第一篇：近世代數(shù)學(xué)習(xí)心得論文(中文英文對照)

近世代數(shù)學(xué)習(xí)心得

《抽象代數(shù)》是一門比較抽象的學(xué)科，作為初學(xué)者的我感到虛無飄渺，困難重重。我本來英語學(xué)的就不好，看到全英的《近世代數(shù)》我似乎傻眼了。通過兩個月的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)它還是有規(guī)律有方法的。

針對“近世代數(shù)”課程的概念抽象、難于理解的特點，我認為理解概念的一種有效方法是多舉已學(xué)過的典型例子。多看多做，舉一反三。比如群論里面有一個最基本的問題就是n階有限群的同構(gòu)類型有多少。圍繞這個問題可以引出很多抽象的概念，比如元素的階數(shù)，abel群，正規(guī)子群，商群，Sylow定理等，同時也會學(xué)到如何把這些理論應(yīng)用到具體的例子分析中學(xué)習(xí)“近世代數(shù)”時，就僅僅背下來一些命題、性質(zhì)和定理，并不意味著真正地理解。要想真正理解，需要清楚這些命題、性質(zhì)和定理的前提條件為什么是必要的？而達到這個目的的最有效的方法就是構(gòu)造反例。

其次是通過變換角度尋求問題的解法，通常是將已知或未知較復(fù)雜的問題變換為等價的較簡單的問題，或者是將新問題變換為已經(jīng)解決的問題，或者是將未知與已知關(guān)系較少的問題變?yōu)橐阎c未知關(guān)系較多的問題等等

先參考著答案做題，然后自己總結(jié)方法思路，自己就開始會做了。問題在是否善于總結(jié)歸納。

以前學(xué)代數(shù)的時候從來沒有意識到代數(shù)是門很抽象的學(xué)科，總在練習(xí)的過程中靠點小聰明學(xué)過來，也由于這段路一直走得非常平坦，我從來沒停下來去想想其本身的理論體系的問題?，F(xiàn)在想想，也許這就是我一直停留在考試成績一般，卻難以有所作為的原因吧。所以有時走得太快可能未必時間好事。很可惜現(xiàn)在才了解到這一點，同時也還算幸運，畢竟人還在青年，還來得及改正

Modern Algebra learning experience “Abstract Algebra” is a more abstract subjects, as a beginner , I feel vague , difficult.I had to learn English is not good to see the UK 's “Modern Algebra” I seem dumbfounded.Through two months of the study, it is found that there is a regular method.For the “ Modern Algebra ” course abstract concept , difficult to understand the characteristics , I believe that an effective way to understand the concept is to have learned to cite a typical example.See more and more , by analogy.Such as group theory which has a fundamental problem is a finite group of order n is isomorphic to type numbers.Around this problem can lead to many abstract concepts , such as the order of elements , abel group , normal subgroups , quotient groups , Sylow theorems , etc., but also learn how to put these theories to the analysis of specific examples to learn “ Modern Algebra ”, it is just back down a number of propositions , properties and theorems , does not mean that truly understand.To truly understand the need to clear these propositions , properties and theorems prerequisite Why is necessary ? To achieve this purpose the most effective way is to construct counterexample.Followed by changing the angle seek a solution, usually known or unknown to the more complex problem is converted into an equivalent simpler problem , or is transformed into a new problem has been solved , or is unknown with the known relations fewer problems become more known and unknown relationship problems, etc.Do question the answer to the first reference , and then summarize their way thinking that he began to do it.Whether good at summarizing the problem.Previously learned algebra algebra is never realized when the door is very abstract subject , always in the process of practice by learning a little smarter over, but also because this section has gone very flat , I never stopped to think about their own theoretical system problems.Now think about it , maybe this is what I have been stuck in test scores in general, but the reason it is difficult to make a difference.So sometimes a good thing going too fast may not be time.Unfortunately now I understand this, but also lucky , after all, people are still young , still have time to correct

第二篇：近世代數(shù)課程總結(jié)

近世代數(shù)基礎(chǔ)Ⅱ?qū)W習(xí)報告

現(xiàn)代數(shù)學(xué)

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要研究方向為結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué),結(jié)構(gòu)反映事物構(gòu)成部分之間的關(guān)系，部分與整體的關(guān)系,或幾種事物間的相互組成聯(lián)系?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是集合，在集合上附加代數(shù)結(jié)構(gòu)、分析結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)或集合結(jié)構(gòu)得到數(shù)學(xué)的各種分支。本門課程的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容就是以集合理論為基礎(chǔ)而逐步展開的。群論是在集合上賦予運算法則，形成群、環(huán)、域等基本的運算系統(tǒng)；流形同樣是在集合上賦予相應(yīng)的結(jié)構(gòu)而形成具有獨特性質(zhì)的數(shù)學(xué)研究對象。這些抽象的理論往往會在實際系統(tǒng)中得到應(yīng)用，用集合的思想去解決問題往往會提升效率。

一 抽象代數(shù)

1.1 群

定義

群是特殊的集合，它是一個包含了二元運算法則并滿足一定條件的集合。一般說來，群G是指對于某種運算法則?滿足以下四個條件的集合：

(1)封閉性：若a,b?G，則存在唯一確定的c?G使得a?b?c；

(2)結(jié)合律成立：任意a,b,c?G，有(a?b)?c?a?(b?c)；

(3)單位元存在：存在e?G對任意a?G，滿足a?e?e?a?a；

(4)逆元存在：對任意a?G，存在唯一確定的b?G使得a?b?b?a?e；若群還滿足交換律，則成為交換群或者阿貝爾群。

若群G中元素個數(shù)有限，則G為有限群；否則稱為無限群。有限群的元素個數(shù)稱為有限群的階。

子群

對于群G，若集合H?G對于群G上定義的二元運算構(gòu)成一個群，則稱H是G的子群，記做H?G。

小結(jié)

在群論的研究中，我們需要關(guān)心的是個元素之間的運算關(guān)系，即群的結(jié)構(gòu)，而不用去管某個元素的具體含義是什么。

1.2 環(huán)

當(dāng)在一個集合上附加兩種代數(shù)運算，而這兩種運算是有機集合，可得到所謂的環(huán)。

定義

設(shè)R是一個非空集合，其上定義了兩種二元運算，通常表示為加法+和乘法?，若(1)(R,?)是交換群

(2)(R,?)是半群

(3)乘法對加法滿足分配律

則稱R為一個環(huán)。環(huán)也是一種群。

子環(huán)

環(huán)R的一個非空子集S，若對于R的兩種運算構(gòu)成一個環(huán)，則稱S為R的子環(huán)。

整環(huán)

設(shè)R為含單位的環(huán)，且1?0。若R為沒有零因子的交換環(huán)，則稱R為整環(huán)。

1.3 域

域也是一種環(huán)，要求?要滿足交換律，除了有+的單位元還要有?的單位元(二者不等)，除了+的單位元外其他元素都有?的逆元。

1.4 群的應(yīng)用

群是刻畫事物對稱性的有效工具，比如圖形的對稱、函數(shù)的對稱等。

二 微分幾何

微分幾何學(xué)是運用數(shù)學(xué)分析的理論研究曲線或曲面上一點的鄰域的性質(zhì)，即研究一般曲線或曲面在小范圍上的性質(zhì)。它主要包含曲線論和曲面論。曲線論主要就是Frenet公式，曲面論主要是從曲面上曲線的弧長公式推出曲面的第一基本形式（等距變換，保角變換，內(nèi)蘊量的性質(zhì)），從曲面與切平面間的有向距離推出第二基本形式，而曲率的推導(dǎo)順序是：曲面上曲線的曲率、法曲率、主曲率、高斯曲率和平均曲率。微分幾何有兩個十分重要的基礎(chǔ)：坐標(biāo)變換和求導(dǎo)的技巧。在學(xué)習(xí)微分幾何之前需要熟練運用這兩個部分。

標(biāo)架

標(biāo)架，這一概念在張量分析的學(xué)習(xí)中曾經(jīng)涉及到。張量可以看作一個實體（幾何體，幾何量），這個實體由這組分量和分量所對應(yīng)的基共同構(gòu)成。通常說的張量是不依賴于坐標(biāo)系的，而觀察者和標(biāo)架是等同的。用一個坐標(biāo)系來充當(dāng)觀察者，再配上時間坐標(biāo)，標(biāo)架成為四維的。坐標(biāo)系和標(biāo)架（或者觀察者）是不同的，同

一個標(biāo)架下可以觀察到多個“坐標(biāo)系”。

測地線

曲面上測地曲率恒等于零的曲線，稱為測地線。平面上的測地線就是直線； 測地線的概念就是平面上直線的概念在曲面上的推廣。曲面上的曲線，當(dāng)且僅當(dāng)它是直線或者它的主法向量處處是曲線的法向量時，它才是測地線。旋轉(zhuǎn)面上的經(jīng)線是測地線，球面上的大圓周是測地線。

距離最短的曲線在相對論中的專業(yè)術(shù)語是測地線，事實上，相應(yīng)于速度小于

C、等于c、大于c 的三種測地線分別稱為類時測地線，類光測地線和類空測地線。

三 微分流形

3.1微分流形的數(shù)學(xué)定義

n 維流形就是一個Hausdorff 空間，它的每一點有開鄰域與n 維歐式空間的開集同胚。微分流形是一類重要的拓撲空間，它除了具有通常的拓撲結(jié)構(gòu)外，還添加上了微分結(jié)構(gòu)，因而可以應(yīng)用微積分學(xué)，從而就能建立一些微分幾何的性質(zhì)。

3.2流形描述

流形（Manifold），是局部具有歐幾里得空間性質(zhì)的空間。流形在數(shù)學(xué)中用于描述幾何形體，它們提供了研究可微性的自然的舞臺。物理上，經(jīng)典力學(xué)的相空間和構(gòu)造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實例。

3.3 流形的應(yīng)用

可以把經(jīng)典數(shù)學(xué)分析中的幾個著名公式，如格林公式、高斯公式、斯托克司公式等在高維的流形上，利用外微分，統(tǒng)一為一個形式。

空間最最本質(zhì)的東西就是有關(guān)測度的概念。測度不同，導(dǎo)致空間定義，空間結(jié)構(gòu)和形式的不同。歐氏空間和黎曼空間的區(qū)別也在于此，有了測度的概念，任何空間的構(gòu)型就可以被決定，對空間的研究也就不再成問題。那么我們怎樣來度量空間，顯然歐氏空間已經(jīng)不再十分湊效，我們只能選擇黎曼流形。這就是光在宇宙中為什么沿著一條測地線前進，而不是直線。

第三篇：近世代數(shù)第一章小結(jié)

第一章小結(jié)

本章主要研究群的有關(guān)問題：定義性質(zhì)、子群及不變子群、三類重要的群——變換群、置換群、循環(huán)群、同態(tài)與同構(gòu)，主要內(nèi)容有：

一、基本概念

??子集--相等集合???交集??集合???集合運算?并集???積集（笛卡兒積）????????單射????映射?滿射? 預(yù)備知識?

?雙射????映射???變換????????代數(shù)運算????等價關(guān)系與分類???交換群（阿貝爾群Abel),（?a,b?G,有ab?ba）??????非交換群（?a,b?G，使ab?ba)?群定義??有限群G—階G?n?????無限群G—階G?????????子群???子群?正規(guī)子群 群??陪集--商群????變換群——由一個非空集合的若干一一變換構(gòu)成的群??三種重要群??置換群——由n元有限集合的若干一一變換（置換）構(gòu)成的群??循環(huán)群——每個元素都是某個元的冪???存在保運算的映射?同態(tài)?兩個群的關(guān)系???同構(gòu)存在保運算的一一映射?單位元、逆元、元素的階、子群在群中的指數(shù)

.二、主要結(jié)論

1.群的基本性質(zhì)： 1）——5），定理1.2.1，1.2.2； 2.元素階的性質(zhì)：定理1.2.3---1.2.4 3．子群的判別條件（重點）

為群(1)任給（2）任給（3）任給 的非空子集.則 , 有 , 有 , 有 為 的子群的充分必要條件是: , 有

.，任給

.（只適合有限子集）

子群的性質(zhì)：子群的交集仍是子群 4．陪集、商群性質(zhì)

設(shè) 是 的子群, 則

（1）aH=Ha=H當(dāng)且僅當(dāng) a∈H

（2）（3）

（4）集之并.（5）(拉格朗日定理)有限群 的任一元素a 的階都是群（7）設(shè) 為有限群.的任一子群 的階數(shù)是群 的階數(shù)的因子.且|G|=|H|[G：H]（6）有限群 當(dāng)且僅當(dāng) 當(dāng)且僅當(dāng) , ，;;

可以表示成一些不相交的左(右)陪 的任何兩個左(右)陪集或者完全相同, 或者無公共元素.因此 的階數(shù)的因子.即|a|||G| , 則對任意的 ，.5.正規(guī)（不變）子群的判別條件

N是群 的子群，則N是G的不變子群的充要條件是（1）任意的（2）, 都有 aN=Na , ,;，.（3）6.變換群、置換群、循環(huán)群的結(jié)論

（1）一個集合A的所有一一變換作成一個變換群。(2)(凱萊定理)任一群都同構(gòu)于一個變換群.推論：任一個有限群都同構(gòu)于一個置換群.(3)

個元素的全體置換關(guān)于置換的乘法構(gòu)成群.(4)每一置換可唯一表為若干個不相交輪換(循環(huán)置換)的乘積(5)每一循環(huán)置換都可以表為若干個對換的乘積.(6)

每一置換都可表為若干個對換的乘積

(7)設(shè) 為群, , 則|a|=|a-1|（8）設(shè)（9）設(shè)（10）設(shè) 為群, 為群, ,ΙaΙ=n且 , 則., 如果 |a|=n,則

|ar|=n/d(d=(r,n))

.則 為 階循環(huán)群，為 的生成元的充分必要條件是

（11）循環(huán)群必是交換群.（12）循環(huán)群的子群必是循環(huán)群

（13）設(shè) 為循環(huán)群, 且G=（a）則

如果

如果

7.同態(tài)、同構(gòu)性質(zhì) , 則 , 則

;(1)設(shè)G是一個群，G 是一個非空集合，若G與G對于它們的乘法來說同態(tài)，則G也是一個群

(2)定理1.8.2 設(shè) 與G是群, 是 到G的同態(tài)映滿射.1)如果 是 的單位元, 則 ，是

是G的單位元;

在G中的逆元.即

2)對于任意的

(3)定理1.8.3-----滿射、單射的條件

(4)定理1.8.4——同態(tài)映射保子群、正規(guī)子群.(5)定理1.8.5------同態(tài)基本定理

三、基本方法與題型

1、群的判別----定義法

2、子群的判別方法（四種方法）：定義法； 定理1；定理2；定理3（有限）；

3、正規(guī)子群的判別方法（四種方法）：定義法； 定理1）-3）；

4、求有限群的子群方法：（重點掌握循環(huán)群的子群求法）

1）確定子群的可能階數(shù)； 2）按階數(shù)確定可能的子集；3）判斷哪個是子群。

5、求正規(guī)子群方法：1）求子群； 2）判別哪些子群是正規(guī)子群（交換群的子群都是正規(guī)子群）

6、求陪集：定義法

7、求商群方法：按定義

8、計算置換的乘積、逆、階----定義方法

9、把置換表成不相連的循環(huán)置換的乘積或?qū)Q的乘積

10、求元素的階：1）定義方法 2）有關(guān)性質(zhì)

11、判別循環(huán)群方法：定義法

12、同態(tài)、同構(gòu)映射的判斷：定義方法

13、群同態(tài)、同構(gòu)的證明：構(gòu)造同態(tài)或同構(gòu)映射 14.單、滿、雙射的判斷----定義法 15.等價關(guān)系的判斷----定義法，傳遞性

第四篇：近世代數(shù)期末考試試卷及答案

近世代數(shù)模擬試題三

一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1、6階有限群的任何子群一定不是（）。A、2階

B、3 階 C、4 階 D、6 階

2、設(shè)G是群，G有（）個元素，則不能肯定G是交換群。A、4個 B、5個 C、6個 D、7個

3、有限布爾代數(shù)的元素的個數(shù)一定等于（）。

A、偶數(shù) B、奇數(shù) C、4的倍數(shù) D、2的正整數(shù)次冪

4、下列哪個偏序集構(gòu)成有界格（）

A、（N,?）B、（Z,?）C、（{2,3,4,6,12},|（整除關(guān)系））D、(P(A),?)

5、設(shè)S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（）

A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

1、群的單位元是--------的，每個元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個元，則f?1?f?a???----------。

3、區(qū)間[1，2]上的運算a?b?{mina,b}的單位元是-------。

4、可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=——————————。

5、環(huán)Z8的零因子有-----------------------。

6、一個子群H的右、左陪集的個數(shù)----------。

7、從同構(gòu)的觀點，每個群只能同構(gòu)于他/它自己的---------。

8、無零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱為R的-----------。

n9、設(shè)群G中元素a的階為m，如果a?e，那么m與n存在整除關(guān)系為--------。

三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）

1、用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項鏈，問可做出多少種不同的項鏈？

2、S1，S2是A的子環(huán)，則S1∩S2也是子環(huán)。S1+S2也是子環(huán)嗎？

3、設(shè)有置換??(1345)(1245)，??(234)(456)?S6。

1．求??和??1?；

2．確定置換??和??1?的奇偶性。

四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）

1、一個除環(huán)R只有兩個理想就是零理想和單位理想。

2、M為含幺半群，證明b=a-1的充分必要條件是aba=a和ab2a=e。

近世代數(shù)模擬試題三

參考答案

一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

1、C；

2、C；

3、D；

4、D；

5、A；

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

1、唯

一、唯一；

2、a；

3、2；

4、24；

5、9、mn；

6、相等；

7、商群；

8、特征；；

三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）

1、解 在學(xué)群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進行計算：例如，全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。

2、證 由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：

因為S1，S2是A的子環(huán)，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2，因而a-b, ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：

?1????(1243)(56)

3、解： 1．，??(16524)；

2．兩個都是偶置換。

四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）

1、證明：假定?是R的一個理想而?不是零理想，那么a?0??，由理想的定 3

?1a義a?1??，因而R的任意元b?b?1??

這就是說?=R，證畢。

2、證 必要性：將b代入即可得。充分性：利用結(jié)合律作以下運算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。

—————————————————————————————————————— 一．判斷題(每小題2分,共20分)

1.實數(shù)集R關(guān)于數(shù)的乘法成群.（）2.若H是群G的一個非空有限子集，且?a,b?H都有ab?H成立，則H是G的一個子群.（）3.循環(huán)群一定是交換群.（）4.素數(shù)階循環(huán)群是單群.（）

5.設(shè)G是有限群，a?G，n是a的階，若ak?e，則n|k.（）

6.設(shè)f是群G到群G的同態(tài)映射，H是G的子群，則f?H?是G的子群.（）7.交換群的子群是正規(guī)子群.（）8.設(shè)G是有限群，H是G的子群，則GH?|G|.（）|H|9.有限域的特征是合數(shù).（）10.整數(shù)環(huán)Z的全部理想為形如nZ的理想.（）二．選擇題(每小題3分,共15分)11.下面的代數(shù)系統(tǒng)?G,??中，（）不是群.A.G為整數(shù)集合，?為加法； B.G為偶數(shù)集合，?為加法； C.G為有理數(shù)集合，?為加法； D.G為整數(shù)集合，?為乘法.12.設(shè)H是G的子群，且G有左陪集分類?H,aH,bH,cH?.如果H的階為6，那么G 的階G?（）

A.6；

B.24；

C.10；

D.12.4

13.設(shè)S3???1?,?12?,?13?,?23?,?123?,?132?,?，則S B.2；

C.3；

3中與元?123?不能交換的元的個數(shù)是

A.1；

D.4.14.從同構(gòu)的觀點看，循環(huán)群有且只有兩種，分別是（）

A.G=（a）與G的子群；

B.整數(shù)加法群與模n的剩余類的加法群； C.變換群與置換群；

D.有理數(shù)加法群與模n的剩余類的加法群.15.整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個數(shù)是()。

A.1個

B.2個

C.4個

D.無限個 三．填空題(每小題3分,共15分)

16.如果G是全體非零有理數(shù)的集合，對于普通乘法來說作成一個群，則這個群的單位元是.17.n次對稱群Sn的階是____________.18.整數(shù)加法群Z關(guān)于子群nZ的陪集為.19.設(shè)N是G的正規(guī)子群，商群GN中的單位元是。

20.若R是交換環(huán), a?R則主理想?a??____________.四．計算題(第21小題8分, 第22小題12分，共20分)21.令????6??123456??123456??????，???54321??231564??1????621354??，計算??,?.???123456?

22.設(shè)H?{(1),(123),(132)}是3次對稱群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，并說明H是否是S3的正規(guī)子群.五．證明題(每題10分,共30分)

23.設(shè)G是群，H是G的子群，證明：a?G，則aHa?1也是子群

24.設(shè)G是群，H是G的正規(guī)子群.G關(guān)于H的陪集的集合為

GH?{gH|g?G}，證明：G/H對于陪集的乘法成為一個群，稱為G對H的商群.25.證明：域F上全體n?n矩陣的集合Mn?F?在矩陣的加法和乘法下成為環(huán).一．判斷題(每小題2分,共20分)

1-10 ××√√√ √√√×√ 二．選擇題(每小題3分,共15分)11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.三．填空題(每小題3分,共15分)16.1； 17.n!；18.?nZ,nZ?1,?,nZ??n?1??；

19.N；20.aR.四．計算下列各題(第21小題8分, 第22小題12分，共20分)

21.解：?????123456??546213?，???????????????4分? 6

??1???123456??.??????????????????8分

?312645?22.解：H的所有左陪集為

H?{(1),(123),(132)}，(???23)}????????????4分

?12?H?{(12),(13),；H的所有右陪集為

H?{(1),(123),(132)}，H?12??{(12),(13),(23)}.對???S3，有?H?H?，即H是正規(guī)子群.?????????12分 五．證明題(每題10分,共30分)

23.證明：因為H是G的子群，對任意x,y?H，有xy?H.???4分 由題意，對任意

?1,ax,y?H，有ax?1?1a?y?1aa，a從H而

??axa??ay?1?1?1a??axy?1?1a?aHa?1，即aHa?1也是子群.??????10分

24.證明：首先G???3分 H對于上述乘法是封閉的，且乘法滿足結(jié)合律.陪集H?eH是它的單位元，eHgH?egH?gH,?g?H.???7分 又任意gH，有g(shù)HgH?eH?gHgH，即gH是gH的逆元.???10分

25.證明：Mn?F?關(guān)于加法是封閉的，且滿足結(jié)合律，?????? 3分 零元是0n?n，對任意An?n?Mn?F?，有An?n???An?n??0n?n，即An?n的負元是?An?n.?1?1?1Mn?F?關(guān)于乘法是封閉的，且滿足結(jié)合律，單位元是En?n.?????? 8分

乘法關(guān)于加法的分配律成立.???????????????10分

第五篇：諺語精選(中文英文對照)

諺語1001.Timeflies.時光易逝。2.Timeismoney.一寸光陰一寸金。3.Timeandtidewaitfornoman.歲月無情；歲月易逝；歲月不待人。4.Timetriesall.時間檢驗一切。5.Timetriestruth.時間檢驗真理。6.Timepastcannotbecalledbackagain.光陰一去不復(fù)返。7.Alltimeisnotimewhenitispast.光陰一去不復(fù)返。8.Noonecancallbackyesterday;Yesterdaywillnotbecalledagain.昨日不復(fù)來。9.Tomorrowcomesnever.切莫依賴明天。10.Onetodayisworthtwotomorrows.一個今天勝似兩個明天。11.Themorningsunneverlastsaday.好景不常；朝陽不能光照全日。12.Christmascomesbutonceayear.圣誕一年只一度。13.pleasanthoursflypast.快樂時光去如飛。14.Happinesstakesnoaccountoftime.歡娛不惜時光逝。15.Timetamesthestrongestgrief.時間能緩和極度的悲痛。16.Thedayisshortbuttheworkismuch.工作多，光陰迫。17.Neverdetertilltomorrowthatwhichyoucandotoday.今日事須今日畢，切勿拖延到明天。18.Haveyousomewhattodotomorrow,doittoday.明天如有事，今天就去做。19.Tohimthatdoeseverythinginitspropertime,onedayisworththree.事事及時做，一日勝三日。20.Tosavetimeistolengthenlife.節(jié)省時間就是延長生命。21.Everythinghasitstimeandthattimemustbewatched.萬物皆有時，時來不可失。22.Taketimewhentimecometh,lesttimestealaway.時來必須要趁時，不然時去無聲息。23.Whenanopportunityisneglected,itnevercomesbacktoyou.機不可失，時不再來；機會一過，永不再來。24.Makehaywhilethesunshines.曬草要趁太陽好。25.Strikewhiletheironishot.趁熱打鐵。26.Worktoday,foryouknownothowmuchyoumaybehinderedtomrrow.今朝有事今朝做，明朝可能阻礙多。27.punctualityisthesoulofbusiness.守時為立業(yè)之要素。28.procrastinationisthethiefoftime.因循拖延是時間的大敵；拖延就是浪費時間。29.Everytidehathistebb.潮漲必有潮落時。30.Knowledgeispower.知識就是力量。31.Wisdomismoretobeenviedthanriches.知識可羨，勝于財富。32.Wisdomisbetterthangoldorsilver.知識勝過金銀，33.Wisdominthemindisbetterthanmoneyinthehand.胸中有知識，勝于手中有錢。34.Wisdomisagoodpurchasethoughwepaydearforit.為了求知識，代價雖高也值得。35.Doubtisthekeyofknowledge.懷疑是知識之鑰。36.Ifyouwantknowledge,youmusttoilforit.若要求知識，須從勤苦得。37.Alittleknowledgeisadangerousthing.淺學(xué)誤人。38.Ahandfulofcommonsenseisworthabusheloflearning.少量的常識，當(dāng)?shù)么罅康膶W(xué)問。39.Knowledgeadvancesbystepsandnotbyleaps.知識只能循序漸進，不能躍進。40.Learnwisdombythefolliesofothers.從旁人的愚行中學(xué)到聰明。41.Itisgoodtolearnatanotherman’scost.前車可鑒。42.Wisdomistothemindwhathealthistothebody.知識之于精神，一如健康之于肉體。43.Experienceisthebestteacher.經(jīng)驗是最好的教師。44.Experienceisthefatherofwisdomandmemorythemother.經(jīng)驗是知識之父，記憶是知識之母。45.Dexteritycomesbyexperience.熟練來自經(jīng)驗。46.practicemakesperfect.熟能生巧。47.Experiencekeepsadearschool,butfoolslearninnoother.經(jīng)驗學(xué)校學(xué)費高，愚人旁處學(xué)不到。48.Experiencewithoutlearningisbetterthanlearningwithoutexperience.有經(jīng)驗而無學(xué)問，勝于有學(xué)問而無經(jīng)驗。49.Witonceboughtisworthtwicetaught.由經(jīng)驗而得的智慧，勝于學(xué)習(xí)而得的智慧；一次親身的體會，勝過兩次的教師教導(dǎo)。50.Seeingisbelieving.百聞不如一見。51.Businessisthesaltoflife.事業(yè)是生命之鹽。52.Businessbeforepleasure.事業(yè)在先，享樂在后。53.Businessmakesamanaswellastrieshim.事業(yè)可以考驗人，也可以造就人。54.Businessneglectedisbusinesslost.忽視職業(yè)便是放棄職業(yè)。55.Neverthinkyourselfabovebusiness.勿自視過高；不要眼高手低；永遠不要認為自己是大才小用。56.Businessmaybetroublesome,butidlenessispernicious.事業(yè)雖擾人，懶惰害更大。57.Hethatthinkshisbusinessbelowhimwillalwaysbeabovehisbusiness.自命大才小用，往往眼高手低。58.Dobusiness,butbenotaslavetoit.要做事，但不要做事務(wù)的奴隸。59.Everybody’sbusinessisnobody’sbusiness.眾人的事就是無人過問的事。60.Workmakestheworkman.勤工出巧匠。61.Bettermasteronethanengagewithten.會十事，不如精一事。62.Aworkilldonemustbetwicedone.首次做不好，必須重新搞。63.Theywhocannotdoastheywould,mustdoastheycan.不能如愿而行，也須盡力而為。64.Ifyouwouldhaveathingwelldone,doityourself.想把事情來做好，就得親自動手搞。65.Hethatdothmostatoncedothleast.什么都想一次做完，結(jié)果一件也做不完；貪多嚼不爛。66.Doasmostmendoandmenwillspeakwellofthee.照大多數(shù)人那樣干，人們會把你稱贊。67.Whatmaybedoneatanytimewillbedoneatnotime.在任何時候都可做的事情，總是在任何時候都不做的事情。68.Betterlatethannever.遲做總比不做好。69.Whateverisworthdoingatallisworthdoingwell.凡是值得做的事，就值得做好。70.Theshortestanswerisdoingthething.最簡短的回答就是一個“干”字。71.Actionistheproperfruitofknowledge.行動是知識之佳果。72.Finishedlaboursarepleasant.完成工作是一樂。73.Itislostlabourtosowwherethereisnosoil.沒有土壤，播種也是徒勞。74.Itisrighttoputeverythinginitsproperuse.凡事都應(yīng)用得其所。75.Affairsthataredonebyduedegreesaresoonended.按部就班，事情很快就做完。76.AllworkandnoplaymakesJackadullboy.只工作，不玩耍，聰明小孩也變傻。77.Workbearswitnesswhodoeswell.工作能證明誰做的好。78.Itisnotworkthatkills,butworry.工作不會傷身，傷身乃是憂慮。79.Hethatwillnotworkshallnoteat.不工作者不得食。80.Businessisbusiness.公事公辦。81.Deliberateslowly,執(zhí)行promptly.慢慢酌量，快快行動。82.putyourshouldertothewheel.努力工作。83.Neverdothingsbyhalves.做事不要半途而廢。84.Inforapenny,inforapound.做事一開頭，就要做到底；一不做，二不休。

85.Manyhandsmakequickwork.人多干活快。86.Manyhandsmakelightwork.眾擎易舉。87.Abadworkmanquarrelswithhistools.技術(shù)拙劣的工人抱怨自己的工具。88.Diligenceisthemohterofsuccess.勤奮是成功之母。89.Idlenessistherootofallevil.懶惰乃萬惡之源。90.Careanddiligencebringluck.謹慎和勤奮帶來好運。91.Diligenceisthemotherofgoodfortune.勤勉是好運之母。92.Industryisfortune’srighthand,andfrugalityherleft.勤勉是幸運的右手，世儉是幸運的左手。93.Idlenessisthekeyofbeggary.懶惰出乞丐。94.Noroot,nofruit.無根就無果。95.Idlepeople(folks)havethemostlabour(takethemostpains).懶人做工作，越懶越費力。96.Slothisthekeyofpoverty.惰能致貧。97.Slothturneththeedgeofwit.懶散能磨去才智的鋒芒。98.Anidlebrainisthedevil’sworkshop.懶漢的頭腦是魔鬼的工廠。99.ThesecretofwealthliethinthelettersSAVE.節(jié)儉是致富的秘訣。100.Anidleyouth,aneedyage.少壯不努力，老大徒傷悲。