第一篇：線性規(guī)劃學(xué)習(xí)心得

《線性規(guī)劃》學(xué)習(xí)心得

姓名：許英 學(xué)號(hào)：201502991104

經(jīng)過學(xué)習(xí)《線性規(guī)劃》，我獲益良多，現(xiàn)在我主要從線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用來說說學(xué)習(xí)感觸。

《線性規(guī)劃》是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)基本分支，它廣泛應(yīng)用現(xiàn)有的科學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)方法，解決實(shí)際中的問題，幫助決策人員選擇最優(yōu)方針和決策。把線性規(guī)劃的知識(shí)運(yùn)用到企業(yè)中，企業(yè)就有必要利用線性規(guī)劃的知識(shí)對(duì)戰(zhàn)略計(jì)劃，生產(chǎn)，銷售的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行優(yōu)化，從而降低生產(chǎn)成本，提高企業(yè)的生產(chǎn)效率，通過建立模型并利用相關(guān)軟件，對(duì)經(jīng)濟(jì)管理中有限資源進(jìn)行合理分配，從而獲得最佳經(jīng)濟(jì)效益。在實(shí)際生活中，經(jīng)常會(huì)遇到一定的人力、物力、財(cái)力等資源條件下，如何精打細(xì)算巧安排，用最少的資源取得最大的效益的問題，而這正是線性規(guī)劃研究的基本內(nèi)容，它在實(shí)際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用．任何一個(gè)組織的管理者都必須對(duì)如何向不同的活動(dòng)分配資源的問題做出決策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任務(wù)，或在預(yù)定的任務(wù)目標(biāo)下如何耗用最少的人力、物力去實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。在許多情況下，大量不同的資源必須同時(shí)進(jìn)行分配，需要這些資源的活動(dòng)可以是不同的生產(chǎn)活動(dòng)，營(yíng)銷活動(dòng)，金融活動(dòng)或者其他一些活動(dòng)。隨著計(jì)算技術(shù)的不斷發(fā)展，使成千上萬個(gè)約束條件和決策變量的線性規(guī)劃問專升本 2015級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 題能迅速地求解，更為線性規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)等各領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用創(chuàng)造了極其有利的條件。線性規(guī)劃已經(jīng)成為現(xiàn)代化管理的一種重要的手段。建模是解決線性規(guī)劃問題極為重要的環(huán)節(jié)，一個(gè)正確的數(shù)學(xué)模型的建立要求建模者熟悉線性規(guī)劃的具體實(shí)際內(nèi)容，要明確目標(biāo)函數(shù)和約束條件，通過表格的形式把問題中的已知條件和各種數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析，從而找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)。

從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型一般有以下三個(gè)步驟；

1.根據(jù)影響所要達(dá)到目的的因素找到?jīng)Q策變量；

2.由決策變量和所在達(dá)到目的之間的函數(shù)關(guān)系確定目標(biāo)函數(shù)；

3.由決策變量所受的限制條件確定決策變量所要滿足的約束條件。

所建立的數(shù)學(xué)模型具有以下特點(diǎn)：

1、每個(gè)模型都有若干個(gè)決策變量（x1，x2，x3……，xn），其中n為決策變量個(gè)數(shù)。決策變量的一組值表示一種方案，同時(shí)決策變量一般是非負(fù)的。

2、目標(biāo)函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)根據(jù)具體問題可以是最大化（max）或最小化（min），二者統(tǒng)稱為最優(yōu)化（opt）。

3、約束條件也是決策變量的線性函數(shù)。

當(dāng)我們得到的數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)為線性函數(shù)，約束條件為線性等式或不等式時(shí)稱此數(shù)學(xué)模型為線性規(guī)劃模型。線性規(guī)劃模型的基本結(jié)構(gòu):（1）變量

變量又叫未知數(shù)，它是實(shí)際系統(tǒng)的未知因素，也是決策系統(tǒng)中的可控因素，一般稱為決策變量，常引用英文字母加下標(biāo)來表示，如Xl，X2，X3，Xmn等。

（2）目標(biāo)函數(shù)

將實(shí)際系統(tǒng)的目標(biāo)，用數(shù)學(xué)形式表現(xiàn)出來，就稱為目標(biāo)函數(shù)，線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)是求系統(tǒng)目標(biāo)的數(shù)值，即極大值，如產(chǎn)值極大值、利潤(rùn)極大值或者極小值，如成本極小值、費(fèi)用極小值、損耗極小值等等。

（3）約束條件

約束條件是指實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)目標(biāo)的限制因素。它涉及到企業(yè)內(nèi)部條件和外部環(huán)境的各個(gè)方面，如原材料供應(yīng)、設(shè)備能力、計(jì)劃指標(biāo)、產(chǎn)品質(zhì)量要求和市場(chǎng)銷售狀態(tài)等等，這些因素都對(duì)模型的變量起約束作用，故稱其為約束條件。

約束條件的數(shù)學(xué)表示形式為三種，即≥、＝、≤。線性規(guī)劃的變量應(yīng)為正值，因?yàn)樽兞吭趯?shí)際問題中所代表的均為實(shí)物，所以不能為負(fù)。在經(jīng)濟(jì)管理中，線性規(guī)劃使用較多的是下述幾個(gè)方面的問題：

(1)投資問題—確定有限投資額的最優(yōu)分配，使得收益最大或者見效快。

(2)計(jì)劃安排問題—確定生產(chǎn)的品種和數(shù)量，使得產(chǎn)值或利潤(rùn)最大，如資源配制問題。

(3)任務(wù)分配問題—分配不同的工作給各個(gè)對(duì)象(勞動(dòng)力或機(jī)床)，使產(chǎn)量最多、效率最高，如生產(chǎn)安排問題。

(4)下料問題—如何下料，使得邊角料損失最小。

(5)運(yùn)輸問題—在物資調(diào)運(yùn)過程中，確定最經(jīng)濟(jì)的調(diào)運(yùn)方案。

(6)庫(kù)存問題—如何確定最佳庫(kù)存量，做到即保證生產(chǎn)又節(jié)約資金等等。

把線性規(guī)劃的知識(shí)運(yùn)用到企業(yè)中去，可以使企業(yè)適應(yīng)市場(chǎng)激烈的競(jìng)爭(zhēng)，及時(shí)、準(zhǔn)確、科學(xué)的制定生產(chǎn)計(jì)劃、投資計(jì)劃、對(duì)資源進(jìn)行合理配置。過去企業(yè)在制定計(jì)劃，調(diào)整分配方面很困難，既要考慮生產(chǎn)成本，又要考慮獲利水平，人工測(cè)算需要很長(zhǎng)時(shí)間，不易做到機(jī)動(dòng)靈活，運(yùn)用線性規(guī)劃并配合計(jì)算機(jī)進(jìn)行測(cè)算非常簡(jiǎn)便易行，幾分鐘就可以拿出最優(yōu)方案，提高了企業(yè)決策的科學(xué)性和可靠性。其決策理論是建立在嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)之上，運(yùn)用大量基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，經(jīng)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)運(yùn)算得到的，從而在使企業(yè)能夠在生產(chǎn)的各個(gè)環(huán)節(jié)中優(yōu)化配置，提高了企業(yè)的效率，對(duì)企業(yè)是大有益處的。

過去很多企業(yè)在生產(chǎn)、運(yùn)輸、市場(chǎng)營(yíng)銷等方面沒有利用線性規(guī)劃進(jìn)行合理的配置，從而增加了企業(yè)的生產(chǎn)，使企業(yè)的利潤(rùn)不能達(dá)到最大化。在競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的今天，如果還按照過去的方式，是難以生存的。所以我們應(yīng)該看到運(yùn)用線性規(guī)劃的必要性和重要性，讓它在實(shí)踐生活中真正幫助到我們?nèi)ソ鉀Q遇到的各種問題，求得最大的利潤(rùn)和問題的最優(yōu)解。隨著作為運(yùn)籌學(xué)重要分支的線性規(guī)劃的發(fā)展，我們相信在不久的將來它會(huì)更好的為我們服務(wù)。

第二篇：線性規(guī)劃

《線性規(guī)劃復(fù)習(xí)》 導(dǎo)學(xué)提綱與限時(shí)訓(xùn)練

姓名：

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學(xué)號(hào)：

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班級(jí)：

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一、考試大綱要求：1、會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組..2、了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組..3、會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決..二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：

本章重點(diǎn)：1、準(zhǔn)確畫出可行域；2、能理解目標(biāo)函數(shù)的意義并求最值與最優(yōu)解；3、能利用線性規(guī)劃求解一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用題 本章難點(diǎn)：理解 Z 并能求最優(yōu)解；針對(duì)應(yīng)用題列出約束條件和目標(biāo)函數(shù) 三、【知識(shí) 要點(diǎn)梳理】: :1、二元一次不等式 0 Ax By c ? ? ? 表示的平面區(qū)域2、作二元一次不等式 0 Ax By c ? ? ? 表示的平面區(qū)域的方法3、線性規(guī)劃問題

① 概念：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)

劃問題。滿足線性約束條件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可

行域，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解。

② 線性規(guī)劃問題一般用圖解法，要注決解法的步驟。

四、基本例題：

例 例 1 1 ：設(shè)變量 y x, 滿足約束條件?????? ?? ? ?? ? ?0 30 20 6 3yy xy x，求目標(biāo)函數(shù) x y z 2 ? ? 的最小值和最大值，并求此時(shí)的最優(yōu)解。

例 例 2 2、已知變量 x y , 滿足約束條件2 111 0x yx yy，.? ? ??? ???? ??則 2 z x y ? ? 的最大值和最小值并求此時(shí)的最優(yōu)解

例 例 3 3、創(chuàng)新 0 P100 例 例 1

例 例 4 4、創(chuàng)新 0 P100 例 例 2 2

例 例 5 5、創(chuàng)新 0 P100 例 例 3

例 例 6 6、創(chuàng)新 1 P101 典例

五、限時(shí)訓(xùn)練：1、創(chuàng) 創(chuàng) P100 訓(xùn)練 1 1、訓(xùn)練 2 2 ；創(chuàng) P101 自主體驗(yàn)（完成在練習(xí)冊(cè)上）2、3 3 級(jí)混合滿分練 P317 — P318 第 第 3 3 講（完成在練習(xí)冊(cè)上）

3、、市 （梅州市 2013 屆高三 3 月總復(fù)習(xí)質(zhì)檢）設(shè) 設(shè) x，y 滿足2 412 2x yx yx y? ? ??? ???? ??則 則 z ＝x ＋y －3 的最小值為＿＿＿＿

4、（2012 年廣東高考題）

某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐。已知一個(gè)單位的午餐含2 12 個(gè)單位的碳水化合物 6 6 個(gè)單位蛋白質(zhì)和 6 6 個(gè)單位的維生素 C C ；一個(gè)單位的晚餐含 8 8 個(gè)單位的碳水化合物，6 6 個(gè)單位的蛋白質(zhì)和 0 10 個(gè)單位的維生素 C.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含 6 64 4 個(gè)單位的碳水化合物，2 42 個(gè)單位的蛋白質(zhì)和 4 54 個(gè)單位的維生素 C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是 2.5 元和 4 元，那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個(gè)單位的午餐和晚餐？

第三篇：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃教案

簡(jiǎn)單線性規(guī)劃教案

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教學(xué)設(shè)計(jì)

3．5.2 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

本節(jié)內(nèi)容在教材中有著重要的地位與作用．線性規(guī)劃是利用數(shù)學(xué)為工具，來研究一定的人、財(cái)、物等資源在一定條件下，如何精打細(xì)算巧安排，用最少的資源，取得最大的經(jīng)濟(jì)效益．它是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個(gè)分支，并能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實(shí)際問題．中學(xué)所學(xué)的線性規(guī)劃只是規(guī)劃論中的極小一部分，但這部分內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性、應(yīng)用性，同時(shí)也滲透了化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生今后解決實(shí)際問題提供了一種重要的解題方法——數(shù)學(xué)建模法．通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和解決實(shí)際問題的能力．

把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答是本節(jié)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)．對(duì)許多學(xué)生來說，解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見的困難是不會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即不會(huì)建模，所以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點(diǎn)．對(duì)學(xué)生而言，解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關(guān)系；②不能分清問題的主次關(guān)系，因而抓不住問題的本質(zhì)，無法建立數(shù)學(xué)模型；③孤立地考慮單個(gè)的問題情境，不能多方面聯(lián)想，形成正遷移．針對(duì)這些障礙以及題目本身文字過長(zhǎng)等因素，將本節(jié)設(shè)計(jì)為計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，充分利用現(xiàn)代化教學(xué)工具，從而將實(shí)際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，以利于理解．

實(shí)際教學(xué)中注意以下幾個(gè)問題：①用圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵．可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組尋求約束條件，并就題目所述找到目標(biāo)函數(shù)．②可行域就是二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的無限大的平面區(qū)域．③如果可行域是一個(gè)凸多邊形，那么一般在其頂點(diǎn)處使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值，最優(yōu)解一般就是多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)．到底哪個(gè)頂點(diǎn)為最優(yōu)解，可有兩種確定方法：一是將目標(biāo)函數(shù)的直線平行移動(dòng)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)便是；另一種方法可利用圍成可行域的直線的斜率來判斷．④若實(shí)際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解，應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整．其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點(diǎn)，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找．如果可行域中的整點(diǎn)數(shù)目很少，采用逐個(gè)試驗(yàn)法也是很有效的辦法．⑤在線性規(guī)劃的實(shí)際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最小．

如果條件允許，可將本節(jié)的思考與討論融入課堂．

三維目標(biāo)

．使學(xué)生了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．

2．通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問題的能力．

3．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，理解線性規(guī)劃求最優(yōu)解的原理，明確線性規(guī)劃在現(xiàn)實(shí)生活中的意義．

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，理解線性規(guī)劃最優(yōu)解的原理．

教學(xué)難點(diǎn)：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答．

課時(shí)安排

2課時(shí)

教學(xué)過程

第1課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.由身邊的線性規(guī)劃問題導(dǎo)入課題，同時(shí)闡明其重要意義．如6枝玫瑰花與3枝康乃馨的價(jià)格之和大于24元．而4枝玫瑰與5枝康乃馨的價(jià)格之和小于22元．如果想買2枝玫瑰與3枝康乃馨，那么價(jià)格比較結(jié)果是怎樣的呢？可由學(xué)生列出不等關(guān)系，并畫出平面區(qū)域．由此導(dǎo)入新課．

思路2.在生產(chǎn)與營(yíng)銷活動(dòng)中，我們常常需要考慮：怎樣利用現(xiàn)在的資源取得最大的收益，或者怎樣以最少的資源投入去完成一項(xiàng)給定的任務(wù)．我們把這一類問題稱為“最優(yōu)化”問題．線性規(guī)劃知識(shí)恰是解決這類問題的得力工具．由此展開新課．

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

?1?回憶二元一次不等式Ax＋By＋c＞0在平面直角坐標(biāo)系中的平面區(qū)域的確定方法.?2?怎樣從實(shí)際問題中抽象出不等式組，并畫出所確定的平面區(qū)域？

?3?閱讀教材，明確什么是目標(biāo)函數(shù)，線性目標(biāo)函數(shù)，約束條件，線性約束條件，線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解，可行域.,?4?你能給出解決線性規(guī)劃問題的一般步驟嗎？

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧二元一次不等式表示平面區(qū)域常用的方法是：直線定界、原點(diǎn)定域，即先畫出對(duì)應(yīng)直線，再將原點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程中，看其值比零大還是比零??；不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，是它們平面區(qū)域的公共部分．

教師引導(dǎo)學(xué)生探究教材本節(jié)開頭的問題．根據(jù)上節(jié)所學(xué)，學(xué)生很容易設(shè)出計(jì)劃生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x工時(shí)，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品y工時(shí)，且很容易地列出獲得利潤(rùn)總額為f＝30x＋40y，①

及x，y滿足的條件

3x＋2y≤1200，x＋2y≤800，x≥0，y≥0.②

教師引導(dǎo)學(xué)生畫出上述不等式組表示的區(qū)域，如下圖．

結(jié)合圖形，教師與學(xué)生一起探究，原問題就是在x，y滿足②的情況下，求f的最大值．也就是在圖中陰影部分內(nèi)找一點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入式子30x＋40y時(shí)，使該式值最大．若令30x＋40y＝0，則此方程表示通過原點(diǎn)的一條直線，記為l0，則在區(qū)域oABc內(nèi)有30x＋40y≥0.設(shè)這個(gè)區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)P到l0的距離為d，則d＝|30x＋40y|302＋402＝30x＋40y302＋402，即30x＋40y＝302＋402?d.由此可發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P到直線l0的距離d越大，式子30x＋40y的值就越大．這樣問題又轉(zhuǎn)化為：在區(qū)域oABc內(nèi)，找與直線l0距離最大的點(diǎn)．觀察圖象易發(fā)現(xiàn)，平移直線l0，最后經(jīng)過的點(diǎn)為B，易知區(qū)域oABc內(nèi)的點(diǎn)B即為所求．

解方程組3x＋2y＝1200，x＋2y＝800，得B，代入式子①，得fmax＝30×200＋40×300＝18000.即問題中，用200工時(shí)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品，用300工時(shí)生產(chǎn)乙種產(chǎn)品，能獲得最大利潤(rùn)18000元．

進(jìn)一步探究上述問題，不等式組是一組對(duì)變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件．z＝2x＋y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標(biāo)函數(shù)．由于z＝2x＋y又是關(guān)于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標(biāo)函數(shù)．線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．[

一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．例如：我們剛才研究的就是求線性目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規(guī)劃問題．滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域．其中，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解，接著讓學(xué)生說出上述問題中的目標(biāo)函數(shù)，約束條件，可行域，最優(yōu)解分別是什么．

根據(jù)以上探究，我們可以得出用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：

分析并將已知數(shù)據(jù)列出表格；

確定線性約束條件；

確定線性目標(biāo)函數(shù)；

畫出可行域；

利用線性目標(biāo)函數(shù)求出最優(yōu)解．在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)，從圖中能判定問題有唯一最優(yōu)解，或者是無窮最優(yōu)解，或是無最優(yōu)解；

實(shí)際問題需要整數(shù)解時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整確定最優(yōu)解．

討論結(jié)果：

～略．

應(yīng)用示例

例1已知x、y滿足不等式x＋2y≥2，2x＋y≥1，x≥0，y≥0，求z＝3x＋y的最小值．

活動(dòng)：可先找出可行域，平行移動(dòng)直線l0：3x＋y＝0找出可行解，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最小值．

解：不等式x＋2y≥2表示直線x＋2y＝2上及其右上方的點(diǎn)的集合；

不等式2x＋y≥1表示直線2x＋y＝1上及其右上方的點(diǎn)的集合．

可行域如圖所示．

作直線l0：3x＋y＝0，作一組與直線l0平行的直線l：3x＋y＝t．

∵x、y是上面不等式組表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，由圖可知，當(dāng)直線l：3x＋y＝z通過點(diǎn)P時(shí)，z取到最小值1，即zmin＝1.點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的．

尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；

由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域；

在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.變式訓(xùn)練

若變量x，y滿足2x＋y≤40，x＋2y≤50，x≥0，y≥0，則z＝3x＋2y的最大值是________．

答案：70

解析：由不等式組2x＋y≤40y≥0畫出可行域如下圖．

結(jié)合圖形，由2x＋y＝40，x＋2y＝50x＝10，y＝20，于是zmax＝3×10＋2×20＝70.例2

活動(dòng)：教材此例的數(shù)據(jù)以表格的形式給出．這樣可使量

x＋2y≤50

x≥0，與量之間的關(guān)系一目了然，非常有助于我們順利地找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，特別是對(duì)于那些量比較多的問題．本例難度不大，可由學(xué)生自己完成，教師給予適當(dāng)點(diǎn)撥．

點(diǎn)評(píng)：完成此例后，可讓學(xué)生對(duì)應(yīng)用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題作一簡(jiǎn)單歸納．對(duì)較好的學(xué)生，教師可結(jié)合思考與討論進(jìn)行歸納.變式訓(xùn)練

某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售．已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料0.2m3、五合板1m2.出售一張書桌可獲利潤(rùn)80元，出售一個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元，如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤(rùn)多少？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤(rùn)多少？怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤(rùn)最大？

解：設(shè)只生產(chǎn)書桌x張，可獲得利潤(rùn)z元，則0.1x≤90，2x≤600x≤900，x≤300x≤300.z＝80x，∴當(dāng)x＝300時(shí)，zmax＝80×300＝24000，即如果只安排生產(chǎn)書桌，最多可生產(chǎn)300張書桌，獲得利潤(rùn)24000元．

設(shè)只生產(chǎn)書櫥y張，可獲利潤(rùn)z元，則0.2y≤90，y≤600y≤450，y≤600y≤450.z＝120y，∴當(dāng)y＝450時(shí)，zmax＝120×450＝54000，即如果只安排生產(chǎn)書櫥，最多可生產(chǎn)450個(gè)，獲得利潤(rùn)54000元．

設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y個(gè)，利潤(rùn)總額為z元．

則0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，x≥0，y≥0x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0，y≥0，z＝80x＋120y，可行域如圖．

由圖可知：當(dāng)直線y＝－23x＋z120經(jīng)過可行域上的點(diǎn)m時(shí)，截距z120最大，即z最大，解方程組x＋2y＝9002x＋y＝600，得m的坐標(biāo)為．

∴zmax＝80x＋120y＝80×100＋120×400＝56000．

因此，生產(chǎn)書桌100張、書櫥400個(gè)，可使所得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為56000元.例3某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t．每1t甲種產(chǎn)品的利潤(rùn)是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤(rùn)是1000元．工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中要求消耗A種礦石不超過300t、B種礦石不超過200t、煤不超過360t，甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少，能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大？

活動(dòng)：將已知數(shù)據(jù)列成下表，然后按線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的步驟完成，本例可由學(xué)生自己完成．

解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt、yt，利潤(rùn)總額為z元，那么10x＋4y≤300，5x＋4y≤200，4x＋9y≤360，x≥0，y≥0；

目標(biāo)函數(shù)為z＝600x＋1000y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖．

作直線l：600x＋1000y＝0，即直線l：3x＋5y＝0.把直線l向右上方平移至l1的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)m，且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z＝600x＋1000y取最大值．

解方程組5x＋4y＝200，4x＋9y＝360，得x＝36029≈12.4，y＝100029≈34.4.∴m的坐標(biāo)為．

答：應(yīng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品約12.4t，乙產(chǎn)品34.4t，能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大．

知能訓(xùn)練

．設(shè)變量x，y滿足約束條件：y≥x，x＋2y≤2，x≥－2，則z＝x－3y的最小值為

A．－2

B．－4

c．－6

D．－8

2．醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營(yíng)養(yǎng)餐．甲種原料每10g含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，售價(jià)3元；乙種原料每10g含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì)，售價(jià)2元．若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)．試問：應(yīng)如何使用甲、乙原料，才能既滿足營(yíng)養(yǎng)，又使費(fèi)用最??？

答案：

．D 解析：在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組y≥x，x＋2y≤2，x≥－2所表示的平面區(qū)域，作出直線x－3y＝0，平移該直線，并結(jié)合圖形知點(diǎn)為最優(yōu)解．所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為zmin＝－2－3×2＝－8，故選D.2．活動(dòng)：將已知數(shù)據(jù)列成下表：

原料/10g

蛋白質(zhì)/單位

鐵質(zhì)/單位

甲

0

乙

費(fèi)用

設(shè)甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，則需要的費(fèi)用為z＝3x＋2y；病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)，可表示為5x＋7y≥35；同理，對(duì)鐵質(zhì)的要求可以表示為10x＋4y≥40，這樣，問題成為在約束條件5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0下，求目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋2y的最小值．

解：設(shè)甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，總費(fèi)用為z，那么5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0；

目標(biāo)函數(shù)為z＝3x＋2y，作出可行域如圖．

把z＝3x＋2y變形為y＝－32x＋z2，得到斜率為－32，在y軸上的截距為z2，隨z變化的一組平行直線．

由圖可知，當(dāng)直線y＝－32x＋z2經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時(shí)，截距z2最小，即z最?。?/p>

由10x＋4y＝40，5x＋7y＝35，得A，∴zmin＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲種原料使用145×10＝28，乙種原料使用3×10＝30時(shí)，費(fèi)用最?。?/p>

課堂小結(jié)

．讓學(xué)生自己歸納整合本節(jié)所學(xué)的知識(shí)方法及用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的方法步驟，自己在本節(jié)中的最大收獲有哪些？

2．教師強(qiáng)調(diào)，通過本節(jié)學(xué)習(xí)，需掌握如何用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的解題思路：首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù)．然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解．最后，還要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解．

作業(yè)

習(xí)題3—5A組3、4、5；習(xí)題3—5B組3.設(shè)計(jì)感想

．本節(jié)內(nèi)容與實(shí)際問題聯(lián)系緊密，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)以及解決實(shí)際問題的能力．本節(jié)內(nèi)容滲透了多種數(shù)學(xué)思想，是向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的典型教材，也是培養(yǎng)學(xué)生觀察、作圖能力的典型教材．

2．通過實(shí)例給出解題步驟，讓其更深入了解并掌握新知．這里強(qiáng)調(diào)的還有作圖的規(guī)范問題，這是學(xué)生容易忽視的，但這又是本節(jié)課很重要的一部分．

3．關(guān)于難度把握問題，依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》及教材分析，二元一次不等式表示平面區(qū)域以及線性規(guī)劃的有關(guān)概念比較抽象，按高二學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)和認(rèn)知水平難以透徹理解，再加上學(xué)生對(duì)代數(shù)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為幾何問題，以及數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問題有一個(gè)學(xué)習(xí)消化的過程，故本節(jié)知識(shí)內(nèi)容定為了解層次．但這個(gè)了解不同于其他的了解，應(yīng)注意讓學(xué)生切實(shí)學(xué)會(huì)從實(shí)際問題抽象出約束條件及目標(biāo)函數(shù)，并注意規(guī)范書寫解答步驟．

第2課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.上一節(jié)課我們探究了用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的一種類型，這節(jié)課我們進(jìn)一步探究有關(guān)線性規(guī)劃的一些問題，看看用線性規(guī)劃還能解決哪些實(shí)際問題．教師出示多媒體，提出問題，由此引入新課．

思路2.關(guān)于線性規(guī)劃的整點(diǎn)問題是個(gè)難點(diǎn)，我們是用平移直線的辦法來解決的，需要畫圖精確，令學(xué)生很頭痛．下面我們探究調(diào)整最優(yōu)值法來確定最優(yōu)整數(shù)解的方法．教師用多媒體出示以下問題：

某人有樓房一座，室內(nèi)面積共有180平方米，擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18平方米，可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)40元，小房間每間面積15平方米，可住游客3名，每名游客每天住宿費(fèi)50元；裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元．如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？

學(xué)生很容易設(shè)隔出大房間x間，小房間y間時(shí)收益為z元，則x，y滿足

8x＋15y≤180，1000x＋600y≤8000，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.作出可行域，作直線l：200x＋150y＝0，即l：4x＋3y＝0，把直線l向右上方平移，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B時(shí)，與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z＝200x＋150y取得最大值，解方程組6x＋5y＝60，5x＋3y＝40，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由于B的坐標(biāo)不是整數(shù)，而最優(yōu)解中，x、y必須都是整數(shù)，所以可行域內(nèi)的點(diǎn)B不是最優(yōu)解．

以下教師與學(xué)生共同探究調(diào)整最優(yōu)值法來確定最優(yōu)整點(diǎn)的方法：

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入4x＋3y＝z，得z＝3717，所以令4x＋3y＝37.所以y＝37－4x3，x＝37－3y4，代入約束條件得y＝9，x無解；

再令4x＋3y＝36，所以y＝36－4x3，x＝36－3y4，代入約束條件得7≤y≤12,0≤x≤4.又因?yàn)?x＋3y＝36，所以得最優(yōu)解為和，此時(shí)z的最大值是36，最大利潤(rùn)是1800元．

用圖解法解決時(shí)，容易丟一組解，而選擇調(diào)整最優(yōu)值法，即可避免丟解問題，只是需要一定的不等式及不定方程的知識(shí)．鼓勵(lì)學(xué)生課外進(jìn)一步探究其他方法．

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

??1?回憶上節(jié)課我們利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的方法、步驟、格式，解題時(shí)應(yīng)注意哪些問題？

?2?前面我們解決了可行域中整點(diǎn)問題，明確了求可行域中最優(yōu)解問題，請(qǐng)思考最優(yōu)解的個(gè)數(shù)有可能為無數(shù)個(gè)嗎？

活動(dòng)：教師與學(xué)生一起回憶上節(jié)課利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題時(shí)應(yīng)注意：①在尋求約束條件時(shí)，要注意挖掘隱含條件；②在確定最優(yōu)解時(shí)，首先要賦予因變量的幾何意義，然后利用圖形的直觀來確定最優(yōu)解；③在確定最優(yōu)解時(shí)，用直線的斜率來定位．

關(guān)于可行域中的整點(diǎn)求法，是以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點(diǎn)．如果可行域中的整點(diǎn)數(shù)目很少，采用逐個(gè)試驗(yàn)法也是很有效的辦法．下面我們進(jìn)一步探究最優(yōu)解問題以及用線性規(guī)劃解決的另一類實(shí)際問題．

討論結(jié)果：略．

求最優(yōu)解，若沒有特殊要求，一般為邊界交點(diǎn)．但取得最值的最優(yōu)解可能有無窮多個(gè)．若通過圖形觀察不易分辨時(shí)，可把邊界交點(diǎn)代入驗(yàn)證．

應(yīng)用示例

例1某公司計(jì)劃XX年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元．甲、乙電視臺(tái)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘．假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬元？

活動(dòng)：這是高考中繼江蘇卷線性規(guī)劃大題后第二個(gè)線性規(guī)劃大題，教師引導(dǎo)學(xué)生按前面的方法列出表格，則各量之間的關(guān)系即一目了然．本題難度不大，可由學(xué)生自己解決．列表如下：

甲

乙

合計(jì)

時(shí)間

x分鐘

y分鐘

300

收費(fèi)

500元/分鐘

200元/分鐘

9萬元

解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元．

由題意得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0.目標(biāo)函數(shù)為z＝3000x＋XXy.二元一次不等式組等價(jià)于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖．

作直線l：3000x＋XXy＝0，即3x＋2y＝0.平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過m點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．

聯(lián)立x＋y＝300，5x＋2y＝900，解得x＝100，y＝200.∴點(diǎn)m的坐標(biāo)為．

∴zmax＝3000x＋XXy＝700000．

答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．

例2

活動(dòng)：本例是整數(shù)線性規(guī)劃問題．整數(shù)線性規(guī)劃問題的可行域是由滿足不等式的整點(diǎn)組成的集合，所求的最優(yōu)解必須是整數(shù)解．我們知道，最優(yōu)解一般都為邊界的交點(diǎn)，若這個(gè)交點(diǎn)不是整數(shù)，則需要平移直線找到附近的最優(yōu)解．本例可由教師與學(xué)生共同完成．

點(diǎn)評(píng)：找整數(shù)最優(yōu)解是個(gè)難點(diǎn)，要求畫圖精確，要使學(xué)生明白如何找整數(shù)最優(yōu)解的原理.變式訓(xùn)練

某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y必須滿足約束條件5x－11y≥－22，2x＋3y≥9，2x≤11，則z＝10x＋10y的最大值是

A．80

B．85

c．90

D．95

答案：c

解析：畫出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖所示．

由x＝112，5x－11y＝－22，解得A．

而由題意知x和y必須是正整數(shù)，直線y＝－x＋z10平移經(jīng)過的整點(diǎn)為時(shí)，z＝10x＋10y取得最大值90.例3某人承攬一項(xiàng)業(yè)務(wù)，需做文字標(biāo)牌2個(gè)，繪畫標(biāo)牌3個(gè)，現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3m2，可做文字標(biāo)牌1個(gè)，繪畫標(biāo)牌2個(gè)，乙種規(guī)格每張2m2，可做文字標(biāo)牌2個(gè)，繪畫標(biāo)牌1個(gè)，求兩種規(guī)格的原料各用多少?gòu)?，才能使總的用料面積最??？

解：設(shè)用甲種規(guī)格原料x張，乙種規(guī)格原料y張，則可做文字標(biāo)牌x＋2y個(gè)，繪畫標(biāo)牌2x＋y個(gè)，由題意可得x＋2y≥2，2x＋y≥3，x≥0，y≥0.所用原料的總面積為z＝3x＋2y，作出可行域，如圖陰影所示．作直線l0：3x＋2y＝0，作一組與直線l0平行的直線l：3x＋2y＝t，當(dāng)直線l通過2x＋y＝3與直線x＋2y＝2的交點(diǎn)A時(shí)，t取得最小值為133.因?yàn)?3，13都不是整數(shù)，而最優(yōu)解中，x、y必須都是整數(shù)，所以可行域內(nèi)點(diǎn)不是最優(yōu)解．經(jīng)過可行域內(nèi)整點(diǎn)，點(diǎn)B滿足3x＋2y＝5，使t最?。?/p>

所以最優(yōu)解為B，即用甲種規(guī)格原料1張，乙種規(guī)格原料1張，可使所用原料總面積最小為5m2.知能訓(xùn)練

．設(shè)變量x，y滿足約束條件x－y≥0，x＋y≤1，x＋2y≥1，則目標(biāo)函數(shù)z＝5x＋y的最大值為

A．2

B．3

c．4

D．5

2．設(shè)x、y滿足約束條件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，分別求下列各式的最大值、最小值：

z＝6x＋10y；

z＝2x－y；

z＝2x－y．

答案：

．D 解析：如圖，由可行域知目標(biāo)函數(shù)z＝5x＋y過點(diǎn)A時(shí)z取得最大值，zmax＝5.2．解：先作出可行域，如下圖所示的△ABc的區(qū)域，且求得A、B、c．

作出直線l0：6x＋10y＝0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l1過B點(diǎn)時(shí)，可使z＝6x＋10y達(dá)到最小值；

當(dāng)l0的平行線l2過A點(diǎn)時(shí)，可使z＝6x＋10y達(dá)到最大值．

∴zmin＝6×1＋10×1＝16；zmax＝6×5＋10×2＝50.同上，作出直線l0：2x－y＝0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l1過c點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最小值；

當(dāng)l0的平行線l2過A點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最大值．∴zmax＝8，zmin＝－125.同上，作出直線l0：2x－y＝0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l2過A點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最大值，∴zmax＝8.當(dāng)l0的平行線l1過c點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最小值，但由于225不是整數(shù)，而最優(yōu)解中，x、y必須都是整數(shù)，∴可行域內(nèi)的點(diǎn)c不是最優(yōu)解．

當(dāng)l0的平行線經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最小值．

∴zmin＝2×1－4＝－2.課堂小結(jié)

．我們用線性規(guī)劃解決了哪些實(shí)際問題？

2．教師點(diǎn)撥學(xué)生：你能用精練的幾個(gè)字來說明利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的方法與步驟嗎？

找：找出實(shí)際問題中的約束條件及目標(biāo)函數(shù)；畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；求：通過解方程組求出最優(yōu)解；答：作出答案．即可用5個(gè)字來概括：找、畫、移、求、答．

作業(yè)

一、習(xí)題3—5A組6；習(xí)題3—5B組4、5.二、閱讀本章小結(jié)

設(shè)計(jì)感想

．本課時(shí)設(shè)計(jì)注重學(xué)生的操作練習(xí)．通過學(xué)生積極參與，動(dòng)手操作，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維、增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，使認(rèn)知在練習(xí)中加深，興趣在練習(xí)中勃發(fā)，情感在練習(xí)中陶冶，質(zhì)量在練習(xí)中提高，目標(biāo)在練習(xí)中實(shí)現(xiàn)．

2．本課時(shí)注重了學(xué)生的能力訓(xùn)練．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，深化對(duì)知識(shí)的理解和掌握，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．

3．本課時(shí)設(shè)計(jì)強(qiáng)化使用現(xiàn)代化教學(xué)手段．充分發(fā)揮多媒體教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，利用計(jì)算機(jī)作為輔助工具，更清楚地展示區(qū)域問題，有利于發(fā)現(xiàn)區(qū)域問題的異同點(diǎn)，將信息技術(shù)和數(shù)學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，有利于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)．

備課資料

一、備選例題

【例1】某糖果廠生產(chǎn)A、B兩種糖果，A種糖果每箱獲利潤(rùn)40元，B種糖果每箱獲利潤(rùn)50元，其生產(chǎn)過程分為混合、烹調(diào)、包裝三道工序，下表為每箱糖果生產(chǎn)過程中所需平均時(shí)間：

混合 烹調(diào)

包裝

A

B

每種糖果的生產(chǎn)過程中，混合的設(shè)備至多能用12小時(shí)，烹調(diào)的設(shè)備至多能用30小時(shí)，包裝的設(shè)備至多能用15小時(shí)，試求每種糖果各生產(chǎn)多少箱可獲得最大利潤(rùn)？

活動(dòng)：找約束條件，建立目標(biāo)函數(shù)．

解：設(shè)生產(chǎn)A種糖果x箱，B種糖果y箱，可獲得利潤(rùn)z元，則此問題的約束條件x＋2y≤720，5x＋4y≤1800，3x＋y≤900，x≥0，y≥0下，求目標(biāo)函數(shù)z＝40x＋50y的最大值，作出可行域如圖，其邊界oA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，Bc：5x＋4y－1800＝0，cD：x＋2y－720＝0，Do：x＝0.由z＝40x＋50y，得y＝－45x＋z50，它表示斜率為－45，截距為z50的平行直線系，z50越大，z越大，從而可知過c點(diǎn)時(shí)截距最大，z取得了最大值．

解方程組x＋2y＝7205x＋4y＝1800c．

∴zmax＝40×120＋50×300＝19800，即生產(chǎn)A種糖果120箱，生產(chǎn)B種糖果300箱，可得最大利潤(rùn)19800元．

點(diǎn)評(píng)：由于生產(chǎn)A種糖果120箱，生產(chǎn)B種糖果300箱，就使得兩種糖果共計(jì)使用的混合時(shí)間為120＋2×300＝720，烹調(diào)時(shí)間5×120＋4×300＝1800，包裝時(shí)間3×120＋300＝660，這說明該計(jì)劃已完全利用了混合設(shè)備與烹調(diào)設(shè)備的可用時(shí)間，但對(duì)包裝設(shè)備卻有240分鐘的包裝時(shí)間未加利用，這種“過?！眴栴}構(gòu)成了該問題的“松弛”部分，有待于改進(jìn)研究．

【例2】要將甲、乙兩種大小不同的鋼板截成A、B兩種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得A、B兩種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：

已知庫(kù)房中現(xiàn)有甲、乙兩種鋼板的數(shù)量分別為5張和10張，市場(chǎng)急需A、B兩種規(guī)格的成品數(shù)分別為15塊和27塊．

問各截這兩種鋼板多少?gòu)埧傻玫剿璧某善窋?shù)，且使所用的鋼板張數(shù)最少？

若某人對(duì)線性規(guī)劃知識(shí)了解不多，而在可行域的整點(diǎn)中隨意取出一解，求其恰好取到最優(yōu)解的概率．

解：設(shè)需截甲、乙兩種鋼板的張數(shù)分別為x、y，則2x＋y≥15，x＋3y≥27，0≤x≤5，0≤y≤10，作出可行域如圖．

因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)為z＝x＋y，所以在一組平行直線x＋y＝t中，經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最近的直線是x＋y＝12，其經(jīng)過的整點(diǎn)是和，它們都是最優(yōu)解．

因?yàn)榭尚杏騼?nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為8，而最優(yōu)解有兩個(gè)，所以所求的概率為p＝28＝0.25.答：兩種鋼板的張數(shù)分別為3、9或4、8，概率為0.25.二、利潤(rùn)的線性預(yù)測(cè)

問題：某企業(yè)1999年的利潤(rùn)為5萬元，XX年的利潤(rùn)為7萬元，XX年的利潤(rùn)為8萬元．請(qǐng)你根據(jù)以上信息擬定兩個(gè)不同的利潤(rùn)增長(zhǎng)直線方程，從而預(yù)測(cè)XX年企業(yè)的利潤(rùn)，請(qǐng)問你幫該企業(yè)預(yù)測(cè)的利潤(rùn)是多少萬元？

解：建立平面直角坐標(biāo)系，1999年的利潤(rùn)為5萬元，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，XX年的利潤(rùn)為7萬元，XX年的利潤(rùn)為8萬元分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)B和c，那么

過A、B兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線l1，其方程為y＝2x＋5，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為13萬元．

過A、c兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線l2，其方程為y＝32x＋5，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為11萬元．

過B、c兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線l3，其方程為y＝x＋6，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為10萬元．

過A及線段Bc的中點(diǎn)E的直線作為預(yù)測(cè)直線l4，其方程為y＝53x＋5，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)約為11.667萬元．

過A及△ABc的重心F的直線作為預(yù)測(cè)直線l5，其方程為y＝53x＋5，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為11.667萬元．

過c及△ABc的重心F的直線作為預(yù)測(cè)直線l6，其方程為y＝43x＋163，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為10.667萬元．

過A及以線段Bc的斜率kBc＝1作為預(yù)測(cè)直線斜率，則預(yù)測(cè)直線l7的方程為y＝x＋5，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為9萬元．

過B及以線段Ac的斜率kAc＝32作為預(yù)測(cè)直線斜率，則預(yù)測(cè)直線l8的方程為y＝32x＋112，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為11.5萬元．

過c及以線段AB的斜率kAB＝2作為預(yù)測(cè)直線斜率，則預(yù)測(cè)直線l9的方程為y＝2x＋4，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為12萬元．

過A及以線段AB的斜率kAB與線段Ac的斜率kAc的平均數(shù)作為預(yù)測(cè)直線斜率，則預(yù)測(cè)直線l10的方程為y＝74x＋5，這樣預(yù)測(cè)XX年的利潤(rùn)為12萬元．

還有其他方案，在此不一一列舉．

點(diǎn)評(píng)：讀完以上的各種預(yù)測(cè)方案后，請(qǐng)你先思考兩個(gè)問題：

①第種方案與第種方案的結(jié)果完全一致，這是為什么？

②第種方案中，kBc的現(xiàn)實(shí)意義是什么？

本題可從以下兩個(gè)方面進(jìn)一步拓展，其一是根據(jù)以上的基本解題思路，提出新的方案，如方案過△ABc的重心F，找出以m為斜率的直線中與A、c兩點(diǎn)距離的平方和最小的直線作為預(yù)測(cè)直線；其二是根據(jù)以上結(jié)論及你自己的答案估計(jì)利潤(rùn)的范圍，你預(yù)測(cè)的利潤(rùn)頻率出現(xiàn)最多的是哪一個(gè)值？你認(rèn)為將你預(yù)測(cè)的結(jié)論作怎樣的處理，使之得到的利潤(rùn)預(yù)測(cè)更有效？如果不要求用線性預(yù)測(cè)，你能得出什么結(jié)果？

第四篇：均值不等式及線性規(guī)劃問題

均值不等式及線性規(guī)劃問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．理解均值不等式，能用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題；

2．能運(yùn)用不等式的性質(zhì)和均值不等式證明簡(jiǎn)單的不等式．

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

均值不等式的理解．

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

均值不等式的應(yīng)用．

內(nèi)容解析：

一、均值不等式

如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．

我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．

注：[1] 定理適用的范圍：；

[2]“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：等價(jià)條件．

推廣：1．如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．

均值不等式的應(yīng)用：不等式的證明、求最值．

注：[1] 可以使用均值不等式的條件：正，定，等；

[2] 積為定值時(shí)，和有最小值；和為定值時(shí)，積有最大值．

二、不等式證明

1． 證明不等式的方法

(1)比較法：作差法和作商法兩種．

作商法應(yīng)在兩個(gè)數(shù)的符號(hào)相同時(shí)使用．

(2)綜合法．

從題目的條件出發(fā)，尋找證明的中間結(jié)論．

(3)分析法．

從要證的結(jié)論出發(fā)，尋找可以推得此結(jié)論的條件．

2． 幾個(gè)常用的重要不等式

①．

②，．

③，．

例1.下列函數(shù)中，最小值是2的是（）

A.y?x?1

xB.y?3x?3?x

lgx(1?x?10)D.y?sinx?1

sinxC.y?lgx?(0?x??

2)

例2.設(shè)x,y?R，且x?y?5，則3?3的最小值是（）xy

A

.B

.C

.D

.?x?2y?4

?例3.在約束條件?x?y?1下，目標(biāo)函數(shù)z?3x?y（）

?x?2?0?

A.有最大值3，最小值?3B.有最大值5，最小值?3

C.有最大值5，最小值?9D.有最大值3，最小值?9

?x?y?4,?例4.已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足條件?y?x,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么z?x2?y2的最小

?x?1,?

值等于____________,最大值等于_____________

例5.已知，求證：．

例6.已知，求證：．

例7.已知，且，求的最小值．

例8.求證：．

例9.求證：

例10.求下列函數(shù)的最值． ．

(1)；

(2)；

(3)

練習(xí)

1.如果a?0,b?0，那么，下列不等式中正確的是（）

A.1

a?1

2.不等式bx?1B

?C.a2?b2D.|a|?|b|

2?x?0的解集為（）

A.{x|?1?x?2}B.{x|?1?x?2}

C.{x|x??1或x?2}D.{x|x??1或x?2}

3.當(dāng)x>1時(shí)，不等式x+

A．(－∞,2]

1x?1≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 C．[3,+∞)D．(－∞,3]B．[2,+∞)

4.已知點(diǎn)（3，1）和（?4，6）在直線3x?2y?a?0的兩側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.a??7或a?24B.a?7或a?24 C.?7?a?24D.?24?a?7

325.如果a?0且a?1，M?loga(a?1),N?loga(a?1)，則（）

A.M?NB.M?N C.M?ND.M,N的大小與a值有關(guān)

6.已知不等式x2?2x?k2?1?0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A

.(B

.(??,???)C

.??)D.(?2,2)

7.正數(shù)a,b滿足ab?a?b?3，則ab的取值范圍是__________.8.已知正整數(shù)a,b滿足4a＋b＝30，使得

2231a?1b取最小值時(shí)，則a=_______,b=_______ 9.解關(guān)于x的不等式x?(m?m)x?m?0.10.建造一個(gè)容積為4800m,深為3m的長(zhǎng)方體無蓋水池,如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為150元和120元,那么怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造最低，最低總造價(jià)為多少元？3

第五篇：線性規(guī)劃練習(xí)2

線性規(guī)劃綜合練習(xí)

一、選擇題 1.設(shè)變量 x、y 滿足約束條件?????? ?? ??6 32x yy xx y，則目標(biāo)函數(shù) z=2x+y 的最小值為（）

（A）2

（B）3

（C）４

（Ｄ）2.設(shè)ｚ＝ｘ－ｙ，式中變量ｘ和ｙ滿足條件???? ?? ? ?, 0 2, 0 3y xy x則ｚ的最小值為（）

(A)

（Ｂ）－１

（Ｃ）３

（Ｄ）－3 3.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組??????? ? ?? ? ?20 20 2xy xy x，表示的平面區(qū)域的面積是（）

（A）4 2

（B）

（C）2 2

（D）2 4．已知ｘ和ｙ是正整數(shù)．．．，且滿足約束條件??????? ?? ?7 2210xy xy x，則 z=2x+３y 的最小值為（）

（Ａ）24（Ｂ）14

(C)13

(D)11.5

5.如果實(shí)數(shù) x,y 滿足條件?????? ? ?? ?? ? ?0 10 10 1y xyy x,那么 2x-y 的最大值為（）(A)

(B)1

(C)-2

(D)-3

6.某公司招收男職員 x名,女職員y名,x和y 須滿足約束條件??????? ?? ? ?, 11 2, 9 3 2, 22 11 5xy xy x則 z=10x+10y 的最大值是（）(A)

(B)85

(C)

(D)

7.在坐標(biāo)平面上，不等式組???? ? ?? ?1 31x yx y，所表示的平面區(qū)域的面積為（）

（Ａ）

（Ｂ）23（Ｃ）22 3（Ｄ）２ 8.已知點(diǎn)Ｐ（ｘ，ｙ）在不等式組?????? ? ?? ?? ?0 2 20 10 2y xyx，表示的平面區(qū)域運(yùn)動(dòng)，則ｚ＝ｘ－ｙ的取值范圍是（）

（Ａ）

? ? 1 , 2 ? ?

（Ｂ）

? ? 1 , 2 ?

（Ｃ）

? ? 2 , 1 ?

（Ｄ）

? ? 2 , 1

9.變量 x,y 滿足下列條件:???????? ?? ?? ?? ?.0 , 0, 24 3 2, 36 9 2, 12 2y xy xy xy x則使得 z=3x+2y 的值最小的(x,y)是（）(A)（4.5,3）

(B)

(3,6)

(C)

(9,2)

(D)(6,4)10.已知平面區(qū)域 D 由以 A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成,若在區(qū)域 D 上有無窮多個(gè)點(diǎn)(x,y)可使目標(biāo)函數(shù) z=x+my 取得最小值,則 m=（）（Ａ）-２

（Ｂ）-１

（Ｃ）１

（Ｄ）４ 11.在約束條件?????????? ?? ?004 2yxs y xy x下,當(dāng) 3≤s≤5 時(shí),目標(biāo)函數(shù) z=3x+2 的最大值的變化范圍是（）(A)[6,15]

(B)[7,15]

(C)[6,8]

(D)[7,8]

12．某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過 50 計(jì)，投入資金不超過 54 萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表

年產(chǎn)量/畝 年種植成本/畝 每噸售價(jià) 黃瓜 4 噸 1.2 萬元 0.55 萬元 韭菜 6 噸 0.9 萬元 0.3 萬元 為使一年的種植總利潤(rùn)（總利潤(rùn)=總銷售收入 總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（）

A．50，0

B．30，20

C．20，30

D．0，50 13.已知點(diǎn)(3，1)和(－4，6)在直線 3x－2y+a=0 的兩側(cè)，則 a 的取值范圍是（）A.a＜－1 或 a＞24

B.a=7 或 a=24

C.－7＜a＜24

D.－24＜a＜7 14.不等式組3,0,2 0xx yx y? ??? ???? ? ??表示的平面區(qū)域的面積等于（）A.28

B.16

C.439

D.121 二、填空題 1．設(shè) z=2y-x，式中變量 x、y 滿足下列條件??????? ?? ? ?123 2 31 2yy xy x，則 z 的最大值為____________.2.設(shè)變量 x,y 滿足約束條件?????? ?? ? ?? ?112 2y xy xy x,則 z=2x+3y 的最大值為__________.3.設(shè)變量 x,y 滿足約束條件?????? ?? ??10 20 21y xy xx,則 z=2x-y 的最小值為__________.4.若ｘ，ｙ滿足條件????? ?x yy x23，則ｚ＝3x+4y 的最大值是____________.5.設(shè)ｘ，ｙ滿足約束條件???????? ?? ?? ?? ?4 03 012 2 35yxy xy x，則使得目標(biāo)函數(shù)ｚ＝6x+5y 的值最大的點(diǎn)（ｘ，ｙ）是

． 6.非負(fù)實(shí)數(shù)ｘ，ｙ滿足???? ? ?? ? ?0 30 4 2y xy x，則 x+3y 的最大值為

.7.設(shè) x，y 滿足約束條件?????? ???1 20y xy xx，則 z=3x+2y 的最大值是________.8.設(shè) x，y 滿足約束條件???????? ?01yx yy x,則 z=2x+y 的最大值是_________.9.當(dāng) x,y 滿足不等式組?????? ??? ?834 2y xyx時(shí),目標(biāo)函數(shù) k=3x-2y 的最大值為___________.10．已知實(shí)數(shù) x,y 滿足???? ??| 1 |1x yy,則 z=x+2y 的最大值是___________.11．已知點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足條件 ,14???????? ?xx yy x點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|PO|的最小值等于___________，最大值等于___________.12.已知?????? ? ?? ? ??0 2 20 11y xy xx，則ｘ２ ＋ｙ ２ 的最小值是＿＿＿＿＿＿． 13.設(shè)實(shí)數(shù)ｘ，ｙ滿足?????? ?? ? ?? ? ?0 3 20 4 20 2yy xy x，則xy的最大值是_________.14.某實(shí)驗(yàn)室需購(gòu)某種化工原料 106 千克，現(xiàn)在市場(chǎng)上該原料有兩種包裝，一種是每袋 35 千克，價(jià)格為140元；另一種是每袋24千克, 價(jià)格為120元.在滿足需要的條件下，最少要花費(fèi)

元.15.已知變量 x、y 滿足約束條件?????? ?? ? ?? ? ?0 10 3 30 3 2yy xy x.若目標(biāo)函數(shù) z=ax+y（其中 a>0）,僅在點(diǎn)（3,0）處取得最大值,則 a 的取值范圍是____________.三、解答題

1、設(shè) z=2y-2x+4,式中 x,y 滿足條件0 10 22 1xyy x? ? ??? ???? ??

求 Z 的最大值和最小值。

2、某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品。已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 1 千克。每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是 300 元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是 400 元。公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗 A、B 原料都不超過 12 千克。則如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

3、某機(jī)械廠的車工分Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)等級(jí)，各級(jí)車工每人每天加工能力，成品合格率及日工資數(shù)如下表所示：

工廠要求每天至少加工配件 2400 個(gè)，車工每出一個(gè)廢品，工廠要損失 2 元，現(xiàn)有Ⅰ級(jí)車工 8 人，Ⅱ級(jí)車工 12 人，且工廠要求至少安排 6 名Ⅱ級(jí)車工，試問如何安排工作，使工廠每天支出的費(fèi)用最少.級(jí)別 加工能力(個(gè)/人天)成品合格率(%)工資(元/天)Ⅰ 240 97 5.6 Ⅱ 160 95.5 3.6