第一篇：高考卷,95屆,普通高等學校招生全國統(tǒng)一考數(shù)學試題及答案（文）（大全）
1995年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(文史類)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題共65分)一、選擇題(本大題共15小題；
第1－10題每小題4分，第11－15題每小題5分，共65分，在每小題給出的四個選項中，只有一項有符合題目要求的)1．已知集合I={0，－1，－2，－3，－4}，集合M={0，－1，－2，}，N={0，－3，－4}，則()(A){0}(B){－3，－4}(C){－1，－2}(D)2．函數(shù)y=的圖像是()3．函數(shù)y=4sin(3x+)+3cos(3x+)的最小正周期是()(A)6π(B)2π(C)(D)4．正方體的全面積是a2，它的頂點都在球面上，這個球的表面積是()(A)(B)(C)2πa2(D)3πa2 5．若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()(A)k1< k2< k3(B)k3< k1< k2(C)k3< k2< k1(D)k1< k3< k2 6．雙曲線3x2－y2=3的漸近線方程是()(A)y=±3x(B)(C)y=(D)y= 7．使sinx≤cosx成立的x的一個變化區(qū)間是()(A)(B)(C)(D)[0，π] 8．x2+y2－2x=0和x2+y2+4y=0的位置關系是()(A)相離(B)外切(C)相交(D)內(nèi)切 9．已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于()(A)(B)－(C)(D)－ 10．如圖ABCD－A1B1C1D1是正方體，B1E1=D1F1=，則BE1與DF1所成的角的余弦值是()(A)(B)(C)(D)11．已知y=loga(2－x)是x的增函數(shù)，則a的取值范圍是()(A)(0，2)(B)(0，1)(C)(1，2)(D)(2，+∞)12．在(1－x3)(1+x)10的展開式中，x5的系數(shù)是()(A)－297(B)－252(C)297(D)207 13．已知直線l⊥平面α，直線m平面β，有下面四個命題，①α∥βl⊥m ②α⊥βl∥m ③l∥mα⊥β ④l⊥mα∥β 其中正確的兩個命題是()(A)①與②(B)③與④(C)②與④(D)①與③ 14．等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別是Sn與Tn，若，則等于()(A)1(B)(C)(D)15．用1，2，3，4，5這五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有()(A)24個(B)30個(C)40個(D)60個 第Ⅱ卷(非選擇題共85分)二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中的橫線上)16．方程log2(x+1)2+log4(x+1)=5的解是_____________ 17．已知圓臺上、下底面圓周都在球面上，且下底面過球心，母線與底面所成角為，則圓臺的體積與球體積之比為____________ 18．函數(shù)y=cosx+cos(x+)的最大值是___________ 19．若直線l過拋物線y2=4(x+1)的焦點，并且與x軸垂直，則l被拋物線截得的線段長為______________ 20．四個不同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有____________種(用數(shù)字作答)三、解答題(本大題共6小題，共65分：解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟)21．(本小題滿分7分)解方程3x+2－32－x=80． 22．(本小題滿分12分)設復數(shù)z=cosθ+isinθ，θ∈(π，2π)，求復數(shù)z2+z的模和輻角 23．(本小題滿分10分)設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，證明：． 24．(本小題滿分12分)如圖，ABCD是圓柱的軸截面，點E在底面的圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足．(1)求證：AF⊥DB(2)如果AB=a，圓柱與三棱錐D－ABE的體積比等于3π，求點E到截面ABCD的距離． 25．(本小題滿分12分)某地為促進淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價格控制在適當范圍內(nèi)，決定對淡水魚養(yǎng)值提供政府補貼，設淡水魚的市場價格為，政府補貼為，根據(jù)市場調(diào)查，當8≤x≤14時，淡水魚的市場日供應量p千克與市場日需求量Q近似地滿足關系：
P=1000(x+t－8)(x≥8，t≥0)，Q=500(8≤x≤14)，當P=Q時的市場價格為市場平衡價格，(1)將市場平衡價格表示為政府補貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域：
(2)為使市場平衡價格不高于每千克10元，政府補貼至少每千克多少元？ 26．(本小題滿分12分)已知橢圓，直線l：x=12，P是l上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上，且滿足|OQ|·|OP|=|OR|2，當點P在l上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線． 1995年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學試題(文史類)參考答案 一、選擇題(本題考查基本知識和基本運算)1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．C 9．A 10．A 11．B 12．D 13．D 14．C 15．A 二、填空題(本題考查基本知識和基本運算)16．3 17． 18． 19．4 20．144 三、解答題 21．本小題主要考查指數(shù)方程的解法及運算能力，解：設y=3x，則原方程可化為9y2－80y－9=0，解得：y1=9，y2= 方程3x=無解，由3x =9得x=2，所以原方程的解為x=2． 22．本小題主要考查復數(shù)的有關概念，三角公式及運算能力，解：z2+z=(cosθ+isinθ)2+(cosθ+isinθ)=cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ =2coscos+i(2sincos)=2 cos(cos+isin)=－2 cos[cos(－π+)+isin(－π+)] ∵ θ∈(π，2π)∴ ∈(，π)∴ －2cos()>0 所以復數(shù)z2+z的模為－2cos，輻角(2k－1)π+(k∈z)． 23．本小題主要考查等比數(shù)列、對數(shù)、不等式等基礎知識以及邏輯推理能力，證法一：設{an}的公比為q，由題設知a1>0，q>0，(1)當q=1時，Sn=na1，從而 Sn·Sn+2－=na1(n+2)a1－(n+1)2=－<0．(2)當q≠1時，從而 Sn·Sn+2－==－qn<0． 由(1)和(2)得Sn·Sn+2<． 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得log0.5(Sn·Sn+2)>log0.5，即． 證法二：設{an}的公比為q，由題設知a1>0，q>0，∵ Sn+1= a1+qSn，Sn+2=a1+ qSn+1，∴ Sn·Sn+2－=Sn(a1+ qSn+1)－(a1+qSn)Sn+1= a1(Sn－Sn+1)=－a1 an+1<0． 即Sn·Sn+2<．(以下同證法一)24．本小題主要考查空間線面關系、圓柱性質(zhì)、空間想象能力和邏輯推理能力．(1)證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，DA⊥平面ABE，∵ EB平面ABE，∴ DA⊥EB，∵ AB是圓柱底面的直徑，點E在圓周上，∴ AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE，∵ AF平面DAE，∴ EB⊥AF，又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB，∵ DB平面DEB，∴ AF⊥DB．(2)解：設點E到平面ABCD的距離為d，記AD=h，因圓柱軸截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB． S△ABD=AB·AD= ∴ VD－ABE=VE－ABD=S△ABD =dah 又V圓柱=a2h 由題設知=3π，即d=． 25．本小題主要考查運用所學數(shù)學知識和方法解決實際問題的能力，以及函數(shù)的概念、方程和不等式的解法等基礎知識和方法． 解：(1)依題設有1000(x+t－8)=500 化簡得5x2+(8t－80)x+(4t2－64t+280)=0，當判別式△=800－16t2≥0時，可得：X=8－t±． 由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式組：
① ② 解不等式組①，得0≤t≤，不等式組②無解，故所求的函數(shù)關系式為 x=8－t+ 函數(shù)的定義域為[0，](2)為使x≤10，應有8－t+≤10，化簡得：t2+4t－5≥0，解得t≥1或t≤－5，由于t≥0知t≥1，從而政府補貼至少為每千克1元． 26．本小題主要考查直線、橢圓的方程和性質(zhì)，曲線與方程的關系，軌跡的概念和求法等解析幾何的基本思想綜合運用知識的能力． 解：設點P、Q、R的坐標分別為(12，yp)，(x，y)，(xR，yR由題設知xR>0，x>0，由點R在橢圓上及點O、Q、R共線，得方程組 解得 ① ② 由點O、Q、P共線，得，即yp=． ③ 由題設|OQ|·|OP|=|OR|2得 將①、②、③式代入上式，整理得點Q的軌跡方程(x－1)2+=1(x>0)所以點Q的軌跡是以(1，0)為中心，長、短半軸長分別為1和，且長軸在x軸上的橢圓、去掉坐標圓點．
第二篇：高考卷 普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學試題（文史類）
絕密★啟用前
2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學試題（文史類）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，則=（）
A.{1}
B.{3，5}
C.{1，2，4，6}
D.{1，2，3，4，5}
【答案】C
考點：補集的運算.【易錯點睛】解本題時要看清楚是求“”還是求“”，否則很容易出現(xiàn)錯誤；一定要注意集合中元素的互異性，防止出現(xiàn)錯誤．
2.已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則（）
A.m∥l
B.m∥n
C.n⊥l
D.m⊥n
【答案】C
【解析】
試題分析：由題意知，．故選C．
考點：線面位置關系.【思路點睛】解決這類空間點、線、面的位置關系問題，一般是借助長方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點、線、面的位置關系．
3.函數(shù)y=sinx2的圖象是（）
【答案】D
【解析】
試題分析：因為為偶函數(shù)，所以它的圖象關于軸對稱，排除A、C選項；當，即時，排除B選項，故選D.考點：三角函數(shù)圖象.【方法點睛】給定函數(shù)的解析式識別圖象，一般從五個方面排除、篩選錯誤或正確的選項：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）從函數(shù)的周期性，判斷函數(shù)的循環(huán)往復；（5）從特殊點出發(fā)，排除不符合要求的選項.4.若平面區(qū)域
夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最
小值是（）
A.B.C.D.【答案】B
考點：線性規(guī)劃.【思路點睛】先根據(jù)不等式組畫出可行域，再根據(jù)可行域的特點確定取得最值的最優(yōu)解，代入計算．畫不等式組所表示的平面區(qū)域時要注意通過特殊點驗證，防止出現(xiàn)錯誤．
5.已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若，則（）
A.B.C.D.【答案】D
考點：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).【易錯點睛】在解不等式時，一定要注意對分為和兩種情況進行討論，否則很容易出現(xiàn)錯誤．
6.已知函數(shù)f（x）=x2+bx，則“b<0”是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的（）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
試題分析：由題意知，最小值為.令，則，當時，的最小值為，所以“”能推出“的最小值與的最小值相等”；
當時，的最小值為0，的最小值也為0，所以“的最小值與的最小值相等”不能推出“”．故選A．
考點：充分必要條件.【方法點睛】解題時一定要注意時，是的充分條件，是的必要條件，否則很容易出現(xiàn)錯誤．充分、必要條件的判斷即判斷命題的真假，在解題中可以根據(jù)原命題與其逆否命題進行等價轉(zhuǎn)化．
7.已知函數(shù)滿足：且.（）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
【答案】B
考點：函數(shù)的奇偶性.【思路點睛】先由已知條件可得的解析式，再由的解析式判斷的奇偶性，進而對選項逐個進行排除．
8.如圖，點列分別在某銳角的兩邊上，且，.(P≠Q(mào)表示點P與Q不重合)若，為的面積，則（）
A.是等差數(shù)列
B.是等差數(shù)列
C.是等差數(shù)列
D.是等差數(shù)列
【答案】A
【解析】
考點：新定義題、三角形面積公式.【思路點睛】先求出的高，再求出和的面積和，進而根據(jù)等差數(shù)列的定義可得為定值，即可得是等差數(shù)列．
二、填空題（本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．）
9.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是______cm2,體積是______cm3.【答案】80；40．
【解析】
試題分析：由三視圖知該組合體是一個長方體上面放置了一個小正方體，．
考點：三視圖.【方法點睛】解決由三視圖求空間幾何體的表面積與體積問題，一般是先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再準確利用幾何體的表面積與體積公式計算該幾何體的表面積與體積．
10.已知，方程表示圓，則圓心坐標是_____，半徑是
______.【答案】；5．
考點：圓的標準方程.【易錯點睛】由方程表示圓可得的方程，解得的值，一定要注意檢驗的值是否符合題意，否則很容易出現(xiàn)錯誤．
11.已知，則______，______．
【答案】；1．
【解析】
試題分析：，所以
考點：三角恒等變換.【思路點睛】解答本題時先用降冪公式化簡，再用輔助角公式化簡，進而對照可得和．
12．設函數(shù)f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，x∈R，則實數(shù)a=_____，b=______．
【答案】－2；1．]
【解析】
試題分析：，所以，解得．
考點：函數(shù)解析式.【思路點睛】先計算，再將展開，進而對照系數(shù)可得含有，的方程組，解方程組可得和的值．
13．設雙曲線x2–=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．若點P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|+|PF2|的取值范圍是_______．
【答案】．
考點：雙曲線的幾何性質(zhì).【思路點睛】先由對稱性可設點在右支上，進而可得和，再由為銳角三角形可得，進而可得的不等式，解不等式可得的取值范圍．
14．如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直線AC將△ACD翻折
成△，直線AC與所成角的余弦的最大值是______．
【答案】
【解析】
試題分析：設直線與所成角為．
設是中點，由已知得，如圖，以為軸，為軸，過與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，由，，作于，翻折過程中，始終與垂直，則，因此可設，則，與平行的單位向量為，所以＝，所以時，取最大值．
考點：異面直線所成角.【思路點睛】先建立空間直角坐標系，再計算與平行的單位向量和，進而可得直線與所成角的余弦值，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得直線與所成角的余弦值的最大值．
15．已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e為平面單位向量，則|a·e|+|b·e|的最大
值是______．
【答案】
【解析】
試題分析：由已知得，不妨取，設，則，取等號時與同號．
所以，（其中，取為銳角）．
顯然
易知當時，取最大值1，此時為銳角，同為正，因此上述不等式中等號能同時取到．故所求最大值為．
考點：平面向量的數(shù)量積和模.【思路點睛】先設，和的坐標，再將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，進而用輔助角公式將三角函數(shù)進行化簡，最后用三角函數(shù)的性質(zhì)可得三角函數(shù)的最大值，進而可得的最大值．
三、解答題（本大題共5小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
16．（本題滿分14分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知b+c=2acos
B．
（Ⅰ）證明：A=2B；
（Ⅱ）若cos
B=，求cos
C的值．
【答案】（I）證明見解析；（II）.因此，（舍去）或，所以，.（II）由，得，故，.考點：三角函數(shù)及其變換、正弦和余弦定理.【思路點睛】（I）用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，進而用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，的式子，根據(jù)角的范圍可證；（II）先用同角三角函數(shù)的基本關系及二倍角公式可得，進而可得和，再用兩角和的余弦公式可得．
17.（本題滿分15分）設數(shù)列{}的前項和為.已知=4，=2+1，.（I）求通項公式；
（II）求數(shù)列{}的前項和.【答案】（I）；（II）.考點：等差、等比數(shù)列的基礎知識.【方法點睛】數(shù)列求和的常用方法：（1）錯位相減法：形如數(shù)列的求和，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列；（2）裂項法：形如數(shù)列或的求和，其中，是關于的一次函數(shù)；（3）分組法：數(shù)列的通項公式可分解為幾個容易求和的部分．
18.（本題滿分15分）如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I）求證：BF⊥平面ACFD；
（II）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.【答案】（I）證明見解析；（II）.【解析】
試題分析：（I）先證，再證，進而可證平面；（II）先找直線與平面所成的角，再在中計算，即可得線與平面所成的角的余弦值．
試題解析：（I）延長相交于一點，如圖所示，因為平面平面，且，所以
考點：空間點、線、面位置關系、線面角.【方法點睛】解題時一定要注意直線與平面所成的角的范圍，否則很容易出現(xiàn)錯誤．證明線面垂直的關鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對角線．
19.（本題滿分15分）如圖，設拋物線的焦點為F，拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距
離等于|AF|-1.（I）求p的值；
（II）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x[軸交于點M.求M的橫坐標的取值范圍.【答案】（I）；（II）.設M(m,0),由A,M,N三點共線得：，于是，經(jīng)檢驗，m<0或m>2滿足題意.綜上，點M的橫坐標的取值范圍是.考點：拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關系.【思路點睛】（I）當題目中出現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離時，一般會想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準線的距離．解答本題時轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準線的距離，進而可得點到軸的距離；（II）通過聯(lián)立方程組可得點的坐標，進而可得點的坐標，再利用，三點共線可得用含有的式子表示，進而可得的橫坐標的取值范圍.20.（本題滿分15分）設函數(shù)=，.證明：
（I）；
（II）.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.由(Ⅰ)得，又因為，所以，綜上，考點：函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù).【思路點睛】（I）先用等比數(shù)列前項和公式計算，再用放縮法可得，進而可證；（II）由（I）的結(jié)論及放縮法可證．
第三篇：78版 普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題及答案
1978年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試
數(shù)學
（理科考生五，六兩題選做一題文科考生五，六兩題選做一題，不要求做第七題）
一．（下列各題每題4分，五個題共20分）
1．分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)
2.已知正方形的邊長為，求側(cè)面積等于這個正方形的面積，高等于這個正方形邊長的直圓柱體的體積
解：設底面半徑為r，則底面周長2πr=
則
3．求函數(shù)的定義域
解：
∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1為其定義域
4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值
解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=
5.化簡：
二
.（本題滿分14分）
已知方程kx2+y2=4，其中k為實數(shù)對于不同范圍的k值，分別指出方程所代表圖形的內(nèi)形，并畫出顯示其數(shù)量特征的草圖
解：1）k>0時，方程的圖形是橢圓，中心在坐標原點，此時又可分為：①k>1時,長軸在y軸上，半長軸=2，半短軸=;
②k=1時,為半徑r=2的圓;
③k<1時,長軸在x軸上，半長軸=，半短軸=2
Y
Y
Y
k=2
A
k=1
(0,2)
k=1/4
O
A
X
O
B
X
O
X
如圖：
2)k=0時，方程為y2=4圖形是兩條平行于x軸的直線
如圖
3）k<0時，方程為
Y
Y
y=2
k=-4
A
O
O
X
B
X
y=-2
這時圖形是雙曲線，中心在坐標原點，實軸在y軸上如圖：
三．（本題滿分14分）
（如圖）AB是半圓的直徑，C是半圓上一點，直線MN切半圓于C點，AM⊥MN于M點，BN⊥MN于N點，CD⊥AB于D點，求證：1)CD=CM=CN.2)CD2=AM·BN
M
C
N
A
B
D
1)證：連CA，CB，則∠ACB=900∠ACM=∠ABC
∠ACD=∠ABC
∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC
∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN
2）∵CD⊥AB，∠ACD=900
∴
CD2=AD·DB
由1）知AM=AD，BN=BD
∴CD2=AM·BN
四．（本題滿分12分）
五．（本題滿分20分）
已知△ABC的三內(nèi)角的大小成等差數(shù)列，tgAtgC=求角A，B，C的大小又已知頂點C的對邊c上的高等于求三角形各邊,b,c的長（提示：必要時可驗證）
六．（本題滿分20分）
七．（本題滿分20分，文科考生不要求作此題）
已知函數(shù)y=x2+(2m+1)x+m2-1(m為實數(shù)）
1）m是什么數(shù)值時，y的極值是0？
2）求證：不論m是什么數(shù)值，函數(shù)圖象（即拋物線）的頂點都在同一條直線L1上畫出m=-1、0、1時拋物線的草圖，來檢驗這個結(jié)論
3）平行于L1的直線中，哪些與拋物線相交，哪些不相交？求證：任一條平行于L1而與拋物線相交的直線，被各拋物線截出的線段都相等
解：用配方法得：
3.設L：x-y=為任一條平行于L1的直線
與拋物線y=x2+(2m+1)x+m2-1方程聯(lián)立求解，消去y，得
x2+2mx+m2-1+=0∴（x+m)2=1-
因而當1-≥0即≤1時，直線L與拋物線相交，而＞1時，直線L與拋物線不相交
而這與m無關
因此直線L被各拋物線截出的線段都相等
一九七八年副題
1．（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3
解：原式=(x-y-1)(x-y+3)
(2)求
解：原式=3/4
（4）已知直圓錐體的底面半徑等于1cm，母線的長等于2cm，求它的體積
解：
解：原式=30
2．已知兩數(shù)x1,x2滿足下列條件：
1）它們的和是等差數(shù)列1，3，…的第20項;
2）它們的積是等比數(shù)列2，-6，…的前4項和
求根為的方程
略解：x1
+x2=39，x1x2=-40故：1/x1+1/x2=-39/40
1/x1·1/x2=-1/40
所求方程為：40x2+39x-1=0.3.已知：△ABC的外接圓的切線AD交BC的延長線于D點，求證：
A
B
E
C
D
證：因為AD是△ABC的外接圓的切線，所以
∠B=∠1∴△ABD∽△CAD
作AE⊥BD于點E，則
A
M
N
α
B
E
F
D
4．（如圖）CD是BC的延長線，AB=BC=CA=CD=，DM與AB，AC分別交于M點和N點，且∠BDM=α
求證：
證：作ME⊥DC于E，由△ABC是等邊三角形，在直角△MBE中，類似地，過N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可證：
5．設有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0）求證：
1）如果f(x)的系數(shù)滿足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一個二次三項式的平方
2）如果f(x)與F(x)=(2x2+x+b)2表示同一個多項式，那么
p2-4q-4(m+1)=0
6．已知：sinx+bcosx
=0.………………………………①
Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②
其中,b不同時為0
求證：2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0
則①可寫成cosysinx-sinycosx=0,∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ(k為整數(shù))，∴x=y+kπ
又sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy=
cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=
代入②，得
7．已知L為過點P而傾斜角為300的直線，圓C為中心在坐標原點而半徑等于1的圓，Q表示頂點在原點而焦點在的拋物線設A為L和C在第三象限的交點，B為C和Q在第四象限的交點
1）寫出直線L、圓C和拋物線Q的方程，并作草圖
2）寫出線段PA、圓弧AB和拋物線上OB一段的函數(shù)表達式
3）設P＇、B＇依次為從P、B到x軸的垂足求由圓弧AB和直線段BB＇、B＇P＇、P＇P、PA所包含的面積
Y
O
X
B
Q
L
P
A
C
解：1）直線L、圓C和拋物線Q的方程為
2)由
Y
P＇
B＇
O
X
B
A
C
Q
L
P
第四篇：普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試題及答案 83屆
1983年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試題及答案
（這份試題共九道大題，滿分120分）
一．（本題滿分10分）本題共有5小題，每小題都給出代號為A，B，C，D的四個結(jié)論，其中只有一個結(jié)論是正確的把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)每一個小題：選對的得2分;不選，選錯或者選出的代號超過一個的（不論是否都寫在圓括號內(nèi)），一律得0分
1．兩條異面直線，指的是
（D）
（A）在空間內(nèi)不相交的兩條直線
（B）分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直線
（C）某一平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線
（D）不在同一平面內(nèi)的兩條直線
2．方程x2-y2=0表示的圖形是
（A）
（A）兩條相交直線
（B）兩條平行直線
（C）兩條重合直線
（D）一個點
3．三個數(shù)a,b,c不全為零的充要條件是
（D）
（A）a,b,c都不是零
（B）a,b,c中最多有一個是零
（C）a,b,c中只有一個是零（D）a,b,c中至少有一個不是零
4．設則的值是
（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．這三個數(shù)之間的大小順序是
（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
二．（本題滿分12分）
1．在同一平面直角坐標系內(nèi)，分別畫出兩個方程的圖形，并寫出它們交點的坐標
2．在極坐標系內(nèi)，方程表示什么曲線？畫出它的圖形
解：
Y
O
X
P
1.圖形如左圖所示
交點坐標是：O（0，0），P（1，-1）
O
X
(,0)
2．曲線名稱是：圓
圖形如右所示
三．（本題滿分12分）
1．已知，求微分
2．一個小組共有10名同學，其中4名是女同學，6名是男同學要從小組內(nèi)選出3名代表，其中至少有1名女同學，求一共有多少種選法
解：1.2．
或：
四．（本題滿分12分）
計算行列式（要求結(jié)果最簡）：
解：把第一列乘以加到第2列上，再把第三列乘以加到第2列上，得
五．（本題滿分15分）
1．證明：對于任意實數(shù)t，復數(shù)的模
適合2．當實數(shù)t取什么值時，復數(shù)的幅角主值適合？
1．證：復數(shù)（其中t
是實數(shù)）的模為
要證對任意實數(shù)t，有，只要證對任意實數(shù)t，成立
對任意實數(shù)t，因為，所以可令
且，于是
2．因為復數(shù)的實部與虛部都是非負數(shù)，所以z的幅角主值一定適合從而
顯然因為
由于
這就是所求的實數(shù)t的取值范圍
六．（本題滿分15分）
如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是側(cè)棱SC上的一點，使截面MAB與底面所成的角等
S
M
P
C
A
N
D
B
于∠NSC，求證SC垂直于截面MAB
證：因為SN是底面的垂線，NC是斜線SC在底面上的射影，AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂線定理）
連結(jié)DM因為AB⊥DC，AB⊥SC，所以AB垂直于DC和SC所決定的平面又因DM在這個平面內(nèi)，所以AB⊥DM
∴∠MDC是截面與底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC
在△MDC和△NSC中，因為∠MDC=∠NSC，∠DCS是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900從而DM⊥SC從AB⊥SC，DM⊥SC，可知SC⊥截面MAB
七．（本題滿分16分）
如圖，已知橢圓長軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，過橢圓焦點F1作一直線，交橢圓于兩點M，N設∠F2F1M=α（0≤α＜π）當α取什么值時，|MN|等于橢圓短軸的長？
Y
M
α
A1
F1
O
F2
A
X
N
解一：以橢圓焦點F1為極點，以F1為起點并過F2的射線為極軸建立極坐標系
由已知條件可知橢圓長半軸a=3，半焦距c=，短半軸b=1，離心率e=，中心到準線距離=,焦點到準線距離p=.橢圓的極坐標方程為
解得
以上解方程過程中的每一步都是可逆的，所以當或時，|MN|等于短軸的長
解二：以橢圓的中心為原點，F(xiàn)1F2所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖）由已知條件知，橢圓的方程為
MN所在直線方程為
解方程組
消去y得.下同解法一
解三：建立坐標系得橢圓如解二，MN所在直線的參數(shù)方程為
代入橢圓方程得
設t1,t2是方程兩根，則由韋達定理，下同解一
解四：設|F1M|=x,則|F2M|=6-x|F1F2|=，∠F2F1M=α
在△MF1F2中由余弦定理得
同理，設|F1N|=y，則|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得
下同解一
八．（本題滿分16分）
已知數(shù)列{an}的首項a1=b(b≠0），它的前n項的和Sn=a1+a2+…+an
(n≥1),并且S1，S2，Sn，…是一個等比數(shù)列，其公比為p（p≠0且|p|＜1）
1．證明：a2,a3,a3,…an,…(即{an}從第二項起）是一個等比數(shù)列
2．設Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求（用b,p表示）
1．證：由已知條件得S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1）
因為當n≥2時，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以
an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)從而
因此a2,a3,a3,…an,…是一個公比為p的等比數(shù)列
2．解：當n≥2時，且由已知條件可知p2<1，因此數(shù)列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比為p2<1的無窮等比數(shù)列于是
從而
九．（本題滿分12分）
1．已知a,b為實數(shù)，并且e
1．證：當e
考慮函數(shù)因為但時，所以函數(shù)內(nèi)是減函數(shù)
因為e
2．證一：由ab=ba，得blna=alnb，從而
考慮函數(shù)，它的導數(shù)是
因為在（0，1）內(nèi)，所以f(x)在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)
由于0 所以a=b 證二：因為0 假如a 矛盾 所以a不能小于b 假如a>b，則，而，這也與矛盾 所以a不能大于b因此a=b 證三：假如a 即ab 假如b 因此a=b 1982年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學（理科） 一．（本題滿分6分） 填表： 函 數(shù) 使函數(shù)有意義的x的實數(shù)范圍 {0} R R [-1,1] (0,+∞） R 解：見上表 二．（本題滿分9分） 1．求（-1+i)20展開式中第15項的數(shù)值; 2．求的導數(shù) 解：1.第15項T15= 2.三．（本題滿分9分） Y X O Y O X 在平面直角坐標系內(nèi)，下列方程表示什么曲線？畫出它們的圖形 1．2． 解：1.得2x-3y-6=0圖形是直線 2.化為圖形是橢圓 四．（本題滿分12分） 已知圓錐體的底面半徑為R，高為H 求內(nèi)接于這個圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h（如圖） A D c H h B E O 2R 解：設圓柱體半徑為r高為h 由△ACD∽△AOB得 由此得 圓柱體體積 由題意，H＞h＞0，利用均值不等式，有 （注：原“解一”對h求導由駐點解得） 五．（本題滿分15分） （要寫出比較過程） 解一：當>1時，解二： 六．（本題滿分16分） A M P（ρ，θ） X O N B 如圖：已知銳角∠AOB=2α內(nèi)有動點P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四邊形PMON的面積等于常數(shù)c2今以O為極點，∠AOB的角平分線OX為極軸，求動點P的軌跡的極坐標方程，并說明它表示什么曲線 解：設P的極點坐標為（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),四邊形PMON的面積 這個方程表示雙曲線由題意，動點P的軌跡是雙曲線右面一支在∠AOB內(nèi)的一部分 七．（本題滿分16分） 已知空間四邊形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA的中點（如圖）求證MNPQ是一個矩形 B M R A N Q D K S P C 證：連結(jié)AC，在△ABC中，∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC 在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，∴QP∥AC∴MN∥QP 同理，連結(jié)BD可證MQ∥NP ∴MNPQ是平行四邊形 取AC的中點K，連BK，DK ∵AB=BC，∴BK⊥AC，∵AD=DC，∴DK⊥AC因此平面BKD與AC垂直 ∵BD在平面BKD內(nèi)，∴BD⊥AC∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP為直角故MNPQ是矩形 八．（本題滿分18分） Y x2=2qy y2=2px A1 O A2 A3 X 拋物線y2=2px的內(nèi)接三角形有兩邊與拋物線x2=2qy相切，證明這個三角形的第三邊也與x2=2qy相切 解：不失一般性，設p>0,q>0.又設y2=2px的內(nèi)接三角形頂點為 A1（x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3) 因此y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3 其中y1≠y2,y2≠y3,y3≠y1 .依題意，設A1A2，A2A3與拋物線x2=2qy相切，要證A3A1也與拋物線x2=2qy相切 因為x2=2qy在原點O處的切線是y2=2px的對稱軸，所以原點O不能是所設內(nèi)接三角形的頂點即（x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，都不能是（0，0）;又因A1A2與x2=2qy相切，所以A1A2不能與Y軸平行，即x1≠x2,y1≠-y2,直線A1A2的方程是 同理由于A2A3與拋物線x2=2qy相切，A2A3也不能與Y軸平行，即 x2≠x3,y2≠-y3,同樣得到 由（1）（2）兩方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.由上式及y2≠0,得y3≠-y1，也就是A3A1也不能與Y軸平行今將y2=-y1-y3代入（1）式得： (3)式說明A3A1與拋物線x2=2qy的兩個交點重合，即A3A1與拋物線x2=2qy相切所以只要A1A2，A2A3與拋物線x2=2qy相切，則A3A1也與拋物線x2=2qy相切 九．（附加題，本題滿分20分，計入總分） 已知數(shù)列和數(shù)列其中 1．用p,q,r,n表示bn，并用數(shù)學歸納法加以證明; 2．求 解：1.∵1=p,n=pn-1,∴n=pn.又b1=q,b2=q1+rb1=q(p+r),b3=q2+rb2=q(p2+pq+r2),… 設想 用數(shù)學歸納法證明： 當n=2時，等式成立; 設當n=k時，等式成立，即 則bk+1=qk+rbk= 即n=k+1時等式也成立 所以對于一切自然數(shù)n≥2，都成立第五篇：普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試題及答案 82屆
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