第一篇：任意角、弧度制、任意角的三角函數(shù)教學設計(貴州貴陽六中高文遜)

高三復習課《任意角、弧度制、任意角的三角函數(shù)》教學設計

貴陽六中

高文遜

一．教學內(nèi)容解析：

這一節(jié)的內(nèi)容主要有任意角的概念，包括正角、負角、零角，終邊相同的角，象限角；弧度制，包括1弧度交的定義，角與弧長、半徑的關(guān)系，角度與弧度的互換，扇形的面積公式；任意角的三角函數(shù)，這是這一節(jié)的重點，包括任意角的三角函數(shù)的定義，誘導公式一，角的三角函數(shù)在象限的符號，三角函數(shù)線等。

二.教學目標設置：

1． 知識目標：

（1）了解任意角的概念，掌握終邊相同角的關(guān)系以及象限角的范圍；（2）了解弧度制的概念，能進行角度與弧度的互化，掌握扇形的弧長公式與面積公式；

（3）掌握任意角的三角函數(shù)的定義，會判斷角的三角函數(shù)在象限的符號，理解三角函數(shù)線的定義，并能簡單的運用等。

2． 能力目標：

（1）培養(yǎng)學生整理知識的能力；

（2）培養(yǎng)學生的分析能力、觀察能力、理解能力。（3）培養(yǎng)學生的類比能力、探索能力。（4）培養(yǎng)學生運用運用數(shù)學思想思考問題的能力。

三．學生學情分析：

高三學生已經(jīng)掌握了一定的知識，但知識網(wǎng)絡不夠完整；能解一些題，但解題方法還有所欠缺。

四．教學策略分析：

通過思維導圖的形式，展現(xiàn)知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系；通過對問題的剖析，結(jié)合數(shù)學思想（化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等）探討如何解題。

五．教學過程： 1.知識的整理：

畫一個直角三角形，引導學生回憶初中三角函數(shù)的定義，舉出兩個特殊的直角三角形（用途：記住特殊的三角函數(shù)值）。再從特殊到一般，讓學生挖掘斜三角形的性質(zhì)（學生課后整理）。然后類比到扇形，找出相似點，引出1弧度角的定義，弧長、半徑與圓心角的關(guān)系，弧度與角度的互化。再把銳角推廣的任意角，坐標角，引出象限角，半角的范圍，角與角終邊的關(guān)系。再類比直角三角形中角的三角函數(shù)的定義，推廣任意角的三角函數(shù)的定義，利用角與角終邊的關(guān)系，得到誘導公式。然后根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，得到角的三角函數(shù)在象限的符號。再得到三角函數(shù)線的定義及應用?！驹O計意圖】首先培養(yǎng)建立知識體系的能力。通過觀察，類比，引導，從而使學生能更好地理解數(shù)學概念和方法，培養(yǎng)學生觀察能力、分析能力、理解能力。這樣使學生理清了知識的來龍去脈，掌握了知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，既突出了重點，又化解了難點。

2.如何分析問題

如何思考問題？可以從以下三個方面考慮：（1）有什么？可以下劃線，做記號；（2）是什么？要展開聯(lián)想，轉(zhuǎn)化題意；

（3）如何？尋找條件與所求的聯(lián)系，可以直接轉(zhuǎn)化，也可以數(shù)形結(jié)合，分類討論，借助于函數(shù)與方程等知識點找聯(lián)系。

【設計意圖】讓學生形成基本解題方法，從而可以做到舉一反三，避免題海戰(zhàn)術(shù)，避免解題的盲目性。

3．例題講評：

例1（1）．若?為第二象限角，且cos?2??cos?2，則角是【 】

?2 A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 分析：?為第二象限角，所以為一、三象限角，因為cos?所以為二、三象限角，所以為第三象限角。選C

（2）．函數(shù)y?1,3? A、?sinxcosxtanx??sinxcosxtanx?22??cos?2，?2?2的值域為【 】 C、??1,?3?

1,?3? D、?B、??1,3?

分析：當x在第一象限時，y=1+1+1=3;當x在第二象限時，y=1-1-1=-1;當x在第三象限時，y=-1-1+1=-1;當x在第四象限時，y=-1-1+1=-1。選B 【設計意圖】應用上面的方法，從有什么出發(fā)，探討這個條件本質(zhì)上要告訴我們的是什么，讓學生展開聯(lián)想，學會轉(zhuǎn)化。然后通過數(shù)學思想，挖掘條件與所求的聯(lián)系。培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。

4.課堂小結(jié)：（1）能力層面：

1）學會整理知識，要抓住知識與知識之間的聯(lián)系，了解知識點的來龍去脈。2）要學會審題：

有什么：畫橫線，重點標記； 是什么：聯(lián)想與轉(zhuǎn)化； 如何：條件與所求的聯(lián)系。

思考問題是學會從數(shù)學的思想來思考。（2）知識層面：

1）我們說的角不再是銳角、鈍角等，它可以是任意角； 2）我們要習慣用弧度制，而淡化角度； 3）扇形中的弧長與面積要會算；

4）任意角的三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)值的符號的考察，一般會滲透在其他三角函數(shù)題中，不會單獨命題，但是容易算錯符號，要小心。

【設計意圖】通過對所學知識進行歸納總結(jié)，可以使學生能從總體上把握這堂課的內(nèi)容，并將所學知識納入已有的認知結(jié)構(gòu)。

5、教學反思設計

（1）與學生交流，反思自己的講解有沒有從根本上解決學生存在的問題，有沒有提高學生的思維能力，教學是否達到了預期目標；（2）與同事交流，反思設計的依據(jù)、出發(fā)點，反思教學重心、基本教學過程，反思富有創(chuàng)意的素材或問題等。

（3）通過批改作業(yè)，反思知識的滲透是否到位，學生是否理解了問題的本質(zhì)性的東西等。

（4）從參考資料、教學信息等方面反思。學習相關(guān)的數(shù)學教育理論，參考多方面的教學信息，可以豐富我的知識水平，開闊我的教學思路，使我理智的看待自己教學活動中“熟悉的”、“習慣性”的行為，能使我更大限度的做出有效的教學決策。

第二篇：《任意角和弧度制》教案

《任意角和弧度制》教案

篇一：人教A版高中數(shù)學必修四

1.1《任意角和弧度制》

1.1

《任意角和弧度制》教案

【教學目標】

1.理解任意角的概念.2.學會建立直角坐標系討論任意角，判斷象限角，掌握終邊相同角的集合的書寫.3.了解弧度制，能進行弧度與角度的換算.4.認識弧長公式，能進行簡單應用.對弧長公式只要求了解，會進行簡單應用，不必在應用方面加深.5.了解角的集合與實數(shù)集建立了一一對應關(guān)系，培養(yǎng)學生學會用函數(shù)的觀點分析、解決問題.【導入新課】

復習初中學習過的知識：角的度量、圓心角的度數(shù)與弧的度數(shù)及弧長的關(guān)系

提出問題：

1．初中所學角的概念.2．實際生活中出現(xiàn)一系列關(guān)于角的問題.3.初中的角是如何度量的？度量單位是什么？

4.1°的角是如何定義的？弧長公式是什么？

5.角的范圍是什么？如何分類的？

新授課階段

一、角的定義與范圍的擴大

1．角的定義：一條射線繞著它的端點O，從起始位置OA旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，形成一個角，點O是角的頂點，射線OA,OB分別是角的終邊、始邊.說明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以簡記為．

2．角的分類：

正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；

負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角；

零角：如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它為零角.說明：零角的始邊和終邊重合.3．象限角：

在直角坐標系中，使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負軸重合，則

（1）象限角：若角的終邊（端點除外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.例如：30,390,330都是第一象限角；300,60是第四象限角.（2）非象限角（也稱象限間角、軸線角）：如角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限.例如：90,180,2等等.說明：角的始邊“與x軸的非負半軸重合”不能說成是“與x軸的正半軸重合”.因為

x軸的正半軸不包括原點，就不完全包括角的始邊，角的始邊是以角的頂點為其端點的射線.4．終邊相同的角的集合：由特殊角30看出：所有與30角終邊相同的角，連同30角自身在內(nèi)，都可以寫成30k360

kZ的形式；反之，所有形如

30k360kZ的角都與30角的終邊相同.從而得出一般規(guī)律：

所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S|k360,kZ，即：任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和.說明：終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同.例1在0與360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角？

（1）120；（2）640；（3）95012.解：（1）120240360，所以，與120角終邊相同的角是240，它是第三象限角；

（2）640280360，所以，與640角終邊相同的角是280角，它是第四象限角；

（3）95012129483360，所以，95012角終邊相同的角是12948角，它是第二象限角.例2

若k3601575,kZ，試判斷角所在象限.解：∵k3601575(k5)360225,(k5)Z

∴與225終邊相同，所以，在第三象限.例3

寫出下列各邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式360720的元素

寫出來：（1）60；（2）21；（3）36314．

解：（1）S|60k360,kZ，S中適合360720的元素是

601360300,60036060,601360420.（2）S|21k360,kZ，S中適合360720的元素是

21036021,211360339,212260699

（3）S|36314k360,kZ

S中適合360720的元素是

36314236035646,3631413603***036314.例4

寫出第一象限角的集合M．

分析：（1）在360內(nèi)第一象限角可表示為090；

（2）與0,90終邊相同的角分別為0k360,90k360,(kZ)；

（3）第一象限角的集合就是夾在這兩個終邊相同的角中間的角的集合，我們表示為：

M|k36090k360,kZ．

學生討論，歸納出第二、三、四象限角的集合的表示法：

P|90k360180k360,kZ；

N|90k360180k360,kZ；

Q|2k360360k360,kZ．

說明：區(qū)間角的集合的表示不唯一.例5寫出yx(x0)所夾區(qū)域內(nèi)的角的集合.解：當終邊落在yx(x0)上時，角的集合為|45k360,kZ；

當終邊落在yx(x0)上時，角的集合為|45k360,kZ；

所以，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)有集合：S|45k36045k360,kZ．

二、弧度制與弧長公式

1.角度制與弧度制的換算：

∵360=2（rad），∴180=

rad.∴

1=

180

rad0.01745rad.180

1rad57.305718.o

S

l

2．弧長公式：lr.由公式：

lnrlr.比公式l簡單.r180

lR，其中l(wèi)是扇形弧長，R是圓的半徑.2

弧長等于弧所對的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對值與半徑的積

3．扇形面積公式

S注意幾點：

1．今后在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“rad”可以省略，如：3表示3rad，sin表示rad角的正弦；

2．一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應值應該記?。?/p>

3．應確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實數(shù)的集合之間建立一種一一對應的關(guān)系.任意角的集合實數(shù)集R

例6

把下列各角從度化為弧度：

(1)252；（2）1115；(3)

30；(4)6730.解：(1)

/

（2）0.0625

(3)

(4)

0.375

變式練習：把下列各角從度化為弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o.解：(1)

；（2）

18720；(3).63

例7

把下列各角從弧度化為度：

（1）；(2)

3.5；(3)

2；(4)

5.4

解：（1）108

o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o.變式練習：把下列各角從弧度化為度：

（1）

；（2）-；（3）.12310

解：（1）15

o；（2）-240o；（3）54o.例8

知扇形的周長為8cm，圓心角為2rad，求該扇形的面積.解：因為2R+2R=8,所以R=2,S=4.課堂小結(jié)

1．弧度制的定義；

2．弧度制與角度制的轉(zhuǎn)換與區(qū)別；

3．.弧度制下的弧長公式和扇形面積公式，并靈活運用；

篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

教學目標：要求學生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解任意角的概念，學會在平面內(nèi)建立

適當?shù)淖鴺讼祦碛懻摻牵徊⑦M而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。

教學重點：理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義

教學難點：“旋轉(zhuǎn)”定義角

課標要求：了解任意角的概念

教學過程：

一、復習

師：上節(jié)課我們學習了角的概念的推廣，推廣后的角分為正角、負角和零角；另外還學習了象限角的概念，下面請一位同學敘述一下它們的定義。

生：略

師：上節(jié)課我們還學習了所有與α角終邊相同的角的集合的表示法，[板書]

0S={β|β=α+k×360，k∈Z}

這節(jié)課我們將進一步學習并運用角的概念的推廣，解決一些簡單問題。

二、例題選講

00例1寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式-360≤β720的元素β

寫出來：

000，（1）60；

（2）-21；

（3）36314

0000解：（1）S={β|β=60+k×360，k∈Z}S中適合-360≤β720的元素是

00000000060+（-1）×360=-30060+0×360=6060+1×360=420.0000（2）S={β|β=-21+k×360，k∈Z}

S中適合-360≤β720的元素是

000

000

000

-21+0×360=-21

-21+1×360=339-21+2×360=699

0000說明：-21不是0到360的角，但仍可用上述方法來構(gòu)成與-21角終邊相同的角的集合。

0，000（3）S={β|β=36314+k×360，k∈Z}

S中適合-360≤β720的元素是

0，00，0，00，0，00，36314+（-2）×360=-3564636314+（-1）×360=31436314+0×360=36314

說明：這種終邊相同的角的表示法非常重要，應熟練掌握。

例2．寫出終邊在下列位置的角的集合(1)x軸的負半軸上；（2）y軸上

分析：要求這些角的集合，根據(jù)終邊相同的角的表示法，關(guān)鍵只要找出符合這個條件的一個

0角即α，然后在后面加上k×360即可。

○○0解：（1）∵在0～360間，終邊在x軸負半軸上的角為180，∴終邊在x軸負半軸上

00的所有角構(gòu)成的集合是{β|β=180+k×360，k∈Z

}

○○000（2）∵在0～360間，終邊在y軸上的角有兩個，即90和2，∴與90角終邊相

00同的角構(gòu)成的集合是S1={β|β=90+k×360，k∈Z

}

000同理，與2角終邊相同的角構(gòu)成的集合是S2={β|β=2+k×360，k∈Z

}

提問：同學們思考一下，能否將這兩條式子寫成統(tǒng)一表達式？

師：一下子可能看不出來，這時我們將這兩條式子作一簡單變化：

0000S1={β|β=90+k×360，k∈Z

}={β|β=90+2k×180，k∈Z

}（1）

00000S2={β|β=2+k×360，k∈Z

}={β|β=90+180+2k×180，k∈Z

}

00={β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z

}

（2）

0師：在（1）式等號右邊后一項是180的所有偶數(shù)（2k）倍；在（2）式等號右邊后一項是

00180的所有奇數(shù)（2k+1）倍。因此，它們可以合并為180的所有整數(shù)倍，（1）式和（2）式

可統(tǒng)一寫成90+n×180（n∈Z），故終邊在y軸上的角的集合為

0000S=

S1∪S2

={β|β=90+2k×180，k∈Z

}∪{β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z

}

00={β|β=90+n×180，n∈Z

}

處理：師生討論，教師板演。

提問：終邊落在x軸上的角的集合如何表示？終邊落在坐標軸上的角的集合如何表示？

00（思考后）答：{β|β=k×180，k∈Z

},{β|β=k×90，k∈Z

}

進一步：終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合如何表示？

00答：{β|β=45+n×180，n∈Z

}

0推廣：{β|β=α+k×180，k∈Z

}，β，α有何關(guān)系？（圖形表示）

處理：“提問”由學生作答；“進一步”教師引導，學生作答；“推廣”由學生歸納。

例1

若是第二象限角，則2，00，分別是第幾象限的角？

師：是第二象限角，如何表示？

0000解：（1）∵是第二象限角，∴90+k×360180+k×360（k∈Z）

0000∴

180+k×7202360+k×720

∴2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上。

．．．．．．．．

（2）∵k18045

2k18090(kZ)，處理：先將k取幾個具體的數(shù)看一下（k=0，1，2，3），再歸納出以下規(guī)律：

是第一象限的角；

當k2n1(nZ)時，n360225n3602(kZ)，是第三象限的22當k2n(nZ)時，n36045n36090(kZ)，角。

∴是第一或第三象限的角。

是第一或第二或第四象限的角）

3說明：配以圖形加以說明。

（3）學生練習后教師講解并配以圖形說明。（進一步求是第幾象限的角（是第三象限的角），學生練習，教師校對答案。

三、例題小結(jié)

1．要注意某一區(qū)間內(nèi)的角和象限角的區(qū)別，象限角是由無數(shù)各區(qū)間角組成的；

2．要學會正確運用不等式進行角的表述同時要會以k取不同的值討論型如

0θ=a+k×120（k∈Z）所表示的角所在的象限。

四、課堂練習

練習2

若的終邊在第一、三象限的角平分線上，則2的終邊在y軸的非負半軸上.練習3

若的終邊與60角的終邊相同，試寫出在（0，360）內(nèi)，與000角的終邊相同的3

角。

（20，140，260）

（備用題）練習4

如右圖，寫出陰影部分（包括邊界）的角

0，的集合，并指出-95012是否是該集合中的角。

000

（{α|

120+k×360≤α≤250+k×360，k∈Z}；是）

0000

探究活動

經(jīng)過5小時又25分鐘，時鐘的分針、時針各轉(zhuǎn)多少度？

五、作業(yè)

A組:

1．與

終邊相同的角的集合是___________，它們是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大負角是___________．

2．在0o~360o范圍內(nèi)，找出下列各角終邊相同的角，并指出它們是哪個象限的角：

（1）－265

（2）－1000o

（3）－843o10’

（4）3900o

B組

3．寫出終邊在x軸上的角的集合。

4．寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－360o≤β＜360o的元素寫出來：

(1)60o

(2)－75o

(3)

－824o30’

(4)

475o

(5)

90o

(6)

2o

(7)

180o

(8)

0oC組：若

是第二象限角時，則，分別是第幾象限的角？

篇三：1.1

任意角和弧度制

教學設計

教案

教學準備

1.教學目標

1、知識與技能

（1）推廣角的概念、引入正角和負角；（2）理解并掌握正角、負角、零角的定義；

（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法；（5）樹立運動變化觀點，深刻理解推廣后的角的概念.2、過程與方法

通過創(chuàng)設情境：“轉(zhuǎn)體，逆（順）時針旋轉(zhuǎn)2周”，角有正角、零角和旋轉(zhuǎn)方向不同所形成的角等，引入正角、負角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關(guān)系，探索具有相同終邊的角的表示.3、情態(tài)與價值

通過本節(jié)的學習，使同學們對角的概念有了一個新的認識，即有正角、負角和零角之分.角的概念推廣以后，知道角之間的關(guān)系.學會運用運動變化的觀點認識事物.2.教學重點/難點

重點:

理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法.難點:

終邊相同的角的表示.3.教學用具

多媒體

4.標簽

任意角

教學過程

【創(chuàng)設情境】

思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了1.25小時，你應

當如何將它校準？當時間校準以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？

[取出一個鐘表,實際操作]我們發(fā)現(xiàn)，校正過程中分針需要正向或反向旋轉(zhuǎn)，有時轉(zhuǎn)不到一周，有時轉(zhuǎn)一周以上,這就是說角已不僅僅局限于之間，這正是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容——任意角.【探究新知】

1．初中時，我們已學習了角的概念，它是如何定義的呢？

[展示投影]角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.如圖1.1-1，一條射線由原來的位置，繞著它的端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角.旋轉(zhuǎn)開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點叫做叫的頂點.2.如上述情境中所說的校準時鐘問題以及在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語：“轉(zhuǎn)體”

（即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體”（即轉(zhuǎn)體3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角.同學們思考一下:能否再舉出幾個現(xiàn)實生活中“大于的角或按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角”的例子,這些說明了什么問題又該如何區(qū)分和表示這些角呢

[展示]如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉(zhuǎn)時成不同的角,這些都說明了我們研究推廣角概念的必要性.為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角(positive

angle),按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角(negative

angle).如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角(zero

angle).[展示課件]如教材圖1.1.3(1)中的角是一個正角,它等于；圖1.1.3(2)中，正角，負角；這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（any

angle）,包括正角、負角和零角.為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可簡記為.3.在今后的學習中，我們常在直角坐標系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個概念.角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角(quadrant

angle).如教材圖1.1-4中的角、角分別是第一象限角和第二象限角.要特別注意:如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角.4.[展示投影]練習:

(1)(口答)銳角是第幾象限角第一象限角一定是銳角嗎再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題.(2)(回答)今天是星期三，那么天后的那一天是星期幾

天前的那一天是星期幾100天后的那一天是星期幾

5.探究:將角按上述方法放在直角坐標系中后,給定一個角,就有唯一的一條終邊與之對應.反之,對于直角坐標系中任意一條射線(如圖1.1-5),以它為終邊的角是否唯一如果不惟一,那么終邊相同的角有什么關(guān)系請結(jié)合4.(2)口答加以分析.[展示課件]不難發(fā)現(xiàn),在教材圖1.1-5中,如果

角的終邊都是,而

.的終邊是，那么

設,則角都是的元素,角也是的元素.因此,所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),都是集合的元素；反過來，集合的任一元素顯然與角終邊相同.一般地,我們有:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角

與整數(shù)個周角的和.6.[展示投影]例題講評

例1.在范圍內(nèi)，找出與角

象限角.（注：是指

例2.寫出終邊在軸上的角的集合.上的角的集合,并把中適合不等式終邊相同的角，并判定它是第幾）

例3.寫出終邊直線在的元素寫出來.課堂小結(jié)

(1)

你知道角是如何推廣的嗎

(2)

象限角是如何定義的呢

(3)

你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎會寫終邊落在上的角的集合.課后習題

軸、軸、直線

板書

《》

第三篇：課時15 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

提升訓練15 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

一、選擇題

π1．若－＜α＜0，則點P(tan α，cos α)位于()． 2

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

2．若α＝m·360°＋θ，β＝n·360°－θ(m，n∈Z)，則α，β終邊的位置關(guān)系是()．

A．重合B．關(guān)于原點對稱

C．關(guān)于x軸對稱D．關(guān)于y軸對稱

?sinα??cosα???2?2?????3．若α是第三象限角，則y的值為()． ααsincos22

A．0B．2

C．－2D．2或－2

4．已知點P(sin

A.3?3?,cos)落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為()． 44π3πB.44

5π7πC.D.44

5．若一個扇形的周長與面積的數(shù)值相等，則該扇形所在圓的半徑不可能等于()．

A．5B．2C．3D．4

6．一段圓弧的長度等于其圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為()． π2πA.B.C.32 33

π2πnπ*7．(2012上海高考)若Sn＝sinsinsinn∈N)，則在S1，S2，…，S100777

中，正數(shù)的個數(shù)是()．

A．16B．72C．86D．100

二、填空題

8．已知點P(tan α，cos α)在第三象限，則角α的終邊在第__________象限．

sin α1－cosα9．若角α的終邊落在射線y＝－x(x≥0)上，＝__________.cos α1－sinα10．若β的終邊所在直線經(jīng)過點P(cos

＝__________.三、解答題

11．已知角α終邊經(jīng)過點P(x，－2)(x≠0)，且cos α＝

值．

12．已知扇形AOB的周長為8，(1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大小；

(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.3x.求sin α，tan α的63?3?,sin)，則sin β＝__________，tan β44

第 1 頁

第四篇：1.1 任意角和弧度制 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1、知識與技能

（1）推廣角的概念、引入正角和負角；（2）理解并掌握正角、負角、零角的定義；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法；（5）樹立運動變化觀點，深刻理解推廣后的角的概念.2、過程與方法

通過創(chuàng)設情境：“轉(zhuǎn)體，逆（順）時針旋轉(zhuǎn)2周”，角有正角、零角和旋轉(zhuǎn)方向不同所形成的角等，引入正角、負角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關(guān)系，探索具有相同終邊的角的表示.3、情態(tài)與價值

通過本節(jié)的學習，使同學們對角的概念有了一個新的認識，即有正角、負角和零角之分.角的概念推廣以后，知道角之間的關(guān)系.學會運用運動變化的觀點認識事物.2.教學重點/難點

重點: 理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法.難點: 終邊相同的角的表示.3.教學用具

多媒體

4.標簽

任意角

教學過程 【創(chuàng)設情境】

思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了1.25小時，你應

當如何將它校準？當時間校準以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？

[取出一個鐘表,實際操作]我們發(fā)現(xiàn)，校正過程中分針需要正向或反向旋轉(zhuǎn)，有時轉(zhuǎn)不到一周，有時轉(zhuǎn)一周以上,這就是說角已不僅僅局限于之間，這正是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容——任意角.【探究新知】

1．初中時，我們已學習了

角的概念，它是如何定義的呢？

[展示投影]角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.如圖1.1-1，一條射線由原來的位置，繞著它的端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角.旋轉(zhuǎn)開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點叫做叫的頂點.2.如上述情境中所說的校準時鐘問題以及在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語：“轉(zhuǎn)體”（即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體”（即轉(zhuǎn)體3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角.同學們思考一下:能否再舉出幾個現(xiàn)實生活中“大于的角或按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角”的例子,這些說明了什么問題?又該如何區(qū)分和表示這些角呢? [展示課件]如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉(zhuǎn)時成不同的角, 這些都說明了我們研究推廣角概念的必要性.為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角(positive angle),按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角(negative angle).如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角(zero angle).[展示課件]如教材圖1.1.3(1)中的角是一個正角,它等于；圖1.1.3(2)中，正角，負角；這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（any angle）,包括正角、負角和零角.為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可簡記為.3.在今后的學習中，我們常在直角坐標系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個概念.角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角(quadrant angle).如教材圖1.1-4中的角、角分別是第一象限角和第二象限角.要特別注意:如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角.4.[展示投影]練習:(1)(口答)銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題.(2)(回答)今天是星期三，那么天后的那一天是星期幾? 天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾? 5.探究:將角按上述方法放在直角坐標系中后,給定一個角,就有唯一的一條終邊與之對應.反之,對于直角坐標系中任意一條射線(如圖1.1-5),以它為終邊的角是否唯一?如果不惟一,那么終邊相同的角有什么關(guān)系?請結(jié)合4.(2)口答加以分析.[展示課件]不難發(fā)現(xiàn),在教材圖1.1-5中,如果角的終邊都是,而

.的終邊是，那么設,則角都是的元素,角也是的元素.因此,所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),都是集合的元素；反過來，集合的任一元素顯然與角終邊相同.一般地,我們有:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與整數(shù)個周角的和.6.[展示投影]例題講評

例1.在范圍內(nèi)，找出與角象限角.（注：是指例2.寫出終邊在軸上的角的集合.上的角的集合,并把

中適合不等式

終邊相同的角，并判定它是第幾）

例3.寫出終邊直線在的元素寫出來.課堂小結(jié)

(1)你知道角是如何推廣的嗎?(2)象限角是如何定義的呢?(3)你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎?會寫終邊落在上的角的集合.課后習題

軸、軸、直線

板書

第五篇：任意角的三角函數(shù)教學設計

《任意角的三角函數(shù)》教學設計

一、教學內(nèi)容分析

本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎，主要是從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在《課程標準》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型，在數(shù)學和其他領(lǐng)域中具有重要的作用?！墩n程標準》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

二、學生情況分析

本課時研究的是任意角的三角函數(shù)，學生在初中階段曾經(jīng)研究過銳角三角函數(shù)，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒有坐標系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務。以上三點都是與本課時不同的，因此在教學過程中要發(fā)展學生的已有認知經(jīng)驗，發(fā)揮其正遷移。

三、教學目標

知識與技能目標:借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；能根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出具體的角的各三角函數(shù)值；能根據(jù)定義探究出三角函數(shù)值在各個象限的符號。

方法與過程目標:在定義的學習及概念同化和精致的過程中培養(yǎng)學生類比、分析以及研究問題的能力。

情感態(tài)度與價值觀: 在定義的學習過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

四、教學重、難點分析：

重點：理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。難點：引導學生將任意角的三角函數(shù)的定義同化，幫助學生真正理解定義。

五、教學方法與策略：

教學中注意用新課程理念處理教材，采用學生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程.根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學生認知特點，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織教學.六、教具、教學媒體準備：

為了加強學生對三角函數(shù)定義的理解，幫助學生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準備在計算機的支持下，利用幾何畫板動態(tài)地研究任意角三角函數(shù)與它的終邊上點的坐標的關(guān)系，構(gòu)建有利于學生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學情境，使學生能夠更好地數(shù)形結(jié)合地進行思維．

七、教學過程

（一）教學情景

1．復習銳角三角函數(shù)的定義

問題1：在初中，我們已經(jīng)學過銳角三角函數(shù)．如圖（課件2）在直角△ABC中，∠B是直角，那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，銳角A的正弦、余弦和正切分別是什么？

設計意圖：幫助學生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義．

師生活動：教師提出問題，學生回答． 2．認識任意角三角函數(shù)的定義

問題2：在上節(jié)教科書的學習中，我們已經(jīng)將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說的角可以是任意大小的正角、負角和零角．那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？

設計意圖：引導學生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)．

師生活動：在教學中，可以根據(jù)學生的實際情況，利用下列問題引導學生進行思考：

（1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？ 以此來引導學生在平面直角坐標系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．

（2）在上節(jié)教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時，我們是把角放在哪里進行研究的？

進一步引導學生在平面直角坐標系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．在此基礎上，組織學生討論。

（3）如圖2，在平面直角坐標系中，如何定義任意角的三角函數(shù)呢？

（4）終邊是OP的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長來定義嗎？如圖3，如果角θ的終邊不在第I象限又該怎么辦？

問題3：大家現(xiàn)在能不能給出任意角三角函數(shù)的定義了？

設計意圖：引導學生在定義銳角三角函數(shù)的基礎上，進一步給出任意角三角函數(shù)的定義．

師生活動：由學生給出任意角三角函數(shù)的定義，教師進行整理．

問題4：你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？ 設計意圖：通過利用定義求定義域，既完善了三角函數(shù)概念的內(nèi)容，同時又可幫助學生進一步理解三角函數(shù)的概念．

師生活動：學生求出定義域，教師進行整理． 例1：（題目在課件8中）

設計意圖：從最簡單的問題入手，通過變式，讓學生學習如何利用定義求不同情況下函數(shù)值的問題，進而加深對定義的理解，加強定義應用中與幾何的聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合的思想．

3．練習（在課件9中）

設計意圖：通過應用三角函數(shù)的定義，加強對三角函數(shù)概念的理解． 4．小結(jié)

問題5：銳角三角函數(shù)與解直角三角形直接相關(guān)，初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示其銳角的三角函數(shù)．通過今天的學習，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但它與解三角形已經(jīng)沒有什么關(guān)系了．你能再回顧一下任意角三角函數(shù)的定義嗎？

設計意圖：回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容．

八、作業(yè)設計：

教科書P106習題1.2題．

設計意圖：根據(jù)本節(jié)課所涉及到的三角函數(shù)定義應用的幾個方面，從教科書中選擇作業(yè)題．試圖通過作業(yè)，讓學生進一步理解三角函數(shù)的概念，并從中評價學生對三角函數(shù)概念理解的情況．

九、教學反思：

上述教學設計及具體教學實施過程我認為有以下幾點意義：

1.教學設計緊扣課程標準的要求，重點放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設符合學生的認知特點和學生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利學生的思考。

2.情景設計的數(shù)學模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)。

3.通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學生在情境中活動，在活動中體驗數(shù)學與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗中領(lǐng)悟數(shù)學的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學習的策略，使學生在理解數(shù)學的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。這和課程標準的理念是一致的。