數(shù)學(xué)建模文獻綜述

摘要：綜述 數(shù)學(xué)建模方法

前言：數(shù)學(xué)建模，就是根據(jù)實際問題來建立數(shù)學(xué)模型，對數(shù)學(xué)模型來進行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實際問題。數(shù)學(xué)模型是一種模擬，是用數(shù)學(xué)符號，數(shù)學(xué)式子，程序，圖形等對實際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。應(yīng)用知識從實際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模。在21世紀新時代下，信息技術(shù)的快速發(fā)展使得數(shù)學(xué)建模成了解決實際問題的一個重要的有效手段。

正文：自從20世紀以來，隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展和計算機的日益普及，人們對各種問題的要求越來越精確，使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛和深入，特別是在21世紀這個知識經(jīng)濟時代，數(shù)學(xué)科學(xué)的地位會發(fā)生巨大的變化，它正在從國家經(jīng)濟和科技的后備走到了前沿。經(jīng)濟發(fā)展的全球化、計算機的迅猛發(fā)展、數(shù)學(xué)理論與方法的不斷擴充，使得數(shù)學(xué)已經(jīng)成為當代高科技的一個重要組成部分和思想庫，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一種能夠普遍實施的技術(shù)。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要方面。而數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)方面的分支，在其中起到了關(guān)鍵性的作用。

談到數(shù)學(xué)建模的過程，可以分為以下幾個部分：

一.模型準備

了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。以數(shù)學(xué)思想來包容問題的精髓，數(shù)學(xué)思路貫穿問題的全過程，進而用數(shù)學(xué)語言來描述問題。要求符合數(shù)學(xué)理論，符合數(shù)學(xué)習(xí)慣，清晰準確。

二.模型假設(shè)

根據(jù)實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當?shù)募僭O(shè)。

三.模型建立

在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

四.模型計算

利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計算（或近似計算）。其中需要應(yīng)用到一些計算工具，如matlab。

五.模型分析

對所要建立模型的思路進行闡述，對所得的結(jié)果進行數(shù)學(xué)上的分析。

六.模型檢驗

將模型分析結(jié)果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結(jié)果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過程。

數(shù)學(xué)建模中比較重要的是，我們需要根據(jù)實際問題，適當調(diào)整，采取正確的數(shù)學(xué)建模方法，以較為準確地對實際問題發(fā)展的方向進行有據(jù)地預(yù)測，達到我們解決實際問題的目的，在近些年，數(shù)學(xué)建模涉及到的實際問題有關(guān)于各個領(lǐng)域，包括病毒傳播問題、人口增長預(yù)測問題、衛(wèi)星的導(dǎo)航跟蹤、環(huán)境質(zhì)量的評價和預(yù)測等等，這些就能說明數(shù)學(xué)建模涉及領(lǐng)域之廣泛，針對這些問題我們需要采取對應(yīng)的數(shù)學(xué)建模方法，采用不同的數(shù)學(xué)模型，再綜合起來分析，得出結(jié)論，這需要我們要有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和掌握一些應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，以適應(yīng)各種實際問題類型的研究，也應(yīng)該在一些數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，進行不斷地拓展和延伸，這也是在新時代下對于數(shù)學(xué)工作者的基本要求，我們對數(shù)學(xué)建模的所能達到的要求就是實現(xiàn)對實際問題的定性分析達到定量的程度，更能直觀地展現(xiàn)其中的內(nèi)在關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的巨大作用。

而在對數(shù)學(xué)建模中的數(shù)據(jù)處理中，我們往往采用十類算法：

一.蒙特卡羅算法

也稱統(tǒng)計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計算方法。當所求解問題是某種隨機事件出現(xiàn)的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現(xiàn)的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解。如粒子輸運問題。

二.數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法

比賽中通常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具，而在其中有一些要用到參數(shù)估計的方法，包括矩估計、極大似然法、一致最小方差無偏估計、最小風(fēng)險估計、同變估計、最小二乘法、貝葉斯估計、極大驗后法、最小風(fēng)險法和極小化極大熵法。最基本的方法是最小二乘法和極大似然法。數(shù)據(jù)擬合在數(shù)學(xué)建模中常常有應(yīng)用，與圖形處理有關(guān)的問題很多與擬合有關(guān)系。

三.線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題

建模競賽大多數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時候這些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實現(xiàn)。它尤其適用于傳統(tǒng)搜索方法難于解決的復(fù)雜和非線性問題，在運籌學(xué)和模糊數(shù)學(xué)中也有應(yīng)用。

四.圖論算法

這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真準備，其中，圖論具有廣泛的應(yīng)用價值,圖論可將各種復(fù)雜的工程系統(tǒng)和管理問題用“圖”來描述,然后用數(shù)學(xué)方法求得最優(yōu)結(jié)果，圖論是解決許多工程問題中算法設(shè)計的一種有效地數(shù)學(xué)模型,便于計算分析和計算機存儲。

五.動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法

動態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用極其廣泛，包括工程技術(shù)、經(jīng)濟、工業(yè)生產(chǎn)、軍事以及自動化控制等領(lǐng)域，并在背包問題、生產(chǎn)經(jīng)營問題、資金管理問題、資源分配問題、最短路徑問題和復(fù)雜系統(tǒng)可靠性問題等中取得了顯著的效果?；厮菟惴ㄊ巧疃葍?yōu)先策略的典型應(yīng)用，回溯算法就是沿著一條路向下走，如果此路不同了，則回溯到上一個分岔路，在選一條路走，一直這樣遞歸下去，直到遍歷萬所有的路徑。八皇后問題是回溯算法的一個經(jīng)典問題，還有一個經(jīng)典的應(yīng)用場景就是迷宮問題?；厮菟惴ㄊ巧疃葍?yōu)先，那么分支限界法就是廣度優(yōu)先的一個經(jīng)典的例子?；厮莘ㄒ话銇碚f是遍歷整個解空間，獲取問題的所有解，而分支限界法則是獲取一個解。分治算法的基本思想是將一個規(guī)模為N的問題分解為K個規(guī)模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題性質(zhì)相同。求出子問題的解，就可得到原問題的解。即一種分目標完成程序算法，簡單問題可用二分法完成。

這些算法是算法設(shè)計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中。

六.最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法

模擬退火算法的依據(jù)是固體物質(zhì)退火過程和組合優(yōu)化問題之間的相似性。物質(zhì)在加熱的時候，粒子間的布朗運動增強，到達一定強度后，固體物質(zhì)轉(zhuǎn)化為液態(tài)，這個時候再-進行退火，粒子熱運動減弱，并逐漸趨于有序，最后達到穩(wěn)定。
　　“物競天擇，適者生存”，是進化論的基本思想。遺傳算法就是模擬自然界想做的事。遺傳算法可以很好地用于優(yōu)化問題，若把它看作對自然過程高度理想化的模擬，更能-顯出它本身的優(yōu)雅——雖然生存競爭是殘酷的。遺傳算法以一種群體中的所有個體為對象，并利用隨機化技術(shù)指導(dǎo)對一個被編碼的參數(shù)空間進行高效搜索。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從名字就知道是對人腦的模擬。它的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)，它的構(gòu)成與作用方式都是在模仿人腦，但是也僅僅是粗糙的模仿，遠沒有達到完美的地步。和馮·諾依曼機不同-，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算非數(shù)字，非精確，高度并行，并且有自學(xué)習(xí)功能。

這些問題是用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現(xiàn)比較困難，需慎重使用。

七.網(wǎng)格算法和窮舉法

對于小數(shù)據(jù)量窮舉法就是最優(yōu)秀的算法，網(wǎng)格算法就是連續(xù)問題的枚舉。網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點的算法，在很多競賽題中有應(yīng)用，當重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。

八.一些連續(xù)離散化方法

很多問題都是實際來的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計算機只認的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的。

九.數(shù)值分析算法

在比賽中采用高級語言進行編程的話,那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫庫函數(shù)進行調(diào)用。

十.圖像處理法

賽題中有一類問題與圖形有關(guān)，即使與圖形無關(guān)，論文中也應(yīng)該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理。

這十類算法對于數(shù)據(jù)處理有很大的幫助，甚至從其中可以發(fā)現(xiàn)在它們中的很多算法都是數(shù)學(xué)某些分支的延伸，可能我們不一定能掌握里面的所有算法，但是我們可以盡可能學(xué)習(xí)，相信這對我們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很大的幫助，然后，就是數(shù)學(xué)模型的類別。

常見的數(shù)學(xué)模型有離散動態(tài)模型、連續(xù)動態(tài)模型、庫存模型、線性回歸模型、線性規(guī)劃模型、綜合評價模型、傳染病模型等數(shù)學(xué)模型、常微分方程模型、常微分方程的數(shù)值穩(wěn)定性、人口模型、差分方程模型，這些模型都有針對性地從實際問題中抽象出來，得到這些模型的建立，我們在其中加入適當合理的簡化，但要保證能反映原型的特征，在數(shù)學(xué)模型中，我們能進行理性的分析，也能進行計算和演繹推導(dǎo)，我們最終都會通過實踐檢驗數(shù)學(xué)建模的正確性，加以完善和提升，在對現(xiàn)實對象進行建模時，人們常常對預(yù)測未來某個時刻變量的值感興趣，變量可能是人口、房地產(chǎn)的價值或者有一種傳染病的人數(shù)。數(shù)學(xué)模型常常能幫助人們更好的了解一種行為或者規(guī)劃未來，可以把數(shù)學(xué)模型看做一種研究特定的實際系統(tǒng)或者人們感興趣的行為而設(shè)計的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

例如人口增長模型：

中國是世界上人口最多的發(fā)展中國家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有資源相對不足，是我國的基本國情，人口問題一直是制約中國經(jīng)濟發(fā)展的首要因素。人口數(shù)量、質(zhì)量和年齡分布直接影響一個地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展、資源配置、社會保障、社會穩(wěn)定和城市活力。在我國現(xiàn)代化進程中，必須實現(xiàn)人口與經(jīng)濟、社會、資源、環(huán)境協(xié)調(diào)發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展，進一步控制人口數(shù)量，提高人口質(zhì)量，改善人口結(jié)構(gòu)。對此，單純的人口數(shù)量控制（如已實施多年的計劃生育）不能體現(xiàn)人口規(guī)劃的科學(xué)性。政府部門需要更詳細、更系統(tǒng)的人口分析技術(shù)，為人口發(fā)展策略的制定提供指導(dǎo)和依據(jù)。長期以來，對人口年齡結(jié)構(gòu)的研究僅限于粗線條的定性分析，只能預(yù)測年齡結(jié)構(gòu)分布的大致范圍，無法用于分析年齡結(jié)構(gòu)的具體形態(tài)。隨著對人口規(guī)劃精準度要求的提高，通過數(shù)學(xué)方法來定量計算各種人口指數(shù)的方法日益受到重視，這就是人口控制和預(yù)測。

人口增長模型是由生育、死亡、疾病、災(zāi)害、環(huán)境、社會、經(jīng)濟等諸多因素影響和制約的共同結(jié)果，如此眾多的因素不可能通過幾個指標就能表達清楚，他們對人口增長的潛在而復(fù)雜的影響更是無法精確計算。這反映出人口系統(tǒng)具有明顯的灰色性，適宜采用灰色模型去發(fā)掘和認識原始時間序列綜合灰色量所包含的內(nèi)在規(guī)律?；疑A(yù)測模型屬于全因素的非線性擬合外推類法，其特點是單數(shù)列預(yù)測，在形式上只用被預(yù)測對象的自身序列建立模型，根據(jù)其自身數(shù)列本身的特性進行建模、預(yù)測，與其相關(guān)的因素并沒有直接參與，而是將眾多直接的明顯的和間接的隱藏著的、已知的、未知的因素包含在其中，看成是灰色信息即灰色量，對灰色量進行預(yù)測，不必拼湊數(shù)據(jù)不準、關(guān)系不清、變化不明的參數(shù)，而是從自身的序列中尋找信息建立模型，發(fā)現(xiàn)和認識內(nèi)在規(guī)律進行預(yù)測。

基于以上思想我們建立了灰色預(yù)測模型：

灰色建模的思路是：從序列角度剖析微分方程，是了解其構(gòu)成的主要條件，然后對近似滿足這些條件的序列建立近似的微分方程模型。而對序列而言（一般指有限序列）只能獲得有限差異信息，因此，用序列建立微分方程模型，實質(zhì)上是用有限差異信息建立一個無限差異信息模型。

在灰色預(yù)測模型中，與起相關(guān)的因素并沒有直接參與，但如果考慮到直接影響人口增長的因素，例如出生率、死亡率、遷入遷出人口數(shù)等，根據(jù)具體的數(shù)據(jù)進行計算，則可以根據(jù)年齡移算理論，從某一時點的某年齡組人數(shù)推算一年或多年后年齡相應(yīng)增長一歲或增長多歲的人口數(shù)。在這個人口數(shù)的基礎(chǔ)上減去相應(yīng)年齡的死亡人數(shù)，就可以得到未來某年齡組的實際人口數(shù)。對于0 歲的新生人口，則需要通過生育率作重新計算。當社會經(jīng)濟條件變化不大時，各年齡組死亡率比較穩(wěn)定，相應(yīng)活到下一年齡組的比例即存活率也基本上穩(wěn)定不變。因而可以根據(jù)現(xiàn)有的分性別年齡組存活率推算未來各相應(yīng)年齡組的人數(shù)。

通過這樣的實例就能很細致地說明數(shù)學(xué)建模的方法應(yīng)用，數(shù)學(xué)模型方法是把實際問題加以抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數(shù)學(xué)方法。它是將研究的某種事物系統(tǒng)，采用數(shù)學(xué)形式化語言把該系統(tǒng)的特征和數(shù)量關(guān)系，抽象出一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的方法，這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就叫數(shù)學(xué)模型。一般地，一個實際問題系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是抽象的數(shù)學(xué)表達式，如代數(shù)方程、微分方程、差分方程、積分方程、邏輯關(guān)系式，甚至是一個計算機的程序等等。由這種表達式算得某些變量的變化規(guī)律，與實際問題系統(tǒng)中相應(yīng)特征的變化規(guī)律相符。一個實際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，就是對其中某些特征的變化規(guī)律作出最精煉的概括。

數(shù)學(xué)模型為人們解決現(xiàn)實問題提供了十分有效和足夠精確的工具，在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常用模型的思想來認識和改造世界，模型是針對原型而言的，是人們?yōu)榱艘欢ǖ哪康膶υ瓦M行的一個抽象。

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)在自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)與現(xiàn)代化管理等方面獲得越來越廣泛而深入的應(yīng)用，尤其是在經(jīng)濟發(fā)展方面，數(shù)學(xué)建模也有很重要的作用。數(shù)學(xué)模型這個詞匯越來越多地出現(xiàn)在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會活動中，從而使人們逐漸認識到建立數(shù)學(xué)模型的重要性。數(shù)學(xué)模型就是要用數(shù)學(xué)的語言、方法去近似地刻畫實際，是由數(shù)字、字母或其他數(shù)學(xué)符號組成的，描述現(xiàn)實對象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或算法。也可以這樣描述：對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，做出必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模的作用在21實際毋庸置疑，我們通過不斷學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建可以掌握解決實際問題的強大武器。

參考文獻：數(shù)學(xué)建模方法與案例，張萬龍，等編著，國防工業(yè)出版社（2014）.數(shù)學(xué)模型建模分析，蔡常豐編著，科學(xué)出版社，(1995)．

數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)，王樹禾編著，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，(1996).