第一篇：大學(xué)高數(shù)下冊試題及答案,第7章

第七章 多元函數(shù)微分學(xué) 作業(yè)1 多元函數(shù) 1．填空題（1）已知函數(shù)，則；

（2）的定義域是；

（3）的定義域是 ；

（4）函數(shù)的連續(xù)范圍是 全平面 ；

（5）函數(shù)在處間斷.2．求下列極限（1）；

解：

（2）.解：

由于，故 3．討論極限是否存在.解：沿著曲線,有因而異，從而極限不存在 4．證明在點分別對于每個自變量或 都連續(xù)，但作為二元函數(shù)在點卻不連續(xù).解：由于 從而可知在點分別對于每個自變量或 都連續(xù)，但沿著曲線,有因而異，從而極限不存在，故作為二元函數(shù)在點卻不連續(xù).作業(yè)2 偏導(dǎo)數(shù) 1．填空題（1）設(shè)，則；

（2）（3）設(shè)，則；

（3）設(shè)，則 0 ；

（4）曲線在點處的切線與軸正向的傾角是.2．設(shè)，證明.證:因為 所以 3.設(shè)，求，.解：，從而 4．設(shè)，證明.解：因為 所以 5．設(shè)函數(shù).（1）試求的偏導(dǎo)函數(shù)；

解：當(dāng)，當(dāng)，（2）考察偏導(dǎo)函數(shù)在點處是否連續(xù).，故在點處連續(xù)，不存在，從而在點處不連續(xù) 作業(yè)3 全微分及其應(yīng)用 1．填空題（1）在點處偏導(dǎo)數(shù)存在是在該點可微的 必要 條件；

（2）函數(shù)在點處，當(dāng)時有全增量，全微分；

（3）設(shè)在點處的全增量為，全微分為，則在點處的全增量與全微分的關(guān)系式是；

（4）在點處的；

（5）,則；

（6）,則；

（7）,則.2．證明：在點處連續(xù)，與存在，但在 處不可微.證：由于從而但是 不存在，從而在處不可微.3．設(shè)函數(shù) 試證：（1）函數(shù)在點處是可微的；

證：因為 又 所以函數(shù)在點處是可微的（2）函數(shù)在點處不連續(xù).證：當(dāng) 不存在，故在點處不連續(xù) 作業(yè)4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 1．填空題（1）設(shè)，則 ；

（2）設(shè)，則 ；

（3）設(shè)，則；

（4）設(shè)，則.2．求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求和；

解：

（2）設(shè)，其中均可微，求和.解：因為 從而 所以 3．驗證下列各式（1）設(shè)，其中可微，則；

證：因為 所以（2）設(shè)，其中可微，則.證：因為 所以 4．設(shè)其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.解：因為 所以 4．設(shè)其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證：.證：因為 從而左邊 作業(yè)5 隱函數(shù)求導(dǎo)法 1．填空題（1）已知，則；

（2）已知，則；

（3）已知，則；

（4）已知，則；

（5）已知，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則.2．設(shè)其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求． 解：

3．求由方程組所確定的及的導(dǎo)數(shù)及.解：由已知 4．設(shè)函數(shù)，又方程確定是的函數(shù)，其中與均可微；

連續(xù)，且.試證：.證：因為，5．設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而滿足方程，求.解：因為 特征方程為 作業(yè)6 方向?qū)?shù)與梯度 1．填空題（1）在梯度向量的方向上，函數(shù)的變化率 最大 ；

（2）函數(shù)在給定點的方向?qū)?shù)的最大值就是梯度的 模 ；

（3）函數(shù)在點的梯度為；

（4）函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù)是，且函數(shù)在該點的梯度是；

（5）函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù)是；

（6）函數(shù)在點處沿指向點方向的方向?qū)?shù)是.2．求在點及點處的梯度間的夾角.解：

夾角余弦為 3．求二元函數(shù)在點沿方向的方向?qū)?shù)及梯度，并指出在該點沿那個方向減少得最快？沿那個方向的值不變？ 解：，在該點沿梯度相反方向，即方向減少得最快；

沿與梯度垂直的那個方向，即方向的值不變 4．設(shè)軸正向到得轉(zhuǎn)角為，求函數(shù) 在點處沿著方向的方向?qū)?shù).解：，由于該函數(shù)在點處不可微，從而不能用公式，只能由定義得出沿著方向的方向?qū)?shù)：

作業(yè)7 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用 1．填空題（1）已知曲面上點的切平面平行于平面，則點 的坐標(biāo)是；

（2）曲面在點處的切平面方程是；

（3）由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面在點 處的指向內(nèi)側(cè)的單位法向量為；

（4）曲面在點處的法線方程是 ；

（5）已知曲線上點的切線平行于平面，則點的坐標(biāo)是或． 2．求曲線在對應(yīng)于的點處的切線和法平面方程.解：切點為，從而切線為，法平面為 3．求兩個圓柱面的交線在點處的切線和法平面的方程.解：，切線為，法平面為 4．求曲面在點處的切平面及法線的方程.解：

切平面為，法線為 5．求函數(shù)在點處沿曲線在此點的外法線方向的方向?qū)?shù).解：

指向外側(cè)為此點的外法線方向，方向?qū)?shù)為 6．證明：曲面在任意點處的切平面都通過原點，其中具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).證：設(shè)切點為，則 切平面為 令，得左邊等于右邊，從而原點在任意點處的切平面上，也即任意點處的切平面都通過原點。

作業(yè)8 多元函數(shù)的極值 1．填空題（1）函數(shù)的極值是 0 ；

（2）函數(shù)的極值點是；

（3）函數(shù)的極值點是；

（4）函數(shù)的極值是；

（5）函數(shù)的極值是.2．證明：函數(shù)有無窮多個極大值點，但無極小值點.證：因為 由 得駐點坐標(biāo)為 又 故 只有當(dāng)為偶數(shù)時才大于零，從而才有極值。而這時 因此該函數(shù)有無窮多個極大值點，但無極小值點。

3．求函數(shù)在條件下的極值.解：令 則 從而 4．求函數(shù)在圓域上的最大值與最小值.解：先求圓內(nèi)部的駐點得駐點，再求圓周上的有約束極值，令 則 若則必有矛盾，若則必有或 由于 從而要求的最大值為4，最小值為 5．在半徑為的半球內(nèi)求一個體積為最大的內(nèi)接長方體.解：設(shè)在第一卦限內(nèi)的頂點坐標(biāo)為，則 令，則由，可得，其長寬均為，高為 6．求橢圓的長半軸和短半軸.解：由對稱性，得知橢圓的中心點為，從而問題轉(zhuǎn)化為求在約束條件下或的最值 取 由 從而，當(dāng)時，由約束條件 當(dāng)時，由約束條件 于是橢圓的長半軸為和短半軸為.第七章《多元函數(shù)微分學(xué)》測試試卷 1．單項選擇題（每小題3分）（1）二重極限值為（D）（A）0；

（B）1；

（C）；

（D）不存在.（2）二元函數(shù)在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)和都存在，則（D）(A)在該點可微；

(B)在該點連續(xù)可微；

(C)在該點沿任意方向的方向?qū)?shù)存在；

(D)以上結(jié)論都不對.（3）函數(shù)在處（A）(A)不取極值；

(B)取極小值；

(C)取極大值；

(D)是否取極值依賴于.（4）在曲線的所有切線中，與平面平行的切線（B）（A）只有1條；

（B）只有2條；

（C）至少有3條；

（D）不存在.（5）設(shè)，其中，下面運算中（B），(A)、都不正確；

(B)正確，不正確；

(C)不正確，正確；

(D)、都正確.2．填空題（每小題3分）（1）已知理想氣體狀態(tài)方程，則；

（2）設(shè)，則；

（3）函數(shù)在點的梯度為；

（4）已知，其中為可微函數(shù)，則；

（5）已知曲面上的點處的法線平行于直線，則該法線的方程為 3．設(shè)，其中均為二階可微函數(shù)，求.解：因為 所以 4．設(shè)，試以新變量變換方程，其中對各變量有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).解：

從而 5．已知，其中均為可微函數(shù)，求.解：對函數(shù)取全微分得，從而 6．設(shè)是曲面在處指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù).解：指向下側(cè)在此即拋物面的外側(cè)，從而 7．在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面，使該切平面與三個坐標(biāo)平面圍成的四面體的體積最小，求切點的坐標(biāo).解：設(shè)切點為，則切平面為 在的最值問題與在下的最值問題等價，只是最大與最小問題煥位而已。

令 則 與約束條件結(jié)合推得 由于在第一卦限，從而切點為 8．設(shè)（1）求，；

（2），是否在原點連續(xù)？在原點是否可微？說明理由.解：（1）當(dāng)，當(dāng)在此為分段點，用定義求偏導(dǎo)數(shù)（2），在原點因為二重極限不存在從而不連續(xù)，但 9．已知為常數(shù)，且，求證：.解：令，則問題化為在約束條件下的最大值為1 令，則，結(jié)合約束條件 由于該實際問題的最大值一定存在，又可能點唯一，因此最大值為 從而

第二篇：大學(xué)高數(shù)下冊試題及答案

《高等數(shù)學(xué)》（下冊）測試題一

一、選擇題（每小題3分，本大題共15分）（在括號中填上所選字母）

1．設(shè)有直線

及平面，則直線（A）

A．平行于平面；

B．在平面上；

C．垂直于平面；

D．與平面斜交.2．二元函數(shù)在點處（C）

A．連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在；

B．連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在；

C．不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在；

D．不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在.3．設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則＝（B）

A．；

B．；

C．

D．.4．設(shè)是平面由，所確定的三角形區(qū)域，則曲面積分

＝（D）

A．7；

B．；

C．；

D．.5．微分方程的一個特解應(yīng)具有形式（B）

A．；

B．；

C．；

D．.二、填空題（每小題3分，本大題共15分）

1．設(shè)一平面經(jīng)過原點及點，且與平面垂直，則此平面方程為；

2．設(shè)，則＝；

3．設(shè)為正向一周，則

0；

4．設(shè)圓柱面，與曲面在點相交，且它們的交角為，則正數(shù)；

5．設(shè)一階線性非齊次微分方程有兩個線性無關(guān)的解，若也是該方程的解，則應(yīng)有

.三、（本題7分）設(shè)由方程組確定了，是，的函數(shù)，求及與.解：方程兩邊取全微分，則

解出

從而

四、（本題7分）已知點及點，求函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù).解：，從而

五、（本題8分）計算累次積分）.解：依據(jù)上下限知，即分區(qū)域為

作圖可知，該區(qū)域也可以表示為

從而

六、（本題8分）計算，其中是由柱面及平面圍成的區(qū)域.解：先二后一比較方便，七．（本題8分）計算，其中是拋物面被平面所截下的有限部分.解：由對稱性

從而

八、（本題8分）計算，是點到點在上半平面上的任意逐段光滑曲線.解：在上半平面上

且連續(xù)，從而在上半平面上該曲線積分與路徑無關(guān)，取

九、（本題8分）計算，其中為半球面上側(cè).解：補取下側(cè)，則構(gòu)成封閉曲面的外側(cè)

十、（本題8分）設(shè)二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，適合，求．

解：

由已知

即

十一、（本題4分）求方程的通解.解：解：對應(yīng)齊次方程特征方程為

非齊次項，與標(biāo)準(zhǔn)式

比較得,對比特征根，推得，從而特解形式可設(shè)為

代入方程得

十二、（本題4分）在球面的第一卦限上求一點，使以為一個頂點、各面平行于坐標(biāo)面的球內(nèi)接長方體的表面積最小.解：設(shè)點的坐標(biāo)為，則問題即在求最小值。

令，則由

推出，的坐標(biāo)為

附加題：（供學(xué)習(xí)無窮級數(shù)的學(xué)生作為測試）

1．判別級數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？

解：由于，該級數(shù)不會絕對收斂，顯然該級數(shù)為交錯級數(shù)且一般項的單調(diào)減少趨于零，從而該級數(shù)條件收斂

2．求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù).解：

從而收斂區(qū)間為，3．將展成以為周期的傅立葉級數(shù).解：已知該函數(shù)為奇函數(shù)，周期延拓后可展開為正弦級數(shù)。

《高等數(shù)學(xué)》（下冊）測試題二

一、選擇題（每小題3分，本大題共15分）（在括號中填上所選字母）

1．設(shè)，且可導(dǎo)，則為（D）

A．；；

B．；

C．；

D．．

2．從點到一個平面引垂線，垂足為點，則這個平面的方

程是（B）

A．；

B．；

C．；

D．．

3．微分方程的通解是（D）

A．；

B．；

C．；

D．．

4．設(shè)平面曲線為下半圓周，則曲線積分等于（A）

A．；

B．；

C．；

D．．

5．累次積分＝（A）

A．；

B．；

C．；

D．．

二．填空題（每小題5分，本大題共15分）

1．曲面在點處的切平面方程是；.2．微分方程的待定特解形式是；

3．設(shè)是球面的外測，則曲面積分

＝．

三、一條直線在平面：上，且與另兩條直線L1：及L2：（即L2：）都相交，求該直線方程．（本題7分）

解：先求兩已知直線與平面的交點，由

由

由兩點式方程得該直線：

四、求函數(shù)在點處的梯度及沿梯度方向上函數(shù)的方向?qū)?shù)．（本題7分）

解：

沿梯度方向上函數(shù)的方向?qū)?shù)

五、做一個容積為1立方米的有蓋圓柱形桶，問尺寸應(yīng)如何，才能使用料最省？（本題8分）

解：設(shè)底圓半徑為，高為，則由題意，要求的是在條件下的最小值。

由實際問題知，底圓半徑和高分別為才能使用料最省

六、設(shè)積分域D為所圍成，試計算二重積分．（本題8分）

解：觀察得知該用極坐標(biāo)，七、計算三重積分，式中為由所確定的固定的圓臺體．（本題8分）

解：解：觀察得知該用先二后一的方法

八、設(shè)在上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求曲線積分，其中曲線L是從點到點的直線段．（本題8分）

解：在上半平面上

且連續(xù)，從而在上半平面上該曲線積分與路徑無關(guān)，取折線

九、計算曲面積分，其中，為上半球面：．（本題8分）

解：由于，故

為上半球面，則

原式

十、求微分方程的解．（本題8分）

解：

由，得

十一、試證在點處不連續(xù)，但存在有一階偏導(dǎo)數(shù)．（本題4分）

解：沿著直線，依賴而變化，從而二重極限不存在，函數(shù)在點處不連續(xù)。

而

十二、設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程的一個特解為，試確定常數(shù)，并求該方程的通解．（本題4分）

解：由解的結(jié)構(gòu)定理可知，該微分方程對應(yīng)齊次方程的特征根應(yīng)為，否則不能有這樣的特解。從而特征方程為

因此

為非齊次方程的另一個特解，故，通解為

附加題：（供學(xué)習(xí)無窮級數(shù)的學(xué)生作為測試）

1．求無窮級數(shù)的收斂域及在收斂域上的和函數(shù)．

解：

由于在時發(fā)散，在時條件收斂，故收斂域為

看，則

從而

2．求函數(shù)在處的冪級數(shù)展開式．

解：

3．將函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)，并指明展開式成立的范圍．

解：作周期延拓，從而

《高等數(shù)學(xué)》（下冊）測試題三

一、填空題

1．若函數(shù)在點處取得極值，則常數(shù)．

2．設(shè)，則．

3．設(shè)S是立方體的邊界外側(cè)，則曲面積分

．

4．設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為．

5．微分方程用待定系數(shù)法確定的特解（系數(shù)值不求）的形式為．

二、選擇題

1．函數(shù)在點處（D）．

（A）無定義；

（B）無極限；

（C）有極限但不連續(xù)；

（D）連續(xù)．

2．設(shè)，則（B）．

（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

3．兩個圓柱體，公共部分的體積為（B）．

（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

4．若，則數(shù)列有界是級數(shù)收斂的（A）．

（A）充分必要條件；

（B）充分條件，但非必要條件；

（C）必要條件，但非充分條件；

（D）既非充分條件，又非必要條件．

5．函數(shù)（為任意常數(shù)）是微分方程的（C）．

（A）通解；

（B）特解；

（C）是解，但既非通解也非特解；

（D）不是解．

三、求曲面上點處的切平面和法線方程．

解：

切平面為

法線為

四、求通過直線的兩個互相垂直的平面，其中一個平面平行于直線．

解：設(shè)過直線的平面束為

即

第一個平面平行于直線，即有

從而第一個平面為

第二個平面要與第一個平面垂直，也即

從而第二個平面為

五、求微分方程的解，使得該解所表示的曲線在點處與直線相切．

解：直線為，從而有定解條件，特征方程為

方程通解為，由定解的初值條件，由定解的初值條件

從而，特解為

六、設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)滿足方程

試求出函數(shù)．

解：因為

特征方程為

七、計算曲面積分，其中是球體與錐體的公共部分的表面，，是其外法線方向的方向余弦．

解：兩表面的交線為

原式，投影域為，用柱坐標(biāo)

原式

另解：用球坐標(biāo)

原式

八、試將函數(shù)展成的冪級數(shù)（要求寫出該冪級數(shù)的一般項并指出其收斂區(qū)間）．

解：

九、判斷級數(shù)的斂散性．

解：

當(dāng)，級數(shù)收斂；當(dāng)，級數(shù)發(fā)散；

當(dāng)時級數(shù)收斂；當(dāng)時級數(shù)發(fā)散

十、計算曲線積分，其中為在第一象限內(nèi)逆時針方向的半圓弧．

解：再取，圍成半圓的正向邊界

則

原式

十一、求曲面：到平面：的最短距離．

解：問題即求在約束下的最小值

可先求在約束下的最小值點

取

時，這也說明了是不可能的，因為平面與曲面最小距離為。

第三篇：大學(xué)高數(shù)下冊試題及答案 第9章

第九章

曲線積分與曲面積分

作業(yè)13

對弧長的曲線積分

1．計算，其中為直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個邊界．

解：可以分解為及

2．，其中為星形線在第一象限內(nèi)的?。?/p>

解：為

原式

3．計算，其中折線ABC，這里A，B，C依次為點．

解：

4．，其中為螺線上相應(yīng)于從變到的一段?。?/p>

解：為

5．計算，其中L：．

解：將L參數(shù)化，6．計算，其中L為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界．

解：邊界曲線需要分段表達(dá)，從而需要分段積分

從而

作業(yè)14

對坐標(biāo)的曲線積分

1．計算下列第二型曲線積分：

(1)，其中為按逆時針方向繞橢圓一周；

解：為

原式

(2)，其中是從點到點的一段直線；

解：是

原式

(3)，其中是圓柱螺線從到的一段??；

解：是

原式

(4)

計算曲線積分,其中為由點A

(-1,1)沿拋物線到點O

(0,0),再沿x軸到點B

(2,0)的弧段．

解：由于積分曲線是分段表達(dá)的，需要分段積分；

原式

2．設(shè)力的大小等于作用點的橫坐標(biāo)的平方，而方向依軸的負(fù)方向，求質(zhì)量為的質(zhì)點沿拋物線從點移動到點時，力所作的功．

解：

3．把對坐標(biāo)的曲線積分化成對弧長的曲線積分，其中

為：

(1)

在平面內(nèi)沿直線從點到點；

(2)

沿拋物線從點到點．

解：（1）

（2）

作業(yè)15

格林公式及其應(yīng)用

1．填空題

(1)

設(shè)是三頂點(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向邊界,12

．

(2)

設(shè)曲線是以為頂點的正方形邊界，不能直接用格林公式的理由是_所圍區(qū)域內(nèi)部有不可道的點_．

（3）相應(yīng)于曲線積分的第一型的曲線積分是．

其中為從點(1,1,1)到點(1,2,3)的直線段．

2．計算,其中L是沿半圓周從點到點的弧．

解：L加上構(gòu)成區(qū)域邊界的負(fù)向

3．計算,其中為橢圓

正向一周．

解：原式

4．計算曲線積分

其中為連續(xù)函數(shù)，是沿圓周按逆時針方向由點到點的一段?。?/p>

解：令

則，原式

5．計算,其中為

（1）圓周（按反時針方向）；

解：，而且原點不在該圓域內(nèi)部，從而由格林公式，原式

（2）閉曲線（按反時針方向）．

解：，但所圍區(qū)域內(nèi)部的原點且僅有該點不滿足格林公式條件，從而可作一很小的圓周（也按反時針方向），在圓環(huán)域上用格林公式得，原式

6．證明下列曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān),并計算積分值：

（1）；

解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿折線積分即可，原式

（2）；

解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿直線積分也可，原式

（3）．

解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿折線積分即可，原式

7．設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算，其中L為從點到點的直線段．

解：由于在右半平面連續(xù)，從而該曲線積分右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿曲線積分即可，原式

8．驗證下列在整個平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,并求出它的一個原函數(shù)：

（1）；

解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，設(shè)這個函數(shù)為，則

從而，（2）；

解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，設(shè)這個函數(shù)為，則原式

可取

（3）

解：可取折線作曲線積分

9．設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為,這變力確定了一個力場,證明質(zhì)點在此場內(nèi)移動時,場力所作的功與路徑無關(guān)．

證：，質(zhì)點在此場內(nèi)任意曲線移動時，場力所作的功為

由于在全平面連續(xù)，從而質(zhì)點在此場內(nèi)移動時，場力所作的功與路徑無關(guān)．

作業(yè)16

對面積的曲面積分

1．計算下列對面積的曲面積分：

(1),其中為錐面被柱面所截得的有限部分；

解：為，原式

（2）,其中為球面．

解：為兩塊，原式

2．計算，是平面被圓柱面截出的有限部分．

解：為兩塊，原式

（或由，而積分微元反號推出）

3．求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積．

解：為兩塊，原式

4．設(shè)圓錐面,其質(zhì)量均勻分布,求它的重心位置．

解：設(shè)密度為單位1，由對稱性可設(shè)重點坐標(biāo)為，故重點坐標(biāo)為

5．求拋物面殼的質(zhì)量，此殼的密度按規(guī)律而變更．

解：

作業(yè)17

對坐標(biāo)的曲面積分

1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限內(nèi)的部分前側(cè)．

解：

原式=

2．計算曲面積分，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面下側(cè)介于平面及之間的部分．

解：

原式=

3．計算

其中是平面所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)．

解：分片積分。

原式=（由輪換對稱性）

4．把對坐標(biāo)的曲面積分

化為對面積的曲面積分：

（1）是平面在第一卦限的部分的上側(cè)；

（2）是拋物面在面上方的部分的上側(cè)．

解：（1）

原式=

（2）

原式=

5．計算曲面積分,其中為旋轉(zhuǎn)拋物面下側(cè)介于平面z=0及z=2之間的部分．

解：

原式=（兩類曲面積分的互化）

（第二類曲面積分投影法計算）

（用了重積分的對稱性）

．已知速度場，求流體在單位時間內(nèi)通過上半錐面與平面所圍成錐體表面向外流出的流量．

解：

同樣。

作業(yè)18

高斯公式和斯托克斯公式

1．利用高斯公式計算曲面積分：

(1)，其中是平面，及所圍成的立體的表面外側(cè)；

解：原式

（2），其中為柱面及平面，所圍成的立體的表面外側(cè)；

解：原式

(3)

計算,其中，是由曲面繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面,它的法向量與y軸正向的夾角恒大于．

解：加上右側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的外側(cè)。

原式

2．設(shè)函數(shù)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，利用高斯公式計算曲面積分，式中是下半球面的上側(cè)．

解：加上下側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的內(nèi)側(cè)。

原式

3．利用斯托克斯公式計算曲面積分：

（1）

式中是圓周，從軸正向看去,取逆時針方向．

解：原式

（2），其中為圓周，從軸的正向看去，取逆時針方向．．

解：原式

作業(yè)19

場論初步

1．求下列向量場通過曲面指定一側(cè)的通量：

（1），為由平面與，所圍成立體的表面，流向外側(cè)；

解：

（2），為以點(3,-1,2)為球心，半徑的球面，流向外側(cè)．

解：

2．求向量場沿閉曲線的環(huán)流量(從z軸正向看

依逆時針的方向),其中為圓周．

解：

3．求向量場在點M

(1,-1,2)處的散度和旋度．

解：

4．證明向量場為平面調(diào)和場，并求勢函數(shù)．

解：由于

因此是無源場且為無旋場從而為調(diào)和場

由為勢函數(shù)

5．驗證下列向量場為保守場，并求其勢函數(shù)：

（1）；

解：由于

因此為無旋場從而為有勢場

由

為勢函數(shù)

（2）

解：由于

因此為無旋場從而為有勢場

由

為勢函數(shù)

6．設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，計算

解：由于

從而

由于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，從而

第九章《曲線積分與曲面積分》測試題

1．填空題

（1）對坐標(biāo)的曲線積分化成第一類曲線積分是，其中為有向曲線弧在點處的切向量的方向角；

（2）設(shè)為取正向的圓周則曲線積分；

（3）設(shè)曲線積分.與積分路徑無關(guān)，其中

一階連續(xù)可導(dǎo)，且，則；

（4）=_0_，其中為單位球面的外側(cè)；

（5）設(shè)，則

0，．

2．計算下列曲線積分：

（1）計算，其中為球面與平面的相交部分．

解：由輪換對稱性

（2），其中是，．

解：用球坐標(biāo)表達(dá)是

原式

（3）其中為橢圓由點經(jīng)點到點的弧段；

解：參數(shù)表達(dá)是

原式

（4），其中是與的交線，其方向與軸正向成右手系；

解：參數(shù)表達(dá)是

原式

（5），其中為上半圓周，沿逆時針方向；

解：加上形成半圓區(qū)域的正向邊界

原式

（6），其中是以點為定點，，的正方形的整個邊界（取正向）．

解：正向

原式

3．計算下列曲面積分：

（1）,為錐面介于之間的部分．

解：原式

（2）計算．

解：為兩片

令

原式

（3）其中錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。是上半球面的上側(cè)；

解：為

原式

（4），其中為錐面的外側(cè)；

解：加上上側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的外側(cè)。

原式

（5），其中是圓周，若正對著軸正向看去，取逆時針方向；

解：由STOCHS公式，原式

（6），其中是曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的上側(cè)．

解：加上下側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的內(nèi)側(cè)。

原式

4．設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中，且

求．

解：曲線積分與路徑無關(guān)，連續(xù)可導(dǎo)

從而，又

故

5．設(shè)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且使表達(dá)式是某函數(shù)的全微分，求，并求一個．

解：由已知，是某函數(shù)的全微分，從而，又

故

6．證明在右半平面內(nèi)，力所做的功與所走的路徑無關(guān)，并計算由點到所做的功．

解：

8．證明：在整個平面除去的負(fù)半軸及原點的區(qū)域內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的二元函數(shù)．

解：由于且偏導(dǎo)數(shù)在整個平面除去的負(fù)半軸及原點的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的，從而在整個平面除去的負(fù)半軸及原點的區(qū)域內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微分，函數(shù)如

9．求向量通過的邊界曲面流向外側(cè)的通量．

解：

11．求向量場在點處的散度．

解：

第四篇：大學(xué)高數(shù)下冊試題及答案 第11章

第十一章

無窮級數(shù)

作業(yè)29

常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

1．按定義判斷下列級數(shù)的斂散性，若收斂，并求其和：

（1）；

解：因為

所以

因此由定義可知該級數(shù)收斂

（2）；

解：因為

所以，因此由定義可知該級數(shù)發(fā)散

（3）；

解：因為

所以，因此由定義可知該級數(shù)收斂

（4）；

解：因為，依次重復(fù)

所以，不存在因此由定義可知該級數(shù)發(fā)散

2．利用基本性質(zhì)判別下列級數(shù)的斂散性：

（1）；

解：觀察發(fā)現(xiàn)該級數(shù)為，是發(fā)散的調(diào)和級數(shù)每項乘以得到的，由級數(shù)的基本性質(zhì)，該級數(shù)發(fā)散

（2）；

解：觀察發(fā)現(xiàn)該級數(shù)為，是收斂的兩個等比級數(shù)，逐項相加得到的，由級數(shù)的基本性質(zhì)，該級數(shù)收斂

（3）；

解：觀察發(fā)現(xiàn)該級數(shù)為，是收斂的等比級數(shù)與發(fā)散的逐項相加得到的，由級數(shù)的基本性質(zhì)，該級數(shù)發(fā)散

（4）．

解：觀察發(fā)現(xiàn)該級數(shù)一般項為，但

由級數(shù)收斂的必要條件，該級數(shù)發(fā)散

作業(yè)30

正項級數(shù)及其收斂性

1．用比較判別法（或定理2的推論）判定下列級數(shù)的斂散性：

（1）；

解：由于，而是收斂的等比級數(shù)

從而由比較判別法，該級數(shù)收斂

（2）．

解：由于，而是收斂的等比級數(shù)

從而由比較判別法的極限形式，該級數(shù)收斂

2．用達(dá)朗貝爾判別法判定下列級數(shù)的斂散性：

（1）；

解：由于，從而由達(dá)朗貝爾判別法，該級數(shù)收斂

（2）；

解：由于，從而由達(dá)朗貝爾判別法，該級數(shù)收斂

（3）；

解：由于，從而由達(dá)朗貝爾判別法，該級數(shù)收斂

（4）．

解：由于，從而由達(dá)朗貝爾判別法，該級數(shù)收斂

3．用柯西判別法判定下列級數(shù)的斂散性：

（1）；

解：由于，從而由柯西判別法，該級數(shù)收斂

（2）．

解：由于，從而由柯西判別法，該級數(shù)收斂

4．用判別法判定下列級數(shù)的斂散性：

（1）；

解：由于，而為的發(fā)散的級數(shù)，從而由判別法，該級數(shù)發(fā)散

（2）．

解：由于，而為的發(fā)散的級數(shù)，從而由判別法，該級數(shù)發(fā)散

5．設(shè)為正整數(shù)，證明：

（1）；

解：對來說，由于，從而由達(dá)朗貝爾判別法，該級數(shù)收斂

再由級數(shù)收斂的必要條件可知

（2）．

解：對來說，由于，從而由達(dá)朗貝爾判別法，該級數(shù)收斂

再由級數(shù)收斂的必要條件可知，從而由無窮大量與無窮小的關(guān)系

作業(yè)31

交錯級數(shù)與任意項級數(shù)的收斂性

1．判別下列級數(shù)的斂散性；若收斂，說明是條件收斂還是絕對收斂：

（1）；

解：該級數(shù)為交錯級數(shù)，其一般項的絕對值為

單調(diào)減少，且，從而由萊布尼茨判別法知其收斂

再由于，由判別法知發(fā)散，從而原級數(shù)不會絕對收斂，只有條件收斂

（2）；

解：由于，由判別法知，絕對收斂

（3）；

解：由于不存在，由收斂級數(shù)的必要條件，從而該級數(shù)發(fā)散

（4）；

解：由于，從而由達(dá)朗貝爾判別法，該級數(shù)絕對收斂

（5）．

解：當(dāng)時顯然收斂，否則，當(dāng)時由達(dá)朗貝爾判別法，從而該級數(shù)絕對收斂，當(dāng)時級數(shù)變?yōu)榘l(fā)散

當(dāng)時級數(shù)變?yōu)闂l件收斂

7．若存在，證明絕對收斂．

證明：由已知

從而絕對收斂．

8．若級數(shù)絕對收斂，且，試證：級數(shù)和都收斂．級數(shù)是否收斂？為什么？

證明：若級數(shù)絕對收斂，則必收斂，由必要條件

由，從而級數(shù)和都有意義，而，從而級數(shù)和都收斂。

級數(shù)發(fā)散，因為，收斂的必要條件不滿足。

作業(yè)32

冪級數(shù)及其求和

1．求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域：

（1）；

解：

當(dāng)時即為條件收斂，從而收斂域為

（2）；

解：

當(dāng)時即為，由于從而級數(shù)發(fā)散，因此收斂域為

（3）；

解：當(dāng)時，當(dāng)時冪級數(shù)即為，由于從而級數(shù)發(fā)散

當(dāng)時冪級數(shù)即為，由于且從而級數(shù)收斂。因此收斂域當(dāng)時

當(dāng)時，當(dāng)時即為即為，由于從而級數(shù)發(fā)散，從而當(dāng)時收斂域為

（4）；

解：

當(dāng)時即為條件收斂，從而收斂域為

（5）；

解：

因此收斂域為

（6）．

解：對于，當(dāng)時即為條件收斂，當(dāng)時即為發(fā)散，從而原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂域為

2．求下列冪級數(shù)的收斂域及其和函數(shù)：

（1）；

解：

當(dāng)時，即為條件收斂，當(dāng)時即為發(fā)散，從而冪級數(shù)的收斂域為

設(shè)，則

從而

故

（2）；

解：

當(dāng)時，即為發(fā)散，從而冪級數(shù)的收斂域為

故，（3）．

解：

從而冪級數(shù)的收斂域為

設(shè)，則，由特征方程，得通解

再由得特解

（4），并求數(shù)項級數(shù)的和．

解：，當(dāng)時發(fā)散，從而冪級數(shù)的收斂域為

設(shè)，則，作業(yè)33

函數(shù)展開成冪級數(shù)

1．將下列函數(shù)展開成麥克勞林級數(shù)（要指出其成立的區(qū)間）：

（1）；

解：

（2）；

解：

（3）；

解：

（4）(提示：利用)；

解：，（5）．

解：

2．將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)（要指出其成立區(qū)間）：

（1）；

解：

（2）．

解：

3．求下列函數(shù)的冪級數(shù)展開式，并確定其成立區(qū)間：

（1）；

解：

（2）．

解：

4．展開為的冪級數(shù)，并證明：．

解：

從而

作業(yè)34

傅里葉級數(shù)

1．下列周期函數(shù)的周期為，它在一個周期上的表達(dá)式列舉如下，試求的傅里葉級數(shù)展開式．

（1）；

解：

（2）；

解：

（3）；

解：

（4）．

解：

2．將下列函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)：

（1）；

解：

（2）；

解：

3．將下列各函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)：

（1）

解：展開成正弦級數(shù)，則作奇延拓，展開成余弦級數(shù)，則作偶延拓，（2）

解：展開成正弦級數(shù)，則作奇延拓，展開成余弦級數(shù)則，作偶延拓，作業(yè)35

一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)

1．設(shè)是周期為6的周期函數(shù)，它在上的表達(dá)式為

試求的傅里葉展開式．

解：

2．在指定區(qū)間上展開下列函數(shù)為傅里葉級數(shù)：

解：取作周期延拖在限定即可，函數(shù)為偶函數(shù)，故

時

時

3．將函數(shù)

分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)．

解：展開成正弦級數(shù)，則作奇延拓，展開成余弦級數(shù)，則作偶延拓，4．試將函數(shù)展開成周期為8的正弦級數(shù)．

解：展開成正弦級數(shù)，則作奇延拓，第十一章《無窮級數(shù)》測試題

1．選擇題：

（1）對級數(shù)，“”是它收斂的B

條件．

A．充分；

B．必要；

C．充要；

D．非充分且非必要．

（2）“部分和數(shù)列有界”是正項級數(shù)收斂的C

條件．

A．充分；

B．必要；

C．充要；

D．非充分且非必要．

（3）若級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)必定

A

．

A．收斂；

B．發(fā)散；

C．絕對收斂；

D．條件收斂．

（4）若級數(shù)條件收斂，則級數(shù)必定

B

．

A．收斂；

B．發(fā)散；

C．絕對收斂；

D．條件收斂．

2．用適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸ㄏ铝屑墧?shù)的斂散性：

（1）；

解：因為

從而該正項級數(shù)發(fā)散

（2）；

解：因為

從而該正項級數(shù)收斂

（3）；

解：因為

從而該正項級數(shù)收斂

（4）；

解：因為

從而該正項級數(shù)收斂

（5）；

解：因為

從而該正項級數(shù)發(fā)散

（6）；

解：因為

從而該正項級數(shù)發(fā)散

（7）；

解：因為

從而該正項級數(shù)發(fā)散

（8）；

解：設(shè)，則而，時，從而

收斂的必要條件滿足。

設(shè)，則同理可以推出

而的級數(shù)收斂，從而原正項級數(shù)也收斂

（9），其中均為正數(shù)，且；

解：用柯西判別法

當(dāng)時發(fā)散，當(dāng)時該正項級數(shù)收斂

當(dāng)時不能判定斂散性。

（10）．

解：由積分中值定理，從而

有比較判別法收斂

3．判別下列級數(shù)的斂散性；若收斂，說明是條件收斂還是絕對收斂：

（1）；

解：令，則時

從而單碟減少，又

從而以來布尼茨判別法收斂

但是，因此是條件收斂而不能絕對收斂

（2）；

解：

從而該級數(shù)是交錯級數(shù)，由于單碟減少且

從而以來布尼茨判別法收斂

但是，因此是條件收斂而不能絕對收斂

（3）；

解：因為

從而該級數(shù)絕對收斂

（4）．

解：去掉前面有限項即當(dāng)足夠大時為交錯級數(shù)，由于，對足夠大的單碟減少且

從而以來布尼茨判別法收斂但不絕對收斂

4．求下列極限：

（1）；

解：由于單調(diào)增加且

從而

因此由夾逼準(zhǔn)則

（2）．

解：令，由于

看

從而，因此

5．求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域：

（1）；

解：看，而因一般項極限不為零而發(fā)散

從而該冪級數(shù)的收斂半徑也為，收斂域為

（2）．

解：為收斂半徑

考慮端點，當(dāng)時收斂域為；當(dāng)時收斂域為；

當(dāng)時收斂域為；

6．求下列冪級數(shù)的收斂域及其和函數(shù)：

（1）；

解：為收斂半徑

考慮端點則知收斂域為。

在收斂域內(nèi)設(shè)，則

在收斂域內(nèi)再設(shè)，則

（2）．

解：解：為收斂半徑

考慮端點則知收斂域為。

在收斂域內(nèi)設(shè)，則

7．將下列函數(shù)展開成麥克勞林級數(shù)（要指出其成立的區(qū)間）：

（1）；

解：由于

（2）；

解：由于，從而

（3）．

解：由于，從而

8．將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)（要指出其成立區(qū)間）：

（1）；

解：

（2）．

解：，而

從而

9．將下列函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)：

解：該函數(shù)為奇函數(shù)，延拓為周期的周期函數(shù)展開，當(dāng)

10．將函數(shù)在區(qū)間上分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)．

解：該函數(shù)延拓為奇函數(shù)，再延拓為周期的周期函數(shù)展開得正弦級數(shù)，；

該函數(shù)延拓為偶函數(shù)，再延拓為周期的周期函數(shù)展開得余弦級數(shù)，；

第五篇：大學(xué)高數(shù)下冊試題及答案 第8章

第八章

重積分

作業(yè)9

二重積分的概念與性質(zhì)

1．利用二重積分的性質(zhì),比較下列積分的大?。?/p>

（1）與

(a)D是由直線及所圍成的閉區(qū)域；

(b)

D是由圓周所圍成的閉區(qū)域．

解：(a)因為在區(qū)域內(nèi)部有，從而大

(b)因為在區(qū)域內(nèi)部有，從而大

（2）與

(a)D是矩形閉區(qū)域：；

(b)

D是矩形閉區(qū)域：．

解：(a)因為在區(qū)域內(nèi)部有，從而大

(b)因為在區(qū)域內(nèi)部有，從而大

（3）與，其中是由三個坐標(biāo)面與平面所圍成的閉區(qū)域．

解：因為在區(qū)域內(nèi)部有，從而，因此大

2．利用積分的性質(zhì)，估計下列各積分的值：

（1），其中D是矩形閉區(qū)域：；

解：因為在區(qū)域內(nèi)部有，因此

（2），其中為球體；

解：因為在區(qū)域內(nèi)部有，因此

（3），其中L為圓周位于第一象限的部分；

解：因為在曲線上積分，不妨設(shè)，因此

（4），其中為柱面被平面所截下的部分．

解：因為在曲面上積分，從而，因此

作業(yè)10

二重積分的計算

1．試將二重積分化為兩種不同的二次積分，其中區(qū)域D分別為：

（1）由直線及雙曲線所圍成的閉區(qū)域；

解：作圖得知區(qū)域D可以表示為：，得

區(qū)域D也可以分塊表示為：

從而

（2）環(huán)形閉區(qū)域：．

解：在極坐標(biāo)下環(huán)形閉區(qū)域為

從而

在直角坐標(biāo)下環(huán)形閉區(qū)域需分塊表達(dá)，分塊積分變?yōu)?/p>

2．改換下列二次積分的積分次序（填空）：

（1）；

（2）；

（3）．

3．畫出積分區(qū)域，并計算下列二重積分：

（1），其中D是由兩條拋物線所圍成的閉區(qū)域；

解：作圖，原式=

（2），其中D是由所確定的閉區(qū)域；

解：作圖，原式=

（3），其中D是由不等式所圍成的閉區(qū)域；

解：作圖，原式=

（4），其中D是頂點分別為的三角形閉區(qū)域．

解：作圖，原式=

4．求由曲線所圍成的閉區(qū)域的面積．

解：曲線方程聯(lián)立，得

作圖知，原式=

5．求由四個平面所圍柱體被平面及

所截得的立體的體積．

解：四個平面決定的區(qū)域D為：

在區(qū)域D內(nèi)部

從而所截得的立體的體積

6．化下列二次積分為極坐標(biāo)系下的二次積分：

（1）

（2）；

7．利用極坐標(biāo)計算下列積分：

（1），其中D是由圓周所圍成的閉區(qū)域；

解：D是圓周，即

從而

（2），其中是由圓所圍成的閉區(qū)域；

解：D是圓周圍成，知其為

從而原式=

（3），D是與所確定的閉區(qū)域；

解：D是圓環(huán)的關(guān)于原點對稱的兩部分，與

從而原式=

（由對稱性更簡單：因為，對稱點的積分微元反號）

（4），其中D是介于兩圓和之間的閉區(qū)域．

解：D介于兩圓之間，可知

從而原式=

8．用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算下列積分：

（1），其中是由直線，，（）所圍成的閉區(qū)域；

解：作圖知由直角坐標(biāo)表達(dá)方便，（2），其中是由圓周所圍成的閉區(qū)域；

解：由表達(dá)式由極坐標(biāo)表達(dá)方便，原式=

（3），D：；

解：先作坐標(biāo)軸平移，再用極坐標(biāo)

原式=

（4），D：．

解：用廣義極坐標(biāo)

原式=

作業(yè)11

三重積分的概念與計算

1．試將三重積分化為三次積分，其中積分區(qū)域分別為：

（1）由雙曲拋物面及平面所圍的閉區(qū)域；

（2）由曲面及所圍的閉區(qū)域

．

2．計算下列三重積分：

（1），其中為平面，所圍成的四面體；

解：分析邊界作圖知為，原式=

（2），其中是由曲面與平面所圍的閉區(qū)域；

解：分析邊界作圖知為，原式=

（3），其中是由平面及拋物柱面所圍的閉區(qū)域．

解：分析邊界作圖知為，原式=

3．利用柱面坐標(biāo)計算下列三重積分：

（1），其中是曲面和平面所圍成的閉區(qū)域；

解：原式

（2），其中是曲面及所圍成的閉區(qū)域；

解：原式

（3），其中是曲面和平面所圍成的閉區(qū)域；

解：原式

（4），其中是曲面和平面所圍成的閉區(qū)域．

解：先作坐標(biāo)軸平移，再用柱坐標(biāo)

原式

=

4．利用球面坐標(biāo)計算下列三重積分：

（1），其中是球面所圍成的閉區(qū)域；

解：

原式

（2），其中是由不等式（），所確定的閉區(qū)域；

解：

原式

（3），其中是不等式，所確定的閉區(qū)域．

解：

原式

5.選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算下列三重積分：

（1），其中是柱面及平面，所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域；

解：用柱坐標(biāo)

原式=

（2），其中是球面所圍的閉區(qū)域；

解：用球坐標(biāo)

原式

（3），其中是由曲面及平面所圍的閉區(qū)域；

解：用柱坐標(biāo)

原式=

（4），其中是球面所圍的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域；

解：用球坐標(biāo)

原式

（5），其中是橢球面所圍成的閉區(qū)域．

解：用廣義球坐標(biāo)

原式

作業(yè)12

重積分的應(yīng)用

1．球心在原點，半徑為的球體，在其上任意一點的體密度與該點到球心的距離成正比，求這球體的質(zhì)量．

解：設(shè)球面的方程為，球的密度為

則球體的質(zhì)量為

2．求球體的質(zhì)心，這里假設(shè)球體內(nèi)各點處的密度等于該點到坐標(biāo)原點的距離的平方．

解：由對稱性，質(zhì)心應(yīng)該在z軸上，可設(shè)為，3．設(shè)均勻平面薄片為橢圓形閉區(qū)域：，求轉(zhuǎn)動慣量．

解：用廣義極坐標(biāo)

4．設(shè)半徑為的球體內(nèi)每一點密度的大小與該點到球心的距離成正比，求質(zhì)量為非均勻球體對其直徑的轉(zhuǎn)動慣量．

解：設(shè)球面的方程為，球的密度為

則球體對其直徑的轉(zhuǎn)動慣量為

5．求面密度為常數(shù)的均勻圓環(huán)形薄片：對位于軸上的點處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力．

解：設(shè)環(huán)域上點處的單位面積產(chǎn)生的引力微元為，由對稱性

6．一均勻物體（密度為常量）占有的閉區(qū)域由曲面和平面，所圍成，（1）求物體的體積；（2）求物體的質(zhì)心；（3）求物體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動慣量．

解：

由對稱性，質(zhì)心應(yīng)該在z軸上，可設(shè)為，第八章《重積分》測試題

1．選擇以下各題中給出的四個結(jié)論中一個正確的結(jié)論：

（1）設(shè)有空間閉區(qū)域，則有（D）

（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

（2）設(shè)平面閉區(qū)域，則（A）

（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

（3）設(shè)是有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則當(dāng)時，得極限為（B）.A.不存在；

B.等于

C.等于

D.等于．

2．選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計算下列二重積分：

（1），是由直線所圍成的區(qū)域；

解：作圖，分塊積分。

原式

（2），其中D是由和所圍成；

解：作圖，分塊積分。

原式

（3），其中；

原式=

（4），其中D是由和所圍成的平面區(qū)域，且；

解：作圖知沒有用上

原式

（5），D：；

解：作圖知，分塊積分區(qū)別處理較方便

原式

3．交換下列二次積分的次序：

（1）；

（2）；

（3）．

4．將變?yōu)闃O坐標(biāo)形式的二次積分，其中D由不等式和所規(guī)定．

解：由，從而

5．計算，其中D是矩形域：．

解：作圖，需要分塊積分

原式

6．計算，其中由所圍．

解：作圖或分析推理，得：

原式

7．將三次積分變?yōu)橹鴺?biāo)及球坐標(biāo)的形式．

解：由上下限知

從而由坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式可推出區(qū)域表達(dá)式，因此得出

在柱坐標(biāo)下

在球坐標(biāo)下

8．計算，其中:．

解：由知:

從而，原式

9．計算下列三重積分：

（1），是由球面所圍成的閉區(qū)域．

解：由于當(dāng)時就有，而積分微元在對稱點剛好反號，從而

（2），其中是由xOy平面上曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面所圍成的閉區(qū)域．

解：曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面為，與平面的交線為，所圍成的閉區(qū)域為

10．求平面被三坐標(biāo)面所割出的有限部分的面積．

解：平面為

11．設(shè)在上連續(xù)，試證：，其中為正整數(shù)．

證：左邊

=右邊

12．求曲面上點處的切平面與曲面所圍成的空間立體的體積．

解：切平面的法向量為

從而切平面為

切平面與曲面的交線為投影柱面交切平面，13．一平面薄片所占的閉區(qū)域由不等式：所確定，其上每一點的面密度為，試求該薄片的質(zhì)量．

解：，用極坐標(biāo)做方便些

求交點，14．求由拋物線及直線所圍成的均勻薄片（面密度為常數(shù)）對于直線的轉(zhuǎn)動慣量．

解：

15．設(shè)在面上有一質(zhì)量為M的勻質(zhì)半圓形薄片，占有平面閉區(qū)域，過圓心垂直于薄片的直線上有一質(zhì)量為的質(zhì)點，求半圓形薄片質(zhì)點的引力．

解：，由對稱性，