第一篇：計(jì)算方法總結(jié)[本站推薦]

第一章：基本概念

???x1x2...xm.xm?1xm?2...x?m?n 1.x??x1x2...xm.xm?1xm?2...xm?nxm?n?1x??若x?x1?m?n及其以前的非零數(shù)字稱為準(zhǔn)確數(shù)字。?準(zhǔn)確到n位小數(shù)，x?10?n，稱x2各位數(shù)字都準(zhǔn)確的近似數(shù)稱為有效數(shù)，各位準(zhǔn)確數(shù)字稱為有效數(shù)字。2.f(x)?x???l?0.x1x2...xt

進(jìn)制：?，字長(zhǎng)：t，階碼：l，可表示的總數(shù)：2?(U?L?1)?(??1)?t?1?1 3.計(jì)算機(jī)數(shù)字表達(dá)式誤差來(lái)源

實(shí)數(shù)到浮點(diǎn)數(shù)的轉(zhuǎn)換，十進(jìn)制到二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換，結(jié)算結(jié)果溢出，大數(shù)吃小數(shù)。4.數(shù)據(jù)誤差影響的估計(jì)：

???y?y1nn?y?y??(x1,x2,...xn)??(x1,x2,...xn)xi?xi ???xi，小條件數(shù)。

?xiy?xiy1解接近于零的都是病態(tài)問(wèn)題，避免相近數(shù)相減。避免小除數(shù)大乘數(shù)。

5.算法的穩(wěn)定性

若一個(gè)算法在計(jì)算過(guò)程中舍入誤差能得到控制，或者舍入誤差的積累不影響產(chǎn)生可靠的計(jì)算結(jié)果，稱算法數(shù)值穩(wěn)定。

第二章：解線性代數(shù)方程組的直接法

1.高斯消去法

步驟：消元過(guò)程與回代過(guò)程。

順利進(jìn)行的條件：系數(shù)矩陣A不為零；A是對(duì)稱正定矩陣，A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。2.列主元高斯消去法

失真：小主元出現(xiàn)，出現(xiàn)小除數(shù)，轉(zhuǎn)化為大系數(shù)，引起較大誤差。解決：在消去過(guò)程的第K步，交換主元。還有行主元法，全主元法。3.三角分解法

杜立特爾分解即LU分解。

用于解方程AX?b?LUX?b???LY?b；

UX?Y?用于求A?LU?LU?U?u11u22...unn。

克羅特分解：A?LU?LDD?1U?(LD)(D?1U)，下三角陣和單位上三角陣的乘積。將杜立特爾分解或克羅特分解應(yīng)用于三對(duì)角方程，即為追趕法。

對(duì)稱正定矩陣的喬列斯基分解，A?GG，下三角陣及其轉(zhuǎn)置矩陣的乘積；用于求解

TAX?b的平方根法。

改進(jìn)平方根法：利用矩陣的A?LDL分解。4.舍入誤差對(duì)解的影響

T向量范數(shù)定義： 常用的向量范數(shù)： 矩陣的范數(shù)： 常用的矩陣范數(shù)：

矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性： 影響：?x?xk1?k?AA(?b?A?1其中cond(A)?k?AA，k值大，病態(tài)問(wèn)題。?)，bA第三章：插值法

1.定義

給定n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)，xi及在xi處的函數(shù)值yi(i=0～n)，構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n次的多

nx)。項(xiàng)式：Pn(x)?a0?a1x?a1x2?...?a1xn，使?jié)M足Pn(xi)?yi。取f(x)?P(稱Pn(x)為插值多項(xiàng)式，xi為插值節(jié)點(diǎn)，f(x)為被插函數(shù)。插值問(wèn)題具有唯一性。

2.Lagrange插值多項(xiàng)式 表達(dá)式：

誤差估計(jì)式：

3.Newton插值多項(xiàng)式 差商： 表達(dá)式： 誤差表達(dá)式： 差商的性質(zhì)：

1)差商與節(jié)點(diǎn)的次序無(wú)關(guān)； 2)K階差商對(duì)應(yīng)K階導(dǎo)數(shù)； 3)4)5)

4.埃爾米特（帶導(dǎo)數(shù)）插值多項(xiàng)式 1)Newton法，給定f及f(k)為數(shù)字；

2)Lagrange法，給定f及f(k)為表達(dá)式。

5.三次樣條插值函數(shù)

分段三次插值多項(xiàng)式的定義：S(x)在子區(qū)間[xi-1,xi]上是三次多項(xiàng)式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上連續(xù)。

三次樣條插值函數(shù)的導(dǎo)出：

第四章：函數(shù)最優(yōu)逼近法

1.最優(yōu)平方逼近

對(duì)于廣義多項(xiàng)式：P(x)?c0?0(x)?c1?1(x)?c2?2(x)?...?cn?n(x)，其中?i(x)線性無(wú)關(guān)。要求：

若f(x)是表格函數(shù)，確定P(x)稱為最小二乘擬合函數(shù)，當(dāng)?i(x)?xi，P(x)為最小二乘多項(xiàng)式；若f(x)是連續(xù)函數(shù)，稱P(x)為最優(yōu)平方逼近函數(shù)。

2.函數(shù)的內(nèi)積，范數(shù)定義及其性質(zhì) 內(nèi)積的定義：

性質(zhì)：

范數(shù)的定義： 范數(shù)的性質(zhì)：

正規(guī)方程組或法方程組：

3.正交多項(xiàng)式

正交函數(shù)系的定義：

代入正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣，則： 幾個(gè)正交多項(xiàng)式舉例： 1)勒讓德多項(xiàng)式

2)拉蓋爾多項(xiàng)式

3)埃爾米特多項(xiàng)式

4)切比雪夫多項(xiàng)式

四種正交多項(xiàng)式均可用于高斯型求積公式；P多項(xiàng)式用于最優(yōu)平方逼近，T多項(xiàng)式用于最優(yōu)一致逼近。

正交多項(xiàng)式的性質(zhì)：

1)正交多項(xiàng)式?gk(x)?線性無(wú)關(guān)，推論：Pk(x)(k?n)與gn(x)正交。2)在區(qū)間[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多項(xiàng)式gn(x)有n個(gè)不同的零點(diǎn)。3)設(shè)?gk(x)?是最高次項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式，則：

4.最優(yōu)一致逼近法

(1)切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì) 性質(zhì)1：?Tk(x)?是[-1,1]上關(guān)于?(x)?11?x2(T0,T0)??,(Tk,Tk)??/2；的正交多項(xiàng)式，性質(zhì)2：Tk?1(x)?2xTk(x)?Tk?1(x)； 性質(zhì)3：Tk(x)是最高次項(xiàng)為2x的奇次項(xiàng)；

k?1xk的k次多項(xiàng)式，T2k(x)只含x的偶次項(xiàng)，T2k?1(x)只含

2i?1?,i?0,1...k?1； 2ki性質(zhì)5：在[-1,1]上，Tk(x)?1，且在k+1個(gè)極值點(diǎn)xi?cos?,i?0,1...k處Tk(x)依次取

k性質(zhì)4：Tk(x)有k個(gè)不同的零點(diǎn)，xi?cos得最大值1和-1；

性質(zhì)6：設(shè)Pn(x)是任意一個(gè)最高次項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式，則：

?1?x?1maxPn(x)?max?1?x?111 Tn(x)?n?1n?122(2)最優(yōu)一致逼近法的定義

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，若n次多項(xiàng)式Pn(x)?c0?0(x)?c1?1(x)?c2?2(x)?...?cn?n(x)使Pn?f??maxPn(x)?f(x)達(dá)到最小，則稱Pn(x)為f(x)在[a,b]上的最優(yōu)一致逼近a?x?b函數(shù)。

切比雪夫定理：n次多項(xiàng)式P(x)成為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上最優(yōu)一致逼近多項(xiàng)式的充要條件是誤差R(x)?f(x?)P(x)區(qū)間[a,b]上以正負(fù)或負(fù)正交替的符號(hào)依次取得在E?maxR(x)的點(diǎn)（偏差點(diǎn)）的個(gè)數(shù)不少于n+2。

a?x?b采用如下方程組進(jìn)行求解：

(3)近似最優(yōu)一致逼近多項(xiàng)式 思路：

使用T多項(xiàng)式性質(zhì)6 若區(qū)間是[-1,1]，取xi(i=0～n)為Tn+1的零點(diǎn)，則xi?cos(值多項(xiàng)式Pn(x)；

若區(qū)間是[a,b]，通過(guò)轉(zhuǎn)換x?方法1：由ti?cos(2i?1?),i?0～n，以此構(gòu)造插

2(n?1)a?bb?a?t,t?[-1,1]； 222x?a?b2i?1代入Pn(t)，可?),i?0～n，構(gòu)造Pn(t)，然后將t?b?a2(n?1)得Pn(x)。方法2：取xi?a?bb?aa?bb?a2i?1?ti??cos?，i=0～n；構(gòu)造Pn(x)。22222(n?1)例：

(4)截?cái)嗲斜妊┓蚣?jí)數(shù)法

n(Tk,f)設(shè)f(x)在[-1,1]上連續(xù)，Sn(x)??CkTk(x)，其中Ck?；記Sn(x)??CkTk(x)；

(Tk,Tk)k?0k?0n?應(yīng)用切比雪夫定理及性質(zhì)5，取f(x)?Sn(x)?(5)縮短冪級(jí)數(shù)法

方法1： 方法2：

?CT(x)。

kkk?0第五章：數(shù)值微積分

第一節(jié) 牛頓柯特斯公式

bI(f)???(x)f(x)dx?a?(x)?1b?f(x)dx?F(b)?F(a)

a一．?dāng)?shù)值算法 1.數(shù)值積分算法

對(duì)于復(fù)雜函數(shù)f(x)，考慮用其近似函數(shù)P(x)去逼近，用P(x)的積分值近似代替f(x)積分值。

2.插值型數(shù)值積分方法

對(duì)于拉格朗日插值多項(xiàng)式，廣義積分中值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，g(x)在[a,b]上部變號(hào)，則

????a,b?，使?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

aabb3.牛頓柯特斯公式 梯形公式： 辛普森公式：

二．復(fù)化求積公式 b1.I(f)??f(x)dx，把[a,b]分成若干等長(zhǎng)的小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間用簡(jiǎn)單低次數(shù)值積分公a式，在將其得到的結(jié)果相加。2.復(fù)化梯形公式

3.復(fù)化辛普森公式

三．變步長(zhǎng)的積分公式

1.先取一步長(zhǎng)h進(jìn)行計(jì)算，再取較小步長(zhǎng)h*計(jì)算，若兩次結(jié)果相差很大，則在取更小步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，依次進(jìn)行，直到相鄰兩次計(jì)算結(jié)果相差很大，則取較小步長(zhǎng)的結(jié)果為積分近似值。2.變步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式

3.變步長(zhǎng)復(fù)化辛普森公式

四．龍貝格積分法

第二節(jié) 待定系數(shù)法

1.代數(shù)精度定義

對(duì)于近似公式I(f)?Q(f)，如果f(x)是任意不超過(guò)m次的多項(xiàng)式，I(f)?Q(f)成立，而對(duì)于某個(gè)m+1多項(xiàng)式，I(f)?Q(f)，稱代數(shù)精度為m次。2.判定方法

近似式的代數(shù)精度為m次?

對(duì)f(x)?1,x,...,xm，近似式精確成立，I(f)?Q(f)，f(x)?xm?1時(shí)不成立，I(f)?Q(f)。

梯形公式m=1，辛普森公式m=3。3.Peano定理

第三節(jié) 高斯型積分公式

一．定義

節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)一定，具有最高階代數(shù)精度公式的插值型積分公式稱為Guass型求積公式。插值型積分公式定義：

定理：數(shù)值積分公式I(f)?Q(f)至少有n次代數(shù)精度?近似式是插值型積分公式。對(duì)于牛頓科特斯公式，若采用等距節(jié)點(diǎn)，n分別為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，代數(shù)精度分別為n和n+1。

二．最高代數(shù)精度

定理：m?2n?1 So，給定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，具有2n+1次代數(shù)精度的插值型數(shù)值積分公式稱為Gauss型求積公式。三．Gauss型積分公式的構(gòu)造方法 方法1：

代數(shù)精度為2n+1，則f(x)?1,x,...,xm時(shí)成立，可解出Ai和xi。方法2：

定理：代數(shù)精度m?2n?1?xi是[a,b]上關(guān)于?(x)的正交多項(xiàng)式gn?1(x)的零點(diǎn)(高斯點(diǎn))，b其中Ai???(x)l(x)dx。ia四．高斯型求積公式的誤差

五．常用的高斯型求積公式 1.Gauss-Legendre求積公式 n=0 n=1

??1?f(x)dx??Af(x)?Q(f)，x是Pii1nin?1(x)的n+1個(gè)零點(diǎn)。

i?02.Gauss-Laguerre求積公式

???xx?e0?xf(x)dx??Aif(xi)?Q(f)

i?0n??0f(x)dx??e(ef(x))dx??e?xF(x)dx00??x??(a?t)??ef(x)dx??ea0f(a?t)dx?e??a?te?F(t)dt 03.Gauss-Hermite求積公式

???e?x2f(x)dx??Aif(xi)?Q(f)

i?0n14.Gauss-Chebyshev求積公式

?1?f(x)1?x2dx??n?1i?0?f(cosn2i?1?)2n?2第四節(jié) 數(shù)值微分

f'(x)?limh?0f(x?h)?f(x)，h大，不精確，h小，由于小除數(shù)引入大誤差。

h近似函數(shù)法

取等節(jié)距節(jié)點(diǎn)，xi?x0?ih,i?0,1,...n(1)一階導(dǎo)數(shù)，n=1，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)x0x1

(2)一階導(dǎo)數(shù)，n=2，三個(gè)節(jié)點(diǎn)x0x1x2

(3)二階導(dǎo)數(shù)，n=2，三個(gè)節(jié)點(diǎn)x0x1x2

實(shí)用誤差估計(jì)

例：

第六章 非線性方程的迭代解法

第一節(jié) 方程求根法

根的定義：對(duì)于非線性方程組f(x)=0，若存在數(shù)?使f(?)=0，稱?是非線性方程組f(x)=0的根。

零點(diǎn)存在定理：若f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，若f(a)f(b)<0，則必然存在??[a,b]，使f(?)=0。

試探法，二分法。一．簡(jiǎn)單迭代法

初值x0，xk?1??(xk)，產(chǎn)生迭代序列?xk?。簡(jiǎn)單迭代收斂定理（壓縮映像原理）

[,]，對(duì)于迭代函數(shù)?(x)，若滿足(1)若x?[a,b],?(x)?[a,b]；(2)存在正數(shù)0

收斂速度(收斂階)：若存在實(shí)數(shù)P和非零常數(shù)C，使得limkkxk?1??xk??k???C?0，稱迭代序列是P階收斂。P=1，線性收斂；P>1，超線性收斂；P=2，平方收斂。定理：設(shè)?是方程x??(x)的根，如果迭代函數(shù)?(x)滿足?'(?)??''(?)?...??(P?1)(?)?0,?(P)(?)?0

?xk?1??(xk)產(chǎn)生的迭代序列?xk?是P階收斂。

二．牛頓迭代法

xk?1?xk?f(xk)f'(xk)收斂性分析：牛頓迭代法具有局部收斂性，初值x0?x????，產(chǎn)生迭代序列收斂。收斂定理：設(shè)f(x)在[a,b]上二階導(dǎo)數(shù)存在，若

??f(a)f(b)?0，f(x)在[a,b]上單調(diào)，f(x)在[a,b]上凹向不變（即f''(x)在區(qū)間上不變號(hào)），初值x0滿足f(x0)f''(x0)?0，則任意初值x0?[a,b]，有牛頓迭代法產(chǎn)生的?xk?收斂于方程的唯一根。

簡(jiǎn)化牛頓法：xk?1?xk?三．弦割法或割線法 用差商代替導(dǎo)數(shù)xk?1?xk?f(xk)f(xk)f(xk)?xk?1?xk??xk?1?xk?f'(xk)f'(x0)Cf(xk)

f(xk)?f(xk?1)xk?xk?1第二節(jié) 線性代數(shù)方程組迭代解法

Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法

SOR迭代法（xik?1?(1??)xik??xG?Sk?1）?opt?迭代法的收斂性：

將迭代法用矩陣表示：A?D?E?F，xk?1?Bxk?g Jacobi迭代法： G-S迭代法： SOR迭代法：

0定理：xk?1?Bxk?g，對(duì)?x產(chǎn)生的迭代序列x21?1??(Bj)2 ??收斂的充要條件是：

klimBk?0或?(B)?1。

k??推論1：若B?1，則收斂；

推論2：SOR方法收斂的必要條件是0???2；

推論3：設(shè)A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則Jacobi，G-S，0???1的SOR方法收斂；

推論4：1)設(shè)A是對(duì)稱正定矩陣，則G-S方法收斂；2)設(shè)A是對(duì)稱正定矩陣，若2D-A也對(duì)稱正定，則Jacobi方法收斂；若2D-A不對(duì)稱正定，則Jacobi方法不收斂；3)設(shè)A是對(duì)稱正定矩陣，0???2，則SOR方法收斂。

第三節(jié) 非線性方程組的迭代解法

x k?1kkk?x?[f'(x)]?1f(x)

第七章 矩陣特征值和特征向量

矩陣A主特征值——模最大的特征值取為主特征值。對(duì)n個(gè)互不相同的特征值

?1??2??3?...??n，對(duì)應(yīng)特征向量?1?2?3…?n；

kk任意向量z0?c1?1?c2?2?...cn?n z?AZ0 limzk?c1?1k?1，zk是對(duì)應(yīng)A的?1的特征向量，k??(zk?1)i??1(zk)i

規(guī)范乘冪法

yk?Azk?1，yk按模取最大分量max?yk??mk，zk?limzk??10，?10是?1的規(guī)范化向量；limmk??1。

k??k??yk。mk加速法（原點(diǎn)位移法）yk??A?pI?zk?1

第八章 常微分方程數(shù)值解法的導(dǎo)出

?y'(x)?f(x,y(x))?y(a)?y0?一． 數(shù)值微分法

歐拉公式：yi?1?yi?hf(xi,yi)后退歐拉公式：yi?1?yi?hf(xi?1,yi?1)終點(diǎn)法：yi?1?yi?1?2hf(xi,yi)

h2局部截?cái)嗾`差：y(xi?1)?yi?y''(?)

2二． 數(shù)值積分法

hyi?1?yi?[f(xi,yi)?f(xi?1,yi?1)]

2預(yù)估yi?1?yi?hf(xi,yi)，校正yi?1?yi?

三．

四． 泰勒展示法

h[f(xi,yi)?f(xi?1,yi?1)] 2線性多步法

第二篇：計(jì)算方法總結(jié)

1.何為有根區(qū)間

給定一個(gè)方程f(x)=0,如果f(x)在[a,b]上連續(xù)，又f(a).f(b)<0,則由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知，方程f(x)=0在（a,b）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。這時(shí)我們稱區(qū)間[a,b]為方程f(x)=0有根區(qū)間 2.尋找方程的有根區(qū)間的常用方法是什么 1.作圖法 2.逐步搜索法

3.作圖法尋找有根區(qū)間適用于哪種情況

函數(shù)f(x)比較簡(jiǎn)單時(shí)適用

4.對(duì)于已知方程，如何利用逐步搜索法在區(qū)間內(nèi)尋找有根區(qū)間

從X0=a出發(fā)，按照事先選擇的步長(zhǎng)h=(b-a)/N(N為正整數(shù))，逐點(diǎn)計(jì)算Xk==a+kh處的函數(shù)值f(Xk)與f(Xk+1)的值異號(hào)時(shí)，那么[Xk,Xk+1]就是方程f(x)=0的一個(gè)有根區(qū)間 5.逐步搜索法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)方便。

6.對(duì)于給定的n次代數(shù)方程，如何確定根模的上下界

（1）若a=max{|a1|,|a2|,….,|an|},則方程的根的絕對(duì)值小于a+1；

（2）若b=(1/|an|)max{1,|a1|,|a2|,….,|an-1|},則方程的根的絕對(duì)值大于1/(1+b).7.步長(zhǎng)h的選擇，對(duì)于逐步搜索法有何影響

當(dāng)步長(zhǎng)h越小時(shí)，找出的有根區(qū)間越小，這時(shí)以區(qū)間內(nèi)的某個(gè)值作為根的近似值就越精確。但h越小，計(jì)算量越大 8.二分法求解方程的根有和優(yōu)點(diǎn)，有何缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，而且收斂性總能得到保證，缺點(diǎn)是收斂速度慢。

9.艾特金迭代法與二分法相比，計(jì)算收斂速度快，節(jié)省時(shí)間，并且能求出某些發(fā)散的迭代過(guò)程的根。10.牛頓法的優(yōu)點(diǎn)是什么，缺點(diǎn)是什么

優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，節(jié)省計(jì)算量，誤差累積少。

缺點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)它要用到f（x）的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)f（x）比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算其導(dǎo)數(shù)花費(fèi)時(shí)間多。11.弦截法的優(yōu)點(diǎn)是什么，它與牛頓法相比，收斂速度與計(jì)算速度如何

優(yōu)點(diǎn)是不必計(jì)算f'(x),收斂速度也相當(dāng)快,但比牛頓法慢。從計(jì)算速度來(lái)看，弦截法比牛頓法快。

12.弦截法的基本思想是什么（結(jié)合圖示說(shuō)明），如何選取弦截法中的不動(dòng)點(diǎn)

1準(zhǔn)備2迭代3控制4迭代準(zhǔn)備 13.何為階收斂，收斂速度與的大小有何關(guān)系

收斂速度的大小與收斂階數(shù)有關(guān)系，收斂階數(shù)越大，收斂速度越快。14.哪一類問(wèn)題稱為插值問(wèn)題

由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量得到了某一函數(shù)y=f(x)在n+1個(gè)點(diǎn)x0,x1,....,xn處的值y0,y1,...yn,需要構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)p(x)作為函數(shù)y=f(x)的近似表達(dá)式

Y=f(x)約等于p(x),使得p(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,2,...n),這類問(wèn)題稱為插值問(wèn)題

15.常用的插值算法有哪幾種，各有什么優(yōu)缺點(diǎn)

一拉格朗日插值 線性插值2二次插值3n次拉格朗日插值多項(xiàng)式（區(qū)間大時(shí)誤差也較大）

二分段插值1分段線性插值2分段二次插值（優(yōu)點(diǎn)是公式簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，有較好的收斂性和穩(wěn)定性，并且可以避免計(jì)算機(jī)上作高次乘冪時(shí)常遇到的上溢和下溢的困難。）

三差商與牛頓插值公式（不需要增加插值接點(diǎn)，不浪費(fèi)）

四差分與等距節(jié)點(diǎn)差值公式（進(jìn)一步簡(jiǎn)化插值公式，計(jì)算也方便）五三次樣條差值（既能保證曲線連續(xù)，又能保證光滑性要求）

16.線性插值的幾何意義是什么（結(jié)合圖形進(jìn)行說(shuō)明）

線性插值的幾何意義是利用通過(guò)兩點(diǎn)的直線去近似代替曲線。

17.線性拉格朗日插值的截?cái)嗾`差限與什么量有關(guān), 是什么關(guān)系

與x 在[a,b]時(shí)，f''(x)絕對(duì)值的最大值有關(guān)系

|R1|<=[M1|(x-x0)(x-x1)]/2 18.二次拉格朗日插值的截?cái)嗾`差限與什么量有關(guān), 有什么關(guān)系

P93與x在[x0,x2]時(shí)，f'''(x)對(duì)值的最大值有關(guān)系，|R2(x)|<=M2(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6

19.通過(guò)n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)且滿足插值條件的插值多項(xiàng)式是唯一的

20.線性插值或二次插值優(yōu)缺點(diǎn)：簡(jiǎn)單方便，計(jì)算量小。缺點(diǎn)是精度較低；

21.當(dāng)?shù)痛尾逯档木炔粔驎r(shí)，應(yīng)該適當(dāng)縮小插值區(qū)間的長(zhǎng)度來(lái)提高精度； 22.高次插值優(yōu)缺點(diǎn)：插值精度高，缺點(diǎn)是數(shù)值不穩(wěn)定；

25.分段插值優(yōu)缺點(diǎn)：公式簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，且有較好的收斂性和穩(wěn)定性，并可避免計(jì)算機(jī)上作高次乘冪時(shí)常遇到的上溢和下溢的困難.缺點(diǎn)是不能保證曲線在連接點(diǎn)處的光滑性。

26.應(yīng)用低次插值進(jìn)行分段插值時(shí)，應(yīng)盡可能地在插值點(diǎn)的鄰近選取插值節(jié)點(diǎn)。

27.拉格朗日插值多項(xiàng)式與牛頓插值公式相比而言，拉格朗日插值多項(xiàng)式有何缺點(diǎn)，牛頓插值公式有何優(yōu)點(diǎn)？

用拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算函數(shù)值時(shí)，當(dāng)精度不滿足要求而需要增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，原來(lái)的插值多項(xiàng)式就不能使用了，必須重新構(gòu)造一個(gè)，將造成很大浪費(fèi)。而牛插可以增加新的節(jié)點(diǎn)，原來(lái)的計(jì)算結(jié)果仍可利用。28.何為差商，給定個(gè)互異測(cè)試點(diǎn),如何計(jì)算各階差商

函數(shù)值與自變量的差商就是差商，一階差商(或記作f[x0，x1])；

二階差商29.差商的對(duì)稱性

差商與插值節(jié)點(diǎn)順序無(wú)關(guān)

(或記作f[x0，x1，x2])

30.牛頓向前插值公式和牛頓向后插值公式有什么關(guān)系，有什么不同點(diǎn)

“牛前插”適用于計(jì)算x0附近的函數(shù)值，“牛后插”適用于計(jì)算函數(shù)表末端附近的函數(shù)值。31.為何要提出樣條插值，它克服了其它插值方法的何種缺點(diǎn)，它具有什么優(yōu)點(diǎn)

在整個(gè)插值區(qū)間上做高次插值多項(xiàng)式，曲線光滑，但計(jì)算量繁重，誤差積累大，穩(wěn)定性差。分段低次插值可避免這些缺點(diǎn)，但各段連接點(diǎn)處只能保證曲線連續(xù)，而不能保證光滑性要求。樣條插值其插值曲線不僅連續(xù)而且處處光滑。

32.曲線擬合解決了插值中的什么問(wèn)題。擬合與插值有什么不同點(diǎn)

可以部分抵消原來(lái)數(shù)據(jù)組中所包含的測(cè)量誤差。P115 33.何為最小二乘曲線擬合法

用?(x)擬合數(shù)據(jù)(xk，yk)(k＝1，2，?，n)，使得誤差的平方和

為最小，求?(x)的方法，稱為最小二乘法。

第三篇：計(jì)算方法公式總結(jié)

計(jì)算方法公式總結(jié)

緒論

?e?x?x，x?為準(zhǔn)確值，x為近似值。絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差限

r|e|?|x??x|??，ε為正數(shù)，稱為絕對(duì)誤差限

x??xe?表示相對(duì)誤差 通常用e?xxrx??xe??相對(duì)誤差e?*xxr相對(duì)誤差限|er|??r或|e|??r 有效數(shù)字

一元函數(shù)y=f（x）

'e(y)?f(x)e(x)絕對(duì)誤差e(y)f(x)'e(x)xf'(x)e(y)???er(x)相對(duì)誤差ryyf(x)二元函數(shù)y=f（x1,x2）絕對(duì)誤差 ?f(x1,x2)?f(x1,x2)e(y)?dx1?dx2

?x1?x2?f(x1,x2)x1?f(x1,x2)x2e(y)?er(x1)?er(x2)相對(duì)誤差r?x1y?x2y

機(jī)器數(shù)系

注：1.β≥2，且通常取2、4、6、8 2.n為計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)

3.指數(shù)p稱為階碼（指數(shù)），有固定上下限L、U 4.尾數(shù)部 s??0.a1a2?an，定位部?p

n?11?2(??1)?(U?L?1)5.機(jī)器數(shù)個(gè)數(shù)機(jī)器數(shù)誤差限

1?np舍入絕對(duì) |x?fl(x)|???截?cái)嘟^對(duì)|x?2fl(x)|???n?p

|x?fl(x)||x?fl(x)|11?n1?n????舍入相對(duì)截?cái)嘞鄬?duì)

|x||x|2

秦九韶算法

方程求根

f(x)?(x?x?)mg(x)，g(x)?0，x*為f（x）=0的m重根。

二分法

迭代法

f(x)?0?xk?1??(xk)

k=0、1、2……

**lim{x}?x??(x){xk}為迭代序列，?(x)為迭代函數(shù)，k??k

局部收斂

注：如果知道近似值，可以用近似值代替根應(yīng)用定理3判斷是否局部收斂

牛頓迭代法

f(x)?f(xk)?f(xk)(x?xk)?0

f(xk)xk?1?xk?'(k?0,1,2,?)f(xk)注：牛頓迭代對(duì)單根重根均局部收斂，只要初值足夠靠近真值。

'

牛頓迭代法對(duì)初值要求很高，要保證初值在較大范圍內(nèi)也收斂，加如下四個(gè)條件

注：證明牛頓迭代法大范圍收斂性，要構(gòu)造一個(gè)區(qū)間[ε,M(ε)],其中f(?)M(?)???',在這個(gè)區(qū)間內(nèi)驗(yàn)證這四個(gè)條件。

f(?)

如果知道根的位置，構(gòu)造[ε，M（ε）]時(shí)應(yīng)該包括根，即ε+常數(shù)

線性方程組求解

有兩種方法：消去法和迭代法

高斯消去法 利用線性代數(shù)中初等行變換將增廣矩陣轉(zhuǎn)化為等價(jià)上三角矩陣。

注意：第一行第一列為0，將第一列不為0的某一行與第一行交換位置，繼續(xù)初等行變換。對(duì)角占優(yōu)矩陣

?a11?aA??21????an1na12a22?an2?a1n??a2n???? ??ann?則稱A為按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣 |aii|??|aij|(i?1,2,?,n)j?1j?in|ajj|??|aij|(j?1,2,?,n)i?1i?j則稱A為按列嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣

aij?aji(i?1,j?n)?x?R,x?0,(x,Ax)?0

則稱A是對(duì)稱正定的。

當(dāng)A是上面三種情況時(shí)，用高斯消去法消元時(shí)追趕法是高斯消元法的一種特例

nakk?0，不用換行。

列主元高斯消元法

|aik|，即第k次消元把k~n行第k列絕對(duì)值當(dāng)|ask|?maxk?i?n最大的行（s行）調(diào)到第k行，再進(jìn)行高斯消元。(k)(k)

迭代序列構(gòu)造

Ax?b?x?Bx?f?x第三個(gè)等式為迭代序列，B為迭代矩陣。迭代收斂判別

1.充分條件：迭代矩陣范數(shù)小于1，?B??1

結(jié)論：Ax=b有唯一解x*

(k?1)?Bx(k)?f

2.充要條件：迭代矩陣譜半徑小于1,?(B)?1 Jacobi迭代法

A?L?D?U其中L（low）為下三角，U為上三角，D為對(duì)角線元素

迭代格式：x(k?1)??????D(L?U)x(k)?D?1b

?1??

迭代矩陣J??D(L?U)

?1??收斂性判據(jù)：

|?I?J|?0?|D|?|L??D?U|?0?|L??D?U|?0

求出?最大值小于1（J的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.?1????Gauss-Seidel迭代法

迭代格式

x(k?1)?D(?Lx?1?(k?1)?Ux(k)?b)

?(k)?x(k?1)??(D?L)Ux??1??1?(D?L)?1b

?迭代矩陣：G??(D?L)U

?常數(shù)矩陣：g?(D?L)?1b

?

收斂性判據(jù)：

?????|?I?G|?0?|(D?L)|?|?(D?L)?U|?0?|?(D?L)?U|?0

求出?最大值小于1（G的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.結(jié)論：當(dāng)A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，則Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收斂的

?1插值法

用插值多項(xiàng)式p（x）代替被插函數(shù)f(x)

nP(x)?a?ax???ax插值多項(xiàng)式：，01nn+1個(gè)點(diǎn)P(xi)?yi(i?0?n)

插值區(qū)間：[a,b]，插值點(diǎn)滿足

a?x0?x1??xn?b

求插值多項(xiàng)式P（x），即求多項(xiàng)式系數(shù)的過(guò)程為插值法

帶入可知求系數(shù)的插值點(diǎn)行列式為范德蒙行列式，不為0，有唯一解。即n+1插值條件對(duì)應(yīng)的不超過(guò)n次的插值函數(shù)P（x）只有一個(gè)。一次線性插值nx?x0x?x1Py0?y1?y0l0(x)?y1l1(x)1(x)?x0?x1x1?x0(x?xi)lk(x)???i?0(x?x)?(xk?xi)i?kki

ni?0i?ki?0i?kn?(x?xi)Lagrange插值多項(xiàng)式

Ln(x)??yklk(x)??k?0k?0 nnx?xi(?)yki?0x?xii?kkn插值余項(xiàng)

非插值節(jié)點(diǎn)上Lagrange插值多項(xiàng)式為被插函數(shù)f(x)的近似值

f(n?1)(?)nRn(x)?f(x)?Ln(x)??(x?xi)(n?1)!i?0??(a,b)

帶導(dǎo)數(shù)插值條件的余項(xiàng)估計(jì)

注：推導(dǎo)過(guò)程用羅爾中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)

?(t)?Rn(t)?K(x)Wn?1(t)

第二條性質(zhì)用于可以證明階數(shù)不大于n的f(x)的插值余項(xiàng)為0.差商和Newton插值法

記憶方法：先記分母，最后一個(gè)減去第一個(gè)，對(duì)應(yīng)的分子第一項(xiàng)是最后一個(gè)臨近k元素的差商，第二項(xiàng)是第一個(gè)臨近k個(gè)元素的差商。

牛頓插值多項(xiàng)式

通常記作Nn（x）分段樣條插值

分段二次樣條插值

討論n為奇偶情況時(shí)的三個(gè)點(diǎn) 余項(xiàng)估計(jì)式

三次樣條插值函數(shù)

第一類邊界條件（端點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)已知）

D0等于第一個(gè)式子，dn等于第二個(gè)式子

自然邊界條件（端點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)已知二階導(dǎo)數(shù)和M0，Mn=0）

曲線擬合

最小二乘原理

函數(shù)關(guān)于n個(gè)點(diǎn)線性無(wú)關(guān)

23n1,x,x,x,?,x注：線性無(wú)關(guān)的函數(shù)為才是最小二乘多項(xiàng)式

注：記住公式即可。

數(shù)值積分和數(shù)值微分

xk為求積節(jié)點(diǎn)，Ak為求積系數(shù)。

插值求積公式

梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

截?cái)嗾`差

代數(shù)精度

當(dāng)f(x)為不超過(guò)m次多項(xiàng)式時(shí)上式成立，f（x）為m+1多項(xiàng)式時(shí)上式不成立。則稱為求積公式有m次代數(shù)精度。

梯形公式代數(shù)精度為1，Simpson公式代數(shù)精度為3，Cotes公式代數(shù)精度為5

截?cái)嗾`差 梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

Gauss求積公式

求積公式代數(shù)精度為2n+1 [-1,1]上的兩點(diǎn)Gauss公式（3次代數(shù)精度）

11??1f(x)dx?f(?3)?f(3)1[-1,1]上的三點(diǎn)Gauss公式（5次代數(shù)精度）

53853??1f(x)dx?9f(?5)?9f(0)?9f(5)1

記住 xktk，AkAk的關(guān)系，tkAk??查表即可

復(fù)化梯形公式2階，復(fù)化Simpson公式4階，復(fù)化Cote公式6階

計(jì)算機(jī)通過(guò)不斷把區(qū)間二分，所得前后兩次積分差值滿足精度條件即可

1|I2n(f)?In(f)|??時(shí) 給定精度ε，p2?11|I(f)?I2n(f)|?p|I2n(f)?In(f)|??2?1因而可以取I2n(f)為I(f)的近似值。

梯形

Simpson數(shù)值微分

數(shù)值微分截?cái)嗾`差

中點(diǎn)公式：

f(x0?h)?f(x0?h)D(h)? 2h常微分方程數(shù)值解法

Euler方法

歐拉公式（單步顯式公式）求出的近似解

局部截?cái)嗾`差

Euler公式的局部截?cái)嗾`差（一階精度）

后退Euler公式

梯形公式(二階精度)

改進(jìn)Euler公式（二階精度）

截?cái)嗾`差（推導(dǎo)要求掌握，利用梯形和Euler公式的截?cái)嗾`差）

第四篇：水環(huán)境容量計(jì)算方法總結(jié)

1、中國(guó)地表水水環(huán)境容量研究過(guò)程中產(chǎn)生的五大類計(jì)算方法: 公式法、模型試錯(cuò)法、系統(tǒng)最優(yōu)化法(線性規(guī)劃法和隨機(jī)規(guī)劃法)、概率稀釋模型法和未確知數(shù)學(xué)法

2、水環(huán)境容量軟件：WASP、Delft 3D 等大型綜合模型軟件

3、王華東和夏青［5］將環(huán)境容量定義為: 相對(duì)于某種環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)，某環(huán)境單元所容許承納的污染物的最大數(shù)量，同時(shí)認(rèn)為環(huán)境容量是一個(gè)變量，且由基本環(huán)境容量(差值容量)和變動(dòng)環(huán)境容量(同化容量)兩部分組成，基本環(huán)境容量指擬定的環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)與環(huán)境本底值之差，變動(dòng)環(huán)境容量指該環(huán)境單元的自凈能力。

4、水環(huán)境容量=稀釋容量+自凈容量+遷移容量表

5、公式法

6、模型試錯(cuò)法 在河流的第一個(gè)區(qū)段的上斷面投入大量的污染物，使該處水質(zhì)達(dá)到水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)的上限，則投入的污染物的量即為這一河段的環(huán)境容量;由于河水的流動(dòng)和降解作用，當(dāng)污染物流到下一控制斷面時(shí)，污染物濃度已有所降低，在低于水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)的某一水平(視降解程度而定)時(shí)又可以向水中投入一定的污染物，而不超出水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)，這部分污染物的量可認(rèn)為是第二個(gè)河段的環(huán)境容量;依此類推，最后將各河段容量求和即為總的環(huán)境容量

7、環(huán)境科學(xué)中所采用的系統(tǒng)最優(yōu)化方法有線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃及隨機(jī)規(guī)劃等

8、概率稀釋模型法方法的基本思路如下: ① 基于特定的基本假定，建立污染物與水體混合均勻后下游濃度的概率稀釋模型;② 利用矩量近似解法求解控制斷面在一定控制濃度下的達(dá)標(biāo)率;③利用數(shù)值積分求解水體在控制斷面不同控制濃度、不同達(dá)標(biāo)率下的水環(huán)境容量。9、10、粒子群算法眾多變種中的RPSM［21］方法11、12、三角模糊數(shù)/盲數(shù)理論

13、

第五篇：鋼筋工程量計(jì)算方法總結(jié)

鋼筋工程量計(jì)算方法總結(jié)

以下是我對(duì)鋼筋計(jì)算的一些小總結(jié)，對(duì)應(yīng)圖型可以參照相應(yīng)圖集，不正之處請(qǐng)各位高手指出。鋼筋算量基本方法小結(jié)

一、梁

（1）框架梁

一、首跨鋼筋的計(jì)算

1、上部貫通筋

上部貫通筋（上通長(zhǎng)筋1）長(zhǎng)度＝通跨凈跨長(zhǎng)＋首尾端支座錨固值

2、端支座負(fù)筋

端支座負(fù)筋長(zhǎng)度：第一排為L(zhǎng)n/3＋端支座錨固值；

第二排為L(zhǎng)n/4＋端支座錨固值

3、下部鋼筋

下部鋼筋長(zhǎng)度＝凈跨長(zhǎng)＋左右支座錨固值

以上三類鋼筋中均涉及到支座錨固問(wèn)題，那么總結(jié)一下以上三類鋼筋的支座錨固判斷問(wèn)題： 支座寬≥Lae且≥0.5Hc＋5d，為直錨，取Max{Lae，0.5Hc＋5d }。

鋼筋的端支座錨固值＝支座寬≤Lae或≤0.5Hc＋5d，為彎錨，取Max{Lae，支座寬度-保護(hù)層+15d }。

鋼筋的中間支座錨固值＝Max{Lae，0.5Hc＋5d }

4、腰筋

構(gòu)造鋼筋：構(gòu)造鋼筋長(zhǎng)度＝凈跨長(zhǎng)＋2×15d 抗扭鋼筋：算法同貫通鋼筋

5、拉筋

拉筋長(zhǎng)度＝（梁寬－2×保護(hù)層）＋2×11.9d（抗震彎鉤值）＋2d 拉筋根數(shù)：如果我們沒(méi)有在平法輸入中給定拉筋的布筋間距，那么拉筋的根數(shù)＝（箍筋根數(shù)/2）×（構(gòu)造筋根數(shù)/2）；如果給定了拉筋的布筋間距，那么拉筋的根數(shù)＝布筋長(zhǎng)度/布筋間距。

6、箍筋

箍筋長(zhǎng)度＝（梁寬－2×保護(hù)層＋梁高-2×保護(hù)層）*2＋2×11.9d＋8d 箍筋根數(shù)＝（加密區(qū)長(zhǎng)度/加密區(qū)間距+1）×2＋（非加密區(qū)長(zhǎng)度/非加密區(qū)間距－1）+1 注意：因?yàn)闃?gòu)件扣減保護(hù)層時(shí)，都是扣至縱筋的外皮，那么，我們可以發(fā)現(xiàn)，拉筋和箍筋在每個(gè)保護(hù)層處均被多扣掉了直徑值；并且我們?cè)陬A(yù)算中計(jì)算鋼筋長(zhǎng)度時(shí)，都是按照外皮計(jì)算的，所以軟件自動(dòng)會(huì)將多扣掉的長(zhǎng)度在補(bǔ)充回來(lái)，由此，拉筋計(jì)算時(shí)增加了2d，箍筋計(jì)算時(shí)增加了8d。

7、吊筋

吊筋長(zhǎng)度＝2*錨固（20d）+2*斜段長(zhǎng)度+次梁寬度+2*50，其中框梁高度>800mm 夾角=60°

≤800mm 夾角=45°

二、中間跨鋼筋的計(jì)算

1、中間支座負(fù)筋

中間支座負(fù)筋：第一排為：Ln/3＋中間支座值＋Ln/3； 第二排為：Ln/4＋中間支座值＋Ln/4 注意：當(dāng)中間跨兩端的支座負(fù)筋延伸長(zhǎng)度之和≥該跨的凈跨長(zhǎng)時(shí)，其鋼筋長(zhǎng)度： 第一排為：該跨凈跨長(zhǎng)＋（Ln/3＋前中間支座值）＋（Ln/3＋后中間支座值）； 第二排為：該跨凈跨長(zhǎng)＋（Ln/4＋前中間支座值）＋（Ln/4＋后中間支座值）。其他鋼筋計(jì)算同首跨鋼筋計(jì)算。LN為支座兩邊跨較大值。

二、其他梁

一、非框架梁

在03G101-1中，對(duì)于非框架梁的配筋簡(jiǎn)單的解釋，與框架梁鋼筋處理的不同之處在于：

1、普通梁箍筋設(shè)置時(shí)不再區(qū)分加密區(qū)與非加密區(qū)的問(wèn)題；

2、下部縱筋錨入支座只需12d；

3、上部縱筋錨入支座，不再考慮0.5Hc＋5d的判斷值。未盡解釋請(qǐng)參考03G101-1說(shuō)明。

二、框支梁

1、框支梁的支座負(fù)筋的延伸長(zhǎng)度為L(zhǎng)n/3；

2、下部縱筋端支座錨固值處理同框架梁；

3、上部縱筋中第一排主筋端支座錨固長(zhǎng)度＝支座寬度－保護(hù)層＋梁高－保護(hù)層＋Lae，第二排主筋錨固長(zhǎng)度≥Lae；

4、梁中部筋伸至梁端部水平直錨，再橫向彎折15d；

5、箍筋的加密范圍為≥0.2Ln1≥1.5hb；

7、側(cè)面構(gòu)造鋼筋與抗扭鋼筋處理與框架梁一致。

二、剪力墻

在鋼筋工程量計(jì)算中剪力墻是最難計(jì)算的構(gòu)件，具體體現(xiàn)在：

1、剪力墻包括墻身、墻梁、墻柱、洞口，必須要整考慮它們的關(guān)系；

2、剪力墻在平面上有直角、丁字角、十字角、斜交角等各種轉(zhuǎn)角形式；

3、剪力墻在立面上有各種洞口；

4、墻身鋼筋可能有單排、雙排、多排，且可能每排鋼筋不同；

5、墻柱有各種箍筋組合；

6、連梁要區(qū)分頂層與中間層，依據(jù)洞口的位置不同還有不同的計(jì)算方法。（1）剪力墻墻身

一、剪力墻墻身水平鋼筋

1、墻端為暗柱時(shí)

A、外側(cè)鋼筋連續(xù)通過(guò) 外側(cè)鋼筋長(zhǎng)度＝墻長(zhǎng)-保護(hù)層 內(nèi)側(cè)鋼筋＝墻長(zhǎng)-保護(hù)層+彎折

B、外側(cè)鋼筋不連續(xù)通過(guò) 外側(cè)鋼筋長(zhǎng)度＝墻長(zhǎng)-保護(hù)層+0.65Lae 內(nèi)側(cè)鋼筋長(zhǎng)度＝墻長(zhǎng)-保護(hù)層+彎折

水平鋼筋根數(shù)＝層高/間距+1（暗梁、連梁墻身水平筋照設(shè)）

2、墻端為端柱時(shí)

A、外側(cè)鋼筋連續(xù)通過(guò) 外側(cè)鋼筋長(zhǎng)度＝墻長(zhǎng)-保護(hù)層

內(nèi)側(cè)鋼筋＝墻凈長(zhǎng)＋錨固長(zhǎng)度（彎錨、直錨）B、外側(cè)鋼筋不連續(xù)通過(guò) 外側(cè)鋼筋長(zhǎng)度＝墻長(zhǎng)-保護(hù)層+0.65Lae 內(nèi)側(cè)鋼筋長(zhǎng)度＝墻凈長(zhǎng)＋錨固長(zhǎng)度（彎錨、直錨）水平鋼筋根數(shù)＝層高/間距+1（暗梁、連梁墻身水平筋照設(shè)）

注意：如果剪力墻存在多排垂直筋和水平鋼筋時(shí)，其中間水平鋼筋在拐角處的錨固措施同該墻的內(nèi)側(cè)水平筋的錨固構(gòu)造。

3、剪力墻墻身有洞口時(shí)

當(dāng)剪力墻墻身有洞口時(shí)，墻身水平筋在洞口左右兩邊截?cái)?，分別向下彎折15d。

二、剪力墻墻身豎向鋼筋

1、首層墻身縱筋長(zhǎng)度＝基礎(chǔ)插筋＋首層層高＋伸入上層的搭接長(zhǎng)度

2、中間層墻身縱筋長(zhǎng)度＝本層層高＋伸入上層的搭接長(zhǎng)度

3、頂層墻身縱筋長(zhǎng)度＝層凈高＋頂層錨固長(zhǎng)度

墻身豎向鋼筋根數(shù)＝墻凈長(zhǎng)/間距+1（墻身豎向鋼筋從暗柱、端柱邊50mm開(kāi)始布置）

4、剪力墻墻身有洞口時(shí)，墻身豎向筋在洞口上下兩邊截?cái)?，分別橫向彎折15d。

三、墻身拉筋

1、長(zhǎng)度＝墻厚-保護(hù)層+彎鉤（彎鉤長(zhǎng)度＝11.9+2*D）

2、根數(shù)＝墻凈面積/拉筋的布置面積

注：墻凈面積是指要扣除暗（端）柱、暗（連）梁，即墻面積-門洞總面積-暗柱剖面積-暗梁面積；拉筋的面筋面積是指其橫向間距×豎向間距。例：(8000*3840)/(600*600)

（二）剪力墻墻柱

一、縱筋

1、首層墻柱縱筋長(zhǎng)度＝基礎(chǔ)插筋＋首層層高＋伸入上層的搭接長(zhǎng)度

2、中間層墻柱縱筋長(zhǎng)度＝本層層高＋伸入上層的搭接長(zhǎng)度

3、頂層墻柱縱筋長(zhǎng)度＝層凈高＋頂層錨固長(zhǎng)度

注意：如果是端柱，頂層錨固要區(qū)分邊、中、角柱，要區(qū)分外側(cè)鋼筋和內(nèi)側(cè)鋼筋。因?yàn)槎酥梢钥醋魇强蚣苤?，所以其錨固也同框架柱相同。

二、箍筋：依據(jù)設(shè)計(jì)圖紙自由組合計(jì)算。

（三）剪力墻墻梁

一、連梁

1、受力主筋

頂層連梁主筋長(zhǎng)度＝洞口寬度＋左右兩邊錨固值LaE 中間層連梁縱筋長(zhǎng)度＝洞口寬度＋左右兩邊錨固值LaE

2、箍筋

頂層連梁，縱筋長(zhǎng)度范圍內(nèi)均布置箍筋 即N=((LaE-100)/150+1)*2+（洞口寬-50*2）/間距+1（頂層）

中間層連梁，洞口范圍內(nèi)布置箍筋，洞口兩邊再各加一根 即N=（洞口寬-50*2）/間距+1（中間層）

二、暗梁

1、主筋長(zhǎng)度＝暗梁凈長(zhǎng)＋錨固

三、柱

（一）、基礎(chǔ)層

一、柱主筋

基礎(chǔ)插筋＝基礎(chǔ)底板厚度-保護(hù)層+伸入上層的鋼筋長(zhǎng)度＋Max{10D,200mm}

二、基礎(chǔ)內(nèi)箍筋

基礎(chǔ)內(nèi)箍筋的作用僅起一個(gè)穩(wěn)固作用，也可以說(shuō)是防止鋼筋在澆注時(shí)受到撓動(dòng)。一般是按2根進(jìn)行計(jì)算（軟件中是按三根）。

（二）、中間層

一、柱縱筋

1、KZ中間層的縱向鋼筋＝層高-當(dāng)前層伸出地面的高度+上一層伸出樓地面的高度

二、柱箍筋

1、KZ中間層的箍筋根數(shù)＝N個(gè)加密區(qū)/加密區(qū)間距+N+非加密區(qū)/非加密區(qū)間距－1 03G101-1中，關(guān)于柱箍筋的加密區(qū)的規(guī)定如下

1）首層柱箍筋的加密區(qū)有三個(gè)，分別為：下部的箍筋加密區(qū)長(zhǎng)度取Hn/3；上部取Max{500，柱長(zhǎng)邊尺寸，Hn/6}；梁節(jié)點(diǎn)范圍內(nèi)加密；如果該柱采用綁扎搭接，那么搭接范圍內(nèi)同時(shí)需要加密。2）首層以上柱箍筋分別為：上、下部的箍筋加密區(qū)長(zhǎng)度均取Max{500，柱長(zhǎng)邊尺寸，Hn/6}；梁節(jié)點(diǎn)范圍內(nèi)加密；如果該柱采用綁扎搭接，那么搭接范圍內(nèi)同時(shí)需要加密。

（三）、頂層

頂層KZ因其所處位置不同，分為角柱、邊柱和中柱，也因此各種柱縱筋的頂層錨固各不相同。（參看03G101－1第37、38頁(yè)）

一、角柱

角柱頂層縱筋長(zhǎng)度：

一、內(nèi)筋

a、內(nèi)側(cè)鋼筋錨固長(zhǎng)度為 ：

彎錨（≦Lae）：梁高－保護(hù)層＋12d 直錨（≧Lae）：梁高－保護(hù)層

二、外筋

b、外側(cè)鋼筋錨固長(zhǎng)度為 外側(cè)鋼筋錨固長(zhǎng)度＝Max{1.5Lae，梁高－保護(hù)層＋柱寬－保護(hù)層} 寺寺地地地地地地地地地地柱頂部第一層：≧梁高－保護(hù)層＋柱寬－保護(hù)層＋8d（保證65%伸入梁內(nèi)）柱頂部第二層：≧梁高－保護(hù)層＋柱寬－保護(hù)層

注意：在GGJ V8.1中，內(nèi)側(cè)鋼筋錨固長(zhǎng)度為 彎錨（≦Lae）：梁高－保護(hù)層＋12d直錨（≧Lae）：梁高－保護(hù)層外側(cè)鋼筋錨固長(zhǎng)度＝Max{1.5Lae，梁高－保護(hù)層＋柱寬－保護(hù)層}

二、邊柱

邊柱頂層縱筋長(zhǎng)度＝層凈高Hn＋頂層鋼筋錨固值，那么邊柱頂層鋼筋錨固值是如何考慮的呢？ 邊柱頂層縱筋的錨固分為內(nèi)側(cè)鋼筋錨固和外側(cè)鋼筋錨固：

a、內(nèi)側(cè)鋼筋錨固長(zhǎng)度為 彎錨（≦Lae）：梁高－保護(hù)層＋12d直錨（≧Lae）：梁高－保護(hù)層 b、外側(cè)鋼筋錨固長(zhǎng)度為：≧1.5Lae 注意：在GGJ V8.1中，內(nèi)側(cè)鋼筋錨固長(zhǎng)度為 彎錨（≦Lae）：梁高－保護(hù)層＋12d 直錨（≧Lae）：梁高－保護(hù)層 外側(cè)鋼筋錨固長(zhǎng)度＝Max{1.5Lae，梁高－保護(hù)層＋柱寬－保護(hù)層}

三、中柱

中柱頂層縱筋長(zhǎng)度＝層凈高Hn＋頂層鋼筋錨固值，那么中柱頂層鋼筋錨固值是如何考慮的呢？ 中柱頂層縱筋的錨固長(zhǎng)度為 彎錨（≦Lae）：梁高－保護(hù)層＋12d 直錨（≧Lae）：梁高－保護(hù)層

注意：在GGJ V8.1中，處理同上。

四、板

在實(shí)際工程中，我們知道板分為預(yù)制板和現(xiàn)澆板，這里主要分析現(xiàn)澆板的布筋情況。

板筋主要有：受力筋(單向或雙向，單層或雙層)、支座負(fù)筋、分布筋、附加鋼筋(角部附加放射筋、洞口附加鋼筋)、撐腳鋼筋(雙層鋼筋時(shí)支撐上下層)。

一、受力筋

軟件中，受力筋的長(zhǎng)度是依據(jù)軸網(wǎng)計(jì)算的。

受力筋長(zhǎng)度=軸線尺寸+左錨固+右錨固+兩端彎鉤（如果是Ⅰ級(jí)筋）。根數(shù)＝（軸線長(zhǎng)度-扣減值）/布筋間距＋1

二、負(fù)筋及分布筋

負(fù)筋長(zhǎng)度=負(fù)筋長(zhǎng)度+左彎折+右彎折

負(fù)筋根數(shù)＝（布筋范圍-扣減值）/布筋間距＋1 分布筋長(zhǎng)度=負(fù)筋布置范圍長(zhǎng)度-負(fù)筋扣減值

負(fù)筋分布筋根數(shù)=負(fù)筋輸入界面中負(fù)筋的長(zhǎng)度/分布筋間距+1

三、附加鋼筋(角部附加放射筋、洞口附加鋼筋)、支撐鋼筋(雙層鋼筋時(shí)支撐上下層)根據(jù)實(shí)際情況直接計(jì)算鋼筋的長(zhǎng)度、根數(shù)即可，在軟件中可以利用直接輸入法輸入計(jì)算。第五章 常見(jiàn)問(wèn)題

為什么鋼筋計(jì)算中，135o彎鉤我們?cè)谲浖杏?jì)算為11.9d？

我們軟件中箍筋計(jì)算時(shí)取的11.9D實(shí)際上是彎鉤加上量度差值的結(jié)果，我們知道彎鉤平直段長(zhǎng)度是10D，那么量度差值應(yīng)該是1.9D，下面我們推導(dǎo)一下1.9D這個(gè)量度差值的來(lái)歷：

按照外皮計(jì)算的結(jié)果是1000+300；如果按照中心線計(jì)算那么是：1000-D/2-d+135/360*3.14*（D/2+d/2）*2+300,這里D取的是規(guī)范規(guī)定的最小半徑2.5d，此時(shí)用后面的式子減前面的式子的結(jié)果是：1.87d≈1.9d。不同厚度的墻體 磚的用量和砂漿用量是不同的。

砂漿凈用量（m3/m3）=1-單塊磚體積（m3/塊）*磚凈用量 砂漿實(shí)際用量（砂漿消耗量）=砂漿凈用量*（1+損耗率）

以常見(jiàn)240厚的標(biāo)準(zhǔn)磚墻來(lái)講： 1m3磚墻 磚的凈用量=529.1 砂漿的損耗率按1%取定

你自己計(jì)算下 砂漿的用量是不是0.225立方

補(bǔ)充：用量與砂漿標(biāo)號(hào)無(wú)關(guān)