，成立

對(duì)任意實(shí)數(shù)t，因?yàn)椋钥闪?/p>

且，于是

2．因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都是非負(fù)數(shù)，所以z的幅角主值一定適合從而

顯然因?yàn)?/p>

由于

這就是所求的實(shí)數(shù)t的取值范圍

六．（本題滿分15分）

如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)，使截面MAB與底面所成的角等

S

M

P

C

A

N

D

B

于∠NSC，求證SC垂直于截面MAB

證：因?yàn)镾N是底面的垂線，NC是斜線SC在底面上的射影，AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂線定理）

連結(jié)DM因?yàn)锳B⊥DC，AB⊥SC，所以AB垂直于DC和SC所決定的平面又因DM在這個(gè)平面內(nèi)，所以AB⊥DM

∴∠MDC是截面與底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC

在△MDC和△NSC中，因?yàn)椤螹DC=∠NSC，∠DCS是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900從而DM⊥SC從AB⊥SC，DM⊥SC，可知SC⊥截面MAB

七．（本題滿分16分）

如圖，已知橢圓長(zhǎng)軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，過(guò)橢圓焦點(diǎn)F1作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M，N設(shè)∠F2F1M=α（0≤α＜π）當(dāng)α取什么值時(shí)，|MN|等于橢圓短軸的長(zhǎng)？

Y

M

α

A1

F1

O

F2

A

X

N

解一：以橢圓焦點(diǎn)F1為極點(diǎn)，以F1為起點(diǎn)并過(guò)F2的射線為極軸建立極坐標(biāo)系

由已知條件可知橢圓長(zhǎng)半軸a=3，半焦距c=，短半軸b=1，離心率e=，中心到準(zhǔn)線距離=,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p=.橢圓的極坐標(biāo)方程為

解得

以上解方程過(guò)程中的每一步都是可逆的，所以當(dāng)或時(shí)，|MN|等于短軸的長(zhǎng)

解二：以橢圓的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)1F2所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）由已知條件知，橢圓的方程為

MN所在直線方程為

解方程組

消去y得.下同解法一

解三：建立坐標(biāo)系得橢圓如解二，MN所在直線的參數(shù)方程為

代入橢圓方程得

設(shè)t1,t2是方程兩根，則由韋達(dá)定理，下同解一

解四：設(shè)|F1M|=x,則|F2M|=6-x|F1F2|=，∠F2F1M=α

在△MF1F2中由余弦定理得

同理，設(shè)|F1N|=y，則|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得

下同解一

八．（本題滿分16分）

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=b(b≠0），它的前n項(xiàng)的和Sn=a1+a2+…+an

(n≥1),并且S1，S2，Sn，…是一個(gè)等比數(shù)列，其公比為p（p≠0且|p|＜1）

1．證明：a2,a3,a3,…an,…(即{an}從第二項(xiàng)起）是一個(gè)等比數(shù)列

2．設(shè)Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求（用b,p表示）

1．證：由已知條件得S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1）

因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以

an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)從而

因此a2,a3,a3,…an,…是一個(gè)公比為p的等比數(shù)列

2．解：當(dāng)n≥2時(shí)，且由已知條件可知p2<1，因此數(shù)列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比為p2<1的無(wú)窮等比數(shù)列于是

從而

九．（本題滿分12分）

1．已知a,b為實(shí)數(shù)，并且eba.2.如果正實(shí)數(shù)a,b滿足ab=ba.且a<1，證明a=b

1．證：當(dāng)eba，只要證blna>alnb,即只要證

考慮函數(shù)因?yàn)榈珪r(shí)，所以函數(shù)內(nèi)是減函數(shù)

因?yàn)閑ba

2．證一：由ab=ba，得blna=alnb，從而

考慮函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)是

因?yàn)樵冢?，1）內(nèi)，所以f(x)在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)

由于00,所以ab<1,從而ba=ab<1.由ba<1及a>0,可推出b<1.由0

所以a=b

證二：因?yàn)?

假如a

矛盾

所以a不能小于b

假如a>b，則，而，這也與矛盾

所以a不能大于b因此a=b

證三：假如a0由于00,根據(jù)冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得和，所以

即ab

假如b0,同上可證得ab

因此a=b

第四篇：普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案 82屆

1982年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（理科）

一．（本題滿分6分）

填表：

函

數(shù)

使函數(shù)有意義的x的實(shí)數(shù)范圍

{0}

R

R

[-1,1]

(0,+∞）

R

解：見(jiàn)上表

二．（本題滿分9分）

1．求（-1+i)20展開(kāi)式中第15項(xiàng)的數(shù)值;

2．求的導(dǎo)數(shù)

解：1.第15項(xiàng)T15=

2.三．（本題滿分9分）

Y

X

O

Y

O

X

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，下列方程表示什么曲線？畫(huà)出它們的圖形

1．2．

解：1.得2x-3y-6=0圖形是直線

2.化為圖形是橢圓

四．（本題滿分12分）

已知圓錐體的底面半徑為R，高為H

求內(nèi)接于這個(gè)圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn)（如圖）

A

D

c

H

h

B

E

O

2R

解：設(shè)圓柱體半徑為r高為h

由△ACD∽△AOB得

由此得

圓柱體體積

由題意，H＞h＞0，利用均值不等式，有

（注：原“解一”對(duì)h求導(dǎo)由駐點(diǎn)解得）

五．（本題滿分15分）

（要寫(xiě)出比較過(guò)程）

解一：當(dāng)>1時(shí)，解二：

六．（本題滿分16分）

A

M

P（ρ，θ）

X

O

N

B

如圖：已知銳角∠AOB=2α內(nèi)有動(dòng)點(diǎn)P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四邊形PMON的面積等于常數(shù)c2今以O(shè)為極點(diǎn)，∠AOB的角平分線OX為極軸，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它表示什么曲線

解：設(shè)P的極點(diǎn)坐標(biāo)為（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),四邊形PMON的面積

這個(gè)方程表示雙曲線由題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線右面一支在∠AOB內(nèi)的一部分

七．（本題滿分16分）

已知空間四邊形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)（如圖）求證MNPQ是一個(gè)矩形

B

M

R

A

N

Q

D

K

S

P

C

證：連結(jié)AC，在△ABC中，∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC

在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，∴QP∥AC∴MN∥QP

同理，連結(jié)BD可證MQ∥NP

∴MNPQ是平行四邊形

取AC的中點(diǎn)K，連BK，DK

∵AB=BC，∴BK⊥AC，∵AD=DC，∴DK⊥AC因此平面BKD與AC垂直

∵BD在平面BKD內(nèi)，∴BD⊥AC∵M(jìn)Q∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP為直角故MNPQ是矩形

八．（本題滿分18分）

Y

x2=2qy

y2=2px

A1

O

A2

A3

X

拋物線y2=2px的內(nèi)接三角形有兩邊與拋物線x2=2qy相切，證明這個(gè)三角形的第三邊也與x2=2qy相切

解：不失一般性，設(shè)p>0,q>0.又設(shè)y2=2px的內(nèi)接三角形頂點(diǎn)為

A1（x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)

因此y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3

其中y1≠y2,y2≠y3,y3≠y1

.依題意，設(shè)A1A2，A2A3與拋物線x2=2qy相切，要證A3A1也與拋物線x2=2qy相切

因?yàn)閤2=2qy在原點(diǎn)O處的切線是y2=2px的對(duì)稱軸，所以原點(diǎn)O不能是所設(shè)內(nèi)接三角形的頂點(diǎn)即（x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，都不能是（0，0）;又因A1A2與x2=2qy相切，所以A1A2不能與Y軸平行，即x1≠x2,y1≠-y2,直線A1A2的方程是

同理由于A2A3與拋物線x2=2qy相切，A2A3也不能與Y軸平行，即

x2≠x3,y2≠-y3,同樣得到

由（1）（2）兩方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.由上式及y2≠0,得y3≠-y1，也就是A3A1也不能與Y軸平行今將y2=-y1-y3代入（1）式得：

(3)式說(shuō)明A3A1與拋物線x2=2qy的兩個(gè)交點(diǎn)重合，即A3A1與拋物線x2=2qy相切所以只要A1A2，A2A3與拋物線x2=2qy相切，則A3A1也與拋物線x2=2qy相切

九．（附加題，本題滿分20分，計(jì)入總分）

已知數(shù)列和數(shù)列其中

1．用p,q,r,n表示bn，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明;

2．求

解：1.∵1=p,n=pn-1,∴n=pn.又b1=q,b2=q1+rb1=q(p+r),b3=q2+rb2=q(p2+pq+r2),…

設(shè)想

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)n=2時(shí)，等式成立;

設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即

則bk+1=qk+rbk=

即n=k+1時(shí)等式也成立

所以對(duì)于一切自然數(shù)n≥2，都成立

第五篇：84屆 普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

1984年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

（這份試題共八道大題，滿分120分第九題是附加題，滿分10分，不計(jì)入總分）

一．（本題滿分15分）本題共有5小題，每小題都給出代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的把正確結(jié)論的代號(hào)寫(xiě)在題后的圓括號(hào)內(nèi)每一個(gè)小題：選對(duì)的得3分;不選，選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過(guò)一個(gè)的（不論是否都寫(xiě)在圓括號(hào)內(nèi)），一律得負(fù)1分

1．?dāng)?shù)集X={（2n+1）π，n是整數(shù)}與數(shù)集Y={（4k1）π，k是整數(shù)}之間的關(guān)系是

（C）

（A）XY

（B）XY

（C）X=Y

（D）X≠Y

2．如果圓x2+y2+Gx+Ey+F=0與x軸相切于原點(diǎn)，那么（C）

（A）F=0，G≠0，E≠0.（B）E=0，F(xiàn)=0，G≠0.（C）G=0，F(xiàn)=0，E≠0.（D）G=0，E=0，F(xiàn)≠0.3.如果n是正整數(shù)，那么的值

（B）

（A）一定是零

（B）一定是偶數(shù)

（C）是整數(shù)但不一定是偶數(shù)

（D）不一定是整數(shù)

4.大于的充分條件是

（A）

（A）

（B）

（C）

（D）

5．如果θ是第二象限角，且滿足那么

（A）是第一象限角

（B）是第三象限角

（B）

（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角

（D）是第二象限角

二．（本題滿分24分）本題共6小題，每一個(gè)小題滿分4分只要求直接寫(xiě)出結(jié)果）

1．已知圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為2與4的矩形，求圓柱的體積

答：

2.函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？

答：x＜-2.3．求方程的解集

答：

4．求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)

答：-20

5．求的值

答：0

6．要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，問(wèn)有多少種不同的排法（只要求寫(xiě)出式子，不必計(jì)算）

答：

三．（本題滿分12分）本題只要求畫(huà)出圖形

1．設(shè)畫(huà)出函數(shù)y=H(x-1)的圖象

2．畫(huà)出極坐標(biāo)方程的曲線

2．O

X

解：

1．Y

0

O

X

四．（本題滿分12分）

已知三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線求證這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行

證：設(shè)三個(gè)平面為α，β，γ，且

從而c與b或交于一點(diǎn)或互相平行

1．若c與b交于一點(diǎn)，設(shè)

∴所以,b,c交于一點(diǎn)（即P點(diǎn)）

P

b

αβ

γ

c

b

α

β

γ

c

2.若c∥b,則由所以,b,c互相平行

五．（本題滿分14分）

設(shè)c,d,x為實(shí)數(shù)，c≠0，x為未知數(shù)討論方程在什么情況下有解有解時(shí)求出它的解

解：原方程有解的充要條件是：

由條件（4）知，所以再由c≠0，可得

又由及x＞0，知，即條件（2）包含在條件（1）及（4）中

再由條件（3）及，知因此，原條件可簡(jiǎn)化為以下的等價(jià)條件組：

由條件（1）（6）知這個(gè)不等式僅在以下兩種情形下成立：

①c＞0,1-d＞0,即c＞0,d＜1;

②c＜0,1-d＜0,即c＜0,d＞1.再由條件（1）（5）及（6）可知

從而，當(dāng)c＞0,d＜1且時(shí)，或者當(dāng)c＜0,d＞1且時(shí)，原方程有解，它的解是

六．（本題滿分16分）

1．設(shè)，實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛數(shù)根z1,z2.再設(shè)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Z1，Z2求以Z1，Z2為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)（7分）

2．求經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（1，2），以y軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程（9分）

解：1.因?yàn)閜,q為實(shí)數(shù)，z1,z2為虛數(shù)，所以

由z1,z2為共軛復(fù)數(shù)，知Z1，Z2關(guān)于x軸對(duì)稱，所以橢圓短軸在x軸上又由橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可知原點(diǎn)為橢圓短軸的一端點(diǎn)

根據(jù)橢圓的性質(zhì)，復(fù)數(shù)加、減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得橢圓的短軸長(zhǎng)=2b=|z1+z2|=2|p|,焦距離=2c=|z1-z2|=,長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a=

2.因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，2），且以y軸為準(zhǔn)線，所以橢圓在y軸右側(cè)，長(zhǎng)軸平行于x軸

設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為A（x,y），因?yàn)闄E圓的離心率為，所以左頂點(diǎn)A到左焦點(diǎn)F的距離為A到y(tǒng)軸的距離的，從而左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為

設(shè)d為點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離，則d=1

根據(jù)及兩點(diǎn)間距離公式，可得

這就是所求的軌跡方程

七．（本題滿分15分）

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為,b,c，且c=10，P為△ABC的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離的平方和的最大值與最小值

解：由，運(yùn)用正弦定理，有

因?yàn)锳≠B，所以2A=π-2B，即A+B=

由此可知△ABC是直角三角形

由c=10，如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為O＇，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，則

Y

B（0，6）

D

E

O＇

P（x,y)

X

O

C（0，0）

A（8，0）

AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，所以內(nèi)切圓半徑r=EC=2.如圖建立坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓方程為:

(x-2)2+(y-2)2=4

設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則因?yàn)镻點(diǎn)在內(nèi)切圓上，所以，S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72

解二：同解一，設(shè)內(nèi)切圓的參數(shù)方程為

從而

因?yàn)椋?/p>

S最大值=80+8=88，S最小值=80-8=72

八．（本題滿分12分）

設(shè)＞2，給定數(shù)列{xn},其中x1=,求證：

1．2．

3．1．證：先證明xn＞2(n=1,2,…）用數(shù)學(xué)歸納法

由條件＞2及x1=知不等式當(dāng)n=1時(shí)成立

假設(shè)不等式當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)成立

當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)橛蓷l件及歸納假設(shè)知

再由歸納假設(shè)知不等式成立，所以不等式也成立從而不等式xn＞2對(duì)于所有的正整數(shù)n成立

(歸納法的第二步也可這樣證：

所以不等式xn>2(n=1,2,…）成立）

再證明由條件及xn>2(n=1,2,…）知

因此不等式也成立

（也可這樣證：對(duì)所有正整數(shù)n有

還可這樣證：對(duì)所有正整數(shù)n有

所以）

2．證一：用數(shù)學(xué)歸納法由條件x1=≤3知不等式當(dāng)n=1時(shí)成立

假設(shè)不等式當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)成立

當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件及知

再由及歸納假設(shè)知，上面最后一個(gè)不等式一定成立，所以不等式也成立，從而不等式對(duì)所有的正整數(shù)n成立

證二：用數(shù)學(xué)歸納法證不等式當(dāng)n=k+1時(shí)成立用以下證法：

由條件知再由及歸納假設(shè)可得

3．證：先證明若這是因?yàn)?/p>

然后用反證法若當(dāng)時(shí)，有則由第1小題知

因此，由上面證明的結(jié)論及x1=可得

即，這與假設(shè)矛盾所以本小題的結(jié)論成立

九．（附加題，本題滿分10分，不計(jì)入總分）

⌒

如圖，已知圓心為O、半徑為1的圓與直線L相切于點(diǎn)A，一動(dòng)點(diǎn)P自切點(diǎn)A沿直線L向右移動(dòng)時(shí)，取弧AC的長(zhǎng)為，直線PC與直線AO交于點(diǎn)M又知當(dāng)AP=時(shí)，點(diǎn)P的速度為V求這時(shí)點(diǎn)M的速度

M

O

D

θ

C

A

P

L

⌒

解：作CD⊥AM，并設(shè)AP=x，AM=y，∠COD=θ由假設(shè)，AC的長(zhǎng)為，半徑OC=1，可知θ

考慮

∵△APM∽△DCM，而

（有資料表明八四年試題為歷年來(lái)最難的一次）