第一篇：高數(shù)下冊(cè)總結(jié)(同濟(jì)第六版)

高數(shù)同濟(jì)版下 高數(shù)（下）小結(jié)

一、微分方程復(fù)習(xí)要點(diǎn)

解微分方程時(shí)，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應(yīng)解法 求出其通解.一階

微分方程的解法小結(jié)：

高數(shù)同濟(jì)版下 二階微分方程的解法小結(jié)：

非齊次方程的特解的形式為：

高數(shù)同濟(jì)版下 主要 一階

1、可分離變量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解；

3、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解

二、多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一、偏導(dǎo)數(shù)的求法

1、顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法 時(shí)，應(yīng)將看作常量，對(duì)求導(dǎo)，在求時(shí)，應(yīng)將看作常量，對(duì)求導(dǎo)，所運(yùn) 用的是一元函數(shù)的求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式

2、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法 設(shè)，，則，幾種特殊情況： 1），，則2），則 3），則

3、隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的求法 1）一個(gè)方程的情況，設(shè)是由方程唯一確定的隱函數(shù)，則，高數(shù)同濟(jì)版下 或者視，由方程兩邊同時(shí)對(duì) 2）方程組的情況 由方程組.兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)解出即可

二、全微分的求法 方法1：利用公式 方法2：直接兩邊同時(shí)求微分，解出即可.其中要注意應(yīng)用微分形式的不變性：

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法 1）設(shè)空間曲線Г的參數(shù)方程為，則當(dāng)時(shí)，在曲線上對(duì)應(yīng) 處的切線方向向量為，切線方程為 法平面方程為 2）若曲面的方程為，則在點(diǎn)處的法向，切平面方程為 法線方程為 高數(shù)同濟(jì)版下 若曲面的方程為，則在點(diǎn)處的法向，切平面方程為 法線方程為

四、多元函數(shù)極值（最值）的求法 1 無(wú)條件極值的求法 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由，解出駐點(diǎn)，記，1）若 時(shí)有極小值 2）若，則在點(diǎn)處無(wú)極值 3）若，不能判定在點(diǎn)處是否取得極值，則在點(diǎn)處取得極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng) 2 條件極值的求法 函數(shù)在滿足條件下極值的方法如下： 1）化為無(wú)條件極值：若能從條件解出代入中，則使函數(shù)成為一元函數(shù)無(wú)條件的極值問(wèn)題 2）拉格朗日乘數(shù)法 作輔助函數(shù)，其中為參數(shù)，解方程組 高數(shù)同濟(jì)版下 求出駐點(diǎn)坐標(biāo)，則駐點(diǎn)可能是條件極值點(diǎn) 3 最大值與最小值的求法 若多元函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，求出函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的駐點(diǎn)，計(jì)算出在這些點(diǎn)處的函數(shù)值，并與區(qū)域的邊界上的最大（最?。┲当容^，最大（最?。┱?，就是最大（最小）值.主要

1、偏導(dǎo)數(shù)的求法與全微分的求法；

2、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

3、最大值與最小值的求法

三、多元函數(shù)積分學(xué)復(fù)習(xí)要點(diǎn) 七種積分的概念、計(jì)算方法及應(yīng)用如下表所示：

高數(shù)同濟(jì)版下 高數(shù)同濟(jì)版下 *定積分的幾何應(yīng)用 定積分應(yīng)用的常用公式：(1)面積(2)體積（型區(qū)域的面積）（橫截面面積已知的立體體積）（所圍圖形繞 的立體體積）（所圍圖形繞 體體積）（所圍圖形繞軸 的立體體積）

第二篇：高數(shù)下冊(cè)總結(jié)

篇一：高數(shù)下冊(cè)總結(jié)

高數(shù)（下）小結(jié)

一、微分方程復(fù)習(xí)要點(diǎn)

解微分方程時(shí)，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應(yīng)解法 求出其通解.一階微分方程的解法小結(jié)：

二階微分方程的解法小結(jié)：

非齊次方程y???py??qy?f(x)的特解y?

主要: 量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解；

二、多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

1、顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法 在求

?z?x 量，對(duì)x求導(dǎo)，在求

?z?y 量，對(duì)y求導(dǎo)，所運(yùn)

求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式.2數(shù)的求法

u???x,y?，v???x,y?，則

?z?x ?z?u ?u?x ?z?v ?v?x ?z?y ? 的形式為：

一階

1、可分離變、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解

一、偏導(dǎo)數(shù)的求法 時(shí)，應(yīng)將y看作常時(shí)，應(yīng)將x看作常用的是一元函數(shù)的、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)設(shè)z?f?u,v?，3 ?z?u ? ?u?y ? ?z?v ? ?v?y 幾種特殊情況：

1u???x?，v???x?，則2）z?f?x,v?，v???x,y?，則

?z?x dzdx???f?vdzdu???u?x ??z?v ?dvdx ?v?y ? ?f?x ?v?x ?z?y ? ?f?u ? 3則

3、隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的求法 1）一個(gè)方程的情況

?z?x ? dzdu ? ?u?x ?z?y ? dzdu ? ?u?y 設(shè)z?z?x,y?是由方程f?x,y,z??0唯一確定的隱函數(shù)，則

?z?x fxfz ??）z?f?u,v?，）z?f?u?，u???x,y?，?fz ?0?，?z?y ?? fyfz ?fz ?0? 或者視z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0兩邊同時(shí)對(duì)x(或y)求導(dǎo)解出

2）方程組的情況 ?z?x(或 ?z?y).?f?x,y,u,v??0?z?z)即可.由方程組?兩邊同時(shí)對(duì)x(或y)求導(dǎo)解出(或

?x?y??gx,y,u,v?0?

二、全微分的求法 方法1：利用公式du? ?u?x dx? ?u?y dy? ?u?z dz 方法2：直接兩邊同時(shí)求微分，解出du即可.其中要注意應(yīng)用微分形式的不變性：

??z du???u? dz?? ?z?dx??x?? ?z?v?z?y dv dy

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

?x???t? ? 1）設(shè)空間曲線г的參數(shù)方程為 ?y???t?，則當(dāng)t?t0時(shí)，在曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn) ?z???t??p0?x0,y0 ? ,z0?處的切線方向向量為t???t0?,? ?

?t0?,??t0??，切線方程為

x?x0 ??t0? ? y?y0 ? ?t0? ? z?z0 ? ?t0?

法平面方程為 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程為f? x,y,z??0，則在點(diǎn)p0?x0,y0,z0?處的法向量

?n? ?f x ,fy,fz ? p0，切平面方程為

fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法線方程為 x?x0 fx?x0,y0,z0? ? y?y0 fy?x0,y0,z0? ? z?z0 fz?x0,y0,z0? 若曲面?的方程為z?f?x,y?，則在點(diǎn)p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程為

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法線方程為

x?x0fx?x0,y0? ? y?y0fy?x0,y0? ?z?z0?1

四、多元函數(shù)極值（最值）的求法 1 無(wú)條件極值的求法

在點(diǎn)p0?x0,y0?的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由fx?x,y??0，fy ?x,y??0點(diǎn)? x0,y0 ? a?fxx ?x0 ,y0 ? b?fxy ?x0 ,y0 ? c?fyy ?x0,y0?.2 c?b1 ?x ,y?取得極值，且當(dāng)a?0時(shí)有極大值，當(dāng)a?0 2則f?x,y?在點(diǎn)?x0,y0?處無(wú)極值.3）若ac?b 2 ?0 ?x ,y?是否取得極值.設(shè)函數(shù)z?f?x,y?，解出駐，記，）若a?0，則f 在點(diǎn)?x0,y0?處時(shí)有極小值.）若ac?b2?0，不能判定f 在點(diǎn)?x0,y0?處 2 條件極值的求法

函數(shù)z?f?x,y?在滿足條件??x,y??0下極值的方法如下：

1）化為無(wú)條件極值：若能從條件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，則使函數(shù)z?z(x,y)成為一元函數(shù)無(wú)條件的極值問(wèn)題.2）拉格朗日乘數(shù)法

作輔助函數(shù)f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?為參數(shù)，解方程組

篇二：高數(shù)下冊(cè)總結(jié)(同濟(jì)第六版)高數(shù)（下）小結(jié)

一、微分方程復(fù)習(xí)要點(diǎn)

解微分方程時(shí)，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應(yīng)解法 求出其通解.一階微分方程的解法小結(jié)：

二階微分方程的解法小結(jié)：

? 非齊次方程y???py??qy?f(x)的特解y的形式為：

主要: 一階

1、可分離變量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解；

3、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解

二、多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一、偏導(dǎo)數(shù)的求法

1、顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法 在求

?z?z時(shí)，應(yīng)將y看作常量，對(duì)x求導(dǎo)，在求時(shí)，應(yīng)將x看作常量，對(duì)y求導(dǎo)，所運(yùn)?x?y 用的是一元函數(shù)的求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式.2、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法

設(shè)z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，則

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v，?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y 幾種特殊情況： 1）z?f?u,v?，u???x?，v???x?，則2）z?f dzdz?u?zdv dxdu?x?vdx?f?v ?x,v?則?x??x??v??x，?z?f ?z?f?v?? ?y?u?y 3則

3、隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的求法 1）一個(gè)方程的情況

?zdz?u?zdz?u，?xdu?x?ydu?y 方程f?x,y,z??0唯一確定的隱函數(shù)，則

f?z ??x ?xfz ?fz ?z ?0? ?y fyfz ?fz ?0? 或者視z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0兩邊同時(shí)對(duì)x(或y)求導(dǎo)解出 2由方程組? ?z?z(?f?x,y,u,v??0?z?z 求導(dǎo)解出(或)即可.?x?y?g?x,y,u,v??0 方法1：利用公式du? ?u?u?u，v???x,y?，）z?f?u?，u???x,y?設(shè)z?z?x,y?是由，??）方程組的情況 或).?x?y 兩邊同時(shí)對(duì)x(或y)

二、全微分的求法 dx?dy?dz ?x?y?z 方法2：直接兩邊同時(shí)求微分，解出du即可.其中要注意應(yīng)用微分形式的不變性：

?z??z du?dv??v??u dz?? ?z?z?dx?dy ?y???x

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

?x???t? ? 1）設(shè)空間曲線г的參數(shù)方程為 ?y???t?，則當(dāng)t?t0時(shí)，在曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)

?z???t?? ? p0?x0,y0,z0?處的切線方向向量為t???t0?,??t0?,??t0?，切線方程為

?? x?x0y?y0z?z0 ?? ?t0?t0?t0法平面方程為 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程為f?x,y,z??0，則在點(diǎn)p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx,fy,fz? p0，切平面方程為

fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法線方程為

x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0,z0fyx0,y0,z0fzx0,y0,z0 若曲面?的方程為z?f?x,y?，則在點(diǎn)p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程為

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法線方程為

x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0fyx0,y0?1

四、多元函數(shù)極值（最值）的求法 1 無(wú)條件極值的求法

設(shè)函數(shù)z?f?x,y?在點(diǎn)p0?x0,y0?的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由fx?x,y??0，fy?x,y??0，解出駐點(diǎn)?x0,y0?，記a?fxx?x0,y0?，b?fxy?x0,y0?，c?fyy?x0,y0?.c?b1）若a 時(shí)有極小值.2）若ac?b2?0，則f?x,y?在點(diǎn)?x0,y0?處無(wú)極值.3）若ac?b?0，不能判定f?x,y?在點(diǎn)?x0,y0?處是否取得極值.2 2 ?0，則f?x,y?在點(diǎn)?x0,y0?處取得極值，且當(dāng)a?0時(shí)有極大值，當(dāng)a?0 2 條件極值的求法

函數(shù)z?f?x,y?在滿足條件??x,y??0下極值的方法如下：

1）化為無(wú)條件極值：若能從條件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，則使函數(shù)z?z(x,y)成為一元函數(shù)無(wú)條件的極值問(wèn)題.2）拉格朗日乘數(shù)法

作輔助函數(shù)f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?為參數(shù)，解方程組 篇三：高數(shù)下冊(cè)公式總結(jié)

第八章 向量與解析幾何

第十章 重積分

第十一章曲線積分與曲面積分

篇四：高數(shù)下冊(cè)積分方法總結(jié)

積分方法大盤點(diǎn)

現(xiàn)把我們學(xué)了的積分方法做個(gè)大總結(jié)。

1、二重積分

1.1 x型區(qū)域上二重積分（必須的基本方法）

（1）后x先y積分，d往x軸上的投影得區(qū)間[a,b]；（2）x [a,b]，x=x截d得截線y1(x)＃yy2(x)（小y邊界y=y1(x)大y邊界y=y2(x)）；

（3）b y(x)蝌f(x,y)dxdy= 蝌dx 2f(x,y)dya yd 1(x)1.2 y型區(qū)域上二重積分（必須的基本方法）

（1）后y先x積分，d往y軸上的投影得區(qū)間[c,d]；（2）y [c,d]，y=y截d得截線x1(y)＃xx2(y)（小x邊界x=x1(y)大x邊界x=x2(y)）；

（3）d x蝌f(x,y)dxdy= 蝌dy 2(y)f(x,y)dxc x d 1(y)1.2 極坐標(biāo)二重積分（為簡(jiǎn)單的方法）

（1）總是后q先r積分；（2）b r蝌f(x,y)ds= 蝌dq 2(q)f(rcosq,rsinq)rdra r(q)d 1其中，在d上a是最小的q，b是最大的q；q [a,b]，射線q=q截d得截線r1(q)＃r r2(q)（小r邊界r=r1(q)大r邊界r=r2(q)）。用坐標(biāo)關(guān)系

x=rcosq，y=rsinq和面積元素ds=dxdy=rdqdr代入（多一個(gè)因子r）。

當(dāng)積分區(qū)域d的邊界有圓弧，或被積函數(shù)有x2+y2 時(shí)，用極坐標(biāo)計(jì)算二重

積分特別簡(jiǎn)單。

離 散

數(shù) 學(xué)

2、三重積分 2.1 二套一方法（必須的基本方法）（1）幾何準(zhǔn)備

(i)將積分區(qū)域w投影到xoy面，得投影區(qū)域dxy；

(ii)以dxy的邊界曲線為準(zhǔn)線，作一個(gè)母線平行于z軸的柱面．柱面將閉區(qū)域w的邊界曲面分割為上、下兩片曲面s2:z=z2(x,y（）大z邊界）；

s 1 :z=z1(x,y（）小z邊界）

（(x,y)dxy，過(guò)(x,y)點(diǎn)平行于z軸的直線截w得截線z1(x,y)＃z z2(x,y)）

；（2）z蝌蝌 f(x,y,z)dxdydz=蝌

dxdy2(x,y)f(x,y,z)dzz。

w d1(x,y)xy 還有兩種（w往xoz或yoz面投影）類似的二套一方法（舉一反三）。2.2 一套二方法（為簡(jiǎn)單的方法）（1）幾何準(zhǔn)備

(i)把w往z投影得輊犏臌 c,d；(ii)任意給定z?輊犏臌

c,d，用平面z=z截w得截面（與z有關(guān)）dz；（2）d蝌蝌

f(x,y,z)dxdydz=dz f(x,y,z)dxdy，c 蝌 w dz 還有兩種（w往x或y軸投影）類似的一套二方法（舉一反三）。2.3 柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分（為簡(jiǎn)單的方法）

（1）把積分寫成二套一zx,y)蝌蝌

f(x,y,z)dxdydz=蝌

dxdy2(f(x,y,z)dzz,y)w d1(xxy（2）用極坐標(biāo)計(jì)算外層的二重積分

z蝌蝌f(x,y,z)dv= 蝌

dxdy2(x,y)f(x,y,z)dz zw d1(x,y)xyb r2(q)zrcosq,rsinq)= 蝌dqrdr f(rcosq,rsinq,z)dz a r 2(1(q)z 1(rcosq,rsinq)（注意：里層的上下限也要用x=rcosq，y=rsinq代入）。（當(dāng)用極坐標(biāo)計(jì)算

外層二重積分簡(jiǎn)單時(shí)。）

還有兩種（w往xoz或yoz面投影的二套一）類似的極坐標(biāo)計(jì)算方法（舉

第1章

集 合

離 散

數(shù) 學(xué)

2.3 三重積分（為簡(jiǎn)單的方法）

x=rcosqsinjy,=rsiqn sjinz=,r jc dv=dxdydz=r 2 sinjdrdqdj個(gè)因子r 2 sinj

蝌

f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdrdqdj w w 下限變成三次積分（總是先r后j最后q積分）

f(x,y,z)dvw b jr dq2(q)dj 2(q,j)

一反三）。

球面坐標(biāo)計(jì)算（1）用坐標(biāo)關(guān)系和o體積元素（多一）代入

蝌蝌f(x,y,z)dv=；（2）三種情況定上蝌

=蝌f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdr a j 1(q)r 1(q,j)當(dāng)w是課堂講的三種情況或被積函數(shù)有x2+y2+z2時(shí)用球面坐標(biāo)計(jì)算簡(jiǎn)單。第1章

集 合

3曲線積分 3.1平面情形

（1）準(zhǔn)備 ?l:?x=x(t), ?y=y(t)(t?[a,b])ds=

；

?? ,f(x,y)ds= f(x(t),y(tt l a l:?l:y=y(x)(x [a,b])時(shí)用x作?í

x=x ?(x?[a,b])當(dāng)??y=y(x)ì?l:x= x(y)(y [c,數(shù)l:?í

x=x(y)??? y=y(y?[c,d])3.2 空間情形

、第一類對(duì)弧長(zhǎng)的ì

í，（2）代入b蝌。ì

當(dāng)參數(shù)；時(shí)用d]y作參。ì??x=x(t)

（1）準(zhǔn)備 l:? ? íy=y(t)(t [a,b? ])，ds=

；

z=z(t)蝌f(x,y,z)ds= f(x(t),y(t),z(tt l a y=y(x)??x=x ?(x?[a,b])作參數(shù)l:?x)x(ab[,；??z=z(x)í?y=y(] ?? z=z(x)l:?? x=x(y)?z=z(y(y?[c,d])時(shí)用y作參數(shù)

l:??)? y=y(y [c,d])z=z(y)ì?x=x(??x=x(z)l:? z)?(z?[c,d])作參數(shù)l:??í?? y=y(z)? y=y(z)(z [c,d])。z=z 間的特例。

篇五：高數(shù)下冊(cè)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

下冊(cè)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

（2）代入b。ìì 當(dāng)l:???í時(shí)用x當(dāng)?? ìì??x=x(y)í í?? ；當(dāng) ìí 時(shí)用z平面是空高數(shù) 8空間解析幾乎與向量代數(shù)

1.給定向量的坐標(biāo)表達(dá)式，如何表示單位向量、方向數(shù)與方向余弦、投影。

2.向量的數(shù)量積、向量積的定義式與坐標(biāo)式，掌握兩個(gè)向量垂直和平行的條件。3.了解常用二次曲面的方程及其圖形，以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程。空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影方程。

4.平面方程和直線方程及其求法。

5.平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題。

6.點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1.有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的求解方法，偏導(dǎo)要求求到二階。

2.復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，隱函數(shù)求導(dǎo)公式和方法。

3.空間曲線的切線和法平面方程，空間曲面的切平面與法線方程；函數(shù)沿著一條直線的方向?qū)?shù)與梯度。4.利用充分條件判斷函數(shù)的極值問(wèn)題；利用拉格朗日乘子法（即條件極值）分析實(shí)際問(wèn)題或給定函數(shù)的最值問(wèn)題。

重積分

1.二重積分直角坐標(biāo)交換積分次序；選擇合適的坐標(biāo)系計(jì)算二重積分。

2.選擇合適的坐標(biāo)系計(jì)算三重積分。

3.利用二重積分計(jì)算曲面的面積；利用三重積分計(jì)算立體體積；

4.利用質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式求解問(wèn)題。

11曲面積分與曲線積分

1.兩類曲線積分的計(jì)算與聯(lián)系；

2.兩類曲面積分的計(jì)算與聯(lián)系；

3.格林公式和高斯公式的應(yīng)用。

第三篇：高數(shù)下冊(cè)總結(jié)

第四講 向量代數(shù)、多元函數(shù)微分與空間解析幾何

一、理論要求 1.向量代數(shù) 理解向量的概念（單位向量、方向余弦、模）了解兩個(gè)向量平行、垂直的條件 向量計(jì)算的幾何意義與坐標(biāo)表示

理解二元函數(shù)的幾何意義、連續(xù)、極限概念，閉域性質(zhì) 理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分概念 能熟練求偏導(dǎo)數(shù)、全微分

熟練掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法

理解多元函數(shù)極值的求法，會(huì)用Lagrange乘數(shù)法求極值 掌握曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法 會(huì)求平面、直線方程與點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離 2.多元函數(shù)微分

3.多元微分應(yīng)用 4.空間解析幾何

二、題型與解法 A.求偏導(dǎo)、全微分

1.f(x)有二階連續(xù)偏導(dǎo)，z?f(exsiny)滿足zxx?zyy?ez，求

''''2xf(x)

解：f''?f?0?f(u)?c1eu?c2e?u

1?2z2.z?f(xy)?y?(x?y)，求

x?x?y3.y?y(x),z?z(x)由z?xf(x?y),F(x,y,z)?0決定，求dz/dx

B.空間幾何問(wèn)題

4.求和。解：x/2x?y?z?a上任意點(diǎn)的切平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的截距之

x0?y/y0?z/z0?a?d?a

225.曲面x?2y?3z?21在點(diǎn)(1,?2,2)處的法線方程。

C.極值問(wèn)題

2226.設(shè)z?z(x,y)是由x?6xy?10y?2yz?z?18?0確定的函數(shù)，求z?z(x,y)的極值點(diǎn)與極值。

三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）

xy?2z1.z?f(xy,)?g(),求

yx?x?y2.z?f(xy,xy?z?g()),求 yx?x3.z?u,u?lnx?y,??arctan?22y,求dz

x第五講 多元函數(shù)的積分

一、理論要求 1.重積分

2.曲線積分

3.曲面積分

二、題型與解法 A.重積分計(jì)算 熟悉二、三重積分的計(jì)算方法（直角、極、柱、球）

?b2(x)??f(x,y)dxdy????adx?yy1(x)f(x,y)dy D????2?r2(?)?1d?r1(?)f(r,?)rdr?by2??(x)z2(x,y)adx?y1(x)dy?z1(x,y)f(x,y,z)dz???f(x,y,z)dxdydz???V??z2z1dz??2(z)r2(z,?)?1(z)d??r1(z,?)f(r,?,z)rdr ?????2(?)r2(?,?),?)r2?d???1(?)d??r1(?,?)f(r,?sin?dr會(huì)用重積分解決簡(jiǎn)單幾何物理問(wèn)題（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）z?f(x,y)?A???1?z'22Dx?z'ydxdy

理解兩類曲線積分的概念、性質(zhì)、關(guān)系，掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法

?L:y?y(x)??bf(x,y(x))1?y'2?axdx?Lf(x,y)dl???L:???x?x(t)?y?y(t)????f(x(t),y(t))x'2t?y'2tdt

??L:r?r(?)????f(rcos?,rsin?)r2?r'2d?熟悉Green公式，會(huì)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件

理解兩類曲面積分的概念（質(zhì)量、通量）、關(guān)系 熟悉Gauss與Stokes公式，會(huì)計(jì)算兩類曲面積分

??S:z?z(x,y)f(x,y,z)dS???f(x,y,z(x,y))1?z'22x?z'ydxdyGauss:????Dxy?SE?dS??????EdV(通量，散度）Stokes:???V?LF?dr???S(??F?)?dS(旋度）22?y21.I?????(x?y)dV,?為平面曲線??2z0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周與z=8

?x?的圍域。解：I??82282?2z0dz??x2?y2?2z(x?y)dxdy??0dz?0d??0r2rdr?1024?3

2.I???x2?y24a2?x2?y22Ddxdy,D為y??a?a2?x2(a?0)與y??x圍域。（I?a(?21?)162?x2y,1?x?2,0?y?x3.f(x,y)??，?0,其他求

??Df(x,y)dxdy,D:x2?y2?2x

(49/20)B.曲線、曲面積分 4.I?(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy

?L L從A(2a,0)沿y?2ax?x2至O(0,0)

解：令L1從O沿y?0至A

I?L?L1??????(b?a)dxdy??(?bx)dx?(L1D02a?2?2)a2b??2a3

5.I?xdy?ydx?L4x2?y2,L為以(1,0)為中心，R(?1)為半徑的圓周正向。

解：取包含(0,0)的正向L1:?

?2x?rcos?，?y?rsin?LL?L1?????LL1?0????L1??

6.對(duì)空間x>0內(nèi)任意光滑有向閉曲面S，??Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0，且f(x)在x>0有連續(xù)一

x??0?階導(dǎo)數(shù)，limf(x)?1,求f(x)。

???0???F?dS??????FdV????(f(x)?xf'(x)?xf(x)?e2x)dV 解：

s??112xexx(e?1)

y'?(?1)y?e?y?xxx第七講 無(wú)窮級(jí)數(shù)

一、理論要求

1.收斂性判別 級(jí)數(shù)斂散性質(zhì)與必要條件

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、幾何級(jí)數(shù)、p級(jí)數(shù)斂散條件 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較、比值、根式判別法 2.冪級(jí)數(shù)

3.Fourier級(jí)數(shù) 交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法

冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域的求法

冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的基本性質(zhì)（和函數(shù)連續(xù)、逐項(xiàng)微積分）Taylor與Maclaulin展開

了解Fourier級(jí)數(shù)概念與Dirichlet收斂定理 會(huì)求[?l,l]的Fourier級(jí)數(shù)與[0,l]正余弦級(jí)數(shù)

第四篇：同濟(jì)六版上冊(cè)高數(shù)總結(jié)(一些重要公式及知識(shí)點(diǎn))

同濟(jì)六版上冊(cè)高數(shù)總結(jié)

微分公式與積分公式

(tgx)??secx

(ctgx)???csc2x

(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna

1(logax)??xlna2(arcsinx)??1?x21(arccosx)????x21(arctgx)??1?x21(arcctgx)???1?x2?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aa

dx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a

?

2ndx2?cos2x??secxdx?tgx?Cdx2?csc2?sinx?xdx??ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?Cax?adx?lna?Cx?shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?

2In??sinxdx??cosnxdx?00n?1In?2n

?

?

?

x2a22x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C22x2a2222x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C22x2a2x222a?xdx?a?x?arcsin?C22a22

三角函數(shù)的有理式積分：

2u1?u2x2du

sinx?，cosx?，u?tg，dx?

21?u21?u21?u2

兩個(gè)重要極限：

公式1lim

sinx

?1公式2lim(1?x)1/x?e

x?0x?0x

有關(guān)三角函數(shù)的常用公式

和差角公式：

和差化積公式：

sin??sin??2sin

sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?tg(???)?

tg??tg?1?tg??tg?ctg??ctg??

1ctg(???)?

ctg??ctg?

???

22??????

sin??sin??2cossin

22??????

cos??cos??2coscos

22??????

cos??cos??2sinsin

cos

???

三倍角公式:半角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)sin(α/2)=±√(1-cosα)/2cos(3α)=4cos^3(α)-3cosαCos(α/2)=±√(1+cosα)/2

降冪公式:萬(wàn)能公式：

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

推導(dǎo)公式

tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

abc

???2R正弦定理：

sinAsinBsinC

余弦定理： c2?a2?b2?2abcosC反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx?arccosx?

?

arctgx?arcctgx?

?

(特別要注意這兩個(gè)恒等式，證明的話，只需做出左邊的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0即可）

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：

(uv)

(n)

k(n?k)(k)

??Cnuvk?0n

?u(n)v?nu(n?1)v??

n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)

uv?????uv???uv(n)

2!k!

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：

拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)f(b)?f(a)f?(?)

?

F(b)?F(a)F?(?)

當(dāng)F(x)?x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds??y?2dx,其中y??tg?平均曲率：K?

??

??:從M點(diǎn)到M?點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；?s：MM?弧長(zhǎng)。?s

y????d?

M點(diǎn)的曲率：K?lim??.23?s?0?sds(1?y?)

直線：K?0;1

半徑為a的圓：K?.a

定積分的近似計(jì)算：

b

?f(x)?

ab

b?a

(y0?y1?L?yn?1)n

b?a1

[(y0?yn)?y1?L?yn?1] n2

?f(x)?

a

定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

功：W?F?s

水壓力：F?p?A

mm

引力：F?k122,k為引力系數(shù)

r

b1

函數(shù)的平均值：y?f(x)dx?b?aa12f(t)dt?b?aa

b

微分方程的相關(guān)概念：

一階微分方程：y??f(x,y)或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0

可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：

?g(y)dy??f(x)dx得：G(y)?F(x)?C稱為隱式通解。

dyy

?f(x,y)??(x,y)，即寫成的函數(shù)，解法：dxx

ydydududxduy設(shè)u?，則?u?x，u???(u)，??代替u，xdxdxdxx?(u)?ux齊次方程：一階微分方即得齊次方程通解。

一階線性微分方程：

dy

1?P(x)y?Q(x)

dx

?P(x)dx

當(dāng)Q(x)?0時(shí),為齊次方程，y?Ce?

當(dāng)Q(x)?0時(shí)，為非齊次方程，y?(?Q(x)e?dy

2?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)

dx

P(x)dx

dx?C)e?

?P(x)dx

全微分方程：

如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函數(shù)的全微分方程，即：

?u?u

du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0?P(x,y)?Q(x,y)

?x?y?u(x,y)?C應(yīng)該是該全微分方程的通解。

二階微分方程：

f(x)?0時(shí)為齊次d2ydy

?P(x)?Q(x)y?f(x)2

dxdxf(x)?0時(shí)為非齊次

二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：

(*)y???py??qy?0，其中p,q為常數(shù)；求解步驟：

1、寫出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中y??,y?,y的系數(shù)；

2、求出(?)式的兩個(gè)根r1,r23、根據(jù)r1,r2的不同情況，按下表寫出(*)式的通解：

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y???py??qy?f(x)，p,q為常數(shù)f(x)?e?xPm(x)型，?為常數(shù)；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型

第五篇：高數(shù)下冊(cè)各類積分方法總結(jié)

綜述：高數(shù)下冊(cè)，共有如下幾類積分：二重積分，三重積分，第一類線積分，第二類線積分，第一類面積分，第二類面積分。其中，除線積分外，個(gè)人認(rèn)為，拿到題后，首先應(yīng)用對(duì)稱性把運(yùn)算簡(jiǎn)化，線積分的對(duì)稱性，不太常用，可以參照面積分的對(duì)稱性，將積分曲面換成積分曲線即可，恕不贅述。另外要注意線積分和面積分的方向性，線積分以逆時(shí)針為正方向，面積分以坐標(biāo)軸正向?yàn)檎较?。二重積分 對(duì)稱性：

積分區(qū)間D關(guān)于X軸對(duì)稱：被積函數(shù)是關(guān)于Y的奇函數(shù)，則結(jié)果為0：

被積函數(shù)是關(guān)于Y的偶函數(shù)，則結(jié)果為在一半?yún)^(qū)間上積分的2倍 方法：分別對(duì)x、y積分，將其中一個(gè)變量寫成另一個(gè)的表達(dá)形式||極坐標(biāo)換元 三重積分 對(duì)稱性：

積分區(qū)間Ω關(guān)于xy面對(duì)稱：被積函數(shù)是關(guān)于z的奇函數(shù)，則結(jié)果為0；

被積函數(shù)是關(guān)于z的偶函數(shù)，則結(jié)果為在一半?yún)^(qū)間上積分的2倍 方法：先重后單||先單后重（極坐標(biāo)）||柱坐標(biāo)||球坐標(biāo)

第一類線積分

x,y,z型：具有關(guān)于參數(shù)t的表達(dá)試，用基本公式，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的積分

x,y型：排除上一種條件的話，通常將y表示為關(guān)于x的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的積分

第二類線積分 方法：

1、用曲線的切線的方向角余弦，轉(zhuǎn)化成第一類線積分

2、有參數(shù)t，可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的積分

3、將y表示為關(guān)于x的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的積分

4、封閉曲線，通常自己構(gòu)造，可采用格林公式轉(zhuǎn)化為二重積分 另：注意與路徑無(wú)關(guān)的積分

第一類面積分 對(duì)稱性：

積分曲面關(guān)于XY面對(duì)稱：被積函數(shù)是關(guān)于z的奇函數(shù)，則結(jié)果為0：

被積函數(shù)是關(guān)于z的偶函數(shù)，則結(jié)果為在一半曲面上積分的2倍

計(jì)算方法：常規(guī)的話，只有一種，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y或z的積分。詳見書本上的公式。

第二類面積分 對(duì)稱性:

積分曲面關(guān)于XY面對(duì)稱：被積函數(shù)是關(guān)于z的偶函數(shù)，則結(jié)果為0：

被積函數(shù)是關(guān)于z的奇函數(shù)，則結(jié)果為在一半曲面上積分的2倍（注意區(qū)別于第一類）計(jì)算方法：

1、用曲面的切線的方向角余弦，轉(zhuǎn)化成第一類面積分

2、轉(zhuǎn)化為二重積分，直接在前面添正負(fù)號(hào)即可

3、封閉曲面，可以用高斯公式，轉(zhuǎn)化為三重積分，一般封閉曲面都是人為構(gòu)造的，所以注意減掉構(gòu)造面，并注意方向

4、斯托克斯公式，轉(zhuǎn)化為第二類線積分，不常用

PS：用函數(shù)表達(dá)式，可以化簡(jiǎn)線面積分的被積函數(shù)，另有積分相關(guān)考點(diǎn)，旋度，散度，質(zhì)量，質(zhì)心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，求曲面?zhèn)让婷娣e，頂面面積，曲頂柱體體積~~~多多復(fù)習(xí)，牢記公式，一定可以渡過(guò)積分這個(gè)難關(guān)~