第一篇：釘子板上的多邊形教案

釘子板上的多邊形

教學(xué)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷畫圖、填表、分析數(shù)據(jù)、探索規(guī)律的過程，發(fā)現(xiàn)皮克公式。

2.初步感悟通過固定某些變量的值來探求其余變量的變化規(guī)律的科學(xué)思維方法。

3.獲取由簡單到復(fù)雜的探究問題的方法和經(jīng)驗。

4.能類比遷移探求問題的方法，嘗試拓展研究同類新問題。教學(xué)重點：

發(fā)現(xiàn)、得出多邊形的面積與邊上釘子數(shù)和多邊形中間釘子數(shù)之間的規(guī)律 教學(xué)難點：

類比推導(dǎo)出一般規(guī)律 教學(xué)準(zhǔn)備：

作業(yè)紙，多媒體課件 教學(xué)過程：

一、激趣生疑，直觀感知

1、呈現(xiàn)一個釘子板上的多邊形

說明：每相鄰的四個釘子構(gòu)成一個正方形，邊長是1，面積是1個面積單位。提問：這個圖形有幾個面積單位？你是怎么知道的？ 組織交流：（1）、面積公式計算；（2）、分割數(shù)方格

2、啟發(fā)：你能再圍一個面積和剛才不一樣的多邊形嗎？在圍過程中想一想多邊形的面積可能跟什么有關(guān)呢？

學(xué)生動手圍一圍，同桌相互說一說怎樣求出面積的。

3、追問：跟哪里的釘子數(shù)有關(guān)？

4、揭題：面積與釘子數(shù)之間是否存在一定的規(guī)律呢？我們這節(jié)課就來研究釘子板上的多邊形面積與釘子數(shù)之間的關(guān)系。提問：想一想，我們可以怎樣來研究？ 提出猜想——驗證猜想——概括結(jié)論

二、簡單入手，探究多邊形內(nèi)有一枚釘子的情況

1、個例發(fā)現(xiàn)，形成猜想

出示：一組釘子板上的多邊形。提問：每個多邊形各有多少個面積單位？邊上的釘子數(shù)各有多少枚？先數(shù)一數(shù)、算一算，把結(jié)果填入表中，再和同桌說說你的發(fā)現(xiàn)。

生獨立計數(shù)，完成表格 出示資源： 提問：（1）校對結(jié)果

（2）你有什么發(fā)現(xiàn)？

全班交流：（1）多邊形邊上的釘子數(shù)越多，面積越大

（2）多邊形的面積等于多邊形邊上釘子數(shù)的一半

如果用S表示面積單位的個數(shù)，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，你能用字母表達(dá)式表示這一發(fā)現(xiàn)嗎？動手寫一寫。

2、舉例驗證，明確前提

引導(dǎo)：由剛才這四個圖形，有了這樣的發(fā)現(xiàn)，這一發(fā)現(xiàn)是否也適用于釘子板上的其他圖形呢？我們還要舉例驗證。

要求：在釘子板上畫一些多邊形，驗證剛才的發(fā)現(xiàn)。并列呈現(xiàn)學(xué)生資源，引導(dǎo)觀察。

（1）符合規(guī)律（2）不符合規(guī)律

提問：看來剛才的發(fā)現(xiàn)并不適合釘子板上的所有圖形，到底怎樣的圖形才具有這樣的規(guī)律呢？，它們有什么共同的特點？仔細(xì)觀察，把你的發(fā)現(xiàn)說給同桌聽聽。

指名交流：多邊形中間只有一枚釘子

3、歸納概括，形成結(jié)論

總結(jié)：看來要使這一發(fā)現(xiàn)成立，還要加個前提，誰能把這個規(guī)律完整的說一說？

同桌互相說一說，再指名交流。

當(dāng)多邊形里面只有1枚釘子時，多邊形的面積等于多邊形邊上釘子數(shù)的一半。

如果把多邊形里面的釘子數(shù)用a來表示，完善字母表達(dá)式。總結(jié)：看來釘子板上的多邊形的面積不僅跟多邊形邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還跟多邊形里面的釘子數(shù)有關(guān)。

正因為面積和兩個量都有關(guān)系，所以我們研究是時候先確定一個量（里面的釘子數(shù)）

三、運(yùn)用結(jié)構(gòu)，探究多邊形內(nèi)有多枚釘子的情況

1、探究形內(nèi)有2枚釘子的情況

形內(nèi)只有1枚釘子的情況已經(jīng)研究了，往下我們應(yīng)該研究？

當(dāng)形內(nèi)有2枚釘子時會有怎樣的規(guī)律呢？同學(xué)們也像剛才那樣畫一些形內(nèi)只有2枚釘子的多邊形，老師這里也提供一些，算一算，數(shù)一數(shù)，多邊形有幾個面積單位？多邊形邊上的釘子數(shù)有幾枚？把結(jié)果填入表中，再與同桌說說你的發(fā)現(xiàn)。

過程指導(dǎo)：也像剛才那樣，把釘子數(shù)除以2，再跟面積進(jìn)行比較?？纯从惺裁匆?guī)律。

如果用字母表達(dá)式來表示這一規(guī)律應(yīng)該怎么寫？ 學(xué)生獨立探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律 個別交流：當(dāng)多邊形內(nèi)有2枚釘子時，多邊形的面積等于多邊形邊上的釘子數(shù)÷2＋1 同桌互說規(guī)律 學(xué)生獨立完成

板書：當(dāng)a=2時，S= n÷2＋1

2、推想形內(nèi)有2枚以上釘子的情況

提問：比較這兩個規(guī)律，你覺得a=3、4時會有怎樣的規(guī)律? 如果你能直接推想出規(guī)律，那就寫出你的猜想，然后舉例驗證，如果不能，那也像剛才那樣先畫出圖形內(nèi)有3枚釘子的多邊形，再數(shù)一數(shù)、算一算，看看有什么規(guī)律。左邊同學(xué)研究a=3的情況，右邊同學(xué)研究a=4的情況。

分工合作，推想規(guī)律 個別交流規(guī)律

當(dāng)a=3時，S=n÷2＋2 當(dāng)a=4時，S=n÷2＋3

3、歸納推理，形成一般公式

像這樣推想下去，當(dāng)a=m時，s=？ 學(xué)生獨立完成 個別交流：

當(dāng)a=m時，s=n÷2＋m－1 同學(xué)們：今天我們通過對形內(nèi)有1枚、2枚、3枚、4枚釘子數(shù)的的多邊形的研究，發(fā)現(xiàn)多邊形的面積單位個數(shù)與釘子數(shù)之間的關(guān)系，并歸納推理出一般公式，當(dāng)a=m時，s=n÷2＋m－1，這一公式對于形內(nèi)有5、6…甚至更多釘子時是否成立，我們還需舉例驗證，下節(jié)課我們就來驗證這一規(guī)律。板書設(shè)計：

釘子板上的多邊形

當(dāng)多邊形內(nèi)只有1枚釘子時，多邊形面積單位的個數(shù)等于多邊形邊上的釘子數(shù)÷2 當(dāng)a=1時，S=n÷2

當(dāng)a=2時，S=n÷2＋1 當(dāng)a=3時，S=n÷2＋2 當(dāng)a=m時，s=n÷2＋m－1

第二篇：釘子板上的多邊形教案

基地數(shù)學(xué)學(xué)科《釘子板上的多邊形》教學(xué)設(shè)計

溧陽市平橋小學(xué)

潘紅星

教學(xué)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷畫圖、填表、分析數(shù)據(jù)、探索規(guī)律的過程，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)釘子板上的釘子數(shù)與面積之間的關(guān)系。

2.初步感悟通過固定某些變量的值來探求其余變量的變化規(guī)律的科學(xué)思維方法。3.培養(yǎng)學(xué)生獲取由簡單到復(fù)雜的探究問題的方法和經(jīng)驗。教學(xué)過程：

一、認(rèn)識釘子板

同學(xué)們，大屏幕上的是什么？今天我們要學(xué)習(xí)與釘子板有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，老師沒有帶釘子板，怎么辦，有沒有替代品。

講述：釘子板上的多邊形是用橡皮筋圍的，今天我們就用畫的形式表示好嗎？

二、揭題

1.今天我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容是什么？ 生：釘子板上的多邊形 師板書：釘子板上的多邊形

師：你覺得我們今天會研究多邊形的什么數(shù)學(xué)問題呢？ 生：面積、周長……

2.師：今天我們就學(xué)習(xí)多邊形的面積，想一想，今天學(xué)習(xí)的多邊形面積還可能和什么有關(guān)系？ 生：釘子板

師補(bǔ)充：釘子板上的釘子，你覺得會有什么樣的關(guān)系呢？ 生：釘子越多，面積越大

師：這只是你的猜想，要想得到證明，我們還要進(jìn)行操作是嗎？ 師：我們從簡單的圖形學(xué)起 師：說一說上面圖形的面積各是多少 說一說你是用什么方法的呢？

根據(jù)學(xué)生的回答板書：算 說一說你是用什么方法的 根據(jù)學(xué)生的回答板書：數(shù)

3.師提問：剛才我們說多邊形的面積可能和什么有關(guān)系啊？ 生：釘子數(shù)

4.多媒體出示：多邊形邊上的釘子數(shù) 一起讀一讀，我們要數(shù)什么 5.一起和老師數(shù)，師點生數(shù) 6.你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：釘子數(shù)÷2＝面積

…… 讓3－4名學(xué)生說一說。

師：很難說，如果我們用字母表示就簡單多了。

用s表示多邊形的面積，用n表示多邊形邊上的釘子數(shù)你會表示嗎？ 學(xué)生根據(jù)自己的理解得到S＝N÷2

三、引發(fā)矛盾

師：剛才我們的圖上是不是還有4幅圖形啊，我們一起來驗證一下好嗎？ 師：你有什么想要說的

師：現(xiàn)在我們從不同中找相同，回頭再看看前面4幅圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 生：中間只有一枚釘子 師：點一點

師：你覺得剛才我們的這句話應(yīng)該怎么說才更合適呢？ 生：當(dāng)中間只有一枚釘子時，師：如果中間釘子數(shù)用字母ａ表示，這個公式應(yīng)該怎么表示。

四、反思與小結(jié)

師：剛才我們研究了什么，你能不能用一句話說一說。生：多邊形的面積等于多邊形邊上的釘子數(shù)除以2。

五、遷移研究

師：接下來，我們應(yīng)該研究什么了，生：A＝2 師出示：兩幅圖，你還記得剛才的數(shù)據(jù)嗎？說一說

師：現(xiàn)在拿出你的釘子板紙，在上面畫一個中間有兩枚釘子的多邊形，并寫出他的面積與邊上的釘子數(shù)。生演示并匯報，師填寫

師：你有什么發(fā)現(xiàn)，在小組里和大家說一說。指名說一說你的發(fā)現(xiàn)

師：剛才我們又研究了什么，你能不能用一句話說給大家聽一聽。研究A＝3 師：你覺得接下來我們要研究什么了。在你的釘子板上畫一畫，小組里完成表格。遷移知識：如果A＝4、5…..當(dāng)A＝0的時候呢？

學(xué)生利用學(xué)習(xí)研究單分別研究出A＝2、3、4、5等多邊形的面積與邊上釘子數(shù)的關(guān)系。

師：象這樣的研究我們還可以繼續(xù)，如果你有興趣的話，老師推薦你一本書有兩個人。

出示兩個關(guān)于這一數(shù)學(xué)現(xiàn)象研究的數(shù)學(xué)家。六：全課小結(jié)

這節(jié)課，我們一起研究了什么？能不能把你的發(fā)現(xiàn)和大家說一說。

第三篇：釘子板上的多邊形 教學(xué)設(shè)計

釘子板上的多邊形

教學(xué)內(nèi)容：五年級上冊p108-109探索規(guī)律“釘子板上的多邊形” 教學(xué)目標(biāo)：

1、使學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)釘子板上圍城的多邊形的面積，與圍城的多邊形邊上的釘子 數(shù)、多邊形內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系，并嘗試用字母式子表示關(guān)系。

2、使學(xué)生經(jīng)歷探索釘子板上圍城的多邊形面積與相關(guān)釘子數(shù)間的關(guān)系的過程，體 會規(guī)律的復(fù)雜性和全面性，體會歸納思維，體會用字母表示關(guān)系的簡潔性，發(fā)展 觀察、比較、推理、綜合和抽象、概括等思維能力。

3、使學(xué)生獲得探索規(guī)律成功的體驗，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，感受數(shù)學(xué)規(guī)律的奇 妙，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。

教學(xué)重點：探索釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系 教學(xué)難點：綜合、歸納多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系 教學(xué)過程：

課前活動:每個小組里發(fā)一個釘子板實物。并激發(fā)他們在釘子板上圍多邊形。玩出精彩！有一位數(shù)學(xué)家就在小小的釘子板上玩出了精彩。皮克定理是世界上的最重要的100個數(shù)學(xué)定理之一。今天我們也走進(jìn)釘子板的世界去看一看。

一：創(chuàng)設(shè)情境，引出問題

今天我們研究————釘子板上的多邊形（出示課題）

師：為了研究的方便，我們通常用這樣的點陣圖代替釘子板。每相鄰兩個釘子之間的距離都是1cm，相鄰4個點圍成一個面積是1cm2。你們看現(xiàn)在點陣圖上的點子可以怎么分分類？

邊上的釘子，圖形內(nèi)的釘子、圖形外的釘子

出示課件：釘子板上的多邊形，共3個不同的多邊形。問題1：你想研究釘子板上的多邊形的哪些項目呢？

生：多邊形的面積、面積的大小和什么有關(guān)？······

問題2：你猜想下，釘子板上的多邊形的面積會有什么因素有關(guān)？

生：釘子數(shù)、多邊形邊上的釘子數(shù)、多邊形內(nèi)的釘子數(shù)······

師小結(jié)：這些多邊形的面積是否和以上的各個因素有關(guān)呢？下面我們就來研究下這些圖形。

二：自主研究，得出猜想

問題1：你想怎樣研究？

生：畫圖、計算、數(shù)······

師：很好，下面我們就來研究影響多邊形面積的因素，我們從最簡單的一組圖形開始。

研究1：獨立完成“釘子板上的多邊形”研究單1

1、學(xué)生通過算一算、數(shù)一數(shù)，完成研究單1；

2、師展示學(xué)生的研究單，說一說你的研究過程；——學(xué)生自己介紹表格中數(shù)據(jù)的由來。

3、觀察分析表格中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

——同桌互相說一說

——個別的匯報

4、通常我們用S表示面積，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，你能用一個式子表示上面得到的關(guān)系嗎？

——S=n÷2

小結(jié)：根據(jù)學(xué)生的研究和匯報，初步得出多邊形的面積等于多邊形邊上的釘子數(shù)除以2.三、質(zhì)疑驗證，歸納結(jié)論

S=n÷2這個規(guī)律是否對釘子板上所有的多邊形都成立呢？應(yīng)該怎么辦？————驗證

1、完成研究單1上面的第二題的①②兩個，并填表。

2、出示課件上⑦⑧兩個圖形，再次驗證。

3、通過兩次的驗證，你有什么發(fā)現(xiàn)？——發(fā)現(xiàn)S=n÷2在其它的多邊形中不成立。

4、思考：為什么呢？

引導(dǎo)學(xué)生再次觀察①②③④四個圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？同桌互相說一說，再個 別發(fā)表看法?！贸觯孩佗冖邰芩膫€多邊形內(nèi)部都只有一個點。

5、再次驗證：每位學(xué)生再提供的備用點子圖上畫一個內(nèi)部只有一個點的多邊形，計算并觀察多邊形的面積和邊上的釘子數(shù)是否符合S=n÷2？

6、誰能完整的把剛才的規(guī)律說一說？

小結(jié)：多邊形的面積不僅僅和邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還和多邊形內(nèi)的釘子數(shù)有關(guān)。多邊形內(nèi)的釘子數(shù)用a表示，上面的規(guī)律可以歸納為：

當(dāng)a=1時，S=n÷2 數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏的極深。----高斯

四、合作探究，得出規(guī)律

引入：多邊形內(nèi)有一枚釘子的情況，同學(xué)們已經(jīng)研究過了，而且找出了一般規(guī)律，那下面你們想研究什么呢？——————多邊形內(nèi)有2枚釘子的時候，面積和釘子數(shù)的關(guān)系。

合作交流,完成研究單1的第二題。

1、首先獨立畫一個內(nèi)部兩個點的多邊形，得出S和n；

2、同桌交流，完善表格。

3、觀察表格中的S與n的 值，再互相說一說，你有什么發(fā)現(xiàn)？

4、個別同學(xué)匯報發(fā)現(xiàn)，其他同學(xué)根據(jù)自己的圖形驗證發(fā)現(xiàn)是否正確。

小結(jié)：多邊形的面積不僅僅和邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還和多邊形內(nèi)的釘子數(shù)有關(guān)。多邊形內(nèi)的釘子數(shù)用a表示，上面的規(guī)律可以歸納為：

當(dāng)a=2時，S=n÷2+1

五、推想、驗證，得出規(guī)律

引入：當(dāng)a=1時，S=n÷2 當(dāng)a=2時，S=n÷2+1 猜想：當(dāng)a=3、4、5······時，S與n之間有什么關(guān)系呢？

學(xué)生猜想：當(dāng)a=3時，S=n÷2+2 當(dāng)a=4時，S=n÷2+3 學(xué)生驗證：分組研究，分成4人小組

1、組內(nèi)確定研究主題：a=3或者a=4.2、三人每人分別畫一個，并且得出S與n的值，第四個人匯總并匯報小組的研究成果。

3、觀察比較分析，研究的結(jié)果和猜想的結(jié)論是否一致？

小 結(jié)： 根據(jù)剛才同學(xué)們的研究，我們得到了這些規(guī)律

當(dāng)a=1時，S=n÷2 當(dāng)a=2時，S=n÷2+1 當(dāng)a=3時，S=n÷2+2 當(dāng)a=4時，S=n÷2+3

請你說一說

當(dāng)a=5時，S=

······

當(dāng)a=10時，S=

·······

問題：你能用一個含有S、n、a的式子概括出以上所有的規(guī)律嗎？

——————

S=n÷2+a-1

六：拓展研究，形成體系

出示：釘子板上的多邊形實物圖形，觀察這些多邊形有什么特點？

——內(nèi)部的釘子數(shù)為0.即a=0

問題：當(dāng)a=0時，上面的規(guī)律還成立嗎？你是怎么想的？說一說你的想法和結(jié)論。

七：總結(jié)收獲，形成方法。

說明：我們今天研究的規(guī)律，就是數(shù)學(xué)上著名的皮克定理（適當(dāng)介紹）。有興趣的同學(xué)，可以在網(wǎng)絡(luò)上或書籍里了解皮克定理。如果有進(jìn)一步認(rèn)識的要求，那記住這本書：閔酮鶴的著作《格點和面積》，以后有興趣、有條件了，可以去閱讀。

回顧過程，交流體會。

提問：回顧剛才探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，你有什么體會和收獲？ 追問：還有什么疑問嗎？

小結(jié)：今天我們一起研究了釘子板上多邊形面積與釘子數(shù)之間的關(guān)系。在研究的過程中，我們從簡單情形入手，通過畫一畫、數(shù)一數(shù)、算一算等方法，經(jīng)歷觀察、比較、猜想、驗證等活動，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。從上面的過程中我們發(fā)現(xiàn)，要從各種不同情況的多邊形中研究，要善于發(fā)現(xiàn)不同多邊形中的共同點，比如形狀、大小不同的多邊形中都有幾個釘；發(fā)現(xiàn)的不同關(guān)系式中的共同規(guī)律等。在探索規(guī)律時，一定要注意認(rèn)真觀察、反復(fù)比較，舉例驗證。表示數(shù)學(xué)規(guī)律一般用含有字母的式子，它具有簡潔、明了、易記的特點。

第四篇：釘子板上的多邊形面積說課稿

《釘子板上的多邊形》說課稿 橫板橋鎮(zhèn)中心小學(xué) 廖為火

一、說教學(xué)內(nèi)容：

蘇教版（新版）五年級上冊第8單元108-109探索規(guī)律“釘子板上的多邊形”

二、說教學(xué)目標(biāo)：

1、使學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)釘子板上圍城的多邊形的面積，與圍城的多邊形邊上的釘子數(shù)、多邊形內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系，并嘗試用字母式子表示關(guān)系。

2、使學(xué)生經(jīng)歷探索釘子板上圍城的多邊形面積與相關(guān)釘子數(shù)間的關(guān)系的過程，體會規(guī)律的復(fù)雜性和全面性，體會歸納思維，體會用字母表示關(guān)系的簡潔性，發(fā)展觀察、比較、推理、綜合和抽象、概括等思維能力。

3、使學(xué)生獲得探索規(guī)律成功的體驗，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，感受數(shù)學(xué)規(guī)律的奇妙，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。

三、說教學(xué)重點難點：

探索釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系

綜合、歸納多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系

四、說教學(xué)過程：

一、問題引入，揭示課題

1.設(shè)疑激趣。

PPT出示點子板上圍成的多邊形，提出問題：不準(zhǔn)分割你能迅速計算出下列方格圖中每個多邊形的面積嗎（說明：這里的每個格子面積1cm2的正方形）？

在學(xué)生學(xué)習(xí)了常見多邊形面積計算后，咋一看以為用常規(guī)方法能解答以上問題，但仔細(xì)一看題目要求，這些圖形的面積計算就比較困難，這樣就激發(fā)起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲。此時教師提出：用數(shù)格點的方法可以解決。此時學(xué)生腦里想的是：格點是什么？怎么數(shù)？與圖形面積有什么關(guān)系？帶著這一系列疑問，我出示第二組圖形（圖1-圖3）

2.引入課題。

談話：釘子板上多邊形的面積與哪里的釘子數(shù)有關(guān)，有怎樣的關(guān)系呢？我們這節(jié)課就來研究這個問題，看看到底有怎樣的關(guān)系。

二、分層探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

（一）引導(dǎo)嘗試，初步感知。

1.引導(dǎo)學(xué)生觀察 圖1-圖3。

引導(dǎo)：請大家觀察PPT上面的多邊形，按上面要求數(shù)一數(shù)，在教材第108頁的表格里填一填。

（1）數(shù)一數(shù)或算一算每個多邊形的面積各是多少平方厘米；

（2）數(shù)一數(shù)每個多邊形上的釘子各有多少枚；

（3）想一想多邊形的面積和邊上的釘子數(shù)有怎樣的關(guān)系。

2.學(xué)生交流，完成第108頁的表格。

3.觀察數(shù)據(jù)，比較發(fā)現(xiàn)。

引導(dǎo)：你能看出這些多邊形的面積和邊上釘子數(shù)的關(guān)系嗎？同桌先說一說。

交流：你發(fā)現(xiàn)這里的多邊形面積和邊上的釘子數(shù)有什么關(guān)系？（板書：多邊形的面積=多邊形上的釘子數(shù)÷2）

說明：為了更簡潔、方便地表示出這個規(guī)律，我們可以用字母來表示。如果用n表示多邊形上的釘子數(shù)，用S表示多邊形的面積，那上面發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律可以怎樣表示？

教師確認(rèn)、說明字母表示的關(guān)系式，PPT出示：

S=n÷2 4.觀察比較，反思質(zhì)疑。

（二）繼續(xù)研究，拓展認(rèn)識。

1.提出問題，引發(fā)思考。PPT出示圖4-圖6：

引導(dǎo)：如果多邊形內(nèi)部都有2枚釘子，多邊形面積與它邊上的釘子數(shù)又有什么關(guān)系呢？現(xiàn)在請大家自己在方格紙中畫圖，數(shù)一數(shù)、比一比，看看有沒有規(guī)律。

2.小組合作，探究規(guī)律。

引導(dǎo)：現(xiàn)在請你們四人小組合作，按照下面的辦法研究多邊形的面積。

出示活動要求：

（1）每人在方格紙中畫一個內(nèi)部有2枚釘子的多邊形，數(shù)出邊上的釘子數(shù)，算出它的面積；

（2）每人把獲得的數(shù)據(jù)在小組內(nèi)交流，并記錄在課本第109頁的表格里；

（3）觀察表格中的數(shù)據(jù)，小組討論交流：你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生操作、填表、比較、思考，教師巡視。

3.交流引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

PPT 出示圖4-圖6及表格，指名學(xué)生交流結(jié)果，在表格里呈現(xiàn)。

引導(dǎo)：我們剛才已經(jīng)知道，這里的面積不等于n÷2，但和n÷2 有點什么關(guān)系嗎？同桌互相討論，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

提問：通過數(shù)據(jù)比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？

小結(jié)：通過這里的多邊形的比較，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)多邊形內(nèi)部釘子數(shù)a=2時，面積S=n÷2+1。（板書：a=2 S=n÷2+1）

追問：檢查你畫的內(nèi)部有2個釘子的多邊形，面積符合這個規(guī)律嗎？如果不符合，把你的例子在全班交流。

指出：現(xiàn)在沒有學(xué)生提出反例，所以的都符合這里的規(guī)律。從大家的圖形和數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)多邊形內(nèi)部有2個釘子時，也就是a=2時，S=n÷2+1。

（三）引導(dǎo)猜想，概括規(guī)律。

1.引發(fā)學(xué)生猜想。

提問：上面發(fā)現(xiàn)圖形內(nèi)部釘子數(shù)a=1時，S=n÷2；a=2時，S=n÷2+1。你能聯(lián)系這里的規(guī)律，猜一猜，如果多邊形內(nèi)部有3枚釘子，它的面積與邊上釘子數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？先想一想，再告訴大家你的猜想。

交流：你猜想的規(guī)律是怎樣的？（板書：a=3 S=n÷2+2 ？）怎樣想的？

2.畫圖舉例，驗證猜想。

讓學(xué)生在點子圖上畫出圖形，驗證上面的猜想。

交流：你畫出的是怎樣的圖形，驗證的結(jié)果有什么結(jié)論？（指名學(xué)生呈現(xiàn)圖形驗證結(jié)論）

PPT出示圖7-圖9，引導(dǎo)學(xué)生完成表格。

確認(rèn)：當(dāng)多邊形內(nèi)釘子數(shù)是3時，面積S就等于n÷2+2。

追問：現(xiàn)在我們又有什么發(fā)現(xiàn)？

3.拓展延伸，揭示規(guī)律。

引導(dǎo)學(xué)生觀察關(guān)系式：a=1 S=n÷2

a=2 S=n÷2+1

a=3 S=n÷2+2

引導(dǎo)：你覺得如果a=4，會有什么規(guī)律？a=5呢？

那你能任選一個a等于幾，畫一畫、算一算來驗證嗎？自己畫圖驗證。指名學(xué)生交流，呈現(xiàn)不同例子的圖形用數(shù)據(jù)驗證，并板書關(guān)系式。

提問：你現(xiàn)在能發(fā)現(xiàn)釘子板上多邊形面積的規(guī)律了嗎？

指出：如果用a表示多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，那么，多邊形的面積S就等于邊上的釘子數(shù)n除以2，再加上內(nèi)部的釘子數(shù)a，然后減1。（板書：S=n÷2+a-1）

驗證：請大家用這個規(guī)律解決本課開始的問題。PPT返回到本課 最早的三個多邊形圖，用上面的公式迅速計算，體驗成功的快樂。

(四).適當(dāng)介紹，拓展視野。PPT

說明：我們今天研究的規(guī)律，就是數(shù)學(xué)上著名的皮克定理（一個計算點陣中頂點在格點上的多邊形面積公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多邊形內(nèi)部的點數(shù)，b表示多邊形邊界上的點數(shù)，s表示多邊形的面積）。有興趣的同學(xué)，可以在網(wǎng)絡(luò)上或書籍里了解皮克定理。如果有進(jìn)一步認(rèn)識的要求，那記住這本書：閔酮鶴的著作《格點和面積》，以后有興趣、有條件了，可以去閱讀。

第五篇：“釘子板上的多邊形”教學(xué)設(shè)計與評析

“釘子板上的多邊形”教學(xué)設(shè)計與評析

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書五年級上冊第108-109頁及相應(yīng)習(xí)題?一、談話引入，產(chǎn)生問題

1．出示釘子板。

同學(xué)們，知道我們今天要學(xué)習(xí)什么嗎？（出示釘子板）釘子板大家都見過嗎？看，這就是一個釘子板。在釘子板上可以圍出各種各樣的多邊形。誰來試著圍一個？（指名上臺操作）

為了研究方便，我們可以把釘子板簡化一下，用這樣點子圖來代替釘子板（出示點子圖），而且規(guī)定兩個點子之間的距離是1厘米，這樣一個小方格的面積就是——1平方厘米。在這個點子圖上，老師任意地圍了幾個多邊形，大家一起來看一看。

2．引出問題。

觀察這些多邊形，你覺得我們可以研究什么呢？

預(yù)設(shè)：

①可以研究釘子板上多邊形的面積（板書：多邊形的面積）；

②可以研究釘子板上多邊形的周長。

今天我們主要研究釘子板上多邊形的面積。再來看一看這些多邊形，它們的面積一樣嗎？（不一樣）。你覺得釘子板上多邊形的面積可能和什么有關(guān)系？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)多邊形的面積可能和圖形內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)，也可能和圖形邊上的釘子數(shù)有關(guān)。（板書：內(nèi)部釘子數(shù)，邊上釘子數(shù)）

二、嘗試研究，形成思路

看來大家都認(rèn)為，釘子板上多邊形的面積可能跟它內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)系，也可能跟邊上的釘子數(shù)有關(guān)系。那它們之間存在怎樣的關(guān)系？這個問題有點復(fù)雜。遇到復(fù)雜的問題，我們不妨從簡單的情況開始研究。

（1）出示：

這個多邊形的面積是多少？（4平方厘米）內(nèi)部的釘子數(shù)呢？（1個）邊上的釘子數(shù)呢？（8個）我們一起數(shù)一數(shù)（演示數(shù)邊上釘子數(shù)）。

如果把這個多邊形改變一下，就能得了一個新的多邊形。

（2）出示：

現(xiàn)在多邊形的面積是多少？（3平方厘米）內(nèi)部的釘子數(shù)呢？（0個）邊上的釘子數(shù)呢？（還是8個）如果再改變一下圖形呢？

（3）出示：

這個多邊形的面積是多少？（4平方厘米）給大家指一指你是怎么算的？內(nèi)部的釘子數(shù)呢？（2個）邊上的釘子數(shù)呢？（6個）

引導(dǎo)：觀察上面的數(shù)據(jù)，能看出多邊形的面積與邊上的釘子數(shù)和內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系嗎？同時要考慮三個數(shù)量的變化比較復(fù)雜，有沒有什么好辦法？

預(yù)設(shè)：

①可以讓其中的一個數(shù)量不變，另外兩個數(shù)量變化一下，看看有沒有規(guī)律。

②可以先把內(nèi)部釘子數(shù)固定不變，改變多邊形面積，看邊上釘子數(shù)有沒有變。

三、自主合作，探索交流

1．探索“內(nèi)部釘子數(shù)為1”的情況。

講述：是啊！三個數(shù)量都變化，關(guān)系太復(fù)雜了，我們可以先把其中一個數(shù)量控制住。這樣，我們先研究內(nèi)部釘子數(shù)是1的情況，可以嗎？也就是，我們要研究當(dāng)多邊形的內(nèi)部釘子數(shù)是1時，多邊形的面積和多邊形邊上的釘子數(shù)之間的關(guān)系。這個問題你會研究嗎？你準(zhǔn)備怎樣研究呢？誰來給大家讀一讀研究提示。

出示研究步驟：

為了方便研究，老師為每個小組準(zhǔn)備了一張研究單。下面大家開始研究吧！

學(xué)生分組進(jìn)行合作探究，教師巡視指導(dǎo)后交流。

預(yù)設(shè)：

①我們小組畫了3個不同多邊形，內(nèi)部釘子數(shù)都是1，我們發(fā)現(xiàn)多邊形的面積是邊長釘子數(shù)的一半。

②我們發(fā)現(xiàn)多邊形邊上的釘子數(shù)是面積的2倍。邊上的釘子數(shù)除以2就是多邊形的面積。

提問：怎樣用算式表示多邊形的面積與邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系？（用字母式表示是S=n÷2。）

總結(jié)：通過研究，我們發(fā)現(xiàn)多邊形的面積與邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系。這個關(guān)系用表示就是S=n÷2。這里S代表什么？n呢？S=n÷2是什么意思？

2．探索“內(nèi)部釘子數(shù)為2”的情況。

講述：通過剛才的研究我們發(fā)現(xiàn)，這里S=n÷2是有一個前提的，那就是當(dāng)內(nèi)部釘子數(shù)就是1的時候。如果內(nèi)部釘子數(shù)是2呢？又會是什么情況呢？下面請大家拿出探究學(xué)習(xí)單，我們2人一組再來探索一下。

學(xué)生同桌合作探究，教師巡視指導(dǎo)后交流。

預(yù)設(shè)：

①小組畫了3個多邊形。我們發(fā)現(xiàn)，多邊形的面積是邊上的釘子數(shù)除以2再加1，用字母表示就是S=

n÷2+1。

②我們發(fā)現(xiàn)：多邊形邊上釘子數(shù)加2的和再除以2等于多邊形的面積。用字母表示是S=(n+2)÷2。

比較指出：其實第2個式子只要簡化一下，與第一個式子是一樣的。

3．舉例驗證。

剛剛我們畫出的多邊形各不相同，不管是內(nèi)部釘子數(shù)為1或者2，為什么每次都是同一個關(guān)系式表示呢？經(jīng)過了剛才我們初步的探索和實驗，初步得出了關(guān)系式，也就是初步形成了猜想。那么，有了猜想，我們還需要干什么？（驗證）我們可以怎樣來驗證呢？（可以再畫幾個圖形，看是不是符合上面的規(guī)律）。

學(xué)生分別選擇一種情況，再任意畫一個圖形，驗證一下，看是否符合如下兩個規(guī)律：①當(dāng)內(nèi)部釘子數(shù)是1時，多邊形的面積就是S=n÷2；②當(dāng)內(nèi)部釘子數(shù)是2時，面積就是S=n÷2+1。

學(xué)生獨立進(jìn)行舉例驗證，教師巡視反饋。

總結(jié)：通過全班同學(xué)的舉例驗證，我們發(fā)現(xiàn)大家畫的多邊形都符合上面的規(guī)律，看來這里規(guī)律是正確的。在數(shù)學(xué)研究就是這樣的一方面要進(jìn)行大膽的假設(shè)，同時，也需要小心的驗證。

四、歸納總結(jié)，揭示規(guī)律

剛剛我們研究了釘子板上的多邊形面積與釘子數(shù)之間的內(nèi)在規(guī)律，已經(jīng)知道內(nèi)部釘子數(shù)為1和2這兩個情況，如果內(nèi)部釘子數(shù)為3呢？你認(rèn)為多邊形的面積可以怎么計算呢？（S=n÷2+2）內(nèi)部釘子數(shù)是4呢？(S=n÷2+3)如果圖形內(nèi)部沒有釘子呢？（S=n÷2-1）

同學(xué)都進(jìn)行了大膽地猜想，當(dāng)然我們也可以舉例驗證。還記得老師之前任意畫的幾個多邊形，其中就有一個圖形中間沒有釘子，我們一起來看看。我們一起來驗證一下它符號我們猜想的規(guī)律嗎？

出示：

指出：12÷2-1=5?？磥恚@個圖形也是符合規(guī)律。

提問：剛剛通過研究，我們發(fā)現(xiàn)了釘子板上多邊形存在好多的規(guī)律。你能把這些規(guī)律概括一下，變成一條規(guī)律嗎？（我們用字母S表示多邊形面積，n表示圖形邊上的釘子數(shù)，ａ表示圖形內(nèi)部的釘子數(shù)。）

總結(jié)：看來大家都認(rèn)為，可以用S=n÷2+a-1表示，這個公式是什么意思呢？其實，這個公式早在1899年就被奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)了。一起來了解一下。

出示：

五、回顧總結(jié)、應(yīng)用提升

1．解決問題。

你能用上面的公式計算出剛剛老師任意畫的幾個多邊形的面積嗎？

出示：

用一個公式計算簡單嗎？有了這個公式，計算釘子板上多邊形的面積就容易多了！課后感興趣的同學(xué)還可以釘子板多畫幾個多邊形，去考考你的同學(xué)或家長。

2．回顧小結(jié)。

今天，我們一起探索了釘子板上多邊形。回顧探索與發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，你有什么體會？

“釘子板上的多邊形”一課是蘇教版數(shù)學(xué)義務(wù)教育教科書五年級上冊“探索規(guī)律”內(nèi)容。這是一次研究平面圖形面積的活動，安排在形成了面積概念、掌握了常用面積單位、能計算簡單圖形面積的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。這也是一次既有趣又有挑戰(zhàn)性的活動，在釘子板上圍圖形、數(shù)釘子的枚數(shù)、算圖形的面積，這些都是學(xué)生喜歡做、能夠做的事情，他們會樂意參與這次活動。然而，釘子板上圍出來的圖形大多數(shù)不是規(guī)則圖形，也不是簡單圖形，求它們的面積沒有現(xiàn)成的方法可以使用，得出圖形的面積比較難。而且，這次活動要探索圍成的圖形面積與圖形邊上的釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系，還要用含有字母的式子表達(dá)這種關(guān)系，有相當(dāng)?shù)碾y度。但也正是這些“趣”與“難”，有助于體現(xiàn)活動的教育價值，培養(yǎng)學(xué)生探索精神和數(shù)學(xué)思維能力。

趙兆兵老師設(shè)計執(zhí)教的這節(jié)課，很好地處理了“趣”與“難”之間的關(guān)系，體現(xiàn)了其本源性教學(xué)的特色追求。本課主要有以下三個方面的教學(xué)特色：

01從簡單出發(fā)，向本質(zhì)邁進(jìn)。

“釘子板上的多邊形”是修訂后的蘇教版教材新增加的內(nèi)容，屬于探索給定情境中隱含的規(guī)律和變化趨勢。在釘子板上用線圍圖形，圍成的平面圖形一定是多邊形，頂點一定是釘子板的釘子。每個小正方形都表示1平方厘米，圍成圖形的面積是幾平方厘米能夠數(shù)出來或者算出來。圍成的多邊形邊上有幾枚釘子，與圖形的面積是否有關(guān)，如果有關(guān)，是什么關(guān)系，這些都是要探索的規(guī)律。

趙老師在教學(xué)過程中，從簡單的規(guī)則圖形出發(fā)，進(jìn)而逐步演變?yōu)椴灰?guī)則圖形，從不規(guī)則圖形再轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則圖形；從內(nèi)部釘子數(shù)1出發(fā)，到內(nèi)部釘子數(shù)是2的，再到內(nèi)部釘子數(shù)3、4、0的……，由淺入深；從簡單的列舉開始，到規(guī)律猜想和規(guī)律表達(dá)，進(jìn)而抽象為字母表達(dá)規(guī)律。這樣的教學(xué)設(shè)計，層層遞進(jìn)，絲絲入扣，從規(guī)律直觀感知到規(guī)律抽象表達(dá)，從初步規(guī)律尋找到規(guī)律原因探尋，逐步走向規(guī)律本質(zhì)，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的探索意識。

ENTER

TITLE02從直觀出發(fā)，用模型表達(dá)。

大數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！北菊n雖然探尋的是圖形規(guī)律，但是圖形面積需要測算，圖形面積與釘子數(shù)量之間的關(guān)系需要表達(dá)，因此形離不開數(shù)，數(shù)蘊(yùn)涵于形，通過數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生完成從動作思維到形象思維的過渡，再從形象思維到抽象思維的發(fā)展。

由于“皮克定理”的基礎(chǔ)是S=n÷2-1，趙老師采取“特殊化”的教學(xué)策略，讓學(xué)生從內(nèi)部有1個釘子的圖形開始研究，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)自身發(fā)展的規(guī)律。趙老師設(shè)計的教學(xué)過程中，并沒有始終停留在直觀圖形的釘子個數(shù)或者面積測算上，而是先讓學(xué)生操作與觀察，初步尋找圖形面積與內(nèi)部釘子個數(shù)之間的聯(lián)系，進(jìn)而提出假設(shè)與猜想，再舉例驗證。在這一探究過程中，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，以數(shù)助形，以形輔數(shù)，充分利用圖形理解用邊上的釘子數(shù)計算出圖形的面積的算理，從而巧妙化解了教學(xué)的“難點”。尤其是在分別探索了內(nèi)部釘子數(shù)不同的情況規(guī)律之后，引導(dǎo)學(xué)生把幾個不同的計算公式進(jìn)行簡化，從而建立了更為一般性的數(shù)學(xué)模型。同時，適度的數(shù)學(xué)文化介紹，既深化了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，又豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)感受，增加了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情趣。

ENTER

TITLE03從猜想出發(fā)，以實驗求證。

猜想和驗證是探索規(guī)律需要著力培養(yǎng)與經(jīng)歷的重要目標(biāo)與過程，而由此積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗又是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累的。

趙老師在教學(xué)過程中沒有一味地深陷于形象的圖形測算或抽象的字母公式，而是結(jié)合學(xué)生的探索與表達(dá)，抓住“猜想”和“求證”兩個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生合理猜想，小心求證，并及時組織學(xué)生回顧探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，交流活動的體會，分享探索的經(jīng)驗。這是激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要環(huán)節(jié)，也是數(shù)學(xué)課程改革以來十分重視的教學(xué)方式。趙老師主要設(shè)計了三次猜想與求證的環(huán)節(jié)：首先是在課始，讓學(xué)生觀察釘子板上的多邊形，猜測面積與釘子數(shù)的關(guān)系，然后初步驗證；其次是分別動手實驗，探索內(nèi)部釘子數(shù)為1、2的規(guī)律，歸納后形成猜想，并分別再次驗證；而在初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律后進(jìn)一步猜想釘子數(shù)與面積之間的一般關(guān)系式，并繼續(xù)實驗求證。

讓我們重溫中國現(xiàn)代思想家胡適談治學(xué)方法時說過一句簡單扼要的話：“大膽假設(shè)，小心求證”。