第一篇：高中數(shù)學(xué)教案~第七章《直線和圓的方程》(11教時(shí))

直線的傾斜角和斜率

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識教學(xué)點(diǎn)

知道一次函數(shù)的圖象是直線，了解直線方程的概念，掌握直線的傾斜角和斜率的概念以及直線的斜率公式．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過對研究直線方程的必要性的分析，培養(yǎng)學(xué)生分析、提出問題的能力；通過建立直線上的點(diǎn)與直線的方程的解的一一對應(yīng)關(guān)系、方程和直線的對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的知識轉(zhuǎn)化、遷移能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

分析問題、提出問題的思維品質(zhì)，事物之間相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義思想．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：通過對一次函數(shù)的研究，學(xué)生對直線的方程已有所了解，要對進(jìn)一步研究直線方程的內(nèi)容進(jìn)行介紹，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)這一部分知識的興趣；直線的傾斜角和斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的，是研究兩條直線位置關(guān)系的重要依據(jù)，要正確理解概念；斜率公式要在熟練運(yùn)用上多下功夫．

2．難點(diǎn)：一次函數(shù)與其圖象的對應(yīng)關(guān)系、直線方程與直線的對應(yīng)關(guān)系是難點(diǎn)．由于以后還要專門研究曲線與方程，對這一點(diǎn)只需一般介紹就可以了．

3．疑點(diǎn)：是否有繼續(xù)研究直線方程的必要？

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

啟發(fā)、思考、問答、討論、練習(xí)．

四、教學(xué)過程

(一)復(fù)習(xí)一次函數(shù)及其圖象

已知一次函數(shù)y=2x+1，試判斷點(diǎn)A(1，2)和點(diǎn)B(2，1)是否在函數(shù)圖象上． 初中我們是這樣解答的： ∵A(1，2)的坐標(biāo)滿足函數(shù)式，∴點(diǎn)A在函數(shù)圖象上．

∵B(2，1)的坐標(biāo)不滿足函數(shù)式，∴點(diǎn)B不在函數(shù)圖象上．

現(xiàn)在我們問：這樣解答的理論依據(jù)是什么？(這個(gè)問題是本課的難點(diǎn)，要給足夠的時(shí)間讓學(xué)生思考、體會(huì)．)討論作答：判斷點(diǎn)A在函數(shù)圖象上的理論依據(jù)是：滿足函數(shù)關(guān)系式的點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上；判斷點(diǎn)B不在函數(shù)圖象上的理論依據(jù)是：函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足函數(shù)關(guān)系式．簡言之，就是函數(shù)圖象上的點(diǎn)與滿足函數(shù)式的有序數(shù)對具有一一對應(yīng)關(guān)系．

(二)直線的方程

引導(dǎo)學(xué)生思考：直角坐標(biāo)平面內(nèi)，一次函數(shù)的圖象都是直線嗎？直線都是一次函數(shù)的圖象嗎？

一次函數(shù)的圖象是直線，直線不一定是一次函數(shù)的圖象，如直線x=a連函數(shù)都不是． 一次函數(shù)y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，這個(gè)方程的解和它所表示的直線上的點(diǎn)一一對應(yīng)．

以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)；反之，這條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解．這時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程；這條直線就叫做這個(gè)方程的直線．

上面的定義可簡言之：(方程)有一個(gè)解(直線上)就有一個(gè)點(diǎn)；(直線上)有一個(gè)點(diǎn)(方程)就有一個(gè)解，即方程的解與直線上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的．

顯然，直線的方程是比一次函數(shù)包含對象更廣泛的一個(gè)概念．(三)進(jìn)一步研究直線方程的必要性

通過研究一次函數(shù)，我們對直線的方程已有了一些了解，但有些問題還沒有完全解決，如y=kx+b中k的幾何含意、已知直線上一點(diǎn)和直線的方向怎樣求直線的方程、怎樣通過直線的方程來研究兩條直線的位置關(guān)系等都有待于我們繼續(xù)研究．

(四)直線的傾斜角

一條直線l向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角，叫做這條直線的傾斜角，如圖1-21中的α．特別地，當(dāng)直線l和x軸平行時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0°，因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°．

直線傾斜角角的定義有下面三個(gè)要點(diǎn)：(1)以x軸正向作為參考方向(始邊)；(2)直線向上的方向作為終邊；(3)最小正角．

按照這個(gè)定義不難看出：直線與傾角是多對一的映射關(guān)系．(五)直線的斜率

傾斜角不是90°的直線．它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率．直線的斜率常用k表示，即

直線與斜率之間的對應(yīng)不是映射，因?yàn)榇怪庇趚軸的直線沒有斜率．(六)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式

在坐標(biāo)平面上，已知兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于兩點(diǎn)可以確定一條直線，直線P1P2就是確定的．當(dāng)x1≠x2時(shí)，直線的傾角不等于90°時(shí)，這條直線的斜率也是確定的．怎樣用P2和P1的坐標(biāo)來表示這條直線的斜率？

P2分別向x軸作垂線P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分別是M1、M2、Q．那么：

α=∠QP1P2(圖1-22甲)或α=π-∠P2P1Q(圖1-22乙)

綜上所述，我們得到經(jīng)過點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：

對于上面的斜率公式要注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)x1=x2時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到．

(七)例題

例1 如圖1-23，直線l1的傾斜角α1=30°，直線l2⊥l1，求l1、l2的斜率．

∵l2的傾斜角α2=90°+30°=120°，本例題是用來復(fù)習(xí)鞏固直線的傾斜角和斜率以及它們之間的關(guān)系的，可由學(xué)生課堂練習(xí)，學(xué)生演板．

例2 求經(jīng)過A(-2，0)、B(-5，3)兩點(diǎn)的直線的斜率和傾斜角．

∴tgα=-1． ∵0°≤α＜180°，∴α=135°．

因此，這條直線的斜率是-1，傾斜角是135°．

講此例題時(shí)，要進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)k與P1P2的順序無關(guān)，直線的斜率和傾斜角可通過直線上的兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得．

(八)課后小結(jié)

(1)直線的方程的傾斜角的概念．(2)直線的傾斜角和斜率的概念．

(3)直線的斜率公式．

五、布置作業(yè)

1．(1.3練習(xí)

六、板書設(shè)計(jì)

直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和截距式

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識教學(xué)點(diǎn)

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知直線上一點(diǎn)和直線的斜率或已知直線上兩點(diǎn)，會(huì)求直線的方程；給出直線的點(diǎn)斜式方程，能觀察直線的斜率和直線經(jīng)過的定點(diǎn)；能化直線方程成截距式，并利用直線的截距式作直線．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過直線的點(diǎn)斜式方程向斜截式方程的過渡、兩點(diǎn)式方程向截距式方程的過渡，訓(xùn)練學(xué)生由一般到特殊的處理問題方法；通過直線的方程特征觀察直線的位置特征，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過直線方程的幾種形式培養(yǎng)學(xué)生的美學(xué)意識．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：由于斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的特殊情況，截距式方程是兩點(diǎn)式方程的特殊情況，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在推導(dǎo)直線的斜截式方程和兩點(diǎn)式方程上．

2．難點(diǎn)：在推導(dǎo)出直線的點(diǎn)斜式方程后，說明得到的就是直線的方程，即直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；反過來，以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線上． 的坐標(biāo)不滿足這個(gè)方程，但化為y-y1=k(x-x1)后，點(diǎn)P1的坐標(biāo)滿足方程．

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

分析、啟發(fā)、誘導(dǎo)、講練結(jié)合．

四、教學(xué)過程(一)點(diǎn)斜式

已知直線l的斜率是k，并且經(jīng)過點(diǎn)P1(x1，y1)，直線是確定的，也就是可求的，怎樣求直線l的方程(圖1-24)？

設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l上不同于P1的任意一點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)的斜率公式得

注意方程(1)與方程(2)的差異：點(diǎn)P1的坐標(biāo)不滿足方程(1)而滿足方程(2)，因此，點(diǎn)P1不在方程(1)表示的圖形上而在方程(2)表示的圖形上，方程(1)不能稱作直線l的方程．

重復(fù)上面的過程，可以證明直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；對上面的過程逆推，可以證明以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上，所以這個(gè)方程就是過點(diǎn)P1、斜率為k的直線l的方程．

這個(gè)方程是由直線上一點(diǎn)和直線的斜率確定的，叫做直線方程的點(diǎn)斜式． 當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)(圖1-25)，k=0，直線的方程是y=y1．

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)(圖1-26)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1．

(二)斜截式

已知直線l在y軸上的截距為b，斜率為b，求直線的方程．

這個(gè)問題，相當(dāng)于給出了直線上一點(diǎn)(0，b)及直線的斜率k，求直線的方程，是點(diǎn)斜式方程的特殊情況，代入點(diǎn)斜式方程可得：

y-b=k(x-0)也就是

上面的方程叫做直線的斜截式方程．為什么叫斜截式方程？因?yàn)樗怯芍本€的斜率和它在y軸上的截距確定的．

當(dāng)k≠0時(shí)，斜截式方程就是直線的表示形式，這樣一次函數(shù)中k和b的幾何意義就是分別表示直線的斜率和在y軸上的截距．

(三)兩點(diǎn)式

已知直線l上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直線的位置是確定的，也就是直線的方程是可求的，請同學(xué)們求直線l的方程．

當(dāng)y1≠y2時(shí)，為了便于記憶，我們把方程改寫成

請同學(xué)們給這個(gè)方程命名：這個(gè)方程是由直線上兩點(diǎn)確定的，叫做直線的兩點(diǎn)式． 對兩點(diǎn)式方程要注意下面兩點(diǎn)：(1)方程只適用于與坐標(biāo)軸不平行的直線，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行(x1=x2或y1=y2)時(shí)，可直接寫出方程；(2)要記住兩點(diǎn)式方程，只要記住左邊就行了，右邊可由左邊見y就用x代換得到，足碼的規(guī)律完全一樣．

(四)截距式

例1 已知直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a≠0，b≠0)，求直線l的方程．

此題由老師歸納成已知兩點(diǎn)求直線的方程問題，由學(xué)生自己完成．

解：因?yàn)橹本€l過A(a，0)和B(0，b)兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得

就是

學(xué)生也可能用先求斜率，然后用點(diǎn)斜式方程求得截距式．

引導(dǎo)學(xué)生給方程命名：這個(gè)方程是由直線在x軸和y軸上的截距確定的，叫做直線方程的截距式．

對截距式方程要注意下面三點(diǎn)：(1)如果已知直線在兩軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程；(2)將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點(diǎn)常被用來作圖；(3)與坐標(biāo)軸平行和過原點(diǎn)的直線不能用截距式表示．

(五)例題

例2 三角形的頂點(diǎn)是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(圖1-27)，求這個(gè)三角形三邊所在直線的方程．

本例題要在引導(dǎo)學(xué)生靈活選用方程形式、簡化運(yùn)算上多下功夫． 解：直線AB的方程可由兩點(diǎn)式得：

即 3x+8y+15=0 這就是直線AB的方程．

BC的方程本來也可以用兩點(diǎn)式得到，為簡化計(jì)算，我們選用下面途徑：

由斜截式得：

即 5x+3y-6=0． 這就是直線BC的方程． 由截距式方程得AC的方程是

即 2x+5y+10=0．

這就是直線AC的方程．(六)課后小結(jié)

(1)直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和截距式的命名都是可以顧名思義的，要會(huì)加以區(qū)別．

(2)四種形式的方程要在熟記的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用．(3)要注意四種形式方程的不適用范圍．

五、布置作業(yè)

1．(1.5練習(xí)解：

(1)(1，2)，k=1，α=45°；

(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；

3．(1.5練習(xí)

六、板書設(shè)計(jì)

直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和截距式

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識教學(xué)點(diǎn)

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知直線上一點(diǎn)和直線的斜率或已知直線上兩點(diǎn)，會(huì)求直線的方程；給出直線的點(diǎn)斜式方程，能觀察直線的斜率和直線經(jīng)過的定點(diǎn)；能化直線方程成截距式，并利用直線的截距式作直線．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過直線的點(diǎn)斜式方程向斜截式方程的過渡、兩點(diǎn)式方程向截距式方程的過渡，訓(xùn)練學(xué)生由一般到特殊的處理問題方法；通過直線的方程特征觀察直線的位置特征，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過直線方程的幾種形式培養(yǎng)學(xué)生的美學(xué)意識．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：由于斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的特殊情況，截距式方程是兩點(diǎn)式方程的特殊情況，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在推導(dǎo)直線的斜截式方程和兩點(diǎn)式方程上．

2．難點(diǎn)：在推導(dǎo)出直線的點(diǎn)斜式方程后，說明得到的就是直線的方程，即直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；反過來，以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線上．

的坐標(biāo)不滿足這個(gè)方程，但化為y-y1=k(x-x1)后，點(diǎn)P1的坐標(biāo)滿足方程．

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

分析、啟發(fā)、誘導(dǎo)、講練結(jié)合．

四、教學(xué)過程(一)點(diǎn)斜式

已知直線l的斜率是k，并且經(jīng)過點(diǎn)P1(x1，y1)，直線是確定的，也就是可求的，怎樣求直線l的方程(圖1-24)？

設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l上不同于P1的任意一點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)的斜率公式得

注意方程(1)與方程(2)的差異：點(diǎn)P1的坐標(biāo)不滿足方程(1)而滿足方程(2)，因此，點(diǎn)P1不在方程(1)表示的圖形上而在方程(2)表示的圖形上，方程(1)不能稱作直線l的方程．

重復(fù)上面的過程，可以證明直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；對上面的過程逆推，可以證明以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上，所以這個(gè)方程就是過點(diǎn)P1、斜率為k的直線l的方程．

這個(gè)方程是由直線上一點(diǎn)和直線的斜率確定的，叫做直線方程的點(diǎn)斜式． 當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)(圖1-25)，k=0，直線的方程是y=y1．

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)(圖1-26)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1．

(二)斜截式

已知直線l在y軸上的截距為b，斜率為b，求直線的方程．

這個(gè)問題，相當(dāng)于給出了直線上一點(diǎn)(0，b)及直線的斜率k，求直線的方程，是點(diǎn)斜式方程的特殊情況，代入點(diǎn)斜式方程可得：

y-b=k(x-0)也就是

上面的方程叫做直線的斜截式方程．為什么叫斜截式方程？因?yàn)樗怯芍本€的斜率和它在y軸上的截距確定的．

當(dāng)k≠0時(shí)，斜截式方程就是直線的表示形式，這樣一次函數(shù)中k和b的幾何意義就是分別表示直線的斜率和在y軸上的截距．

(三)兩點(diǎn)式

已知直線l上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直線的位置是確定的，也就是直線的方程是可求的，請同學(xué)們求直線l的方程．

當(dāng)y1≠y2時(shí)，為了便于記憶，我們把方程改寫成

請同學(xué)們給這個(gè)方程命名：這個(gè)方程是由直線上兩點(diǎn)確定的，叫做直線的兩點(diǎn)式． 對兩點(diǎn)式方程要注意下面兩點(diǎn)：(1)方程只適用于與坐標(biāo)軸不平行的直線，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行(x1=x2或y1=y2)時(shí)，可直接寫出方程；(2)要記住兩點(diǎn)式方程，只要記住左邊就行了，右邊可由左邊見y就用x代換得到，足碼的規(guī)律完全一樣．

(四)截距式

例1 已知直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a≠0，b≠0)，求直線l的方程．

此題由老師歸納成已知兩點(diǎn)求直線的方程問題，由學(xué)生自己完成．

解：因?yàn)橹本€l過A(a，0)和B(0，b)兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得

就是

學(xué)生也可能用先求斜率，然后用點(diǎn)斜式方程求得截距式．

引導(dǎo)學(xué)生給方程命名：這個(gè)方程是由直線在x軸和y軸上的截距確定的，叫做直線方程的截距式．

對截距式方程要注意下面三點(diǎn)：(1)如果已知直線在兩軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程；(2)將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點(diǎn)常被用來作圖；(3)與坐標(biāo)軸平行和過原點(diǎn)的直線不能用截距式表示．

(五)例題

例2 三角形的頂點(diǎn)是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(圖1-27)，求這個(gè)三角形三邊所在直線的方程．

本例題要在引導(dǎo)學(xué)生靈活選用方程形式、簡化運(yùn)算上多下功夫． 解：直線AB的方程可由兩點(diǎn)式得：

即 3x+8y+15=0 這就是直線AB的方程．

BC的方程本來也可以用兩點(diǎn)式得到，為簡化計(jì)算，我們選用下面途徑：

由斜截式得：

即 5x+3y-6=0． 這就是直線BC的方程． 由截距式方程得AC的方程是

即 2x+5y+10=0． 這就是直線AC的方程．(六)課后小結(jié)

(1)直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和截距式的命名都是可以顧名思義的，要會(huì)加以區(qū)別．

(2)四種形式的方程要在熟記的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用．(3)要注意四種形式方程的不適用范圍．

五、布置作業(yè)

1．(1.5練習(xí)

2．(1.5練習(xí)(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)． 解：

(圖略)

六、板書設(shè)計(jì)

直線方程的一般形式

一、教學(xué)目標(biāo)

(一)知識教學(xué)點(diǎn)

掌握直線方程的一般形式，能用定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)后求定比．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過研究直線的一般方程與直線之間的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的對應(yīng)概念；通過對幾個(gè)典型例題的研究，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識、簡化運(yùn)算的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過對直線方程的幾種形式的特點(diǎn)的分析，培養(yǎng)學(xué)生看問題一分為二的辯證唯物主義觀點(diǎn)．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和截距式表示直線有一定的局限性，只有直線的一般式能表示所有的直線，教學(xué)中要講清直線與二元一次方程的對應(yīng)關(guān)系．

2．難點(diǎn)：與重點(diǎn)相同．

3．疑點(diǎn)：直線與二元一次方程是一對多的關(guān)系．同條直線對應(yīng)的多個(gè)二元一次方程是同解方程．

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

分析、啟發(fā)、講練結(jié)合．

四、教學(xué)過程

(一)引入新課

點(diǎn)斜式、斜截式不能表示與x軸垂直的直線；兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線；截距式既不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線，又不能表示過原點(diǎn)的直線．與x軸垂直的直線可表示成x=x0，與x軸平行的直線可表示成y=y0。它們都是二元一次方程．

我們問：直線的方程都可以寫成二元一次方程嗎？反過來，二元一次方程都表示直線嗎？

(二)直線方程的一般形式

我們知道，在直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有傾斜角α．當(dāng)α≠90°時(shí)，直線有斜率，方程可寫成下面的形式：

y=kx+b

當(dāng)α=90°時(shí)，它的方程可以寫成x=x0的形式．

由于是在坐標(biāo)平面上討論問題，上面兩種情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．這樣，對于每一條直線都可以求得它的一個(gè)二元一次方程，就是說，直線的方程都可以寫成關(guān)于x、y的一次方程．

反過來，對于x、y的一次方程的一般形式

Ax+By+C=0．

(1)其中A、B不同時(shí)為零．(1)當(dāng)B≠0時(shí)，方程(1)可化為

這里，我們借用了前一課y=kx+b表示直線的結(jié)論，不弄清這一點(diǎn)，會(huì)感到上面的論證不知所云．

(2)當(dāng)B=0時(shí)，由于A、B不同時(shí)為零，必有A≠0，方程(1)可化為

它表示一條與y軸平行的直線．

這樣，我們又有：關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為

Ax+By+C=0

這個(gè)方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式．

引導(dǎo)學(xué)生思考：直線與二元一次方程的對應(yīng)是什么樣的對應(yīng)？

直線與二元一次方程是一對多的，同一條直線對應(yīng)的多個(gè)二元一次方程是同解方程．(三)例題

解：直線的點(diǎn)斜式是

化成一般式得

4x+3y-12=0．

把常數(shù)次移到等號右邊，再把方程兩邊都除以12，就得到截距式

講解這個(gè)例題時(shí)，要順便解決好下面幾個(gè)問題：(1)直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式方程由于給出的點(diǎn)可以是直線上的任意點(diǎn)，因此是不唯一的，一般不作為最后結(jié)果保留，須進(jìn)一步化簡；(2)直線方程的一般式也是不唯一的，因?yàn)榉匠痰膬蛇呁艘砸粋€(gè)非零常數(shù)后得到的方程與原方程同解，一般方程可作為最終結(jié)果保留，但須化為各系數(shù)既無公約數(shù)也不是分?jǐn)?shù)；(3)直線方程的斜截式與截距式如果存在的話是唯一的，如無特別要求，可作為最終結(jié)果保留．

例2 把直線l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直線l的斜率和在x軸與y軸上的截距，并畫圖．

解：將原方程移項(xiàng)，得2y=x+6，兩邊除以2得斜截式：

x=-6

根據(jù)直線過點(diǎn)A(-6，0)、B(0，3)，在平面內(nèi)作出這兩點(diǎn)連直線就是所要作的圖形(圖1-28)．

本例題由學(xué)生完成，老師講清下面的問題：二元一次方程的圖形是直線，一條直線可由其方向和它上面的一點(diǎn)確定，也可由直線上的兩點(diǎn)確定，利用前一點(diǎn)作圖比較麻煩，通常我們是找出直線在兩軸上的截距，然后在兩軸上找出相應(yīng)的點(diǎn)連線．

例3 證明：三點(diǎn)A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一條直線上． 證法一

直線AB的方程是：

化簡得 y=x+2．

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上面的方程，等式成立． ∴A、B、C三點(diǎn)共線．

∴A、B、C三點(diǎn)共線．

∵|AB|+|BC|=|AC|，∴A、C、C三點(diǎn)共線．

講解本例題可開拓學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識解決問題的能力． 例4 直線x+2y-10=0與過A(1，3)、B(5，2)的直線相交于C，此題按常規(guī)解題思路可先用兩點(diǎn)式求出AB的方程，然后解方程組得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求點(diǎn)C分AB所成的定比，計(jì)算量大了一些．如果先用定比分點(diǎn)公式設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)(即滿足點(diǎn)C在直線AB上)，然后代入已知的直線方程求λ，則計(jì)算量要小得多．

代入x+2y-10=0有：

解之得

λ=-3．

(四)課后小結(jié)

(1)歸納直線方程的五種形式及其特點(diǎn)．

(2)例4一般化：求過兩點(diǎn)的直線與已知直線(或由線)的交點(diǎn)分以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段所成定比時(shí)，可用定比分點(diǎn)公式設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，代入已知直線(或曲線)求得．

五、布置作業(yè)

1．(1．6練習(xí)(2)經(jīng)過點(diǎn)B(4，2)，平行于x軸；

(5)經(jīng)過兩點(diǎn)P1(3，-2)、P2(5，-4)；(6)x軸上的截距是-7，傾斜角是45°．

解：(1)x+2y-4=0；(2)y-2=0；(3)2x+1=0；(4)2x-y-3=0；(5)x+y-1=0；(6)x-y+7=0．

3．(習(xí)題二

5．(習(xí)題二

(一)知識教學(xué)點(diǎn)

掌握兩條直線平行與垂直的條件，會(huì)運(yùn)用條件判斷兩直線是否平行或垂直，能運(yùn)用條件確定兩平行或垂直直線的方程系數(shù)．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過研究兩直線平行或垂直的條件的討論，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已有知識解決新問題的能力以及學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過對兩直線平行與垂直的位置關(guān)系的研究，培養(yǎng)學(xué)生的成功意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：兩條直線平行和垂直的條件是解析幾何中的一個(gè)重點(diǎn)，要求學(xué)生能熟練掌握，靈活運(yùn)用．

2．難點(diǎn)：啟發(fā)學(xué)生把研究兩直線的平行與垂直問題轉(zhuǎn)化為考查兩直線的斜率的關(guān)系問題．

3．疑點(diǎn)：對于兩直線中有一條直線斜率不存在的情況課本上沒有考慮，上課時(shí)要注意解決好這個(gè)問題．

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問、討論、解答．

四、教學(xué)過程

(一)特殊情況下的兩直線平行與垂直

這一節(jié)課，我們研究怎樣通過兩直線的方程來判斷兩直線的平行與垂直． 當(dāng)兩條直線中有一條直線沒有斜率時(shí)：(1)當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時(shí)，兩直線的傾斜角為90°，互相平行；(2)當(dāng)另一條直線的斜率為0時(shí)，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直．

(二)斜率存在時(shí)兩直線的平行與垂直

設(shè)直線l1和l2的斜率為k1和k2，它們的方程分別是 l1： y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2．

兩直線的平行與垂直是由兩直線的方向來決定的，兩直線的方向又是由直線的傾斜角與斜率決定的，所以我們下面要解決的問題是兩平行與垂直的直線它們的斜率有什么特征．

我們首先研究兩條直線平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(圖1-29)，那么它們的傾斜角相等：α1=α2．

∴tgα1=tgα2． 即 k1=k2．

反過來，如果兩條直線的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2． 由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2． ∵兩直線不重合，∴l(xiāng)1∥l2．

兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，則它們平行，即

eq x()要注意，上面的等價(jià)是在兩直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不存立．

現(xiàn)在研究兩條直線垂直的情形．

如果l1⊥l2，這時(shí)α1≠α2，否則兩直線平行．

設(shè)α2＜α1(圖1-30)，甲圖的特征是l1與l2的交點(diǎn)在x軸上方；乙圖的特征是l1與l2的交點(diǎn)在x軸下方；丙圖的特征是l1與l2的交點(diǎn)在x軸上，無論哪種情況下都有

α1=90°+α2．

因?yàn)閘1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

可以推出

α1=90°+α2．

l1⊥l2．

兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，則它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，則它們互相垂直，即

eq x()

(三)例題

例1 已知兩條直線

l1： 2x-4y+7=0，L2： x-2y+5=0． 求證：l1∥l2．

證明兩直線平行，需說明兩個(gè)要點(diǎn)：(1)兩直線斜率相等；(2)兩直線不重合． 證明：把l1、l2的方程寫成斜截式：

∴兩直線不相交．

∵兩直線不重合，∴l(xiāng)1∥l2．

例2求過點(diǎn) A(1，-4)，且與直線2x+3y+5=0平等的直線方程．

即 2x+3y+10= 0．

解法2 因所求直線與2x+3y+5=0平行，可設(shè)所求直線方程為2x+3y+m=0，將A(1，-4)代入有m=10，故所求直線方程為

2x+3y+10=0．

例3 已知兩條直線

l1： 2x-4y+7=0，l2： 2x+y-5=0． 求證：l1⊥l2．

∴l(xiāng)1⊥l2．

例4 求過點(diǎn)A(2，1)，且與直線2x+y-10=0垂直的直線方程． 解法1 已知直線的斜率k1=-2． ∵所求直線與已知直線垂直，根據(jù)點(diǎn)斜式得所求直線的方程是

就是 x-2y=0．

解法2 因所求直線與已知直線垂直，所以可設(shè)所求直線方程是x-2y+m=0，將點(diǎn)A(2，1)代入方程得m=0，所求直線的方程是

x-2y=0．

(四)課后小結(jié)

(1)斜率存在的不重合的兩直線平行的等價(jià)條件；(2)兩斜率存在的直線垂直的等價(jià)條件；(3)與已知直線平行的直線的設(shè)法；(4)與已知直線垂直的直線的設(shè)法．

五、布置作業(yè)

1．(1．7練習(xí)

也就是 2x+7y-21=0．

同理可得BC邊上的高所在直線方程為

3x+2y-12=0．

AC邊上的高所在的直線方程為

4x-3y-3=0．

六、板書設(shè)計(jì)

兩條直線所成的角

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識教學(xué)點(diǎn)

一條直線與另一條直線所成角的概念及其公式，兩直線的夾角公式，能熟練運(yùn)用公式解題．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過課題的引入，訓(xùn)練學(xué)生由特殊到一般，定性、定量逐層深入研究問題的思想方法；通過公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

訓(xùn)練學(xué)生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究問題的習(xí)慣．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：前面研究了兩條直線平行與垂直，本課時(shí)是對兩直線相交的情況作定量的研究．兩直線所成的角公式可由一條直線到另一條直線的角公式直接得到，教學(xué)時(shí)要講請l1、l2的公式的推導(dǎo)方法及這一公式的應(yīng)用．

2，難點(diǎn)：公式的記憶與應(yīng)用．

3．疑點(diǎn)：推導(dǎo)l1、l2的角公式時(shí)的構(gòu)圖的分類依據(jù)．

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

分析、啟發(fā)、講練結(jié)合．

四、教學(xué)過程(一)引入新課

我們已經(jīng)研究了直角坐標(biāo)平面兩條直線平行與垂直的情況，對于兩條相交直線，怎樣根據(jù)它們的直線方程求它們所成的角是我們下面要解決的問題．

(二)l1到l2的角正切

兩條直線l1和l2相交構(gòu)成四個(gè)角，它們是兩對對頂角．為了區(qū)別這些角，我們把直線l1依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與l2重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，叫做l1到l2的角．圖1-27中，直線l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．

l1到l2的角有三個(gè)要點(diǎn)：始邊、終邊和旋轉(zhuǎn)方向．

現(xiàn)在我們來求斜率分別為k1、k2的兩條直線l1到l2的角，設(shè)已知直線的方程分別是

l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2 如果1+k1k2=0，那么θ=90°，下面研究1+k1k2≠0的情形．

由于直線的方向是由直線的傾角決定的，所以我們從研究θ與l1和l2的傾角的關(guān)系入手考慮問題．

設(shè)l1、l2的傾斜角分別是α1和α2(圖1-32)，甲圖的特征是l1到l2的角是l1、l2和x軸圍成的三角形的內(nèi)角；乙圖的特征是l1到l2的角是l1、l2與x軸圍成的三角形的外角．

tgα1=k1，tgα2=k2． ∵θ=α2-α1(圖1-32)，或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，∴tgθ=tg(α2-α1)．

或tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1)． 可得

即

eq x()

上面的關(guān)系記憶時(shí)，可抓住分子是終邊斜率減始邊斜率的特征進(jìn)行記憶．(三)夾角公式

從一條直線到另一條直線的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我們常常只需要考慮不大于直角的角(就是兩條直線所成的角，簡稱夾角)就可以了，這時(shí)可以用下面的公式

(四)例題

解：k1=-2，k2=1．

∴θ=arctg3≈71°34′． 本例題用來熟悉夾角公式．

例2 已知直線l1： A1x+B1y+C1=0和l2： A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0)，l1到l2的角是θ，求證：

證明：設(shè)兩條直線l1、l2的斜率分別為k1、k2，則

這個(gè)例題用來熟悉直線l1到l2的角．

例3等腰三角形一腰所在的直線l1的方程是x-2y-2=0，底邊所在的直線l2的方程是x+y-1=0，點(diǎn)(-2，0)在另一腰上，求這腰所在直線l3的方程．

解：先作圖演示一腰到底的角與底到另一腰的角相等，并且與兩腰到底的角與底到另一腰的角相等，并且與兩腰的順序無關(guān)．

設(shè)l1、l2、l3的斜率分別是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，則

．

因?yàn)閘1、l2、l3所圍成的三角形是等腰三角形，所以 θ1=θ2． tgθ2=tgθ1=-3．

解得 k3=2．

因?yàn)閘3經(jīng)過點(diǎn)(-2，0)，斜率為2，寫出點(diǎn)斜式為

y=2[x-(-2)]，即 2x-y+4=0． 這就是直線l3的方程．

講此例題時(shí)，一定要說明：無須作圖，任一腰到底的角與底到另一腰的角都相等，要為銳角都為銳角，要為鈍角都為鈍角．

(五)課后小結(jié)

(1)l1到l2的角的概念及l(fā)1與l2夾角的概念；(2)l1到l2的角的正切公式；(3)l1與l2的夾角的正切公式；

(4)等腰三角形中，一腰所在直線到底面所在直線的角，等于底邊所在直線到另一腰所在直線的角．

五、布置作業(yè)

1．(教材

∵k1·k2=-1，∴l(xiāng)1與l2的夾角是90°．(2)k1=1，k2=0． 兩直線的夾角為45°．

∴l(xiāng)1與l2的夾角是90°．

3．(習(xí)題三

即3x+7y-13=0或7x-3y-11=0．

4．等腰三角形一腰所在的直線l1的方程是2x-y+4=0，底面所在的直線l2的方程是x+y-1=0，點(diǎn)(-2，0)在另一腰上，求這腰所在的直線l3的方程．

解：這是本課例3將l1與l3互換的變形題，解法與例3相同，所求方程為： x-2y-2=0．

六、板書設(shè)計(jì)

兩條直線的交點(diǎn)

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識教學(xué)點(diǎn)

知道兩條直線的相交、平行和重合三種位置關(guān)系，對應(yīng)于相應(yīng)的二元一次方程組有唯一解、無解和無窮多組解，會(huì)應(yīng)用這種對應(yīng)關(guān)系通過方程判斷兩直線的位置關(guān)系，以及由已知兩直線的位置關(guān)系求它們方程的系數(shù)所應(yīng)滿足的條件．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過研究兩直線的位置關(guān)系與它們對應(yīng)方程組的解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力；通過對方程組解的討論培養(yǎng)學(xué)生的分類思想；求出x后直接分析出y的表達(dá)式，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力與類比思維能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過學(xué)習(xí)兩直線的位置關(guān)系與它們所對應(yīng)的方程組的解的對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：兩條直線的位置關(guān)系與它們所對應(yīng)的方程組的解的個(gè)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，本節(jié)是從交點(diǎn)個(gè)數(shù)為特征對兩直線位置關(guān)系的進(jìn)一步討論．

2．難點(diǎn)：對方程組系數(shù)中含有未知數(shù)的兩直線的位置關(guān)系的討論． 3．疑點(diǎn)：當(dāng)方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為零時(shí)兩直線位置關(guān)系的簡要說明．

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

分析、啟發(fā)、誘導(dǎo)、講練結(jié)合．

四、教學(xué)過程

(一)兩直線交點(diǎn)與方程組解的關(guān)系 設(shè)兩直線的方程是

l1： A1x+B1y+c1=0，l2： A2x+B2y+C2=0．

如果兩條直線相交，由于交點(diǎn)同時(shí)在兩條直線上，交點(diǎn)的坐標(biāo)一定是這兩個(gè)方程的公共解；反之，如果這兩個(gè)二元一次方程只有一個(gè)公共解，那么以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是直線l1和l2的交點(diǎn)．因此，兩條直線是否相交，就要看這兩條直線的方程所組成的方程組

是否有唯一解．

(二)對方程組的解的討論

若A1、A2、B1、B2中有一個(gè)或兩個(gè)為零，則兩直線中至少有一條與坐標(biāo)軸平行，很容易得到兩直線的位置關(guān)系．

下面設(shè)A1、A2、B1、B2全不為零． 解這個(gè)方程組：

(1)×B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0，(3)

(2)×B1得

A2B1x+B1B2y+B1C2=0．

(4)(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0． 下面分兩種情況討論：

將上面表達(dá)式中右邊的A1、A2分別用B1、B2代入即可得

上面得到y(tǒng)可把方程組寫成

即將x用y換，A1、A2分別與B1、B2對換后上面的方程組還原成原方程組． 綜上所述，方程組有唯一解：

這時(shí)l1與l2相交，上面x和y的值就是交點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)當(dāng)A1B2-A2B1=0時(shí)：

①當(dāng)B1C2-B2C1≠0時(shí)，這時(shí)C1、C2不能全為零(為什么？)．設(shè)C2

②如果B1C2-B2C1=0，這時(shí)C1、C2或全為零或全不為零(當(dāng)C1、(三)統(tǒng)一通過解方程組研究兩直線的位置關(guān)系與通過斜率研究兩直線位置關(guān)系的結(jié)論

說明：在平面幾何中，我們研究兩直線的位置關(guān)系時(shí)，不考慮兩條直線重合的情況，而在解析幾何中，由于兩個(gè)不同的方程可以表示同一條直線，我們把重合也作為兩直線的一種位置關(guān)系來研究．

(四)例題

例1 求下列兩條直線的交點(diǎn)： l1：3x+4y-2=0，l2： 2x+y+2=0． 解：解方程組

∴l(xiāng)1與l2的交點(diǎn)是M(-2，2)． 例2 已知兩條直線： l1： x+my+6=0，l2：(m-2)x+3y+2m=0．

當(dāng)m為何值時(shí)，l1與l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合． 解：將兩直線的方程組成方程組

解得m=-1或m=3．

(2)當(dāng)m=-1時(shí)，方程組為

∴方程無解，l1與l2平行．(3)當(dāng)m=3時(shí)，方程組為

兩方程為同一個(gè)方程，l1與l2重合．

(五)課后小結(jié)

(1)兩直線的位置關(guān)系與它們對應(yīng)的方程的解的個(gè)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系．(2)直線的三種位置關(guān)系所對應(yīng)的方程特征．

(3)對方程組中系數(shù)含有字母的兩直線位置關(guān)系的討論方法．

五、布置作業(yè)

1．(教材 m為何值時(shí)，l1與l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合． 解：(1)m≠1且m≠-7；(2)m=-7；(3)m=-1．

六、板書設(shè)計(jì)

點(diǎn)到直線的距離公式

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識教學(xué)點(diǎn)

點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)思想方法及公式的簡單應(yīng)用．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，綜合應(yīng)用知識解決問題的能力、類比思維能力，訓(xùn)練學(xué)生由特殊到一般的思想方法．

(三)知識滲透點(diǎn)

由特殊到一般、由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識是人們認(rèn)識世界的基本規(guī)律．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：展示點(diǎn)到直線的距離公式的探求思維過程．

2．難點(diǎn)：推導(dǎo)點(diǎn)到直線距離公式的方法很多，怎樣引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，利用平面幾何知識得到課本上給出的證法是本課的難點(diǎn)，可構(gòu)造典型的、具有啟發(fā)性的圖形啟發(fā)學(xué)生逐層深入地思考問題．

3．疑點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式是在A≠0、B≠0的條件下推得的．事實(shí)上，這個(gè)公式在A=0或B=0時(shí)，也是成立的．

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

啟發(fā)、思考，逐步推進(jìn)，講練結(jié)合．

四、教學(xué)過程(一)提出問題

已知點(diǎn)P(x0，y0)和直線l：Ax+By+C=0，點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程確定后，它們的位置也就確定了，點(diǎn)到直線的距離也是確定的，怎樣求點(diǎn)P到直線l的距離呢？

(二)構(gòu)造特殊的點(diǎn)到直線的距離學(xué)生解決

思考題1 求點(diǎn)P(2，0)到直線L：x-y=0的距離(圖1-33)． 學(xué)生可能尋求到下面三種解法：

方法2 設(shè)M(x，y)是l：x-y=0上任意一點(diǎn)，則

當(dāng)x=1時(shí)|PM|有最小值，這個(gè)值就是點(diǎn)P到直線l的距離． 方法3 直線x-y=0的傾角為45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP|

第二篇：高二數(shù)學(xué)教案：直線的方程

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直線的方程（1）

【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握由一點(diǎn)和斜率導(dǎo)出直線方程的方法，掌握直線的點(diǎn)斜式方程，了解直線方程的斜截式是點(diǎn)斜式的特例；

2.能通過待定系數(shù)（直線上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x1,y1)及斜率k，或者直線的斜率k及在y軸上的截距b）求直線方程； 3.掌握斜率不存在時(shí)的直線方程，即x?x1．

【教學(xué)重點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程的推導(dǎo)及運(yùn)用.【教學(xué)難點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式的推導(dǎo)?！窘虒W(xué)過程】

（一）復(fù)習(xí)：（1）直線的傾斜角和斜率的概念；

（2）直線上兩個(gè)不同點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)，x1?x2，求此直線的斜率k．

（二）新課講解： 1．點(diǎn)斜式

問題引入：已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P1(x1,y1)，且斜率為k，求直線l的方程.設(shè)點(diǎn)P(x,y)是直線l不同于點(diǎn)P1(x1,y1)的任意一點(diǎn)，根據(jù)直線的斜率公式，得：k?y?y1x?x1，可化為y?y1?k(x?x1)．

可以驗(yàn)證：直線l上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上.這個(gè)方程就是過點(diǎn)P1，斜率為k的直線l的方程，叫做直線方程的點(diǎn)斜式．

2．兩種特殊的直線方程

（1）直線l經(jīng)過點(diǎn)P1(x1,y1)的傾斜角為0?，則k?tan0??0，直線l的方程是y?y1；（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)P1(x1,y1)的傾斜角為90，則斜率不存在，因?yàn)橹本€l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，直線l的方程是x?x1．

此時(shí)不能使用直線方程的點(diǎn)斜式求它的方程，這時(shí)直線l的方程是x?x1。3．問：k?y?y1x?x1?與y?y1?k(x?x1)表示同一直線嗎？．

（三）例題分析：

例1．一條直線經(jīng)過點(diǎn)P1(?2,3)，傾斜角為??45，求這條直線方程，并畫出圖形。

解：∵直線經(jīng)過點(diǎn)P1(?2,3)，且斜率k?tan45?1，代入點(diǎn)斜式，得：y?3?x?2，即x?y?5?0．

x?y?5?0

??y

?5 O x

例2．直線l斜率為k，與y軸的交點(diǎn)是P(0,b)，求直線l的方程。

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解：代入直線的點(diǎn)斜式，得：y?b?k(x?0)，即y?kx?b．

說明：（1）直線l與x軸交點(diǎn)(a,0)，與y軸交點(diǎn)(0,b)，稱a為直線l在x軸上的截距，稱b為直線l在y軸上的截距；

（2）這個(gè)方程由直線l斜率k和它在y軸上的截距b確定，叫做直線方程的斜截式；

（3）初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)y?kx?b中，常數(shù)k是直線的斜率，常數(shù)b為直線在y軸上的截距（b可以大于0，也可以等于或小于0）．

例3．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)，且傾斜角等于直線y?2x?1的傾斜角的2倍，求直線l的方程．

解：設(shè)已知直線的傾斜角為?，則直線l的傾斜角為2?，2tan?4 ∵tan??2，∴k?tan2??，??21?tan?3又∵直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)，∴直線l的方程為y?1??(x?2)，3即所求的直線方程為4x?3y?11?0． 4例4．求直線y??3(x?2)繞點(diǎn)(2,0)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30?所得的直線方程。

解：設(shè)直線y??3(x?2)的傾斜角為?，則tan???3，又∵??[0?,180?)，∴??120?，∴所求的直線的傾斜角為120??30??90?，所以，所求的直線方程為x?2．

例5：已知直線過點(diǎn)P（-2，3），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程。

分析：關(guān)鍵是求斜率k.解：因?yàn)橹本€與x軸不垂直，所以可設(shè)直線的方程為y-3=k(x+2)令x=0得y=2k+3;令y=0得x=?12（|2k?3）(?3k3k3k?2 ?由題意得：

?2)|?4，?2)?8,無解；若（2k?3）(?3k?2)??8,解得：k??12,k??92若（2k?3）(?

?所求直線的方程為y?3??12(x?2)和y?3??92(x?2)

即x?2y?4?0和9x?2y?12?0規(guī)律：已知直線過一個(gè)點(diǎn)常選用直線方程的點(diǎn)斜式。

（四）．課堂練習(xí)：1．課本第39頁練習(xí)1，2，3；

? 2．求直線y?x?cot??1,??(,?)的傾斜角； 3．求過點(diǎn)(2,1)且傾斜角?滿足sin??

45的直線方程.3eud教育網(wǎng) http://www.3edu.net 教學(xué)資源集散地。可能是最大的免費(fèi)教育資源網(wǎng)！3eud教育網(wǎng)

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（五）．小結(jié)：要求直線方程，通過待定系數(shù)：直線上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x1,y1)及斜率k，或者直線的斜

率k及在y軸上的截距b，代入點(diǎn)斜式或斜截式求出直線方程.（六）．作業(yè)：課本第44頁第1題（1）（3）（5）

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第三篇：高三數(shù)學(xué)教案：直線方程(5課時(shí))

第一課時(shí)

3.1.1 直線的傾斜角與斜率

教學(xué)要求：會(huì)根據(jù)直線上的兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線的傾斜角與斜率,給出一直線上的一點(diǎn)與它的斜率,能夠畫出它的圖象.教學(xué)重點(diǎn)：理解傾斜角, 斜率.教學(xué)難點(diǎn)：傾斜角, 斜率的理解及計(jì)算.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.討論：在直角坐標(biāo)系中,只知道直線上的一點(diǎn),能不能確定一條直線呢? 2.在日常生活中,我們常說這個(gè)山坡很陡峭,有時(shí)也說坡度,這里的陡峭和坡度說的是山坡與水平面之間的一個(gè)什么關(guān)系呢?

二、講授新課：

1.教學(xué)平面傾斜角與斜率的概念：

① 直線傾斜角的概念： x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角

注意:當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度.。

討論:傾斜角的取值范圍是什么呢?

② 直線斜率的概念：直線傾斜角?的正切值叫直線的斜率.常用k表示,k?tan?

討論:當(dāng)直線傾斜角為90?度時(shí)它的斜率不存在嗎?.傾斜角的大小與斜率為正或負(fù)有何關(guān)系?斜率為正或負(fù)時(shí),直線過哪些象限呢? ?取值范圍是?0,??.y2?y1x2?x1③ 直線斜率的計(jì)算:兩點(diǎn)確定一直線,給定兩點(diǎn)p1(x1,y1)與p2(x2,y2),則過這兩點(diǎn)的直線的斜率k?

思考 :(1)直線的傾斜角?確定后, 斜率k的值與點(diǎn)p1,p2的順序是否有關(guān)?

(2)當(dāng)直線平行表于y軸或與y軸重合時(shí),上述公式k?y2?y1x2?x1還適用嗎? 2.教學(xué)例題: 例1,求經(jīng)過兩點(diǎn)A(2,3),B(4,7)的直線的斜率和傾斜角,并判斷這條直線的傾斜角是銳角還是鈍角.例2:在平面直角坐標(biāo)系中畫出經(jīng)過原點(diǎn)且斜率分別為 ?1,2,?3的直線l1,l2,l3.三.鞏固與提高練習(xí): 1.已知下列直線的直線傾斜角?,求直線的斜率k.⑴ a?300 ⑵ a?450

⑶ a?1200

⑷

1350 2:已知直線l過點(diǎn)A(1,2)、B(m,3),求直線l的斜率和傾斜角 3,已知a,b,c是現(xiàn)兩兩不等的實(shí)數(shù),求經(jīng)過下列兩點(diǎn)直線的傾斜角.(1)A(a,b),B(b,c)

(2)P(b,b?c),Q(a,c?a)4.畫出經(jīng)過點(diǎn)(0,3)且斜率分別為3和-2的直線.四.小結(jié):

傾斜角、斜率的概念, 斜率的計(jì)算公式.五:作業(yè),P9

52題.第二課時(shí)

3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定

教學(xué)要求：明白兩直線平行與垂直時(shí)傾斜角之間的關(guān)系,能夠 通過代數(shù)的方法,運(yùn)用斜率來判定兩直線平行與垂直關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)：用斜率來判定兩直線平行與垂直.教學(xué)難點(diǎn)：用斜率來判定兩直線平行與垂直.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.提問：直線的傾斜角的取值范圍是什么?如果計(jì)算直線的斜率? 2.在同一直角坐標(biāo)系中畫出過原點(diǎn)斜率分別是-3,3,1的直線的圖象.3.探究：兩直線平行(垂直)時(shí)它們的傾斜角之間有何關(guān)系?

二、講授新課：

1.兩條直線平行的判定：

① 由上述探究 →兩條直線平行：兩直線傾斜角都相等.即: ?1??2 ，提問: 兩直線平行,它們的斜率相等嗎? l1?l2?k1?k2 ② 兩條直線平行的判定: 兩條不重合的直線,斜率都存在.它們的斜率相等.即: ?1??2 , l1?l2?k1?k2

注意: 上述結(jié)論的前提是兩條直線不重合并且斜率都存在.2.兩條直線垂直的判定：

探究兩直線l1,l2垂直時(shí),它們的斜率k1,k2的關(guān)系.① l1,l2的傾斜角?1?900,?2?00時(shí), 斜率k1,k2不存在;

② 當(dāng)斜率k1,k2都存在時(shí).設(shè)l1,l2的傾斜角分別為?1,?2, 其中0?1>?2，則有?1?90??2

k1?tan?1?tan(90??2)??01tan?2??1k2，即：k1k2??1

兩條直線垂直的判定：兩直線的斜率都存在時(shí)，兩直線垂直，則它們的斜率k1,k2的乘積k1k2??1。即：l1?l2?k1k2??1

3.教學(xué)例題：

例1：已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,1),B(2,0),C(4,3),D(2,4)，試證明四邊形ABCD為平行四形。

例2：已知A(?5,1),B(4,5),P(1,2),Q(7,5)，試判斷直線AB與PQ位置的關(guān)系。4． 練習(xí)與提高：

1，試判斷分別經(jīng)過下列兩點(diǎn)的各對直線是平行還是垂直？ ⑴(3,4),(?2,?1)與(3,1),(2,2)

⑵

(m,4)m,(?求m的值。

四.小結(jié):

傾斜角、斜率的概念, 斜率的計(jì)算公式.五:作業(yè), P9

46.7題.1與,3(2,1)(3,0)

2, l1經(jīng)過點(diǎn)A(m,1),B(?3,4)，l2經(jīng)過點(diǎn)C(1,m),D(?1,m?1)，當(dāng)直線l1與l2平行或垂直時(shí)，第三課時(shí)3.2.1

直線的點(diǎn)斜式方程

教學(xué)要求：明白直線可以由直線線上的一點(diǎn)坐標(biāo)與斜率確定，會(huì)由直線的一點(diǎn)坐標(biāo)與斜率求直線的方程，會(huì)根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求直線的截距。

教學(xué)重點(diǎn)：直線點(diǎn)斜式方程的理解與求解，由點(diǎn)斜式方程求直線的截距。教學(xué)難點(diǎn)：直線點(diǎn)斜式方程的理解與求解。教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.直線的傾斜角與斜率有何關(guān)系?什么樣的直線沒有斜率? 2.提問：兩條不重合的直線,斜率都存在.它們的斜率有何關(guān)系.如何用直線的斜率判定兩直線垂直?

二、講授新課：

直線點(diǎn)斜式方程的教學(xué):

① 已知直線l上一點(diǎn)p0(x0,y0)與這條直線的斜率k，設(shè)p(x,y)為直線上的任意一點(diǎn)，則有：

k?y?y0x?x0?y?y0?k(x?x0)

⑴

探究: 兩點(diǎn)可以確定一直線,那么知道直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率能不能確定一直線呢?

滿足方程⑴的所有點(diǎn)是否都在直線 l上? 點(diǎn)斜式方程 ：方程 ⑴:y?y0?k(x?x0)稱為直線的點(diǎn)斜式方程.簡稱點(diǎn)斜式.② 討論:直線的點(diǎn)斜式方程能否表示平面上的所有直線?(引導(dǎo)學(xué)生從斜率的角度去考慮)結(jié)論:不能表示垂直于x軸的直線.③ 斜截式方程: 由點(diǎn)斜式方程可知,若直線過點(diǎn)B(0,b)且斜率為k,則直線的方程為: y?kx?b

方程y?kx?b稱為直線的斜截式方程.簡稱斜截式.其中b為直線在y軸上的截距.④ 能否用斜截式表示平面內(nèi)的所有直線? 斜截式與我們學(xué)過的一次函數(shù)表達(dá)式比較你會(huì)得出什么結(jié)論.(截距b就是函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo))⑤ 教學(xué)例題:

0⒈直線l經(jīng)過點(diǎn)p0(2,5),且傾斜角為??60,求直線l的點(diǎn)斜式方程并畫出直線圖象.⒉求下列直線的斜截式方程:⑴斜率為3,在y軸上的截距為1:⑵斜率為?2,在y軸上的截距為5;⒊把直線l的方程x?2y?6?0化成，求出直線l的斜率和在y軸上的截距，并畫圖．

三.:練習(xí)與提高: 1.已知直線經(jīng)過點(diǎn)(6,4),斜率為?43,求直線的點(diǎn)斜式和斜截式.2.方程y?1??3?x?3?表示過點(diǎn)______、斜率是______、傾斜角是______、在y軸上的截距是______的直線。3.已知直線l的方程為y??12x?1,求過點(diǎn)(2,3)且垂直于l的直線方程.四小結(jié): 點(diǎn)斜式.斜截式.截距 五:作業(yè), P110 3.5題.第四課時(shí)3.2.2

直線的兩點(diǎn)式方程

教學(xué)要求：會(huì)由兩點(diǎn)求直線的方程,明白直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和截距式表示直線有一定的局限性，只有直線的一般式能表示所有的直線，清楚直線與二元一次方程的對應(yīng)關(guān)系．能由直線的一般式轉(zhuǎn)化為所需要的其他直線形式.教學(xué)重點(diǎn)：直線兩點(diǎn)式及一般式理解與求解.及各種形式互化.教學(xué)難點(diǎn)：直線兩點(diǎn)式及一般式理解與求解.及各種形式互化.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1． 寫出下列直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程,并求直線在y軸上的截距.①經(jīng)過點(diǎn)A(-2,3),斜率是-1；②經(jīng)過點(diǎn)B(-3,0),斜率是0；③經(jīng)過點(diǎn)C??2,2?,傾斜角是60?；

二、講授新課：

1.直線兩點(diǎn)式方程的教學(xué):

① 探討:已知直線l經(jīng)過p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1?x2,y1?y2)兩點(diǎn),如何求直線的點(diǎn)斜式方程?

y?y1?y2?y1x2?x1x?x1x2?x1(x?x1)

兩點(diǎn)式方程:由上述知, 經(jīng)過p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1?x2,y1?y2)兩點(diǎn)的直線方程為y?y1y2?y1?

⑴，我們稱⑴為直線的兩點(diǎn)式方程,簡稱兩點(diǎn)式.例1:求過A(2,1),B(3,?3)兩點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程,并轉(zhuǎn)化成點(diǎn)斜式.② 當(dāng)直線l不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),其方程可以化為

?1 ⑵, 方程⑵稱為直線的截距式方程,其中 b直線l與x軸交于點(diǎn)(a,0),與y軸交于點(diǎn)(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b.a?xyx2?x1?x???2④ 中點(diǎn):線段AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),則AB的中點(diǎn)M(x,y),其中?

y?y1?y?2?2?例2:已知直線經(jīng)過A(2,0),B(0,3)兩點(diǎn),則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為______,此直線截距式方程為______、與x軸y軸的截距分別為多少？

2.鞏固與提高:

① 已知?ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(0,7)B(5,3)C(5,-3)，求（1）三邊所在直線的方程；

（2）中線AD所在直線的方程。

② 一直線經(jīng)過點(diǎn)（-3，4）且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，求直線的方程 ③ 經(jīng)過點(diǎn)（１，２），且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等的直線共有（）

A 1條

B 2條

C 3條

D 4條 ④ 上題若把點(diǎn)坐標(biāo)改為(1,0)(2,2)呢? 3.小結(jié):兩點(diǎn)式.截距式.中點(diǎn)坐標(biāo).4.:作業(yè)P1104.題.第五課時(shí)3.2.3

直線的一般式方程

教學(xué)要求：引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和截距式表示直線有一定的局限性，只有直線的一般式能表示所有的直線，清楚直線與二元一次方程的對應(yīng)關(guān)系．能由直線的一般式轉(zhuǎn)化為所需要的其他直線形式.教學(xué)重點(diǎn)：直線一般式理解與求解.及一般式與點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和截距式互化.教學(xué)難點(diǎn)：直線一般式理解與求解.及其它形式互化.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.寫出下列直線的兩點(diǎn)式方程.① 經(jīng)過點(diǎn)A(-2,3)與 B(-3,0)；②經(jīng)過點(diǎn)B(-3,0)與 C??2,2?；

2.探討:點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和截距式能否表示垂直于坐標(biāo)軸的直線?(我們需要直線的一般表示法)

二、講授新課：

1問：直線的方程都可以寫成關(guān)于x,y的二元一次方程嗎？反過來，二元一次方程都表示直線 關(guān)于x,y的二元一次方程:Ax?By?C?0(1),(叫直線的一般方程,簡稱一般式.① 當(dāng)B?0,(1)式可化為y??ABx?CB,這是直線的斜截式.C② 當(dāng)B?0,A?0時(shí),(1)式可化為x??A定義一般式: 關(guān)于x,y的二元一次方程:Ax?By?C?0(A,B不全為0)叫直線的一般式方程,.這也是直線方程.簡稱一般式.2.引導(dǎo)學(xué)生思考:直線與二元一次方程的對應(yīng)是什么樣的對應(yīng)?(直線與二元一次方程是一對多的對應(yīng),同一條直線對應(yīng)的多個(gè)二元一次方程是同解方程.)出示例題:已知直線經(jīng)過點(diǎn)(6,4),斜率為?43,求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.3.探討直線Ax?By?C?0,當(dāng)A,B,C為何值時(shí),直線①平行于x軸;②平行于y軸③與x軸重合④與y軸重合.4.出示例題:把直線l的一般方程3y?2x?5?0化成斜截式方程,并求出直線l與x軸、y軸的截距,畫出圖形.三.練習(xí)與提高: 1.設(shè)直線l的方程為(m?2)x?3y?m,根據(jù)下列條件分別求的值.①l在x軸上的截距為?2.② 斜率為?1

2．若直線Ax?By?C?0通過第二、三、四象限，則系數(shù)A、B、C滿足條件（）(A)A、B、C

(B)AC<0,BC>0

(C)C=0,AB<0

(D)A=0,BC<0

3.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)（－２，２）且與兩坐標(biāo)軸圍成單位面積的三角形，求該直線的方程． 四.小結(jié):一般式..五.:作業(yè)P11010.題.

第四篇：2013白蒲中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：直線和圓的方程：09(蘇教版)

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡單的實(shí)際問題，并會(huì)推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生利用求曲線的方程的一般步驟解決一些實(shí)際問題的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

圓基于初中的知識，同時(shí)又是初中的知識的加深，使學(xué)生懂得知識的連續(xù)性；通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可解決一些如圓拱橋的實(shí)際問題，說明理論既來源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐，可以適時(shí)進(jìn)行辯證唯物主義思想教育．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟；(2)根據(jù)具體條件正確寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(解決辦法：(1)通過設(shè)問，消除難點(diǎn)，并詳細(xì)講解；(2)多多練習(xí)、講解．)2．難點(diǎn)：運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡單的實(shí)際問題．

(解決辦法：使學(xué)生掌握分析這類問題的方法是先弄清題意，再建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，使圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式簡單，最后解決實(shí)際問題．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

問答、講授、設(shè)問、演板、重點(diǎn)講解、歸納小結(jié)、閱讀．

四、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)提問

前面，大家學(xué)習(xí)了圓的概念，哪一位同學(xué)來回答？ 問題1：具有什么性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡稱為圓？

平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡稱為圓(教師在黑板上畫一個(gè)圓)． 問題2：圖2-9中哪個(gè)點(diǎn)是定點(diǎn)？哪個(gè)點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)？動(dòng)點(diǎn)具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點(diǎn)？

圓心C是定點(diǎn)，圓周上的點(diǎn)M是動(dòng)點(diǎn)，它們到圓心距離等于定長|MC|=r，圓心和半徑分別確定了圓的位置和大?。?/p>

問題3：求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？ 求曲線方程的一般步驟為：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x，y)表示曲線上任意點(diǎn)M的坐標(biāo)，簡稱建系設(shè)點(diǎn)；圖2-9(2)寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)|}，簡稱寫點(diǎn)集；(3)用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程f(x，y)=0，簡稱列方程；(4)化方程f(x，y)=0為最簡形式，簡稱化簡方程；(5)證明化簡后的方程就是所求曲線的方程，簡稱證明． 其中步驟(1)(3)(4)必不可少．

下面我們用求曲線方程的一般步驟來建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(二)建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1．建系設(shè)點(diǎn)

由學(xué)生在黑板上畫出直角坐標(biāo)系，并問有無不同建立坐標(biāo)系的方法．教師指出：這兩種建立坐標(biāo)系的方法都對，原點(diǎn)在圓心這是特殊情況，現(xiàn)在僅就一般情況推導(dǎo)．因?yàn)镃是定點(diǎn)，可設(shè)C(a，b)、半徑r，且設(shè)圓上任一點(diǎn)M坐標(biāo)為(x，y)．

2．寫點(diǎn)集

根據(jù)定義，圓就是集合P={M||MC|=r}． 3．列方程

由兩點(diǎn)間的距離公式得：

4．化簡方程 將上式兩邊平方得：

(x-a)2+(y-b)2=r2．

(1)

方程(1)就是圓心是C(a，b)、半徑是r的圓的方程．我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

這時(shí)，請大家思考下面一個(gè)問題．

問題5：圓的方程形式有什么特點(diǎn)？當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，圓的方程是什么？ 這是二元二次方程，展開后沒有xy項(xiàng)，括號內(nèi)變數(shù)x，y的系數(shù)都是1．點(diǎn)(a，b)、r分別表示圓心的坐標(biāo)和圓的半徑．當(dāng)圓心在原點(diǎn)即C(0，0)時(shí)，方程為 x2+y2=r2．

教師指出：圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a，b，r三個(gè)量確定了且r＞0，圓的方程就給定了．這就是說要確定圓的方程，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件．注意，確定a、b、r，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來解決．

(三)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用

例

1寫出下列各圓的方程：(請四位同學(xué)演板)

(1)圓心在原點(diǎn)，半徑是3；

(3)經(jīng)過點(diǎn)P(5，1)，圓心在點(diǎn)C(8，-3)；

(4)圓心在點(diǎn)C(1，3)，并且和直線3x-4y-7=0相切．

教師糾錯(cuò)，分別給出正確答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；

指出：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 例

2說出下列圓的圓心和半徑：(學(xué)生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4 教師指出：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要能夠熟練地求出它的圓心和半徑．

例3(1)已知兩點(diǎn)P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2為直徑的圓的方程；(2)試判斷點(diǎn)M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？

解(1)： 分析一：

從確定圓的條件考慮，需要求圓心和半徑，可用待定系數(shù)解決． 解法一：(學(xué)生口答)設(shè)圓心C(a，b)、半徑r，則由C為P1P2的中點(diǎn)得：

又由兩點(diǎn)間的距離公式得：

∴所求圓的方程為：(x-5)2+(y-6)2=10 分析二：

從圖形上動(dòng)點(diǎn)P性質(zhì)考慮，用求曲線方程的一般方法解決． 解法二：(給出板書)∵直徑上的四周角是直角，∴對于圓上任一點(diǎn)P(x，y)，有PP1⊥PP2．

化簡得：

x2+y2-10x-12y+51=0．

即(x-5)2+(y-6)2=10為所求圓的方程． 解(2)：(學(xué)生閱讀課本)分別計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離：

因此，點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在圓外，點(diǎn)Q在圓內(nèi)． 這時(shí)，教師小結(jié)本題： 1．求圓的方程的方法

(1)待定系數(shù)法，確定a，b，r；(2)軌跡法，求曲線方程的一般方法．

2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r：(1)點(diǎn)在圓上(2)點(diǎn)在圓外(3)點(diǎn)在圓內(nèi) d=r； d＞r； d＜r．

3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(證明留作作業(yè))例

4圖2-10是某圓拱橋的—孔圓拱的示意圖．該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時(shí)每隔4m需用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2的長度(精確到0.01m)．

此例由學(xué)生閱讀課本，教師巡視并做如下提示：

(1)先要建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，使圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式簡單，便于計(jì)算；(2)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(3)要注意P2的橫坐標(biāo)x=-2＜0，縱坐標(biāo)y＞0，所以A2P2的長度只有一解．(四)本課小結(jié)

1．圓的方程的推導(dǎo)步驟；

2．圓的方程的特點(diǎn)：點(diǎn)(a，b)、r分別表示圓心坐標(biāo)和圓的半徑； 3．求圓的方程的兩種方法：(1)待定系數(shù)法；(2)軌跡法．

五、布置作業(yè)

1．求下列條件所決定的圓的方程：

(1)圓心為 C(3，-5)，并且與直線x-7y+2=0相切；

(2)過點(diǎn)A(3，2)，圓心在直線y=2x上，且與直線y=2x+5相切． 2．已知：一個(gè)圓的直徑端點(diǎn)是A(x1，y1)、B(x2，y2)． 證明：圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．

3．一個(gè)等腰三角形底邊上的高等于5，底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圓的方程．

4．趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為7.2m，求這座圓拱橋的拱圓的方程． 作業(yè)答案：

1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 32

2．因?yàn)橹睆降亩它c(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則圓心和半徑分別為

所以圓的方程為

化簡得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0 即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

4．如圖2-11建立坐標(biāo)系，得拱圓的方程： x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2≤y≤0)

六、板書設(shè)計(jì)

第五篇：直線方程教案

Ⅰ.課題導(dǎo)入

［師］同學(xué)們，我們前面幾節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線方程的各種形式，以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)；反之這條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解。這是這個(gè)方程叫做這條直線的方程；這條直線叫做這個(gè)方程的直線?，F(xiàn)在大家回憶一下，我們都學(xué)習(xí)了直線方程的哪些特殊的形式。我們學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式等形式，對直線方程的表示形式有了一定的認(rèn)識.現(xiàn)在，我們來回顧一下它們的基本形式.點(diǎn)斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）適用于斜率存在的直線.斜截式的基本形式：y＝kx＋b適用于斜率存在的直線；

兩點(diǎn)式的基本形式：直線；

截距式的基本形式：

y?y1x?x1（x1≠x2，y1≠y2）適用于斜率存在且不為0的?y2?y1x2?x1xy?＝1（a，b≠0）適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.ab在使用這些方程時(shí)要注意它們時(shí)要注意它們的限制條件。

那么大家觀察一下這些方程，都是x,y的幾次方程??？［生］都是關(guān)于x，y的二元一次方程.那么我們原來在代數(shù)中學(xué)過二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板書）Ax＋By＋C＝0 我們現(xiàn)在來看一次這幾種學(xué)過的特殊形式，它們經(jīng)過一些變形，比如說去分母、移項(xiàng)、合并，這樣一些變形步驟。能不能最后都化成這個(gè)統(tǒng)一的形式呢？比如說y＝kx＋b，?xayb＝1，這些我們最終都可以吧它們變成這種形式。剩下的兩種形式的變形留給同學(xué)們課下自己去完成。那么在學(xué)習(xí)這些直線的特殊形式的時(shí)候，應(yīng)該說各有其特點(diǎn)，但是也有些不足。在使用的過程中有些局限性。比如說點(diǎn)斜式和斜截式它們的斜率都必須存在，兩點(diǎn)式適用于適用于斜率存在且不為0的直線，截距式適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.那么我們現(xiàn)在想一想有沒有另外一種形式，可以綜合他們各自的一些特點(diǎn)，也就是這些方程最后化成一個(gè)統(tǒng)一的形式。能不能代表平面直角坐標(biāo)系中的直線。要解決這些問題呢，要分兩個(gè)方面進(jìn)行討論。

1.直線和二元一次方程的關(guān)系

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何一條直線，都有一個(gè)表示這條直線的關(guān)于x，y的二元一次方程.一個(gè)方面：是不是平面上的任意直線，表示它的方程都可以寫成Ax＋By＋C＝0的形式，剛才大家做了一些練習(xí)，當(dāng)然這只是特殊形式，是不是所有的直線都可以寫成這種形式呢？直線按斜率來分類可以分幾類？斜率存在和斜率不存在。這兩類是不是都可以轉(zhuǎn)化成一元二次方程的形式。當(dāng)傾斜角不等于90°是斜率存在，直線方程可以寫成y＝kx＋b的形式。可以轉(zhuǎn)化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比較發(fā)現(xiàn)什么？A=k B=-1 C=b。當(dāng)傾斜角等于90°斜率不存在，直線方程可以寫成x=x0的形式?？梢赞D(zhuǎn)化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比較發(fā)現(xiàn)什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我們就把它分為這兩種情況，當(dāng)斜率存在的時(shí)候我們一般把它設(shè)成一個(gè)簡單的斜截式，斜截式經(jīng)過變形就可以化成一般的形式。而對于斜率不存在的時(shí)候，它的方程形式就是x=x0直線方程也可以轉(zhuǎn)化成這樣的一個(gè)形式。那么由此可以下這樣一個(gè)結(jié)論：平面上的任意的一條直線，表示它的方程最后都可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程的形式。剛才我們從這個(gè)角度考慮，就是直線都可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程，現(xiàn)在我們反過來看，是不是任意的一個(gè)二元一次方程最終在直角坐標(biāo)系下都能夠表示直線。

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，任何關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線.因?yàn)閤，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同時(shí)為0，在B≠0和B＝0的兩種情況下，二元一次方程可分別化成直線的斜截式方程y＝－示與y軸平行或重合的直線方程x＝－

ACx?和表BBC.A也就是說Ax＋By＋C＝0（A，B不同時(shí)為零）大家想想如果AB都等于零這個(gè)直線方程就沒了?，F(xiàn)在我們考慮一下，這個(gè)方程能不能經(jīng)過一些適當(dāng)?shù)淖冃?，變成我們熟悉的形式，而確定它就是一個(gè)在平面直角坐標(biāo)系中就是一條直線呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y軸上的截距。二元一次方程通過變形在直角坐標(biāo)系下都表示一條直線。那么我們從兩個(gè)方面在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何一條直線，都有一個(gè)表示這條直線的關(guān)于x，y的二元一次方程.在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次方程都表示一條直線.根據(jù)上述結(jié)論，我們可以得到直線方程的一般式.我們就把代數(shù)中的二元一次方程定義為直線的一般式方程。

定義：我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程。我們在學(xué)習(xí)前面直線的幾種特殊形式的方程，一眼就可以看出這條直線的某些特點(diǎn)，比如說點(diǎn)斜式就可以看出它的斜率還有過一個(gè)定點(diǎn)，還有兩點(diǎn)式可以看出它過兩個(gè)定點(diǎn)。那么我們怎么通過直線的一般式方程觀察直線的一些特點(diǎn)呢？比如說A=0表示什么樣一條直線？y=-平行于x軸的直線，也有可能與x軸重合。如果要平行于y軸這個(gè)系數(shù)要滿足什么樣的條件？如果旦旦是c等于零，通過原點(diǎn)的直線。假如AB都不等于零它的斜率我們怎么看出來？這些直線的特點(diǎn)我們要能掌握住。我們對直線的一般式方程有了一定的了解。直線的一般式方程和和那幾種特殊的形式之間有一個(gè)互相的轉(zhuǎn)化，那么我們來看一個(gè)例子，通過一些轉(zhuǎn)化來解決實(shí)際問題。

［例1］已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(6，－４），斜率為－

4，求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.3分析：本題中的直線方程的點(diǎn)斜式可直接代入點(diǎn)斜式得到，主要讓學(xué)生體會(huì)由點(diǎn)斜式向一般式的轉(zhuǎn)化，把握直線方程一般式的特點(diǎn).解：經(jīng)過點(diǎn)A(6，－４)，并且斜率等于－

4的直線方程的點(diǎn)斜式是： 3y＋４＝－4（x－6）3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同學(xué)們在以后解題時(shí)，可能求直線方程的時(shí)候，求出不一定是一般式，可能是點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式等等，如題目沒有特殊要求我們都要把各種形式化成一般式。對于直線方程的一般式，一般作如下約定：x的系數(shù)為正，x，y的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按含x項(xiàng)，含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列.