第一篇：2013白蒲中學(xué)高二數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線方程：13(蘇教版)

求曲線的軌跡方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握常用動(dòng)點(diǎn)的軌跡以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用技巧與方法．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各方面知識(shí)的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學(xué)生掌握常用動(dòng)點(diǎn)的軌跡，為學(xué)習(xí)物理等學(xué)科打下扎實(shí)的基礎(chǔ)．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用技巧與方法．

(解決辦法：對每種方法用例題加以說明，使學(xué)生掌握這種方法．)2．難點(diǎn)：作相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方法．

(解決辦法：先使學(xué)生了解相關(guān)點(diǎn)法的思路，再用例題進(jìn)行講解．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問、講解方法、演板、小測驗(yàn)．

四、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)引入

大家知道，平面解析幾何研究的主要問題是：(1)根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；(2)通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)．

我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進(jìn)行過這兩個(gè)方面的研究，今天在上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來對根據(jù)已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進(jìn)行系統(tǒng)分析．

1(二)幾種常見求軌跡方程的方法 1．直接法

由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法．

例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)過點(diǎn)A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線，求割線被圓O截得弦的中點(diǎn)的軌跡．

對(1)分析：

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0． 對(2)分析：

題設(shè)中沒有具體給出動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于弦，它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)．由學(xué)生演板完成，解答為：

設(shè)弦的中點(diǎn)為M(x，y)，連結(jié)OM，則OM⊥AM． ∵kOM·kAM=-1，其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端點(diǎn))． 2．定義法

利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識(shí)分析得出這些條件．

直平分線l交半徑OQ于點(diǎn)P(見圖2－45)，當(dāng)Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程．

分析：

∵點(diǎn)P在AQ的垂直平分線上，∴|PQ|=|PA|． 又P在半徑OQ上．

∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．

故P點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是定值，可用橢圓定義 寫出P點(diǎn)的軌跡方程．

解：連接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半徑OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2．

由橢圓定義可知：P點(diǎn)軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓．

3．相關(guān)點(diǎn)法

若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x0，y0)的變動(dòng)而變動(dòng)，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程．這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或代換法)．

例3 已知拋物線y2=x+1，定點(diǎn)A(3，1)、B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當(dāng)B點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程．

分析：

P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的原因是B點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，因此B可作為相關(guān)點(diǎn)，應(yīng)先找出點(diǎn)P與點(diǎn)B的聯(lián)系．

解：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且設(shè)點(diǎn)B(x0，y0)

∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內(nèi)分點(diǎn)．

4．待定系數(shù)法

求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求．

例4 已知拋物線y2=4x和以坐標(biāo)軸為對稱軸、實(shí)軸在y軸上的雙曲

曲線方程． 分析：

因?yàn)殡p曲線以坐標(biāo)軸為對稱軸，實(shí)軸在y軸上，所以可設(shè)雙曲線方

ax2-4b2x+a2b2=0 ∵拋物線和雙曲線僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)它們的對稱性，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應(yīng)有等根．

∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．(以下由學(xué)生完成)

由弦長公式得：

即a2b2=4b2-a2．

(三)鞏固練習(xí)

用十多分鐘時(shí)間作一個(gè)小測驗(yàn)，檢查一下教學(xué)效果．練習(xí)題用一小黑板給出． 1．△ABC一邊的兩個(gè)端點(diǎn)是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊斜率的

2．點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？

3．求拋物線y2=2px(p＞0)上各點(diǎn)與焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程． 答案：

義法)

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

(四)小結(jié)

求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、復(fù)數(shù)法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數(shù)方程、復(fù)數(shù)以后再作介紹．

五、布置作業(yè)

1．兩定點(diǎn)的距離為6，點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為26，求點(diǎn)M的軌跡方程．

2．動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F1(1，0)的距離比它到F2(3，0)的距離少2，求P點(diǎn)的軌跡． 3．已知圓x2+y2=4上有定點(diǎn)A(2，0)，過定點(diǎn)A作弦AB，并延長到點(diǎn)P，使3|AB|=2|AB|，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．作業(yè)答案：

1．以兩定點(diǎn)A、B所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，得點(diǎn)M的軌跡方程x2+y2=4 2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P點(diǎn)只能在x軸上且x＜1，軌跡是一條射線

六、板書設(shè)計(jì)

第二篇：高二數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線方程：02

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過對橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對各種知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強(qiáng)調(diào)；對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較．)2．難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說明．)3．疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答．

四、教學(xué)過程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答：

問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？ 對上述問題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學(xué)生溫故而知新，在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)．

提出這一問題以便說明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個(gè)同解變形．

問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”．對同學(xué)提出的軌跡命題如：

“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵(lì)同學(xué)們的探索精神．

比如說，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么呢？這時(shí)教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：

取一條一定長的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖2-13)，當(dāng)繩長大于F1和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫出一個(gè)橢圓．

教師進(jìn)一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學(xué)說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學(xué)說：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等??

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距． 學(xué)生開始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)：

(1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．

(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．

(二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟．

(1)建系設(shè)點(diǎn)

建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模?/p>

以兩定點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．

(2)點(diǎn)的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程

(4)化簡方程

化簡方程可請一個(gè)反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示：

①原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時(shí)b還有幾何意義，下節(jié)課還要

(a＞b＞0)．

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．

(三)例題與練習(xí)

例題

平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程．

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示．取過點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

請大家再想一想，焦點(diǎn)F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習(xí)1 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

練習(xí)2 下列各組兩個(gè)橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是

[

]

由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié)

1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)．

五、布置作業(yè)

1．如圖2-17，在橢圓上的點(diǎn)中，A1與焦點(diǎn)F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

3．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業(yè)答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a．

六、板書設(shè)計(jì)

第三篇：2013白蒲中學(xué)高二數(shù)學(xué)教案：數(shù)列：05(蘇教版)

第五教時(shí)

教材：等差數(shù)列前n項(xiàng)和

（一）目的：要求學(xué)生掌握等差數(shù)列的求和公式，并且能夠較熟練地運(yùn)用解決問題。過程：

一、引言：P119著名的數(shù)學(xué)家高斯（德國 1777-1855）十歲時(shí)計(jì)算

1+2+3+…+100的故事

故事結(jié)束：歸結(jié)為 1．這是求等差數(shù)列1，2，3，…，100前100項(xiàng)和2．高斯的解法是：前100項(xiàng)和S100?即Sn?

二、提出課題：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1．證明公式1：Sn?

n(a1?an)

n(a1?an)

100?(1?100)

2證明：Sn?a1?a2?a3???an?1?an①Sn?an?an?1?an?2???a2?a1②

2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)???(an?an)①+②：

∵a1?an?a2?an?1?a3?an?2???∴2Sn?n(a1?an)由此得：Sn?

n(a1?an)

2從而我們可以驗(yàn)證高斯十歲時(shí)計(jì)算上述問題的正確性。2．推導(dǎo)公式2

用上述公式要求Sn必須具備三個(gè)條件：n,a1,an但an?a1?(n?1)d代入公式1即得： Sn?na1?

n(n?1)d

此公式要求Sn必須具備三個(gè)條件：n,a1,d（有時(shí)比較有用）總之：兩個(gè)公式都表明要求Sn必須已知n,a1,d,an中三個(gè)3．例一（P120 例一）：用公式1求Sn例二（P120 例一）：用公式2求n學(xué)生練習(xí)：P122練習(xí)1、2、3三、例三（P121 例三）求集合M??m|m?7n,n?N*且m?100?的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和。解：由7n?100得 n?

1007

?14

∴正整數(shù)n共有14個(gè)即M中共有14個(gè)元素

即：7，14，21，…，98 是a1?7為首項(xiàng)a14?98的AP∴ Sn?

14?(7?98)

?735

答：略

例四已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？解：由題設(shè)： S10?310S20?1220得： ?

?10a1?45d?310?20a1?190d?1220

n(n?1)

??

?a1?4?d?6

∴ Sn?4n?

?6?3n?n

四、小結(jié)：等差數(shù)列求和公式

五、作業(yè)（習(xí)題3．1）P122-123

第四篇：2013白蒲中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：直線和圓的方程：09(蘇教版)

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡單的實(shí)際問題，并會(huì)推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生利用求曲線的方程的一般步驟解決一些實(shí)際問題的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

圓基于初中的知識(shí)，同時(shí)又是初中的知識(shí)的加深，使學(xué)生懂得知識(shí)的連續(xù)性；通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可解決一些如圓拱橋的實(shí)際問題，說明理論既來源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐，可以適時(shí)進(jìn)行辯證唯物主義思想教育．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟；(2)根據(jù)具體條件正確寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(解決辦法：(1)通過設(shè)問，消除難點(diǎn)，并詳細(xì)講解；(2)多多練習(xí)、講解．)2．難點(diǎn)：運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡單的實(shí)際問題．

(解決辦法：使學(xué)生掌握分析這類問題的方法是先弄清題意，再建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，使圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式簡單，最后解決實(shí)際問題．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

問答、講授、設(shè)問、演板、重點(diǎn)講解、歸納小結(jié)、閱讀．

四、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)提問

前面，大家學(xué)習(xí)了圓的概念，哪一位同學(xué)來回答？ 問題1：具有什么性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡稱為圓？

平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡稱為圓(教師在黑板上畫一個(gè)圓)． 問題2：圖2-9中哪個(gè)點(diǎn)是定點(diǎn)？哪個(gè)點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)？動(dòng)點(diǎn)具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點(diǎn)？

圓心C是定點(diǎn)，圓周上的點(diǎn)M是動(dòng)點(diǎn)，它們到圓心距離等于定長|MC|=r，圓心和半徑分別確定了圓的位置和大?。?/p>

問題3：求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？ 求曲線方程的一般步驟為：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x，y)表示曲線上任意點(diǎn)M的坐標(biāo)，簡稱建系設(shè)點(diǎn)；圖2-9(2)寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)|}，簡稱寫點(diǎn)集；(3)用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程f(x，y)=0，簡稱列方程；(4)化方程f(x，y)=0為最簡形式，簡稱化簡方程；(5)證明化簡后的方程就是所求曲線的方程，簡稱證明． 其中步驟(1)(3)(4)必不可少．

下面我們用求曲線方程的一般步驟來建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(二)建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1．建系設(shè)點(diǎn)

由學(xué)生在黑板上畫出直角坐標(biāo)系，并問有無不同建立坐標(biāo)系的方法．教師指出：這兩種建立坐標(biāo)系的方法都對，原點(diǎn)在圓心這是特殊情況，現(xiàn)在僅就一般情況推導(dǎo)．因?yàn)镃是定點(diǎn)，可設(shè)C(a，b)、半徑r，且設(shè)圓上任一點(diǎn)M坐標(biāo)為(x，y)．

2．寫點(diǎn)集

根據(jù)定義，圓就是集合P={M||MC|=r}． 3．列方程

由兩點(diǎn)間的距離公式得：

4．化簡方程 將上式兩邊平方得：

(x-a)2+(y-b)2=r2．

(1)

方程(1)就是圓心是C(a，b)、半徑是r的圓的方程．我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

這時(shí)，請大家思考下面一個(gè)問題．

問題5：圓的方程形式有什么特點(diǎn)？當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，圓的方程是什么？ 這是二元二次方程，展開后沒有xy項(xiàng)，括號(hào)內(nèi)變數(shù)x，y的系數(shù)都是1．點(diǎn)(a，b)、r分別表示圓心的坐標(biāo)和圓的半徑．當(dāng)圓心在原點(diǎn)即C(0，0)時(shí)，方程為 x2+y2=r2．

教師指出：圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a，b，r三個(gè)量確定了且r＞0，圓的方程就給定了．這就是說要確定圓的方程，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件．注意，確定a、b、r，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來解決．

(三)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用

例

1寫出下列各圓的方程：(請四位同學(xué)演板)

(1)圓心在原點(diǎn)，半徑是3；

(3)經(jīng)過點(diǎn)P(5，1)，圓心在點(diǎn)C(8，-3)；

(4)圓心在點(diǎn)C(1，3)，并且和直線3x-4y-7=0相切．

教師糾錯(cuò)，分別給出正確答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；

指出：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 例

2說出下列圓的圓心和半徑：(學(xué)生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4 教師指出：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要能夠熟練地求出它的圓心和半徑．

例3(1)已知兩點(diǎn)P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2為直徑的圓的方程；(2)試判斷點(diǎn)M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？

解(1)： 分析一：

從確定圓的條件考慮，需要求圓心和半徑，可用待定系數(shù)解決． 解法一：(學(xué)生口答)設(shè)圓心C(a，b)、半徑r，則由C為P1P2的中點(diǎn)得：

又由兩點(diǎn)間的距離公式得：

∴所求圓的方程為：(x-5)2+(y-6)2=10 分析二：

從圖形上動(dòng)點(diǎn)P性質(zhì)考慮，用求曲線方程的一般方法解決． 解法二：(給出板書)∵直徑上的四周角是直角，∴對于圓上任一點(diǎn)P(x，y)，有PP1⊥PP2．

化簡得：

x2+y2-10x-12y+51=0．

即(x-5)2+(y-6)2=10為所求圓的方程． 解(2)：(學(xué)生閱讀課本)分別計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離：

因此，點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在圓外，點(diǎn)Q在圓內(nèi)． 這時(shí)，教師小結(jié)本題： 1．求圓的方程的方法

(1)待定系數(shù)法，確定a，b，r；(2)軌跡法，求曲線方程的一般方法．

2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r：(1)點(diǎn)在圓上(2)點(diǎn)在圓外(3)點(diǎn)在圓內(nèi) d=r； d＞r； d＜r．

3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(證明留作作業(yè))例

4圖2-10是某圓拱橋的—孔圓拱的示意圖．該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時(shí)每隔4m需用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2的長度(精確到0.01m)．

此例由學(xué)生閱讀課本，教師巡視并做如下提示：

(1)先要建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，使圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式簡單，便于計(jì)算；(2)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(3)要注意P2的橫坐標(biāo)x=-2＜0，縱坐標(biāo)y＞0，所以A2P2的長度只有一解．(四)本課小結(jié)

1．圓的方程的推導(dǎo)步驟；

2．圓的方程的特點(diǎn)：點(diǎn)(a，b)、r分別表示圓心坐標(biāo)和圓的半徑； 3．求圓的方程的兩種方法：(1)待定系數(shù)法；(2)軌跡法．

五、布置作業(yè)

1．求下列條件所決定的圓的方程：

(1)圓心為 C(3，-5)，并且與直線x-7y+2=0相切；

(2)過點(diǎn)A(3，2)，圓心在直線y=2x上，且與直線y=2x+5相切． 2．已知：一個(gè)圓的直徑端點(diǎn)是A(x1，y1)、B(x2，y2)． 證明：圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．

3．一個(gè)等腰三角形底邊上的高等于5，底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圓的方程．

4．趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為7.2m，求這座圓拱橋的拱圓的方程． 作業(yè)答案：

1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 32

2．因?yàn)橹睆降亩它c(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則圓心和半徑分別為

所以圓的方程為

化簡得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0 即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

4．如圖2-11建立坐標(biāo)系，得拱圓的方程： x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2≤y≤0)

六、板書設(shè)計(jì)

第五篇：2013白蒲中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：函數(shù)：10

第十教時(shí)

教材：函數(shù)的奇偶性

目的：要求學(xué)生掌握函數(shù)奇偶性的定義，并掌握判斷函數(shù)奇偶性的基本方法。

過程：

一、復(fù)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的定義、單調(diào)區(qū)間及判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。

二、提出課題：函數(shù)的第二個(gè)性質(zhì)――奇偶性

1．依然觀察 y=x2與 y=x3 的圖象――從對稱的角度 ．觀察結(jié)果：

y=x2的圖象關(guān)于軸對稱 y=x3的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

3．繼而，更深入分析這兩種對稱的特點(diǎn)： ①當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時(shí)，y取同一值． f(x)=y=x2 f(?1)=f(1)=1 f(?即 f(?x)=f(x)再抽象出來：如果點(diǎn)(x,y)在函數(shù)y=x2的圖象上，則該點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)(?x,y)也在函數(shù)y=x2的圖象上． ②當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時(shí)，y亦取相反數(shù)． f(x)=y=x3 f(?1)=?f(1)=?1 f(?即 f(?x)=f(x)再抽象出來：如果點(diǎn)(x,y)在函數(shù)y=x3的圖象上，則該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)(?x,?y)也在函數(shù)y=x3的圖象上．

111)?f()?224

111)??f()??228

4．得出奇（偶）函數(shù)的定義（見P61 略）注意強(qiáng)調(diào)：①定義本身蘊(yùn)涵著：

函數(shù)的定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)的對稱區(qū)間――這是奇（偶）函數(shù)的必要條件――前提 ②＂定義域內(nèi)任一個(gè)＂：

意味著不存在＂某個(gè)區(qū)間上的＂的奇（偶）函數(shù)――不研究 ③判斷函數(shù)奇偶性最基本的方法：

先看定義域，再用定義――f(?x)=f(x)(或f(?x)=?f(x))

三、例題：例

一、（見P61－62 例四）

例

二、（見P62 例五）

此題系函數(shù)奇偶性與單調(diào)性綜合例題，比例典型．

小結(jié)：一般函數(shù)的奇偶性有四種：奇函數(shù)、偶函數(shù)、即奇且偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)

例：y?1x

y=2x

（奇函數(shù)）

y=?3x2+1

y=2x4+3x

2（偶函數(shù)）

y=0

（即奇且偶函數(shù)）y=2x+（非奇非偶函數(shù)）

例

三、判斷下列函數(shù)的奇偶性：

1．f(x)?(x?1)1?x1?x

1?x?0??

解：定義域：?1?x?0??1?x?1 關(guān)于原點(diǎn)非對稱區(qū)間

??1?x

∴此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)

2．f(x)?x?11?x 2

?x2?1?0?x?1或x??1解：定義域：? ??2??1?x?1?1?x?0∴定義域?yàn)?x =±1

f(?x)?x?11?x22?f(x)且 f(±1)= 0 ∴此函數(shù)為即奇且偶函數(shù)

?x2?x3．f(x)??2x?x?(x?0)(x?0)

解：顯然定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱

當(dāng) x>0時(shí), ?x<0 f(?x)= x2?x = ?(x?x2)

當(dāng) x<0時(shí), ?x>0 f(?x)= ?x?x2 = ?(x2+x)

??(x2?x)

即：f(?x)??2??(x?x)(x?0)(x?0)??f(x)

∴此函數(shù)為奇函數(shù)

四、奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

偶函數(shù)?圖象關(guān)于軸對稱

例

四、（見P63 例六）略

五、小結(jié)：1．定義

2．圖象特征

3．判定方法

六、作業(yè)：P63 練習(xí)

P65 習(xí)題2.3 7、8、9