第一篇：數(shù)列知識的應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計

篇一：數(shù)列的實際應(yīng)用教案

數(shù)列實際應(yīng)用舉例

教學(xué)目標(biāo)：

（1）知識與技能：

初步掌握利用數(shù)列的基礎(chǔ)知識來解決實際問題的方法。

（2）過程與方法：

經(jīng)歷數(shù)列實際問題的解決過程，發(fā)展學(xué)生的思維，領(lǐng)悟解決數(shù)列實際問題

（3）情感、態(tài)度與價值觀：

通過情境創(chuàng)設(shè)，活動參與，體會數(shù)列在社會生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)數(shù)

教學(xué)重、難點：

教學(xué)方法：啟發(fā)法、討論法、情境教學(xué)法

教學(xué)手段：多媒體、黑板

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

教師活動：多媒體演示：數(shù)學(xué)史小故事《棋盤上的麥?！?/p>

古印度舍罕王打算獎賞國際象棋的發(fā)明人——宰相達依爾。

國王覺得這個要求太容易滿足了，就命令給她這些麥粒。

?264?1人們推算發(fā)現(xiàn)當(dāng)時全國所有的麥粒加在一起的總和也沒有這么多！?***709551615(粒)板書課題：數(shù)列實際應(yīng)用舉例

學(xué)生活動：1.觀看媒體演示，傾聽老師完整的敘述故事

2.觀察數(shù)列，找到該等比數(shù)列的首項、公比，并會利用公式計算

二、互動交流，問題探究

探究一：數(shù)列在生活中的應(yīng)用

我校機電專業(yè)近期計劃購進一批新型的制冷壓縮機,總價值20萬元，以分

第一種：首付款15500元，從第二年起每年比前一年多付1000元；

教師活動：問題1：此種付款方式我們需要幾年能夠還清貸款？

3：分組討論應(yīng)用題的解題方法，利用等差數(shù)列求和公式來進行

解：設(shè)需要n年能夠還清貸款，根據(jù)題意可知，該工程部每年所還貸款額

整理得：n2?30n?400?0 解得：n1??40（舍）n2?10

第二種：首付款2萬元，從第二年起還款數(shù)額每年比上一年增加20% 教師活動：問題2：此種付款方式五年內(nèi)機電專業(yè)總計還款多少萬元？

（參考數(shù)據(jù)：1.25?2.488）

3:分組討論應(yīng)用題的解題方法，利用等差數(shù)列求和公式來進行求

解：由題意，五年內(nèi)機電專業(yè)每年的付款額依次為（單位：萬元）2，2(1?20%)，2(1?20%)2，2(1?20%)3，2(1?20%)4.它們構(gòu)成等比數(shù)列，首項為a1?2公比為q?1?20%?1.2，項數(shù)n?5，因此，所2?(1?1.25)?14.88 求總利潤為s5?1?1.2

教師活動： 數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題一般步驟?(強調(diào)總結(jié))學(xué)生活動： 思考并回答，與老師共同完成數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題一般步驟: 第一步：審題;第二步：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；

第三步：求出數(shù)學(xué)問題的解；

第四步：檢驗

題目引申：分期付款在現(xiàn)代經(jīng)濟生活中非常常見，在貸款買車和買房的應(yīng)用也

非常廣泛，掌握好數(shù)列知識是必要的，當(dāng)然實際問題會更加復(fù)雜

探究二：數(shù)列在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

自然數(shù)按規(guī)律排成了如下面的三角形數(shù)陣 1 23 4 56 7 8 910 1112131415 ? ?? ?? ?? ?? 問題3：（1）第6行左起第2個數(shù)是多少？

（2）第10行左起第3個數(shù)是多少？

(由學(xué)生思考、分析，并解決實際問題;充分發(fā)揮學(xué)生課堂上的主體性，充

分相信學(xué)生，充分調(diào)動學(xué)生，尋找、探究該三角形數(shù)陣所蘊藏的規(guī)律，開放性

習(xí)題，學(xué)生可以有多種解法，自己去發(fā)現(xiàn)、尋找數(shù)學(xué)的樂趣)題目引申：

這是一道非常容易找到規(guī)律的數(shù)陣問題，那么在現(xiàn)實生活中有很多事物的規(guī)

律并不是這么的明顯，那么就需要我們細(xì)心觀察、留意進而善于找到、善于發(fā)

三、習(xí)題演練，鞏固新知

1.某林場計劃今年造林50畝，以后每年比上一年多造林15畝，問從今年起10 年內(nèi)該林場共造林多少畝？

2.某城區(qū)今年完成危房改造工程20萬平方米，以后計劃每年比前一年多完成8%，問從今年起的5年內(nèi)，該城區(qū)可完成多少萬平方米的危房改造程？

學(xué)生活動：學(xué)生獨立思考，分析并解決問題

四、總結(jié)提煉，升華認(rèn)識

請同學(xué)們回顧一下通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

1.回顧了所學(xué)過的等差數(shù)列與等比數(shù)列的相關(guān)知識；

五、課后作業(yè)：(學(xué)生課后根據(jù)自己情況完成作業(yè))1．學(xué)案上習(xí)題演練1、2； 2．活動作業(yè)：

請到當(dāng)?shù)劂y行調(diào)查居民定期存款利率，按你調(diào)查的利率計算下面問題：假設(shè)一

年期的存款利率6年內(nèi)不變，將1萬元現(xiàn)金存入銀行，一年后連本帶利取出，再將取出的本利和一起繼續(xù)轉(zhuǎn)存一年后再連本帶利取出，依次類推，這樣下去，問5年后取出的本利和是多少？

六、板書設(shè)計

課題：數(shù)列綜合應(yīng)用舉例

應(yīng)用題解題一般步驟 問題1： 問題2：

解：（詳細(xì)）解：（略寫）

審題

轉(zhuǎn)化

求解 →檢驗

篇二：人教a版必修5高三年級復(fù)習(xí)“數(shù)列的實際應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計

人教a版必修5高三年級復(fù)習(xí)“數(shù)列的實際應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計

三溪中學(xué)數(shù)學(xué)組 林愛武

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

必修5第二章《數(shù)列》這章中通過資產(chǎn)折舊、購房貸款、出租車計費、校校通等問題注重了數(shù)列知識在解決實際問題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)列的應(yīng)用性。高三第一輪復(fù)習(xí)時，本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容是繼續(xù)深化應(yīng)用數(shù)列知識建立數(shù)學(xué)模型解決實際生活中的問題。以往數(shù)列的內(nèi)容比較注重數(shù)列中各量之間關(guān)系的恒等變形。本模塊中，對數(shù)列內(nèi)容的處理突出了函數(shù)思想、數(shù)學(xué)模型思想以及離散與連續(xù)的關(guān)系。數(shù)列是一種離散函數(shù)，它是一種重要數(shù)學(xué)模型。

普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求在數(shù)列的教學(xué)中，應(yīng)保證基本技能的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生通過必要的練習(xí)，掌握數(shù)列中各量之間的基本關(guān)系，但訓(xùn)練要控制難度和復(fù)雜程度。這體現(xiàn)了新《課標(biāo)》在內(nèi)容處理上的一個原則：刪減煩瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

三、教學(xué)問題診斷分析

明確。這里需要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)閱讀，認(rèn)真審題，找到現(xiàn)實問題與數(shù)學(xué)知識點之間的聯(lián)系，找出量與量之間的關(guān)系，進行合理的轉(zhuǎn)化與化歸。

四、教學(xué)支持條件分析 本節(jié)的教學(xué)應(yīng)在復(fù)習(xí)了等差、等比數(shù)列，數(shù)列的求和及應(yīng)用之后進行的。本節(jié)教學(xué)過程涉及到大量的實際問題，有些問題的篇幅較長。為了有效地利用課堂教學(xué)時間，給學(xué)生充分的思考時間，提高高三復(fù)習(xí)效率。課前就先將這些問題打印成一張練習(xí)紙（如附件一），提前分發(fā)給每一位學(xué)生，以便學(xué)生利用課余時間完成其中的“課前熱身”練習(xí)。此外，理想的教學(xué)應(yīng)該是在現(xiàn)代信息技術(shù)的支持下完成的。教學(xué)之前，將這些實際問題、建模的一般步驟及涉及到的數(shù)列的知識點做成幻燈片。

五、教學(xué)過程設(shè)計

（一）復(fù)習(xí)引入,構(gòu)建知識點

教師：現(xiàn)實生活中銀行利率、資產(chǎn)折舊、購房貸款、出租車計費、產(chǎn)品利潤、人口增長等實際問題,通常用數(shù)列知識加以解決.1、常見數(shù)列模型：

（1）.復(fù)利公式：按復(fù)利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為n，則本利和為；y=a(1+r)n（2）產(chǎn)值模型：

原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為n,平均增長率為p,對于時間n的總產(chǎn)值為 ；y=n(1+p)n（3）.單利公式：

2、建立數(shù)學(xué)模型的一般方法步驟:（1）（2）（3）（4）.（1）審題（2）建模（3）求模（4）還原評價

3、課前熱身練習(xí)(見附件一)評講

（二）、共同探究，整合知識點 1.等差數(shù)列模型

學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義，判斷{an}是等差數(shù)列，并用等差數(shù)列求和公式解決此

2.等比數(shù)列模型

例2.某市2008年共有1萬輛燃油型公交車，有關(guān)部門計劃于2009年投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%，試問：

（1）該市在2015年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車？

（2）到哪一年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的 1/3？

問題1：從2009年投入128輛電力型公交車起，2010年，2011年等分別投入多少輛電力型公交車？可用什么符號表示每年投入車的數(shù)量？

問題2：從2009年投入電力型公交車起到第n年總投入的電力型公交車數(shù)量是多少？和該市公交車總量的 1/3有什么關(guān)系？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生將每年投入的電力型公交車數(shù)量用an(n=1,2, ?)表示，由

等比數(shù)列的定義知{an}是等比數(shù)列，建立等比數(shù)列模型，再由等比數(shù)列求和公式

3.等差、等比數(shù)列綜合問題模型

例3.在一次人才招聘上，有a，b兩家公司分別開出他們的工資標(biāo)準(zhǔn)：a公司允諾第一年月工資數(shù)為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元； b公司允諾第一年月工資數(shù)為2000元，以后每年月工資在上一年月工資基礎(chǔ)上遞增5%，設(shè)某人年初被a，b兩家公司同時錄取，試問：

（1）若該人分別在a公司或b公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是多少？

（2）該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)（不記其他因素），該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么？

問題1：a公司，b公司每年月工資分別成什么數(shù)列？如何用數(shù)學(xué)符號表示？ 問題2：如何計算10年的工資收入總量？兩家公司的工資收入總量有什么關(guān)系？ 師生活動：經(jīng)過例1，例2的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以將a公司每年的月工資用首項為1500，公差為230的等差數(shù)列{an}表示，將b公司每年的月工資用首項為2000，公比

4.遞推數(shù)列模型

（1）求an的表達式；

（2）為保護生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量不少于7/9a, 如果b=19/72a,那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎？若會，需經(jīng)過幾年？

問題1：分別寫出第1年后，第2年后，第3年后的木材存量a1，a2，a3，觀察有什么規(guī)律？并猜想an與an-1之間有何關(guān)系？如何求出an? 問題2：如何將（2）轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題？用什么數(shù)學(xué)式子表示該問題？ 師生活動：學(xué)生仔細(xì)閱讀，認(rèn)真審題，找到現(xiàn)實問題與數(shù)學(xué)知識點之間的聯(lián)系，找出量與量之間的關(guān)系an=1.25*an-1-b，引導(dǎo)學(xué)生通過建立遞推關(guān)系式，構(gòu)

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生歸納、猜想能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力，同時培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會構(gòu)造數(shù)列遞推關(guān)系模型，解決實際問題。

（三）、課堂練習(xí)，熟練知識點

練習(xí)：某下崗職工準(zhǔn)備開辦一個商店，要向銀行貸款若干，這筆貸款按復(fù)利計算(即本年利息計入下一年的本金生息)，利率為q(0＜q＜1).據(jù)他估算，貸款后每年可償還a元，30年后還清.（1）求貸款金額；

（2）若貸款后前7年暫不償還，從第8年開始，每年償還a元，仍然在貸款后30年還清，試問：這樣一來，貸款金額比原貸款金額要少多少元? 設(shè)計意圖：拓寬學(xué)生的知識面，培養(yǎng)學(xué)生熱愛生活，形成用數(shù)學(xué)的意識。從數(shù)學(xué)角度看，本例是解決與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用問題.必須認(rèn)真審題，弄清題意，解決問題的關(guān)鍵在于理解復(fù)利的概念及其運算。

第二篇：數(shù)列教學(xué)設(shè)計

§2.1.1 數(shù)列的概念與簡單表示法

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

1.教材的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容

本節(jié)課選自人教A版必修5第二章第一節(jié)《數(shù)列的概念與簡單表示法》第1課時的內(nèi)容，它主要研究數(shù)列的概念、分類，以及數(shù)列的兩種表示形式。

2.教材的地位、作用

本節(jié)課是在集合、映射、函數(shù)等相關(guān)知識的基礎(chǔ)上的一節(jié)課，它將數(shù)列與集合區(qū)分開來，使學(xué)生在對比中更加明確集合的概念性質(zhì)，將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來，加深了學(xué)生對函數(shù)的理解；同時作為數(shù)列的起始課，它為后續(xù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的學(xué)習(xí)作了知識儲備。

教材從實際問題引入數(shù)列的概念，這樣就把生活實際與數(shù)學(xué)有機地聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實用價值，讓學(xué)生感受到數(shù)列產(chǎn)生的背景，培養(yǎng)了學(xué)生觀察分析、抽象概括的能力。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

（1）理解數(shù)列及其概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系；

（2）掌握數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項；（3）對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的個通項公式。

2.過程與方法

通過對一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的通項公式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力。

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過例舉生活中的實際例子，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

三、教學(xué)重點和難點

1.教學(xué)重點

數(shù)列及其有關(guān)概念，數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用。

2.教學(xué)難點

根據(jù)一些數(shù)列的前幾項，抽象、歸納數(shù)列的通項公式。

四、教學(xué)過程

第一部分——創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

情境一：傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫

點或用小石子來表示數(shù)。比如他們研究過三角形數(shù)和正方形數(shù)（圖示）：

情境二：某市在某年內(nèi)的月平均氣溫為（單位：°C）：

8.0，9.5，9.5，12.8，20.6，25.1，30.0，32.3，29.7，17.2，10.2，8.0。

情境三：在學(xué)習(xí)英語的過程中，記憶英語單詞是很重要的一個環(huán)節(jié)。小明現(xiàn)在有3000個英

語單詞量，他認(rèn)為自己不需要再記憶了，于是他每天都會忘記10個單詞，而小東現(xiàn)在 只有2000個單詞量，他認(rèn)為自己需要不斷的重復(fù)記憶，保證2000個單詞量不變。問題：從以上三個情境中，我們可以得到這樣的五組數(shù)據(jù)：①1，3，6,10，15，...；②1，4，9，16，25，...；③8.0，9.5，9.5，12.8，20.6，25.1，30.0，32.3，29.7，17.2，10.2，8.0；④3000，2990，2980，2970，...；⑤2000，2000，2000，2000，...。觀 察這五組數(shù)據(jù)，看它們有何共同特點？

【師生活動】

學(xué)生獨立思考，教師點名回答 【教師歸納】

（1）均是一列數(shù)；（2）有一定次序 【設(shè)計意圖】

首先，情境的設(shè)計均源于生活，既可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)列的概念，又能夠讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)概念形成的背景以及數(shù)學(xué)在實際生活中應(yīng)用的廣泛性，激發(fā)學(xué)生會的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。其次，情境中的五組數(shù)據(jù)，也可作為教學(xué)中數(shù)列的分類等較為典型的例子。

第二部分——師生合作，形成概念

1.定義

數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù) 2.定義剖析

（1）數(shù)列的數(shù)是按一定順序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；

（2）定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)。問題：回憶集合的相關(guān)定義、性質(zhì)，將以上五個數(shù)列中的數(shù)用集合表示，觀察分析集合與數(shù)

列有何區(qū)別？

【師生活動】

學(xué)生獨立思考，教師點名回答 【教師歸納】

（1）集合中的元素是無序的，而數(shù)列中的數(shù)是按一定順序排列的；

（2）集合中的元素是互異的，而數(shù)列中的數(shù)是可以重復(fù)出現(xiàn)的；

（3）集合中的元素不一定是數(shù)，而數(shù)列的對象一定是數(shù)。3.相關(guān)概念

（1）數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項.。各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，?，第n 項，?。（2）數(shù)列的一般形式：a1,a2,a3,...,an,...，簡記為?an?，其中an為數(shù)列的第n項。（3）數(shù)列的分類：

①根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。

②根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列。結(jié)合上述例子，幫助學(xué)生理解數(shù)列項的定義。例如，數(shù)列①中，“1”是這個數(shù)列的第1項（或首項），“15”是這個數(shù)列中的第5項；數(shù)列①②為遞增數(shù)列，數(shù)列④為遞減數(shù)列，數(shù)列⑤為常數(shù)列，數(shù)列③為擺動數(shù)列等等。

第三部分——例題講解，鞏固新知

例：下面的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列？

（1）全體自然數(shù)構(gòu)成數(shù)列

0，1，2，3，....（2）1996~2002年某市普通高中生人數(shù)（單位：萬人）構(gòu)成數(shù)列

82，93，105，119，129，130，132.（3）無窮多個3構(gòu)成數(shù)列

3，3，3，....（4）目前通用的人民幣面額按從大到小的順序構(gòu)成數(shù)列（單位：元）

100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01.（5）-1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪......構(gòu)成數(shù)列

-1，1，-1，1，....（6）2的精確到1，0.1，0.01，0.001，...，的不足近似值與過剩近似值分別構(gòu)成數(shù)列

1，1.4，1.41，1.414，...；

2，1.5，1.42，1.415，....【設(shè)計意圖】

通過幾個典型的例子，加深學(xué)生對數(shù)列的理解以及數(shù)列項與項之間的關(guān)系，使學(xué)生掌握數(shù)列的分類。

第四部分——課堂小結(jié)，深化新知 【師生共同總結(jié)】

（1）數(shù)列的定義

（2）數(shù)列的項及一般表示形式（3）數(shù)列的分類

第三篇：《數(shù)列求和》教學(xué)設(shè)計

《數(shù)列求和》教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能

讓學(xué)生掌握數(shù)列求和的幾種常用方法，能熟練運用這些方法解決問題。

2、過程與方法

培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力，歸納總結(jié)能力，聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、化歸能力，探究創(chuàng)新能力。

3、情感,態(tài)度,價值觀

通過教學(xué)，讓學(xué)生認(rèn)識到事物是普遍聯(lián)系，發(fā)展變化的。

二、教學(xué)重點：

非等差,等比數(shù)列的求和方法的正確選擇

三、教學(xué)難點：

非等差,等比數(shù)列的求和如何化歸為等差,等比數(shù)列的求和

四、教學(xué)過程：

求數(shù)列的前n項和Sn基本方法：

1.直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，等比數(shù)列求和時注意分q=

1、q≠1的討論； 2.分組求和法：把數(shù)列的每一項分成幾項，使轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求和； 3.裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成幾項之差,使在求和時能出現(xiàn)隔項相消(正負(fù)相消),剩下（首尾）若干項求和.如:

設(shè)計意圖：

讓學(xué)生回顧舊知，由此導(dǎo)入新課。

[教師過渡]：今天我們學(xué)習(xí)《數(shù)列求和》第一課時，課標(biāo)要求和學(xué)習(xí)內(nèi)容如下:(多媒體課件展示)導(dǎo)入新課：

[情境創(chuàng)設(shè)](課件展示): 例1：求數(shù)列 1?12,2?14,3?18,???,10?1210,???,n?1???n,2 的前n項和。

[問題生成]：請同學(xué)們觀察否是等差數(shù)列或等比數(shù)列？

設(shè)問：既然不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，那么就不能直接用等差，等比數(shù)列的求和公 式，請同學(xué)們仔細(xì)觀察一下此數(shù)列有何特征

111111，3，5，7，9，?的前項和。2481632n 練習(xí)1.求數(shù)列

22n-1 練習(xí)2.求數(shù)列1，1+2，1+2+2，···，1+2+2+···+2，···.的前n項和。

例2：求數(shù)列1111，…的前n項和。，,......1?22?33?4n?(n?1)[教師過渡]：對于通項形如an?裂項相消求和方法

練習(xí)3.求和

練習(xí)4..求和sn?1（其中數(shù)列?bn?為等差數(shù)列）求和時，我們采取

bb?bn?11?1?212?3???1n?n?1

[特別警示] 利用裂項相消求和方法時，抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，才能使裂開的兩項差與原通項公式相同。

五、方法總結(jié)：

公式求和：對于等差數(shù)列和等比數(shù)列a的前n項和可直接用求和公式.分組求和：利用轉(zhuǎn)化的思想,將數(shù)列拆分、重組轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求和.裂項相消：對于通項型如an?1（其中數(shù)列?bn?為等差數(shù)列）的數(shù)列,在求和時

bb?bn?1將每項分裂成兩項之差的形式,一般除首末兩項或附近幾項外,其余各項先后抵消,可較易求出前n項和。

六、作業(yè)布置：

第四篇：數(shù)列極限教學(xué)設(shè)計

數(shù)列極限教學(xué)設(shè)計

復(fù)習(xí)目的：1.理解數(shù)列極限的概念，會用“”定義證明簡單數(shù)列的極限。

2.掌握三個最基本的極限和數(shù)列極限的運算法則的運用。

3.理解無窮數(shù)列各項和的概念。

4.培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力、運算能力，提高學(xué)生分析問題，解決問

題的能力。

教學(xué)過程：

問題1：根據(jù)你的理解，數(shù)列極限的定義是如何描述的？

數(shù)列極限的定義：對于數(shù)列{an},如果存在一個常數(shù)A，無論事先指定多么小的正數(shù)，都能在數(shù)列中找到一項aN,使得這一項后的所有項與A的差的絕對值小于，（即當(dāng)n>N時，記<恒成立），則常數(shù)A叫數(shù)列{an}的極限。——“”定義。問題2：“作用？ 正數(shù)”定義中，的任意性起什么作用？，N的存在性又起什么的任意性和N的存在性是定義的兩個基本特征。

時，an趨近于A的無限性，即趨近程度的無（1）的任意性刻劃了當(dāng)

限性（要有多近有多近）。

（2）N的存在性證明了這一無限趨近的可能性。

問題3：“

問題4：“”定義中的N的值是不是唯一？ ”定義中，<的幾何意義是什么？

因為< 即A-n,所以無論區(qū)間（A-，A+）多么小，當(dāng)n>N時，an對應(yīng)的點都在區(qū)間（A-

問題5：利用“，A+）內(nèi)?！倍x來證明數(shù)列極限的關(guān)鍵是什么？ <恒成關(guān)鍵是對任意的要找到滿足條件的N。（條件是當(dāng)n>N時，立）。

問題6

：無窮常數(shù)數(shù)列有無極限？數(shù)列呢？數(shù)列

（<1）呢？

三個最基本的極限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0（<1）。

問題7

：若=A，=B，則（）=？，（）=

？，=

？，=？。數(shù)列極限的運算法則：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。

即如果兩個數(shù)列都有極限，那么這兩個數(shù)列對應(yīng)項的和，差，積，商組成新數(shù)列的極限分別等于它們極限的和，差，積，商。（各項作為除數(shù)的數(shù)列的極限不能為零)

問題8：（，）

=

++

+=0對嗎？ 運算法則中的只能推廣到有限個的情形。

問題9：無窮數(shù)列各項和s是任何定義的？ s=,其中為無窮數(shù)列的前n項和，特別地，對無窮等比數(shù)列（<1），s=。注意它的含義和成立條件。例1

．用極限定義證明：

例2．求下列各式的值

（2）[（）=，]

（2）（）

例3

．已知例4

．計算：

（++）=0，求實數(shù)a,b的值。+，例5．已知數(shù)列是首項為1，公差為d的等差數(shù)列，它的前n項和為

<1)的等比數(shù)列，它的前n項和為，是首項為1，公比為q（記=+++，若（-）=1，求d , q。

小結(jié)：本節(jié)課復(fù)習(xí)了數(shù)列極限的概念，運算法則，三個最基本的極限，無窮數(shù)列各項和的概念，以及它們的運用，主要是利用數(shù)列極限概念證明簡單數(shù)列的極限，利用運算法則求數(shù)列的極限，（包括已知極限求參數(shù)），求無窮數(shù)列各項和。

第五篇：數(shù)列知識梳理

數(shù)列

一、數(shù)列

1、定義：按照一定順序排列起來的一列數(shù)。

2、通項公式：

（1）定義：an?f(n)

（2）求法：①觀察法（注意觀察項與項數(shù)、項與項、不變項與變項之間的關(guān)系）

如：根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：

10?1,7,?13,19,?

208,88,888,8888,?

30?1,0,?1,0,?

① 累加法：如等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)

② 累乘法：如等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)。

③ 利用Sn與an的關(guān)系進行求解

如：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求{an}的通項公式

10Sn?2n2?3n；20Sn?3n?b

④ 取倒數(shù)

如：數(shù)列{an}中，an?1?an，a1?2，求a4（提示：通過取倒數(shù)構(gòu)造新數(shù)1?3an

列，判斷新數(shù)列是特殊數(shù)列進而求解）

⑤ 迭代法

已知數(shù)列{an}滿足a1?1,an?1?2an?1(n?N*)，求an

法10通過添加項構(gòu)造新數(shù)列：an?1?1?2(an?1)，得{an?1}是以a1?1?2為首項，2為公比的等比數(shù)列。

20an?1?2an?1?2(2an?1?1)?1?22an?1?2?1?22(2an?2?1)?2?1=23an?2?22?2?1???2na1?2n?1?2n?2???2?1=

2?2nn?1?2n?21?2n?

1???2?1??2n?1?1，∴an?2n?1 1?

2⑥ 設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對于所有的n?N?，都

有8Sn?(an?2)2，求數(shù)列{an}的通項公式。

分析：當(dāng)n?2時8Sn?1?(an?1?2)2，∴有8

（Sn?Sn?1)=8an?(an?2)2?(an?1?2)2，∴（a(n?an?1)(an?an?1?4)?0又{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，∴an?an?1?4?0，∴an?an?1?4，∴{an}是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以an?4n?2

一、等差數(shù)列

1、定義：從第二項起，每一項與其前一項的差是同一個常數(shù)。

符號語言：①an?1?an?d(n?N?)；②an?an?1?d(n?2,n?N?)； ③an?1?an?an?an?1(n?2,n?N?)

2、證明一數(shù)列是等差數(shù)列的方法：如證明數(shù)列{3n?2}是等差數(shù)列。

3、通項公式：an?a1?(n?1)d

①an?dn?(a1?d)，d?0時表示n是 自變量an是函數(shù)值的一次函數(shù)，點(n,an)(n?n?)在以d為斜率，a1?d為y軸上的截距的直線上，該數(shù)列的圖象是一群孤立的點組成。

②(n,an),(m,am)(n?m)共線，所以d?an?am，從而有an?am?(n?m)d n?m

③等差中項：如果三個數(shù)x,A,y成等差數(shù)列，則三個數(shù)的關(guān)系是。

4、前n項和

① 推導(dǎo)方法：倒序相加法

舉例：

（1）設(shè)f(x)?

為。12?2x，則f(?5)?f(?4)???f(0)??f(5)?f(6)的值

（2）若函數(shù)f(x)對任意x?R，都有f(x)?f(1?x)?

212n?1)?f(1)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？試證10an?f(0)?f()?f()???f(nnn

明你的結(jié)論。

20若{1}的前n項和為Tn，Tn??an?1對一切n?N?都成立，求?的取值范anan?

1圍。

（3）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S6?36，Sn?324，若Sn?4?144(n?6)，則n=.②Sn?na1?n(a1?an)n(n?1)d? 22

121dn?(a1?d)n 22變形：10Sn?

d?0時點(n,Sn)都在一個二次函數(shù)的圖象上。

20Sndd?n?(a1?)n22

Sn)(n?N?)共線 n點(n,思考：等差數(shù)列{an}的前m項和為20，前2m項和為100，求它的前3m項和。（用三種方法求解）

5、性質(zhì)：

①如果m,n,s,t?N?且滿足m+n=s+t，則am,an,as,at之間的關(guān)是。如果m,n,t?N?且滿足m+n=2t，則am,an,at之間的關(guān)是 ② 若{an}是等差數(shù)列，ak,a2k,a3k,?, 是否是等差數(shù)列？若是，公差是多少？

③ {an}是等差數(shù)列，若去掉前面幾項，剩余的項組成的數(shù)列是否為等差數(shù)列？ ④ Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，Sk,S2k?Sk,S3k?S2k,?是否成等差數(shù)列？ ⑤ 前n項和公式Sn?An2?Bn（A、B為常數(shù)）?{an}為等差數(shù)列

⑥ 三個數(shù)成等差數(shù)列該如何設(shè)最簡單（前提知道該三數(shù)的和）？四個數(shù)成等差數(shù)列呢？

⑦ 若等差數(shù)列的項數(shù)為2n，則有：10S偶?S奇?S奇S偶?。

若項數(shù)為2n+1，則有S奇?S偶?S奇S偶?。

如：項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列{an}中，奇數(shù)項之和為80，偶數(shù)項之和為85，求此數(shù)列的中間項與項數(shù)。

另外常見題型：

1、在等差數(shù)列{an}中，已知a1?20，前n項和為Sn，且S10?S15，求當(dāng)n取何值時，Sn有最大值，并求出它的最大值。

2、數(shù)列{an}的數(shù)列{an}的前n項和為Sn=100n-n2，（1）判斷{an}是否是等差數(shù)列，若是，求其首項、公差；

（2）設(shè)bn?|an|，求數(shù)列{bn}的前n項和。

（3）已知等差若m?1,m?N，且am?1?am?1?am?0,S2m?1?38，則m等

于。

（4）已知數(shù)列數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足

an?2Sn?Sn?1?0(n?2),a1?

10求證：{21 21}是等差數(shù)列； Sn

20求an的表達式。

等比數(shù)列

一、等比數(shù)列

1、定義：從第二項起，每一項與其前一項的比是同一個常數(shù)。符號語言：①an?1a?q(n?N?)；②n?q(n?2,n?N?)； anan?

1③an?1a?n(n?2,n?N?)anan?12、證明一數(shù)列是等比數(shù)列的方法：

3、通項公式：an?a1qn?

1①an?amqn?m

③等比中項：如果三個數(shù)x,A,y成等比數(shù)列，則三個數(shù)的關(guān)系是。思考：是否是任意三個數(shù)都有等比中項？

是否是所有的常數(shù)數(shù)列都是等比數(shù)列？

4前n項和公式

① 推導(dǎo)方法：乘公比錯位相減法（思考：該方法適用的范圍）123n舉例：求和Sn??2?3???n aaaa

(q?1)?na1?②Sn??a1(1?qn)(q?1)?1?q?

3、性質(zhì)：

①如果m,n,s,t?N?且滿足m+n=s+t，則am,an,as,at之間的關(guān)是。如果m,n,t?N?且滿足m+n=2t，則am,an,at之間的關(guān)是 ⑧ 若{an}是等比數(shù)列，ak,a2k,a3k,?, 是否是等比數(shù)列？若是，公比是多少？ ⑨ {an}是等比數(shù)列，若去掉前面幾項，剩余的項組成的數(shù)列是否為等比數(shù)列？ ⑩ Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，Sk,S2k?Sk,S3k?S2k,?是否成等比數(shù)列？ ? 三個數(shù)成等比數(shù)列該如何設(shè)最簡單（前提知道該三數(shù)的積）？四個數(shù)成等比數(shù)列呢？

另外常見題型：

練習(xí)：（1）等比數(shù)列{an}中，q?2,S99?77，求a1?a6????a99

（2）已知數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a4?2a3a5?a4a6?25,則a3?a5?

（3）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q?0)，它的前n項和為40，前2n項為3280，且前n項和中數(shù)值最大項為27，求數(shù)列的第2n項。

數(shù)列求和

1、公式法

求和：Sn?1?11?111?1111???11?1(n個1)

2、錯位相減法：

（09山東文）等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n?N?，點(n,Sn)均在函數(shù)y?bx?r(b?0,b?1,b,r均為常數(shù)）的圖象上；

（1）求r的值；

（2）當(dāng)b?2時，記bn?

3、倒序相加法

4、裂項相消法

如：在數(shù)列{an}中，an?

前n項和Tn5、分組法 111如：Sn?(x?)2?(x2?2)2???(xn?n)2 xxx6、并項法 12n2????，又bn?，求數(shù)列{bn}的n?1n?1n?1anan?1n?1(n?n?)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn 4an

如Sn?1?5?9?13???(?1)n?1(4n?3)

注意各種方法適用的范圍。