第一篇：不等式與線性規(guī)劃（共）

第四講：不等式和線性規(guī)劃（一）不等式的性質(zhì) 一、知識梳理：不等式的性質(zhì) 性質(zhì) 4：

a> b, c> 0?

________;a > b, c v 0?

________.以上是不等式的基本性質(zhì)，以下是不等式的運算性質(zhì).性質(zhì) 5: a>b, c>d?

_______________（加法法則）

.性質(zhì) 6: a>b>0, c>d>0?

_____________（乘法法則）

.性質(zhì) 7：

a>b>0, n€ N * ?

___________（乘方法則）.性質(zhì) 8：

a>b>0, n€ N , n>2?

_____________（開方法則）.性質(zhì) 9：

ab>0, a>b?

__________________（倒數(shù)法則）

.A.充分而不必要條件 C.充分必要條件 D.B.必要而不充分條件 既不充分也不必要條件(二)不等式的解法 一、分式不等式與一元二次不等式的關(guān)系 設(shè) a0 等價于 __________ ； X — T <0 等價于(x— a)(x— b)<0;x— b x— b X — 7 > 0 等價于 ； 0 等價于 { x— a x— b w 0, x— b 豐 0.x— b x — b 二、基礎(chǔ)訓(xùn)練 2 x —1.設(shè)全集 U = R，不等式

----< 1 的解集是 A，則 ? U A=()x A.(0,3] B.(―汽 0] U(3 ,+s)C.[3 ,+s)D.(— ^, 0)U [3 ,+^)2.不等式 log 2(— x 2

+ 3x)<1 的解集是（）A.{x|02} C.{x|0

a O b = ab+ 2a+ b，則滿足 x O(x — 2)<0 的實數(shù) x 的取值范圍為（）二、基礎(chǔ)訓(xùn)練：

1.若 a>b>0,則（）b B.—>1 a 2.A.a 2 c>b 2 c(c€ R)設(shè) a, b, c€ R,且 a>b，貝U 1 1 ac>bc B.< a b 3.已知 A.4.5.[2011 C.2 ■ C.a >b a b，則下列不等式正確的是 1 b 2

b、R, lg(a — b)>0 3.3 D.a >b C.2 ab

D.1 a < 則下列不等式成立的是 a 2

浙江卷］ 右 a, a b C、丁 2— c 2c 21 b 為實數(shù)，則“ 0ab<1 ”是“ b

D、a|c| b|c|

A.(0,2)B.(— 2,1)C.(—s,— 2)U(1 ,+s)D.(— 1,2)5.不等式 x 1 x 2 3 的解集是

(三)二元一次不等式組和線性規(guī)劃 一、知識梳理：線性規(guī)劃問題 二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二兀一次不等式 Ax + By+ C>0 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線 Ax+ By + C = 0 某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域(半平面)，_______ 邊界直線.不等式 Ax + By+ C >0 所表示的平面區(qū)域(半平面)___________ 邊界直線.⑵ 直線 Ax+ By+ C= 0 同一側(cè)的所有點(x, y)，使得 Ax+ By+ C 的值符號相同，也就是 位于直線 Ax+ By+ C = 0 某一側(cè)的所有點，其坐標(biāo)適合 Ax+ By + C>0(Ax + By+ C<0);而位 于直線 Ax+ By + C = 0 另一側(cè)所有點，其坐標(biāo)適合 __________________.(3)可在直線 Ax+ By+ C= 0 的某一側(cè)任取一點，一般取特殊點(x o , y o),從 Ax o + By o + C 的符號來判斷 Ax + By+ C>0(或 Ax + By + C<0)所表示的區(qū)域.二、基礎(chǔ)訓(xùn)練: 121 B.C.24 4 36 — 3，已知△ ABC 中, y 2x, 4.若變量 x , y 滿足約束條件 x+ y 1, 則 x + 2 y 的最大值是

____________________

y — 1

5?某公司生產(chǎn)甲，乙兩種桶裝產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品 1 桶需耗 A 原料 1 千克，B 原料 2 千 克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 1 千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是 300 元，每桶 乙產(chǎn)品的利潤是 400 元?公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗 A, B 原料都不超 過 12 千克?通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲，乙兩種產(chǎn)品中，公司可獲得的最大 利潤是()A.2200 元 B.2400 元 C.2600 元 D.2800 元

2x y 2 0

6.設(shè)實數(shù) x, y 滿足 y 2x 2 ,則 x 2

y 2 的取值范圍是()

y 2

A.-,8 B.5 1,2、2 C.1,8 D.U2.2 5

2x 3y 6 0 A(3 ,-1)、B(— 1,1)、qi,3)，則△ ABC 區(qū)域所表示的二元 3.如圖 一次不等式組為 D.32 121 A.2

7.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，M 為不等式組 x y 2 0 所表示的區(qū)域上一動點，則|OM|

y 0 的最小值是 _________

三、課后作業(yè):

x 1, x+ y 3, 若 z = 2 x + y 的最小值為 1, 則 a 等于 y a(x—3),(四)基本不等式、知識梳理: a + b 1.基本不等式.ab w —廠(1)基本不等式成立的條件：

________________________________.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)

________ 時取等號.(3)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)：設(shè) a>0 , b>0,則 a, b 的算術(shù)平均數(shù)為 為 ________ , 故基本不等式也可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)

___________________

2.幾個重要的不等式 (1)a 2 + b 2 > 3.利用基本不等式求最值問題 已知 x、y€ R + , x+ y= P, xy= S,有下列命題：

如果 S 是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)

______________________ 時，x+ y 有最小值 — 如果 P 是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)

_______ 時，xy 有最大值

____

?問題 1 當(dāng) x<0 時，函數(shù) y= x+ 1 的最大值為一 2.()X ? 問題 2 若 x>0 , y>0，且 x+ y= 2，貝 U 2xy 的最大值為 1.()二、基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.若 2 x + 2 y

= =1,則 x + y 的取值范圍是（）.A.[0,2] B [—2,0] C.[一 2 ,+g)D.(—-oo — 2]

2.若 x 2 , 則 x 1

----的最小值為

x 2

3.已知 a >0, b >0,且 2 a + b = 4,則 的最小值為

ab

2x a 16b

x —

----

4.不等式

b a 對任意 a, b€(0 , + g)恒成則實數(shù) x 的取值范圍是(A.(-2,0)B.(-g ,-2)U(0 , + g)C.(-4 , 2)D.(-oo ,-4)U(2 , + o)5.已知 2 8

1(x 0,y 0)，則 x y 的最小值為()

x y

A.12 B.14 C.16 D.18

1.x 1, 已知變量 x , y 滿足 y 2, x— y 則 x + y 的最小值是 0, 2.x 已知 x, y 滿足約束條件 x y 2 y 2，且 x 2y a 恒成立，則 a 的取值范圍為 1 3.x+ y 1, 若實數(shù) x , y 滿足 x— y+1 y o, 0 ,則 x 2 +(y + 1)2 的最大值與最小值的差為 4.已知 a >0, x ,y 滿足約束條件，幾何平均數(shù)(2)a + —(a, b 同號);(3)ab w 號 2(a, b €

R)；(a, b € R)；

（五）含絕對 值的不等式 |a| |b||a b||a| |b| 結(jié)論：一、基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.關(guān)于 x 的不等式 x 1 x 3 m 在 R 上恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍是

_____________________

2.____________________________________________________________________________

關(guān)于 x 的不等式|x — 1| + |x — 2| w a 的解集為空集，則實數(shù) a 的取值范圍是

________________

3.對任意 x€ R,不等式|2 — x| + |3 + x| >a 2 — 4a 恒成立，則 a 的取值范圍是

_____________

4?函數(shù) y | x 2| | x 2 | 的最大值是 __________________。

5?如果關(guān)于 x 的不等式 |x 10 | | x 20| a 的解集不是空集，則實數(shù) a 的取值范圍為 二、課后作業(yè)：

1?對任意實數(shù) 兇，若不等式 ||x 2| |x 1| k| 恒成立，則實數(shù) ［k］ 的取值范圍是（）

A k > 1 B k >1 C k w 1 D k <1 2 2.不等式 |x 3 |x 1 a 2

3a 對任意實數(shù)岡恒成立，則實數(shù)岡的取值范圍為（）

A.(,1]U[4,)B.（,2]U[5,)C.[1,2] D.（,1]U[2,)3.函數(shù) y x 4| x 6 的最小值為（）

A.— B.4—

C.園 D.6

6.已知正數(shù) x, y 滿足 x 2y 1,則丄 x 的最小值為 y A 2..一 2 B、4.2 C 3 2 2 D 3 4.2

3x y 6 0

7.設(shè) x, y 滿足約束條件 x y 2 0，若目標(biāo)函數(shù) z=ax+by

x 0,y 0值為 12,則— —的最小值（）

a b

A.25 r 8

cD.4 B.—

C.—3

三、、課后作業(yè)：

1.已知 a > 0, b > 0,且 ln(a + b)= 0,則 丄 + 1 的最小值是

a b 2.已知不等式 ax 2

bx 1 0 的解集是 x|3 x 4 ,則 a b 3.若實數(shù) a、b 滿足 a b 2，則3 3的最小值是 若對任意 x >0, w a 恒成立，求 a 的取值范圍.4.（a>0, b>0）的值是最大 x x 2

3x 1

第二篇：均值不等式及線性規(guī)劃問題

均值不等式及線性規(guī)劃問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．理解均值不等式，能用均值不等式解決簡單的最值問題；

2．能運用不等式的性質(zhì)和均值不等式證明簡單的不等式．

學(xué)習(xí)重點：

均值不等式的理解．

學(xué)習(xí)難點：

均值不等式的應(yīng)用．

內(nèi)容解析：

一、均值不等式

如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．

我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．

注：[1] 定理適用的范圍：；

[2]“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：等價條件．

推廣：1．如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．

均值不等式的應(yīng)用：不等式的證明、求最值．

注：[1] 可以使用均值不等式的條件：正，定，等；

[2] 積為定值時，和有最小值；和為定值時，積有最大值．

二、不等式證明

1． 證明不等式的方法

(1)比較法：作差法和作商法兩種．

作商法應(yīng)在兩個數(shù)的符號相同時使用．

(2)綜合法．

從題目的條件出發(fā)，尋找證明的中間結(jié)論．

(3)分析法．

從要證的結(jié)論出發(fā)，尋找可以推得此結(jié)論的條件．

2． 幾個常用的重要不等式

①．

②，．

③，．

例1.下列函數(shù)中，最小值是2的是（）

A.y?x?1

xB.y?3x?3?x

lgx(1?x?10)D.y?sinx?1

sinxC.y?lgx?(0?x??

2)

例2.設(shè)x,y?R，且x?y?5，則3?3的最小值是（）xy

A

.B

.C

.D

.?x?2y?4

?例3.在約束條件?x?y?1下，目標(biāo)函數(shù)z?3x?y（）

?x?2?0?

A.有最大值3，最小值?3B.有最大值5，最小值?3

C.有最大值5，最小值?9D.有最大值3，最小值?9

?x?y?4,?例4.已知點P(x,y)的坐標(biāo)滿足條件?y?x,點O為坐標(biāo)原點，那么z?x2?y2的最小

?x?1,?

值等于____________,最大值等于_____________

例5.已知，求證：．

例6.已知，求證：．

例7.已知，且，求的最小值．

例8.求證：．

例9.求證：

例10.求下列函數(shù)的最值． ．

(1)；

(2)；

(3)

練習(xí)

1.如果a?0,b?0，那么，下列不等式中正確的是（）

A.1

a?1

2.不等式bx?1B

?C.a2?b2D.|a|?|b|

2?x?0的解集為（）

A.{x|?1?x?2}B.{x|?1?x?2}

C.{x|x??1或x?2}D.{x|x??1或x?2}

3.當(dāng)x>1時，不等式x+

A．(－∞,2]

1x?1≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 C．[3,+∞)D．(－∞,3]B．[2,+∞)

4.已知點（3，1）和（?4，6）在直線3x?2y?a?0的兩側(cè)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.a??7或a?24B.a?7或a?24 C.?7?a?24D.?24?a?7

325.如果a?0且a?1，M?loga(a?1),N?loga(a?1)，則（）

A.M?NB.M?N C.M?ND.M,N的大小與a值有關(guān)

6.已知不等式x2?2x?k2?1?0對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（）A

.(B

.(??,???)C

.??)D.(?2,2)

7.正數(shù)a,b滿足ab?a?b?3，則ab的取值范圍是__________.8.已知正整數(shù)a,b滿足4a＋b＝30，使得

2231a?1b取最小值時，則a=_______,b=_______ 9.解關(guān)于x的不等式x?(m?m)x?m?0.10.建造一個容積為4800m,深為3m的長方體無蓋水池,如果池底和池壁的造價每平方米分別為150元和120元,那么怎樣設(shè)計水池能使總造最低，最低總造價為多少元？3

第三篇：高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理配套講義3 不等式與線性規(guī)劃

微專題3　不等式與線性規(guī)劃

命

題

者

說

考

題

統(tǒng)

計

考

情

點

擊

2018·全國卷Ⅰ·T13·線性規(guī)劃求最值

2018·全國卷Ⅱ·T14·線性規(guī)劃求最值

2018·北京高考·T8·線性規(guī)劃區(qū)域問題

2018·浙江高考·T15·不等式的解法

2017·全國卷Ⅰ·T14·線性規(guī)劃求最值

1.不等式作為高考命題熱點內(nèi)容之一，多年來命題較穩(wěn)定，多以選擇、填空題的形式進(jìn)行考查，題目多出現(xiàn)在第5～9或第13～15題的位置上，難度中等，直接考查時主要是簡單的線性規(guī)劃問題，關(guān)于不等式性質(zhì)的應(yīng)用、不等式的解法以及基本不等式的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在其工具作用上。

2.若不等式與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等其他知識交匯綜合命題，難度較大。

考向一

不等式的性質(zhì)與解法

【例1】(1)已知a>b>0，則下列不等式中恒成立的是()

A．a(chǎn)＋>b＋

B．a(chǎn)＋>b＋

C.>

D.>ab

(2)已知函數(shù)f

(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f

(x)>0的解集是(－1,3)，則不等式f

(－2x)<0的解集是()

A.∪

B.C.∪

D.解析(1)因為a>b>0，所以<，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得a＋>b＋，故A正確；對于B，取a＝1，b＝，則a＋＝1＋＝2，b＋＝＋2＝，故a＋>b＋不成立，故B錯誤；根據(jù)不等式的性質(zhì)可得<，故C錯誤；取a＝2，b＝1，可知D錯誤。故選A。

(2)由f

(x)>0的解集是(－1,3)，所以a<0，且方程f

(x)＝(ax－1)(x＋b)＝0的兩根為－1和3，所以所以a＝－1，b＝－3，所以f

(x)＝－x2＋2x＋3，所以f

(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，解得x>或x<－。故選A。

答案(1)A(2)A

解不等式的策略

(1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集。

(2)含指數(shù)、對數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。

變|式|訓(xùn)|練

1．(2018·北京高考)能說明“若a>b，則<”為假命題的一組a，b的值依次為________。(答案不唯一)

解析　由題意知，當(dāng)a＝1，b＝－1時，滿足a>b，但是>，故答案可以為1，－1。(答案不唯一，滿足a>0，b<0即可)

答案　1，－1(答案不唯一)

2．(2018·浙江高考)已知λ∈R，函數(shù)f

(x)＝當(dāng)λ＝2時，不等式f

(x)<0的解集是________。若函數(shù)f

(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是________。

解析　若λ＝2，則當(dāng)x≥2時，令x－4<0，得2≤x<4；當(dāng)x<2時，令x2－4x＋3<0，得1

(x)<0的解集為(1,4)。令x－4＝0，解得x＝4；令x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3。因為函數(shù)f

(x)恰有2個零點，結(jié)合函數(shù)的圖象(圖略)可知1<λ≤3或λ>4。

答案(1,4)(1,3]∪(4，＋∞)

考向二

基本不等式及其應(yīng)用

【例2】(1)(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________。

(2)已知a>b，且ab＝1，則的最小值是______。

解析(1)由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，當(dāng)且僅當(dāng)23b－6＝，即b＝1時等號成立。

(2)＝＝a－b＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝時取得等號。

答案(1)(2)2

在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號成立)的條件，否則會出現(xiàn)錯誤。

變|式|訓(xùn)|練

1．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，則m的最大值為()

A．4

B．16

C．9

D．3

解析　因為a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得，m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立。因為＋≥2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值為16。故選B。

答案　B

2．已知函數(shù)f

(x)＝ln(x＋)，若正實數(shù)a，b滿足f

(2a)＋f

(b－1)＝0，則＋的最小值是________。

解析　因為f

(x)＝ln(x＋)，f

(－x)＝ln(－x＋)，所以f

(x)＋f

(－x)＝ln[(x＋)·(－x＋)]＝ln1＝0，所以函數(shù)f

(x)＝ln(x＋)為R上的奇函數(shù)，又y＝x＋在其定義域上是增函數(shù)，故f

(x)＝ln(x＋)在其定義域上是增函數(shù)，因為f

(2a)＋f

(b－1)＝0，f

(2a)＝－f

(b－1)，f

(2a)＝f

(1－b)，所以2a＝1－b，故2a＋b＝1。故＋＝＋＝2＋＋＋1＝＋＋3≥2＋3。(當(dāng)且僅當(dāng)＝且2a＋b＝1，即a＝，b＝－1時，等號成立。)

答案　2＋3

考向三

線性規(guī)劃及其應(yīng)用

微考向1：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值

【例3】(2018·全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________。

解析　作可行域，則直線z＝x＋y過點A(5,4)時取最大值9。

答案　9

線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by最值的確定方法

(1)將目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by化成直線的斜截式方程(z看成常數(shù))。

(2)根據(jù)的幾何意義，確定的最值。

(3)得出z的最值。

變|式|訓(xùn)|練

(2018·天津高考)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋5y的最大值為()

A．6

B．19

C．21

D．45

解析　不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝－x，平移該直線，當(dāng)經(jīng)過點C時，z取得最大值，由得即C(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21。故選C。

答案　C

微考向2：線性規(guī)劃中的參數(shù)問題

【例4】(2018·山西八校聯(lián)考)若實數(shù)x，y滿足不等式組且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值為5，則a＝________。

解析　設(shè)z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由z＝3(x－a)＋2(y＋1)得y＝－x＋，作出直線y＝－x，平移該直線，易知當(dāng)直線過點A(1,3)時，z取得最大值，又目標(biāo)函數(shù)的最大值為5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2。

答案　2

解決這類問題時，首先要注意對參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數(shù)的值。

變|式|訓(xùn)|練

已知x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝2x－3y的最大值是2，則實數(shù)a＝()

A．

B．1

C．

D．4

解析　作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，因為目標(biāo)函數(shù)z＝2x－3y的最大值是2，由圖象知z＝2x－3y經(jīng)過平面區(qū)域的點A時目標(biāo)函數(shù)取得最大值2。由解得A(4,2)，同時A(4,2)也在直線ax＋y－4＝0上，所以4a＝2，則a＝。故選A。

答案　A

1．(考向一)(2018·福建聯(lián)考)已知函數(shù)f

(x)＝

若f

(2－x2)>f

(x)，則實數(shù)x的取值范圍是()

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C．(－1,2)

D．(－2,1)

解析　易知f

(x)在R上是增函數(shù)，因為f

(2－x2)>f

(x)，所以2－x2>x，解得－2

答案　D

2．(考向一)(2018·南昌聯(lián)考)若a>1,0

A．loga2

018>logb2

018

B．logba

C．(c－b)ca>(c－b)ba

D．(a－c)ac>(a－c)ab

解析　因為a>1,0

018>0，logb2

018<0，所以loga2

018>logb2

018，所以A正確；因為0>logab>logac，所以<，所以logba(c－b)ba，所以C正確；因為ac0，所以(a－c)ac<(a－c)ab，所以D錯誤。故選D。

答案　D

3．(考向二)(2018·河南聯(lián)考)已知直線ax－2by＝2(a>0，b>0)過圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心，則＋的最小值為________。

解析　圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心坐標(biāo)為(2，－1)。由于直線ax－2by＝2(a>0，b>0)過圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心，故有a＋b＝1。所以＋＝(a＋2＋b＋1)＝≥＋×2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝時，取等號，故＋的最小值為。

答案

4．(考向三)(2018·南昌聯(lián)考)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為M，若直線y＝kx經(jīng)過區(qū)域M內(nèi)的點，則實數(shù)k的取值范圍為()

A.B.C.D.解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，易知當(dāng)直線y＝kx經(jīng)過點A(2,1)時，k取得最小值，當(dāng)直線y＝kx經(jīng)過點C(1,2)時，k取得最大值2，可得實數(shù)k的取值范圍為。故選C。

答案　C

5．(考向三)(2018·廣州測試)若x，y滿足約束條件

則z＝x2＋2x＋y2的最小值為()

A．

B．

C．－

D．－

解析　畫出約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其幾何意義是平面區(qū)域內(nèi)的點(x，y)到定點(－1,0)的距離的平方再減去1，觀察圖形可得，平面區(qū)域內(nèi)的點到定點(－1，0)的距離的最小值為，故z＝x2＋2x＋y2的最小值為zmin＝－1＝－。故選D。

答案　D

第四篇：簡單線性規(guī)劃教案

簡單線性規(guī)劃教案

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教學(xué)設(shè)計

3．5.2 簡單線性規(guī)劃

整體設(shè)計

教學(xué)分析

本節(jié)內(nèi)容在教材中有著重要的地位與作用．線性規(guī)劃是利用數(shù)學(xué)為工具，來研究一定的人、財、物等資源在一定條件下，如何精打細(xì)算巧安排，用最少的資源，取得最大的經(jīng)濟(jì)效益．它是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個分支，并能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實際問題．中學(xué)所學(xué)的線性規(guī)劃只是規(guī)劃論中的極小一部分，但這部分內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性、應(yīng)用性，同時也滲透了化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生今后解決實際問題提供了一種重要的解題方法——數(shù)學(xué)建模法．通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在解決實際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和解決實際問題的能力．

把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答是本節(jié)的重點也是難點．對許多學(xué)生來說，解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見的困難是不會將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即不會建模，所以把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點．對學(xué)生而言，解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關(guān)系；②不能分清問題的主次關(guān)系，因而抓不住問題的本質(zhì)，無法建立數(shù)學(xué)模型；③孤立地考慮單個的問題情境，不能多方面聯(lián)想，形成正遷移．針對這些障礙以及題目本身文字過長等因素，將本節(jié)設(shè)計為計算機輔助教學(xué)，充分利用現(xiàn)代化教學(xué)工具，從而將實際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，以利于理解．

實際教學(xué)中注意以下幾個問題：①用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵．可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組尋求約束條件，并就題目所述找到目標(biāo)函數(shù)．②可行域就是二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的無限大的平面區(qū)域．③如果可行域是一個凸多邊形，那么一般在其頂點處使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值，最優(yōu)解一般就是多邊形的某個頂點．到底哪個頂點為最優(yōu)解，可有兩種確定方法：一是將目標(biāo)函數(shù)的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點便是；另一種方法可利用圍成可行域的直線的斜率來判斷．④若實際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解，應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整．其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找．如果可行域中的整點數(shù)目很少，采用逐個試驗法也是很有效的辦法．⑤在線性規(guī)劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這項任務(wù)耗費的人力、物力資源最?。?/p>

如果條件允許，可將本節(jié)的思考與討論融入課堂．

三維目標(biāo)

．使學(xué)生了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實際問題．

2．通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實際問題的能力．

3．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，理解線性規(guī)劃求最優(yōu)解的原理，明確線性規(guī)劃在現(xiàn)實生活中的意義．

重點難點

教學(xué)重點：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識，理解線性規(guī)劃最優(yōu)解的原理．

教學(xué)難點：把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答．

課時安排

2課時

教學(xué)過程

第1課時

導(dǎo)入新課

思路1.由身邊的線性規(guī)劃問題導(dǎo)入課題，同時闡明其重要意義．如6枝玫瑰花與3枝康乃馨的價格之和大于24元．而4枝玫瑰與5枝康乃馨的價格之和小于22元．如果想買2枝玫瑰與3枝康乃馨，那么價格比較結(jié)果是怎樣的呢？可由學(xué)生列出不等關(guān)系，并畫出平面區(qū)域．由此導(dǎo)入新課．

思路2.在生產(chǎn)與營銷活動中，我們常常需要考慮：怎樣利用現(xiàn)在的資源取得最大的收益，或者怎樣以最少的資源投入去完成一項給定的任務(wù)．我們把這一類問題稱為“最優(yōu)化”問題．線性規(guī)劃知識恰是解決這類問題的得力工具．由此展開新課．

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

?1?回憶二元一次不等式Ax＋By＋c＞0在平面直角坐標(biāo)系中的平面區(qū)域的確定方法.?2?怎樣從實際問題中抽象出不等式組，并畫出所確定的平面區(qū)域？

?3?閱讀教材，明確什么是目標(biāo)函數(shù)，線性目標(biāo)函數(shù)，約束條件，線性約束條件，線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解，可行域.,?4?你能給出解決線性規(guī)劃問題的一般步驟嗎？

活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧二元一次不等式表示平面區(qū)域常用的方法是：直線定界、原點定域，即先畫出對應(yīng)直線，再將原點坐標(biāo)代入直線方程中，看其值比零大還是比零?。徊坏仁浇M表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，是它們平面區(qū)域的公共部分．

教師引導(dǎo)學(xué)生探究教材本節(jié)開頭的問題．根據(jù)上節(jié)所學(xué)，學(xué)生很容易設(shè)出計劃生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x工時，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品y工時，且很容易地列出獲得利潤總額為f＝30x＋40y，①

及x，y滿足的條件

3x＋2y≤1200，x＋2y≤800，x≥0，y≥0.②

教師引導(dǎo)學(xué)生畫出上述不等式組表示的區(qū)域，如下圖．

結(jié)合圖形，教師與學(xué)生一起探究，原問題就是在x，y滿足②的情況下，求f的最大值．也就是在圖中陰影部分內(nèi)找一點，把它的坐標(biāo)代入式子30x＋40y時，使該式值最大．若令30x＋40y＝0，則此方程表示通過原點的一條直線，記為l0，則在區(qū)域oABc內(nèi)有30x＋40y≥0.設(shè)這個區(qū)域內(nèi)任意一點P到l0的距離為d，則d＝|30x＋40y|302＋402＝30x＋40y302＋402，即30x＋40y＝302＋402?d.由此可發(fā)現(xiàn)，點P到直線l0的距離d越大，式子30x＋40y的值就越大．這樣問題又轉(zhuǎn)化為：在區(qū)域oABc內(nèi)，找與直線l0距離最大的點．觀察圖象易發(fā)現(xiàn)，平移直線l0，最后經(jīng)過的點為B，易知區(qū)域oABc內(nèi)的點B即為所求．

解方程組3x＋2y＝1200，x＋2y＝800，得B，代入式子①，得fmax＝30×200＋40×300＝18000.即問題中，用200工時生產(chǎn)甲種產(chǎn)品，用300工時生產(chǎn)乙種產(chǎn)品，能獲得最大利潤18000元．

進(jìn)一步探究上述問題，不等式組是一組對變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件．z＝2x＋y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標(biāo)函數(shù)．由于z＝2x＋y又是關(guān)于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標(biāo)函數(shù)．線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．[

一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．例如：我們剛才研究的就是求線性目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規(guī)劃問題．滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域．其中，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解，接著讓學(xué)生說出上述問題中的目標(biāo)函數(shù)，約束條件，可行域，最優(yōu)解分別是什么．

根據(jù)以上探究，我們可以得出用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：

分析并將已知數(shù)據(jù)列出表格；

確定線性約束條件；

確定線性目標(biāo)函數(shù)；

畫出可行域；

利用線性目標(biāo)函數(shù)求出最優(yōu)解．在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)，從圖中能判定問題有唯一最優(yōu)解，或者是無窮最優(yōu)解，或是無最優(yōu)解；

實際問題需要整數(shù)解時，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整確定最優(yōu)解．

討論結(jié)果：

～略．

應(yīng)用示例

例1已知x、y滿足不等式x＋2y≥2，2x＋y≥1，x≥0，y≥0，求z＝3x＋y的最小值．

活動：可先找出可行域，平行移動直線l0：3x＋y＝0找出可行解，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最小值．

解：不等式x＋2y≥2表示直線x＋2y＝2上及其右上方的點的集合；

不等式2x＋y≥1表示直線2x＋y＝1上及其右上方的點的集合．

可行域如圖所示．

作直線l0：3x＋y＝0，作一組與直線l0平行的直線l：3x＋y＝t．

∵x、y是上面不等式組表示的區(qū)域內(nèi)的點的橫縱坐標(biāo)，由圖可知，當(dāng)直線l：3x＋y＝z通過點P時，z取到最小值1，即zmin＝1.點評：簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的．

尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；

由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域；

在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.變式訓(xùn)練

若變量x，y滿足2x＋y≤40，x＋2y≤50，x≥0，y≥0，則z＝3x＋2y的最大值是________．

答案：70

解析：由不等式組2x＋y≤40y≥0畫出可行域如下圖．

結(jié)合圖形，由2x＋y＝40，x＋2y＝50x＝10，y＝20，于是zmax＝3×10＋2×20＝70.例2

活動：教材此例的數(shù)據(jù)以表格的形式給出．這樣可使量

x＋2y≤50

x≥0，與量之間的關(guān)系一目了然，非常有助于我們順利地找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，特別是對于那些量比較多的問題．本例難度不大，可由學(xué)生自己完成，教師給予適當(dāng)點撥．

點評：完成此例后，可讓學(xué)生對應(yīng)用線性規(guī)劃解決實際問題作一簡單歸納．對較好的學(xué)生，教師可結(jié)合思考與討論進(jìn)行歸納.變式訓(xùn)練

某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售．已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2m3、五合板1m2.出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元，如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？

解：設(shè)只生產(chǎn)書桌x張，可獲得利潤z元，則0.1x≤90，2x≤600x≤900，x≤300x≤300.z＝80x，∴當(dāng)x＝300時，zmax＝80×300＝24000，即如果只安排生產(chǎn)書桌，最多可生產(chǎn)300張書桌，獲得利潤24000元．

設(shè)只生產(chǎn)書櫥y張，可獲利潤z元，則0.2y≤90，y≤600y≤450，y≤600y≤450.z＝120y，∴當(dāng)y＝450時，zmax＝120×450＝54000，即如果只安排生產(chǎn)書櫥，最多可生產(chǎn)450個，獲得利潤54000元．

設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元．

則0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，x≥0，y≥0x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0，y≥0，z＝80x＋120y，可行域如圖．

由圖可知：當(dāng)直線y＝－23x＋z120經(jīng)過可行域上的點m時，截距z120最大，即z最大，解方程組x＋2y＝9002x＋y＝600，得m的坐標(biāo)為．

∴zmax＝80x＋120y＝80×100＋120×400＝56000．

因此，生產(chǎn)書桌100張、書櫥400個，可使所得利潤最大，最大利潤為56000元.例3某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t．每1t甲種產(chǎn)品的利潤是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤是1000元．工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中要求消耗A種礦石不超過300t、B種礦石不超過200t、煤不超過360t，甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少，能使利潤總額達(dá)到最大？

活動：將已知數(shù)據(jù)列成下表，然后按線性規(guī)劃解決實際問題的步驟完成，本例可由學(xué)生自己完成．

解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt、yt，利潤總額為z元，那么10x＋4y≤300，5x＋4y≤200，4x＋9y≤360，x≥0，y≥0；

目標(biāo)函數(shù)為z＝600x＋1000y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖．

作直線l：600x＋1000y＝0，即直線l：3x＋5y＝0.把直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點m，且與原點距離最大，此時z＝600x＋1000y取最大值．

解方程組5x＋4y＝200，4x＋9y＝360，得x＝36029≈12.4，y＝100029≈34.4.∴m的坐標(biāo)為．

答：應(yīng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品約12.4t，乙產(chǎn)品34.4t，能使利潤總額達(dá)到最大．

知能訓(xùn)練

．設(shè)變量x，y滿足約束條件：y≥x，x＋2y≤2，x≥－2，則z＝x－3y的最小值為

A．－2

B．－4

c．－6

D．－8

2．醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營養(yǎng)餐．甲種原料每10g含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，售價3元；乙種原料每10g含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì)，售價2元．若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)．試問：應(yīng)如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養(yǎng)，又使費用最??？

答案：

．D 解析：在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組y≥x，x＋2y≤2，x≥－2所表示的平面區(qū)域，作出直線x－3y＝0，平移該直線，并結(jié)合圖形知點為最優(yōu)解．所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為zmin＝－2－3×2＝－8，故選D.2．活動：將已知數(shù)據(jù)列成下表：

原料/10g

蛋白質(zhì)/單位

鐵質(zhì)/單位

甲

0

乙

費用

設(shè)甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，則需要的費用為z＝3x＋2y；病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)，可表示為5x＋7y≥35；同理，對鐵質(zhì)的要求可以表示為10x＋4y≥40，這樣，問題成為在約束條件5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0下，求目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋2y的最小值．

解：設(shè)甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，總費用為z，那么5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0；

目標(biāo)函數(shù)為z＝3x＋2y，作出可行域如圖．

把z＝3x＋2y變形為y＝－32x＋z2，得到斜率為－32，在y軸上的截距為z2，隨z變化的一組平行直線．

由圖可知，當(dāng)直線y＝－32x＋z2經(jīng)過可行域上的點A時，截距z2最小，即z最?。?/p>

由10x＋4y＝40，5x＋7y＝35，得A，∴zmin＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲種原料使用145×10＝28，乙種原料使用3×10＝30時，費用最?。?/p>

課堂小結(jié)

．讓學(xué)生自己歸納整合本節(jié)所學(xué)的知識方法及用線性規(guī)劃解決實際問題的方法步驟，自己在本節(jié)中的最大收獲有哪些？

2．教師強調(diào)，通過本節(jié)學(xué)習(xí)，需掌握如何用線性規(guī)劃解決實際問題的解題思路：首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù)．然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解．最后，還要根據(jù)實際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解，即結(jié)合實際情況求得最優(yōu)解．

作業(yè)

習(xí)題3—5A組3、4、5；習(xí)題3—5B組3.設(shè)計感想

．本節(jié)內(nèi)容與實際問題聯(lián)系緊密，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識以及解決實際問題的能力．本節(jié)內(nèi)容滲透了多種數(shù)學(xué)思想，是向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的典型教材，也是培養(yǎng)學(xué)生觀察、作圖能力的典型教材．

2．通過實例給出解題步驟，讓其更深入了解并掌握新知．這里強調(diào)的還有作圖的規(guī)范問題，這是學(xué)生容易忽視的，但這又是本節(jié)課很重要的一部分．

3．關(guān)于難度把握問題，依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》及教材分析，二元一次不等式表示平面區(qū)域以及線性規(guī)劃的有關(guān)概念比較抽象，按高二學(xué)生現(xiàn)有的知識和認(rèn)知水平難以透徹理解，再加上學(xué)生對代數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為幾何問題，以及數(shù)學(xué)建模方法解決實際問題有一個學(xué)習(xí)消化的過程，故本節(jié)知識內(nèi)容定為了解層次．但這個了解不同于其他的了解，應(yīng)注意讓學(xué)生切實學(xué)會從實際問題抽象出約束條件及目標(biāo)函數(shù)，并注意規(guī)范書寫解答步驟．

第2課時

導(dǎo)入新課

思路1.上一節(jié)課我們探究了用線性規(guī)劃解決實際問題的一種類型，這節(jié)課我們進(jìn)一步探究有關(guān)線性規(guī)劃的一些問題，看看用線性規(guī)劃還能解決哪些實際問題．教師出示多媒體，提出問題，由此引入新課．

思路2.關(guān)于線性規(guī)劃的整點問題是個難點，我們是用平移直線的辦法來解決的，需要畫圖精確，令學(xué)生很頭痛．下面我們探究調(diào)整最優(yōu)值法來確定最優(yōu)整數(shù)解的方法．教師用多媒體出示以下問題：

某人有樓房一座，室內(nèi)面積共有180平方米，擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18平方米，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元，小房間每間面積15平方米，可住游客3名，每名游客每天住宿費50元；裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元．如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？

學(xué)生很容易設(shè)隔出大房間x間，小房間y間時收益為z元，則x，y滿足

8x＋15y≤180，1000x＋600y≤8000，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.作出可行域，作直線l：200x＋150y＝0，即l：4x＋3y＝0，把直線l向右上方平移，直線經(jīng)過可行域上的點B時，與原點距離最大，此時z＝200x＋150y取得最大值，解方程組6x＋5y＝60，5x＋3y＝40，得點B的坐標(biāo)為，由于B的坐標(biāo)不是整數(shù)，而最優(yōu)解中，x、y必須都是整數(shù)，所以可行域內(nèi)的點B不是最優(yōu)解．

以下教師與學(xué)生共同探究調(diào)整最優(yōu)值法來確定最優(yōu)整點的方法：

將B點坐標(biāo)代入4x＋3y＝z，得z＝3717，所以令4x＋3y＝37.所以y＝37－4x3，x＝37－3y4，代入約束條件得y＝9，x無解；

再令4x＋3y＝36，所以y＝36－4x3，x＝36－3y4，代入約束條件得7≤y≤12,0≤x≤4.又因為4x＋3y＝36，所以得最優(yōu)解為和，此時z的最大值是36，最大利潤是1800元．

用圖解法解決時，容易丟一組解，而選擇調(diào)整最優(yōu)值法，即可避免丟解問題，只是需要一定的不等式及不定方程的知識．鼓勵學(xué)生課外進(jìn)一步探究其他方法．

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

??1?回憶上節(jié)課我們利用線性規(guī)劃解決實際問題的方法、步驟、格式，解題時應(yīng)注意哪些問題？

?2?前面我們解決了可行域中整點問題，明確了求可行域中最優(yōu)解問題，請思考最優(yōu)解的個數(shù)有可能為無數(shù)個嗎？

活動：教師與學(xué)生一起回憶上節(jié)課利用線性規(guī)劃解決實際問題時應(yīng)注意：①在尋求約束條件時，要注意挖掘隱含條件；②在確定最優(yōu)解時，首先要賦予因變量的幾何意義，然后利用圖形的直觀來確定最優(yōu)解；③在確定最優(yōu)解時，用直線的斜率來定位．

關(guān)于可行域中的整點求法，是以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點．如果可行域中的整點數(shù)目很少，采用逐個試驗法也是很有效的辦法．下面我們進(jìn)一步探究最優(yōu)解問題以及用線性規(guī)劃解決的另一類實際問題．

討論結(jié)果：略．

求最優(yōu)解，若沒有特殊要求，一般為邊界交點．但取得最值的最優(yōu)解可能有無窮多個．若通過圖形觀察不易分辨時，可把邊界交點代入驗證．

應(yīng)用示例

例1某公司計劃XX年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元．甲、乙電視臺的收費標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘．假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬元？

活動：這是高考中繼江蘇卷線性規(guī)劃大題后第二個線性規(guī)劃大題，教師引導(dǎo)學(xué)生按前面的方法列出表格，則各量之間的關(guān)系即一目了然．本題難度不大，可由學(xué)生自己解決．列表如下：

甲

乙

合計

時間

x分鐘

y分鐘

300

收費

500元/分鐘

200元/分鐘

9萬元

解：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元．

由題意得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0.目標(biāo)函數(shù)為z＝3000x＋XXy.二元一次不等式組等價于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖．

作直線l：3000x＋XXy＝0，即3x＋2y＝0.平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過m點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．

聯(lián)立x＋y＝300，5x＋2y＝900，解得x＝100，y＝200.∴點m的坐標(biāo)為．

∴zmax＝3000x＋XXy＝700000．

答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．

例2

活動：本例是整數(shù)線性規(guī)劃問題．整數(shù)線性規(guī)劃問題的可行域是由滿足不等式的整點組成的集合，所求的最優(yōu)解必須是整數(shù)解．我們知道，最優(yōu)解一般都為邊界的交點，若這個交點不是整數(shù)，則需要平移直線找到附近的最優(yōu)解．本例可由教師與學(xué)生共同完成．

點評：找整數(shù)最優(yōu)解是個難點，要求畫圖精確，要使學(xué)生明白如何找整數(shù)最優(yōu)解的原理.變式訓(xùn)練

某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y必須滿足約束條件5x－11y≥－22，2x＋3y≥9，2x≤11，則z＝10x＋10y的最大值是

A．80

B．85

c．90

D．95

答案：c

解析：畫出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖所示．

由x＝112，5x－11y＝－22，解得A．

而由題意知x和y必須是正整數(shù)，直線y＝－x＋z10平移經(jīng)過的整點為時，z＝10x＋10y取得最大值90.例3某人承攬一項業(yè)務(wù)，需做文字標(biāo)牌2個，繪畫標(biāo)牌3個，現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3m2，可做文字標(biāo)牌1個，繪畫標(biāo)牌2個，乙種規(guī)格每張2m2，可做文字標(biāo)牌2個，繪畫標(biāo)牌1個，求兩種規(guī)格的原料各用多少張，才能使總的用料面積最?。?/p>

解：設(shè)用甲種規(guī)格原料x張，乙種規(guī)格原料y張，則可做文字標(biāo)牌x＋2y個，繪畫標(biāo)牌2x＋y個，由題意可得x＋2y≥2，2x＋y≥3，x≥0，y≥0.所用原料的總面積為z＝3x＋2y，作出可行域，如圖陰影所示．作直線l0：3x＋2y＝0，作一組與直線l0平行的直線l：3x＋2y＝t，當(dāng)直線l通過2x＋y＝3與直線x＋2y＝2的交點A時，t取得最小值為133.因為43，13都不是整數(shù)，而最優(yōu)解中，x、y必須都是整數(shù)，所以可行域內(nèi)點不是最優(yōu)解．經(jīng)過可行域內(nèi)整點，點B滿足3x＋2y＝5，使t最?。?/p>

所以最優(yōu)解為B，即用甲種規(guī)格原料1張，乙種規(guī)格原料1張，可使所用原料總面積最小為5m2.知能訓(xùn)練

．設(shè)變量x，y滿足約束條件x－y≥0，x＋y≤1，x＋2y≥1，則目標(biāo)函數(shù)z＝5x＋y的最大值為

A．2

B．3

c．4

D．5

2．設(shè)x、y滿足約束條件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，分別求下列各式的最大值、最小值：

z＝6x＋10y；

z＝2x－y；

z＝2x－y．

答案：

．D 解析：如圖，由可行域知目標(biāo)函數(shù)z＝5x＋y過點A時z取得最大值，zmax＝5.2．解：先作出可行域，如下圖所示的△ABc的區(qū)域，且求得A、B、c．

作出直線l0：6x＋10y＝0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l1過B點時，可使z＝6x＋10y達(dá)到最小值；

當(dāng)l0的平行線l2過A點時，可使z＝6x＋10y達(dá)到最大值．

∴zmin＝6×1＋10×1＝16；zmax＝6×5＋10×2＝50.同上，作出直線l0：2x－y＝0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l1過c點時，可使z＝2x－y達(dá)到最小值；

當(dāng)l0的平行線l2過A點時，可使z＝2x－y達(dá)到最大值．∴zmax＝8，zmin＝－125.同上，作出直線l0：2x－y＝0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l2過A點時，可使z＝2x－y達(dá)到最大值，∴zmax＝8.當(dāng)l0的平行線l1過c點時，可使z＝2x－y達(dá)到最小值，但由于225不是整數(shù)，而最優(yōu)解中，x、y必須都是整數(shù)，∴可行域內(nèi)的點c不是最優(yōu)解．

當(dāng)l0的平行線經(jīng)過可行域內(nèi)的整點時，可使z＝2x－y達(dá)到最小值．

∴zmin＝2×1－4＝－2.課堂小結(jié)

．我們用線性規(guī)劃解決了哪些實際問題？

2．教師點撥學(xué)生：你能用精練的幾個字來說明利用線性規(guī)劃解決實際問題的方法與步驟嗎？

找：找出實際問題中的約束條件及目標(biāo)函數(shù)；畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；求：通過解方程組求出最優(yōu)解；答：作出答案．即可用5個字來概括：找、畫、移、求、答．

作業(yè)

一、習(xí)題3—5A組6；習(xí)題3—5B組4、5.二、閱讀本章小結(jié)

設(shè)計感想

．本課時設(shè)計注重學(xué)生的操作練習(xí)．通過學(xué)生積極參與，動手操作，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維、增強創(chuàng)新意識，使認(rèn)知在練習(xí)中加深，興趣在練習(xí)中勃發(fā)，情感在練習(xí)中陶冶，質(zhì)量在練習(xí)中提高，目標(biāo)在練習(xí)中實現(xiàn)．

2．本課時注重了學(xué)生的能力訓(xùn)練．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，深化對知識的理解和掌握，體驗發(fā)現(xiàn)的快樂，增強創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識．

3．本課時設(shè)計強化使用現(xiàn)代化教學(xué)手段．充分發(fā)揮多媒體教學(xué)的優(yōu)勢，利用計算機作為輔助工具，更清楚地展示區(qū)域問題，有利于發(fā)現(xiàn)區(qū)域問題的異同點，將信息技術(shù)和數(shù)學(xué)有機地結(jié)合起來，有利于突出重點，突破難點，有利于教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)．

備課資料

一、備選例題

【例1】某糖果廠生產(chǎn)A、B兩種糖果，A種糖果每箱獲利潤40元，B種糖果每箱獲利潤50元，其生產(chǎn)過程分為混合、烹調(diào)、包裝三道工序，下表為每箱糖果生產(chǎn)過程中所需平均時間：

混合 烹調(diào)

包裝

A

B

每種糖果的生產(chǎn)過程中，混合的設(shè)備至多能用12小時，烹調(diào)的設(shè)備至多能用30小時，包裝的設(shè)備至多能用15小時，試求每種糖果各生產(chǎn)多少箱可獲得最大利潤？

活動：找約束條件，建立目標(biāo)函數(shù)．

解：設(shè)生產(chǎn)A種糖果x箱，B種糖果y箱，可獲得利潤z元，則此問題的約束條件x＋2y≤720，5x＋4y≤1800，3x＋y≤900，x≥0，y≥0下，求目標(biāo)函數(shù)z＝40x＋50y的最大值，作出可行域如圖，其邊界oA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，Bc：5x＋4y－1800＝0，cD：x＋2y－720＝0，Do：x＝0.由z＝40x＋50y，得y＝－45x＋z50，它表示斜率為－45，截距為z50的平行直線系，z50越大，z越大，從而可知過c點時截距最大，z取得了最大值．

解方程組x＋2y＝7205x＋4y＝1800c．

∴zmax＝40×120＋50×300＝19800，即生產(chǎn)A種糖果120箱，生產(chǎn)B種糖果300箱，可得最大利潤19800元．

點評：由于生產(chǎn)A種糖果120箱，生產(chǎn)B種糖果300箱，就使得兩種糖果共計使用的混合時間為120＋2×300＝720，烹調(diào)時間5×120＋4×300＝1800，包裝時間3×120＋300＝660，這說明該計劃已完全利用了混合設(shè)備與烹調(diào)設(shè)備的可用時間，但對包裝設(shè)備卻有240分鐘的包裝時間未加利用，這種“過?！眴栴}構(gòu)成了該問題的“松弛”部分，有待于改進(jìn)研究．

【例2】要將甲、乙兩種大小不同的鋼板截成A、B兩種規(guī)格，每張鋼板可同時截得A、B兩種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：

已知庫房中現(xiàn)有甲、乙兩種鋼板的數(shù)量分別為5張和10張，市場急需A、B兩種規(guī)格的成品數(shù)分別為15塊和27塊．

問各截這兩種鋼板多少張可得到所需的成品數(shù)，且使所用的鋼板張數(shù)最少？

若某人對線性規(guī)劃知識了解不多，而在可行域的整點中隨意取出一解，求其恰好取到最優(yōu)解的概率．

解：設(shè)需截甲、乙兩種鋼板的張數(shù)分別為x、y，則2x＋y≥15，x＋3y≥27，0≤x≤5，0≤y≤10，作出可行域如圖．

因為目標(biāo)函數(shù)為z＝x＋y，所以在一組平行直線x＋y＝t中，經(jīng)過可行域內(nèi)的整點且與原點距離最近的直線是x＋y＝12，其經(jīng)過的整點是和，它們都是最優(yōu)解．

因為可行域內(nèi)的整點個數(shù)為8，而最優(yōu)解有兩個，所以所求的概率為p＝28＝0.25.答：兩種鋼板的張數(shù)分別為3、9或4、8，概率為0.25.二、利潤的線性預(yù)測

問題：某企業(yè)1999年的利潤為5萬元，XX年的利潤為7萬元，XX年的利潤為8萬元．請你根據(jù)以上信息擬定兩個不同的利潤增長直線方程，從而預(yù)測XX年企業(yè)的利潤，請問你幫該企業(yè)預(yù)測的利潤是多少萬元？

解：建立平面直角坐標(biāo)系，1999年的利潤為5萬元，對應(yīng)的點為A，XX年的利潤為7萬元，XX年的利潤為8萬元分別對應(yīng)點B和c，那么

過A、B兩點的直線作為預(yù)測直線l1，其方程為y＝2x＋5，這樣預(yù)測XX年的利潤為13萬元．

過A、c兩點的直線作為預(yù)測直線l2，其方程為y＝32x＋5，這樣預(yù)測XX年的利潤為11萬元．

過B、c兩點的直線作為預(yù)測直線l3，其方程為y＝x＋6，這樣預(yù)測XX年的利潤為10萬元．

過A及線段Bc的中點E的直線作為預(yù)測直線l4，其方程為y＝53x＋5，這樣預(yù)測XX年的利潤約為11.667萬元．

過A及△ABc的重心F的直線作為預(yù)測直線l5，其方程為y＝53x＋5，這樣預(yù)測XX年的利潤為11.667萬元．

過c及△ABc的重心F的直線作為預(yù)測直線l6，其方程為y＝43x＋163，這樣預(yù)測XX年的利潤為10.667萬元．

過A及以線段Bc的斜率kBc＝1作為預(yù)測直線斜率，則預(yù)測直線l7的方程為y＝x＋5，這樣預(yù)測XX年的利潤為9萬元．

過B及以線段Ac的斜率kAc＝32作為預(yù)測直線斜率，則預(yù)測直線l8的方程為y＝32x＋112，這樣預(yù)測XX年的利潤為11.5萬元．

過c及以線段AB的斜率kAB＝2作為預(yù)測直線斜率，則預(yù)測直線l9的方程為y＝2x＋4，這樣預(yù)測XX年的利潤為12萬元．

過A及以線段AB的斜率kAB與線段Ac的斜率kAc的平均數(shù)作為預(yù)測直線斜率，則預(yù)測直線l10的方程為y＝74x＋5，這樣預(yù)測XX年的利潤為12萬元．

還有其他方案，在此不一一列舉．

點評：讀完以上的各種預(yù)測方案后，請你先思考兩個問題：

①第種方案與第種方案的結(jié)果完全一致，這是為什么？

②第種方案中，kBc的現(xiàn)實意義是什么？

本題可從以下兩個方面進(jìn)一步拓展，其一是根據(jù)以上的基本解題思路，提出新的方案，如方案過△ABc的重心F，找出以m為斜率的直線中與A、c兩點距離的平方和最小的直線作為預(yù)測直線；其二是根據(jù)以上結(jié)論及你自己的答案估計利潤的范圍，你預(yù)測的利潤頻率出現(xiàn)最多的是哪一個值？你認(rèn)為將你預(yù)測的結(jié)論作怎樣的處理，使之得到的利潤預(yù)測更有效？如果不要求用線性預(yù)測，你能得出什么結(jié)果？

第五篇：《線性規(guī)劃》在線作業(yè)題目與答案

《線性規(guī)劃》在線作業(yè)題目與答案

填空題

第1題(5)分

第2題(5)分

第3題(5)分

第4題(5)分

第5題(5)分

第6題(5)分

第7題(5)分

分析題

第8題(10)分

第9題(10)分

第10題(10)分

第11題(5)分

計算題

第12題(15)分

第13題(15)分

答案： 填空題 第1題

第2題

第3題 2?k?3

CN?CBB?1N或CBB?1N?CN

第4題：

minf?9(y1?y2)?7x2?0?x3?0?x4

?4(y1?y2)?5x2?x3?5?s.t.?(y1?y2)?3x2?x4?4?x,x,x?0,y,y?0.12?234第5題：

maxz?bTY,ATY?C

第6題：

XB?Bb，XN?0

第7題： ?1maxW?18y1?10y2?14y3

?7y1?2y3?1??2y?6y?8y?5123??s.t.?8y1?y3??4??y?5y?9

12???y1?0,y2?0分析題 第8題

解：圖形的陰影部分為此問題的可行區(qū)域，將目標(biāo)函數(shù)的等值線4x1?6x2?c（c為常數(shù)）沿它的法線方向移動，于是就得到線性規(guī)劃的解。有無窮多個最優(yōu)解。

第9題：

解：設(shè)x1,x2,x3分別表示生產(chǎn)書桌，餐桌和椅子三種產(chǎn)品的數(shù)量，則最大利潤為

S?70x1?50x2?25x3

木料，漆工和木工的工時約束分別是：

9x1?5x2?2x3?50;5x1?2x2?1.5x3?20;2x1?1.5x2?0.5x3?10.餐桌的生產(chǎn)約束是x2

?4，該問題的數(shù)學(xué)模型即為：

maxS?70x1?50x2?25x3

?9x1?5x2?2x3?50?5x?2x?1.5x?20123??s.t.?2x1?1.5x2?0.5x3?10??x2?4 ??x1,x2,x3?0第10題：

解：原問題的對偶問題為：minW?16y1?25y2

??y1?7y2?4s.t.??y1?5y2?5?2y1?3y2?9 ??y1,y2?0因為，原問題有可行解，如（5,0,0）；對偶問題也有可行解，如（所以，由對偶理論有最優(yōu)解。

第11題

第12題第13題：

4,0），