第一篇：高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)解析教案13 數(shù)列的通項(xiàng)與求和

高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) http://004km.cn}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)一切n∈N*，都有

cc1c1????n=an+1成立，求b1b2cnn??limS2n?1.S2n命題意圖：本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的極限，以及運(yùn)算能力和綜合分析問(wèn)題的能力.屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：本題利用函數(shù)思想把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題非常明顯，而(2)中條件等式的左邊可視為某數(shù)列前n項(xiàng)和，實(shí)質(zhì)上是該數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列{an}的關(guān)系，借助通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解cn是該條件轉(zhuǎn)化的突破口.錯(cuò)解分析：本題兩問(wèn)環(huán)環(huán)相扣，(1)問(wèn)是基礎(chǔ)，但解方程求基本量a1、b1、d、q，計(jì)算不準(zhǔn)易出錯(cuò)；(2)問(wèn)中對(duì)條件的正確認(rèn)識(shí)和轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.技巧與方法：本題(1)問(wèn)運(yùn)用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，思路較為自然，(2)問(wèn)“借雞生蛋”構(gòu)造新數(shù)列{dn}，運(yùn)用和與通項(xiàng)的關(guān)系求出dn，絲絲入扣.解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，b3(q?2)22∴=q，由q∈R，且q≠1，得q=－2，?b1q2∴bn=b·qn1=4·(－2)n1 －

－(2)令cn=dn，則d1+d2+?+dn=an+1,(n∈N*), bn京翰教育http://004km.cn8－=2,即cn=2·bn=8·(－2)n1；∴Sn=［1－(－2)n］.bn3∴S2n?11?(?2)?S2n1?(?2)2n2n?11(?)2n?2S?2,lim2n?1??2

1n??S2n(?)2n?12［例2］設(shè)An為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，An=(an－1)，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=4n+3;2(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)把數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng)按從小到大的順序排成一個(gè)新的數(shù)列，證明：數(shù)列{dn}的通項(xiàng)公式為dn=32n+1;(3)設(shè)數(shù)列{dn}的第n項(xiàng)是數(shù)列{bn}中的第r項(xiàng)，Br為數(shù)列{bn}的前r項(xiàng)的和；Dn為數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和，Tn=Br－Dn，求lim

n??

Tn.(an)4命題意圖：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式及其相互關(guān)系；集合的相關(guān)概念，數(shù)列極限，以及邏輯推理能力.知識(shí)依托：利用項(xiàng)與和的關(guān)系求an是本題的先決；(2)問(wèn)中探尋{an}與{bn}的相通之處，須借助于二項(xiàng)式定理；而(3)問(wèn)中利用求和公式求和則是最基本的知識(shí)點(diǎn).錯(cuò)解分析：待證通項(xiàng)dn=32n+1與an的共同點(diǎn)易被忽視而寸步難行；注意不到r與n的關(guān)系，使Tn中既含有n，又含有r，會(huì)使所求的極限模糊不清.技巧與方法：(1)問(wèn)中項(xiàng)與和的關(guān)系為常規(guī)方法，(2)問(wèn)中把3拆解為4－1，再利用二項(xiàng)式定理，尋找數(shù)列通項(xiàng)在形式上相通之處堪稱妙筆；(3)問(wèn)中挖掘出n與r的關(guān)系，正確表示Br，問(wèn)題便可迎刃而解.解：(1)由An=∴an+1－an=33(an－1)，可知An+1=(an+1－1)，22a33(an+1－an)，即n?1=3，而a1=A1=(a1－1)，得a1=3，所以數(shù)列是以

3an22為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3n.2n12nn?1(2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n=3·［42n+C1(－1)+?+C22n·4·(－1)+(－1)］2n·

4－=4n+3，n?1∴32n+1∈{bn}.而數(shù)32n=(4－1)2n=42n+C142n1·(－1)+?+C24·(－1)+(－1)2n=(4k+1)，2n·2n·

－∴32n?{bn}，而數(shù)列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.32n?1?3(3)由3=4·r+3，可知r=，4r(7?4r?3)32n?1?332n?1?72727n?r(2r?5)??,Dn??(1?9n)?(9?1)，∴Br=2421?982n+

1京翰教育http://004km.cn?Cn?Cn,??等n(n?1)!n!(n?1)!④錯(cuò)項(xiàng)相消法 ⑤并項(xiàng)求和法

數(shù)列通項(xiàng)與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、填空題

1.(★★★★★)設(shè)zn=(則limSn=_________.n??

1?in)，(n∈N*)，記Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+?+｜zn+1－zn｜，22.(★★★★★)作邊長(zhǎng)為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個(gè)圓內(nèi)作新的內(nèi)接正三角形，在新的正三角形內(nèi)再作內(nèi)切圓，如此繼續(xù)下去，所有這些圓的周長(zhǎng)之和及面積之和分別為_(kāi)________.京翰教育http://004km.cn=bn－1，則cn=(n?1?n?2)

2anan?112n?12n?111?[(?1)?(?1)]??,22n?12n?12n?12n?1b1?b2???bn?n?c1?c2???cn 111111?(1?)?(?)???(?)?1?,3352n?12n?12n?11?lim(b1?b2???bn?n)?lim(1?)?1.n??n??2n?1殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析:設(shè)cn?|zn?1?zn|?|(1?in?11?in2)?()|?()n?1, 222京翰教育http://004km.cn?2?22?21?2?limSn?n??12?22 2?2?22?1? 22答案：1+2.解析：由題意所有正三角形的邊長(zhǎng)構(gòu)成等比數(shù)列{an}，可得an=

a2n?1，正三角形的內(nèi)切圓構(gòu)成等比數(shù)列{rn}，可得rn=

31a,

62n?133?a，2∴這些圓的周長(zhǎng)之和c=lim2π(r1+r2+?+rn)=

n??

?2a

n??933?答案：周長(zhǎng)之和πa，面積之和a2

29面積之和S=limπ(n2+r22+?+rn2)=

二、3.解：(1）可解得

an?1n?，從而an=2n，有Sn=n2+n，ann?1(2)Tn=2n+n－1.(3)Tn－Sn=2n－n2－1，驗(yàn)證可知，n=1時(shí)，T1=S1，n=2時(shí)T2＜S2；n=3時(shí)，T3＜S3;n=4時(shí)，T4＜S4；n=5時(shí)，T5＞S5；n=6時(shí)T6＞S6.猜想當(dāng)n≥5時(shí)，Tn＞Sn，即2n＞n2+1 可用數(shù)學(xué)歸納法證明(略）.4.解：(1）由an+2=2an+1－an?an+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差數(shù)列，

d=a4?a1=－2,∴an=10－2n.4?1(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，當(dāng)n≤5時(shí)，Sn=－n2+9n，當(dāng)n＞5時(shí)，Sn=n2－9n+40，2?1?n?5??n?9n 故Sn=?

2?n?5?n?9n?40(3)bn=11111??(?)

n(12?an)n(2n?2)2nn?1111111nm?Tn?b1?b2???bn?[(1?)?(?)???(?)]?；要使Tn＞

2223nn?12(n?1)32總成立，需1m＜T1=成立，即m＜8且m∈Z，故適合條件的m的最大值為7.4325.解：(1）由已知Sn+1=(m+1)－man+1①，Sn=(m+1)－man②,由①－②，得an+1=man－man+1，即(m+1)an+1=man對(duì)任意正整數(shù)n都成立.∵m為常數(shù)，且m＜－1

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高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) http://004km.cn ∴an?1am?，即{n}為等比數(shù)列.anm?1an?1(2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=m+1－ma1，∴a1=1，從而b1=由(1)知q=f(m)=

1.3bm，∴bn=f(bn－1)=n?1(n∈N*,且n≥2)

bn?1?1m?1∴111111?1???1，∴{}為等差數(shù)列.∴=3+(n－1)=n+2，即bnbn?1bnbn?1bnbn?bn?1(n∈N*).n?2mn?1n?1mm?an?(),?lim(bn?lgan)?lim[lg]?lg,n??n??n?2m?1m?1m?1111111而lim3(b1b2?b2b3???bn?1bn)?lim3(???????)?1 n??n??3445n?1n?2mm10由題意知lg?1,??10,?m??m?1m?19?b1?1?6.解：(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，由題意得：?解得b1=1,d=3, 10(10?1)10b1?d?145?2?∴bn=3n－2.(2)由bn=3n－2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+=loga［(1+1)(1+

11)+?+loga(1+)43n?2111)?(1+)］，logabn+1=loga33n?1.43n?23111因此要比較Sn與logabn+1的大小，可先比較(1+1)(1+)?(1+)與33n?1的大343n?2小，取n=1時(shí)，有(1+1)＞33?1?1

1)＞33?2?1? 411 由此推測(cè)(1+1)(1+)?(1+)＞33n?1

43n?2取n=2時(shí)，有(1+1)(1+若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判定：

①

1logabn+1，31當(dāng)0＜a＜1時(shí)，Sn＜logabn+1，3當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證①式成立.② ③

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高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) http://004km.cn(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)(k≥1），①式成立，即：

11(1?1)(1?)?(1?)?33k?1.那么當(dāng)n=k+1時(shí)，43k?2311113k?13(1?1)(1?)?(1?)(1?)?3k?1(1?)?(3k?2).43k?23(k?1)?23k?13k?13k?1(3k?2)2?(3k?4)(3k?1)2233?[(3k?2)]?[3k?4]?3k?1(3k?1)2339k?43k?1??0,?(3k?2)?33k?4?33(k?1)?123k?1(3k?1)111因而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33(k?1)?143k?23k?1

這就是說(shuō)①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由(?。?ⅱ）可知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立.由此證得： 當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞11logabn+1；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，Sn＜logabn+1.337.解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t.∴a2=2t?3a22t?3,?.3ta13t

① ② 又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t，3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t

①－②得3tan－(2t+3)an－1=0.∴an2t?32t?3?,n=2,3,4?,所以{an}是一個(gè)首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列； an?13t3t122t?321=?,得bn=f()=+bn－1.bn?133t3t(2)由f(t)= 可見(jiàn){bn}是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為于是bn=1+

2的等差數(shù)列.322n?1(n－1)=;33542n?1(3)由bn=,可知{b2n－1}和{b2n}是首項(xiàng)分別為1和，公差均為的等差數(shù)列，于

3334n?1是b2n=, 3∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+?+b2n－1b2n－b2nb2n+1 =b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+?+b2n(b2n－1－b2n+1)=－

京翰教育http://004km.cn/ 44154n?14(b2+b4+?+b2n)=－·n(+)=－(2n2+3n)332393高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) http://004km.cn

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第二篇：高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)解析教案13 數(shù)列的通項(xiàng)與求和

高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) http://004km.cn}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)一切n∈N*，都有

c1b1?c1b2???cncn=an+1成立，求limn??S2n?1S2n.命題意圖：本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的極限，以及運(yùn)算能力和綜合分析問(wèn)題的能力.屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：本題利用函數(shù)思想把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題非常明顯，而(2)中條件等式的左邊可視為某數(shù)列前n項(xiàng)和，實(shí)質(zhì)上是該數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列{an}的關(guān)系，借助通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解cn是該條件轉(zhuǎn)化的突破口.錯(cuò)解分析：本題兩問(wèn)環(huán)環(huán)相扣，(1)問(wèn)是基礎(chǔ)，但解方程求基本量a1、b1、d、q，計(jì)算不準(zhǔn)易出錯(cuò)；(2)問(wèn)中對(duì)條件的正確認(rèn)識(shí)和轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.技巧與方法：本題(1)問(wèn)運(yùn)用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，思路較為自然，(2)問(wèn)“借雞生蛋”構(gòu)造新數(shù)列{dn}，運(yùn)用和與通項(xiàng)的關(guān)系求出dn，絲絲入扣.解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d－(d－2)=2d，∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴b3b1?(q?2)q2222=q，由q∈R，且q≠1，得q=－2，2∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1

京翰教育http://004km.cnbn=dn，則d1+d2+?+dn=an+1,(n∈N*), ∴dn=an+1－an=2, ∴cnbn=2,即cn=2·bn=8·(－2)

1212n－

1；∴Sn=

83［1－(－2)］.n∴S2n?1S2n?1?(?2)2n?12n(??(?))2n?2,lim?1n??S2n?1S2n321?(?2)??2

2n［例2］設(shè)An為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，An=(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(an－1)，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=4n+3;(2)把數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng)按從小到大的順序排成一個(gè)新的數(shù)列，證明：數(shù)列{dn}的通項(xiàng)公式為dn=32n+1;(3)設(shè)數(shù)列{dn}的第n項(xiàng)是數(shù)列{bn}中的第r項(xiàng)，Br為數(shù)列{bn}的前r項(xiàng)的和；Dn為數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和，Tn=Br－Dn，求limn??Tn(an)4.命題意圖：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式及其相互關(guān)系；集合的相關(guān)概念，數(shù)列極限，以及邏輯推理能力.知識(shí)依托：利用項(xiàng)與和的關(guān)系求an是本題的先決；(2)問(wèn)中探尋{an}與{bn}的相通之處，須借助于二項(xiàng)式定理；而(3)問(wèn)中利用求和公式求和則是最基本的知識(shí)點(diǎn).錯(cuò)解分析：待證通項(xiàng)dn=32n+1與an的共同點(diǎn)易被忽視而寸步難行；注意不到r與n的關(guān)系，使Tn中既含有n，又含有r，會(huì)使所求的極限模糊不清.技巧與方法：(1)問(wèn)中項(xiàng)與和的關(guān)系為常規(guī)方法，(2)問(wèn)中把3拆解為4－1，再利用二項(xiàng)式定理，尋找數(shù)列通項(xiàng)在形式上相通之處堪稱妙筆；(3)問(wèn)中挖掘出n與r的關(guān)系，正確表示Br，問(wèn)題便可迎刃而解.解：(1)由An=3232(an－1)，可知An+1=

an?1an32(an+1－1)，32∴an+1－an=(an+1－an)，即=3，而a1=A1=(a1－1)，得a1=3，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3n.2n－1n?1(2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n=3·［42n+C1(－1)+?+C2·4·(－1)+(－1)2n］2n2n·4=4n+3，∴3+1∈{bn}.而數(shù)3=(4－1)=4+C142n·2n

2n

2n

2n

2n－1

n?1·(－1)+?+C2·4·(－1)+(－1)=(4k+1)，2n2n∴32n?{bn}，而數(shù)列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.(3)由32n+1=4·r+3，可知r=

32n?1?34，京翰教育http://004km.cnn?1?1n?1n?1r,n?n!?(n?1)!?n!,1?1n!?11sin2?等?ctgα?ctg2α，?Cnr?1?Cn,(n?1)!(n?1)!④錯(cuò)項(xiàng)相消法 ⑤并項(xiàng)求和法

數(shù)列通項(xiàng)與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、填空題

1.(★★★★★)設(shè)zn=(則limSn=_________.n??1?i2)，(n∈N)，記Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+?+｜zn+1－zn｜，n*2.(★★★★★)作邊長(zhǎng)為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個(gè)圓內(nèi)作新的內(nèi)接正三角形，在京翰教育http://004km.cn=bn－1，則cn=(2122n?12n?1132n?12n?11an?1an?anan?11?2)

?[(?1)?(?1)]?2n?11?12n?1,b1?b2???bn?n?c1?c2???cn?(1?)?(13?15)???(12n?1?2n?1)?1?12n?1，?lim(b1?b2???bn?n)?lim(1?n??n??12n?1)?1.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

京翰教育http://004km.cn?|zn?1?zn|?|(1?Sn?c1?c2???cn?2[1?(1?1?i2)nn?1?(1?i2)|?(nn22)n?1，2222)]?1?(2?22)2

?limSn?n??12?222?2?22?1?22

答案：1+

a2n?12.解析：由題意所有正三角形的邊長(zhǎng)構(gòu)成等比數(shù)列{an}，可得an=

31，正三角形的內(nèi)切圓構(gòu)成等比數(shù)列{rn}，可得rn=

62n?1a,

33?2∴這些圓的周長(zhǎng)之和c=lim2π(r1+r2+?+rn)=

n?? a2，面積之和S=limπ(n2+r22+?+rn2)=n???9a2

?9答案：周長(zhǎng)之和332πa，面積之和

an?1annn?1a

2二、3.解：(1）可解得

?，從而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n－1.(3)Tn－Sn=2n－n2－1，驗(yàn)證可知，n=1時(shí)，T1=S1，n=2時(shí)T2＜S2；n=3時(shí)，T3＜S3;n=4時(shí)，T4＜S4；n=5時(shí)，T5＞S5；n=6時(shí)T6＞S6.猜想當(dāng)n≥5時(shí)，Tn＞Sn，即2n＞n2+1 可用數(shù)學(xué)歸納法證明(略）.4.解：(1）由an+2=2an+1－an?an+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差數(shù)列，

d=a4?a14?1=－2,∴an=10－2n.(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，當(dāng)n≤5時(shí)，Sn=－n2+9n，當(dāng)n＞5時(shí)，Sn=n2－9n+40，2???n?9n 1?n?5故Sn=?2

??n?9n?40 n?5(3)bn=1n(12?an)?1n(2n?2)12?111(?)2nn?112)?(12?13)???(1n?1n?1)]?n2(n?1)?Tn?b1?b2???bn?[(1?；要使Tn＞

m32總成立，需m32＜T1=14成立，即m＜8且m∈Z，故適合條件的m的最大值為7.5.解：(1）由已知Sn+1=(m+1)－man+1①，Sn=(m+1)－man②,由①－②，得an+1=man－

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高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) http://004km.cn man+1，即(m+1)an+1=man對(duì)任意正整數(shù)n都成立.∵m為常數(shù)，且m＜－1 ∴an?1an?mm?1，即{

anan?1}為等比數(shù)列.13(2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=m+1－ma1，∴a1=1，從而b1=mm?1.由(1)知q=f(m)=，∴bn=f(bn－1)=

bn?1bn?1?11bn(n∈N*,且n≥2)∴1bn?1?11bn?1，即

1bn?1bn?1?1，∴{}為等差數(shù)列.∴

1bn=3+(n－1)=n+2，?bn?n?2m(n∈N*).)n?1?an?(m?1,?lim(bn?lgan)?lim[n??n??n?1n?213?109lg?mm?114?]?lgmm?11,?1n?2)?1 而lim3(b1b2?b2b3???bn?1bn)?lim3(n??n??1415???n?1由題意知lgmm?1?1,?mm?1?10,?m???b1?1?6.解：(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，由題意得：?解得b1=1,d=3, 10(10?1)d?145?10b1?2?∴bn=3n－2.(2)由bn=3n－2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+=loga［(1+1)(1+1414)+?+loga(1+

13n?2))?(1+1313n?2)］，13logabn+1=loga33n?1.14因此要比較Sn與小，logabn+1的大小，可先比較(1+1)(1+)?(1+

13n?2)與33n?1的大取n=1時(shí)，有(1+1)＞33?1?1 取n=2時(shí)，有(1+1)(1+ 由此推測(cè)(1+1)(1+1414)＞33?2?1?

13n?2)?(1+)＞33n?1

①

若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判定： 當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞13logabn+1，13

② ③ 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，Sn＜logabn+1，京翰教育http://004km.cn/

高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) http://004km.cn 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證①式成立.(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)(k≥1），①式成立，即：

(1?1)(1?1414)?(1?13k?213k?223)?33k?1.那么當(dāng)n=k+1時(shí)，13(k?1)?23(1?1)(1?3)?(1?)(1?)?233k?1(1?13k?13)?23k?13k?1(3k?2).?[3k?13k?1(3k?2)]?[3k?4]?3(3k?2)?(3k?4)(3k?1)(3k?1)32

?9k?4(3k?1)2?0,?143k?13k?1(3k?2)?1)(1?3k?4?1)?333(k?1)?1因而(1?1)(1?)?(1?3k?23k?13(k?1)?1這就是說(shuō)①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由(?。?ⅱ）可知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立.由此證得： 當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞1313logabn+1；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，Sn＜logabn+1.7.解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t.∴a2=2t?3a22t?3.,?3ta13t又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t，3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t

① ②

①－②得3tan－(2t+3)an－1=0.∴anan?1?2t?33t,n=2,3,4?,所以{an}是一個(gè)首項(xiàng)為1公比為

2t?33t的等比數(shù)列；

(2)由f(t)= 2t?33t=

23?1t,得bn=f（1bn?123)=

23+bn－1.可見(jiàn){bn}是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為于是bn=1+(3)由bn=是b2n=4n?13233的等差數(shù)列.(n－1)=

2n?13;

532n?1,可知{b2n－1}和{b2n}是首項(xiàng)分別為1和，公差均為

43的等差數(shù)列，于, ∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+?+b2n－1b2n－b2nb2n+1 =b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+?+b2n(b2n－1－b2n+1)=－434312534n?13492(b2+b4+?+b2n)=－

·n(+)=－(2n+3n)

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第三篇：學(xué)案31 數(shù)列的通項(xiàng)與求和

4數(shù)列的通項(xiàng)與求和

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能利用等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和.2.能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題．

自主梳理

1．求數(shù)列的通項(xiàng)?S1，n＝1，(1)數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：an＝? ?Sn－Sn－1，n≥2.(2)當(dāng)已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋?＋f(n)可求，則可用________求數(shù)列的通項(xiàng)an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋?＋(an－an－1)．

an＋1(3)當(dāng)已知數(shù)列{an}中，滿足a＝f(n)，且f(1)·f(2)·?·f(n)可求，則可用__________求數(shù)列的通項(xiàng)an，n

aaa常利用恒等式an＝a1?a1a2an－1.(4)作新數(shù)列法：對(duì)由遞推公式給出的數(shù)列，經(jīng)過(guò)變形后化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)．

(5)歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明．

2．求數(shù)列的前n項(xiàng)的和

(1)公式法

①等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝____________＝________________，推導(dǎo)方法：____________；

?，q＝1，②等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝?＝，q≠1.?

推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．

③常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和：

a．1＋2＋3＋?＋n＝__________；b．2＋4＋6＋?＋2n＝__________；

c．1＋3＋5＋?＋(2n－1)＝______； d．12＋22＋32＋?＋n2＝__________；

e．13＋23＋33＋?＋n3＝__________________.(2)分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列．

(3)裂項(xiàng)(相消)法：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和．常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式有：

111111?11①n22n－12n＋1； ③n＋1n.n?n＋1?n＋1?2n－1??2n＋1???n＋n＋

1(4)錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．

(5)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)．

自我檢測(cè)

1．(原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積為T(mén)n＝3n2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的()

3939A.2n－1)B.2(3n－1)C.8n－1)D.8n－1)

2．(2011·邯鄲月考)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若{Sn}是等差數(shù)列，則q為()

A．－1B．1C．±1D．0

3．已知等比數(shù)列{an}的公比為4，且a1＋a2＝20，設(shè)bn＝log2an，則b2＋b4＋b6＋?＋b2n等于()

A．n2＋nB．2(n2＋n)C．2n2＋nD．4(n2＋n)

n＋14．(2010·天津高三十校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝log2(n∈N*)，設(shè){an}的前n項(xiàng)的和為Sn，n＋

2則使Sn<－5成立的自然數(shù)n()

A．有最大值63B．有最小值63C．有最大值31D．有最小值31

5．(2011·北京海淀區(qū)期末)設(shè)關(guān)于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為an，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S100的值為_(kāi)_______．

探究點(diǎn)一 求通項(xiàng)公式

2n＋1·an

例1 已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝a＝2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

an＋2＋1

變式遷移1 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

探究點(diǎn)二 裂項(xiàng)相消法求和

例2 已知數(shù)列{an}，Sn是其前n項(xiàng)和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

1m

(2)設(shè)bn＝Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn20對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整

log2an·log2an＋1

數(shù)m.111

變式遷移2 求數(shù)列1，n項(xiàng)和．

1＋21＋2＋31＋2＋3＋?＋n

探究點(diǎn)三 錯(cuò)位相減法求和 例3(2011·荊門(mén)月考)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)、公比都為q(q>0且q≠1)的等比數(shù)列，bn＝anlog4an(n∈N*)．

(1)當(dāng)q＝5時(shí)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；

4(2)當(dāng)q＝15時(shí)，若bn

123n

變式遷移3 求和Sn＝a＋a＋a＋?＋a.分類討論思想的應(yīng)用

例(5分)二次函數(shù)f(x)＝x2＋x，當(dāng)x∈[n，n＋1](n∈N*)時(shí)，f(x)的函數(shù)值中所有整數(shù)值的個(gè)數(shù)為g(n)，2n3＋3n2an＝(n∈N*)，則Sn＝a1－a2＋a3－a4＋?＋(－1)n－1an＝()

g?n?

n?n＋1?n?n＋1?n－1n?n＋1?nn?n＋1?A．(－1)B．(－1)C.2 D．－

222

【答題模板】答案 A

解析 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和．

當(dāng)x∈[n，n＋1](n∈N*)時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2＋x的值隨x的增大而增大，則f(x)的值域?yàn)閇n2＋n，n2＋3n

322n＋3n

＋2](n∈N*)，∴g(n)＝2n＋3(n∈N*)，于是an＝＝n2.g?n?

方法一 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝a1－a2＋a3－a4＋?＋an－1－an＝(12－22)＋(32－42)＋?＋[(n－1)2－n2]

3＋?2n－1?nn?n＋1?

＝－[3＋7＋…＋(2n－1)]＝－＝－

222；

n?n－1?n?n＋1?2

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝(a1－a2)＋(a3－a4)＋?＋(an－2－an－1)＋an＝Sn－1＋an＝－2n＝2n?n＋1?

∴Sn＝(－1)n－12

方法二 a1＝1，a2＝4，S1＝a1＝1，S2＝a1－a2＝－3，檢驗(yàn)選擇項(xiàng)，可確定A正確． 【突破思維障礙】

在利用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行分類討論，但最終的結(jié)果卻往往可以用一個(gè)公式來(lái)表示．

1．求數(shù)列的通項(xiàng)：(1)公式法：例如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)；(2)觀察法：例如由數(shù)列的前幾項(xiàng)來(lái)求通項(xiàng)；(3)可化歸為使用累加法、累積法；

(4)可化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后利用公式法；(5)求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后歸納、猜想、證明． 2．?dāng)?shù)列求和的方法：

一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和．

3．求和時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題：

(1)直接用公式求和時(shí)，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過(guò)程．

(2)注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．

(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)1．(2010·廣東)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a2·a3＝2a1且a4與2a7的等差中項(xiàng)

5為4，則S5等于()

A．35

B．3

3C．3

1D．29

S7n＋2a2．(2011·黃岡調(diào)研)有兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}，其前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若T則b()

n＋3n5

6537729A.12B.8C.13D.4an－1－anan－an＋1

3．如果數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝1且＝(n≥2)，則此數(shù)列的第10項(xiàng)()

anan－1anan＋1

1111A.2B.2C.10D.51

4．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若anS5等于()

n?n＋1?

511

A．1B.6C.6D.305．?dāng)?shù)列1,1＋2,1＋2＋4，?，1＋2＋22＋?＋2n－1，?的前n項(xiàng)和Sn>1 020，那么n的最小值是()A．7B．8C．9D．10

二、填空題(每小題4分，共12分)6．(2010·東北師大附中高三月考)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，?)，則log4S10＝__________.7．(原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－a，則該數(shù)列前26項(xiàng)的和為_(kāi)_______．

n

8．對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的 通項(xiàng)為2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝____________.三、解答題(共38分)9．(12分)(2011·河源月考)已知函數(shù)f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(n∈N*)．

(1)若函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an}，試證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{bn}，試求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.10．(12分)(2011·三門(mén)峽月考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n＋an－c(c是常數(shù)，n∈N*)，a2＝6.(1)求c的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

1(2)證明aaaa8anan＋1122

311．(14分)(2010·北京宣武高三期中)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3n，數(shù)列{bn}滿足b1＝－1，bn

*

＋1＝bn＋(2n－1)(n∈N)．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn；

a·b(3)若cn＝n，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.答案自主梳理

n(a1＋an)n(n－1)a1(1－qn)

1．(2)累加法(3)累積法 2.(1)① na1＋2d 倒序相加法 ②na1 21－q

a1－anqn(n＋1)n(n＋1)(2n＋1)?n(n＋1)?

2? ③2 n2＋n n261－q?2?

自我檢測(cè)

1．C 2.B 3.B 4.B5．10 100課堂活動(dòng)區(qū)

例1 解題導(dǎo)引 已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式這類問(wèn)題要求不高，主要掌握由a1和遞推關(guān)系先求出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想an的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋?＋(a2－a1)＋a1；累乘：an

aan－1a＝·?·a等方法． an－1an－2a11

***

解 已知遞推可化為a＋∴aa2，a－a＝2，a－a＝2，?，a－＝2.an＋1n2213243nan－1

1?1?

?1－2?

?11111112?12n

將以上(n－1)個(gè)式子相加得aa＝2＋2＋2＋?＋2，∴a＝

1＝1－2.∴an＝2－1n1n

1－2

變式遷移1(1)證明 由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an；于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．

an＋1an3

(2)解 由(1)知等比數(shù)列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是＋2＝4，?a?13an1331

因此數(shù)列?2?是首項(xiàng)為2422(n－1)×44－4an＝(3n－1)·2n－2.??

例2 解題導(dǎo)引 1.利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也

有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)．再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等．

1111?111?1.2．一般情況如下，若{an}是等差數(shù)列，則，anan＋1d?anan＋1?anan＋22d?anan＋2?

此外根式在分母上時(shí)可考慮利用有理化因式相消求和．

解(1)∵n≥2時(shí)，an＝7Sn－1＋2，∴an＋1＝7Sn＋2，兩式相減，得an＋1－an＝7an，∴an＋1＝8an(n≥2)． 又a1＝2，∴a2＝7a1＋2＝16＝8a1，∴an＋1＝8an(n∈N*)． ∴{an}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，∴an＝2·8n－1＝23n－2.11111

(2)∵bn＝＝3，log2an·log2an＋1(3n－2)(3n＋1)3n－23n＋1111111111m1∴Tn＝3－4＋4－7＋?＋＝3(1－3∴20≥3，∴最小正整數(shù)m＝7.3n－23n＋13n＋1

12?1－變式遷移2 解 an＝2?nn＋1，n(n＋1)??

11?1?112n?1??1－1－?????∴Sn＝2·[2?＋?23?＋?＋?nn＋1?]＝2·n＋1?＝n＋1.??

例3 解題導(dǎo)引 1.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法．

2．用乘公比錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：

(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；

(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．

解(1)由題意得an＝qn，∴bn＝an·log4an＝qn·log4qn＝n·5n·log45，∴Sn＝(1×5＋2×52＋?＋n×5n)log45，設(shè)Tn＝1×5＋2×52＋?＋n×5n，①則5Tn＝1×52＋2×53＋?＋(n－1)×5n＋n×5n＋1，②

n

23nn＋15(5－1)① －②得－4Tn＝5＋5＋5＋?＋5－n×5＝4－n×5n＋1，55

∴Tn＝16n×5n－5n＋1)，Sn＝16(4n×5n－5n＋1)log45.141414?14?14??14?

(2)∵bn＝anlog4an＝n?15nlog415，∴bn＋1－bn＝(n＋1)?15?n＋1log415－n?15?nlog415

??????141414n?14n?14n??14?n

＝?15?15－15?log415>0，∵?15?>0，log415，∴1515，∴n>14，即n≥15時(shí)，bn

變式遷移3解當(dāng)a＝1時(shí)，Sn＝1＋2＋3＋?＋n＝2a≠1時(shí)，Sn＝aaa＋?＋a，①

1?1123n1111n?

∴an＝a＋a＋a＋?＋＋，②①－②，得?1－a?·Sn＝aaa?＋a＋

??aa

1?1?11???1－a?1－1－?aa?aa??1??nnn?

?1－aSn＝－－＋＝＋，∴Sn＝－1??aa－1a(a－1)(a－1)·a1－a

??∴S＝??1?

a?1a???n，a≠1.??(a－1)(a－1)·a

n

n(n＋1)

2，a＝1，課后練習(xí)區(qū)1．C 2.A 3.D 4.B 5.D 6．9解析 ∵an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)．

an＋1

兩式相減得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an，即a＝4.∴{an}為以a2為首項(xiàng)，公比為4的n

n－2

等比數(shù)列．當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝3S1＝3，∴n≥2時(shí)，an＝3·4，S10＝a1＋a2＋?＋a10＝1＋3＋3×4＋3×42

49－1

＋?＋3×4＝1＋3×(1＋4＋?＋4)＝1＋3×1＋49－1＝49.∴l(xiāng)og4S10＝log449＝9.4－1

7．－10解析 依題意得，a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝2，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，a8＝21

所以數(shù)列周期為4，S26＝6×(1－2－1＋2)＋1－2＝－10.8．2n＋1－2解析 依題意，有a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，?，an－an－1＝2n－1，所有的代數(shù)式相加得an－a1＝2n－2，即an＝2n，所以Sn＝2n＋1－2.9．解 f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7＝[x－(n＋1)]2＋3n－8.……(3分)(1)由題意，an＝n＋1，故an＋1－an＝(n＋1)＋1－(n＋1)＝1，故數(shù)列{an}是以1為公差，2為首項(xiàng)的等差數(shù)列．…………(5分)

(2)由題意，bn＝|3n－8|……(7分)當(dāng)1≤n≤2時(shí)，bn＝－3n＋8，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，b1＝5，n(5－3n＋8)－3n2＋13n∴Sn＝；…(9分)當(dāng)n≥3時(shí)，bn＝3n－8，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b3＝1.22

－3n2＋13n

22，1≤n≤2，(n－2)(1＋3n－8)3n－13n＋28

∴Sn＝S2＋分)∴Sn＝?2

223n－13n＋28

n≥3.2

(12分)

10．(1)解 因?yàn)镾n＝2nan＋an－c，所以當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1＋a1－c，解得a1＝2c，(2分)當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝a2＋a2－c，即a1＋a2＝2a2－c，解得a2＝3c，……(3分)所以3c＝6，解得c＝2；……(4分)

則a1＝4，數(shù)列{an}的公差d＝a2－a1＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2.……(6分)

111111

(2)證明 因?yàn)閍aaa?＋?＋anan＋14×66×8(2n＋2)(2n＋4)1223

***1＝24－6)＋268＋?＋2(＝246＋(68＋?＋(……(8分)

2n＋22n＋42n＋22n＋4

111111111＝24－)＝8……(10分)因?yàn)閚∈N*，所以aa＋aa＋?＋<8.…(12分)

2n＋44(n＋2)anan＋11223

－－

11．解(1)∵Sn＝3n，∴Sn－1＝3n1(n≥2)．∴an＝Sn－Sn－1＝3n－3n1＝2×3n－1(n≥2)．…(3分)

?3，n＝1，1－1

當(dāng)n＝1時(shí)，2×3＝2≠S1＝a1＝3，…(4分)∴an＝?n－1*…(5分)

?2×3，n≥2，n∈N

(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，?，bn－bn－1＝2n－3.(n－1)(1＋2n－3)2

以上各式相加得bn－b1＝1＋3＋5＋?＋(2n－3)＝＝(n－1).∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n.……(7分)

?－3，n＝1，(3)由題意得cn＝?n－1*………(9分)

?2(n－2)×3，n≥2，n∈N.當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋?＋2(n－2)×3n－1，∴3Tn＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋?＋2(n－2)×3n，相減得－2Tn＝6＋2×32＋2×33＋?＋2×3n－1－2(n－2)×3n.3n－3(2n－5)3n＋3n23n－1n

∴Tn＝(n－2)×3－(3＋3＋3＋?＋3)＝(n－2)×3－2……(13分)

(2n－5)3n＋3*

T1＝－3也適合． ∴Tn＝(n∈N)．……(14分)

第四篇：高中數(shù)學(xué)數(shù)列求通項(xiàng)公式習(xí)題

補(bǔ)課習(xí)題

（四）的一個(gè)通項(xiàng)公式是（），A、an?B、an?C、an?D、an?2．已知等差數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為an?3?2n , 則它的公差為（）

A、2B、3C、?2D、?

33．在等比數(shù)列{an}中, a1??16,a4?8,則a7?（）

A、?4B、?4C、?2D、?

24．若等比數(shù)列?an?的前項(xiàng)和為Sn，且S10?10，S20?30，則S30?

5．已知數(shù)列?an?通項(xiàng)公式an?n2?10n?3，則該數(shù)列的最小的一個(gè)數(shù)是

6．在數(shù)列{an}中，a1?于．

7．已知{an}是等差數(shù)列，其中a1?31，公差d??8。

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列{an}從哪一項(xiàng)開(kāi)始小于0？

（3）求數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的最大值，并求出對(duì)應(yīng)n的值． ?1?1nan?且an?1?，則數(shù)列n?N????的前99項(xiàng)和等2n?1?an?an?

8．已知數(shù)列?an?的前項(xiàng)和為Sn?n2?3n?1，（1）求a1、a2、a3的值；

（2）求通項(xiàng)公式an。

9．等差數(shù)列?an?中，前三項(xiàng)分別為x,2x,5x?4，前n項(xiàng)和為Sn，且Sk?2550。

（1）、求x和k的值；

（2）、求Tn=1111;?????S1S2S3Sn

(3)、證明: Tn?

1考點(diǎn)：

1.觀察法求數(shù)列通項(xiàng)公式;2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式;3.等比公式性質(zhì);4.等比公式前n項(xiàng)和公式應(yīng)用;5.數(shù)列與函數(shù)結(jié)合;6.求通項(xiàng)公式;7.基本的等差數(shù)列求通項(xiàng)公式及其應(yīng)用;8.求通項(xiàng)公式;9.等差數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用及求和與簡(jiǎn)單的應(yīng)用

答案：

1.B;2.C;3.A;4.70;5.-22;6.5049.7.（1）an?39?8n（2）n=5(3)sn?76、n=4;

8.（1）a1?

5、a2?

6、a3?8（2）an???5;?n?1)?2n?2;?n?2)

9.（1）由4x?x?5x?4得x?2,?an?2n,.Sn?n(n?1),?k(k?1)?2550得k?50

(2).?Sn?n(n?1),?Sn?111?? n(n?1)nn?1

?T?1?111111111n???????????1??2334n?1nnn?1n?1n?1

11且?0（3）?Tn?1?n?1n?1

?Tn?1

第五篇：數(shù)列求和教案

數(shù)列求和

數(shù)列求和常見(jiàn)的幾種方法：（1）公式法：①等差（比）數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；

1n(n?1)21222?n2?nn(?

1?2?3?......6② 自然數(shù)的乘方和公式：1?2?3?......?n?（2）拆項(xiàng)重組：適用于數(shù)列

1n)(?2 1)?an?的通項(xiàng)公式an?bn?cn，其中?bn?、?cn?為等差數(shù)列或者等比數(shù)列或者自然數(shù)的乘方；

（3）錯(cuò)位相減：適用于數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an?bn?cn，其中?bn?為等差數(shù)列，?cn?為等比數(shù)列；

（4）裂項(xiàng)相消：適用于數(shù)列?a的通項(xiàng)公式：akn?n?n(n?1),a1n?n(n?k)（其中k為常數(shù)）型；

（5）倒序相加：根據(jù)有些數(shù)列的特點(diǎn)，將其倒寫(xiě)后與原數(shù)列相加，以達(dá)到求和的目的.（6）

分段求和：數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為分段形式

二、例題講解

例

1、（拆項(xiàng)重組）求和：3112?54?718?......?[(2n?1)?12n]

練習(xí)1：求和Sn?1?2?2?3?3?4?......?n(n?1)

例

2、（裂項(xiàng)相消）求數(shù)列1111?3,3?5,5?7,17?9,...,1(2n?1)(2n?1)的前n項(xiàng)和

練習(xí)2：求S11n?1?1?2?1?2?3?11?2?3?4?...?11?2?3?...?n

例

3、（錯(cuò)位相減）求和：1473n?22?22?23?...?2n

練習(xí)3：求Sn?1?2x?3x2?4x3?...?nxn?1(x?0)

例

4、（倒序相加）設(shè)f(x)?4x4x?2，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求：f(11001)?f(21001)?f(31001)?...?f(10001001)的值

a?3n?2(n?4)例

5、已知數(shù)列?n?的通項(xiàng)公式為an???2n?3(n?5)(n?N*)求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn

檢測(cè)題

1.設(shè)f(n)?2?24?27?210?...?23n?10(n?N)，則f(n)等于（）

2n222n?4(8?1)

B.(8n?1?1)

C.(8n?3?1)

D.(8?1)777712.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an?，則S5等于（）

n(n?1)511A．1

B．

C．

D．

66303.設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4構(gòu)成等差數(shù)列． A.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）令ban?ln3n?1，n?1，2...，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。

4.設(shè)數(shù)列?a2nn?滿足a1?3a2?3a3?…?3n?1a

3，a?N*n?．（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)；

（Ⅱ）設(shè)bnn?a，求數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和Sn n

5.求數(shù)列22,462n22,23,???,2n,???前n項(xiàng)的和.6：求數(shù)列11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n項(xiàng)和.7：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn?2an?1，數(shù)列{bn}滿b1?3,bn?1?an?bn(n?N?).（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。

8：

求數(shù)列21，41，6114816，2n?2n?1，...的前n項(xiàng)和Sn．

．

9、已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?1?2?3?4?5?6?...???1?n?1?n，求S100.10：在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.11：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1?1,1a?4,11a2?7,???,an?1?3n?2，…

12：求S?12?22?32?42?...?(?1)n?1n2（n?N?）

13：已知函數(shù)f?x??2x2x?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

（2）求f??1???f??10??2??10???f??8???10???f??9??10??的值。.