第一篇：高考卷,94屆,普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考數(shù)學(xué)試題及答案（文）

1994年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)(文史類)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷(選擇題共65分)一、選擇題(本大題共15小題；

第1—10題每小題4分，第11—15題每小題5分，共65分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)(1)設(shè)全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，則=()(A){0}(B){0，1}(C){0，1，4}(D){0，1，2，3，4}(2)如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是()(A)(0，+∞)(B)(0，2)(C)(1，+∞)(D)(0，1)(3)點(diǎn)(0，5)到直線y=2x的距離是()(A)(B)(C)(D)(4)設(shè)θ是第二象限的角，則必有()(A)(B)(C)(D)(5)某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次(一個(gè)分裂為兩個(gè)).經(jīng)過3個(gè)小時(shí)，這種細(xì)菌由1個(gè)可繁殖成()(A)511個(gè)(B)512個(gè)(C)1023個(gè)(D)1024個(gè)(6)在下列函數(shù)中，以為周期的函數(shù)是()(A)y=sin2x+cos4x(B)y=sin2xcos4x(C)y=sin2x+cos2x(D)y=sin2xcos2x(7)已知正六棱臺(tái)的上，下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，高為2，則其體積為()(A)32(B)28(C)24(D)20(8)設(shè)F1和F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=90o，則△F1PF2的面積是()(A)1(B)(C)2(D)(9)如果復(fù)數(shù)Z滿足|Z+i|+|Z－i|=2，那么|Z+i+1|最小值是()(A)1(B)(C)2(D)(10)有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有()(A)1260種(B)2025種(C)2520種(D)5040種(11)對(duì)于直線m、n和平面α、β，α⊥β的一個(gè)充分條件是()(A)m⊥n，m∥α，n∥β(B)m⊥n，α∩β=m，nα(C)m∥n，n⊥β，mα(D)m∥n，m⊥α，n⊥β(12)設(shè)函數(shù)f(x)=1－(－1≤x≤0)，則函數(shù)y= f－1(x)的圖像是()(13)已知過球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是()(A)(B)(C)4π(D)(14)如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖像關(guān)于直線=－對(duì)稱，那么a=()(A)(B)(C)1(D)－1(15)定義在(－∞，+∞)上的任意函數(shù)f(x)都可表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)和一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和.如果f(x)=lg(10x+1)，x∈(－∞，+∞)，那么()(A)g(x)=x，h(x)=lg(10x +10x +2)(B)g(x)=[lg(10x +1)+x] h(x)=[lg(10x +1)－x](C)g(x)=，h(x)=lg(10x +1)－(D)g(x)=－，h(x)=lg(10x +1)+ 第Ⅱ卷(非選擇題共85分)二、填空題(本大題共5小題，共6個(gè)空格：每空格4分，共24分.把答案填在題中橫線上)(16)在(3－x)7的展開式中，x5的系數(shù)是______________(用數(shù)字作答)(17)拋物線y2=8－4x的準(zhǔn)線方程是___________，圓心在該拋物線的頂點(diǎn)且與其準(zhǔn)線相切的圓的方程是__________(18)已知sinθ+cosθ=，θ∈(0，π)，則ctgθ的值是________________(19)設(shè)圓錐底面圓周上兩點(diǎn)A、B間的距離為2，圓錐項(xiàng)點(diǎn)到直線AB的距離為，AB和圓錐的軸的距離為1，則該圓錐的體積為____________(20)在測(cè)量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測(cè)量分別得到a1，a2，…，an，共n個(gè)數(shù)據(jù).我們規(guī)定所測(cè)量的“量佳近似值”a是這樣一個(gè)量：與其他近似值比較，a與各數(shù)據(jù)的差的平方和最小.依此規(guī)定，從a1，a2，…，an推出的a=__________ 三、解答題(本大題共5小題，共61分；

解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟)(21)(本小題滿分11分)求函數(shù)的最小值.(22)(本小題滿分12分)以知函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1，x∈R+)，若x1，x2∈R+，判斷與的大小，并加以證明.(23)(本小題滿分12分)如圖，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn).(1)證明AB1∥平面DBC1；

(2)假設(shè)AB1⊥BC1，BC=2，求線段AB1在側(cè)面B1BCC1上的射影長(zhǎng).(24)(本小題滿分12分)已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2，0)和圓C：x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)λ(λ>0).求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線.(25)（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)于所有的自然數(shù)n，都有，證明{an}是等差數(shù)列.1994年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試題(文史類)參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題(本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算)1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C 11．C 12．B 13．D 14．D 15．C 二、填空題(本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每空格4分，共24分)16．－189 17．x=3，(x－2)2+y2=1 18． 19． 20． 三、解答題 21．本小題考查利用有關(guān)三角公式并借助輔助角求三角函數(shù)最小值的方法及運(yùn)算能力，滿分11分.解：因?yàn)?sin3xsin3x+cos3xcos3x =(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x =[(cos2x－cos4x)sin2x+(cos2x+cos4x)cos2x] ——4分 =[(sin2x+cos2x)cos2x+(cos2x－sin2x)cos4x] =(cos2x+cos2xcos4x)——6分 =cos2x(1+cos4x)=cos32x ——8分 所以 =cos2x+sin2x =sin(2x+).當(dāng)sin(2x+)=－1時(shí)，y取最小值－.——11分 22．本小題考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、平均值不等式等知識(shí)及推理論證的能力.滿分12分.解：f(x1)+(x2)=logax1+ logax2=loga(x1x2)∵ x1，x2∈R+，∴ x1x2≤(當(dāng)且僅當(dāng)x1= x2時(shí)取“=”號(hào)).——2分 當(dāng)a>1時(shí)，有l(wèi)oga(x1x2)≤loga ——5分 ∴ loga(x1x2)≤loga，(logax1+ logax2)≤loga，即[f(x1)+f(x2)] ≤f(當(dāng)且僅當(dāng)x1= x2時(shí)取“=”號(hào))——7分 當(dāng)0

——9分 ∠FB1B=∠C1BC，∴ △B1BF∽△BCC1.∴ 又F為正三角形ABC的BC邊中點(diǎn)，因而B1B2=BF·BC=1×2=2，于是B1F 2= B1B2+ BF 2=3，∴ B1F=.即線段在平面內(nèi)射影長(zhǎng)為 ——12分 24．本小題考查曲線與方程的關(guān)系，軌跡的概念等解析幾何的基本思想以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.滿分12分.解：如圖，設(shè)MN切圓于N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是 P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常數(shù)λ>0.——2分 因?yàn)閳A的半徑|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1.——4分 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則 ——5分 整理得(λ2－1)(x2+y2)－4λ2x+(1+4λ2)=0.經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個(gè)方程的點(diǎn)都屬于集合P.故這個(gè)方程為所求的軌跡方程.——8分 當(dāng)λ=1時(shí)，方程化為x=，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點(diǎn)(，0)，當(dāng)λ≠1時(shí)，方程化為(x－)2+y2=它表示圓，該圓圓心的坐標(biāo)為(，0)，半徑為 ——12分 25．本小題考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)學(xué)歸納法及推理論證能力.滿分14分.證法一：令d=a2－a1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an=a1+(n－1)d(n∈N).(1)當(dāng)n=1時(shí)上述等式為恒等式a1= a1.當(dāng)n=2時(shí)，a1+(2－1)d= a1+(a2－a1)= a2，等式成立.——5分(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)命題成立，ak=a1+(k－1)d.由題設(shè)，有 Sk=，Sk+1=，又Sk+1= Sk +ak+1 ∴(k+1)——9分 把a(bǔ)k = a1+(k－1)d代入上式，得(k+1)(a1+ ak+1)=2ka1+k(k－1)d+2ak+1.整理得(k－1)ak+1=(k－1)a1+k(k－1)d.∵ k≥2，∴ ak+1= a1+kd.即當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立.由(1)和(2)，等式對(duì)所有的自然數(shù)n成立，從而{an}是等差數(shù)列 ——14分 證法二：當(dāng)n≥2時(shí)，由題設(shè)，.所以an= Sn－Sn－1= － ——6分 同理有 an+1= －.——8分 從而 an+1－an=－n(a1+an)+，——12分 整理得 an+1－an= an－an－1=…= a2－a1 從而{an}是等差數(shù)列.——14分

第二篇：高考卷 普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)試題（文史類）

絕密★啟用前

2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學(xué)試題（文史類）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）

1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，則=（）

A.{1}

B.{3，5}

C.{1，2，4，6}

D.{1，2，3，4，5}

【答案】C

考點(diǎn)：補(bǔ)集的運(yùn)算.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】解本題時(shí)要看清楚是求“”還是求“”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤；一定要注意集合中元素的互異性，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤．

2.已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則（）

A.m∥l

B.m∥n

C.n⊥l

D.m⊥n

【答案】C

【解析】

試題分析：由題意知，．故選C．

考點(diǎn)：線面位置關(guān)系.【思路點(diǎn)睛】解決這類空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問題，一般是借助長(zhǎng)方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系．

3.函數(shù)y=sinx2的圖象是（）

【答案】D

【解析】

試題分析：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除A、C選項(xiàng)；當(dāng)，即時(shí)，排除B選項(xiàng)，故選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖象.【方法點(diǎn)睛】給定函數(shù)的解析式識(shí)別圖象，一般從五個(gè)方面排除、篩選錯(cuò)誤或正確的選項(xiàng)：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）從函數(shù)的周期性，判斷函數(shù)的循環(huán)往復(fù)；（5）從特殊點(diǎn)出發(fā)，排除不符合要求的選項(xiàng).4.若平面區(qū)域

夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最

小值是（）

A.B.C.D.【答案】B

考點(diǎn)：線性規(guī)劃.【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)不等式組畫出可行域，再根據(jù)可行域的特點(diǎn)確定取得最值的最優(yōu)解，代入計(jì)算．畫不等式組所表示的平面區(qū)域時(shí)要注意通過特殊點(diǎn)驗(yàn)證，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤．

5.已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若，則（）

A.B.C.D.【答案】D

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在解不等式時(shí)，一定要注意對(duì)分為和兩種情況進(jìn)行討論，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．

6.已知函數(shù)f（x）=x2+bx，則“b<0”是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

試題分析：由題意知，最小值為.令，則，當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以“”能推出“的最小值與的最小值相等”；

當(dāng)時(shí)，的最小值為0，的最小值也為0，所以“的最小值與的最小值相等”不能推出“”．故選A．

考點(diǎn)：充分必要條件.【方法點(diǎn)睛】解題時(shí)一定要注意時(shí)，是的充分條件，是的必要條件，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．充分、必要條件的判斷即判斷命題的真假，在解題中可以根據(jù)原命題與其逆否命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．

7.已知函數(shù)滿足：且.（）

A.若，則

B.若，則

C.若，則

D.若，則

【答案】B

考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性.【思路點(diǎn)睛】先由已知條件可得的解析式，再由的解析式判斷的奇偶性，進(jìn)而對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行排除．

8.如圖，點(diǎn)列分別在某銳角的兩邊上，且，.(P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合)若，為的面積，則（）

A.是等差數(shù)列

B.是等差數(shù)列

C.是等差數(shù)列

D.是等差數(shù)列

【答案】A

【解析】

考點(diǎn)：新定義題、三角形面積公式.【思路點(diǎn)睛】先求出的高，再求出和的面積和，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的定義可得為定值，即可得是等差數(shù)列．

二、填空題（本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．）

9.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是______cm2,體積是______cm3.【答案】80；40．

【解析】

試題分析：由三視圖知該組合體是一個(gè)長(zhǎng)方體上面放置了一個(gè)小正方體，．

考點(diǎn)：三視圖.【方法點(diǎn)睛】解決由三視圖求空間幾何體的表面積與體積問題，一般是先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再準(zhǔn)確利用幾何體的表面積與體積公式計(jì)算該幾何體的表面積與體積．

10.已知，方程表示圓，則圓心坐標(biāo)是_____，半徑是

______.【答案】；5．

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】由方程表示圓可得的方程，解得的值，一定要注意檢驗(yàn)的值是否符合題意，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．

11.已知，則______，______．

【答案】；1．

【解析】

試題分析：，所以

考點(diǎn)：三角恒等變換.【思路點(diǎn)睛】解答本題時(shí)先用降冪公式化簡(jiǎn)，再用輔助角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而對(duì)照可得和．

12．設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，x∈R，則實(shí)數(shù)a=_____，b=______．

【答案】－2；1．]

【解析】

試題分析：，所以，解得．

考點(diǎn)：函數(shù)解析式.【思路點(diǎn)睛】先計(jì)算，再將展開，進(jìn)而對(duì)照系數(shù)可得含有，的方程組，解方程組可得和的值．

13．設(shè)雙曲線x2–=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．若點(diǎn)P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|+|PF2|的取值范圍是_______．

【答案】．

考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì).【思路點(diǎn)睛】先由對(duì)稱性可設(shè)點(diǎn)在右支上，進(jìn)而可得和，再由為銳角三角形可得，進(jìn)而可得的不等式，解不等式可得的取值范圍．

14．如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直線AC將△ACD翻折

成△，直線AC與所成角的余弦的最大值是______．

【答案】

【解析】

試題分析：設(shè)直線與所成角為．

設(shè)是中點(diǎn)，由已知得，如圖，以為軸，為軸，過與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，，作于，翻折過程中，始終與垂直，則，因此可設(shè)，則，與平行的單位向量為，所以＝，所以時(shí)，取最大值．

考點(diǎn)：異面直線所成角.【思路點(diǎn)睛】先建立空間直角坐標(biāo)系，再計(jì)算與平行的單位向量和，進(jìn)而可得直線與所成角的余弦值，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得直線與所成角的余弦值的最大值．

15．已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e為平面單位向量，則|a·e|+|b·e|的最大

值是______．

【答案】

【解析】

試題分析：由已知得，不妨取，設(shè)，則，取等號(hào)時(shí)與同號(hào)．

所以，（其中，取為銳角）．

顯然

易知當(dāng)時(shí)，取最大值1，此時(shí)為銳角，同為正，因此上述不等式中等號(hào)能同時(shí)取到．故所求最大值為．

考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積和模.【思路點(diǎn)睛】先設(shè)，和的坐標(biāo)，再將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，進(jìn)而用輔助角公式將三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后用三角函數(shù)的性質(zhì)可得三角函數(shù)的最大值，進(jìn)而可得的最大值．

三、解答題（本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）

16．（本題滿分14分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知b+c=2acos

B．

（Ⅰ）證明：A=2B；

（Ⅱ）若cos

B=，求cos

C的值．

【答案】（I）證明見解析；（II）.因此，（舍去）或，所以，.（II）由，得，故，.考點(diǎn)：三角函數(shù)及其變換、正弦和余弦定理.【思路點(diǎn)睛】（I）用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，的式子，根據(jù)角的范圍可證；（II）先用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式可得，進(jìn)而可得和，再用兩角和的余弦公式可得．

17.（本題滿分15分）設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為.已知=4，=2+1，.（I）求通項(xiàng)公式；

（II）求數(shù)列{}的前項(xiàng)和.【答案】（I）；（II）.考點(diǎn)：等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí).【方法點(diǎn)睛】數(shù)列求和的常用方法：（1）錯(cuò)位相減法：形如數(shù)列的求和，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列；（2）裂項(xiàng)法：形如數(shù)列或的求和，其中，是關(guān)于的一次函數(shù)；（3）分組法：數(shù)列的通項(xiàng)公式可分解為幾個(gè)容易求和的部分．

18.（本題滿分15分）如圖，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I）求證：BF⊥平面ACFD；

（II）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.【答案】（I）證明見解析；（II）.【解析】

試題分析：（I）先證，再證，進(jìn)而可證平面；（II）先找直線與平面所成的角，再在中計(jì)算，即可得線與平面所成的角的余弦值．

試題解析：（I）延長(zhǎng)相交于一點(diǎn)，如圖所示，因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所?/p>

考點(diǎn)：空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系、線面角.【方法點(diǎn)睛】解題時(shí)一定要注意直線與平面所成的角的范圍，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對(duì)角線．

19.（本題滿分15分）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距

離等于|AF|-1.（I）求p的值；

（II）若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N，AN與x[軸交于點(diǎn)M.求M的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（I）；（II）.設(shè)M(m,0),由A,M,N三點(diǎn)共線得：，于是，經(jīng)檢驗(yàn)，m<0或m>2滿足題意.綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是.考點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系.【思路點(diǎn)睛】（I）當(dāng)題目中出現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般會(huì)想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．解答本題時(shí)轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而可得點(diǎn)到軸的距離；（II）通過聯(lián)立方程組可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用，三點(diǎn)共線可得用含有的式子表示，進(jìn)而可得的橫坐標(biāo)的取值范圍.20.（本題滿分15分）設(shè)函數(shù)=，.證明：

（I）；

（II）.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.由(Ⅰ)得，又因?yàn)?，所以，綜上，考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù).【思路點(diǎn)睛】（I）先用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算，再用放縮法可得，進(jìn)而可證；（II）由（I）的結(jié)論及放縮法可證．

第三篇：78版 普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題及答案

1978年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

（理科考生五，六兩題選做一題文科考生五，六兩題選做一題，不要求做第七題）

一．（下列各題每題4分，五個(gè)題共20分）

1．分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)

2.已知正方形的邊長(zhǎng)為，求側(cè)面積等于這個(gè)正方形的面積，高等于這個(gè)正方形邊長(zhǎng)的直圓柱體的體積

解：設(shè)底面半徑為r，則底面周長(zhǎng)2πr=

則

3．求函數(shù)的定義域

解：

∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1為其定義域

4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值

解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=

5.化簡(jiǎn)：

二

.（本題滿分14分）

已知方程kx2+y2=4，其中k為實(shí)數(shù)對(duì)于不同范圍的k值，分別指出方程所代表圖形的內(nèi)形，并畫出顯示其數(shù)量特征的草圖

解：1）k>0時(shí)，方程的圖形是橢圓，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)又可分為：①k>1時(shí),長(zhǎng)軸在y軸上，半長(zhǎng)軸=2，半短軸=;

②k=1時(shí),為半徑r=2的圓;

③k<1時(shí),長(zhǎng)軸在x軸上，半長(zhǎng)軸=，半短軸=2

Y

Y

Y

k=2

A

k=1

(0,2)

k=1/4

O

A

X

O

B

X

O

X

如圖：

2)k=0時(shí)，方程為y2=4圖形是兩條平行于x軸的直線

如圖

3）k<0時(shí)，方程為

Y

Y

y=2

k=-4

A

O

O

X

B

X

y=-2

這時(shí)圖形是雙曲線，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，實(shí)軸在y軸上如圖：

三．（本題滿分14分）

（如圖）AB是半圓的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，直線MN切半圓于C點(diǎn)，AM⊥MN于M點(diǎn)，BN⊥MN于N點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，求證：1)CD=CM=CN.2)CD2=AM·BN

M

C

N

A

B

D

1)證：連CA，CB，則∠ACB=900∠ACM=∠ABC

∠ACD=∠ABC

∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC

∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN

2）∵CD⊥AB，∠ACD=900

∴

CD2=AD·DB

由1）知AM=AD，BN=BD

∴CD2=AM·BN

四．（本題滿分12分）

五．（本題滿分20分）

已知△ABC的三內(nèi)角的大小成等差數(shù)列，tgAtgC=求角A，B，C的大小又已知頂點(diǎn)C的對(duì)邊c上的高等于求三角形各邊,b,c的長(zhǎng)（提示：必要時(shí)可驗(yàn)證）

六．（本題滿分20分）

七．（本題滿分20分，文科考生不要求作此題）

已知函數(shù)y=x2+(2m+1)x+m2-1(m為實(shí)數(shù)）

1）m是什么數(shù)值時(shí)，y的極值是0？

2）求證：不論m是什么數(shù)值，函數(shù)圖象（即拋物線）的頂點(diǎn)都在同一條直線L1上畫出m=-1、0、1時(shí)拋物線的草圖，來檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)論

3）平行于L1的直線中，哪些與拋物線相交，哪些不相交？求證：任一條平行于L1而與拋物線相交的直線，被各拋物線截出的線段都相等

解：用配方法得：

3.設(shè)L：x-y=為任一條平行于L1的直線

與拋物線y=x2+(2m+1)x+m2-1方程聯(lián)立求解，消去y，得

x2+2mx+m2-1+=0∴（x+m)2=1-

因而當(dāng)1-≥0即≤1時(shí)，直線L與拋物線相交，而＞1時(shí)，直線L與拋物線不相交

而這與m無關(guān)

因此直線L被各拋物線截出的線段都相等

一九七八年副題

1．（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3

解：原式=(x-y-1)(x-y+3)

(2)求

解：原式=3/4

（4）已知直圓錐體的底面半徑等于1cm，母線的長(zhǎng)等于2cm，求它的體積

解：

解：原式=30

2．已知兩數(shù)x1,x2滿足下列條件：

1）它們的和是等差數(shù)列1，3，…的第20項(xiàng);

2）它們的積是等比數(shù)列2，-6，…的前4項(xiàng)和

求根為的方程

略解：x1

+x2=39，x1x2=-40故：1/x1+1/x2=-39/40

1/x1·1/x2=-1/40

所求方程為：40x2+39x-1=0.3.已知：△ABC的外接圓的切線AD交BC的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，求證：

A

B

E

C

D

證：因?yàn)锳D是△ABC的外接圓的切線，所以

∠B=∠1∴△ABD∽△CAD

作AE⊥BD于點(diǎn)E，則

A

M

N

α

B

E

F

D

4．（如圖）CD是BC的延長(zhǎng)線，AB=BC=CA=CD=，DM與AB，AC分別交于M點(diǎn)和N點(diǎn)，且∠BDM=α

求證：

證：作ME⊥DC于E，由△ABC是等邊三角形，在直角△MBE中，類似地，過N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可證：

5．設(shè)有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0）求證：

1）如果f(x)的系數(shù)滿足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一個(gè)二次三項(xiàng)式的平方

2）如果f(x)與F(x)=(2x2+x+b)2表示同一個(gè)多項(xiàng)式，那么

p2-4q-4(m+1)=0

6．已知：sinx+bcosx

=0.………………………………①

Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②

其中,b不同時(shí)為0

求證：2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0

則①可寫成cosysinx-sinycosx=0,∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ(k為整數(shù))，∴x=y+kπ

又sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy=

cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=

代入②，得

7．已知L為過點(diǎn)P而傾斜角為300的直線，圓C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)而半徑等于1的圓，Q表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)而焦點(diǎn)在的拋物線設(shè)A為L(zhǎng)和C在第三象限的交點(diǎn)，B為C和Q在第四象限的交點(diǎn)

1）寫出直線L、圓C和拋物線Q的方程，并作草圖

2）寫出線段PA、圓弧AB和拋物線上OB一段的函數(shù)表達(dá)式

3）設(shè)P＇、B＇依次為從P、B到x軸的垂足求由圓弧AB和直線段BB＇、B＇P＇、P＇P、PA所包含的面積

Y

O

X

B

Q

L

P

A

C

解：1）直線L、圓C和拋物線Q的方程為

2)由

Y

P＇

B＇

O

X

B

A

C

Q

L

P

第四篇：普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案 83屆

1983年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

（這份試題共九道大題，滿分120分）

一．（本題滿分10分）本題共有5小題，每小題都給出代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)每一個(gè)小題：選對(duì)的得2分;不選，選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過一個(gè)的（不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi)），一律得0分

1．兩條異面直線，指的是

（D）

（A）在空間內(nèi)不相交的兩條直線

（B）分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線

（C）某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線

（D）不在同一平面內(nèi)的兩條直線

2．方程x2-y2=0表示的圖形是

（A）

（A）兩條相交直線

（B）兩條平行直線

（C）兩條重合直線

（D）一個(gè)點(diǎn)

3．三個(gè)數(shù)a,b,c不全為零的充要條件是

（D）

（A）a,b,c都不是零

（B）a,b,c中最多有一個(gè)是零

（C）a,b,c中只有一個(gè)是零（D）a,b,c中至少有一個(gè)不是零

4．設(shè)則的值是

（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

5．這三個(gè)數(shù)之間的大小順序是

（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

二．（本題滿分12分）

1．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別畫出兩個(gè)方程的圖形，并寫出它們交點(diǎn)的坐標(biāo)

2．在極坐標(biāo)系內(nèi)，方程表示什么曲線？畫出它的圖形

解：

Y

O

X

P

1.圖形如左圖所示

交點(diǎn)坐標(biāo)是：O（0，0），P（1，-1）

O

X

(,0)

2．曲線名稱是：圓

圖形如右所示

三．（本題滿分12分）

1．已知，求微分

2．一個(gè)小組共有10名同學(xué)，其中4名是女同學(xué)，6名是男同學(xué)要從小組內(nèi)選出3名代表，其中至少有1名女同學(xué)，求一共有多少種選法

解：1.2．

或：

四．（本題滿分12分）

計(jì)算行列式（要求結(jié)果最簡(jiǎn)）：

解：把第一列乘以加到第2列上，再把第三列乘以加到第2列上，得

五．（本題滿分15分）

1．證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，復(fù)數(shù)的模

適合2．當(dāng)實(shí)數(shù)t取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)的幅角主值適合？

1．證：復(fù)數(shù)（其中t

是實(shí)數(shù)）的模為

要證對(duì)任意實(shí)數(shù)t，有，只要證對(duì)任意實(shí)數(shù)t，成立

對(duì)任意實(shí)數(shù)t，因?yàn)?，所以可?/p>

且，于是

2．因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都是非負(fù)數(shù)，所以z的幅角主值一定適合從而

顯然因?yàn)?/p>

由于

這就是所求的實(shí)數(shù)t的取值范圍

六．（本題滿分15分）

如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)，使截面MAB與底面所成的角等

S

M

P

C

A

N

D

B

于∠NSC，求證SC垂直于截面MAB

證：因?yàn)镾N是底面的垂線，NC是斜線SC在底面上的射影，AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂線定理）

連結(jié)DM因?yàn)锳B⊥DC，AB⊥SC，所以AB垂直于DC和SC所決定的平面又因DM在這個(gè)平面內(nèi)，所以AB⊥DM

∴∠MDC是截面與底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC

在△MDC和△NSC中，因?yàn)椤螹DC=∠NSC，∠DCS是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900從而DM⊥SC從AB⊥SC，DM⊥SC，可知SC⊥截面MAB

七．（本題滿分16分）

如圖，已知橢圓長(zhǎng)軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，過橢圓焦點(diǎn)F1作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M，N設(shè)∠F2F1M=α（0≤α＜π）當(dāng)α取什么值時(shí)，|MN|等于橢圓短軸的長(zhǎng)？

Y

M

α

A1

F1

O

F2

A

X

N

解一：以橢圓焦點(diǎn)F1為極點(diǎn)，以F1為起點(diǎn)并過F2的射線為極軸建立極坐標(biāo)系

由已知條件可知橢圓長(zhǎng)半軸a=3，半焦距c=，短半軸b=1，離心率e=，中心到準(zhǔn)線距離=,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p=.橢圓的極坐標(biāo)方程為

解得

以上解方程過程中的每一步都是可逆的，所以當(dāng)或時(shí)，|MN|等于短軸的長(zhǎng)

解二：以橢圓的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)1F2所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）由已知條件知，橢圓的方程為

MN所在直線方程為

解方程組

消去y得.下同解法一

解三：建立坐標(biāo)系得橢圓如解二，MN所在直線的參數(shù)方程為

代入橢圓方程得

設(shè)t1,t2是方程兩根，則由韋達(dá)定理，下同解一

解四：設(shè)|F1M|=x,則|F2M|=6-x|F1F2|=，∠F2F1M=α

在△MF1F2中由余弦定理得

同理，設(shè)|F1N|=y，則|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得

下同解一

八．（本題滿分16分）

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=b(b≠0），它的前n項(xiàng)的和Sn=a1+a2+…+an

(n≥1),并且S1，S2，Sn，…是一個(gè)等比數(shù)列，其公比為p（p≠0且|p|＜1）

1．證明：a2,a3,a3,…an,…(即{an}從第二項(xiàng)起）是一個(gè)等比數(shù)列

2．設(shè)Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求（用b,p表示）

1．證：由已知條件得S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1）

因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以

an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)從而

因此a2,a3,a3,…an,…是一個(gè)公比為p的等比數(shù)列

2．解：當(dāng)n≥2時(shí)，且由已知條件可知p2<1，因此數(shù)列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比為p2<1的無窮等比數(shù)列于是

從而

九．（本題滿分12分）

1．已知a,b為實(shí)數(shù)，并且eba.2.如果正實(shí)數(shù)a,b滿足ab=ba.且a<1，證明a=b

1．證：當(dāng)eba，只要證blna>alnb,即只要證

考慮函數(shù)因?yàn)榈珪r(shí)，所以函數(shù)內(nèi)是減函數(shù)

因?yàn)閑ba

2．證一：由ab=ba，得blna=alnb，從而

考慮函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)是

因?yàn)樵冢?，1）內(nèi)，所以f(x)在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)

由于00,所以ab<1,從而ba=ab<1.由ba<1及a>0,可推出b<1.由0

所以a=b

證二：因?yàn)?

假如a

矛盾

所以a不能小于b

假如a>b，則，而，這也與矛盾

所以a不能大于b因此a=b

證三：假如a0由于00,根據(jù)冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得和，所以

即ab

假如b0,同上可證得ab

因此a=b

第五篇：普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案 82屆

1982年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（理科）

一．（本題滿分6分）

填表：

函

數(shù)

使函數(shù)有意義的x的實(shí)數(shù)范圍

{0}

R

R

[-1,1]

(0,+∞）

R

解：見上表

二．（本題滿分9分）

1．求（-1+i)20展開式中第15項(xiàng)的數(shù)值;

2．求的導(dǎo)數(shù)

解：1.第15項(xiàng)T15=

2.三．（本題滿分9分）

Y

X

O

Y

O

X

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，下列方程表示什么曲線？畫出它們的圖形

1．2．

解：1.得2x-3y-6=0圖形是直線

2.化為圖形是橢圓

四．（本題滿分12分）

已知圓錐體的底面半徑為R，高為H

求內(nèi)接于這個(gè)圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn)（如圖）

A

D

c

H

h

B

E

O

2R

解：設(shè)圓柱體半徑為r高為h

由△ACD∽△AOB得

由此得

圓柱體體積

由題意，H＞h＞0，利用均值不等式，有

（注：原“解一”對(duì)h求導(dǎo)由駐點(diǎn)解得）

五．（本題滿分15分）

（要寫出比較過程）

解一：當(dāng)>1時(shí)，解二：

六．（本題滿分16分）

A

M

P（ρ，θ）

X

O

N

B

如圖：已知銳角∠AOB=2α內(nèi)有動(dòng)點(diǎn)P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四邊形PMON的面積等于常數(shù)c2今以O(shè)為極點(diǎn)，∠AOB的角平分線OX為極軸，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程，并說明它表示什么曲線

解：設(shè)P的極點(diǎn)坐標(biāo)為（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),四邊形PMON的面積

這個(gè)方程表示雙曲線由題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線右面一支在∠AOB內(nèi)的一部分

七．（本題滿分16分）

已知空間四邊形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)（如圖）求證MNPQ是一個(gè)矩形

B

M

R

A

N

Q

D

K

S

P

C

證：連結(jié)AC，在△ABC中，∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC

在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，∴QP∥AC∴MN∥QP

同理，連結(jié)BD可證MQ∥NP

∴MNPQ是平行四邊形

取AC的中點(diǎn)K，連BK，DK

∵AB=BC，∴BK⊥AC，∵AD=DC，∴DK⊥AC因此平面BKD與AC垂直

∵BD在平面BKD內(nèi)，∴BD⊥AC∵M(jìn)Q∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP為直角故MNPQ是矩形

八．（本題滿分18分）

Y

x2=2qy

y2=2px

A1

O

A2

A3

X

拋物線y2=2px的內(nèi)接三角形有兩邊與拋物線x2=2qy相切，證明這個(gè)三角形的第三邊也與x2=2qy相切

解：不失一般性，設(shè)p>0,q>0.又設(shè)y2=2px的內(nèi)接三角形頂點(diǎn)為

A1（x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)

因此y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3

其中y1≠y2,y2≠y3,y3≠y1

.依題意，設(shè)A1A2，A2A3與拋物線x2=2qy相切，要證A3A1也與拋物線x2=2qy相切

因?yàn)閤2=2qy在原點(diǎn)O處的切線是y2=2px的對(duì)稱軸，所以原點(diǎn)O不能是所設(shè)內(nèi)接三角形的頂點(diǎn)即（x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，都不能是（0，0）;又因A1A2與x2=2qy相切，所以A1A2不能與Y軸平行，即x1≠x2,y1≠-y2,直線A1A2的方程是

同理由于A2A3與拋物線x2=2qy相切，A2A3也不能與Y軸平行，即

x2≠x3,y2≠-y3,同樣得到

由（1）（2）兩方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.由上式及y2≠0,得y3≠-y1，也就是A3A1也不能與Y軸平行今將y2=-y1-y3代入（1）式得：

(3)式說明A3A1與拋物線x2=2qy的兩個(gè)交點(diǎn)重合，即A3A1與拋物線x2=2qy相切所以只要A1A2，A2A3與拋物線x2=2qy相切，則A3A1也與拋物線x2=2qy相切

九．（附加題，本題滿分20分，計(jì)入總分）

已知數(shù)列和數(shù)列其中

1．用p,q,r,n表示bn，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明;

2．求

解：1.∵1=p,n=pn-1,∴n=pn.又b1=q,b2=q1+rb1=q(p+r),b3=q2+rb2=q(p2+pq+r2),…

設(shè)想

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)n=2時(shí)，等式成立;

設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即

則bk+1=qk+rbk=

即n=k+1時(shí)等式也成立

所以對(duì)于一切自然數(shù)n≥2，都成立