第一篇：數(shù)學(xué)練習(xí)題考試題高考題教案2006年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：2

和性質(zhì).5.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).6.能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題.●復(fù)習(xí)方略指南

基本函數(shù)：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，它們的圖象與性質(zhì)是函數(shù)的基石.求反函數(shù)，判斷、證明與應(yīng)用函數(shù)的三大特性（單調(diào)性、奇偶性、周期性）是高考命題的切入點(diǎn)，有單一考查（如全國2004年第2題），也有綜合考查（如江蘇2004年第22題）.函數(shù)的圖象、圖象的變換是高考熱點(diǎn)（如全國2004年Ⅳ，北京2005年春季理2），應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解其他問題，特別是解應(yīng)用題能很好地考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，這類問題在高考中具有較強(qiáng)的生存力.配方法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論等，這些方法構(gòu)成了函數(shù)這一章應(yīng)用的廣泛性、解法的多樣性和思維的創(chuàng)造性，這均符合高考試題改革的發(fā)展趨勢.特別在“函數(shù)”這一章中，數(shù)形結(jié)合的思想比比皆是，深刻理解和靈活運(yùn)用這一思想方法，不僅

4.含參數(shù)函數(shù)的討論是函數(shù)問題中的難點(diǎn)及重點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)適當(dāng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，做到條理清楚、分類明確、不重不漏.5.利用函數(shù)知識(shí)解應(yīng)用題是高考重點(diǎn)，應(yīng)引起重視.******0000000000000+******=00000000

2.1 函數(shù)的概念

●知識(shí)梳理

1.函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x∈A，其中x叫做自變量.x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域.2.兩個(gè)函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域A、值域C和對應(yīng)法則f.當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定.因此，定義域和對應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù).3.映射的定義：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么，這樣的對應(yīng)（包括集合A、B，以及集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f）叫做集合A到集合B的映射，記作f:A→B.由映射和函數(shù)的定義可知，函數(shù)是一類特殊的映射，它要求A、B非空且皆為數(shù)集.特別提示 函數(shù)定義的三要素是理解函數(shù)概念的關(guān)鍵，用映射的觀點(diǎn)理解函數(shù)概念是對函數(shù)概念的深化.●點(diǎn)擊雙基

1.設(shè)集合A=R，集合B=正實(shí)數(shù)集，則從集合A到集合B的映射f只可能是 A.f:x→y=|x|

－

B.f:x→y=x

C.f:x→y=3x D.f:x→y=log2（1+|x|）

－解析：指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域是（0，+∞），所以f是x→y=3x.答案：C 2.設(shè)M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镸，值域?yàn)镹，則f（x）的圖象可以是

y 2-2x y 2O-2O2x Ay 2By 2-2O2x-2O2x CD

解析：A項(xiàng)定義域?yàn)椋郏?，0］，D項(xiàng)值域不是［0，2］，C項(xiàng)對任一x都有兩個(gè)y與之對應(yīng)，都不符.故選B.答案：B

3.（2004年全國Ⅰ，理2）已知函數(shù)f（x）=lgA.b

B.－b

1?x，若f（a）=b，則f（－a）等于 1?x11C.D.－

bb解析：f（－a）=lg【答案】 B 1?a1?a=－lg=－f（a）=－b.1?a1?a4.（2004年全國Ⅲ，理5）函數(shù)y=log1(x2?1)的定義域是

2A.［－2，－1）∪（1，2］ C.［－2，－1）∪（1，2］

B.（－3，－1）∪（1，2）D.（－2，－1）∪（1，2）

?x2?1?022?????x?1?x?1?x?1或x??1??2???－2≤x＜－1解析：?log(x2?1)?0??21????2?x?2?x?1?1??x?2??2或1＜x≤2.∴y=log1(x2?1)的定義域?yàn)椋郏?，－1）∪（1，2］.2答案：A 5.（2004年浙江，文9）若函數(shù)f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的定義域和值域都是［0，1］，則a等于

2D.2 2解析：f（x）=loga（x+1）的定義域是［0，1］，∴0≤x≤1，則1≤x+1≤2.當(dāng)a＞1時(shí)，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，∴a=2；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，與值域是［0，1］矛盾.綜上，a=2.答案：D ●典例剖析

【例1】 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？ A.3 B.C.（1）f（x）=x2，g（x）=3x3；（2）f（x）=

x?0,?1|x|，g（x）=?

?1x?0;x?－（3）f（x）=2n?1x2n?1，g（x）=（2n?1x）2n1（n∈N*）；（4）f（x）=xx?1，g（x）=x2?x；

（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.剖析：對于兩個(gè)函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對應(yīng)法則都相同時(shí)，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù).若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完

全相同，反之亦然.解：（1）由于f（x）=x2=|x|，g（x）=3x3=x，故它們的值域及對應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù).（2）由于函數(shù)f（x）=

x?0,?1|x|的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，+∞），而g（x）=?x??1x?0;的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù).（3）由于當(dāng)n∈N*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，∴f（x）=2n?1x2n?1=x，g（x）=（2n?1x）2n1=x，－它們的定義域、值域及對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).（4）由于函數(shù)f（x）=xx?1的定義域?yàn)閧x|x≥0}，而g（x）=x2?x的定義域?yàn)閧x|x≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù).（5）函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).評述：（1）第（5）小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對函數(shù)的概念理解不透.要知道，在函數(shù)的定義域及對應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達(dá)式，這對于函數(shù)本身并無影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函數(shù).（2）對于兩個(gè)函數(shù)來講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個(gè)函數(shù)就不可能是同一函數(shù).【例2】 集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立從A到B的映射個(gè)數(shù)是__________，從B到A的映射個(gè)數(shù)是__________.剖析：從A到B可分兩步進(jìn)行：第一步A中的元素3可有3種對應(yīng)方法（可對應(yīng)5或6或7），第二步A中的元素4也有這3種對應(yīng)方法.由乘法原理，不同的映射種數(shù)N1＝3×3＝9.反之從B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8種不同映射.答案：9 8 深化拓展 設(shè)集合A中含有4個(gè)元素，B中含有3個(gè)元素，現(xiàn)建立從A到B的映射f:A→B，且使B中每個(gè)元素在A中都有原象，則這樣的映射有___________________個(gè).提示：因?yàn)榧螦中有4個(gè)元素，集合B中有3個(gè)元素，根據(jù)題意，A中必須有2個(gè)

3元素有同一個(gè)象，因此，共有C24A3=36個(gè)映射.答案：36 【例3】（2004年廣東，19）設(shè)函數(shù)f（x）=|1－f（a）=f（b）時(shí)，ab＞1.剖析一：f（a）=f（b）?|1－2ab?ab＞1.證明：略.1|（x＞0），證明：當(dāng)0＜a＜b，且x1111|=|1－|?（1－）2=（1－）2?2ab=a+b≥

bbaa

?1?1x?(0,1],??x剖析二：f（x）=?

1?1?x?(1,??).??x證明：f（x）在（0，1］上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù).由0＜a＜b且f（a）

1111= f（b），得0＜a＜1＜b且－1=1－，即+=2?a+b=2ab≥2ab?ab＞1.baab評注：證法

一、證法二是去絕對值符號(hào)的兩種基本方法.●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ)

1.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，則在映射f下，象20的原象是

A.2

B.3

C.4

D.5 解析：由2n＋n＝20求n，用代入法可知選C.答案：C 2.某種型號(hào)的手機(jī)自投放市場以來，經(jīng)過兩次降價(jià)，單價(jià)由原來的2000元降到1280元，則這種手機(jī)平均每次降價(jià)的百分率是

A.10%

B.15%

C.18%

D.20% 解析：設(shè)降價(jià)百分率為x%，∴2000（1－x%）2=1280.解得x=20.答案：D

2??(x?1)3.（2004年全國Ⅲ，理11）設(shè)函數(shù)f（x）=???4?x?1x?1,x?1,則使得f（x）≥1的自變量x的取值范圍為

A.（－∞，－2］∪［0，10］

B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］

D.［－2，0］∪［1，10］ 解析：f（x）是分段函數(shù)，故f（x）≥1應(yīng)分段求解.當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）≥1?（x+1）2≥1?x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥1?4－x?1≥1?綜上所述，x≤－2或0≤x≤10.答案：A

x?1≤3?x≤10，∴1≤x≤10.?1,x?0,4.（2004年浙江，文13）已知f（x）=?則不等式xf（x）+x≤2的解集是

?0,x?0,___________________.解析：x≥0時(shí)，f（x）=1，xf（x）+x≤2?x≤1，∴0≤x≤1； 當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=0，xf（x）+x≤2?x≤2，∴x＜0.綜上x≤1.答案：{x|x≤1} 5.（2004年全國Ⅳ，文）已知函數(shù)y=log1x與y=kx的圖象有公共點(diǎn)A，且A點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為2，則k的值等于

A.－

14B.1 C.－

2D.2解析：由點(diǎn)A在y=log1x的圖象上可求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)y=log12=－

4411.又A（2，－）22在y=kx圖象上，－11=k·2，∴k=－.24答案：A 培養(yǎng)能力

6.如下圖，在邊長為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B點(diǎn)（起點(diǎn)）向A點(diǎn)（終點(diǎn)）移動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y=f（x）.D C PA B

（1）求△ABP的面積與P移動(dòng)的路程間的函數(shù)關(guān)系式；（2）作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求y的最大值.解：（1）這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，12）.當(dāng)0＜x≤4時(shí)，S=f（x）=

1·4·x=2x； 21·4·（12－x）=2（12－x）=24－2x.2當(dāng)4＜x≤8時(shí)，S=f（x）=8； 當(dāng)8＜x＜12時(shí)，S=f（x）=∴這個(gè)函數(shù)的解析式為

x?(0,4]?2x?f（x）=?8x?(4,8],?24?2xx?(8,12).?y 8 6 4 2（2）其圖形為 12 x O 2 4 6 8 10 由圖知，［f（x）］max=8.7.若f :y=3x+1是從集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一個(gè)映射，求自然數(shù)a、k的值及集合A、B.解：∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定義知

42???a?10,?a?3a?10,（1）?或（2）?

24???a?3a?3k?1,?a?3k?1.∵a∈N，∴方程組（1）無解.解方程組（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.8.如果函數(shù)f（x）=（x+a）3對任意x∈R都有f（1+x）=－f（1－x），試求f（2）+ f（－2）的值.解：∵對任意x∈R，總有f（1+x）=－f（1－x），∴當(dāng)x=0時(shí)應(yīng)有f（1+0）=－f（1－0），即f（1）=－f（1）.∴f（1）=0.又∵f（x）=（x+a）3，∴f（1）=（1+a）3.故有（1+a）3＝0?a=－1.∴f（x）=（x－1）3.∴f（2）+f（－2）=（2－1）3＋（－2－1）3＝13＋（－3）3＝－26.探究創(chuàng)新

9.集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N滿足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:M→N的個(gè)數(shù)是多少？

解：∵f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N，且f（a）+f（b）+f（c）=0，∴有0+0+0=0+1+（－1）=0.當(dāng)f（a）=f（b）=f（c）=0時(shí)，只有一個(gè)映射；

2當(dāng)f（a）、f（b）、f（c）中恰有一個(gè)為0，而另兩個(gè)分別為1，－1時(shí)，有C13·A2=6個(gè)映射.因此所求的映射的個(gè)數(shù)為1+6=7.評述：本題考查了映射的概念和分類討論的思想.●思悟小結(jié)

1.本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容是函數(shù)概念、定義域、值域，難點(diǎn)是映射及其意義.2.理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的，是一個(gè)系統(tǒng)；（2）對應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從集合B到集合A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；

（3）集合A中每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一．．般對應(yīng)的本質(zhì)特征；

（4）集合A中不同元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè)；（5）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.3.函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的非常重要的部分，如沒有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)解析式有意義的x的取值范圍，即分式中分母應(yīng)不等于0；偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)；零指數(shù)冪中，底數(shù)不等于0，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，底數(shù)應(yīng)大于0；對數(shù)式中，真數(shù)必須大于0，底數(shù)必須大于0且不等于1??實(shí)際問題中還需考慮自變量的實(shí)際意義.若解析式由幾個(gè)部分組成，則定義域?yàn)楦鱾€(gè)部分相應(yīng)集合的交集.●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛

1.復(fù)習(xí)本節(jié)時(shí)，教師應(yīng)先指導(dǎo)學(xué)生看課本，并對課本上的重要知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)，對課本上的典型例題、典型習(xí)題要讓學(xué)生再做，并注重一題多解、一題多變.2.畫分段函數(shù)的圖象，求分段函數(shù)的定義域、值域是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn).教學(xué)時(shí)，要指導(dǎo)學(xué)生按x的特點(diǎn)分好段，并向?qū)W生指明分段函數(shù)其實(shí)是一個(gè)函數(shù)，只是由于該函數(shù)在自變量取值的各個(gè)階段其對應(yīng)關(guān)系不一樣才以分段式給出，因此它的定義域、值域應(yīng)是各階段相應(yīng)集合的并集.拓展題例

【例1】 設(shè)f（x）是定義在（－∞，+∞）上的函數(shù)，對一切x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，當(dāng)－1＜x≤1時(shí)，f（x）=2x－1，求當(dāng)1＜x≤3時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式.解：設(shè)1＜x≤3，則－1＜x－2≤1，又對任意的x，有f（x）+f（x+2）=0，∴f（x+2）=－f（x）.∴f（x－2）=－f［（x－2）+2］=－f（x）.又－1＜x－2≤1時(shí)，f（x－2）=2（x－2）－1=2x－5，∴f（x）=－f（x－2）=－2x+5（1＜x≤3）.評述：將1＜x≤3轉(zhuǎn)化成－1＜x－2≤1，再利用已知條件是解本題的關(guān)鍵.【例2】 設(shè)m=（log2x）2+（t－2）log2x+1－t，若t在區(qū)間［－2，2］上變化時(shí)，m值恒正，求x的取值范圍.解：由m=［log2x+（t－1）］（log2x－1）＞0，得

?log2x?(t?1)?0,?logx?1?0?2①

?log2x?(t?1)?0,或?

logx?1?0.?2②

在①中，（log2x－1）+t＞0對于t∈［－2，2］恒成立時(shí)，應(yīng)有l(wèi)og2x－1＞2，即x＞8； 在②中，（log2x－1）+t＜0對于t∈［－2，2］恒成立時(shí)，應(yīng)有l(wèi)og2x－1＜－2，即0＜ x＜1.2綜上，得x＞8或0＜x＜

1.2評述：本題還可用如下方法求解：m=（log2x－1）t+［（log2x）2－2log2x+1］關(guān)于變量t的圖象是直線，要t∈［－2，2］時(shí)m值恒正，只要t=－2和2時(shí)m的值恒正，即有

2???2(log2x?1)?[(log2x)?2log2x?1]?0, ?2??2(log2x?1)?[(log2x)?2log2x?1]?0.∴l(xiāng)og2x＞3或log2x＜－1.∴x＞8或0＜x＜ 1.2

第二篇：數(shù)學(xué)練習(xí)題考試題高考題教案2009屆一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的定義域答案

2009屆一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的定義域、值域練習(xí)參考答案

基礎(chǔ)卷

一、1.B 2.B 3.C 4.C 5.D 6.C 7.C 8.A

9.B 10.C

提高卷

一、1.B 2.D 3.C 4.C 5.A

二、6．m+n=6 7．14 8．（-∞，1）∪（1，+∞）

(0,12)?(12,2]9．

10．2?2

2三、11．解：由根式有意義?16?x?0

①，又由對數(shù)有意義?sinx?0②，解①②不等式組分別得：-4≤x≤4，2kπ

12．解：由題意知：x≤1是不等式1?3?a?0的解，x∵1?3?a?0①，如果a?0?①的解集為x∈R，與條件矛盾，故a<0。a<0時(shí)①等價(jià)于

x3??x1a?x?log3(?1)a，1a13。又x?1?log3(?1a)?1???3?a???1?2x1?1?0??x??1?2x?p1??22????x??1?2x22??p?x?1?0??2?213．解：（1）?2x?p，{x|p2?x?1}即f（x）定義域?yàn)?/p>

2。

（2）假設(shè)f（x）的圖象與x軸相交，令f（x）=0，log1?2xa即log1?2x1?2x?log1?2xa2x?p?0

則a2x?p?0。

1?2x∴2x?p?1，∴p=-1，與-1

14．解：原函數(shù)可等價(jià)于y=|x+1|+|x-2|，記數(shù)軸上坐標(biāo)是-1的點(diǎn)為A，坐標(biāo)是2的點(diǎn)為B，坐標(biāo)是x的動(dòng)點(diǎn)為P，則|x+1|+|x-2|=|PA|+|PB|，如圖1-2-2。顯然當(dāng)P在線段AB上時(shí)：|PA|+|PB|=3，當(dāng)P在線段AB之外時(shí)，|PA|+|PB|>3。

綜上所述知：|PA|+|PB|≥3，即原函數(shù)值域?yàn)椋簓∈[3，+∞]。

第三篇：名師談高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)

名師談高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)（15問）

【高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)一般分為三輪：】熟悉三輪復(fù)習(xí)的內(nèi)容和目標(biāo)

第一輪重點(diǎn)是“三基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法）復(fù)習(xí)，目標(biāo)是全面、扎實(shí)、系統(tǒng)、靈活。學(xué)生極易忽視復(fù)習(xí)課本重要例習(xí)題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

第二輪復(fù)習(xí)一般是專題強(qiáng)化訓(xùn)練，目標(biāo)在于提高學(xué)生解答高考解答題的能力。此階段學(xué)生不應(yīng)沉迷于套卷演練，而應(yīng)在教師指導(dǎo)下，以典型例題為載體，以數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用為線索，講求解題策略，使自己在第一輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)素質(zhì)得以明顯提升。

第三輪一般進(jìn)行模擬、強(qiáng)化，目的在于調(diào)節(jié)學(xué)生智能、情感、意志等因素，使學(xué)生逐漸熟悉數(shù)學(xué)高考對學(xué)生的各項(xiàng)要求。此階段學(xué)生應(yīng)加強(qiáng)解題后反思，并舍得花一定的時(shí)間再次鉆研考試大綱、考試說明及歷屆高考試題，領(lǐng)會(huì)其命題風(fēng)格。

問題1：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第一輪怎么復(fù)習(xí)？

老師：第一輪重點(diǎn)是“三基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法）復(fù)習(xí)，目標(biāo)是全面、扎實(shí)、系統(tǒng)、靈活。學(xué)生要掌握好復(fù)習(xí)課本重要例習(xí)題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。在第一輪復(fù)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)的重心要放在“三基”，千萬不要脫離這個(gè)目標(biāo)；其次復(fù)習(xí)應(yīng)該跟著老師或者略超前于老師的進(jìn)度（成績好的同學(xué)應(yīng)該有兩條復(fù)習(xí)路線，一條是跟著老師走，另外一條是自己制定的復(fù)習(xí)計(jì)劃）。最后在復(fù)習(xí)中一定要提高效率即掌握好90%以上的知識(shí)點(diǎn)。

問題2：我的基礎(chǔ)知識(shí)還可以，上課老師講得也都能聽懂，但是一到自己做題的時(shí)候就做不出來了，請老師幫忙分析一下原因。

老師：在中檔學(xué)生這個(gè)層面上，恐怕十個(gè)人得有九個(gè)人提出這個(gè)問題，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大困難之處，聽老師講，聽得特別懂，自己一做就做不出來了，究其原因是什么呢？大家應(yīng)該知道，原因在這里:數(shù)學(xué)是靠著邏輯演繹向前推進(jìn)和發(fā)展的。當(dāng)一個(gè)老師把你抱到了邏輯的起點(diǎn)上，告訴你這個(gè)邏輯關(guān)系是怎樣的，比如說餓了就應(yīng)該找飯吃，下雨了就應(yīng)該找傘來打，告訴你了這個(gè)邏輯規(guī)則，你自己肯定會(huì)按照邏輯的順序往前跑，這就叫為什么上課聽得懂，聽得頭頭是道。為什么課下自己不會(huì)做了呢？是因?yàn)檎n下你找不到邏輯的起點(diǎn)，有兩種學(xué)習(xí)的模式，一種是靠效仿，老師給我變一個(gè)數(shù)，出兩道類似的練習(xí)題，照老師的模子描下來，結(jié)果做對了，好象我學(xué)會(huì)了，這就是效仿的方式來學(xué)數(shù)學(xué)，這種方式在小學(xué)是主要手段，在初中，這種手段還占著百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分?jǐn)?shù)也就是六七十分;其他的分?jǐn)?shù)都要靠你的理解。即另一種是靠理解，所謂理解就是聽了老師的一段講解，看了老師的一個(gè)解題過程，你要把他提煉、升華成理性認(rèn)識(shí)，在你的頭腦中，應(yīng)該存下老師講解的這一段知識(shí)和解答的這一道題，他所體現(xiàn)出來的規(guī)律性的東西。當(dāng)你遇到新問題、新試題的時(shí)候，你應(yīng)該拿著這個(gè)規(guī)律去面對它，這樣的話，你就可以把老師講解的東西很自然地、流暢地用在你的解題里，這就是所謂通過理解，通過頓悟來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。那么高中數(shù)學(xué)百分之六七十的成分是要靠著這種方式進(jìn)行學(xué)習(xí)的。問題3：我數(shù)學(xué)成績波動(dòng)很大，在復(fù)習(xí)上有沒有什么需要注意的？

老師：數(shù)學(xué)成績波動(dòng)大，說明能力還是有，要不怎么能有好的時(shí)候呢？第一是心理狀態(tài)不是特別好，心情好的時(shí)候，或者情緒比較高漲的時(shí)候，就能發(fā)揮得比較好，情緒比較低落的時(shí)候就發(fā)揮不出來，我覺得調(diào)整的方法，就是在心理方面對自己有一種暗示，心理問題就得靠暗示來解決，提高自己的信心，經(jīng)常保持愉快和比較興奮，心態(tài)比較好的情況，可能成績能夠更穩(wěn)定一點(diǎn)。

問題4：做數(shù)學(xué)題時(shí)，尤其是考試的時(shí)候，遇到無從下手的題目怎么辦？

老師：如果你開始遇到無從下手的題那就繞過，一般來說，拿到一個(gè)題，如果一點(diǎn)思路都沒有的話，應(yīng)該先避一避，把一些比較順手的題做好了以后，一方面會(huì)提高信心，再一方面，開始考的時(shí)候一般心情都比較緊張，考試中慢慢情緒會(huì)穩(wěn)定的。等情緒穩(wěn)定下來，或者把會(huì)做的做完后在回過頭解決，可能會(huì)比較有效。

問題5：考試總是無法發(fā)揮出我的水平，這怎么辦？

老師:很多同學(xué)水平不錯(cuò)，但考試結(jié)果不太理想。根據(jù)我的經(jīng)驗(yàn)，有這么幾方面的原因。一是有的同學(xué)水平比較高，但更會(huì)解決難題，對選擇、填空題不夠重視。結(jié)果大題做對了，選擇、填空做錯(cuò)了，這是發(fā)揮不理想的情況。第二是對中檔題，中檔題應(yīng)該說不難，但拿不住分。這里有一個(gè)如何對待中檔題的問題，我考慮有以下幾點(diǎn)。因?yàn)橹袡n題給的標(biāo)準(zhǔn)答案一般是分步給分，所以要嚴(yán)格解題步驟，不要跳步。如：立體幾何的作圖過程，你所計(jì)算的角和距離是哪個(gè)角哪個(gè)距離，必須得指出。過去學(xué)生們的情況是最后這個(gè)題的結(jié)果是做對了，但得不到分。原因是中間跳步，寫得比較粗糙。還有就是我們在做角和距離時(shí)，做的過程和論證也占著相當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)。解析幾何建立直角坐標(biāo)系處理問題的方法、過程也要寫細(xì)。應(yīng)用題，未知數(shù)的設(shè)計(jì)、等量關(guān)系的表述都不能忽略。中檔題必須抓住平時(shí)容易忽視的得分點(diǎn)，也能夠提高自己的水平。

問題6：我對題目長的題有恐懼感，請問老師怎么樣避免？

老師：如果我要去命題，恐怕這就是區(qū)分度的一個(gè)出題的技巧和技術(shù)，不是有些人怕難題嘛，在這些考生里面我要把一些人刷掉，怎么去區(qū)分你們呢？誰上誰下呢？我就有意識(shí)地出一份字?jǐn)?shù)比較多，信息量比較大的，文字比較長的題，誰害怕就刷掉，誰過了這一關(guān)就上來了，這也是一種出題的技巧，這也是現(xiàn)代信息技術(shù)時(shí)代對我們的要求，目前信息量這么大，不可能用三言兩語就把一件事說得特別清楚，字多一點(diǎn)，符號(hào)多一點(diǎn)，甚至英文都上來了都是有可能的。遇到這樣的問題怎么辦呢？唯一的策略就是化整為零，這個(gè)信息不管多長，文字量不管多大，這一大段話總是一句一句說下來的，你先看懂第一句，再看第二句，每一句一定都很短，所以應(yīng)對它的辦法就是化整為零，一句一句地去看它，不要從第一個(gè)字看到最后一個(gè)字，不懂心里就發(fā)慌，這樣的東西，我建議大家可以這樣做，第一遍叫粗讀，就是由第一個(gè)字讀到最后一個(gè)字，讀完之后，你能說出一個(gè)故事的梗概就夠了。比如說這個(gè)題里有三個(gè)量，比如說有耕地，有人均占有耕地的面積，還有單位的產(chǎn)量，還有什么等等，把這個(gè)量說清楚，這道題就說這幾個(gè)量的關(guān)系就夠了。接下來細(xì)讀，你一句話一句話地讀，讀了第一句話想想什么意思，想明白了再讀第二句，想不明白，找?guī)讉€(gè)關(guān)鍵詞體會(huì)什么意思，這樣一句一句讀下去，很長的一段，慢慢地就會(huì)讀懂。所以建議大家第一不要害 怕，這是正?，F(xiàn)象，第二化整為零，掌握科學(xué)的工作方法，總是可以應(yīng)對的。

問題7：都說數(shù)學(xué)要講究臨場發(fā)揮，請問是不是有哪些地方需要注意？比如說應(yīng)該做哪些題？先做高分的題還是低分的題？

老師：談一談考試技巧，其實(shí)這也是必要的，大家在高三復(fù)習(xí)這一年的過程當(dāng)中，要經(jīng)過許多場考試，其實(shí)這些考試除了考你的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力之外，應(yīng)該還有一個(gè)任務(wù)，就是考察你的考試技巧和心理狀態(tài)。但是這一點(diǎn)往往被同學(xué)們所忽略。這一點(diǎn)應(yīng)該引起大家的重視，比如說，如果你是一個(gè)高分段的學(xué)生，你的目標(biāo)高一點(diǎn)，是想考清華北大這些一些最名牌的大學(xué)的話，那你數(shù)學(xué)的期望值應(yīng)該是在一百三十分以上，甚至一百四十分左右才合適，對于這樣的同學(xué)，那么你就是按照題目的順序一道一道把它盡快地、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卮鹜?，這沒有什么可考慮的，因?yàn)槲业钠谕岛退蕉伎梢詰?yīng)付這樣的辦法。

但是反過來，如果我的能力和數(shù)學(xué)成績考到一百分就很不錯(cuò)了，我的水平已經(jīng)發(fā)揮了，這樣的同學(xué)答題確實(shí)需要一些技巧，這個(gè)技巧的主要原則就是第一，一定要把自己會(huì)的、有把握的先答上，而且在個(gè)別的答題過程中，心理有點(diǎn)忐忑不安的話，做完之后還要做檢查工作，也就是說把會(huì)做的先做好，不管這個(gè)題的順序，不管這一問在什么地方，哪怕是倒數(shù)第二題的第一問，也要把它拿下來，所以做題的次序不一定按照題號(hào)的次序，而是會(huì)的就拿下，按照這樣的原則去組織。

那么這一層做完了，還有時(shí)間，就攻堡壘了，攻自己不會(huì)的題了。不會(huì)的題，你要注意，也是分為兩種類型，一種類型是咱們靜下心來，心態(tài)平和沒準(zhǔn)就會(huì)做了，只要不緊張。另一種類型，恐怕再給你兩個(gè)小時(shí)，甚至再給你一天你也未見得做得出來，對這些難題，我們就要分分類，從直覺和感覺出發(fā)，能拿多少就拿多少，不要強(qiáng)求。所以層次在希望能夠達(dá)到一百分就滿足了的同學(xué)，你確實(shí)更應(yīng)該注意答題技巧，原則是把會(huì)的先做下來，不一定按照題號(hào)的順序。

另外，有的同學(xué)答題的時(shí)候心情比較緊張，往往影響你的發(fā)揮，我忠告大家，不要跟別人比，主要的是跟你自己比，如果我在學(xué)校歷次模擬考試，最多就考過九十五分，那么這次高考你能考九十六分，就可以喝慶功酒，就可以慶祝一番了，因此就可以把心情放下來，自己跟自己比，心情越冷靜，越踏實(shí)，越容易發(fā)揮，越容易取得好成績。特別是數(shù)學(xué)，心情如果不夠坦然，不夠平靜，往往會(huì)出現(xiàn)計(jì)算性錯(cuò)誤，本來這道題會(huì)，三乘二，你得個(gè)五，變成加法做了，一下子分都沒了，特別是選擇題里，一道題要不然是五分，要不然是零分，如果因?yàn)槲覀兊男那椴粔蛱?shí)，不夠冷靜，一下子做錯(cuò)了，本來應(yīng)該得五分，變成零分了，這是非常遺憾的，大家知道，高考如果差五分，那就是六七千人、七八千人的事，希望大家還是把心情踏實(shí)下來，這樣最好。

問題8：如果我做前面的小題遇到困難，很不順，那我在考場上應(yīng)該怎樣進(jìn)行調(diào)整呢？

老師：大家現(xiàn)在要注意，目前的高考試題不是按照由易到難的次序排列的，它是多題把關(guān)，處處有關(guān)口，比如說做第一題白給分，一下子就出來了，做到第五題卡住了，這很有可能。人們都認(rèn)為22題是最難的一道題，有的同學(xué)認(rèn)為我看都不看，我這水平做不了，其實(shí)22題的第一問是往往是白給分的，是每個(gè)人都會(huì)的，為什么要放棄呢？所以大家要注意，目前的高考試卷是多題把關(guān)，就像地雷陣似的，處處有地雷，但是處處有坦蕩的路，所以我們要有相應(yīng)的辦法來對付。

什么辦法呢？第一，心態(tài)上要注意，只要你的高考數(shù)學(xué)我期望值不是一百四十五分，那么你遇到一個(gè)題不會(huì)，這非常正常，如果你數(shù)學(xué)的期望值是在一百分的話，那么你遇到40%個(gè)難題，那都是非常正常的事情。所以從心態(tài)上大家不要害怕，遇到難題是正常的，因?yàn)槲铱疾涣艘话傥迨致铩?/p>

第二，遇到難題怎么辦？位置能力在中等位置的同學(xué)們，建議你們這樣做。遇到這個(gè)困難，你稍微愣一下神，靜下心來再想一想，如果暫時(shí)還想不出來，跳過去做下一道，沒準(zhǔn)下一道很漂亮地做出來了，當(dāng)你遇到下一個(gè)難點(diǎn)的時(shí)候，看看位置，如果位置仍然還靠前的話，你還可以繼續(xù)往下做。當(dāng)你困難發(fā)生到三分之二的試卷上了，你回過頭來看看第一個(gè)難題，由于你離開那個(gè)境界遠(yuǎn)了，心情也平靜了，你去看它，沒準(zhǔn)突發(fā)一個(gè)靈感，困難就解決了。所以概括起來這么幾條，第一是心情平和，不要害怕，這是正?，F(xiàn)象，你哪能道道都會(huì)??？第二，遇到困難，一時(shí)解決不了暫時(shí)跳下去。繼續(xù)往下走，下面還有很多你會(huì)的，這就夠了。

問題9：在做解答題的時(shí)候，如果做不出第一小問，我是不是可以直接跳到第二小問？并且把第一小問要求求證的命題直接作為第二小問的條件呢？

老師：若這幾問是獨(dú)立評分，這是可以的，第一問對了給你分，第一問沒做了，第二問的時(shí)候第一問的結(jié)論也用了，照樣給你分，而且這是正常的、科學(xué)的答題方法，不要因?yàn)榈谝粏柌粫?huì)，第二問就放棄，那就不應(yīng)該了

問題10：我的數(shù)學(xué)比較差，我希望高考數(shù)學(xué)能拿到一百分，應(yīng)該從哪方面入手？

老師：問題提出學(xué)習(xí)不是太好，不知道您哪方面學(xué)得不是太好，想拿到一百分，不知道你原來的成績怎么樣，如果平時(shí)是七、八十分，這次要達(dá)到一百分，還是有努力的空間，我想從幾方面來說。第一，依綱（考綱）靠本（課本）。第二，把練習(xí)、試卷歸一下類，看是選擇題不行還是填空題不行，還是大題不行。一般來說，提高的空間都在選擇填空題上及解答題中檔題上，最后兩個(gè)題提高的空間不大。在這里我談一下選擇題的問題。選擇題與數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、公式密切相關(guān)，因此要想做對題，必須正確理解概念，數(shù)據(jù)處理準(zhǔn)確，另外選擇題的選項(xiàng)就是針對考生數(shù)學(xué)概念理解上的錯(cuò)誤和思維上出現(xiàn)的誤區(qū)而設(shè)置的。因此我們做選擇題時(shí)不能似是而非，現(xiàn)在就當(dāng)前考生狀況用直接法和排除法選擇還是不錯(cuò)的。但有些題可以用更靈活的方法，而用直解法用時(shí)間多，值得注意。往年經(jīng)驗(yàn)，每年的選擇題中，總有

一、兩個(gè)難一點(diǎn)的題和比較新穎的題。對于這樣的題，考生不要驚慌，我認(rèn)為有以下對策可以提高我們選擇題的能力。第一看見題型比較新，要聯(lián)想舊題，即新題想舊題。第二凡是推理比較困難，計(jì)算量比較大的題，處在選擇題中必有巧妙的方法。經(jīng)常用特殊值法和代入檢驗(yàn)法。

問題11：做選擇題的時(shí)候一般只錯(cuò)一到兩題，但是剩下的時(shí)間就非常少了，只能做兩到三道大題了，這種情況下，怎樣能既提高速度，又能保證正確率呢？

老師：高考對選擇題的要求確實(shí)是兩個(gè)字，快、準(zhǔn)，光準(zhǔn)不快，比如說選擇題10道題你用了一個(gè)小時(shí)做完，后面還有那么多題呢，你怎么做得完呢？有的說光把答案抄一遍就得抄六七分鐘，確實(shí)是這樣，這樣 就要注意了，做選擇題怎樣做得快呢？就是說你要把選擇體當(dāng)做選擇題來做，而不要當(dāng)做解答題來做。此話怎講？你做選擇題的時(shí)候，不要光看題干，不看選項(xiàng)，一門心思解這道題，當(dāng)然花的時(shí)間長了。選擇題當(dāng)選擇題做什么意思呢？要把四個(gè)選項(xiàng)和題桿連接成一個(gè)整體，從邏輯上分析這個(gè)題可能出現(xiàn)的漏洞在什么地方。從邏輯上首先分析它的破綻，如果一眼能認(rèn)出破綻，這個(gè)解一下子就解了。

問題12：如何提高數(shù)學(xué)考試中的心理素質(zhì)？有時(shí)候感覺自己考場上的心理素質(zhì)還不過硬，是因?yàn)檫@個(gè)不過硬丟了很多不該丟的分。

老師：考試，什么叫考好了？不知道大家對我這個(gè)問題怎么回答？是不是好分就好了？那我問你什么叫好分呢？一百四十算不算好分？那當(dāng)然算，你沒有考到一百四十就說你沒考好，還要打你屁股一下，那你愿意嗎？其實(shí)什么叫考好，關(guān)鍵是自己跟自己比，如果自己的水平在一次考試中能夠盡情地發(fā)揮出來了，發(fā)揮得自己滿意，那就叫考好了，很可能一看分?jǐn)?shù)，剛九十五分，可能我就是這個(gè)等級(jí)，就是這個(gè)水平?；谶@一點(diǎn)，所以大家參加考試，一定要有一個(gè)平和的心態(tài)，自己跟自己比，以充分發(fā)揮自己的水平為宗旨，而不去追求那個(gè)分，也不要去考慮自己報(bào)的那個(gè)志愿，因?yàn)槲覀兪窍葓?bào)志愿的，北京地區(qū)有這個(gè)負(fù)擔(dān)，我報(bào)的是清華，我得考一百三十五啊，壞了，這個(gè)題我不會(huì)，老是這種心態(tài)就考不好了。所以考試的時(shí)候，建議大家，第一要有一個(gè)正確的好壞觀，把自己跟自己比，第二點(diǎn)，考試的時(shí)候，一定要入境，使得自己腦子里完全是數(shù)學(xué)的東西，其他的私心雜念什么都沒有了，真正做到充耳不聞，視而不見。所以這個(gè)境界一定要在高三這一年的模擬訓(xùn)練中練好這一招。比如：今天做模擬考試，你的教室窗子臨街，汽車過來過去，很吵，當(dāng)你做完這個(gè)題的時(shí)候，你一點(diǎn)也沒有聽見。特別是現(xiàn)在天特別熱，怎么我答題的時(shí)候也不覺得熱了呢？一考完了一身臭汗，這就對了。如果你考試的時(shí)候窗外一個(gè)響聲你就一激靈，別人一翻卷子你就一激靈，老是冒汗，這就有問題了，要讓你的父母幫助你練這個(gè)工夫，特別是心理素質(zhì)比較內(nèi)向，膽小的同學(xué)，平時(shí)在家還可以，不會(huì)做題，還可以跟媽媽耍耍賴，到考場上，一道題不會(huì)，一看臉色都不一樣了，這樣的同學(xué)其實(shí)往往是挺聰明的。其實(shí)有許多數(shù)學(xué)學(xué)得挺不錯(cuò)的學(xué)生，但是考試的時(shí)候，比他自己的水平總要掉下來十幾分，原因就是心理沒有調(diào)整好，這是一個(gè)大問題，凡是有這個(gè)問題的同學(xué)，建議你除了我說的那些數(shù)學(xué)的準(zhǔn)備工作之外，是不是做做心理調(diào)試工作，必要的時(shí)候請老師、同學(xué)給你出點(diǎn)辦法怎么調(diào)節(jié)一下。

問題13：我自己認(rèn)為考試成績和平時(shí)的成績很不吻合，有特別強(qiáng)烈的失敗感，有時(shí)候都失去信心了。這和心態(tài)不好有非常大的關(guān)系，但是現(xiàn)在又不知道怎么做。

老師：收獲季節(jié)還要自己收獲，別人收獲那是別人的，還不是你自己的。我覺得，首先應(yīng)該樹立信心，一定要堅(jiān)信數(shù)學(xué)這個(gè)東西是硬碰硬的工夫，如果這道題我真會(huì)，在考場上還真拿分，這跟寫作文不一樣，你說我平常記敘文寫得特別好，可是人家給你出的題目你就沒有靈感，沒有想法，就沒有辦法，數(shù)學(xué)就不是這樣，這個(gè)題你本來會(huì)，你就一定會(huì)，如果不會(huì)，一定是心理上有干擾，你老是想我考不好怎么辦，或者說我老是這樣，一考試就不如平常，這次再不如平常就壞了，老是想著這個(gè)，所以主要還是心理問題，恐怕心理比較內(nèi)向，感情比較脆弱，進(jìn)到了一個(gè)惡性循環(huán)的圈子里，越有這種現(xiàn)象，越怕發(fā)揮不出來，越怕 發(fā)揮不出來，越?jīng)]發(fā)揮出來，長此以往，進(jìn)入一個(gè)惡性循環(huán)圈。所以第一條，要樹立信心，你一定要堅(jiān)信，我會(huì)的，到考場上一定也會(huì)，1加2到哪兒我也知道是3了，一定要樹立信心。第二，要解決好一個(gè)狀態(tài)，就是考試的時(shí)候，你要把一切負(fù)擔(dān)、私心雜念都放下，一門心思念數(shù)學(xué)，一門心思進(jìn)入到數(shù)學(xué)領(lǐng)域，就是我剛才說的入境，這兩個(gè)方面如果解決了，恐怕考試的時(shí)候就容易解決這個(gè)問題了。再有，對這個(gè)問題還應(yīng)該這樣，積累了一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，有了一點(diǎn)進(jìn)步，趕緊就應(yīng)該肯定抓住閃光的地方，盡量擺脫惡性循環(huán)圈。舉個(gè)例子，比如說有的同學(xué)高一高二的考試成績沒掉過110分，可是到高三就沒有考過100分了，有一次模擬考試考了92分，下一次考試考到了93分，那就說明你進(jìn)步啊，就趕緊高興，想想自己這次成功的經(jīng)驗(yàn)是什么，別跟那110分比，不然跟110分比還是不行，那你這點(diǎn)滴的進(jìn)步就被你抹煞了，想想這次你怎么那么放松了，在哪一點(diǎn)放松了，還有哪兒緊張，不斷地抓住自己閃光的地方.問題14：數(shù)學(xué)考試時(shí)應(yīng)該怎樣分配時(shí)間？

老師：數(shù)學(xué)考試時(shí)應(yīng)該怎樣分配時(shí)間，應(yīng)該說是隨著高三復(fù)習(xí)過程中個(gè)人能力的不同而不斷調(diào)整的。我覺得一般而言，到了高考要根據(jù)自己不同的情況，學(xué)習(xí)成績比較好的同學(xué)，選擇填空題也就占到四十分鐘，要更好的同學(xué)，可能更短一點(diǎn)。對于平時(shí)成績不是太好的，那么選擇填空題恐怕要占到五十分鐘甚至更多。做后面的解答題，平時(shí)成績不是特別理想的，就集中力量做中間的四道解答題。后兩道大題，也就是第一問，頭兩問，看一看，當(dāng)然不要失掉機(jī)會(huì)，有時(shí)候最后的一道大題的第一問也是可以做的。對于好學(xué)生來講，前四個(gè)大題，也就是中檔難度的題要準(zhǔn)確、快速拿下，因?yàn)橐岣卟罹嗟脑?，想使自己成績比別人更好一點(diǎn)，區(qū)別還是在后兩道大題上。

問題15：現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)題講究的是通性通法，是不是應(yīng)該加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，再突破一些難題？

老師：目前的高考確實(shí)是通性通法，但是中等題和難題體現(xiàn)的不完全一樣，比如說中等題，在體現(xiàn)通性通法方面就比較暴露，比較直接。在綜合性題目里面，這個(gè)通性通法的使用就比較靈活，必須剝掉幾層之后才能看到。鑒于這種情況，針對不同層次的同學(xué)們，你們對通性通法可以做不同層次的追求，比如高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)期望值在一百到一百一十幾分之間的這樣一個(gè)檔次的，你就要特別注重通性通法在中等題（解決好前四個(gè)大題類型）里面的應(yīng)用，要保證在中等題里面運(yùn)用通性通法做到萬無一失。如果做得再好一點(diǎn)，你這個(gè)分?jǐn)?shù)的期望值完全可以做到的。那么在難題里運(yùn)用通性通法，這個(gè)外殼剝不開，個(gè)別看不透，問題就不太大了。如果你期望值是一百二十分以上，甚至達(dá)到一百四十幾分，相信你在選擇填空和中等題方面是有基礎(chǔ)和把握的，你們攻克的要點(diǎn)就是通性通法在綜合題中間怎么使用，怎么穿破這個(gè)迷魂陣，能夠剝出里面的內(nèi)涵，把通性通法用上，這是大家要攻克的，當(dāng)然這個(gè)堡壘比前一個(gè)要困難一些。

最后再給高考生一些建議：

老師：建議大家，第一樹立信心，第二想想自己的工作方法有哪些不科學(xué)的地方，趕緊尋找一個(gè)科學(xué)的工作方法，我給大家已經(jīng)介紹了。如果第一你有信心，第二你有一個(gè)科學(xué)的學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)方法，讓中學(xué)時(shí)代最后這一年過得不斷充實(shí)，覺得自己一天比一天更強(qiáng)大，你的自信心就會(huì)越來越飽滿，到高考的時(shí)候，你 的自信心都要爆棚了，那時(shí)候，相信你的數(shù)學(xué)成績一定會(huì)考出非常理想的水平。希望大家能認(rèn)真做，相信能夠取得好的成績。謝謝大家。

數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)策略[摘錄]

在高考中，有很多學(xué)生數(shù)學(xué)科目得分充滿了變數(shù)，有的學(xué)生平時(shí)數(shù)學(xué)成績很好，但是在高考中沒有發(fā)揮出應(yīng)有的水平，于是就沒有拿到理想的分?jǐn)?shù)，有一些在平時(shí)考試中，數(shù)學(xué)成績一般的學(xué)生，在高考中發(fā)揮得很好，就提升自己的競爭力。那么怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)？怎樣才能最快的提升數(shù)學(xué)成績？一些成績優(yōu)秀的學(xué)生又怎樣能保持很好的考試狀態(tài)？這些都是我們應(yīng)該注意的內(nèi)容。因?yàn)榈谝惠啅?fù)習(xí)才開始不久，考生還有很多的時(shí)間可以利用，有很多的機(jī)會(huì)可以把握。

例如我們把北京考生2009年的成績統(tǒng)計(jì)拿過來分析一下，就發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績的高低，直接決定一個(gè)學(xué)生的高考走向，在數(shù)學(xué)科目上，競爭很大，比如說2009年高考統(tǒng)計(jì)中，北京理科學(xué)生數(shù)學(xué)成績，高考分?jǐn)?shù)為150分的學(xué)生有9個(gè)人，那么數(shù)學(xué)成績在140分以上的就一下子變成900人了，而在北京高考中，總分排名在前750的學(xué)生才有可能上北清，所以說一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績要是在140分以下的話，要想達(dá)到北清線，就必須在其他的科目上拉分彌補(bǔ)數(shù)學(xué)科目的劣勢，不管其他科目成績怎樣，這個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績會(huì)讓自己處于被動(dòng)局面。那么數(shù)學(xué)成績要是在120以下的話，你的競爭力就減弱得更多了，因?yàn)橛锌赡苁?000名之后了。我對班上學(xué)生一直在講這方面的內(nèi)容，也給他們提出了要求，接下來就是完善這個(gè)過程了。我專門寫一篇文章給大家講講如何復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)，希望能給學(xué)生們帶來幫助。

一些學(xué)生沒有養(yǎng)成好的答題習(xí)慣，導(dǎo)致丟掉很多不該丟的分。

每次分析試卷，都有學(xué)生抱怨自己疏忽而丟掉一些不該丟掉的分?jǐn)?shù)，就那北京學(xué)生來說，由于自己疏忽造成的丟分，平均每個(gè)學(xué)生丟了30分。所謂說，考試的分?jǐn)?shù)就是你平時(shí)學(xué)習(xí)的體現(xiàn)，平時(shí)沒有養(yǎng)成好的答題習(xí)慣，丟三落四，考試的時(shí)候想急于求成，步驟不合理，看問題不全面，等等，這些可能直接導(dǎo)致你數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)上不去。一些學(xué)生交卷之后都覺得自己分?jǐn)?shù)一定不很不錯(cuò)，可是發(fā)下試卷就傻眼。

心理原因?qū)е聰?shù)學(xué)成績差。

有一部分學(xué)生平時(shí)數(shù)學(xué)成績一直不好，有時(shí)候?qū)?shù)學(xué)充滿恐懼感，覺得自己沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的天賦，導(dǎo)致自己對數(shù)學(xué)學(xué)科的排斥，越是這樣，數(shù)學(xué)成績越是上不去，甚至一些人的理由是：女生就是沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的天賦、、、、、、我覺得這些都是由心理因素導(dǎo)致的。數(shù)學(xué)沒有想象的那么難，但是最起碼你得有信心，同時(shí)靜心、潛心的去探索，根據(jù)自己的實(shí)際情況，循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)，肯定會(huì)有起色的。我發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績一直不好的學(xué)生，首先沒有堅(jiān)持、靜心的去學(xué)習(xí)。

第四篇：名師談高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)

名師談高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)（15問）

【高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)一般分為三輪：】熟悉三輪復(fù)習(xí)的內(nèi)容和目標(biāo)

第一輪重點(diǎn)是“三基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法）復(fù)習(xí)，目標(biāo)是全面、扎實(shí)、系統(tǒng)、靈活。學(xué)生極易忽視復(fù)習(xí)課本重要例習(xí)題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

第二輪復(fù)習(xí)一般是專題強(qiáng)化訓(xùn)練，目標(biāo)在于提高學(xué)生解答高考解答題的能力。此階段學(xué)生不應(yīng)沉迷于套卷演練，而應(yīng)在教師指導(dǎo)下，以典型例題為載體，以數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用為線索，講求解題策略，使自己在第一輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)素質(zhì)得以明顯提升。

第三輪一般進(jìn)行模擬、強(qiáng)化，目的在于調(diào)節(jié)學(xué)生智能、情感、意志等因素，使學(xué)生逐漸熟悉數(shù)學(xué)高考對學(xué)生的各項(xiàng)要求。此階段學(xué)生應(yīng)加強(qiáng)解題后反思，并舍得花一定的時(shí)間再次鉆研考試大綱、考試說明及歷屆高考試題，領(lǐng)會(huì)其命題風(fēng)格。

問題1：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第一輪怎么復(fù)習(xí)？

老師：第一輪重點(diǎn)是“三基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法）復(fù)習(xí)，目標(biāo)是全面、扎實(shí)、系統(tǒng)、靈活。學(xué)生要掌握好復(fù)習(xí)課本重要例習(xí)題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。在第一輪復(fù)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)的重心要放在“三基”，千萬不要脫離這個(gè)目標(biāo)；其次復(fù)習(xí)應(yīng)該跟著老師或者略超前于老師的進(jìn)度。最后在復(fù)習(xí)中一定要提高效率即掌握好80%以上的知識(shí)點(diǎn)。

問題2：我的基礎(chǔ)知識(shí)還可以，上課老師講得也都能聽懂，但是一到自己做題的時(shí)候就做不出來了，請老師幫忙分析一下原因。

老師：在中檔學(xué)生這個(gè)層面上，恐怕十個(gè)人得有九個(gè)人提出這個(gè)問題，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大困難之處，聽老師講，聽得特別懂，自己一做就做不出來了，究其原因是什么呢？大家應(yīng)該知道，原因在這里:數(shù)學(xué)是靠著邏輯演繹向前推進(jìn)和發(fā)展的。當(dāng)一個(gè)老師把你抱到了邏輯的起點(diǎn)上，告訴你這個(gè)邏輯關(guān)系是怎樣的，比如說餓了就應(yīng)該找飯吃，下雨了就應(yīng)該找傘來打，告訴你了這個(gè)邏輯規(guī)則，你自己肯定會(huì)按照邏輯的順序往前跑，這就叫為什么上課聽得懂，聽得頭頭是道。為什么課下自己不會(huì)做了呢？是因?yàn)檎n下你找不到邏輯的起點(diǎn)，有兩種學(xué)習(xí)的模式，一種是靠效仿，老師給我變一個(gè)數(shù)，出兩道類似的練習(xí)題，照老師的模子描下來，結(jié)果做對了，好象我學(xué)會(huì)了，這就是效仿的方式來學(xué)數(shù)學(xué)，這種方式在小學(xué)是主要手段，在初中，這種手段還占著百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分?jǐn)?shù)也就是五六十分;其他的分?jǐn)?shù)都要靠你的理解。即另一種是靠理解，所謂理解就是聽了老師的一段講解，看了老師的一個(gè)解題過程，你要把他提煉、升華成理性認(rèn)識(shí)，在你的頭腦中，應(yīng)該存下老師講解的這一段知識(shí)和解答的這一道題，他所體現(xiàn)出來的規(guī)律性的東西。當(dāng)你遇到新問題、新試題的時(shí)候，你應(yīng)該拿著這個(gè)規(guī)律去面對它，這樣的話，你就可以把老師講解的東西很自然地、流暢地用在你的解題里，這就是所謂通過理解，通過頓悟來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。那么高中數(shù)學(xué)百分之六七十的成分是要靠著這種方式進(jìn)行學(xué)習(xí)的。

問題3：我數(shù)學(xué)成績波動(dòng)很大，在復(fù)習(xí)上有沒有什么需要注意的？

老師：數(shù)學(xué)成績波動(dòng)大，說明能力還是有，要不怎么能有好的時(shí)候呢？第一是心理狀態(tài)不是特別好，心情好的時(shí)候，或者情緒比較高漲的時(shí)候，就能發(fā)揮得比較好，情緒比較低落的時(shí)候就發(fā)揮不出來，我覺得調(diào)整的方法，就是在心理方面對自己有一種暗示，心理問題就得靠暗示來解決，提高自己的信心，經(jīng)常保持愉快和比較興奮，心態(tài)比較好的情況，可能成績能夠更穩(wěn)定一點(diǎn)。問題4：做數(shù)學(xué)題時(shí)，尤其是考試的時(shí)候，遇到無從下手的題目怎么辦？

老師：如果你開始遇到無從下手的題那就繞過，一般來說，拿到一個(gè)題，如果一點(diǎn)思路都沒有的話，應(yīng)該先避一避，把一些比較順手的題做好了以后，一方面會(huì)提高信心，再一方面，開始考的時(shí)候一般心情都比較緊張，考試中慢慢情緒會(huì)穩(wěn)定的。等情緒穩(wěn)定下來，或者把會(huì)做的做完后在回過頭解決，可能會(huì)比較有效。

問題5：考試總是無法發(fā)揮出我的水平，這怎么辦？

老師說:很多同學(xué)水平不錯(cuò)，但考試結(jié)果不太理想。根據(jù)我的經(jīng)驗(yàn)，有這么幾方面的原因。一是有的同學(xué)水平比較高，但更會(huì)解決難題，對選擇、填空題不夠重視。結(jié)果大題做對了，選擇、填空做錯(cuò)了，這是發(fā)揮不理想的情況。第二是對中檔題，中檔題應(yīng)該說不難，但拿不住分。這里有一個(gè)如何對待中檔題的問題，我考慮有以下幾點(diǎn)。因?yàn)橹袡n題咱們給的標(biāo)準(zhǔn)答案和我們卻閱卷，一般是分步給分，所以要嚴(yán)格解題步驟，不要跳步。如：立體幾何的作圖過程，你所計(jì)算的角和距離是哪個(gè)角哪個(gè)距離，必須得指出。過去學(xué)生們的情況是最后這個(gè)題的結(jié)果是做對了，但得不到分。原因是中間跳步，寫得比較粗糙。還有就是我們在做角和距離時(shí)，做的過程和論證也占著相當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)。解析幾何建立直角坐標(biāo)系處理問題的方法、過程也要寫細(xì)。應(yīng)用題，未知數(shù)的設(shè)計(jì)、等量關(guān)系的表述都不能忽略。中檔題必須抓住平時(shí)容易忽視的得分點(diǎn)，也能夠提高自己的水平。

問題6：我對題目長的題有恐懼感，請問老師怎么樣避免？

老師：如果我要去命題，恐怕這就是區(qū)分度的一個(gè)出題的技巧和技術(shù)，不是有些人怕難題嘛，在這些考生里面我要把一些人刷掉，怎么去區(qū)分你們呢？誰上誰下呢？我就有意識(shí)地出一份字?jǐn)?shù)比較多，信息量比較大的，文字比較長的題，誰害怕就刷掉，誰過了這一關(guān)就上來了，這也是一種出題的技巧，這也是現(xiàn)代信息技術(shù)時(shí)代對我們的要求，目前信息量這么大，不可能用三言兩語就把一件事說得特別清楚，字多一點(diǎn)，符號(hào)多一點(diǎn)，甚至英文都上來了都是有可能的。遇到這樣的問題怎么辦呢？唯一的策略就是化整為零，這個(gè)信息不管多長，文字量不管多大，這一大段話總是一句一句說下來的，你先看懂第一句，再看第二句，每一句一定都很短，所以應(yīng)對它的辦法就是化整為零，一句一句地去看它，不要從第一個(gè)字看到最后一個(gè)字，不懂心里就發(fā)慌，這樣的東西，我建議大家可以這樣做，第一遍叫粗讀，就是由第一個(gè)字讀到最后一個(gè)字，讀完之后，你能說出一個(gè)故事的梗概就夠了。比如說這個(gè)題里有三個(gè)量，比如說有耕地，有人均占有耕地的面積，還有單位的產(chǎn)量，還有什么等等，把這個(gè)量說清楚，這道題就說這幾個(gè)量的關(guān)系就夠了。接下來細(xì)讀，你一句話一句話地讀，讀了第一句話想想什么意思，想明白了再讀第二句，想不明白，找?guī)讉€(gè)關(guān)鍵詞體會(huì)什么意思，這樣一句一句讀下去，很長的一段，慢慢地就會(huì)讀懂。所以建議大家第一不要害怕，這是正?，F(xiàn)象，第二化整為零，掌握科學(xué)的工作方法，總是可以應(yīng)對的。

問題7：都說數(shù)學(xué)要講究臨場發(fā)揮，請問是不是有哪些地方需要注意？比如說應(yīng)該做哪些題？先做高分的題還是低分的題？

老師：談一談考試技巧，其實(shí)這也是必要的，大家在高三復(fù)習(xí)這一年的過程當(dāng)中，經(jīng)過了許許多多場考試，其實(shí)這些考試除了考你的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力之外，應(yīng)該還有一個(gè)任務(wù)，就是考察你的考試技巧。但是這一點(diǎn)往往被同學(xué)們所忽略。這一點(diǎn)應(yīng)該引起大家的重視，比如說，如果你是一個(gè)高分段的學(xué)生，你的目標(biāo)高一點(diǎn)，是想考清華北大這些一些最名牌的大學(xué)的話，那你數(shù)學(xué)的期望值應(yīng)該是在一百三十分以上，甚至一百四十分左右才合適，對于這樣的同學(xué)，那么你就是按照題目的順序一道一道把它盡快地、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卮鹜?，這沒有什么可考慮的，因?yàn)槲业钠谕岛退蕉伎梢詰?yīng)付這樣的辦法。

但是反過來，如果我的能力和數(shù)學(xué)成績考到一百分就很不錯(cuò)了，我的水平已經(jīng)發(fā)揮了，這樣的同學(xué)答題確實(shí)需要一些技巧，這個(gè)技巧的主要原則就是第一，一定要把自己會(huì)的，有把握的先答上，而且在個(gè)別的答題過程中，心理有點(diǎn)忐忑不安的話，做完之后還要做檢查工作，也就是說把會(huì)做的先做好，不管這個(gè)題的順序，不管這一問在什么地方，哪怕是倒數(shù)第二題的第一問，也要把它拿下來，所以做題的次序不一定按照題號(hào)的次序，而是會(huì)的就拿下，按照這樣的原則去組織。

那么這一層做完了，還有時(shí)間，就攻堡壘了，攻自己不會(huì)的題了。不會(huì)的題，你要注意，也是分為兩個(gè)集團(tuán)，一個(gè)集團(tuán)是咱們靜下心來，心態(tài)平和沒準(zhǔn)就會(huì)做了，只要不緊張。那么有一些，恐怕再給你兩個(gè)小時(shí)，甚至再給你一天你也未見得做得出來，對這些難題，我們就要分分類，自己從直覺和感覺出發(fā)，如果覺得自己心情冷靜，這個(gè)題還能拿下，那就去拿它，所以層次在希望能夠達(dá)到一百分就滿足了的同學(xué)，你確實(shí)更應(yīng)該注意答題技巧，原則是把會(huì)的先做下來，不一定按照題號(hào)的順序。另外，有的同學(xué)答題的時(shí)候心情比較緊張，往往影響你的發(fā)揮，我忠告大家，不要跟別人比，主要的是跟你自己比，如果我在學(xué)校歷次模擬考試，最多就考過九十五分，那么這次高考你能考九十六分，就可以喝慶功酒，就可以慶祝一番了，因此就可以把心情放下來，自己跟自己比，心情越冷靜，越踏實(shí)，越容易發(fā)揮，越容易取得好成績。特別是數(shù)學(xué)，心情如果不夠坦然，不夠平靜，往往會(huì)出現(xiàn)計(jì)算性錯(cuò)誤，本來這道題會(huì)，三乘二，你得個(gè)五，變成加法做了，一下子分都沒了，特別是選擇題里，一道題要不然是五分，要不然是零分，如果因?yàn)槲覀兊男那椴粔蛱?shí)，不夠冷靜，一下子做錯(cuò)了，本來應(yīng)該得五分，變成零分了，這是非常遺憾的，大家知道，高考如果差五分，那就是五六千人、六七千人的事，希望大家還是把心情踏實(shí)下來，這樣最好。問題8：如果我做前面的小題遇到困難，很不順，那我在考場上應(yīng)該怎樣進(jìn)行調(diào)整呢？

老師：大家現(xiàn)在要注意，目前的高考試題不是按照由易到難的次序排列的，它是多題把關(guān)，處處有關(guān)口，比如說做第一題白給分，一下子就出來了，做到第五題卡住了，這很有可能。人們都認(rèn)為20題是最難的一道題，有的同學(xué)認(rèn)為我看都不看，我這水平做不了，其實(shí)20題的第一問是往往是白給分的，是每個(gè)人都會(huì)的，為什么要放棄呢？所以大家要注意，目前的高考試卷是多題把關(guān)，就像地雷陣似的，處處有地雷，但是處處有坦蕩的路，所以我們要有相應(yīng)的辦法來對付。

什么辦法呢？第一，心態(tài)上要注意，只要你的高考數(shù)學(xué)我期望值不是一百四十五分，那么你遇到一個(gè)題不會(huì)，這非常正常，如果你數(shù)學(xué)的期望值是在一百分的話，那么你遇到40%個(gè)難題，那都是非常正常的事情。所以從心態(tài)上大家不要害怕，遇到難題是正常的，因?yàn)槲铱疾涣艘话傥迨致铩?/p>

第二，遇到難題怎么辦？位置能力在中等位置的同學(xué)們，建議你們這樣做。遇到這個(gè)困難，你稍微愣一下神，靜下心來再想一想，如果暫時(shí)還想不出來，跳過去做下一道，沒準(zhǔn)下一道很漂亮地做出來了，當(dāng)你遇到下一個(gè)難點(diǎn)的時(shí)候，看看位置，如果位置仍然還靠前的話，你還可以繼續(xù)往下做。當(dāng)你困難發(fā)生到三分之二的試卷上了，你回過頭來看看第一個(gè)難題，由于你離開那個(gè)境界遠(yuǎn)了，心情也平靜了，你去看它，沒準(zhǔn)突發(fā)一個(gè)靈感，困難就解決了。所以概括起來這么幾條，第一是心情平和，不要害怕，這是正?，F(xiàn)象，你哪能道道都會(huì)??？第二，遇到困難，一時(shí)解決不了暫時(shí)跳下去。繼續(xù)往下走，下面還有很多你會(huì)的，這就夠了。

問題9：在做解答題的時(shí)候，如果做不出第一小問，我是不是可以直接跳到第二小問？并且把第一小問要求求證的命題直接作為第二小問的條件呢？

老師：若這幾問是獨(dú)立評分，這是可以的，第一問對了給你分，第一問沒做了，第二問的時(shí)候第一問的結(jié)論也用了，照樣給你分，而且這是正常的、科學(xué)的答題方法，不要因?yàn)榈谝粏柌粫?huì)，第二問就放棄，那就不應(yīng)該了

問題10：我的數(shù)學(xué)比較差，我希望高考數(shù)學(xué)能拿到一百分，應(yīng)該從哪方面入手？

老師：問題提出學(xué)習(xí)不是太好，不知道您哪方面學(xué)得不是太好，想拿到一百分，不知道你原來的成績怎么樣，如果原來是三、四十分的成績，高考要達(dá)到100多分就有點(diǎn)困難了，如果平時(shí)是七、八十分，這次要達(dá)到一百分，還是有努力的空間，我想從幾方面來說。第一，依綱（考綱）靠本（課本）。第二，把練習(xí)、試卷歸一下類，看是選擇題不行還是填空題不行，還是大題不行。一般來說，提高的空間都在選擇填空題上，還可能在中檔題中，最后兩個(gè)題提高的空間不大。所以我談一下選擇題的問題。選擇題與數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、公式密切相關(guān)，因此要想做對題，必須正確理解概念，數(shù)據(jù)處理準(zhǔn)確，另外選擇題的選項(xiàng)就是針對考生數(shù)學(xué)概念理解上的錯(cuò)誤和思維上出現(xiàn)的誤區(qū)而設(shè)置的。因此我們做選擇題時(shí)不能似是而非，現(xiàn)在就當(dāng)前考生狀況用直接法和排除法選擇還是不錯(cuò)的。但有些題可以用更靈活的方法，而用直解法用時(shí)間多，值得注意。往年經(jīng)驗(yàn)，每年十個(gè)選擇題中，總有

一、兩個(gè)難一點(diǎn)的題和比較新穎的題。對于這樣的題，考生不要驚慌，我認(rèn)為有以下對策可以提高我們選擇題的能力。第一看見題型比較新，要聯(lián)想舊題，即新題想舊題。第二凡是推理比較困難，計(jì)算量比較大的題，處在選擇題中必有巧妙的方法。經(jīng)常用特殊值法和代入檢驗(yàn)法。

問題11：做選擇題的時(shí)候一般只錯(cuò)一到兩題，但是剩下的時(shí)間就非常少了，只能做兩到三道大題了，這種情況下，怎樣能既提高速度，又能保證正確率呢？

老師：高考對選擇題的要求確實(shí)是兩個(gè)字，快、準(zhǔn)，光準(zhǔn)不快，比如說選擇題10道題你用了一個(gè)小時(shí)做完，后面還有那么多題呢，你怎么做得完呢？有的說光把答案抄一遍就得抄六七分鐘，確實(shí)是這樣，這樣就要注意了，做選擇題怎樣做得快呢？就是說你要把選擇體當(dāng)做選擇題來做，而不要當(dāng)做解答題來做。此話怎講？你做選擇題的時(shí)候，不要光看題干，不看選項(xiàng)，一門心思解這道題，當(dāng)然花的時(shí)間長了。選擇題當(dāng)選擇題做什么意思呢？要把四個(gè)選項(xiàng)和題桿連接成一個(gè)整體，從邏輯上分析這個(gè)題可能出現(xiàn)的漏洞在什么地方。從邏輯上首先分析它的破綻，如果一眼能認(rèn)出破綻，這個(gè)解一下子就解了。

問題12：如何提高數(shù)學(xué)考試中的心理素質(zhì)？有時(shí)候感覺自己考場上的心理素質(zhì)還不過硬，是因?yàn)檫@個(gè)不過硬丟了很多不該丟的分。

老師：考試，什么叫考好了？不知道大家對我這個(gè)問題怎么回答？是不是好分就好了？那我問你什么叫好分呢？一百四十算不算好分？那當(dāng)然算，你沒有考到一百四十就說你沒考好，還要打你屁股一下，那你愿意嗎？其實(shí)什么叫考好，關(guān)鍵是自己跟自己比，如果自己的水平在一次考試中能夠盡情地發(fā)揮出來了，發(fā)揮得自己那么痛快，那就叫考好了，很可能一看分?jǐn)?shù)，剛九十五分，可能我就是這個(gè)等級(jí)，就是這個(gè)水平?；谶@一點(diǎn)，所以大家參加考試，一定要有一個(gè)平和的心態(tài)，自己跟自己比，以充分發(fā)揮自己的水平為宗旨，而不去追求那個(gè)分，也不要去考慮自己報(bào)的那個(gè)志愿，因?yàn)槲覀兪窍葓?bào)志愿的，北京地區(qū)有這個(gè)負(fù)擔(dān)，我報(bào)的是清華，我得考一百三十五啊，壞了，這個(gè)題我不會(huì)，老是這種心態(tài)就考不好了。所以考試的時(shí)候，建議大家，第一要有一個(gè)正確的好壞觀，把自己跟自己比，第二點(diǎn)，考試的時(shí)候，一定要入境，使得自己腦子里完全是數(shù)學(xué)的東西，其他的私心雜念什么都沒有了，真正做到充耳不聞，視而不見。其實(shí)這個(gè)境界在高三這一年的模擬訓(xùn)練中就應(yīng)該練這一招。今天做模擬考試，你的教室窗子臨街，汽車過來過去，很吵，當(dāng)你做完這個(gè)題的時(shí)候，你一點(diǎn)也沒有聽見。特別是現(xiàn)在天特別熱，怎么我答題的時(shí)候也不覺得熱了呢？一考完了一身臭汗，這就對了。如果你考試的時(shí)候窗外一個(gè)響聲你就一激靈，別人一翻卷子你就一激靈，老是冒汗，這就有問題了，要讓你的父母幫助你練這個(gè)工夫，特別是心理素質(zhì)比較內(nèi)向，膽小的同學(xué)，平時(shí)在家還可以，不會(huì)做題，還可以跟媽媽耍耍賴，到考場上，一道題不會(huì)，一看臉色都不一樣了，這樣的同學(xué)其實(shí)往往是挺聰明的，其實(shí)數(shù)學(xué)也學(xué)得不算不好的孩子，但是考試的時(shí)候，比他自己的水平總要掉下來十幾分，原因就是心理沒有調(diào)整好，這是一個(gè)大問題，凡是有這個(gè)問題的同學(xué)，建議你除了我說的那些數(shù)學(xué)的準(zhǔn)備工作之外，是不是做做心理調(diào)試工作，必要的時(shí)候請老師、同學(xué)給你出點(diǎn)辦法怎么調(diào)節(jié)一下。

問題13：我自己認(rèn)為考試成績和平時(shí)的成績很不吻合，有特別強(qiáng)烈的失敗感，有時(shí)候都失去信心了。這和心態(tài)不好有非常大的關(guān)系，但是現(xiàn)在又不知道怎么做。

老師：收獲季節(jié)還要自己收獲，別人收獲那是別人的，還不是你自己的。我覺得，首先應(yīng)該樹立信心，一定要堅(jiān)信數(shù)學(xué)這個(gè)東西是硬碰硬的工夫，如果這道題我真會(huì)，在考場上還真拿分，這跟寫作文不一樣，你說我平常記敘文寫得特別好，可是人家給你出的題目你就沒有靈感，沒有想法，就沒有辦法，數(shù)學(xué)就不是這樣，這個(gè)題你本來會(huì)，你就一定會(huì)，如果不會(huì)，一定是心理上有干擾，你老是想我考不好怎么辦，或者說我老是這樣，一考試就不如平常，這次再不如平常就壞了，老是想著這個(gè)，所以主要還是心理問題，恐怕心理比較內(nèi)向，感情比較脆弱，進(jìn)到了一個(gè)惡性循環(huán)的圈子里，越有這種現(xiàn)象，越怕發(fā)揮不出來，越怕發(fā)揮不出來，越?jīng)]發(fā)揮出來，長此以往，進(jìn)入一個(gè)惡性循環(huán)圈。所以第一條，要樹立信心，你一定要堅(jiān)信，我會(huì)的，到考場上一定也會(huì)，1加2到哪兒我也知道是3了，一定要樹立信心。第二，要解決好一個(gè)狀態(tài)，就是考試的時(shí)候，你要把一切負(fù)擔(dān)、私心雜念都放下，一門心思念數(shù)學(xué)，一門心思進(jìn)入到數(shù)學(xué)領(lǐng)域，就是我剛才說的入境，這兩個(gè)工作如果解決了，恐怕考試的時(shí)候就容易解決這個(gè)問題了。再有，對這個(gè)問題還應(yīng)該這樣，積累了一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，有了一點(diǎn)進(jìn)步，趕緊就應(yīng)該肯定抓住閃光的地方，盡量擺脫惡性循環(huán)圈。舉個(gè)例子，比如說平常，我的考試沒掉過一百分，可是我一到模擬考試，最多只能考到92分，可是這次考試我考到了93分，那就是進(jìn)步啊，就趕緊高興，就想自己這次成功的經(jīng)驗(yàn)是什么，別跟那100分比，要跟100分比還是不行，還是不如平常，那你這點(diǎn)滴的進(jìn)步就被你抹煞了，所以你應(yīng)該跟過去比，你過去還考不到93呢，想想這次你怎么那么放松了，在哪一點(diǎn)放松了，還有哪兒緊張，不斷地抓住自己閃光的地方.問題14：數(shù)學(xué)考試時(shí)應(yīng)該怎樣分配時(shí)間？

老師：數(shù)學(xué)考試時(shí)應(yīng)該怎樣分配時(shí)間，應(yīng)該說是隨著高三復(fù)習(xí)過程中個(gè)人能力的不同而不斷調(diào)整的。我覺得一般而言，到了高考要根據(jù)自己不同的情況，學(xué)習(xí)成績比較好的同學(xué)，選擇題也就占到四十分鐘，要更好的同學(xué)，可能更短一點(diǎn)。對于平時(shí)成績不是太好的，那么選擇題恐怕要占到五十分鐘甚至更多。做后面的解答題，平時(shí)成績不是特別理想的，就集中力量做中間的四道解答題。后兩道大題，也就是第一問，頭兩問，看一看，當(dāng)然不要失掉機(jī)會(huì)，有時(shí)候最后的一道大題的第一問也是可以做的。對于好學(xué)生來講，爭取中間的四道題，也就是中檔難度的題快一點(diǎn)拿下，因?yàn)橐岣卟罹嗟脑?，想使自己成績比別人更好一點(diǎn)，區(qū)別還是在后兩道題上。問題15：現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)題講究的是通性通法，是不是應(yīng)該加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，再突破一些難題？ 老師：目前的高考確實(shí)是通性通法，但是中等題和難題體現(xiàn)的不完全一樣，比如說中等題，在體現(xiàn)通性通法方面就比較暴露，比較直接。在綜合性題目里面，這個(gè)通性通法的使用就比較靈活，必須剝掉幾層之后才能看到。鑒于這種情況，針對不同層次的同學(xué)們，你們對通性通法可以做這樣不同層次的追求，比如高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)期望值在一百到一百一十幾分之間的這樣一個(gè)檔次的，你就要特別注重通性通法在同等題里面的應(yīng)用，要保證在中等題里面運(yùn)用通性通法做到萬無一失。如果做得再好一點(diǎn)，你這個(gè)分?jǐn)?shù)的期望值完全可以做到的。在難題里運(yùn)用通性通法，這個(gè)外殼剝不開，個(gè)別看不透問題不太大。如果你期望值是一百二十分以上，甚至達(dá)到一百四十幾分，相信你在選擇填空和中等題方面是有基礎(chǔ)和把握的，你們攻克的要點(diǎn)就是通性通法在綜合題中間怎么使用，怎么穿破這個(gè)迷魂陣，能夠剝出里面的內(nèi)涵，把通性通法用上，這是大家要攻克的，當(dāng)然這個(gè)堡壘比前一個(gè)要困難一些。

第五篇：高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：不等式的證明

不等式的證明

（一）●知識(shí)梳理

1.均值定理：a+b≥2ab； ab≤（a?b2）2（a、b∈R+），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).2.比較法：a－b＞0?a＞b，a－b＜0?a＜b.3.作商法：a＞0，b＞0，ab＞1?a＞b.特別提示

1.比較法證明不等式是不等式證明的最基本的方法.作差后需要判斷差的符號(hào)，作差變形的方向常常是因式分解后，把差寫成積的形式或配成完全平方式.2.比商法要注意使用條件，若●點(diǎn)擊雙基

1.若a、b是正數(shù)，則

a?b2ab＞1不能推出a＞b.這里要注意a、b兩數(shù)的符號(hào).、ab、2aba?b、a2?b22這四個(gè)數(shù)的大小順序是

A.ab≤a?b22≤2aba?b≤

a2?b22

B.a2?b2≤ab≤

a?b2≤

2aba?b2

C.2aba?b≤ab≤a?b22≤

a2?b2

D.ab≤a?b2≤

a?b22≤

2aba?b

解析：可設(shè)a=1，b=2，則a?b2=43232，ab=2，2aba?ba2=，1?4252?b2===2.5.答案：C

2.設(shè)0＜x＜1，則a=2x，b=1+x，c=A.a

解析：∵0＜x＜1，B.b

11?x中最大的一個(gè)是 C.c

D.不能確定

∴1+x＞2x=4x＞2x.∴只需比較1+x與∵1+x－∴1+x＜11?x11?x11?x2的大小.=－

x2=.1?x?11?x1?x＜0，答案：C 3.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常數(shù)，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

必要條件 解析：當(dāng)a＞0，b2－4ac＜0時(shí)，ax2+bx+c＞0.反之，ax+bx+c＞0對x∈R成立不能推出a＞0，b－4ac＜0.反例：a=b=0，c=2.故選A.答案：A 4.（理）已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），給出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是____________.（把成立的不等式的序號(hào)都填上）解析：∵|a+b|＜－c，∴c＜a+b＜－c.∴－b+c＜a＜－b－c.故①②成立，③不成立.∵|a+b|＜－c，|a+b|≥|a|－|b|，∴|a|－|b|＜－c.∴|a|＜|b|－c.故④成立，⑤不成立.答案：①②④

（文）若a、b∈R，有下列不等式：①a+3＞2a；②a+b≥2（a－b－1）；③a+b＞a3b2+a2b3；④a+1a

222

552

2≥2.其中一定成立的是__________.解析：①a2+3－2a=（a－1）2+2＞0，∴a2+3＞2a；

②a2+b2－2a+2b+2=（a－1）2+（b+1）2≥0，∴a2+b2≥2（a－b－1）；

③a+b－ab－ab=a（a－b）+b（b－a）=（a2－b2）（a3－b3）=（a+b）（a－b）2（a2+ab+b2）.∵（a－b）≥0，a+ab+b≥0，但a+b符號(hào)不確定，∴a5+b5＞a3b2+a2b3不正確； ④a∈R時(shí)，a+答案：①② 1a22

255322

332

2≥2不正確.5.船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的平均速度v1和在靜水中的速度v2的大小關(guān)系為____________.解析：設(shè)甲地至乙地的距離為s，船在靜水中的速度為v2，水流速度為v（v2＞v＞0），則船在流水中在甲乙間來回行駛一次的時(shí)間

t=sv2?v+sv2?v=v2v22v2s2?v22，平均速度v1=22st2=

?vv2.∵v1－v2=∴v1＜v2.v2?vv22－v2=－

v2v2＜0，答案：v1＜v2 ●典例剖析

【例1】 設(shè)a＞0，b＞0，求證：（a21b）2（b?111a）2≥a2+b2.剖析：不等式兩端都是多項(xiàng)式的形式，故可用比差法證明或比商法證明.證法一：左邊－右邊＝

（a）?（b）ab（a?b）（a?ab?b）?ab（a?b）（a?2ab?b）（a?ab（a?b）33－（a＋b）

＝

＝＝

b）（aba?b）2≥0.ab∴原不等式成立.證法二：左邊＞0，右邊＞0，左邊右邊＝（a?b）（a?ab（a?ab?b）b）＝

a?ab?bab≥

2ab?abab＝1.∴原不等式成立.評述：用比較法證不等式，一般要經(jīng)歷作差（或商）、變形、判斷三個(gè)步驟.變形的主要手段是通分、因式分解或配方.在變形過程中，也可利用基本不等式放縮，如證法二.下面的例3則是公式法與配方法的綜合應(yīng)用.【例2】 已知a、b、x、y∈R且求證：xx?a+

1a＞

1b，x＞y.＞yy?b.剖析：觀察待證不等式的特征，用比較法或分析法較適合.證法一：（作差比較法）

∵又xx?a1a－1byy?b（x?a）（y?b）=

bx?ay，＞且a、b∈R+，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.∴bx?ay（x?a）（y?b）＞0，即

xx?a＞

yy?b.證法二：（分析法）∵x、y、a、b∈R，∴要證+

xx?a＞

yy?b，只需證明x（y+b）＞y（x+a），即證xb＞ya.而由1a＞1b＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，知xb＞ya顯然成立.故原不等式成立.思考討論

該例若用函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)如何構(gòu)造函數(shù)? 解法一：令f（x）=再令g（x）=∵1axx?a，易證f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，從而

xx?a＞

yy?b.mm?x，易證g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.+＞1b，a、b∈R.∴a＜b.mm?a∴g（a）＞g（b），即＞

mm?b，命題得證.xy解法二：原不等式即為

axa?1＞

byb?1，為此構(gòu)造函數(shù)f（x）=

xx?1，x∈（0，+∞）.xa易證f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，而xy＞

yb，∴axa?1＞byb?1，即

xx?a＞

yy?b.【例3】 某食品廠定期購買面粉.已知該廠每天需用面粉6 t，每噸面粉的價(jià)格為1800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.（1）求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少?（2）若提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次購買面粉不少于210 t時(shí)，其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠（即原價(jià)的90%），問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件?請說明理由.解：（1）設(shè)該廠應(yīng)每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x t，由題意知，面粉的保管等其他費(fèi)用為3［6x+6（x－1）+?+6×2+6×1］=9x（x+1）.設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y1元，則y1=900x1x［9x（x+1）+900］+6×1800 =+9x+10809≥

2900x?9x+10809 =10989.當(dāng)且僅當(dāng)9x=900x，即x=10時(shí)取等號(hào)，即該廠應(yīng)每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少.（2）若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少每隔35天，購買一次面粉，平均每天支付的總費(fèi)用為y2元，則

y2==1x［9x（x+1）+900］+6×1800×0.90 +9x+9729（x≥35）.100x900x令f（x）=x+（x≥35），x2＞x1≥35，則 f（x1）－f（x2）=（x1+=

100x1）－（x2+

100x2）

（x2?x1）（100?x1x2）x1x2

∵x2＞x1≥35，∴x2－x1＞0，x1x2＞0，100－x1x2＜0.∴f（x1）－f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），即f（x）=x+100x，當(dāng)x≥35時(shí)為增函數(shù).∴當(dāng)x=35時(shí)，f（x）有最小值，此時(shí)y2＜10989.∴該廠應(yīng)該接受此優(yōu)惠條件.●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ)

1.設(shè)x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，則 A.x+y≤22+2

B.x+y≥22+2 D.x+y≥（2+1）

2C.x+y≤（2+1）解析：∵x＞0，y＞0，∴xy≤（由xy－（x+y）=1得（∴x+y≥2+22.答案：B

x?y2x?y2）.2）2－（x+y）≥1.2.已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，則M與N的大小關(guān)系是 A.M≥N

B.M≤N

C.M=N

D.不能確定

解析：M－N=x+y+1－（x+y+xy）==121222［（x2+y2－2xy）+（x2－2x+1）+（y2－2y+1）］ ［（x－y）2+（x－1）2+（y－1）2］≥0.答案：A 3.設(shè)a＞0，b＞0，a+解析：a+

22b22b2=1，則a1?b2的最大值是____________.?12b2b22=1?a+

=

32.a2∴a1?b2=2·a·答案：324?12?b22?12332=2·2=.≤2·

a?b24.若記號(hào)“※”表示求兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算，即a※b=，則兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“※”和“+”，且對于任意3個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c都能成立的一個(gè)等式可以是____________.解析：∵a※b=a?b2b?a2，b※a=，∴a※b+c=b※a+c.答案：a※b+c=b※a+c.思考：對于運(yùn)算“※”分配律成立嗎? 即a※（b+c）=a※b+a※c.答案：不成立

5.當(dāng)m＞n時(shí)，求證：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．

證明：∵（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＝m3－3m2n＋3mn2－n3＝（m－n）3，3又m＞n，∴m－n＞0.∴（m－n）＞0，即（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＞0.故m－mn－3mn＞2mn－6mn＋n．

6.已知a＞1，λ＞0，求證：loga（a+λ）＞loga+λ（a+2λ）.證明：loga（a+λ）－log（a+λ）（a+2λ）=lg（a??）lga2322223－lg（a?2?）lg（a??）

=lg（a??）?lga?lg（a?2?）lga?lg（a??）

∵a＞1，λ＞0，∴l(xiāng)ga＞0，lg（a+2λ）＞0，且lga≠lg（a+2λ）.∴l(xiāng)ga·lg（a+2λ）＜［（=［lg（a2lga?lg（a?2?）2lg（a??）22）］?2a?）2］＜［

2］=lg（a+λ）.∴l(xiāng)g（a??）?lga?lg（a?2?）lgalg（a??）2＞0.∴l(xiāng)oga（a+λ）＞log（a+λ）（a+2λ）.培養(yǎng)能力

7.已知x＞0，y＞0，若不等式x+y≤mx?y恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.分析：∵x+y≤mx?y恒成立，x?x?yx?x?yyy∴m≥恒成立.∴m的最小值就是的最大值.解：∵x+y≤mx?y恒成立，x?x?yy∴m≥恒成立.∵x＞0，y＞0，∴x?y≥（x?2x?x?2yyy）2=

x?2y.∴x?x?yy≤=2.∴m的最小值為2.評述：分離參數(shù)法是求參數(shù)的范圍問題常用的方法，化歸是解這類問題常用的手段.8.有點(diǎn)難度喲！

求證：在非Rt△ABC中，若a＞b，ha、hb分別表示a、b邊上的高，則必有a+ha＞b+hb.證明：設(shè)S表示△ABC的面積，則 S=12aha=12bhb=12absinC.∴ha=bsinC，hb=asinC.∴（a+ha）－（b+hb）=a+bsinC－b－asinC =（a－b）（1－sinC）.∵C≠π2，∴1－sinC＞0.∴（a－b）（1－sinC）＞0.∴a+ha＞b+hb.探究創(chuàng)新

9.設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的兩根x1、x2滿足1＜x1＜x2＜1a2.（1）當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，證明x＜f（x）＜x1；（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，求證x0＜證明：（1）令F（x）=f（x）－x，∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）.當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，由于x1＜x2，∴（x－x1）（x－x2）＞0.又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，即x＜f（x）.又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］，∵0＜x＜x1＜x2＜1ax12.，x1－x＞0，1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1.綜上，可知x＜f（x）＜x1.（2）由題意知x0=－

b2a.∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b－1）x+c=0的根，∴x1+x2=－∴x0=－b2ab?1a.=.ax1?ax2?12a=a（x1?x2）?12aax12ax12.又∵ax2＜1，∴x0＜=●思悟小結(jié)

1.比較法有兩種形式：一是作差，二是作商.用作差法證明不等式是證明不等式中最基本、最常用的方法.它的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì).2.步驟是：作差（商）→變形→判斷.變形的目的是為了判斷.若是作差，就判斷與0的大小關(guān)系，為了便于判斷，往往把形式變?yōu)榉e或完全平方式.若是作商，兩邊為正，就判斷與1的大小關(guān)系.3.有時(shí)要先對不等式作等價(jià)變形再進(jìn)行證明，有時(shí)幾種證明方法綜合使用.4.在應(yīng)用均值定理求最值時(shí)，要把握定理成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”.若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛

1.在證明不等式的各種方法中，作差比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)來證明不等式，其應(yīng)用非常廣泛，一定要熟練掌握.2.對于公式a+b≥2ab，ab≤（a?b2）2要講清它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個(gè)公式也體現(xiàn)了ab和a+b的轉(zhuǎn)化關(guān)系.拓展題例

【例1】設(shè)a、b∈R，關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0的實(shí)根為α、β.若｜a｜＋｜b｜＜1，求證：｜α｜＜1，｜β｜＜1.證法一：∵α＋β＝－a，αβ＝b，∴｜α＋β｜＋｜αβ｜＝｜a｜＋｜b｜＜1.∴｜α｜－｜β｜＋｜α｜｜β｜＜1，（｜α｜－1）（｜β｜＋1）＜0.∴｜α｜＜1.同理，｜β｜＜1.證法二：設(shè)f（x）=x＋ax＋b，則有

f（1）＝1＋a＋b＞1－（｜a｜＋｜b｜）＞1－1＝0，f（－1）＝1－a＋b＞1－（｜a｜＋｜b｜）＞0.∵0≤｜a｜＜1，∴－1＜a＜1.∴－122＜－a2＜12.∴方程f（x）＝0的兩實(shí)根在（－1，1）內(nèi)，即｜α｜＜1，｜β｜＜1.評述：證法一先利用韋達(dá)定理，再用絕對值不等式的性質(zhì)恰好能分解因式；證法二考慮根的分布，證兩根在（－1，1）內(nèi).【例2】 是否存在常數(shù)C，使得不等式數(shù)x、y恒成立?試證明你的結(jié)論.解：當(dāng)x=y時(shí)，可由不等式得出C=下面分兩個(gè)方面證明.先證≥2xy.再證xx?2yx2x?y23x2x?y+

yx?2y≤C≤

xx?2y+

y2x?y對任意正

.+yx?2y≤

23，此不等式?3x（x+2y）+3y（2x+y）≤2（2x+y）（x+2y）?x2+y2+y2x?y≥

23，22此不等式?3x（2x+y）+3y（x+2y）≥2（x+2y）（2x+y）?2xy≤x+y.綜上，可知存在常數(shù)C=

23，使對任何正數(shù)x、y不等式恒成立.6.3 不等式的證明

（二）●知識(shí)梳理

1.用綜合法證明不等式：利用不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式以及函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)出待證不等式的方法叫綜合法，概括為“由因?qū)Ч?2.用分析法證明不等式：從待證不等式出發(fā)，分析并尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件 的方法叫分析法，概括為“執(zhí)果索因”.3.放縮法證明不等式.4.利用單調(diào)性證明不等式.5.構(gòu)造一元二次方程利用“Δ”法證明不等式.6.數(shù)形結(jié)合法證明不等式.7.反證法、換元法等.特別提示

不等式證明方法多，證法靈活，其中比較法、分析法、綜合法是基本方法，要熟練掌握，其他方法作為輔助，這些方法之間不能截然分開，要綜合運(yùn)用各種方法.●點(diǎn)擊雙基

1.（2005年春季北京，8）若不等式（－1）a＜2+數(shù)a的取值范圍是

A.［－2，C.［－3，3232n

（?1）nn?1對任意n∈N恒成立，則實(shí)

*））

B.（－2，D.（－3，3232））

解析：當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，a＜2－1n，2－121n為增函數(shù)，∴a＜2－=32.1n當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，－a＜2+而－2－1n，a＞－2－

1n1n.為增函數(shù)，－2－

32＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，答案：A）.2.（2003年南京市質(zhì)檢題）若＜

a11b＜0，則下列結(jié)論不正確的是 ．．．

B.ab＜b D.|a|+|b|＞|a+b|

2A.a＜b C.ba2

21b

+ab＞2

1a解析：由＜＜0，知b＜a＜0.∴A不正確.答案：A 3.分析法是從要證的不等式出發(fā)，尋求使它成立的 A.充分條件

C.充要條件

答案：A

B.必要條件

D.既不充分又不必要條件

4.（理）在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中，a1=b1＞0，an=bn＞0，則am與bm的大小關(guān)系是____________.解析：若d=0或q=1，則am=bm.若d≠0，畫出an=a1+（n－1）d與bn=b1·q

y n－

1的圖象，O1m n x 易知am＞bm，故am≥bm.答案：am≥bm

（文）在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，?），則an+1與bn+1的大小關(guān)系是____________.解析：an+1=a1?a2n?121a?b1a?b≥a1a2n?1=b1b2n?1=bn+1.答案：an+1≥bn+1 5.若a＞b＞c，則

+

1b?c1b?c_______

3a?c.（填“＞”“=”“＜”）

1a?b解析：a＞b＞c，（1+）（a－c）=（+

1b?c）［（a－b）+（b－c）］

≥2（a?b）（b?c）1·2（a?b）（b?c）=4.3a?c∴a?b+1b?c≥

4a?c＞.答案：＞ ●典例剖析

【例1】 設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足y＋x2＝0，0＜a＜1.求證：loga（ax＋ay）＜loga2＋

18.剖析：不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故從左向右變形時(shí)應(yīng)消去x、y.xy證明：∵a＞0，a＞0，∴ax＋ay≥2ax?y＝2ax?x.∵x－x2＝xy

214－（x－112）2≤

114，0＜a＜1，∴a＋a≥2a4＝2a8.1∴l(xiāng)oga（a＋a）＜loga2a8＝loga2＋xy

18.1評述：本題的證題思路可由分析法獲得.要證原不等式成立，只要證a＋a≥2·a8即可． 【例2】 已知a、b、c∈R，且a+b+c=1.求證：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.剖析：在條件“a+b+c=1”的作用下，將不等式的“真面目”隱含了，給證明不等式帶來困難，若用“a+b+c”換成“1”，則還原出原不等式的“真面目”，從而抓住實(shí)質(zhì)，解決

+

xy

問題.證明：∵a、b、c∈R且a+b+c=1，∴要證原不等式成立，即證［（a+b+c）+a］·［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］·［（a+b+c）－b］·［（a+b+c）－c］.也就是證［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］·［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）.①

∵（a+b）+（b+c）≥2（a?b）（b?c）＞0，（b+c）+（c+a）≥2（b?c）（c?a）＞0，（c+a）+（a+b）≥2（c?a）（a?b）＞0，三式相乘得①式成立.故原不等式得證.【例3】 已知a＞1，n≥2，n∈N*.求證：na－1＜a?1n+

.a?1n證法一：要證na－1＜即證a＜（a?1n，+1）.n令a－1=t＞0，則a=t+1.也就是證t+1＜（1+∵（1+tntntn）n.+?+Cnn（tn）n=1+C1na?1nn）n＞1+t，即na－1＜成立.證法二：設(shè)a=xn，x＞1.于是只要證即證xnx?1n＞x－1，n－1?1x?1n－1＞n.聯(lián)想到等比數(shù)列前n項(xiàng)和1+x+?+xn－

2=

xn?1x?1，① ② 倒序x+x+?+1=nxn?1x?1.①+②得2·x?1x?1=（1+xn－1）+（x+xn－2）+?+（xn－1+1）

＞2xn?1+2xn?1+?+2xn?1＞2n.∴xn?1x?1＞n.思考討論

本不等式是與自然數(shù)有關(guān)的命題，用數(shù)學(xué)歸納法可以證嗎?讀者可嘗試一下.●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ)

1.已知a、b是不相等的正數(shù)，x=

a?2b，y=a?b，則x、y的關(guān)系是

A.x＞y 解析：∵x2=y2=a+b=12 B.y＞x

2C.x＞2y

D.不能確定

（a+b）2=

12（a+b+2ab），（a+b+a+b）＞

（a+b+2ab）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x.答案：B 2.對實(shí)數(shù)a和x而言，不等式x+13ax＞5ax+9a成立的充要條件是____________.解析：（x3+13a2x）－（5ax2+9a3）=x3－5ax2+13a2x－9a3 =（x－a）（x2－4ax+9a2）

=（x－a）［（x－2a）+5a］＞0.∵當(dāng)x≠2a≠0時(shí)，有（x－2a）2+5a2＞0.由題意故只需x－a＞0即x＞a，以上過程可逆.答案：x＞a

3.已知a＞b＞c且a+b+c=0，求證：b2?ac＜3a.22證明：要證b2?ac＜3a，只需證b－ac＜3a，22

3即證b2+a（a+b）＜3a2，即證（a－b）（2a+b）＞0，即證（a－b）（a－c）＞0.∵a＞b＞c，∴（a－b）·（a－c）＞0成立.∴原不等式成立.4.已知a+b+c=0，求證：ab+bc+ca≤0.證法一：（綜合法）∵a+b+c=0，∴（a+b+c）＝0.展開得ab+bc+ca=－∴ab+bc+ca≤0.證法二：（分析法）要證ab+bc+ca≤0，∵a+b+c=0，故只需證ab+bc+ca≤（a+b+c）2，即證a+b+c+ab+bc+ca≥0，亦即證122222

a2?b2?c22，［（a+b）＋（b＋c）＋（c＋a）］≥0．

而這是顯然的，由于以上相應(yīng)各步均可逆，∴原不等式成立.證法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2

＝－a－b－ab＝－［（a＋22

b2）＋

3b42］≤0．

∴ab+bc+ca≤0.培養(yǎng)能力

5.設(shè)a+b+c=1，a2+b2+c2=1且a＞b＞c.求證：－＜c＜0.31證明：∵a+b+c=1，22∴（a+b）－2ab+c=1.∴2ab=（a+b）2+c2－1=（1－c）2+c2－1=2c2－2c.∴ab=c－c.又∵a+b=1－c，∴a、b是方程x+（c－1）x+c－c=0的兩個(gè)根，且a＞b＞c.令f（x）=x2+（c－1）x+c2－c，則

?Δ?0?1?1?c?c???c?0?3?2??f（c）?0.222222

6.已知2b?2ca=1，求證：方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根.a?2c2證明：由2b?2ca=1，∴b=.∴b=（2a2+2c）=

2a22+2ac+2c2=4ac+（a2－2c）2≥4ac.∴方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根.7.設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，求證：證明：∵a、b、c均為實(shí)數(shù)，∴12121212a+

12b+

12c≥

1b?c+

1c?a+

1a?b.（12b12c12a＋12c12b）≥

12bc12ab≥≥≥

11a?b，當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立；

（（＋＋）≥）≥

b?c1c?a，當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立； ． ≥

1b?c12a12ca三個(gè)不等式相加即得探究創(chuàng)新

12a+

12b+

12c+

1c?a+

1a?b，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.8.已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1.求證：a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).證明：假設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù)，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.這與ac+bd＞1矛盾.所以假設(shè)不成立，即a、b、c、d中至少有一個(gè)負(fù)數(shù).●思悟小結(jié)

1.綜合法就是“由因?qū)Ч?，從已知不等式出發(fā)，不斷用必要條件替換前面的不等式，直至推出要證的結(jié)論.2.分析法就是“執(zhí)果索因”，從所證不等式出發(fā)，不斷用充分條件替換前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的證法一般用分析法，敘述證明過程用綜合法較簡，兩法結(jié)合在證明不等式中經(jīng)常遇到.4.構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證不等式或構(gòu)造方程利用“Δ≥0”證不等式，充分體現(xiàn)相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系.●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛

1.在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時(shí)，常用分析法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程，以適應(yīng)學(xué)生習(xí)慣的思維規(guī)律.有時(shí)問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題目的.2.由于高考試題不會(huì)出現(xiàn)單一的不等式的證明題，常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起，所以在教學(xué)中，不等式的證明除常用的三種方法外，還需介紹其他方法，如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法（特別是三角換元）、放縮法以及數(shù)學(xué)歸納法等.拓展題例

【例1】 已知a、b為正數(shù)，求證：

（1）若a+1＞b，則對于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+（2）若對于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+

xx?1xx?1＞b成立；

＞b成立，則a+1＞b.分析：對帶條件的不等式的證明，條件的利用常有兩種方法：①證明過程中代入條件；②由條件變形得出要證的不等式.證明：（1）ax+xx?1=a（x－1）+

1x?1+1+a≥2a+1+a=（a+1）2.∵a+1＞b（b＞0），22∴（a+1）＞b.（2）∵ax+而ax+xx?1xx?1＞b對于大于1的實(shí)數(shù)x恒成立，即x＞1時(shí)，［ax+

1x?1xx?1］min＞b，=a（x－1）+

1+1+a≥2a+1+a=（a+1）2，1a當(dāng)且僅當(dāng)a（x－1）=故［ax+xx?1x?1，即x=1+＞1時(shí)取等號(hào).］min=（a+1）2.則（a+1）2＞b，即a+1＞b.評述：條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除.【例2】 求證：|a?b|1?|a?b|≤

|a|1?|a|+

|b|1?|b|.x剖析：|a+b|≤|a|+|b|，故可先研究f（x）=證明：令f（x）=

x1?x1?x（x≥0）的單調(diào)性.（x≥0），易證f（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增.|a+b|≤|a|+|b|，∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即|a?b|1?|a?b|≤|a|?|b|1?|a|?|b|=

|a|1?|a|?|b|?|b|1?|a|?|b|≤

|a|1?|a|?|b|1?|b|.思考討論

1.本題用分析法直接去證可以嗎? 2.本題當(dāng)|a+b|=0時(shí)，不等式成立； 當(dāng)|a+b|≠0時(shí)，原不等式即為

1?11|a?b|≤

|a|1?|a|?|b|1?|b|.再利用|a+b|≤|a|+|b|放縮能證嗎?讀者可以嘗試一下!