第一篇：張齊華《倍數(shù)和因數(shù)》課堂實錄
張齊華《倍數(shù)和因數(shù)》課堂實錄
上傳: 邱艷萍
更新時間：2013-8-25 16:44:57 《倍數(shù)和因數(shù)》課堂實錄
張齊華
教學過程：
一、認識倍數(shù)和因數(shù)
師：一起看大屏幕，數(shù)一數(shù)，幾個正方形？（12）第一個問題是如果老師請你把12個正方形擺成一個長方形，會擺嗎？行不行？能不能就用一道非常簡單的乘法算式表達出來?
生：1×12
師：猜猜看，他每排擺了幾個，擺了幾排？
生：12個，擺了一排。
師：（屏幕顯示擺法）是這樣嗎？第二種擺法我們只要把他旋轉一下就跟第一種怎么樣？（一樣）。我們可以把他忽略不計。還可以怎么擺？同樣用一道乘法算式表達出來？
生：三四十二
師：這一次每排擺了幾個，擺了幾排？（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。還有嗎？
生齊：2×6
師：張老師來猜測一下同學們腦子里怎么想的，有同學可能想每排擺6個，擺2排。也有同學可能想每排擺2個，擺6排。（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。
師：還有不同的想法嗎？每排能擺5個嗎？12個同樣大小的正方形能擺3種不同的乘法算式，千萬別小看這些乘法算式，今天我們研究的內(nèi)容就在這里。咱們就以第一道乘法算式為例，3×4=12，數(shù)學上把3是12的因數(shù)，以往我們把他叫約數(shù)，現(xiàn)在叫因數(shù)，3是12的因數(shù)，那4（也是12的因數(shù)，）倒過來12是3的倍數(shù)，12（也是4的倍數(shù)）。同學們很有遷移的能力，這就是我們今天所要研究的因數(shù)和倍數(shù)。
師板書：因數(shù)和倍數(shù)
師：這兒還有兩道乘法算式，先自己說一說誰是誰的因數(shù)？誰是誰的倍數(shù)？行不行？
師：誰先來？
生說略
師：剛才在聽的時候發(fā)現(xiàn)1×12說因數(shù)和倍數(shù)時有兩句特別拗口，是哪兩句?。?/p>
生：12是12的因數(shù)，12是12的倍數(shù)。
師：雖然是拗口了點，不過數(shù)學上還真是這么回事，12的確是12的因數(shù)，12也是12的倍數(shù)。為了研究方便，以后來探討因數(shù)和倍數(shù)的時候所說的數(shù)都是什么數(shù)啊？
生：自然數(shù)
師：而且誰得除外。
生：0
師：好了，剛才我們已經(jīng)初步研究了因數(shù)和倍數(shù)，屏幕顯示：試一試：你能從中選兩個數(shù)，說一說誰是誰的因數(shù)？誰是誰因數(shù)和倍數(shù)？行不行？先自己試一試。3、5、18、20、36
生說略。
二、探索找因數(shù)倍數(shù)的方法
師：看來同學們對于因數(shù)和倍數(shù)已經(jīng)掌握的不錯了。不過剛才張老師在聽的時候發(fā)現(xiàn)一個奧秘，好幾個數(shù)都是36的因數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了嗎？誰能在五個數(shù)中把哪些數(shù)是36的因數(shù)一口氣說完？
生1：
3、18
師：還有誰？
生2：36
師：3、18、36都是36的因數(shù)，只有這3個嗎？
生1：1
生2：4
生3：6
師：其實要找出36的一個因數(shù)并不難，難就難在你有沒有能力把36的所有因數(shù)全部找出來？能不能？張老師作一下詳細說明，因為這個問題有點難度，你可以獨立完成也可以同桌完成，下面你選擇你喜歡的方式，可以合作，也可以單干，想一想怎么不遺漏，注意了，當你找出了36的所有因數(shù)，別忘了填在作業(yè)紙上，如果能把怎么找到的方法寫在下面更好。
學生填寫時師巡視搜集作業(yè)。
師：張老師找到了3份不同的作業(yè)，大家仔細觀察這三份作業(yè)，可有意思了。我把他命名為A、B、C師板書。
A：2、4、13、12、18、36
B：1、2、4、3、6、9、12、18、36
C：1、36、2、18、3、12、4、9、6
師：關于A這種方法你有什么話要說？（學生紛紛舉手）能不能從正面的角度說一說，這個同學找出的因數(shù)有沒有值得肯定的地方？（學生沉默）一點都沒有我們值得肯定的地方嗎？你先來。
生1：都對的
師：有沒有道理？看來要找一個人的優(yōu)點挺困難的。
生2：寫全了
生大聲說：沒有！
師：正好觸及了大家的公憤，看來要找一個人的優(yōu)點不太好找了，是吧？其實這個同學挺不容易的，他已經(jīng)找出不少了，對不對？說說有什么問題？
生：沒有寫全，少了3、6、9。
師：大伙來思考一下，6、9這兩個因數(shù)是36的因數(shù)嗎？看來這個同學是沒有找全，沒有找全僅僅是因為粗心嗎？是因為什么？
生：36÷4，只寫了4，沒寫9
師：他的意思是說用除法來做的話，找一個數(shù)的因數(shù)，一個個找，還是兩個兩個找？
生齊：兩個兩個找。
生2：先把1寫在頭，36寫在尾，然后再把2寫中間，這樣依次寫下去，這樣比較美觀。
師：張老師提煉出兩個字：“順序”，好象還不僅僅是因為粗心的問題，沒有按照一定的順序。
師：第二個同學有沒有找全，有沒有更好的建議送給他。
生：他應該把4、3調(diào)換一下。
師：做了一個微調(diào)就不僅僅是美觀的問題，更帶給我們一種尋找的有序。第三個同學是最沒有順序的，什么1、36，2、18了，你們覺得有道理嗎？
師：你想提出抗議嗎？你們覺得有順序嗎？（有）你自己來說？
生：他們那樣還要頭對尾頭對尾的，像這樣直接就可以寫了。
師：有沒有聽明白，也是同樣一對一對出現(xiàn)的。
生：大小沒有排，B大小排完后從小到大很舒服。
師：你看你那個舒服嗎？
生：舒服
師：正是因為你的質疑，他把方法說了出來。他用了什么？
生：乘法口訣
師：非常感謝同學們給出的發(fā)言，正是你們的發(fā)言讓我們感受到了如何尋找一個數(shù)的因數(shù)，有沒有問題。
師：雖然這個同學找到了嘗試完了1，找到
36、嘗試完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然數(shù)有很多，那你的7、8沒有試，你怎么知道找全了呢？
生1：找到開始重復就不找了
生2：我認為應該找到比較接近如5、6，7、8找到比較接近就可以了。
師：體會體會
1、學生：36、2、學生：18、3、12、4、9、6這兩個因數(shù)在不斷接近，接近到相差無幾。
生：
生：直接找更大數(shù)的所有的因數(shù)，這個同學很厲害，已經(jīng)在用分解質因數(shù)的方法在找一個因數(shù)的個數(shù)了。
師：通過剛才的交流，有辦法了嗎？有沒有方法不遺漏。試一個。20
生齊：1、2、4、5、10、20
再試一個：15，寫在練習紙上。學生匯報
師：尋找一個數(shù)掌握的不錯，這節(jié)課還要研究倍數(shù)呢。會找一書的倍數(shù)嗎？找一個小一點的，3的倍數(shù)，誰來找一個。
生：
21、300
師：你能把3的倍數(shù)全部寫下來嗎？
生：不能。太多太多了。
師：那怎么辦？寫不完可以用省略號表示。試試看。
學生練習紙上完成，匯報。
師：同學們雖然找的答案差不多，但腦子里的方法各不相同。我想聽聽你是怎樣找的？
生1：3×1、3×2
師：能理解嗎？
生1：3＋3=6、6＋3＝9
師：有理嗎？不要小看加3了，當?shù)綌?shù)大的時候也比較方便。
生：略
師：尋找一個數(shù)的倍數(shù)的方法掌握了嗎？試一試。7的倍數(shù)
學生練習紙上完成：50以內(nèi)7的倍數(shù)。
師：誰來說說這一次你找了哪幾個？
生：7、14、21、28
師：為什么不加省略號？
生：因為給了一個限制。
師：任何自然數(shù)的倍數(shù)是無限的。會尋找一個數(shù)的因數(shù)嗎？
生：略
三、感受倍數(shù)和因數(shù)的神奇奧秘
師：透出一個信息，關于因數(shù)和倍數(shù)是不是蘊藏了很有意思的規(guī)律，下面這題就隱藏了一條規(guī)律。屏幕顯示：老師這有9顆珠子全部放到十位和個位，1顆放十位，另外8顆放個位。這樣就得到幾？（18）要是不這樣放，你還能得到其他的兩位數(shù)嗎？
生1：27
生2：36
師：把你知道的兩位數(shù)跟同桌說一說。
學生同桌說，師：如果把你們說的兩位數(shù)按一定順序排出來，就得到了這樣的一排數(shù)，是這樣嗎？屏幕展示：18、27、36、45、54、63、72、81
仔細觀察9顆珠子撥的兩位數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：都是9的倍數(shù)
師：9顆珠子撥的兩位數(shù)都是9的倍數(shù)，8顆珠子撥的兩位數(shù)都是（8的倍數(shù)）
師：發(fā)現(xiàn)了什么？9顆珠子撥的兩位數(shù)都是9的倍數(shù)，8顆珠子撥的兩位數(shù)（不一定都是8的倍數(shù)），7顆珠子、6顆珠子呢？其實這里的學問沒有同學想的那么簡單，張老師給大家布置一個小任務，自己在草稿本上畫一畫珠子，看看6顆5顆4顆撥出的兩位數(shù)到底和珠子的個數(shù)有什么關系？這里蘊藏著非常豐富的規(guī)律，等待著同學們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。其實不僅在計數(shù)器上找到一些有趣的規(guī)律。
師：張老師問一個問題，好不好？1—100這100個數(shù)，思考一下，哪個數(shù)的因數(shù)最多？
生1：1
生2：99
師：還有誰要發(fā)表的？
生3：9
師問生2：為什么認為99的因數(shù)最多？
生：9是最大的。
師：張老師公布一下答案： 60
師：可以一起找一找。可以負責任的告訴你，比99多多了。是不是數(shù)越大，因數(shù)就越多。你們知道一小時有多少分？（60分），一分=60秒，這里的60和剛才的60有關系嗎？這里的60就和100以內(nèi)的因數(shù)有關系，你們相信嗎？特意給大家?guī)硪槐緯?。書的名字叫《?shù)字王國》，學生讀有關資料。
師：相信了吧，其實張老師一開始也是特別不相信，咱們歷法上面的 1小時=60分，一分=60秒的進率竟然和100以內(nèi)的數(shù)的因數(shù)有著這么大的關系，這本書詳細記載著為什么一年有12個月，一天有24小時，同學們知道為什么用12、24作為進率，道理是一樣的。數(shù)學中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律
師：更有意思的在后面，張老師給大家介紹一個數(shù)，數(shù)學家把6稱為“完美數(shù)”。想知道為什么嗎？用最快的速度說一說6的因數(shù)？
生：1、2、3、6
師：把6劃去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因為這樣的數(shù)非常特別，所以數(shù)學家把這樣特點的數(shù)稱為是完美數(shù)。數(shù)學家找到了第一個完美數(shù)，就會去找第一個完美數(shù)，猜猜看，找到了沒有？今天張老師不把答案直接告訴你們，我透露一下資料好不好？第二個完美數(shù)比20大，比30小，而且還是一個雙數(shù)，好猜了吧。數(shù)學上的規(guī)律不是一下子直覺說出來的，那么這樣先來說一說雙數(shù)：22、24、26、28，猜猜看，可能是誰？
學生試這四個數(shù)。
師：寫出所有的因數(shù)，然后把自己給去掉。
師：正確答案應該是22，我們一起來找一找，人們開始找第三個完美數(shù)，想知道第5個嗎？師板書。為什么這么驚訝？同學們驚訝的背后張老師體會的過老，剛才找一個也花了一分多鐘，要從幾十億數(shù)中找出這6個完美數(shù)，數(shù)學家們要付出多大的心血。你覺得什么力量使數(shù)學家們?nèi)ゲ粩嗯Γ?/p>
生：好奇心
師：數(shù)學家們能透過枯燥的數(shù)學本身看到里面的東西，就像我們今天這堂課一樣，透過數(shù)字蘊藏著大量豐富的規(guī)律。高斯曾經(jīng)說過的把數(shù)學比作科學的皇后，數(shù)論是數(shù)學皇后頭頂上的皇冠，我們研究的只是數(shù)論中的最最基本的一些小常識，換句話說這堂課我們沒有摘取數(shù)學皇后頭頂上的皇冠，我們摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子。
第二篇：張齊華《因數(shù)和倍數(shù)》
張齊華《因數(shù)和倍數(shù)》
張齊華老師的《因數(shù)和倍數(shù)》，教學理念嶄新，教學設計獨特，文化底蘊豐富，談吐風趣幽默。課堂教學開放而又充滿活力。
感觸一：充滿人性化的評價語
聽張老師的課是一種享受，尤其是聆聽他那自然、精煉的評價語。如評價作業(yè)紙時，張老師說“關于A這種方法你有什么話要說？”（學生紛紛舉手想要指出錯誤）可張老師是這樣引導的：“能不能從正面的角度說一說，這個同學找出的因數(shù)有沒有值得肯定的地方？”還有，盡管學生是找錯了，他這樣說：“其實這個同學挺不容易的，他已經(jīng)找出不少了，對不對？”……這些人性化的評價語在課堂中還有很多，這些樸實的語言，孩子們在潛移默化中感受到的是成功，是對數(shù)學學習的無限樂趣。
感觸二：豐富多彩的文化信息。
關于本堂課的文化氣息，是相當濃厚的，張老師一定查閱了不少的資料，進行了創(chuàng)造性的組合和優(yōu)化，對激發(fā)學生的學習興趣是大有好處的?！坝嫈?shù)器’九顆珠子的奧秘；神奇的完美數(shù)，讓學生在不知不覺中感受到了數(shù)學的奧秘。只有有了文化氣息，數(shù)學才變得有了靈魂，而再不會讓學生感到枯燥無味，只會樂在其中。感觸三：善于引導，讓學生學會思考
張老師善于捕捉學生發(fā)言過程中的信息，教師大膽地讓學生自己找出36的因數(shù)和3的倍數(shù)，再通過對幾份不同作業(yè)的比較，一步又一步，層次清晰地得出找因數(shù)和倍數(shù)的方法。在這一過程中，教師與學生進行互動，溝通聯(lián)系，交流想法，形成意見，真正做到了“教育的引導者?！比纾骸翱磥磉@個同學是沒有找全，沒有找全僅僅是因為粗心嗎？是因為什么？”、“他的意思是說用除法來做的話，找一個數(shù)的因數(shù)，一個個找，還是兩個兩個找？”……老師親切的話語引導學生去發(fā)現(xiàn)、思考。
這一堂課上了55分鐘，這在日常的教學中是不允許的，但在這節(jié)課中，沒有這增加的十幾分鐘，簡直是一種遺憾，那么如何解決現(xiàn)實與理想的矛盾呢？
教學過程：
一、認識倍數(shù)和因數(shù)
師：一起看大屏幕，數(shù)一數(shù)，幾個正方形？（12）第一個問題是如果老師請你把12個正方形擺成一個長方形，會擺嗎？行不行？能不能就用一道非常簡單的乘法算式表達出來? 生：1×12 師：猜猜看，他每排擺了幾個，擺了幾排？
生：12個，擺了一排。
師：（屏幕顯示擺法）是這樣嗎？第二種擺法我們只要把他旋轉一下就跟第一種怎么樣？（一樣）。我們可以把他忽略不計。還可以怎么擺？同樣用一道乘法算式表達出來？
生：三四十二
師：這一次每排擺了幾個，擺了幾排？（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。還有嗎？
生齊：2×6 師：張老師來猜測一下同學們腦子里怎么想的，有同學可能想每排擺6個，擺2排。也有同學可能想每排擺2個，擺6排。（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。
師：還有不同的想法嗎？每排能擺5個嗎？12個同樣大小的正方形能擺3種不同的乘法算式，千萬別小看這些乘法算式，今天我們研究的內(nèi)容就在這里。咱們就以第一道乘法算式為例，3×4=12，數(shù)學上把3是12的因數(shù)，以往我們把他叫約數(shù)，現(xiàn)在叫因數(shù)，3是12的因數(shù)，那4（也是12的因數(shù)，）倒過來12是3的倍數(shù)，12（也是4的倍數(shù)）。同學們很有遷移的能力，這就是我們今天所要研究的因數(shù)和倍數(shù)。
師板書：因數(shù)和倍數(shù)
師：這兒還有兩道乘法算式，先自己說一說誰是誰的因數(shù)？誰是誰的倍數(shù)？行不行？
師：誰先來？
生說略
師：剛才在聽的時候發(fā)現(xiàn)1×12說因數(shù)和倍數(shù)時有兩句特別拗口，是哪兩句??？
生：12是12的因數(shù)，12是12的倍數(shù)。
師：雖然是拗口了點，不過數(shù)學上還真是這么回事，12的確是12的因數(shù)，12也是12的倍數(shù)。為了研究方便，以后來探討因數(shù)和倍數(shù)的時候所說的數(shù)都是什么數(shù)??？
生：自然數(shù)
師：而且誰得除外。
生：0 師：好了，剛才我們已經(jīng)初步研究了因數(shù)和倍數(shù)，屏幕顯示：試一試：你能從中選兩個數(shù)，說一說誰是誰的因數(shù)？誰是誰因數(shù)和倍數(shù)？行不行？先自己試一試。3、5、18、20、36 生說略。
二、探索找因數(shù)倍數(shù)的方法
師：看來同學們對于因數(shù)和倍數(shù)已經(jīng)掌握的不錯了。不過剛才張老師在聽的時候發(fā)現(xiàn)一個奧秘，好幾個數(shù)都是36的因數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了嗎？誰能在五個數(shù)中把哪些數(shù)是36的因數(shù)一口氣說完？
生1：
3、18 師：還有誰？
生2：36 師：3、18、36都是36的因數(shù)，只有這3個嗎？
生1：1 生2：4 生3：6 師：其實要找出36的一個因數(shù)并不難，難就難在你有沒有能力把36的所有因數(shù)全部找出來？能不能？張老師作一下詳細說明，因為這個問題有點難度，你可以獨立完成也可以同桌完成，下面你選擇你喜歡的方式，可以合作，也可以單干，想一想怎么不遺漏，注意了，當你找出了36的所有因數(shù)，別忘了填在作業(yè)紙上，如果能把怎么找到的方法寫在下面更好。
學生填寫時師巡視搜集作業(yè)。
師：張老師找到了3份不同的作業(yè)，大家仔細觀察這三份作業(yè)，可有意思了。我把他命名為A、B、C師板書。
A：2、4、13、12、18、36 B：1、2、4、3、6、9、12、18、36 C：1、36、2、18、3、12、4、9、6 師：關于A這種方法你有什么話要說？（學生紛紛舉手）能不能從正面的角度說一說，這個同學找出的因數(shù)有沒有值得肯定的地方？（學生沉默）一點都沒有我們值得肯定的地方嗎？你先來。
生1：都對的
師：有沒有道理？看來要找一個人的優(yōu)點挺困難的。
生2：寫全了 生大聲說：沒有！
師：正好觸及了大家的公憤，看來要找一個人的優(yōu)點不太好找了，是吧？其實這個同學挺不容易的，他已經(jīng)找出不少了，對不對？說說有什么問題？
生：沒有寫全，少了3、6、9。
師：大伙來思考一下，6、9這兩個因數(shù)是36的因數(shù)嗎？看來這個同學是沒有找全，沒有找全僅僅是因為粗心嗎？是因為什么？
生：36÷4，只寫了4，沒寫9 師：他的意思是說用除法來做的話，找一個數(shù)的因數(shù)，一個個找，還是兩個兩個找？
生齊：兩個兩個找。
生2：先把1寫在頭，36寫在尾，然后再把2寫中間，這樣依次寫下去，這樣比較美觀。
師：張老師提煉出兩個字：“順序”，好象還不僅僅是因為粗心的問題，沒有按照一定的順序。
師：第二個同學有沒有找全，有沒有更好的建議送給他。
生：他應該把4、3調(diào)換一下。
師：做了一個微調(diào)就不僅僅是美觀的問題，更帶給我們一種尋找的有序。第三個同學是最沒有順序的，什么1、36，2、18了，你們覺得有道理嗎？
師：你想提出抗議嗎？你們覺得有順序嗎？（有）你自己來說？
生：他們那樣還要頭對尾頭對尾的，像這樣直接就可以寫了。
師：有沒有聽明白，也是同樣一對一對出現(xiàn)的。
生：大小沒有排，B大小排完后從小到大很舒服。
師：你看你那個舒服嗎？
生：舒服
師：正是因為你的質疑，他把方法說了出來。他用了什么？
生：乘法口訣
師：非常感謝同學們給出的發(fā)言，正是你們的發(fā)言讓我們感受到了如何尋找一個數(shù)的因數(shù)，有沒有問題。
師：雖然這個同學找到了嘗試完了1，找到
36、嘗試完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然數(shù)有很多，那你的7、8沒有試，你怎么知道找全了呢？
生1：找到開始重復就不找了
生2：我認為應該找到比較接近如5、6，7、8找到比較接近就可以了。
師：體會體會
1、學生：36、2、學生：18、3、12、4、9、6這兩個因數(shù)在不斷接近，接近到相差無幾。
生：直接找更大數(shù)的所有的因數(shù)，這個同學很厲害，已經(jīng)在用分解質因數(shù)的方法在找一個因數(shù)的個數(shù)了。
師：通過剛才的交流，有辦法了嗎？有沒有方法不遺漏。試一個。20 生齊：1、2、4、5、10、20 再試一個：15，寫在練習紙上。學生匯報
師：尋找一個數(shù)掌握的不錯，這節(jié)課還要研究倍數(shù)呢。會找一書的倍數(shù)嗎？找一個小一點的，3的倍數(shù)，誰來找一個。
生：
21、300 師：你能把3的倍數(shù)全部寫下來嗎？
生：不能。太多太多了。
師：那怎么辦？寫不完可以用省略號表示。試試看。
學生練習紙上完成，匯報。師：同學們雖然找的答案差不多，但腦子里的方法各不相同。我想聽聽你是怎樣找的？
生1：3×1、3×2 師：能理解嗎？
生1：3＋3=6、6＋3＝9 師：有理嗎？不要小看加3了，當?shù)綌?shù)大的時候也比較方便。
生：略
師：尋找一個數(shù)的倍數(shù)的方法掌握了嗎？試一試。7的倍數(shù)
學生練習紙上完成：50以內(nèi)7的倍數(shù)。
師：誰來說說這一次你找了哪幾個？
生：7、14、21、28 師：為什么不加省略號？
生：因為給了一個限制。
師：任何自然數(shù)的倍數(shù)是無限的。會尋找一個數(shù)的因數(shù)嗎？
三、感受倍數(shù)和因數(shù)的神奇奧秘
師：透出一個信息，關于因數(shù)和倍數(shù)是不是蘊藏了很有意思的規(guī)律，下面這題就隱藏了一條規(guī)律。屏幕顯示：老師這有9顆珠子全部放到十位和個位，1顆放十位，另外8顆放個位。這樣就得到幾？（18）要是不這樣放，你還能得到其他的兩位數(shù)嗎？
生1：27 生2：36 師：把你知道的兩位數(shù)跟同桌說一說。
學生同桌說，師：如果把你們說的兩位數(shù)按一定順序排出來，就得到了這樣的一排數(shù)，是這樣嗎？屏幕展示：18、27、36、45、54、63、72、81 仔細觀察9顆珠子撥的兩位數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：都是9的倍數(shù)
師：9顆珠子撥的兩位數(shù)都是9的倍數(shù)，8顆珠子撥的兩位數(shù)都是（8的倍數(shù)）
師：發(fā)現(xiàn)了什么？9顆珠子撥的兩位數(shù)都是9的倍數(shù)，8顆珠子撥的兩位數(shù)（不一定都是8的倍數(shù)），7顆珠子、6顆珠子呢？其實這里的學問沒有同學想的那么簡單，張老師給大家布置一個小任務，自己在草稿本上畫一畫珠子，看看6顆5顆4顆撥出的兩位數(shù)到底和珠子的個數(shù)有什么關系？這里蘊藏著非常豐富的規(guī)律，等待著同學們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。其實不僅在計數(shù)器上找到一些有趣的規(guī)律。
師：張老師問一個問題，好不好？1—100這100個數(shù)，思考一下，哪個數(shù)的因數(shù)最多？
生1：1 生2：99 師：還有誰要發(fā)表的？
生3：9 師問生2：為什么認為99的因數(shù)最多？
生：9是最大的。
師：張老師公布一下答案： 60 師：可以一起找一找?？梢载撠熑蔚母嬖V你，比99多多了。是不是數(shù)越大，因數(shù)就越多。你們知道一小時有多少分？（60分），一分=60 秒，這里的60和剛才的60有關系嗎？這里的60就和100以內(nèi)的因數(shù)有關系，你們相信嗎？特意給大家?guī)硪槐緯?。書的名字叫《?shù)字王國》，學生讀有關資料。
師：相信了吧，其實張老師一開始也是特別不相信，咱們歷法上面的 1小時=60分，一分=60秒的進率竟然和100以內(nèi)的數(shù)的因數(shù)有著這么大的關系，這本書詳細記載著為什么一年有12個月，一天有24小時，同學們知道為什么用12、24作為進率，道理是一樣的。數(shù)學中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律
師：更有意思的在后面，張老師給大家介紹一個數(shù)，數(shù)學家把6稱為“完美數(shù)”。想知道為什么嗎？用最快的速度說一說6的因數(shù)？
生：1、2、3、6 師：把6劃去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因為這樣的數(shù)非常特別，所以數(shù)學家把這樣特點的數(shù)稱為是完美數(shù)。數(shù)學家找到了第一個完美數(shù)，就會去找第一個完美數(shù)，猜猜看，找到了沒有？今天張老師不把答案直接告訴你們，我透露一下資料好不好？第二個完美數(shù)比20大，比30小，而且還是一個雙數(shù)，好猜了吧。有幸去南京聆聽了張齊華老師執(zhí)教的《因數(shù)和倍數(shù)》，感觸頗深。張老師那嶄新的教學理念，獨特的教學設計，豐富的文化底蘊，風趣幽默的談吐，深深打動了我。他那開放而又充滿活力的課堂教學，令我感觸很深。感觸一：充滿人性化的評價語
聽張老師的課是一種享受，尤其是聆聽他那自然、精煉的評價語。如評價作業(yè)紙時，張老師說“關于A這種方法你有什么話要說？”（學生紛紛舉手想要指出錯誤）可張老師是這樣引導的：“能不能從正面的角度說一說，這個同學找出的因數(shù)有沒有值得肯定的地方？”還有，盡管學生是找錯了，他這樣說：“其實這個同學挺不容易的，他已經(jīng)找出不少了，對不對？”……這些人性化的評價語在課堂中還有很多，這些樸實的語言，孩子們在潛移默化中感受到的是成功，是對數(shù)學學習的無限樂趣。
感觸二：豐富多彩的文化信息。
關于本堂課的文化氣息，是相當濃厚的，張老師一定查閱了不少的資料，進行了創(chuàng)造性的組合和優(yōu)化，對激發(fā)學生的學習興趣是大有好處的。“計數(shù)器’九顆珠子的奧秘；神奇的完美數(shù)，讓學生在不知不覺中感受到了數(shù)學的奧秘。只有有了文化氣息，數(shù)學才變得有了靈魂，而再不會讓學生感到枯燥無味，只會樂在其中。
感觸三：善于引導，讓學生學會思考
張老師善于捕捉學生發(fā)言過程中的信息，教師大膽地讓學生自己找出36的因數(shù)和3的倍數(shù)，再通過對幾份不同作業(yè)的比較，一步又一步，層次清晰地得出找因數(shù)和倍數(shù)的方法。在這一過程中，教師與學生進行互動，溝通聯(lián)系，交流想法，形成意見，真正做到了“教育的引導者。”如：“看來這個同學是沒有找全，沒有找全僅僅是因為粗心嗎？是因為什么？”、“他的意思是說用除法來做的話，找一個數(shù)的因數(shù)，一個個找，還是兩個兩個找？”……老師親切的話語引導學生去發(fā)現(xiàn)、思考。
只是這一堂課上了55分鐘，這在日常的教學中是不允許的，但在這節(jié)課中，沒有這增加的十幾分鐘，簡直是一種遺憾，那么如何解決現(xiàn)實與理想的矛盾呢？
課堂實錄如下：
教學過程：
一、認識倍數(shù)和因數(shù)
師：一起看大屏幕，數(shù)一數(shù)，幾個正方形？（12）第一個問題是如果老師請你把12個正方形擺成一個長方形，會擺嗎？行不行？能不能就用一道非常簡單的乘法算式表達出來?
生：1×12
師：猜猜看，他每排擺了幾個，擺了幾排？
生：12個，擺了一排。
師：（屏幕顯示擺法）是這樣嗎？第二種擺法我們只要把他旋轉一下就跟第一種怎么樣？（一樣）。我們可以把他忽略不計。還可以怎么擺？同樣用一道乘法算式表達出來？
生：三四十二
師：這一次每排擺了幾個，擺了幾排？（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。還有嗎？
生齊：2×6
師：張老師來猜測一下同學們腦子里怎么想的，有同學可能想每排擺6個，擺2排。也有同學可能想每排擺2個，擺6排。（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。
師：還有不同的想法嗎？每排能擺5個嗎？12個同樣大小的正方形能擺3種不同的乘法算式，千萬別小看這些乘法算式，今天我們研究的內(nèi)容就在這里。咱們就以第一道乘法算式為例，3×4=12，數(shù)學上把3是12的因數(shù)，以往我們把他叫約數(shù)，現(xiàn)在叫因數(shù)，3是12的因數(shù)，那4（也是12的因數(shù)，）倒過來12是3的倍數(shù)，12（也是4的倍數(shù)）。同學們很有遷移的能力，這就是我們今天所要研究的因數(shù)和倍數(shù)。
師板書：因數(shù)和倍數(shù)
師：這兒還有兩道乘法算式，先自己說一說誰是誰的因數(shù)？誰是誰的倍數(shù)？行不行？
師：誰先來？
生說略
師：剛才在聽的時候發(fā)現(xiàn)1×12說因數(shù)和倍數(shù)時有兩句特別拗口，是哪兩句啊？
生：12是12的因數(shù)，12是12的倍數(shù)。
師：雖然是拗口了點，不過數(shù)學上還真是這么回事，12的確是12的因數(shù)，12也是12的倍數(shù)。為了研究方便，以后來探討因數(shù)和倍數(shù)的時候所說的數(shù)都是什么數(shù)啊？
生：自然數(shù)
師：而且誰得除外。
生：0
師：好了，剛才我們已經(jīng)初步研究了因數(shù)和倍數(shù)，屏幕顯示：試一試：你能從中選兩個數(shù)，說一說誰是誰的因數(shù)？誰是誰因數(shù)和倍數(shù)？行不行？先自己試一試。3、5、18、20、36
生說略。
二、探索找因數(shù)倍數(shù)的方法
師：看來同學們對于因數(shù)和倍數(shù)已經(jīng)掌握的不錯了。不過剛才張老師在聽的時候發(fā)現(xiàn)一個奧秘，好幾個數(shù)都是36的因數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了嗎？誰能在五個數(shù)中把哪些數(shù)是36的因數(shù)一口氣說完？
生1：
3、18
師：還有誰？
生2：36
師：3、18、36都是36的因數(shù)，只有這3個嗎？
生1：1
生2：4
生3：6
師：其實要找出36的一個因數(shù)并不難，難就難在你有沒有能力把36的所有因數(shù)全部找出來？能不能？張老師作一下詳細說明，因為這個問題有點難度，你可以獨立完成也可以同桌完成，下面你選擇你喜歡的方式，可以合作，也可以單干，想一想怎么不遺漏，注意了，當你找出了36的所有因數(shù)，別忘了填在作業(yè)紙上，如果能把怎么找到的方法寫在下面更好。
學生填寫時師巡視搜集作業(yè)。
師：張老師找到了3份不同的作業(yè)，大家仔細觀察這三份作業(yè)，可有意思了。我把他命名為A、B、C師板書。
A：2、4、13、12、18、36
B：1、2、4、3、6、9、12、18、36
C：1、36、2、18、3、12、4、9、6
師：關于A這種方法你有什么話要說？（學生紛紛舉手）能不能從正面的角度說一說，這個同學找出的因數(shù)有沒有值得肯定的地方？（學生沉默）一點都沒有我們值得肯定的地方嗎？你先來。
生1：都對的
師：有沒有道理？看來要找一個人的優(yōu)點挺困難的。
生2：寫全了
生大聲說：沒有！
師：正好觸及了大家的公憤，看來要找一個人的優(yōu)點不太好找了，是吧？其實這個同學挺不容易的，他已經(jīng)找出不少了，對不對？說說有什么問題？
生：沒有寫全，少了3、6、9。
師：大伙來思考一下，6、9這兩個因數(shù)是36的因數(shù)嗎？看來這個同學是沒有找全，沒有找全僅僅是因為粗心嗎？是因為什么？
生：36÷4，只寫了4，沒寫9
師：他的意思是說用除法來做的話，找一個數(shù)的因數(shù)，一個個找，還是兩個兩個找？
生齊：兩個兩個找。
生2：先把1寫在頭，36寫在尾，然后再把2寫中間，這樣依次寫下去，這樣比較美觀。
師：張老師提煉出兩個字：“順序”，好象還不僅僅是因為粗心的問題，沒有按照一定的順序。
師：第二個同學有沒有找全，有沒有更好的建議送給他。
生：他應該把4、3調(diào)換一下。
師：做了一個微調(diào)就不僅僅是美觀的問題，更帶給我們一種尋找的有序。第三個同學是最沒有順序的，什么1、36，2、18了，你們覺得有道理嗎？
師：你想提出抗議嗎？你們覺得有順序嗎？（有）你自己來說？
生：他們那樣還要頭對尾頭對尾的，像這樣直接就可以寫了。
師：有沒有聽明白，也是同樣一對一對出現(xiàn)的。
生：大小沒有排，B大小排完后從小到大很舒服。
師：你看你那個舒服嗎？
生：舒服
師：正是因為你的質疑，他把方法說了出來。他用了什么？
生：乘法口訣
師：非常感謝同學們給出的發(fā)言，正是你們的發(fā)言讓我們感受到了如何尋找一個數(shù)的因數(shù)，有沒有問題。
師：雖然這個同學找到了嘗試完了1，找到
36、嘗試完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然數(shù)有很多，那你的7、8沒有試，你怎么知道找全了呢？
生1：找到開始重復就不找了
生2：我認為應該找到比較接近如5、6，7、8找到比較接近就可以了。
師：體會體會
1、學生：36、2、學生：18、3、12、4、9、6這兩個因數(shù)在不斷接近，接近到相差無幾。
生：
生：直接找更大數(shù)的所有的因數(shù)，這個同學很厲害，已經(jīng)在用分解質因數(shù)的方法在找一個因數(shù)的個數(shù)了。
師：通過剛才的交流，有辦法了嗎？有沒有方法不遺漏。試一個。20
生齊：1、2、4、5、10、20
再試一個：15，寫在練習紙上。學生匯報
師：尋找一個數(shù)掌握的不錯，這節(jié)課還要研究倍數(shù)呢。會找一書的倍數(shù)嗎？找一個小一點的，3的倍數(shù)，誰來找一個。
生：
21、300
師：你能把3的倍數(shù)全部寫下來嗎？
生：不能。太多太多了。
師：那怎么辦？寫不完可以用省略號表示。試試看。
學生練習紙上完成，匯報。
師：同學們雖然找的答案差不多，但腦子里的方法各不相同。我想聽聽你是怎樣找的？
生1：3×1、3×2
師：能理解嗎？
生1：3＋3=6、6＋3＝9
師：有理嗎？不要小看加3了，當?shù)綌?shù)大的時候也比較方便。
生：略
師：尋找一個數(shù)的倍數(shù)的方法掌握了嗎？試一試。7的倍數(shù)
學生練習紙上完成：50以內(nèi)7的倍數(shù)。
師：誰來說說這一次你找了哪幾個？
生：7、14、21、28
師：為什么不加省略號？
生：因為給了一個限制。
師：任何自然數(shù)的倍數(shù)是無限的。會尋找一個數(shù)的因數(shù)嗎？
生：略
三、感受倍數(shù)和因數(shù)的神奇奧秘
師：透出一個信息，關于因數(shù)和倍數(shù)是不是蘊藏了很有意思的規(guī)律，下面這題就隱藏了一條規(guī)律。屏幕顯示：老師這有9顆珠子全部放到十位和個位，1顆放十位，另外8顆放個位。這樣就得到幾？（18）要是不這樣放，你還能得到其他的兩位數(shù)嗎？
生1：27
生2：36
師：把你知道的兩位數(shù)跟同桌說一說。
學生同桌說，師：如果把你們說的兩位數(shù)按一定順序排出來，就得到了這樣的一排數(shù)，是這樣嗎？屏幕展示： 18、27、36、45、54、63、72、81
仔細觀察9顆珠子撥的兩位數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：都是9的倍數(shù)
師：9顆珠子撥的兩位數(shù)都是9的倍數(shù)，8顆珠子撥的兩位數(shù)都是（8的倍數(shù)）
師：發(fā)現(xiàn)了什么？9顆珠子撥的兩位數(shù)都是9的倍數(shù)，8顆珠子撥的兩位數(shù)（不一定都是8的倍數(shù)），7顆珠子、6顆珠子呢？其實這里的學問沒有同學想的那么簡單，張老師給大家布置一個小任務，自己在草稿本上畫一畫珠子，看看6顆5顆4顆撥出的兩位數(shù)到底和珠子的個數(shù)有什么關系？這里蘊藏著非常豐富的規(guī)律，等待著同學們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。其實不僅在計數(shù)器上找到一些有趣的規(guī)律。
師：張老師問一個問題，好不好？1—100這100個數(shù)，思考一下，哪個數(shù)的因數(shù)最多？
生1：1
生2：99
師：還有誰要發(fā)表的？
生3：9
師問生2：為什么認為99的因數(shù)最多？
生：9是最大的。
師：張老師公布一下答案： 60
師：可以一起找一找?？梢载撠熑蔚母嬖V你，比99多多了。是不是數(shù)越大，因數(shù)就越多。你們知道一小時有多少分？（60分），一分=60 秒，這里的60和剛才的60有關系嗎？這里的60就和100以內(nèi)的因數(shù)有關系，你們相信嗎？特意給大家?guī)硪槐緯?。書的名字叫《?shù)字王國》，學生讀有關資料。
師：相信了吧，其實張老師一開始也是特別不相信，咱們歷法上面的 1小時=60分，一分=60秒的進率竟然和100以內(nèi)的數(shù)的因數(shù)有著這么大的關系，這本書詳細記載著為什么一年有12個月，一天有24小時，同學們知道為什么用12、24作為進率，道理是一樣的。數(shù)學中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律
師：更有意思的在后面，張老師給大家介紹一個數(shù)，數(shù)學家把6稱為“完美數(shù)”。想知道為什么嗎？用最快的速度說一說6的因數(shù)？
生：1、2、3、6
師：把6劃去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因為這樣的數(shù)非常特別，所以數(shù)學家把這樣特點的數(shù)稱為是完美數(shù)。數(shù)學家找到了第一個完美數(shù)，就會去找第一個完美數(shù)，猜猜看，找到了沒有？今天張老師不把答案直接告訴你們，我透露一下資料好不好？第二個完美數(shù)比20大，比30小，而且還是一個雙數(shù)，好猜了吧。數(shù)學上的規(guī)律不是一下子直覺說出來的，那么這樣先來說一說雙數(shù)：22、24、26、28，猜猜看，可能是誰？
學生試這四個數(shù)。
師：寫出所有的因數(shù)，然后把自己給去掉。
師：正確答案應該是22，我們一起來找一找，人們開始找第三個完美數(shù)，想知道第5個嗎？師板書。為什么這么驚訝？同學們驚訝的背后張老師體會的過老，剛才找一個也花了一分多鐘，要從幾十億數(shù)中找出這6個完美數(shù)，數(shù)學家們要付出多大的心血。你覺得什么力量使數(shù)學家們?nèi)ゲ粩嗯Γ?/p>
生：好奇心
師：數(shù)學家們能透過枯燥的數(shù)學本身看到里面的東西，就像我們今天這堂課一樣，透過數(shù)字蘊藏著大量豐富的規(guī)律。高斯曾經(jīng)說過的把數(shù)學比作科學的皇后，數(shù)論是數(shù)學皇后頭頂上的皇冠，我們研究的只是數(shù)論中的最最基本的一些小常識，換句話說這堂課我們沒有摘取數(shù)學皇后頭頂上的皇冠，我們摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子。
子直覺說出來的，那么這樣先來說一說雙數(shù)：22、24、26、28，猜猜看，可能是誰？
學生試這四個數(shù)。
師：寫出所有的因數(shù)，然后把自己給去掉。
師：正確答案應該是22，我們一起來找一找，人們開始找第三個完美數(shù)，想知道第5個嗎？師板書。為什么這么驚訝？同學們驚訝的背后張老師體會的過老，剛才找一個也花了一分多鐘，要從幾十億數(shù)中找出這6個完美數(shù)，數(shù)學家們要付出多大的心血。你覺得什么力量使數(shù)學家們?nèi)ゲ粩嗯Γ?/p>
生：好奇心
師：數(shù)學家們能透過枯燥的數(shù)學本身看到里面的東西，就像我們今天這堂課一樣，透過數(shù)字蘊藏著大量豐富的規(guī)律。高斯曾經(jīng)說過的把數(shù)學比作科學的皇后，數(shù)論是數(shù)學皇后頭頂上的皇冠，我們研究的只是數(shù)論中的最最基本的一些小常識，換句話說這堂課我們沒有摘取數(shù)學皇后頭頂上的皇冠，我們摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子。
第三篇：張齊華 因數(shù)和倍數(shù) 教學實錄
張齊華《因數(shù)和倍數(shù)》課堂教學實錄
教學過程：
一、認識倍數(shù)和因數(shù)
師：一起看大屏幕，數(shù)一數(shù)，幾個正方形？（12）第一個問題是如果老師請你把12個正方形擺成一個長方形，會擺嗎？行不行？能不能就用一道非常簡單的乘法算式表達出來?
生：1×12
師：猜猜看，他每排擺了幾個，擺了幾排？
生：12個，擺了一排。
師：（屏幕顯示擺法）是這樣嗎？第二種擺法我們只要把他旋轉一下就跟第一種怎么樣？（一樣）。我們可以把他忽略不計。還可以怎么擺？同樣用一道乘法算式表達出來？
生：三四十二
師：這一次每排擺了幾個，擺了幾排？（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。還有嗎？
生齊：2×6
師：張老師來猜測一下同學們腦子里怎么想的，有同學可能想每排擺6個，擺2排。也有同學可能想每排擺2個，擺6排。（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。
師：還有不同的想法嗎？每排能擺5個嗎？12個同樣大小的正方形能擺3種不同的乘法算式，千萬別小看這些乘法算式，今天我們研究的內(nèi)容就在這里。咱們就以第一道乘法算式為例，3×4=12，數(shù)學上把3是12的因數(shù)，以往我們把他叫約數(shù)，現(xiàn)在叫因數(shù)，3是12的因數(shù)，那4（也是12的因數(shù)，）倒過來12是3的倍數(shù)，12（也是4的倍數(shù)）。同學們很有遷移的能力，這就是我們今天所要研究的因數(shù)和倍數(shù)。
師板書：因數(shù)和倍數(shù)
師：這兒還有兩道乘法算式，先自己說一說誰是誰的因數(shù)？誰是誰的倍數(shù)？行不行？
師：誰先來？
生說略
師：剛才在聽的時候發(fā)現(xiàn)1×12說因數(shù)和倍數(shù)時有兩句特別拗口，是哪兩句??？
生：12是12的因數(shù)，12是12的倍數(shù)。
師：雖然是拗口了點，不過數(shù)學上還真是這么回事，12的確是12的因數(shù)，12也是12的倍數(shù)。為了研究方便，以后來探討因數(shù)和倍數(shù)的時候所說的數(shù)都是什么數(shù)??？
生：自然數(shù)
師：而且誰得除外。
生：0
師：好了，剛才我們已經(jīng)初步研究了因數(shù)和倍數(shù)，屏幕顯示：試一試：你能從中選兩個數(shù)，說一說誰是誰的因數(shù)？誰是誰因數(shù)和倍數(shù)？行不行？先自己試一試。3、5、18、20、36
生說略。
二、探索找因數(shù)倍數(shù)的方法
師：看來同學們對于因數(shù)和倍數(shù)已經(jīng)掌握的不錯了。不過剛才張老師在聽的時候發(fā)現(xiàn)一個奧秘，好幾個數(shù)都是36的因數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了嗎？誰能在五個數(shù)中把哪些數(shù)是36的因數(shù)一口氣說完？
生1：
3、18
師：還有誰？
生2：36
師：3、18、36都是36的因數(shù)，只有這3個嗎？
生1：1
生2：4
生3：6
師：其實要找出36的一個因數(shù)并不難，難就難在你有沒有能力把36的所有因數(shù)全部找出來？能不能？張老師作一下詳細說明，因為這個問題有點難度，你可以獨立完成也可以同桌完成，下面你選擇你喜歡的方式，可以合作，也可以單干，想一想怎么不遺漏，注意了，當你找出了36的所有因數(shù)，別忘了填在作業(yè)紙上，如果能把怎么找到的方法寫在下面更好。
學生填寫時師巡視搜集作業(yè)。
師：張老師找到了3份不同的作業(yè)，大家仔細觀察這三份作業(yè)，可有意思了。我把他命名為A、B、C師板書。
A：2、4、13、12、18、36
B：1、2、4、3、6、9、12、18、36
C：1、36、2、18、3、12、4、9、6
師：關于A這種方法你有什么話要說？（學生紛紛舉手）能不能從正面的角度說一說，這個同學找出的因數(shù)有沒有值得肯定的地方？（學生沉默）一點都沒有我們值得肯定的地方嗎？你先來。
生1：都對的
師：有沒有道理？看來要找一個人的優(yōu)點挺困難的。
生2：寫全了
生大聲說：沒有！
師：正好觸及了大家的公憤，看來要找一個人的優(yōu)點不太好找了，是吧？其實這個同學挺不容易的，他已經(jīng)找出不少了，對不對？說說有什么問題？
生：沒有寫全，少了3、6、9。
師：大伙來思考一下，6、9這兩個因數(shù)是36的因數(shù)嗎？看來這個同學是沒有找全，沒有找全僅僅是因為粗心嗎？是因為什么？
生：36÷4，只寫了4，沒寫9
師：他的意思是說用除法來做的話，找一個數(shù)的因數(shù)，一個個找，還是兩個兩個找？
生齊：兩個兩個找。
生2：先把1寫在頭，36寫在尾，然后再把2寫中間，這樣依次寫下去，這樣比較美觀。
師：張老師提煉出兩個字：“順序”，好象還不僅僅是因為粗心的問題，沒有按照一定的順序。
師：第二個同學有沒有找全，有沒有更好的建議送給他。
生：他應該把4、3調(diào)換一下。
師：做了一個微調(diào)就不僅僅是美觀的問題，更帶給我們一種尋找的有序。第三個同學是最沒有順序的，什么1、36，2、18了，你們覺得有道理嗎？
師：你想提出抗議嗎？你們覺得有順序嗎？（有）你自己來說？
生：他們那樣還要頭對尾頭對尾的，像這樣直接就可以寫了。
師：有沒有聽明白，也是同樣一對一對出現(xiàn)的。
生：大小沒有排，B大小排完后從小到大很舒服。
師：你看你那個舒服嗎？
生：舒服
師：正是因為你的質疑，他把方法說了出來。他用了什么？
生：乘法口訣
師：非常感謝同學們給出的發(fā)言，正是你們的發(fā)言讓我們感受到了如何尋找一個數(shù)的因數(shù)，有沒有問題。
師：雖然這個同學找到了嘗試完了1，找到
36、嘗試完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然數(shù)有很多，那你的7、8沒有試，你怎么知道找全了呢？
生1：找到開始重復就不找了
生2：我認為應該找到比較接近如5、6，7、8找到比較接近就可以了。
師：體會體會
1、學生：36、2、學生：18、3、12、4、9、6這兩個因數(shù)在不斷接近，接近到相差無幾。
生：
生：直接找更大數(shù)的所有的因數(shù)，這個同學很厲害，已經(jīng)在用分解質因數(shù)的方法在找一個因數(shù)的個數(shù)了。
師：通過剛才的交流，有辦法了嗎？有沒有方法不遺漏。試一個。20
生齊：1、2、4、5、10、20
再試一個：15，寫在練習紙上。學生匯報
師：尋找一個數(shù)掌握的不錯，這節(jié)課還要研究倍數(shù)呢。會找一書的倍數(shù)嗎？找一個小一點的，3的倍數(shù)，誰來找一個。
生：
21、300
師：你能把3的倍數(shù)全部寫下來嗎？
生：不能。太多太多了。
師：那怎么辦？寫不完可以用省略號表示。試試看。
學生練習紙上完成，匯報。
師：同學們雖然找的答案差不多，但腦子里的方法各不相同。我想聽聽你是怎樣找的？
生1：3×1、3×2
師：能理解嗎？
生1：3＋3=6、6＋3＝9
師：有理嗎？不要小看加3了，當?shù)綌?shù)大的時候也比較方便。
生：略
師：尋找一個數(shù)的倍數(shù)的方法掌握了嗎？試一試。7的倍數(shù)
學生練習紙上完成：50以內(nèi)7的倍數(shù)。
師：誰來說說這一次你找了哪幾個？
生：7、14、21、28
師：為什么不加省略號？
生：因為給了一個限制。
師：任何自然數(shù)的倍數(shù)是無限的。會尋找一個數(shù)的因數(shù)嗎？
生：略
三、感受倍數(shù)和因數(shù)的神奇奧秘
師：透出一個信息，關于因數(shù)和倍數(shù)是不是蘊藏了很有意思的規(guī)律，下面這題就隱藏了一條規(guī)律。屏幕顯示：老師這有9顆珠子全部放到十位和個位，1顆放十位，另外8顆放個位。這樣就得到幾？（18）要是不這樣放，你還能得到其他的兩位數(shù)嗎？
生1：27
生2：36
師：把你知道的兩位數(shù)跟同桌說一說。
學生同桌說，師：如果把你們說的兩位數(shù)按一定順序排出來，就得到了這樣的一排數(shù)，是這樣嗎？屏幕展示：18、27、36、45、54、63、72、81
仔細觀察9顆珠子撥的兩位數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：都是9的倍數(shù)
師：9顆珠子撥的兩位數(shù)都是9的倍數(shù)，8顆珠子撥的兩位數(shù)都是（8的倍數(shù)）
師：發(fā)現(xiàn)了什么？9顆珠子撥的兩位數(shù)都是9的倍數(shù)，8顆珠子撥的兩位數(shù)（不一定都是8的倍數(shù)），7顆珠子、6顆珠子呢？其實這里的學問沒有同學想的那么簡單，張老師給大家布置一個小任務，自己在草稿本上畫一畫珠子，看看6顆5顆4顆撥出的兩位數(shù)到底和珠子的個數(shù)有什么關系？這里蘊藏著非常豐富的規(guī)律，等待著同學們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。其實不僅在計數(shù)器上找到一些有趣的規(guī)律。
師：張老師問一個問題，好不好？1—100這100個數(shù)，思考一下，哪個數(shù)的因數(shù)最多？
生1：1
生2：99
師：還有誰要發(fā)表的？
生3：9
師問生2：為什么認為99的因數(shù)最多？
生：9是最大的。
師：張老師公布一下答案： 60
師：可以一起找一找?？梢载撠熑蔚母嬖V你，比99多多了。是不是數(shù)越大，因數(shù)就越多。你們知道一小時有多少分？（60分），一分=60 秒，這里的60和剛才的60有關系嗎？這里的60就和100以內(nèi)的因數(shù)有關系，你們相信嗎？特意給大家?guī)硪槐緯?。書的名字叫《?shù)字王國》，學生讀有關資料。
師：相信了吧，其實張老師一開始也是特別不相信，咱們歷法上面的
1小時=60分，一分=60秒的進率竟然和100以內(nèi)的數(shù)的因數(shù)有著這么大的關系，這本書詳細記載著為什么一年有12個月，一天有24小時，同學們知道為什么用12、24作為進率，道理是一樣的。數(shù)學中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律
師：更有意思的在后面，張老師給大家介紹一個數(shù)，數(shù)學家把6稱為“完美數(shù)”。想知道為什么嗎？用最快的速度說一說6的因數(shù)？
生：1、2、3、6
師：把6劃去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因為這樣的數(shù)非常特別，所以數(shù)學家把這樣特點的數(shù)稱為是完美數(shù)。數(shù)學家找到了第一個完美數(shù)，就會去找第一個完美數(shù)，猜猜看，找到了沒有？今天張老師不把答案直接告訴你們，我透露一下資料好不好？第二個完美數(shù)比20大，比30小，而且還是一個雙數(shù)，好猜了吧。數(shù)學上的規(guī)律不是一下子直覺說出來的，那么這樣先來說一說雙數(shù)：22、24、26、28，猜猜看，可能是誰？
學生試這四個數(shù)。
師：寫出所有的因數(shù)，然后把自己給去掉。
師：正確答案應該是22，我們一起來找一找，人們開始找第三個完美數(shù)，想知道第5個嗎？師板書。為什么這么驚訝？同學們驚訝的背后張老師體會的過老，剛才找一個也花了一分多鐘，要從幾十億數(shù)中找出這6個完美數(shù)，數(shù)學家們要付出多大的心血。你覺得什么力量使數(shù)學家們?nèi)ゲ粩嗯Γ?/p>
生：好奇心
師：數(shù)學家們能透過枯燥的數(shù)學本身看到里面的東西，就像我們今天這堂課一樣，透過數(shù)字蘊藏著大量豐富的規(guī)律。高斯曾經(jīng)說過的把數(shù)學比作科學的皇后，數(shù)論是數(shù)學皇后頭頂上的皇冠，我們研究的只是數(shù)論中的最最基本的一些小常識，換句話說這堂課我們沒有摘取數(shù)學皇后頭頂上的皇冠，我們摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子
（聽后感）有幸去南京聆聽了張齊華老師執(zhí)教的《因數(shù)和倍數(shù)》，感觸頗深。張老師那嶄新的教學理念，獨特的教學設計，豐富的文化底蘊，風趣幽默的談吐，深深打動了我。他那開放而又充滿活力的課堂教學，令我感觸很深。感觸一：充滿人性化的評價語
聽張老師的課是一種享受，尤其是聆聽他那自然、精煉的評價語。如評價作業(yè)紙時，張老師說“關于A這種方法你有什么話要說？”（學生紛紛舉手想要指出錯誤）可張老師是這樣引導的：“能不能從正面的角度說一說，這個同學找出的因數(shù)有沒有值得肯定的地方？”還有，盡管學生是找錯了，他這樣說：“其實這個同學挺不容易的，他已經(jīng)找出不少了，對不對？”……這些人性化的評價語在課堂中還有很多，這些樸實的語言，孩子們在潛移默化中感受到的是成功，是對數(shù)學學習的無限樂趣。
感觸二：豐富多彩的文化信息。
關于本堂課的文化氣息，是相當濃厚的，張老師一定查閱了不少的資料，進行了創(chuàng)造性的組合和優(yōu)化，對激發(fā)學生的學習興趣是大有好處的?！坝嫈?shù)器’九顆珠子的奧秘；神奇的完美數(shù)，讓學生在不知不覺中感受到了數(shù)學的奧秘。只有有了文化氣息，數(shù)學才變得有了靈魂，而再不會讓學生感到枯燥無味，只會樂在其中。
感觸三：善于引導，讓學生學會思考
張老師善于捕捉學生發(fā)言過程中的信息，教師大膽地讓學生自己找出36的因數(shù)和3的倍數(shù)，再通過對幾份不同作業(yè)的比較，一步又一步，層次清晰地得出找因數(shù)和倍數(shù)的方法。在這一過程中，教師與學生進行互動，溝通聯(lián)系，交流想法，形成意見，真正做到了“教育的引導者。”如：“看來這個同學是沒有找全，沒有找全僅僅是因為粗心嗎？是因為什么？”、“他的意思是說用除法來做的話，找一個數(shù)的因數(shù)，一個個找，還是兩個兩個找？”……老師親切的話語引導學生去發(fā)現(xiàn)、思考。
第四篇：認識負數(shù) 張齊華 課堂實錄（模版）
認識負數(shù)教學設計
T:：現(xiàn)在我想叫出每個人的名字，請把你的名字寫在紙條上，放在課桌右上角，最近老師總是忘記字，請大家寫上拼音。
T：今天我們學習一種新的數(shù)類，叫做負數(shù)。有誰見過負數(shù)？在哪里？（預設）S：電梯；溫度計、、、T：電梯按鈕去1層以下的，溫度計上0度以下都用負數(shù)來表示；…… T：好，誰能在圖里面寫上負數(shù)（叫5個學生）記住，盡量寫跟別人不一樣的；（學生寫負數(shù)）
T：好的。誰能來說說負數(shù)有什么特點？（預設）S：數(shù)字前面有減號（負號）
T：有人認為這是減號；有人認為這是負號。其實，這個符號在運算過程中是減號，在單獨的數(shù)字上則是負號。T：除了這個特點，還有嗎？（預設）S：負數(shù)都要比0小。
T：好的這位同學不緊看到了負數(shù)的表面，還看透了負數(shù)的本質。透過現(xiàn)象看本質，火眼金睛。誰能來總結一下負數(shù)的特點。（預設）S：負數(shù)有負號而且比0小。T：說的不錯。誰能再來說一下；（預設）S：負數(shù)有負號而且比0小。
T：恩，說的真不錯。好，同桌之間說一說。說完以后再紙上寫上負數(shù)。（學生說）
T：既然有負數(shù)，那么相對的，肯定有（S：正數(shù)）
T：誰能上來寫一下正數(shù)，一人寫一個，有沒有跟他們不一樣的（直到學生寫+）
T：我也寫個數(shù)，0，認為是正數(shù)的請舉手；認為是負數(shù)的請舉手；沒有舉手的請舉手，好，你來說一下為什么不舉手？
（預設）S：0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。T：為什么呢？也就是說正數(shù)要怎么樣？（預設）S：正數(shù)都要比0大。
T：好的，那我這個0應該寫在哪里？邊上？還是中間？（預設）S：中間
T：寫大點，還是寫小點？（預設）S：大點
T：好我們來看這些同學寫的數(shù)，有什么不一樣？
（預設）S:有正號（T：+號在運算中是加號，在單獨的數(shù)字上則是正號）T：那不寫正號還是正數(shù)嗎？（預設）S：是。
T：既然可以不寫；為什么有時候要寫上呢？（預設）S：為了看起來方便。
T：看來有沒有正號不是正數(shù)的關鍵；那你認為，正數(shù)的的共同特點是什么？（預設）S：比0大。
T：好的。剛才說到0,0除了表示數(shù)，還能表示什么？（預設）S：表示起點。
T：好的，這是數(shù)軸（PPT出示數(shù)軸），負數(shù)應該寫在0的哪邊？（預設）S：左邊。
T：（PPT數(shù)軸顯示負數(shù)）沒有負數(shù)的時候，數(shù)軸是一條什么線？（射線）有了負數(shù)呢？（直
線）而這個0就是他們的（分界點）；
T:（出示PPT5個-2）這里有5個-2，四人小組討論下，然后把這里-2的意思按你的跟同學說一說。
T：某盆地的海報高度是-2.我們先來看第一個-2，誰已經(jīng)理解盆地海拔-2米的請舉手，先給大家介紹一下海拔？聽懂的請舉手，掌聲送給他。（PPT出現(xiàn)海撥）盆地在哪里？這個盆地是要比什么還要低？為了準確的表示某一個地方的高度，我們都把海平面所在的高度看成什么？（0米）好，現(xiàn)在誰能換句話說說某盆地的海報高度是-2米，是什么意思？ 好，下面鄭老師隨便點一個地方，你覺得它的海拔高度是正數(shù)還是負數(shù)？有誰知道我們地球上最高的海拔高度在哪里嗎？最低的呢？這2個數(shù)一正一負，分別表示什么含義，你能不能，結合海平面來具體的說一說，同桌一人說一個
T：北京最低氣溫-2，第二個-2，這是溫度計，畫的好不好？對不對？確定嗎？很堅決，那好，我也帶了了4個溫度計，大家找找哪個才是真正的-2°。同意第一個舉手……
千萬不要看他是0下面一格就是-2攝氏度。來說說這些是幾度？ T：張老師把車停在-2樓。第三個-2，樓房中什么是0？（預設）S：地面
T：（第四個-2，我的銀行卡還剩-2，PPT顯示）這個專業(yè)術語叫透支。想知道張老師為什么卡里還剩2快錢嗎？（PPT顯示）我的銀行卡還剩98元，買電影票用去100，還剩（），買爆米花又刷去10元，還剩（）?；氐姐y行，趕緊給卡里沖了100元，現(xiàn)在卡里還剩（）。
T:張老師的兒子高-2cm，到底是什么意思？
T：（PPT出售我國10歲男孩的平均身高約是140cm）現(xiàn)在知道-2cm是什么意思了嗎？誰來說一下？
（預設）S：比平均身高矮2cm T：在這里我們把哪一個身高看做了0，如果用140cm做標準，我每指一個人，看你能不能理解他真正的身高是多少？這里有一個人的身高很標準，誰？因為他是0，正好是平均身高（+3,143；-2,138；-4,136）看來身高能成為負數(shù)，那體重能不能成為負數(shù)？ T：我們在做這些題目的時候都在找一個數(shù)，是什么？（預設）S：0 T：我們現(xiàn)在回顧一下，這里的5個負數(shù)都是用誰當做0的?看誰反應快，我就知道誰今天掌握的做好。T：這些0都一樣嗎？（預設）S：不一樣。
T：是的，有的時候0是約定俗成的，有的時候是要去規(guī)定的。
第五篇：張齊華《交換律》課堂實錄與評析（范文）
張齊華 《加法交換律》課堂實錄
師：喜歡聽故事嗎？ 生：喜歡。
師：那就給大家講一個“朝三暮四”的故事吧。聽完故事，想說些什么？（結合生發(fā)言板書：3+4=4+3）
師：觀察這一等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生1：我發(fā)現(xiàn)，交換兩個加數(shù)的位置和不變。(教師板書這句話)師：其他同學呢？(見沒有補充)老師的發(fā)現(xiàn)和他很相似，但略有不同。(教師出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結論，你想說些什么？
生2：我覺得您(老師)給出的結論只代表了一個特例，但他(生1)給出的結論能代表許多情況。
生3：我也同意他(生2)的觀點，但我覺得單就黑板上的這一個式子，就得出“交換兩個加數(shù)的位置和不變”好像不太好。萬一其它兩個數(shù)相加的時候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺得您的觀點更準確、更科學一些。
師：的確，僅憑一個特例就得出“交換兩個加數(shù)的位置和不變”這樣的結論，似乎草率了點。但我們不妨把這一結論當作一個猜想(教師將生1結論中的“?！备臑椤埃俊?。既然是猜想，那么我們還得——
生：驗證。師：怎么驗證呢？
生1：我覺得可以再舉一些這樣的例子？ 師：怎樣的例子，能否具體說說？
生1：比如再列一些加法算式，然后交換加數(shù)的位置，看看和是不是跟原來一樣。（學生普遍認可）
師：那你們覺得需要舉多少個這樣的例子呢？ 生2：
五、六個吧。生3：至少要十個以上。
生4：我覺得應該舉無數(shù)個例子才行。不然，永遠沒有說服力。萬一你沒有舉到的例子中，正好有一個加法算式，交換他們的位置和變了呢？（有人點頭贊同）
生5：我反對！舉無數(shù)個例子，那得舉到什么時候才好？如果每次驗證都需要這樣的話，那我們永遠都別想得到結論！
師：我個人贊同你（生5）的觀點，但覺得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點，我覺得是不是可以這樣，我們每人都來舉三、四個例子，全班合起來那就多了。同時大家也留心一下，看能不能找到“交換加數(shù)位置和發(fā)生變化”的情況，如果有及時告訴大家行嗎？（學生贊同，隨后在作業(yè)紙上嘗試舉例。）
師：正式交流前，老師想給大家展示同學們在剛才舉例過程中出現(xiàn)的兩種不同的情況。
（教師展示：1．先寫出12＋23和23＋12，計算后，再在兩個算式之間添上“＝”。2．不計算，直接從左往右依次寫下“12＋23＝23＋12”。）
師：比較兩種舉例的情況，想說些什么？
生6：我覺得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒算，就直接將等號寫上去了。這叫不負責任。（生笑）
生7：我覺得舉例的目的就是為了看看交換兩個加數(shù)的位置和到底等不等，但這位同學只是照樣子寫了一個等式而已，至于兩邊是不是相等，他想都沒想。這樣舉例是不對的，不能驗證我們的猜想。（大家對生
6、生7的發(fā)言表示贊同。）
師：哪些同學是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？
師：明白問題出在哪兒了嗎？（生點頭）為了驗證猜想，舉例可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補救的機會，迅速看看你們寫出的算式，左右兩邊是不是真的相等。
師：其余同學，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？
生8：我舉了三個例子，7＋8＝8＋7，2＋9＝9＋2，4＋7＝7＋4。從這些例子來看，交換兩個加數(shù)的位置和不變。生9：我也舉了三個例子，5＋4＝4＋5，30＋15＝15＋30，200＋500＝500＋200。我也覺得，交換兩個加數(shù)的位置和不變。
（注：事實上，選生
8、生9進行交流，是教師有意而為之。）
師：兩位同學舉的例子略有不同，一個全是一位數(shù)加一位數(shù)，另一個則有一位數(shù)加一位數(shù)、二位數(shù)加兩位數(shù)、三位數(shù)加三位數(shù)。比較而言，你更欣賞誰？
生10：我更欣賞第一位同學，他舉的例子很簡單，一看就明白。生11：我不同意。如果舉得例子都是一位數(shù)加一位數(shù)，那么我們最多只能說，交換兩個一位數(shù)的位置和不變。至于加數(shù)是兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學的。
生12：我也更喜歡第二位同學的，她舉的例子更全面。我覺得，舉例就應該這樣，要考慮到方方面面。（多數(shù)學生表示贊同。）
師：如果這樣的話，那你們覺得下面這位同學的舉例，又給了你哪些新的啟迪？
教師出示作業(yè)紙：0+8＝8+0，6＋21＝21+6，1/9+4/9＝4/9＋1/9。生：我們在舉例時，都沒考慮到0的問題，但他考慮到了。
生：他還舉到了分數(shù)的例子，讓我明白了，不但交換兩個整數(shù)的位置和不變，交換兩個分數(shù)的位置和也不變。
師：沒錯，因為我們不只是要說明“交換兩個整數(shù)的位置和不變”，而是要說明，交換——
生：任意兩個加數(shù)的位置和不變。
師：看來，舉例驗證猜想，還有不少的學問?，F(xiàn)在，有了這么多例子，能得出“交換兩個加數(shù)的位置和不變”這個結論了嗎？（學生均認同）有沒有誰舉例時發(fā)現(xiàn)了反面的例子，也就是交換兩個加數(shù)位置和變了？這樣看來，我們能驗證剛才的猜想嗎？
生：能。
（教師重新將“？”改成“?！保⒀a充成為：“在加法中，交換兩個加數(shù)的位置和不變?！保煟夯仡檮偛诺膶W習，除了得到這一結論外，你還有其它收獲嗎？ 生：我發(fā)現(xiàn)，只舉
一、兩個例子，是沒法驗證某個猜想的，應該多舉一些例子才行。
生：舉的例子盡可能不要雷同，最好能把各種情況都舉到。
師：從“朝三暮四”的寓言中，我們得出“3+4＝4+3”，進而形成猜想。隨后，又通過舉例，驗證了猜想，得到了這一規(guī)律。該給這一規(guī)律起什么名稱呢？（學生交流后，教師揭示“加法交換律”，并板書。）
師：在這一規(guī)律中，變化的是兩個加數(shù)的――（板書：變）生：位置。師：但不變的是――
生：它們的和。（板書：不變）
師：原來，“變”和“不變”有時也能這樣巧妙地結合在一起。結論，是終點還是新的起點？
師：從個別特例中形成猜想，并舉例驗證，是一種獲取結論的方法。但有時，從已有的結論中通過適當變換、聯(lián)想，同樣可以形成新的猜想，進而形成新的結論。比如（教師指讀剛才的結論，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交換兩個加數(shù)的位置和不變?！蹦敲?，在——
生1：減法中，交換兩個數(shù)的位置，差會不會也不變呢？（學生中隨即有人作出回應，“不可能，差肯定會變?！保?/p>
師：不急于發(fā)表意見。這是他（生1）通過聯(lián)想給出的猜想。（板書：“猜想一：減法中，交換兩個數(shù)的位置差不變？”）生2：同樣，乘法中，交換兩個乘數(shù)的位置積會不會也不變？（板書：“猜想二：乘法中，交換兩個數(shù)的位置積不變？”）生3：除法中，交換兩個數(shù)的位置商會不變嗎？
（教師板書：“猜想三：除法中，交換兩個數(shù)的位置商不變？”）師：通過聯(lián)想，同學們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法，這是一種很有價值的思考。除此以外，還能通過其它變換，形成不一樣的新猜想嗎？
生4：我在想，如果把加法交換律中“兩個加數(shù)”換成“三個加數(shù)”、“四個加數(shù)”或更多個加數(shù)，不知道和還會不會不變？
師：這是一個與眾不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它將大大豐富我們對“加法交換律”的認識。(教師板書“猜想四：在加法中，交換幾個加數(shù)的位置和不變？”)現(xiàn)在，同學們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗證呢？選擇你最感興趣的一個，用合適的方法試著進行驗證。
（學生選擇猜想，舉例驗證。教師參與，適當時給予必要的指導。然后全班交流。）
師：哪些同學選擇了“猜想一”，又是怎樣驗證的？
生5：我舉了兩個例子，結果發(fā)現(xiàn)8－6＝2，但6－8卻不夠減；3/5－1/5＝2/5，但1/5－3/5卻不夠減。所以我認為，減法中交換兩個數(shù)的位置差會變的，也就是減法中沒有交換律。
師：根據(jù)他舉的例子，你們覺得他得出的結論有道理嗎？ 生：有。
師：但老師舉的例子中，交換兩數(shù)位置，差明明沒變嘛。你看，3－3＝0，交換兩數(shù)的位置后，3－3還是得0；還有，14－14＝14－14，100－100＝100－100，這樣的例子多著呢。
生6：我反對，老師您舉的例子都很特殊，如果被減數(shù)和減數(shù)不一樣，那就不行了。
生7：我還有補充，我只舉了一個例子，2－1≠1－2，我就沒有繼續(xù)往下再舉例。
師：哪又是為什么呢？
生7：因為我覺得，只要有一個例子不符合猜想，那猜想就錯了。師：同學們怎么理解他的觀點。生8：（略。）生9：我突然發(fā)現(xiàn)，要想說明某個猜想是對的，我們必須舉好多例子來證明，但要想說明某個猜想是錯的，只要舉出一個不符合的例子就可以了。
師：瞧，多深刻的認識！事實上，你們剛才所提到的符合猜想的例子，數(shù)學上我們就稱作“正例”，至于不符合猜想的例子，數(shù)學上我們就稱作――
生：反例。（有略。）
師：關于其它幾個猜想，你們又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？
生10：我研究的是乘法。通過舉例，我發(fā)現(xiàn)乘法中交換兩數(shù)的位置積也不變。
師：能給大家說說你舉的例子嗎？
生10：5×4＝4×5，0×100＝100×0，18×12＝12×18。（另有數(shù)名同學交流自己舉的例子，都局限在整數(shù)范圍內(nèi)。）師：那你們都得出了怎樣的結論？
生11：在乘法中，交換兩數(shù)的位置積不變。
生12：我想補充。應該是，在整數(shù)乘法中，交換兩數(shù)的位置積不變，這樣說更保險一些。
師：你的思考很嚴密。在目前的學習范圍內(nèi)，我們暫且先得出這樣的結論吧，等學完分數(shù)乘法、小數(shù)乘法后，再補充舉些例子試試，到時候，我們再來完善這一結論，你們看行嗎？（對猜想三、四的討論略。）
隨后，教師引導學生選擇完成教材中的部分習題（略），從正、反兩面鞏固對加法、乘法交換律的理解，并借助實際問題，溝通“交換律”與以往算法多樣化之間的聯(lián)系。
怎樣的收獲更有價值？
師：通過今天的學習，你有哪些收獲？
生：我明白了，加法和乘法中有交換律，但卻沒有減法交換律或除法交換律。生：我發(fā)現(xiàn)，有了猜想，還需要舉許多例子來驗證，這樣得出的結論才準確。生：我還發(fā)現(xiàn)，只要能舉出一個反例，那我們就能肯定猜想是錯誤的。生：舉例驗證時，例子應盡可能多，而且，應盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結論才更可靠。
師：只有一個例子，行嗎？
生：不行，萬一遇到特殊情況就不好了。
（作為補充，教師給學生介紹了如下故事：三位學者由倫敦去蘇格蘭參加會議，越過邊境不久，發(fā)現(xiàn)了一只黑羊?！罢嬗幸馑迹碧煳膶W家說：“蘇格蘭的羊都是黑的?！薄安粚Π?。”物理學家說，“我們只能得出這樣的結論：在蘇格蘭有一些羊是黑色的。”數(shù)學家馬上接著說：“我覺得下面的結論可能更準確，那就是：在蘇格蘭，至少有一個地方，有至少一只羊，它是黑色的?！保?/p>
必要的拓展：讓結論增殖！
師：在本課將結束時，依然有一些問題需要留給大家進一步思考。（教師出示：20－8－6○20－6－8;60÷2÷3○60÷3÷2）師：觀察這兩組算式，你發(fā)現(xiàn)什么變化了嗎？
生：我發(fā)現(xiàn)，第一組算式中，兩個減數(shù)交換了位置，第二組算式中，兩個除數(shù)也交換了位置。
師：交換兩個減數(shù)或除數(shù)，結果又會怎樣？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本課所掌握的方法，你能通過進一步的舉例驗證猜想并得出結論嗎？這些結論和我們今天得出的結論有沖突嗎，又該如何去認識？
專家評析張齊華教學的《交換律》一課
曹一鳴 轉貼：人民教育
一堂有價值的數(shù)學課，給予學生的影響應該是多元而立體的。有知識的豐厚、技能的純熟，更有方法的領悟、思想的啟迪、精神的熏陶。事實上，數(shù)學的確擁有這一切，而且，也可能傳遞這一切。然而，出于對知識與技能的盲目追逐，當今數(shù)學課堂忽視了本該擁有的文化氣度和從容姿態(tài)。知識化、技巧化、功利化思想的不斷彌散，讓數(shù)學思想、方法和精神失卻了可能生長的土壤，并逐漸為數(shù)學課堂所遺忘，這不能不說是當今眾多數(shù)學課堂的悲哀。近年來，在觀念層面的探討不少，真正落實到課堂教學實踐的卻不多?？上驳氖?，在張老師的這一節(jié)課中，我們看到了另一種努力，以及由此而帶來的變化。透過課堂，我們似乎觸及到了數(shù)學更為豐厚的內(nèi)涵，感受到數(shù)學教學可能呈現(xiàn)的更為開闊的景象。
對于“交換律”，一貫的教學思路是：結合具體情境，得出某一具有交換律特征的實例，由此引發(fā)猜想，并借助舉例驗證猜想、形成結論，進而在解釋和應用的過程中進一步深化認識。本課，在宏觀架構上并未作太大開拓。然而，在保持其整體架構的基礎上，這一堂課在更多細節(jié)上所給予的突破卻是十分顯見。我們不妨重歷課堂，去找尋這些細節(jié)，并探尋細節(jié)背后的意蘊所在。由“3+4=4+3”得出“交換兩數(shù)的位置，和不變”的猜想，似乎再自然不過了。然而，教師略顯突兀的介入，以“交換的位置，和不變”的細微變化，確又發(fā)人于深思。正如案例中所提及的，“一個例子究竟能說明什么”，是得出結論？還是僅僅是觸發(fā)猜想和驗證的一根引線？這里關乎知識的習得，更關乎方法的生成，關乎學生對于如何從事數(shù)學思考的思考?！膀炞C猜想，需要怎樣的例子”的探討，更是折射出了張老師獨特的教學智慧。曾經(jīng)，在太多的課堂里，我們目睹這樣的情形：學生舉例三、四，教師引導學生匆匆過場，似乎也有觀察、也有比較、也有提煉。然而，我們卻很少琢磨：觀察也好、提煉也罷，它究竟該建立在怎樣的基石之上，再換言之，在“簡潔”和“豐富”之間，誰才是“舉例驗證猜想”時應該遵循的規(guī)則。張老師的嘗試與表達無疑是對傳統(tǒng)教學的一種突破。“舉例”不應只追求簡約，例子的多元化、特殊性恰恰是結論準確和完整的前提。沒有老師適時的點撥與引導，學生如何才能有此深度體驗？無此體驗，我們?nèi)绾文苷f，學生已經(jīng)歷過程，并已感悟思想與方法？
觸及我深思的問題還在于，是什么原因觸發(fā)了這一節(jié)課將原來的“加法交換律”置換成了“交換律”？是內(nèi)容的簡單擴張？是教學結構的適度調(diào)整？隨后的課堂，給了我清晰的答復?！凹臃ńY合律”只是一個觸點，“減法中是否也會有交換律？”“乘法、除法中呢？”等新問題，則是原有觸點中誕生的一個個新的生長點。統(tǒng)整到一起時，作為某一特定運算的“交換律知識”被弱化了，而“交換律”本身、“變與不變”的辯證關系、“猜想－實驗－驗證”的思考路線、由“此知”及“彼知”的數(shù)學聯(lián)想等卻一一獲得突顯，成為超越于知識之上的更高的數(shù)學課堂追求。這何嘗不是一種有意義、有價值的探索？
課堂的結尾，我們依然看到了教師對傳統(tǒng)保守思路的背叛。確定的、可靠的結論已經(jīng)不再是這一堂課的終極追求，結論的可增殖性、結論的重新表達、問題的不斷生成和卷入，仿佛成為了這堂課最后的價值取向。即便是顛覆原有的結論，也在所不惜。在這里，我們再一次看到了教師對于數(shù)學知識的“戰(zhàn)略性”忽視，因為，教師心有大氣象。
數(shù)學是什么，數(shù)學可以留下些什么，數(shù)學可以形成怎樣的影響力？答案并不唯一。但我以為，數(shù)學可以在人的內(nèi)心深處培植理性的種子，她可以讓你擁有一顆數(shù)學的大腦，學會數(shù)學地思考，學會理性、審慎地看待問題、關注周遭、理解世界，這恰是這節(jié)課給予我們的最大啟迪。而數(shù)學的文化特性，恰也在于此。閱讀(2121)| 評論(0)
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