第一篇：高等數學難點總結及課后習題解讀

前面的話：

這三篇總結文章，來自于我五一給學生的幾堂總結課，當時沒有做書面材料，后來才想到把它們整理成文。

考慮到現(xiàn)在大多數人都還在進行第一輪，也就是基礎階段的復習，所以先把自己對高數知識點的總結奉上，希望對大家能有幫助?？赡芤院笠矔嘘P于線代和概率的總結。

上冊除了空間解析幾何基本都涉及了，這是數一數二數三數四的共通內容。下冊

（一）是關于多元微積分和級數的，其中數二數四的就不用看級數了。下冊

（二）是關于線面積分的，數一專題。

上冊：

函數（高等數學的主要研究對象）

極限：數列的極限（特殊）——函數的極限（一般）極限的本質是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變量）的變化趨勢

由極限可以推得的一些性質：局部有界性、局部保號性??應當注意到，由極限所得到的性質通常都是只在局部范圍內成立

在提出極限概念的時候并未涉及到函數在該點的具體情況，所以函數在某點的極限與函數在該點的取值并無必然聯(lián)系

連續(xù)：函數在某點的極限 等于 函數在該點的取值 連續(xù)的本質：自變量無限接近，因變量無限接近

導數的概念

本質是函數增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化率

微分的概念：函數增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上任何函數的增量我們都可以線性關系去近似它，但是當誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數可微分了

不定積分：導數的逆運算 什么樣的函數有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作規(guī)則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當極限存在時，近似成為精確 什么樣的函數有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數有不同的優(yōu)先級別，按反對冪三指的順序來記憶

定積分的幾何應用和物理應用

高等數學里最重要的數學思想方法：微元法

微分和導數的應用：判斷函數的單調性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質是用多項式來逼近連續(xù)函數。要學好這部分內容，需要考慮兩個問題：

一、這些多項式的系數如何求？

二、即使求出了這些多項式的系數，如何去評估這個多項式逼近連續(xù)函數的精確程度，即還需要求出誤差（余項），當余項隨著項數的增多趨向于零時，這種近似的精確度就是足夠好的。

下冊

（一）：

多元函數的微積分：將上冊的一元函數微積分的概念拓展到多元函數

最典型的是二元函數

極限：二元函數與一元函數要注意的區(qū)別，二元函數中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數只能沿直線接近），所以二元函數存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點，函數值都要有確定的變化趨勢

連續(xù)：二元函數和一元函數一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數值是否相等

導數：上冊中已經說過，導數反映的是函數在某點處的變化率（變化情況），在二元函數中，一點處函數的變化情況與從該點出發(fā)所選擇的方向有關，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向導數的概念

沿坐標軸方向的導數若存在，稱之為偏導數

通過研究發(fā)現(xiàn)，方向導數與偏導數存在一定關系，可用偏導數和所選定的方向來表示，即二元函數的兩個偏導數已經足夠表示清楚該函數在一點沿任意方向的變化情況

高階偏導數若連續(xù)，則求導次序可交換

微分：微分是函數增量的線性主要部分，這一本質對一元函數或多元函數來說都一樣。只不過若是二元函數，所選取的線性近似部分應該是兩個方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導數存在，不能推出用線性關系近似表示函數增量后帶來的誤差足夠小，即偏導數存在不一定有微分存在

若偏導數存在，且連續(xù)，則微分一定存在

極限、連續(xù)、偏導數和可微的關系在多元函數情形里比一元函數更為復雜

極值：若函數在一點取極值，且在該點導數（偏導數）存在，則此導數（偏導數）必為零

所以，函數在某點的極值情況，即函數在該點附近的函數增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數來說，二階微分的符號就是二階導數的符號，對二元函數來說，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。

級數斂散性的判別思路：首先看通項是否趨于零，若不趨于零則發(fā)散。若通項趨于零，看是否正項級數。若是正項級數，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數和調和級數是常用來作比較的級數，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項級數，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級數，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問題具體分析。

比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。

函數項級數情況復雜，一般只研究冪級數。阿貝爾定理揭示了冪級數的重要性質：收斂區(qū)域存在一個收斂半徑。所以對冪級數，關鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。

逐項求導和逐項積分不改變冪級數除端點外的區(qū)域的斂散性，端點情況復雜，需具體分析。

一個函數能展開成冪級數的條件是：存在任意階導數。展開后的冪級數能收斂于原來函數的條件是：余項（誤差）要隨著項數的增加趨于零。這與泰勒展開中的結論一致。

微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。

下冊

（二）定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來理解是某個空間區(qū)域（直線段、平面區(qū)域、立體區(qū)域、曲線段、曲面區(qū)域）的質量，其中被積元可看作區(qū)域的微小單元，被積函數則是該微小單元的密度

這些積分最終都是轉化成定積分來計算

第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環(huán)量），第二類曲面積分的物理意義是流量

在研究上述七類積分的過程中，發(fā)現(xiàn)其實被積函數都是空間位置點的函數，于是把這種以空間位置作為自變量的函數稱為場函數 場函數有標量場和向量場，一個向量場相當于三個標量場

場函數在一點的變化情況由方向導數給出，而方向導數最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個向量，任何方向的方向導數，都是梯度在這個方向上的投影，所以梯度的模是方向導數的最大值

梯度方向是函數變化最快的方向，等位面方向是函數無變化的方向，這兩者垂直

梯度實際上一個場函數不均勻性的量度

梯度運算把一個標量場變成向量場

一條空間曲線在某點的切向量，便是該點處的曲線微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯(lián)系

一張空間曲面在某點的法向量，便是該點處的曲面微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯(lián)系

物體在一點處的相對體積變化率由該點處的速度場決定，其值為速度場的散度

散度運算把向量場變成標量場

散度為零的場稱為無源場

高斯定理的物理意義：對散度在空間區(qū)域進行體積分，結果應該是這個空間區(qū)域的體積變化率，同時這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應該相等。即高斯定理把一個速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區(qū)域上的體積分聯(lián)系起來

無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當于既無損失又無補充

物體在一點處的旋轉情況由該點處的速度場決定，其值為速度場的旋度

旋度運算把向量場變成向量場

旋度為零的場稱為無旋場

斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進行第二類曲面積分，結果應該表示的是這個曲面的旋轉快慢程度，同時這種旋轉也可看成是邊界上的速度環(huán)量造成的，故兩者應該相等。即斯托克斯定理把一個速度場在邊界上形成的環(huán)量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯(lián)系起來。該解釋是從速度環(huán)量的角度出發(fā)得到的，比高斯定理要難，不強求掌握。

無旋場的速度環(huán)量為零，這相當于一個區(qū)域沒有旋轉效應，這是容易理解的

格林定理是斯托克斯定理的平面情形

進一步考察無旋場的性質

旋度為零，相當于對旋度作的第二類曲面積分為零——即等號后邊的第二類曲線積分為零，相當于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點出發(fā)，積分與路徑無關——相當于所得到的曲線積分結果只于終點的選擇有關，與路徑無關，可看成終點的函數，這是一個場函數（空間位置的函數），稱為勢函數——所得的勢函數的梯度正好就是原來的力場——因為力場函數是連續(xù)的，所以勢函數有全微分

簡單的概括起來就是：無旋場——積分與路徑無關——梯度場——有勢場——全微分

要注意以上這些說法之間的等價性

三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉

習題解讀

基礎階段的復習是以課本為主，主要任務兩個，一是學習知識點（定義、定理、公式）并理解它們，二是完成一定的課后習題以檢驗自己對知識點的掌握程度。

很多人在學習中都容易忽視課本，覺得比起那些專門的參考資料，課本上的習題實際上是沒什么值得關注的，但其實不然，一套經典的教材，它所配的習題很多都有值得我們去挖掘的地方。

那么接下來我就說說我對我們用的教材上課后習題的解讀，希望能給同學們提示。因為高數的題目比較多，而我感覺每章的總習題有著更好的總結性，所以主要就說說總習題一到十二里我感覺值得注意的一些題目吧。

總習題一：

1是填空題，是考察與極限有關的一些概念，這個是很重要的，要掌握好。而且?guī)缀趺空碌目偭曨}都設了填空題，均與這些章節(jié)的重要概念有關。所以每章的總習題里的填空題所涉及的知識點，比如誰是誰的什么條件之類，務必要搞清楚。

2是無窮小的階的比較 3、4、5、6是與函數有關的題目，這個是學好高數的基礎，但卻不是高數側重的內容，熟悉即可

7用定義證明極限，較難，一般來說能理解極限的概念就可以了

8典型題，求各種類型極限，重要，6個小題各代表一種類型，其實求極限的題目基本跳不出這六種框架了

9典型題，選擇合適的參數，使函數連續(xù)，用連續(xù)的定義即可

10典型題，判斷函數的間斷點類型，按間斷點的分類即可

11較難的極限題，這里是要用到夾逼原理，此類題目技巧性強，體會一下即可

12證明零點存在的問題，要用到連續(xù)函數介值定理，重要的證明題型之一，必需掌握

13該題目給出了漸近線的定義以及求法，要作為一個知識點來掌握，重要

綜上，第一章總習題要著重掌握的是1、2、8、9、10、12、13題

總習題二：

1填空題，不多說了，重點

2非常好的一道題目，考察了與導數有關的一些說法，其中的干擾項（B）（C）設置的比較巧妙，因為平時我們一般只注意到導數在某點存在的條件是左右導數都存在且相等，容易忽視另一個重要條件：函數必須要在該點連續(xù)，否則何來可導？而（B）（C）項的問題正是在于即使其中的極限存在，也不能保證函數在該點連續(xù)，因為根本就沒出現(xiàn)f(a)，所以對f(x)在a處的情況是不清楚的。而對（A）項來說只能保證右導數存在。只有（D）項是能確實的推出可導的

3物理應用現(xiàn)在基本不要求了

4按定義求導數，不難，應該掌握

5常見題型，判斷函數在間斷點處的導數情況，按定義即可

6典型題，討論函數在間斷點處的連續(xù)性和可導性，均按定義即可

7求函數的導數，計算層面的考察，第二章學習的主要內容

8求二階導數，同上題

9求高階導數，需注意總結規(guī)律，難度稍大，體會思路即可

10求隱函數的導數，重要，常考題型 11求參數方程的導數，同樣是常考題型

12導數的幾何應用，重要題型 13、14、15不作要求

綜上，第二章總習題需重點掌握的題目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12

第三章的習題都比較難，需要多總結和體會解題思路

總習題三

1零點個數的討論問題，典型題，需掌握

2又一道設置巧妙的題目，解決方法有很多，通過二階導的符號來判斷函數增量與導數、微分的大小關系，07年真題就有一道題目由此題改造而來，需重點體會

3舉反例，隨便找個有跳躍點的函數即可

4中值定理和極限的綜合應用，重要題目，主要從中體會中值定理的妙處

5零點問題，可用反證法結合羅爾定理，也可正面推證，確定出函數的單調區(qū)間即可，此題非典型題 6、7、8中值定理典型題，要證明存在零點，可構造適當的輔助函數，再利用羅爾定理，此類題非常重要，要細心體會解答給出的方法

9非常見題型，了解即可

10羅必達法則應用，重要題型，重點掌握

11不等式，一般可用導數推征，典型題 12、13極值及最值問題，需要掌握，不過相對來說多元函數的這類問題更重要些 14、15、16不作要求

17非常重要的一道題目，設計的很好，需要注意題目條件中并未給出f''可導，故不能連用兩次洛必達法則，只能用一次洛必達法則再用定義，這是此題的亮點

18無窮小的階的比較，一是可直接按定義，二是可將函數泰勒展開，都能得到結果，此題考察的是如何判斷兩個量的階的大小，重要

19對凹凸性定義的推廣，用泰勒公式展開到二階可較方便的解決，此題可看作泰勒公式應用的一個實例，重在體會其思想

20確定合適的常數，使得函數為給定的無窮小量，典型題，且難度不大

綜上，第三章總習題需要重點掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20

第四章沒有什么可說的重點，能做多少是多少吧??

積分的題目是做不完的。

當然，如果你以那種不破樓蘭終不還的決心和氣勢，最終把所有題目搞定了，這還是值得恭喜的，盡管可能這會花掉很多時間，但仍然是值得的??因為這有效的鍛煉了思維。

總習題五

1填空，重要，但第（2）、（3）問涉及廣義積分，不作要求

2典型題，前3題用定積分定義求極限，需重點掌握，尤其是要體會如何把和式改寫為相應的積分式，積分區(qū)間和被積函數如何定，這個是需要適當的練習才能把握好的，后2題涉及積分上限函數求導，也是常見題型

3分別列出三種積分計算中最可能出現(xiàn)的錯誤，需細心體會，重要

4利用定積分的估值證明不等式，技巧性較強

5兩個著名不等式的積分形式，不作強制要求，了解即可

6此題證明要用5題中的柯西不等式，不作要求

7計算定積分，典型題

8證明兩個積分相等，可用一般方法，也可利用二重積分的交換積分次序，設計巧妙的重點題目

9同樣是利用導數證明不等式，只不過對象變得比一般函數復雜，是積分上限函數，但本質和第三章的類似題目無區(qū)別，不難掌握

10分段求積分，典型題

11證明積分第一中值定理，要用到連續(xù)函數的介值定理，難度高于積分中值定理的證明，可作為提高和鍛煉性質的練習

綜上，總習題五需要重點掌握的題目是1、2、3、7、8、9、10

定積分的應用一塊的考察，現(xiàn)在更偏重的是幾何應用

1物理應用，跳過

2所涉及到的圖形較為復雜，是兩個圓，其中第二個是旋轉了一定角度的圓，不易看出，此題可作為一個提高性質的練習

3重點題，積分的幾何應用和極值問題相結合，?？碱}型之一

4旋轉體體積，需注意的是繞哪條線形成的旋轉體，所繞的軸不同的話，結果不同

5求弧長，非典型題，了解即可 6、7、8均為物理應用，不作要求，有興趣的不妨一試

綜上，總習題六實際上就2、3、4題需要引起注意

第七章空間解析幾何，只對數一的同學有要求，數二三四的就直接pass吧

總習題七

1填空，向量代數的基本練習，必不可少 2、3、4、5都是平面向量幾何的題目，不太重要，不過適當練習可以培養(yǎng)起用向量的方式來思考問題的習慣 7、8、9、10、11都是與向量有關的運算，包括加（減），數乘、點積（相應的意義是一個向量在另一個向量的投影）、兩向量的夾角、叉積（相應的意義是平行四邊形的面積），要通過這些題目熟悉向量的各種運算，重要

12用證明題的形式來考察對混合積的掌握，需掌握

13按定義寫點的軌跡方程，解析幾何中的常見題，了解基本做法即可

14旋轉曲面相關題目，非常重要，要搞清楚繞某一軸旋轉后的旋轉曲面寫法 15、16求平面的方程，順帶可復習近平面方程的類型，這類問題的解決辦法一般是先從立體幾何中考慮，想到做法再翻譯成解析幾何的語言，重在思路的考察，需多加練習

17求直線方程，同上題

18解析幾何與極值的混合問題，也是一類典型題 19、20考察投影曲線和投影面，這部分知識是多重積分計算的基礎，要重點掌握

21畫出曲面所圍的立體圖形，有一定難度，是對空間想象能力的鍛煉，盡量都掌握

綜上，總習題七需重點掌握的題目是1、7、8、9、10、11、12、14、15、16、17、18、19、20

下冊的內容有很多數二數三數四不考，因此我在解讀習題時盡量標注出是數一要求的，大家平時也多查查考綱或者翻翻計劃，這樣對于哪些考哪些不考就更清楚了。

總習題八：

1填空，很重要

2選擇，著重考查一條說法，偏導數存在未必可微，這個是無論數幾都需要的，還有就是偏導數的幾何應用，這個只數一要求

3基本題，求二元函數的定義域和極限，因為是初等函數，直接用“代入法”求極限就可以了

4典型題，判斷極限存在性，考察如果證明一個二元函數的極限是不存在的（常用方法是取兩條路徑）

5典型題，求偏導數，注意在連續(xù)區(qū)間內按求導法則求，在間斷點處只能按定義求

6求高階偏導數，到二階的題目需要熟練掌握

7微分的概念，簡單題目，直接按微分和增量的定義即可

8重點題型，對一個二元函數，考察其在某點的連續(xù)性、偏導存在情況和可微性，務必熟練此類題目 9、10、11、12復合函數求偏導的鏈式法則，重點題型，要多加練習的一類題目，復合函數中哪些自變量是獨立的，哪些是不獨立的，還有各自對應關系，判斷好這些是解題的關鍵 13、14分別是極坐標和直角坐標情形下偏導數的幾何應用，數一要求 15、16方向導數相關題目，該知識點與第十一章聯(lián)系密切，重要，數一要求 17、18多元函數的極值問題，典型題，且通常都是結合條件極值來考，這類題目一定要熟練，其中08年真題中一道極值題目就是把17題中的柱面改成錐面，其它完全一樣，由此可見對課本要重新重視。

綜上，總習題八需要重點掌握的題目是1、2、4、5、6、8、9、10、11、12、13（數一）、14（數一）、15（數一）、16（數一）、17、18

第九章的內容中，二重積分以外的內容是數二三四不要求的，就不在題號后一一寫明了

總習題九

1選擇題，實際是考察多重積分的對稱性，屬于典型題，在多重積分的情況下，對稱性的應用比定積分要復雜，重要，第（1）小問是三重積分，只數一要求，第（2）小問是二重積分 2、3基本題型，計算二重積分或者是交換二重積分的順序，需要熟練掌握

4利用交換積分次序證明等式，體會一下方法即可

5基本題型，利用極坐標計算二重積分，實際上在計算多重積分時本就要求根據不同的積分區(qū)域選擇合適的坐標系，這是一個基本能力，重要

6確定三重積分的積分區(qū)域，比較鍛煉空間想象能力的一類題，重要

7計算三重積分，基本題型，仍然要注意區(qū)域不同，所選坐標系不同

8重積分的幾何應用，從二重積分的角度，或者從三重積分的角度都可以求解，此題要求數二三四考生也掌握 9、10、11是重積分的物理應用，不作要求

綜上，總習題九需要重點掌握的題目是1、2、3、5、6、7、8

第十章的內容全部針對數一

總習題十

1填空，相關知識點是兩類線、面積分之間的聯(lián)系，重要

2選擇，考察的是第一類曲面積分的對稱性，與重積分的對稱性類同，重點題型。需要注意，第二類線、面積分與第一類會有所不同，因為第二類線、面積分的被積元也有符號，這是和第一類線、面積分的區(qū)別

3計算曲線積分，基本題型，需要多加練習，六個小題基本覆蓋了曲線積分計算題的類型

4計算曲面積分，基本題型，要求同上題。注意在計算線、面積分時，方法很多，常用的有直接轉化成定積分或二重積分，或用Green公式，Guass定理，在用這兩個定理時又要注意其成立的條件是所圍區(qū)域不能有奇點，甚至不是閉區(qū)域要先補線或者補面，此類題目一定要熟練掌握

5全微分的相關等價說法，典型題，順帶可回顧一下與全微分有關的一系列等價命題 6、7線面積分的物理應用，不作要求

8證明，涉及的知識點多，覆蓋面廣，通過此題的練習可回憶和鞏固線面積分的幾乎所有知識點（把梯度和方向導數包括進來了），推薦掌握

9從流量的角度出發(fā)理解第二類曲面積分，基本題型

10用Stokes定理積分空間曲線積分，基本題型，01年考過

綜上，總習題十需要重點掌握的題目是1、2、3、4、5、8、9、10

第十一章是級數，數二數四不要求，其中傅立葉級數對數三無要求

總習題十一

1填空，涉及級數斂散性的相關說法，重要

2判斷正項級數的收斂性，典型題，綜合應用比較、比值、根值三種方法，在用比較判別法時實際就是比較兩個通項是否同階無窮小，這樣可讓思路更清晰

3抽象級數的概念題，重點題型之一，要利用級數收斂的相關性質判斷

4設置了陷阱的概念題，因為比較判別法只對正項級數成立，也是重點題型之一

5判斷級數的絕對收斂和條件收斂，典型題，通過這些練習來加強對這類題目的熟練度

6利用收斂級數的通項趨于零這一說法來判斷極限，體會方法即可

7求冪級數的收斂域，典型題，要多加練習，注意搞清楚收斂域、收斂半徑、收斂區(qū)域的區(qū)別

8求冪級數的和函數，典型題，重要，一般求和函數都不用直接法而用間接法，即通過對通項作變形（逐項積分或求導等），再利用已知的常見函數的展開式得到結果，注意求出和函數不要忘記相應的收斂域。

9利用構造冪級數來求數項級數的和，也是一類重要題型

10將函數展開為冪級數，與8是互為反問題，仍是多用間接展開法，方法上異曲同工，需要熟練掌握，同樣注意不要忘記收斂域 11、12傅立葉級數的相關題目，基本題，此類題目記得相應的系數表達式就可解決，一般來說至少要掌握周期為pi的情形。注意傅氏級數展開的系數公式難記，只能平時多加回顧，還有不要忽略了在非連續(xù)點展開后的傅氏級數的收斂情況（即狄利赫萊收斂定理）

綜上，總習題十一需要重點掌握的題目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11

第十二章微分方程，二階以上的方程對數四不作要求，下面不再詳細說明

總習題十二

1填空，涉及微分方程理論的若干說法，基本題，第（2）問只數一要求

2通過解的形式觀察出相應的微分方程，典型題，其中第（2）問更重要 3、4求解不同類型的微分方程，通過這些題目的練習，基本對各種方程的解法有一定了解，同時也培養(yǎng)了一些解題思路和技巧，重要。其中涉及到全微分方程的幾個小題只數一有要求

5微分方程的幾何應用，基本題

6微分方程的物理應用，不作要求

7由積分方程推導微分方程，典型題，要求掌握

8用變量代換化簡微分方程，典型題，只對數一有要求，注意在代換過程中要搞清楚變量和變量的對應關系

9涉及微分方程基本理論的題目，非常見題型，但可體會其出題思路

10歐拉方程的練習，數一要求

第二篇：高等數學(同濟五版)難點總結及課后習題解讀

習題解讀

基礎階段的復習是以課本為主，主要任務兩個，一是學習知識點（定義、定理、公式）并理解它們，二是完成一定的課后習題以檢驗自己對知識點的掌握程度。

很多人在學習中都容易忽視課本，覺得比起那些專門的參考資料，課本上的習題實際上是沒什么值得關注的，但其實不然，一套經典的教材，它所配的習題很多都有值得我們去挖掘的地方。

那么接下來我就說說我對我們用的教材上課后習題的解讀，希望能給同學們提示。因為高數的題目比較多，而我感覺每章的總習題有著更好的總結性，所以主要就說說總習題一到十二里我感覺值得注意的一些題目吧。

總習題一：

1是填空題，是考察與極限有關的一些概念，這個是很重要的，要掌握好。而且?guī)缀趺空碌目偭曨}都設了填空題，均與這些章節(jié)的重要概念有關。所以每章的總習題里的填空題所涉及的知識點，比如誰是誰的什么條件之類，務必要搞清楚。

2是無窮小的階的比較3、4、5、6是與函數有關的題目，這個是學好高數的基礎，但卻不是高數側重的內容，熟悉即可

7用定義證明極限，較難，一般來說能理解極限的概念就可以了

8典型題，求各種類型極限，重要，6個小題各代表一種類型，其實求極限的題目基本跳不出這六種框架了

9典型題，選擇合適的參數，使函數連續(xù)，用連續(xù)的定義即可

10典型題，判斷函數的間斷點類型，按間斷點的分類即可

11較難的極限題，這里是要用到夾逼原理，此類題目技巧性強，體會一下即可

12證明零點存在的問題，要用到連續(xù)函數介值定理，重要的證明題型之一，必需掌握

13該題目給出了漸近線的定義以及求法，要作為一個知識點來掌握，重要

綜上，第一章總習題要著重掌握的是1、2、8、9、10、12、13題

總習題二：

1填空題，不多說了，重點

2非常好的一道題目，考察了與導數有關的一些說法，其中的干擾項（B）（C）設置的比較巧妙，因為平時我們一般只注意到導數在某點存在的條件是左右導數都存在且相等，容易忽視另一個重要條件：函數必須要在該點連續(xù)，否則何來可導？而（B）（C）項的問題正是在于即使其中的極限存在，也不能保證函數在該點連續(xù)，因為根本就沒出現(xiàn)f(a)，所以對f(x)在a處的情況是不清楚的。而對（A）項來說只能保證右導數存在。只有（D）項是能確實的推出可導的3物理應用現(xiàn)在基本不要求了

4按定義求導數，不難，應該掌握

5常見題型，判斷函數在間斷點處的導數情況，按定義即可

6典型題，討論函數在間斷點處的連續(xù)性和可導性，均按定義即可

7求函數的導數，計算層面的考察，第二章學習的主要內容

8求二階導數，同上題

9求高階導數，需注意總結規(guī)律，難度稍大，體會思路即可

10求隱函數的導數，重要，?？碱}型

11求參數方程的導數，同樣是?？碱}型

12導數的幾何應用，重要題型13、14、15不作要求

綜上，第二章總習題需重點掌握的題目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、1

2第三章的習題都比較難，需要多總結和體會解題思路

總習題三

1零點個數的討論問題，典型題，需掌握

2又一道設置巧妙的題目，解決方法有很多，通過二階導的符號來判斷函數增量與導數、微分的大小關系，07年真題就有一道題目由此題改造而來，需重點體會

3舉反例，隨便找個有跳躍點的函數即可

4中值定理和極限的綜合應用，重要題目，主要從中體會中值定理的妙處

5零點問題，可用反證法結合羅爾定理，也可正面推證，確定出函數的單調區(qū)間即可，此題非典型題6、7、8中值定理典型題，要證明存在零點，可構造適當的輔助函數，再利用羅爾定理，此類題非常重要，要細心體會解答給出的方法 9非常見題型，了解即可

10羅必達法則應用，重要題型，重點掌握

11不等式，一般可用導數推征，典型題12、13極值及最值問題，需要掌握，不過相對來說多元函數的這類問題更重要些14、15、16不作要求

17非常重要的一道題目，設計的很好，需要注意題目條件中并未給出f''可導，故不能連用兩次洛必達法則，只能用一次洛必達法則再用定義，這是此題的亮點

18無窮小的階的比較，一是可直接按定義，二是可將函數泰勒展開，都能得到結果，此題考察的是如何判斷兩個量的階的大小，重要 19對凹凸性定義的推廣，用泰勒公式展開到二階可較方便的解決，此題可看作泰勒公式應用的一個實例，重在體會其思想

20確定合適的常數，使得函數為給定的無窮小量，典型題，且難度不大

綜上，第三章總習題需要重點掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20

第四章沒有什么可說的重點，能做多少是多少吧??

積分的題目是做不完的。

當然，如果你以那種不破樓蘭終不還的決心和氣勢，最終把所有題目搞定了，這還是值得恭喜的，盡管可能這會花掉很多時間，但仍然是值得的??因為這有效的鍛煉了思維。

總習題五

1填空，重要，但第（2）、（3）問涉及廣義積分，不作要求

2典型題，前3題用定積分定義求極限，需重點掌握，尤其是要體會如何把和式改寫為相應的積分式，積分區(qū)間和被積函數如何定，這個是需要適當的練習才能把握好的，后2題涉及積分上限函數求導，也是常見題型

3分別列出三種積分計算中最可能出現(xiàn)的錯誤，需細心體會，重要

4利用定積分的估值證明不等式，技巧性較強

5兩個著名不等式的積分形式，不作強制要求，了解即可

6此題證明要用5題中的柯西不等式，不作要求

7計算定積分，典型題

8證明兩個積分相等，可用一般方法，也可利用二重積分的交換積分次序，設計巧妙的重點題目

9同樣是利用導數證明不等式，只不過對象變得比一般函數復雜，是積分上限函數，但本質和第三章的類似題目無區(qū)別，不難掌握 10分段求積分，典型題

11證明積分第一中值定理，要用到連續(xù)函數的介值定理，難度高于積分中值定理的證明，可作為提高和鍛煉性質的練習

綜上，總習題五需要重點掌握的題目是1、2、3、7、8、9、10

定積分的應用一塊的考察，現(xiàn)在更偏重的是幾何應用

1物理應用，跳過

2所涉及到的圖形較為復雜，是兩個圓，其中第二個是旋轉了一定角度的圓，不易看出，此題可作為一個提高性質的練習

3重點題，積分的幾何應用和極值問題相結合，?？碱}型之一

4旋轉體體積，需注意的是繞哪條線形成的旋轉體，所繞的軸不同的話，結果不同

5求弧長，非典型題，了解即可6、7、8均為物理應用，不作要求，有興趣的不妨一試

綜上，總習題六實際上就2、3、4題需要引起注意

第七章空間解析幾何，只對數一的同學有要求，數二三四的就直接pass吧

總習題七

1填空，向量代數的基本練習，必不可少2、3、4、5都是平面向量幾何的題目，不太重要，不過適當練習可以培養(yǎng)起用向量的方式來思考問題的習慣7、8、9、10、11都是與向量有關的運算，包括加（減），數乘、點積（相應的意義是一個向量在另一個向量的投影）、兩向量的夾角、叉積（相應的意義是平行四邊形的面積），要通過這些題目熟悉向量的各種運算，重要

12用證明題的形式來考察對混合積的掌握，需掌握

13按定義寫點的軌跡方程，解析幾何中的常見題，了解基本做法即可

14旋轉曲面相關題目，非常重要，要搞清楚繞某一軸旋轉后的旋轉曲面寫法15、16求平面的方程，順帶可復習近平面方程的類型，這類問題的解決辦法一般是先從立體幾何中考慮，想到做法再翻譯成解析幾何的語言，重在思路的考察，需多加練習

17求直線方程，同上題

18解析幾何與極值的混合問題，也是一類典型題19、20考察投影曲線和投影面，這部分知識是多重積分計算的基礎，要重點掌握

21畫出曲面所圍的立體圖形，有一定難度，是對空間想象能力的鍛煉，盡量都掌握

綜上，總習題七需重點掌握的題目是1、7、8、9、10、11、12、14、15、16、17、18、19、20

下冊的內容有很多數二數三數四不考，因此我在解讀習題時盡量標注出是數一要求的，大家平時也多查查考綱或者翻翻計劃，這樣對于哪些考哪些不考就更清楚了。

總習題八：

1填空，很重要

2選擇，著重考查一條說法，偏導數存在未必可微，這個是無論數幾都需要的，還有就是偏導數的幾何應用，這個只數一要求 3基本題，求二元函數的定義域和極限，因為是初等函數，直接用“代入法”求極限就可以了

4典型題，判斷極限存在性，考察如果證明一個二元函數的極限是不存在的（常用方法是取兩條路徑）

5典型題，求偏導數，注意在連續(xù)區(qū)間內按求導法則求，在間斷點處只能按定義求

6求高階偏導數，到二階的題目需要熟練掌握

7微分的概念，簡單題目，直接按微分和增量的定義即可

8重點題型，對一個二元函數，考察其在某點的連續(xù)性、偏導存在情況和可微性，務必熟練此類題目9、10、11、12復合函數求偏導的鏈式法則，重點題型，要多加練習的一類題目，復合函數中哪些自變量是獨立的，哪些是不獨立的，還有各自對應關系，判斷好這些是解題的關鍵13、14分別是極坐標和直角坐標情形下偏導數的幾何應用，數一要求15、16方向導數相關題目，該知識點與第十一章聯(lián)系密切，重要，數一要求17、18多元函數的極值問題，典型題，且通常都是結合條件極值來考，這類題目一定要熟練，其中08年真題中一道極值題目就是把17題中的柱面改成錐面，其它完全一樣，由此可見對課本要重新重視。

綜上，總習題八需要重點掌握的題目是1、2、4、5、6、8、9、10、11、12、13（數一）、14（數一）、15（數一）、16（數一）、17、18

第九章的內容中，二重積分以外的內容是數二三四不要求的，就不在題號后一一寫明了

總習題九

1選擇題，實際是考察多重積分的對稱性，屬于典型題，在多重積分的情況下，對稱性的應用比定積分要復雜，重要，第（1）小問是三重積分，只數一要求，第（2）小問是二重積分2、3基本題型，計算二重積分或者是交換二重積分的順序，需要熟練掌握

4利用交換積分次序證明等式，體會一下方法即可

5基本題型，利用極坐標計算二重積分，實際上在計算多重積分時本就要求根據不同的積分區(qū)域選擇合適的坐標系，這是一個基本能力，重要

6確定三重積分的積分區(qū)域，比較鍛煉空間想象能力的一類題，重要

7計算三重積分，基本題型，仍然要注意區(qū)域不同，所選坐標系不同

8重積分的幾何應用，從二重積分的角度，或者從三重積分的角度都可以求解，此題要求數二三四考生也掌握9、10、11是重積分的物理應用，不作要求

綜上，總習題九需要重點掌握的題目是1、2、3、5、6、7、8

第十章的內容全部針對數一

總習題十

1填空，相關知識點是兩類線、面積分之間的聯(lián)系，重要

2選擇，考察的是第一類曲面積分的對稱性，與重積分的對稱性類同，重點題型。需要注意，第二類線、面積分與第一類會有所不同，因為第二類線、面積分的被積元也有符號，這是和第一類線、面積分的區(qū)別

3計算曲線積分，基本題型，需要多加練習，六個小題基本覆蓋了曲線積分計算題的類型

4計算曲面積分，基本題型，要求同上題。注意在計算線、面積分時，方法很多，常用的有直接轉化成定積分或二重積分，或用Green公式，Guass定理，在用這兩個定理時又要注意其成立的條件是所圍區(qū)域不能有奇點，甚至不是閉區(qū)域要先補線或者補面，此類題目一定要熟練掌握

5全微分的相關等價說法，典型題，順帶可回顧一下與全微分有關的一系列等價命題6、7線面積分的物理應用，不作要求

8證明，涉及的知識點多，覆蓋面廣，通過此題的練習可回憶和鞏固線面積分的幾乎所有知識點（把梯度和方向導數包括進來了），推薦掌握

9從流量的角度出發(fā)理解第二類曲面積分，基本題型

10用Stokes定理積分空間曲線積分，基本題型，01年考過

綜上，總習題十需要重點掌握的題目是1、2、3、4、5、8、9、10

第十一章是級數，數二數四不要求，其中傅立葉級數對數三無要求

總習題十一

1填空，涉及級數斂散性的相關說法，重要

2判斷正項級數的收斂性，典型題，綜合應用比較、比值、根值三種方法，在用比較判別法時實際就是比較兩個通項是否同階無窮小，這樣可讓思路更清晰

3抽象級數的概念題，重點題型之一，要利用級數收斂的相關性質判斷

4設置了陷阱的概念題，因為比較判別法只對正項級數成立，也是重點題型之一

5判斷級數的絕對收斂和條件收斂，典型題，通過這些練習來加強對這類題目的熟練度

6利用收斂級數的通項趨于零這一說法來判斷極限，體會方法即可

7求冪級數的收斂域，典型題，要多加練習，注意搞清楚收斂域、收斂半徑、收斂區(qū)域的區(qū)別

8求冪級數的和函數，典型題，重要，一般求和函數都不用直接法而用間接法，即通過對通項作變形（逐項積分或求導等），再利用已知的常見函數的展開式得到結果，注意求出和函數不要忘記相應的收斂域。

9利用構造冪級數來求數項級數的和，也是一類重要題型

10將函數展開為冪級數，與8是互為反問題，仍是多用間接展開法，方法上異曲同工，需要熟練掌握，同樣注意不要忘記收斂域 11、12傅立葉級數的相關題目，基本題，此類題目記得相應的系數表達式就可解決，一般來說至少要掌握周期為pi的情形。注意傅氏級數展開的系數公式難記，只能平時多加回顧，還有不要忽略了在非連續(xù)點展開后的傅氏級數的收斂情況（即狄利赫萊收斂定理）綜上，總習題十一需要重點掌握的題目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、1

1第十二章微分方程，二階以上的方程對數四不作要求，下面不再詳細說明

總習題十二

1填空，涉及微分方程理論的若干說法，基本題，第（2）問只數一要求

2通過解的形式觀察出相應的微分方程，典型題，其中第（2）問更重要3、4求解不同類型的微分方程，通過這些題目的練習，基本對各種方程的解法有一定了解，同時也培養(yǎng)了一些解題思路和技巧，重要。其中涉及到全微分方程的幾個小題只數一有要求

5微分方程的幾何應用，基本題

6微分方程的物理應用，不作要求

7由積分方程推導微分方程，典型題，要求掌握

8用變量代換化簡微分方程，典型題，只對數一有要求，注意在代換過程中要搞清楚變量和變量的對應關系

9涉及微分方程基本理論的題目，非常見題型，但可體會其出題思路

10歐拉方程的練習，數一要求

第三篇：高等數學難點總結及課后習題解讀

前面的話：

這三篇總結文章，來自于我五一給學生的幾堂總結課，當時沒有做書面材料，后來才想到把它們整理成文。

考慮到現(xiàn)在大多數人都還在進行第一輪，也就是基礎階段的復習，所以先把自己對高數知識點的總結奉上，希望對大家能有幫助。

可能以后也會有關于線代和概率的總結。

上冊除了空間解析幾何基本都涉及了，這是數一數二數三數四的共通內容。

下冊

（一）是關于多元微積分和級數的，其中數二數四的就不用看級數了。

下冊

（二）是關于線面積分的，數一專題。

習題解讀在第18樓

上冊：

函數（高等數學的主要研究對象）

極限：數列的極限（特殊）——函數的極限（一般）

極限的本質是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變量）的變化趨勢

由極限可以推得的一些性質：局部有界性、局部保號性……應當注意到，由極限所得到的性質通常都是只在局部范圍內成立

在提出極限概念的時候并未涉及到函數在該點的具體情況，所以函數在某點的極限與函數在該點的取值并無必然聯(lián)系

連續(xù)：函數在某點的極限 等于 函數在該點的取值

連續(xù)的本質：自變量無限接近，因變量無限接近

導數的概念

本質是函數增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化率

微分的概念：函數增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上任何函數的增量我們都可以線性關系去近似它，但是當誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數可微分了

不定積分：導數的逆運算

什么樣的函數有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作規(guī)則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當極限存在時，近似成為精確

什么樣的函數有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數有不同的優(yōu)先級別，按反對冪三指的順序來記憶

定積分的幾何應用和物理應用

高等數學里最重要的數學思想方法：微元法

微分和導數的應用：判斷函數的單調性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質是用多項式來逼近連續(xù)函數。要學好這部分內容，需要考慮兩個問題：

一、這些多項式的系數如何求？

二、即使求出了這些多項式的系數，如何去評估這個多項式逼近連續(xù)函數的精確程度，即還需要求出誤差（余項），當余項隨著項數的增多趨向于零時，這種近似的精確度就是足夠好的下冊

（一）：

多元函數的微積分：將上冊的一元函數微積分的概念拓展到多元函數

最典型的是二元函數

極限：二元函數與一元函數要注意的區(qū)別，二元函數中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數只能沿直線接近），所以二元函數存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點，函數值都要有確定的變化趨勢

連續(xù)：二元函數和一元函數一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數值是否相等

導數：上冊中已經說過，導數反映的是函數在某點處的變化率（變化情況），在二元函數中，一點處函數的變化情況與從該點出發(fā)所選擇的方向有關，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向導數的概念

沿坐標軸方向的導數若存在，稱之為偏導數

通過研究發(fā)現(xiàn)，方向導數與偏導數存在一定關系，可用偏導數和所選定的方向來表示，即二元函數的兩個偏導數已經足夠表示清楚該函數在一點沿任意方向的變化情況

高階偏導數若連續(xù)，則求導次序可交換

微分：微分是函數增量的線性主要部分，這一本質對一元函數或多元函數來說都一樣。只不過若是二元函數，所選取的線性近似部分應該是兩個方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在僅僅有偏導數存在，不能推出用線性關系近似表示函數增量后帶來的誤差足夠小，即偏導數存在不一定有微分存在若偏導數存在，且連續(xù)，則微分一定存在極限、連續(xù)、偏導數和可微的關系在多元函數情形里比一元函數更為復雜

極值：若函數在一點取極值，且在該點導數（偏導數）存在，則此導數（偏導數）必為零

所以，函數在某點的極值情況，即函數在該點附近的函數增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數來說，二階微分的符號就是二階導數的符號，對二元函數來說，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。

級數斂散性的判別思路：首先看通項是否趨于零，若不趨于零則發(fā)散。若通項趨于零，看是否正項級數。若是正項級數，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數和調和級數是常用來作比較的級數，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項級數，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級數，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問題具體分析。

比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。

函數項級數情況復雜，一般只研究冪級數。阿貝爾定理揭示了冪級數的重要性質：收斂區(qū)域存在一個收斂半徑。所以對冪級數，關鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。

逐項求導和逐項積分不改變冪級數除端點外的區(qū)域的斂散性，端點情況復雜，需具體分析。

一個函數能展開成冪級數的條件是：存在任意階導數。展開后的冪級數能收斂于原來函數的條件是：余項（誤差）要隨著項數的增加趨于零。這與泰勒展開中的結論一致。

微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。

下冊

（二）定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來理解是某個空間區(qū)域（直線段、平面區(qū)域、立體區(qū)域、曲線段、曲面區(qū)域）的質量，其中被積元可看作區(qū)域的微小單元，被積函數則是該微小單元的密度

這些積分最終都是轉化成定積分來計算

第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環(huán)量），第二類曲面積分的物理意義是流量

在研究上述七類積分的過程中，發(fā)現(xiàn)其實被積函數都是空間位置點的函數，于是把這種以空間位置作為自變量的函數稱為場函數

場函數有標量場和向量場，一個向量場相當于三個標量場

場函數在一點的變化情況由方向導數給出，而方向導數最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個向量，任何方向的方向導數，都是梯度在這個方向上的投影，所以梯度的模是方向導數的最大值

梯度方向是函數變化最快的方向，等位面方向是函數無變化的方向，這兩者垂直

梯度實際上一個場函數不均勻性的量度

梯度運算把一個標量場變成向量場

一條空間曲線在某點的切向量，便是該點處的曲線微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯(lián)系

一張空間曲面在某點的法向量，便是該點處的曲面微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯(lián)系

物體在一點處的相對體積變化率由該點處的速度場決定，其值為速度場的散度

散度運算把向量場變成標量場

散度為零的場稱為無源場

高斯定理的物理意義：對散度在空間區(qū)域進行體積分，結果應該是這個空間區(qū)域的體積變化率，同時這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應該相等。即高斯定理把一個速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區(qū)域上的體積分聯(lián)系起來

無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當于既無損失又無補充

物體在一點處的旋轉情況由該點處的速度場決定，其值為速度場的旋度

旋度運算把向量場變成向量場

旋度為零的場稱為無旋場

斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進行第二類曲面積分，結果應該表示的是這個曲面的旋轉快慢程度，同時這種旋轉也可看成是邊界上的速度環(huán)量造成的，故兩者應該相等。即斯托克斯定理把一個速度場在邊界上形成的環(huán)量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯(lián)系起來。該解釋是從速度環(huán)量的角度出發(fā)得到的，比高斯定理要難，不強求掌握。

無旋場的速度環(huán)量為零，這相當于一個區(qū)域沒有旋轉效應，這是容易理解的格林定理是斯托克斯定理的平面情形

進一步考察無旋場的性質

旋度為零，相當于對旋度作的第二類曲面積分為零——即等號后邊的第二類曲線積分為零，相當于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點出發(fā)，積分與路徑無

關——相當于所得到的曲線積分結果只于終點的選擇有關，與路徑無關，可看成終點的函數，這是一個場函數（空間位置的函數），稱為勢函數——所得的勢函數的梯度正好就是原來的力場——因為力場函數是連續(xù)的，所以勢函數有全微分

簡單的概括起來就是：無旋場——積分與路徑無關——梯度場——有勢場——全微分

要注意以上這些說法之間的等價性

三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉

第四篇：高等數學難點總結

高等數學難點總結 上冊：

函數（高等數學的主要研究對象）

極限：數列的極限（特殊）——函數的極限（一般）極限的本質是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變量）的變化趨勢

由極限可以推得的一些性質：局部有界性、局部保號性……應當注意到，由極限所得到的性質通常都是只在局部范圍內成立

在提出極限概念的時候并未涉及到函數在該點的具體情況，所以函數在某點的極限與函數在該點的取值并無必然聯(lián)系

連續(xù)：函數在某點的極限 等于 函數在該點的取值 連續(xù)的本質：自變量無限接近，因變量無限接近

導數的概念

本質是函數增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化率

微分的概念：函數增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上任何函數的增量我們都可以線性關系去近似它，但是當誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數可微分了

不定積分：導數的逆運算 什么樣的函數有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作規(guī)則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當極限存在時，近似成為精確 什么樣的函數有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數有不同的優(yōu)先級別，按反對冪三指的順序來記憶

定積分的幾何應用和物理應用

高等數學里最重要的數學思想方法：微元法

微分和導數的應用：判斷函數的單調性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質是用多項式來逼近連續(xù)函數。要學好這部分內容，需要考慮兩個問題：

一、這些多項式的系數如何求？

二、即使求出了這些多項式的系數，如何去評估這個多項式逼近連續(xù)函數的精確程度，即還需要求出誤差（余項），當余項隨著項數的增多趨向于零時，這種近似的精確度就是足夠好的。下冊

（一）：

多元函數的微積分：將上冊的一元函數微積分的概念拓展到多元函數

最典型的是二元函數

極限：二元函數與一元函數要注意的區(qū)別，二元函數中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數只能沿直線接近），所以二元函數存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點，函數值都要有確定的變化趨勢

連續(xù)：二元函數和一元函數一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數值是否相等

導數：上冊中已經說過，導數反映的是函數在某點處的變化率（變化情況），在二元函數中，一點處函數的變化情況與從該點出發(fā)所選擇的方向有關，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向導數的概念

沿坐標軸方向的導數若存在，稱之為偏導數

通過研究發(fā)現(xiàn)，方向導數與偏導數存在一定關系，可用偏導數和所選定的方向來表示，即二元函數的兩個偏導數已經足夠表示清楚該函數在一點沿任意方向的變化情況

高階偏導數若連續(xù)，則求導次序可交換

微分：微分是函數增量的線性主要部分，這一本質對一元函數或多元函數來說都一樣。只不過若是二元函數，所選取的線性近似部分應該是兩個方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導數存在，不能推出用線性關系近似表示函數增量后帶來的誤差足夠小，即偏導數存在不一定有微分存在

若偏導數存在，且連續(xù)，則微分一定存在

極限、連續(xù)、偏導數和可微的關系在多元函數情形里比一元函數更為復雜

極值：若函數在一點取極值，且在該點導數（偏導數）存在，則此導數（偏導數）必為零

所以，函數在某點的極值情況，即函數在該點附近的函數增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數來說，二階微分的符號就是二階導數的符號，對二元函數來說，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。

級數斂散性的判別思路：首先看通項是否趨于零，若不趨于零則發(fā)散。若通項趨于零，看是否正項級數。若是正項級數，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數和調和級數是常用來作比較的級數，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項級數，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級數，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問題具體分析。

比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。

函數項級數情況復雜，一般只研究冪級數。阿貝爾定理揭示了冪級數的重要性質：收斂區(qū)域存在一個收斂半徑。所以對冪級數，關鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。

逐項求導和逐項積分不改變冪級數除端點外的區(qū)域的斂散性，端點情況復雜，需具體分析。

一個函數能展開成冪級數的條件是：存在任意階導數。展開后的冪級數能收斂于原來函數的條件是：余項（誤差）要隨著項數的增加趨于零。這與泰勒展開中的結論一致。

微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。

第五篇：高等數學難點總結

高等數學難點總結

函數（高等數學的主要研究對象）

極限：數列的極限（特殊）——函數的極限（一般）

極限的本質是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變量）的變化趨勢

由極限可以推得的一些性質：局部有界性、局部保號性……應當注意到，由極限所得到的性質通常都是只在局部范圍內成立

在提出極限概念的時候并未涉及到函數在該點的具體情況，所以函數在某點的極限與函數在該點的取值并無必然聯(lián)系

連續(xù)：函數在某點的極限 等于 函數在該點的取值 連續(xù)的本質：自變量無限接近，因變量無限接近

導數的概念

本質是函數增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化率

微分的概念：函數增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上任何函數的增量我們都可以線性關系去近似它，但是當誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數可微分了

不定積分：導數的逆運算 什么樣的函數有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作規(guī)則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當極限存在時，近似成為精確 什么樣的函數有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數有不同的優(yōu)先級別，按反對冪三指的順序來記憶

定積分的幾何應用和物理應用

高等數學里最重要的數學思想方法：微元法

微分和導數的應用：判斷函數的單調性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質是用多項式來逼近連續(xù)函數。要學好這部分內容，需要考慮兩個問題：

一、這些多項式的系數如何求？

二、即使求出了這些多項式的系數，如何去評估這個多項式逼近連續(xù)函數的精確程度，即還需要求出誤差（余項），當余項隨著項數的增多趨向于零時，這種近似的精確度就是足夠好的 下冊

（一）：

多元函數的微積分：將上冊的一元函數微積分的概念拓展到多元函數

最典型的是二元函數

極限：二元函數與一元函數要注意的區(qū)別，二元函數中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數只能沿直線接近），所以二元函數存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點，函數值都要有確定的變化趨勢

連續(xù)：二元函數和一元函數一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數值是否相等

導數：上冊中已經說過，導數反映的是函數在某點處的變化率（變化情況），在二元函數中，一點處函數的變化情況與從該點出發(fā)所選擇的方向有關，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向導數的概念

沿坐標軸方向的導數若存在，稱之為偏導數

通過研究發(fā)現(xiàn)，方向導數與偏導數存在一定關系，可用偏導數和所選定的方向來表示，即二元函數的兩個偏導數已經足夠表示清楚該函數在一點沿任意方向的變化情況

高階偏導數若連續(xù)，則求導次序可交換

微分：微分是函數增量的線性主要部分，這一本質對一元函數或多元函數來說都一樣。只不過若是二元函數，所選取的線性近似部分應該是兩個方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導數存在，不能推出用線性關系近似表示函數增量后帶來的誤差足夠小，即偏導數存在不一定有微分存在

若偏導數存在，且連續(xù)，則微分一定存在

極限、連續(xù)、偏導數和可微的關系在多元函數情形里比一元函數更為復雜

極值：若函數在一點取極值，且在該點導數（偏導數）存在，則此導數（偏導數）必為零

所以，函數在某點的極值情況，即函數在該點附近的函數增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數來說，二階微分的符號就是二階導數的符號，對二元函數來說，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。

級數斂散性的判別思路：首先看通項是否趨于零，若不趨于零則發(fā)散。若通項趨于零，看是否正項級數。若是正項級數，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數和調和級數是常用來作比較的級數，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項級數，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級數，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問題具體分析。

比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。

函數項級數情況復雜，一般只研究冪級數。阿貝爾定理揭示了冪級數的重要性質：收斂區(qū)域存在一個收斂半徑。所以對冪級數，關鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。

逐項求導和逐項積分不改變冪級數除端點外的區(qū)域的斂散性，端點情況復雜，需具體分析。

一個函數能展開成冪級數的條件是：存在任意階導數。展開后的冪級數能收斂于原來函數的條件是：余項（誤差）要隨著項數的增加趨于零。這與泰勒展開中的結論一致。

微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。下冊

（二）定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來理解是某個空間區(qū)域（直線段、平面區(qū)域、立體區(qū)域、曲線段、曲面區(qū)域）的質量，其中被積元可看作區(qū)域的微小單元，被積函數則是該微小單元的密度

這些積分最終都是轉化成定積分來計算

第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環(huán)量），第二類曲面積分的物理意義是流量

在研究上述七類積分的過程中，發(fā)現(xiàn)其實被積函數都是空間位置點的函數，于是把這種以空間位置作為自變量的函數稱為場函數

場函數有標量場和向量場，一個向量場相當于三個標量場

場函數在一點的變化情況由方向導數給出，而方向導數最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個向量，任何方向的方向導數，都是梯度在這個方向上的投影，所以梯度的模是方向導數的最大值

梯度方向是函數變化最快的方向，等位面方向是函數無變化的方向，這兩者垂直

梯度實際上一個場函數不均勻性的量度

梯度運算把一個標量場變成向量場

一條空間曲線在某點的切向量，便是該點處的曲線微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯(lián)系

一張空間曲面在某點的法向量，便是該點處的曲面微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯(lián)系

物體在一點處的相對體積變化率由該點處的速度場決定，其值為速度場的散度 散度運算把向量場變成標量場

散度為零的場稱為無源場

高斯定理的物理意義：對散度在空間區(qū)域進行體積分，結果應該是這個空間區(qū)域的體積變化率，同時這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應該相等。即高斯定理把一個速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區(qū)域上的體積分聯(lián)系起來

無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當于既無損失又無補充

物體在一點處的旋轉情況由該點處的速度場決定，其值為速度場的旋度

旋度運算把向量場變成向量場

旋度為零的場稱為無旋場

斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進行第二類曲面積分，結果應該表示的是這個曲面的旋轉快慢程度，同時這種旋轉也可看成是邊界上的速度環(huán)量造成的，故兩者應該相等。即斯托克斯定理把一個速度場在邊界上形成的環(huán)量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯(lián)系起來。該解釋是從速度環(huán)量的角度出發(fā)得到的，比高斯定理要難，不強求掌握。

無旋場的速度環(huán)量為零，這相當于一個區(qū)域沒有旋轉效應，這是容易理解的

格林定理是斯托克斯定理的平面情形

進一步考察無旋場的性質

旋度為零，相當于對旋度作的第二類曲面積分為零——即等號后邊的第二類曲線積分為零，相當于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點出發(fā)，積分與路徑無關——相當于所得到的曲線積分結果只于終點的選擇有關，與路徑無關，可看成終點的函數，這是一個場函數（空間位置的函數），稱為勢函數——所得的勢函數的梯度正好就是原來的力場——因為力場函數是連續(xù)的，所以勢函數有全微分

簡單的概括起來就是：無旋場——積分與路徑無關——梯度場——有勢場——全微分

要注意以上這些說法之間的等價性

三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉