第一篇：【鼎尖教案】人教版高中數(shù)學選修系列：4.1復數(shù)的概念(第一課時)

第四章 數(shù)系的擴充－復數(shù)

課時安排 1課時 從容說課

本節(jié)一開始就簡明地介紹了數(shù)的概念的發(fā)展過程，對已經(jīng)學過的數(shù)集因生產(chǎn)和科學發(fā)展的需要而逐步擴充的過程進行概括；然后說明數(shù)集的每一次擴充，對數(shù)學學科本身來說，也解決了在原有數(shù)集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，使得某些代數(shù)方程在新的數(shù)集中能夠有解.復數(shù)，最初還是由于解方程的需要而產(chǎn)生的，后來由于在科學技術(shù)中得到應用而進一步發(fā)展.將已經(jīng)學過的數(shù)集進行概括并用表列出.

復數(shù)的概念是在引入虛數(shù)單位i，并同時規(guī)定了它的兩條性質(zhì)之后自然地得出的.擴充到復數(shù)集后，方程x2=-1,x2-x+1=0等才有解.

在規(guī)定i的第二條性質(zhì)時，原有的加、乘運算律仍然成立，可以引導學生討論為什么不規(guī)定除法、減法呢？由學生自己探索討論.

把a+bi(a、b∈R)叫做復數(shù),這是復數(shù)的代數(shù)形式，既與以后的幾何表示、向量表示相對應,也說明任何一個復數(shù)均可以由一個有序?qū)崝?shù)對（a,b）唯一確定，是復數(shù)能由復平面內(nèi)的點來表示的理論基礎(chǔ).

虛數(shù)、純虛數(shù)、實部與虛部等概念是復數(shù)的最基本的概念.除了教科書中的一些實例外，教學中還要多舉一些例子讓學生判別，以加深學生理解.這里主要是分類，讓學生總結(jié)實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集都是復數(shù)的真子集.讓學生討論下列兩個問題：①復數(shù)相等的充要條件是什么？②兩個復數(shù)只能說相等或不相等，不能比較大小的原因是什么？培養(yǎng)學生的探索精神.第一課時

課題

§4.1 復數(shù)的概念

教學目標

一、教學知識點

1.了解引進復數(shù)的必要性，理解并掌握虛數(shù)的單位i. 2.理解并掌握虛數(shù)單位與實數(shù)進行四則運算的規(guī)律.

3.理解并掌握復數(shù)的有關(guān)概念（復數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部）. 4.理解并掌握復數(shù)相等的有關(guān)概念.

二、能力訓練要求

1.能利用復數(shù)的有關(guān)概念對復數(shù)進行分類（實數(shù)、純虛數(shù)、虛數(shù)），并求出有關(guān)參數(shù)的取值范圍.

2.會用復數(shù)相等的定義求有關(guān)參數(shù)（未知數(shù)）的值. 3.使學生學會用定義和有關(guān)數(shù)學思想解題.

三、德育滲透目標

1.培養(yǎng)學生分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想和方法.

2.培養(yǎng)學生的矛盾轉(zhuǎn)化、分與合、實與虛等唯物辯證觀點，讓學生學會對事物歸納與認識，深刻認識事物的兩個方面的重要性.

3.培養(yǎng)學生正確的人生觀、價值觀，使之深刻認識到人在事物發(fā)展變化中所應體現(xiàn)的價值和作用.加強學生的愛國主義教育，使他們領(lǐng)悟、掌握科學文化知識，為國富民強而奮.

教學重點

復數(shù)的概念、虛數(shù)單位i、復數(shù)的分類（實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)）和復數(shù)相等等概念是本節(jié)課的教學重點.復數(shù)在現(xiàn)代科學技術(shù)中以及在數(shù)學學科中的地位和作用.

教學難點

虛數(shù)單位i的引進及復數(shù)的概念是本節(jié)課的教學難點.復數(shù)的概念是在引入虛數(shù)單位i并同時規(guī)定了它的兩條性質(zhì)之后，自然地得出的.在規(guī)定i的第二條性質(zhì)時，原有的加、乘運算律仍然成立.

教學方法

建構(gòu)主義觀點在高中數(shù)學課堂教學中應用的實踐的教學方法.復數(shù)的概念如果單純地講解或介紹定顯得較為枯燥無味，學生不易接受.教學時，我們采用講解或體驗已學過的數(shù)集的擴充的歷史，讓學生體會到數(shù)集的擴充是生產(chǎn)實踐的需要，也是數(shù)學學科自身發(fā)展的需要；介紹數(shù)的概念的發(fā)展過程，使學生對數(shù)的形成、發(fā)展的歷史和規(guī)律、各種數(shù)集之間的關(guān)系有著比較清晰、完整的認識,從而讓學生積極主動地建構(gòu)虛數(shù)的概念、復數(shù)的概念、復數(shù)的分類.教具準備

實物投影儀或多媒體課件（含幻燈片、幻燈機）.幻燈片兩張. 幻燈片：(記作§4.１Ａ)對已經(jīng)學過的數(shù)集進行概括時，要注意以下幾點：（1）有理數(shù)就是一切形如

m的數(shù)，其中m∈Z,n∈N*,所以有理數(shù)集實際上就是分數(shù)集. n(2)｛有理數(shù)｝=｛分數(shù)｝=｛循環(huán)小數(shù)｝｛小數(shù)｝=R.

(3)自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R之間有如下的關(guān)系：NZQR. 幻燈片：(記作§4.１Ｂ)

兩個不全為實數(shù)的復數(shù)只能說相等或不相等，不能比較大小.

(1)根據(jù)兩個復數(shù)相等的定義知，在a=c,b=d兩式中，只要有一個不成立，那么a+bi≠c+di.(2)如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，則可以比較大小,否則，不能比較大小.(3)“不能比較大小”的確切含義是指：不論怎樣定義兩個復數(shù)之間的一個關(guān)系“＜”，都不能使這種關(guān)系同時滿足實數(shù)

集中大小關(guān)系的四條性質(zhì)：

①對于任意實數(shù)a、b來說，a＜b,a=b,b＜a這三種情況有且只有一種成立； ②如果a＜b,b＜c,那么a＜c; ③如果a＜b,那么a+c＜b+c; ④如果a＜b,c＞0,那么ac＜bc.教學過程

Ⅰ.課題導入

［師］從小學開始，我們就天天與各種數(shù)打交道，因而對數(shù)的概念和運算并不陌生，現(xiàn)在我們來回顧學過了哪些數(shù)集呢？

???正整數(shù)?自然數(shù)??????整數(shù)?零?有理數(shù)???［生］實數(shù)? ?負整數(shù)???分數(shù)???無理數(shù)?［師］由自然數(shù)經(jīng)過若干年的發(fā)展，最后擴充到實數(shù)，那么還能繼續(xù)擴充嗎？今天我們就來學習新的數(shù)即復數(shù)（板書課題）. Ⅱ.講授新課

(一)概念形成［放投影或多媒體］（由學生閱讀）

數(shù)的概念是從實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的.早在人類社會初期，人們在狩獵、采集果實等勞動中，由于計數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1，2，3，4等數(shù)以及表示“沒有”的數(shù)0.自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集N.

隨著生產(chǎn)和科學的發(fā)展，數(shù)的概念也得到了發(fā)展.

為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數(shù)；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要，人們又引進了負數(shù)，這樣就把數(shù)集擴充到了有理數(shù)集Q，顯然NQ.如果把自然數(shù)集（含正整數(shù)和0）與負整數(shù)集合并在一起，構(gòu)成整數(shù)集Z，則有ZQ、NZ.如果把整數(shù)看作分母為1的分數(shù)，那么有理數(shù)集實際上就是分數(shù)集. 有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結(jié)果，無法用有理數(shù)表示，為了解決這個矛盾，人們又引進了無理數(shù).所謂無理數(shù),就是無限不循環(huán)小數(shù).有理數(shù)集與無理數(shù)集合并在一起，構(gòu)成實數(shù)集R.因為有理數(shù)都可看作循環(huán)小數(shù)（包括整數(shù)、有限小數(shù)），無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，所以實數(shù)集實際上就是小數(shù)集.(學生閱讀完畢，教師放出幻燈片§4.１Ａ) ［師］數(shù)集因生產(chǎn)和科學發(fā)展的需要而逐步擴充，數(shù)集的每一次擴充，對數(shù)學學科本身來說，解決了在原有數(shù)集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，分數(shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾，負數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾，無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾.但是，數(shù)集擴充到實數(shù)集R以后，像x2=-1這樣的方程還是無解的，因為沒有一個實數(shù)的平方等于-1.由于解方程的需要，人們引入了一個新數(shù)i，叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：（板書及以下兩條）

(1)它的平方等于-1，即i2=-1;

(2)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立. ［師］有哪些運算律呢？

［生］乘法交換律和加法交換律.

［師］在這種規(guī)定下，i可以與實數(shù)b相乘，結(jié)果是什么？ ［生］i·b=b·i，滿足交換律.

［師］在這種規(guī)定下，i可以與實數(shù)a相加，結(jié)果是什么？ ［生］i+a=a+i，滿足交換律.

［師］如果i與實數(shù)b相乘，再與實數(shù)a相加，結(jié)果是什么呢？ ［生］i·b+a=a+bi.

［師］引進了新的虛數(shù)單位i后，數(shù)的范圍又擴充了，出現(xiàn)了形如a+bi(a、b∈R)的數(shù)，它在前面所學的數(shù)集中沒有，這樣人們把它們叫做復數(shù).全體復數(shù)所成的集合叫做什么？ ［生］全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，一般用字母C表示.(板書) ［師］在這種規(guī)定下，i與-1的關(guān)系如何呢？

［生］i就是-1的一個平方根，即方程x2=-1的一個根. ［師］方程x2=-1的另一個根呢？ ［生］-i.

［師］復數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a、b∈R).把復數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復數(shù)的代數(shù)形式.(板書)

對于復數(shù)a+bi(a、b∈R),滿足什么條件時，它是實數(shù)？ ［生］當且僅當b=0時，復數(shù)a+bi(a、b∈R)它是實數(shù)a. ［師］如果b≠0時，這樣復數(shù)是什么樣的數(shù)呢？ ［生］當b≠0時，復數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù).

［師］在虛數(shù)的情況下，如果a=0時，它又是什么數(shù)呢？ ［生］當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù).

［師］a、b滿足什么條件時，z=a+bi(a、b∈R)是0？ ［生］當且僅當a=b=0時，z就是實數(shù)0.

［師］這樣復數(shù)z=a+bi(a、b∈R)就可以分成哪幾種情況呢？

??a＞0正實數(shù)??b?0z是實數(shù)a?a?0實數(shù)0??a＜0負實數(shù)???［生］復數(shù)z?a?bi(a、b?R)?

?a?0純虛數(shù)bi??b?oz是虛數(shù)?(b?0,b?R)???a?0非純虛數(shù)的虛數(shù)???［師］這里的實數(shù)a、b分別叫做復數(shù)z=a+bi(a、b∈R)的實部與虛部（板書）.

11i ,?i,?3?5i的實部和虛部，有沒有純虛數(shù)？ 23111［生］它們都是虛數(shù)，它們的實部分別是2,-3,0,?3;虛部分別是3, ,? ,-5;?i是純

233請你們說出復數(shù)2+3i,?3?虛數(shù).

［師］-2i+3.14的實部和虛部是什么？ ［生］實部是-2，虛部是3.14.

［眾生］(齊聲說)錯！實部是3.14,虛部是-2.

［師］實數(shù)集和復數(shù)集之間的關(guān)系如何呢？ ［生］實數(shù)集R是復數(shù)集C的真子集，即RC. ［師］數(shù)集擴充后，常用的數(shù)集之間有什么關(guān)系？

［生］NZQRC.

［師］有沒有兩個復數(shù)相等呢？如何定義？

［生］如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等.這就是說：如果a、b、c、d∈R,那么a+bi=c+di?a=c,b=d.［師］復數(shù)z=a+bi(a、b∈R)為零的充要條件是什么？ ［生］復數(shù)a+bi=0(a、b∈R)的充要條件是a=0且b=0.

［師］復數(shù)相等的定義是在復數(shù)集中解方程的重要依據(jù).一般地，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小. 現(xiàn)有一個命題“任何兩個復數(shù)都不能比較大小”,對嗎？

［生］不對.如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小.只有當兩個復數(shù)不全是實數(shù)時才不能比較大小.

［師］“不能比較大小”的確切含義是指：不論怎樣定義兩個復數(shù)之間的一個關(guān)系“＜”，都不能使這種關(guān)系同時滿足實數(shù)集中大小關(guān)系的四條性質(zhì).（打出幻燈片§4.1 B）(由學生閱讀)(二)課本例題

［例1］實數(shù)m取什么數(shù)值時，復數(shù)z=m+1+(m-1)i是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？

分析:因為m∈R,所以m+1,m-1都是實數(shù)，由復數(shù)z=a+bi是實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m的值. 解：（1）當m-1=0，即m=1時，復數(shù)z是實數(shù)；（2）當m-1≠0，即m≠1時，復數(shù)z是虛數(shù)；

（3）當m+1=0,且m-1≠0時，即m=-1時，復數(shù)z 是純虛數(shù). ［例2］已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x、y∈R, 求x與y. 分析:運用復數(shù)相等的定義求解.

?2x?1?y5解：根據(jù)復數(shù)相等的定義，得方程組?所以x?,y=4.

2?1??(3?y)(三)精選例題

［例1］復數(shù)z=log2(x2-3x-3)+log2(x-3),當x為何實數(shù)時，（1）z∈R;(2)z為虛數(shù)；（3）z為純虛數(shù).

?x2?3x?3＞0,①解:（1）因為一個復數(shù)是實數(shù)的充要條件是虛部為零，所以有?

log(x?3)?0.②?2由②得x=4,經(jīng)驗證滿足①.

所以當x=4時，z∈R.

?x2?3x?3＞0,(2)因為一個復數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部非零，所以有?解得

2(x?3)?0.?log?3?213?213?213?21或x＜?x＞＜x＜4或x＞4.所以當＜x＜4或x＞4時，?22,即

22?x＞3且x?4?z為虛數(shù).

(3)因為一個復數(shù)是純虛數(shù)，則其實部為零且虛部不為0，所以有

?log2(x2?3x?3)?0,?x??或x?4,解得?無解. ?x＞3且x?4,??log2(x?3)?0.所以復數(shù)z不可能是純虛數(shù).

［例2］設(shè)復數(shù)z=2logax+(loga2x-1)i(a＞0,a≠1),問當x為何實數(shù)時，z是（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù). 解:（1）當loga2x-1=0,即x=a或

1時，z為實數(shù). a?loga2x?1?01（2）當?即x≠a,x? ,

a?x＞0∴x＞0且x≠a且x?1時，z是虛數(shù). ax??2loga?0,（3）當?即x=1時，z為純虛數(shù). x??loga?1?0,［例3］判斷下列式子的對錯：

(1)當z∈C,則z2≥0;

(2)若z1、z2∈C,且z1-z2＞0，則z1＞z2;(3)若a＞b,則a+i＞b+i.

解:(1)z2≥0,當且僅當z∈R時成立，如設(shè)z=i,則z2=i2=-1＜0,故（1）是錯誤的.

(2)反例：設(shè)z1=2+i,z2=-1+i,滿足z1-z2=3＞0,因此z1、z2不能比較大小，故（2）也是錯誤的.(3)∵a＞b,故a、b∈R.∴a+i與b+i都是虛數(shù)，不能比較大小.故（3）錯.

解題回顧：理解復數(shù)與實數(shù)的一個重要區(qū)別：兩個復數(shù)如果不全是實數(shù)，就不能比較大小，因此不等式的性質(zhì)在復數(shù)集中不適用. ［例4］（1）設(shè)復數(shù)z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分別滿足什么條件時，z是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)？

（2）bi是什么數(shù)？

解:（1）當a、b同時為0時，z為實數(shù)；當a、b不全為0時，z是虛數(shù)；當a、b有且僅有一個為0或者說a、b有且僅有一個不為0時，z為純虛數(shù).

(2)當b=0或b為純虛數(shù)時，bi是實數(shù)；當b為不是0的實數(shù)時，bi是純虛數(shù)；當b為非純虛數(shù)時，bi是非純虛數(shù).

解題回顧：在判斷所給一個復數(shù)類型時，首先一定要弄清題目中的參數(shù)有無要求，然后再將復數(shù)中的實部與虛部分清. Ⅲ.課堂練習

(一)課本Ｐ149練習1、2.(二)補充練習 1.設(shè)集合C=｛復數(shù)｝,A=｛實數(shù)｝，B=｛純虛數(shù)｝，若全集S=C，則下列結(jié)論正確的是（）A.A∪B=C

B.CSA=B C.A∩(CSB)=

D.B∪(CSB)=C 答案：D

2.若復數(shù)z1=sin2θ+icosθ,z2=cosθ+i3sinθ,z1=z2,則θ等于（） A.kπ(k∈Z) C.2kπ±

B.2kπ+ ?(k∈Z) 3?(k∈Z) 3?D.2kπ+(k∈Z)

6解析:∵z1=z2,∴其充要條件為

1?sin??,??sin2??cos?,2?∴? ??cos??3sin?.?tan??3.?3?∴θ=2kπ+?,k∈Z.故選D. 6答案：D 3.已知集合M=｛1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i｝,集合P=｛-1，3｝.M∩P=｛3｝,則實數(shù)m的值為（） A.-1 B.-1或4

C.6

D.6或-1 解析：由題設(shè)知3∈M,∴m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.

2??m?3m?1?3,∴?2∴m=-1.故選A. ??m?5m?6?0.答案：A 4.滿足方程x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0的實數(shù)對(x,y)表示的點的個數(shù)是_________.

?x?3或x??1,2??x?2x?3?0,?解析：由題意知?2∴? 1??6y?6y?1?0.?y?3.?∴點對有(3,11)、(-1,),共有2個. 33答案：2

5.設(shè)復數(shù)z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果z是純虛數(shù)，求m的值.

2?m?3m?3?1,?log2(m2?3m?3)?0,?解：由題意知?∴?3?m?1，log(3?m)?o?2?3?m＞0.??m2?3m?4?0,∴? ?m?2且m＜3.∴m=-1.

6.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一個實數(shù)根，試求實數(shù)m的值. 解：方程化為(x2+mx+2)+(2x+m)i=0.

?x2?mx?2?0,∴? ?2x?m?0mm2m2??2?0.∴x??,242∴m2=8.∴m=±22.7.已知m∈R,復數(shù)z?純虛數(shù)；(4)z=m(m?2)+(m2+2m-3)i,當m為何值時，(1)z∈R;(2)z是虛數(shù)；（3）z是

m?11+4i. 2?m2?2m?3?0,解：（1）m需滿足?

m?1?0.?解之得m=-3.

(2)m需滿足m2+2m-3≠0且m-1≠0，解之得m≠1且m≠-3.

?m(m?2)?0,?(3)m需滿足?m?1

?m2?2m?3?0.?解之得m=0或m=-2. ?m(m?2)1?,?(4)m需滿足?m?12

?m2?2m?3?4.?解之得m∈?.

8.(2005年湖北省五校聯(lián)考)已知k∈R,方程x2+(k+3i)x+4+k=0一定有實根的充要條件是（） A.|k|≥4

B.k≥2+25或k≤2-25 D.k=-4 C.k=±32

解析:設(shè)x=t是方程的實根,

∴t2+kt+Δ+k+3t·i=0.

?t2?kt?4?k?0,由復數(shù)相等的定義知?

?3t?0.∴k=-4.故選D. 答案: D Ⅳ.課時小結(jié)

這節(jié)課我們學習了虛數(shù)單位i及它的兩條性質(zhì)，復數(shù)的定義、實部、虛部及有關(guān)分類問題，復數(shù)相等的充要條件等等.基本思想是：利用復數(shù)的概念，聯(lián)系以前學過的實數(shù)的性質(zhì)，對復數(shù)的知識有較完整的認識，以及利用轉(zhuǎn)化的思想將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題. Ⅴ.課后作業(yè)

課本Ｐ150習題4.１ 1、2、3、4. 板書設(shè)計

§4.1復數(shù)的有關(guān)概念

一、虛數(shù)單位i:i2=-1. 兩條規(guī)定：(1)i2=-1;

(2)i與實數(shù)滿足加、乘運算的有關(guān)運算律.

二、復數(shù)定義： 1.形如a+bi(a、b∈R)叫做復數(shù). 2.分類

?b?0實數(shù)z?a?z?a?bi??a?0純虛數(shù)

b?0z為虛數(shù)???a?0非純虛數(shù)?3.復數(shù)相等的充要條件(a、b、c、d∈R)

z1=a+bi,z2=c+di,z1=z2

?a?c,??b?d.?z=a+bi=0?a=b=0. 例題分析

課本例題 例1 例2 精選例題 例1 例2 數(shù)系擴充

???正整數(shù)????有理數(shù)０????實數(shù)???分數(shù)?復數(shù)??????無理數(shù)??虛數(shù)預習提綱 1 2 ……

?負

第二篇：【鼎尖教案】人教版高中數(shù)學必修系列：2.2函數(shù)的表示法(第一課時)

§2.2 函數(shù)的表示法

課時安排 1課時 從容說課

函數(shù)是由其定義域、值域、對應法則三要素構(gòu)成的整體，并可用抽象符號f(x)來表示，由于f所代表的對應法則不一定能用解析式表示，故本節(jié)介紹了函數(shù)的表示方法，除了解析法還有列表法和圖象法，這三種表示函數(shù)的方法之間具有內(nèi)在的聯(lián)系。比如本節(jié)例2的數(shù)據(jù)可以用列表法給出，教學中可引導學生先列表、再求解析式，最后畫圖象，例3在本質(zhì)上則是訓練由圖象求解析式的過程等，認識函數(shù)的三種表示方法之間的聯(lián)系并能相互轉(zhuǎn)化，是對函數(shù)概念深化理解的重要步驟。

本節(jié)由實際問題引出了對分段函數(shù)的認識，即對于自變量不同的取值范圍，用不同的解析式表示同一個函數(shù)關(guān)系，故分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)，教學中可舉一些例子幫助學生理解。

根據(jù)實際問題中的條件列出函數(shù)解析式的訓練，是建立函數(shù)模型研究實際問題的關(guān)鍵步驟，這種應用意識的培養(yǎng)和應用能力的提高應不斷貴穿于以后的教學過程中。

●課

題

§2.2 函數(shù)的表示法 ●教學目標(一)教學知識點 1.函數(shù)的表示方法.2.初等函數(shù)的圖象.3.分段函數(shù)的意義.4.函數(shù)的應用.(二)能力訓練要求

1.使學生掌握函數(shù)的三種常用表示方法.2.使學生了解初等函數(shù)圖象的幾種情形.3.使學生理解分段函數(shù)的意義.4.使學生初步學會用函數(shù)的知識解決具體問題的方法.(三)德育滲透目標

通過本節(jié)課的教學，使學生認識到知識無止境，對客觀世界的認識也是永無止境的，樹立終身學習的思想.●教學重點

1.函數(shù)的表示方法.2.函數(shù)的應用.●教學難點 函數(shù)的應用.●教學方法 指導學生自學法

讓學生通過自學的實踐，自己獲取知識，對提高學生的自學能力是有幫助的，教師必要的指導為學生自學掃除障礙，同時也讓學生在掃除障礙的過程中，學會突破難點的方法.●教具準備 幻燈片兩張

第一張：P55圖2—6(記作§2.2 A)第二張：本課時教案后面的預習內(nèi)容及預習提綱（記作§2.2B)●教學過程 Ⅰ.復習回顧 ［師］上節(jié)課我們學習了判定兩個函數(shù)是否相同的方法及映射的概念，哪位同學來回答一下如何判定兩個函數(shù)是否相同呢？

［生］判定兩個函數(shù)是否相同，一要看其定義域是否相同，二要看其對應關(guān)系是否相同，當兩者完全一致時，這兩個函數(shù)就是相同的函數(shù)，當兩者有一不同或兩者完全不同時，這兩個函數(shù)就不是相同的函數(shù).［師］好!誰再來回答一下函數(shù)與映射的區(qū)別呢？ ［生］函數(shù)與映射本質(zhì)的區(qū)別是函數(shù)的兩個集合都是非空數(shù)集，而映射的兩個集合中的元素是任意的，它可以是數(shù)，也可以是點，還可以是圖形等等.［師］很好!我們前面已經(jīng)學習了函數(shù)的定義，函數(shù)的定義域的求法，函數(shù)值的求法，兩個函數(shù)是否相同的判定方法，那么函數(shù)的表示方法常用的有哪些呢？這節(jié)課我們就來研究這個問題（板書課題）.Ⅱ.指導自學

［師］課下同學們已經(jīng)進行了自學，函數(shù)的表示方法常用的有哪幾種，各有什么優(yōu)點？ ［生］函數(shù)的表示方法常用的有三種，分別是解析法、列表法、圖象法.解析法是用解析式表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系，它的優(yōu)點是關(guān)系清楚，容易求函數(shù)值，便于研究函數(shù)的性質(zhì).列表法是用表格表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系，它的優(yōu)點是不必計算就可知道自變量取某些值時的函數(shù)值.圖象法是用圖象表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系，它的優(yōu)點是表示函數(shù)的變化情況形象直觀.［師］好!（再舉些例子對各種表示方法進行說明，并強調(diào)：中學里研究的函數(shù)主要是用解析式表示的函數(shù)）

［師］下面請同學們看課本P54例

1、例2.（學生看課本、教師巡視）

［師］例

1、例2的圖象有什么特點呢？

［生］例1的圖象是一些孤立的點，例2的圖象是幾條線段.［師］回答完全正確，在初中，我們學過的函數(shù)圖象通常是一條光滑的（不打折）曲線（或直線）.例

1、例2告訴我們函數(shù)的圖象有時也可以由一些弧立的點或幾段線段組成，以后我們還將看到函數(shù)的圖象還可以由幾段光滑的曲線組成，從例2看到，有些函數(shù)在它的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，對應關(guān)系不同，這種函數(shù)通常稱為分段函數(shù).注意：分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).［師］例3是生活中的實際問題，對實際問題的解決，要求我們認真分析題意，將其抽象，轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，通過解答數(shù)學問題，使實際問題得以解決，因此，解決應用問題的關(guān)鍵是將實際問題分析，抽象，轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，即將實際問題數(shù)學化.下面我們一起對例3進行分析，請大家再仔細看一遍題.（學生看題）

［師］圓形噴水池的直徑為20 m，“計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭”告訴了我們什么？

［生］告訴了噴水頭的位置，即噴水頭距水池中心10 m,其高度與水面一致，視為 OM.［師］“噴出的水柱”其軌跡是什么類型？

［生］由物理學知識可知噴出的水柱軌跡為拋物線型.［師］“各方向噴來的水柱在裝飾物處匯合”是什么意思？ ［生］各方向噴出的水柱交匯在水池的中心線上（學生比劃，這條中心線實質(zhì)上是過水池中心水面的垂線），關(guān)于水池中心各相對方向噴出的水柱也交匯在水池的中心線上.（學生的回答不可能一下子達到準確的程度，教師要及時予以啟示，誘導）

［師］據(jù)以上分析，假如我們過水池中心線任意作一個截面，請同學們試畫出截面的形狀.（幾位學生在黑板上試畫）

（和同學們一起分析了學生畫的圖形，打出幻燈片§2.2A）

解：過水池中心任意選取一個豎立的截面如圖所示，由物理學知識可知，噴出的水柱軌跡是拋物線型，建立如圖所示的平面直角坐標系，據(jù)已知，水柱上任意一點距中心的水平距離x（m）與此點的高度y（m）之間的函數(shù)關(guān)系是

?a1(x?4)2?6(?10?x?0)y=? 2?a2(x?4)?6(0?x?10)由x=-10,y=0，得a1=-a2=-

1,由x=10,y=0得 61,于是，所求的函數(shù)解析式是 6?12?(x?4)?6,(?10?x?0)??6y=? ??1(x?4)2?6,(0?x?10)??6當x=0時，y=10 310m.3即裝飾物的高度應為Ⅲ.課堂練習

課本P56練習

1，2，3 Ⅳ.課時小結(jié)

［師］本節(jié)課我們學習了哪些知識呢？請同學們總結(jié)一下.[生甲]函數(shù)的圖象不僅可以是一段光滑的曲線，還可以是一些弧立的點.[生乙]還可以是若干條線段.[生丙]學習了函數(shù)知識的應用.[生丁]應用數(shù)學知識解決實際問題，關(guān)鍵是將實際問題數(shù)學化.[生戊]實際問題數(shù)學化就是要認真分析題意，將實際問題抽象，轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題.[師]好!同學們總結(jié)了本節(jié)課所學習的知識，重要的在于掌握尤其是函數(shù)知識的應用，更要多練，才能運用自如.Ⅴ.課后作業(yè)

（一）課本P56習題2.2 1~6.（二）1.預習內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性.2.預習提綱：

（1）增函數(shù)、減函數(shù)的定義是什么？（2）函數(shù)單調(diào)區(qū)間的定義是什么？

（3）證明函數(shù)單調(diào)的方法步驟是怎樣的？（4）單調(diào)性是個整體概念還是個局部概念？ ●板書設(shè)計 §2.2 函數(shù)的表示法

分段函數(shù)是一個函

例3 數(shù)而不是幾個函數(shù)

函數(shù)的圖象可以是

練習一些孤立的點或幾

段線段

小結(jié)

第三篇：高中數(shù)學 第三章 第一節(jié) 第一課時 數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念教案 新人教版選修1-2

§3.1.1 數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念

【教材分析】

教材地位和作用：

數(shù)系擴充的過程體現(xiàn)了數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，體現(xiàn)了數(shù)學發(fā)生發(fā)展的客觀需求.通過學習，學生在問題情景中了解數(shù)系擴充的過程以及引入虛數(shù)的必要性，體會人類理性思維在數(shù)系擴充中的作用，有助于提高學生的數(shù)學素養(yǎng).復數(shù)的引入是中學階段數(shù)系的最后一次擴充.學習復數(shù)的一些基本知識，為學習復數(shù)的四則運算和幾何意義做好知識儲備.教材處理辦法：

精心設(shè)計制作教學課件，直觀形象地展示數(shù)系擴充的過程.化抽象為具體，使學生真實體驗數(shù)系擴充的必要性及數(shù)系擴充要遵循的法則.在這個過程中了解復數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)的實部、虛部等相關(guān)概念就水到渠成了.重點：

數(shù)系擴充的過程和方法，復數(shù)的相關(guān)概念.難點：

數(shù)系擴充的過程和方法，虛數(shù)的引入.【教學目標】

知識目標：

了解數(shù)系的擴充過程，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系；了解復數(shù)的相關(guān)概念.能力目標：

發(fā)展學生獨立獲取數(shù)學知識的能力和創(chuàng)新意識.情感目標：

初步認識數(shù)學的應用價值、科學價值和人文價值，崇尚數(shù)學具有的理性精神和科學態(tài)度，樹立辯證唯物主義世界觀.【教學方法】

教學模式： “4+1” 教學模式 教學方法：

開放式探究，啟發(fā)式引導，互動式討論，反饋式評價.【教學程序】

以問題為載體，以學生活動為主線.自主學習合作探究

成果展示

精講點撥

鞏固提高

小結(jié)與作業(yè)

1、【自主學習】(課前完成)閱讀教材P102～P104《§3.1.1 數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念》內(nèi)容，思考：

(1)你對數(shù)的發(fā)展的了解

(2)由 得

你有，何困惑？

(3)方根x-x+1=0無實根的原因是什么？如果擴充數(shù)系，使之有解，如何擴充？(4)虛數(shù)單位i的性質(zhì)？i與實數(shù)的運算性質(zhì)？(5)復數(shù)的有關(guān)概念？(6)實數(shù)集R與復數(shù)C的關(guān)系？

2、【合作探究】

探究任務一：數(shù)系的擴充過程。

問題1：回顧歸納從小學到昨天為止數(shù)系的擴充過程。

探究任務二 ：數(shù)系擴充的必要性。

問題2：方根x-x+1=0無實根的原因是什么？如果擴充數(shù)系，使之有解，如何擴充？

探究任務三：虛數(shù)單位

問題3：虛數(shù)單位i的性質(zhì)？i與實數(shù)的運算性質(zhì)？

探究任務四：復數(shù)的有關(guān)概念

問題4：復數(shù)的概念？實部、虛部？復數(shù)的代數(shù)形式？ 22探究任務五：復數(shù)相等 問題5：復數(shù)相等的充要條件？ 探究任務六：復數(shù)的分類

問題6：實數(shù)集R與復數(shù)C的關(guān)系？復數(shù)的分類圖？

探究任務七：問題7：例1 實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z＝m＋1＋(m－1)i分別是實數(shù)，虛數(shù)和 純虛數(shù)？

探究任務八：問題8：例2 設(shè)復數(shù)z1＝(x－y)＋(x＋3)i，z2＝(3x＋2y)－yi，若z1＝z

2，求實數(shù)x，y的值.3、【成果展示與精講點拔】

問題1：由第1學習小組展示，其他小組可點評或糾錯和完善。

【展示：】

精講點拔：

1、數(shù)的概念產(chǎn)生和發(fā)展的歷史進程：N+

(增加：正分數(shù))→Q+（增加：正無理數(shù))→R+(增加：零和負數(shù))→R.數(shù)系每次擴充的基本原則：

第一、增加新元素；

第二、原有的運算性質(zhì)仍然成立； 第三、新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾.問題2：由第2學習小組展示，其他小組可點評或糾錯和完善?！菊故荆骸?/p>

精講點拔：由于實數(shù)的局限性，導致某些數(shù)學問題出現(xiàn)矛盾的結(jié)果 問題3：由第3學習小組展示，其他小組可點評或糾錯和完善。【展示：】 精講點拔：見課件

問題4：由學生舉手展示，其他學生可點評或糾錯和完善。由第4學習小組展示，其他小組可點評或糾錯和完善。【展示：】 精講點拔：見課件

問題5：由第5學習小組展示，其他小組可點評或糾錯和完善?！菊故荆骸?探精講點拔：見課件

問題6：由第6學習小組展示，其他小組可點評或糾錯和完善?！菊故荆骸?精講點拔：見課件

問題7：由第7、1、3學習小組展示，其他小組可點評或糾錯和完善。【展示：】 精講點拔：見課件

問題8：由第8、9、4學習小組展示，其他小組可點評或糾錯和完善?！菊故荆骸?/p>

5、【課 堂 小 結(jié)】(學生償試歸納小結(jié)，教師補充完善)

(1).復數(shù)的有關(guān)概念；(2).兩復數(shù)相等的充要條件；(3).數(shù)集的擴充.6、課外作業(yè)

(1)、教材106面A組第1、2題；(2)、下堂課【自主學習】

閱讀教材P104～P106《復數(shù)的幾何意義》內(nèi)容，思考：

①在什么條件下，復數(shù)z惟一確定？

②設(shè)復數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R），以z的實部和虛部組成一個有序?qū)崝?shù)對（a，b），那么復數(shù)z與有序?qū)崝?shù)對（a，b）之間是一個怎樣的對應關(guān)系？ ③有序?qū)崝?shù)對（a，b）的幾何意義是什么？復數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）可以用什么幾何量來表示？

第四篇：【鼎尖教案】高中語文(人教大綱)第一冊 19莊暴見孟子(第一課時)

《鼎尖教案》您的教學首選！歡迎您下載使用！莊暴見孟子

●說

課

《莊暴見孟子》記敘的是孟子晚年和齊宣王的又一次關(guān)于“好樂”問題的討論。這是一次非常成功和精彩的游說。在孟子的層層誘導之下，齊宣王側(cè)耳恭聽了儒家“與民同樂”的“仁政”學說，雖然事后齊宣王并沒有付諸實施，但讓人稱道的是，孟子一步一步牽著齊宣王的鼻子走到自己的“仁政”之路上來：巧妙地縮短雙方距離的心理，先舉事例，打比方，后逐層推進的啟發(fā)；明知故問，因勢利導，請君入甕的方法令人叫絕。文章卻寫得很有特色，既完整地表達了孟子的思想，又體現(xiàn)出來的高妙的論辯藝術(shù)，使本文成了游說的名篇。

●教學目標

1.掌握課文中重要的文言實詞、虛詞及文言句式。

學習本文循循導入，刻意對比，語言生動形象等高明的論辯藝術(shù)。2.進一步了解孟子的“民本”思想，理解“與民同樂”的深刻內(nèi)涵。3.加強朗讀，把握各層次間的內(nèi)在聯(lián)系。●教學重點

1.文意的梳理

2.學習文中的一些文言語法現(xiàn)象，如詞類活用、特殊句式以及常見詞語、古今異義現(xiàn)象等并注意摘錄整理。

3.了解孟子的思想，理解本文表達的“與民同樂”的思想內(nèi)涵。●教學難點

1.對孟子高明的論辯藝術(shù)討論和學習。2.對孟子思想的當時和現(xiàn)實意義的理解。3.音樂和古時君王治國之聯(lián)系?！裾n時安排 一課時

●教學方法

用探究學習的方法，看透其內(nèi)部結(jié)構(gòu)，把文章切分為若干小段，在完成局部理解之后，完成對全文的理解，加深對孟子思想的理解。同時要求學生對文章反復朗讀，力求做到熟讀成誦，從而進一步理解孟子的政治思想。

●教學用具

電教或?qū)嵨镎故臼侄?/p>

●學習導航

一、導入語

孟子是繼孔子之后儒家學派的杰出代表，被尊為“亞圣”。（出示幻燈片“孟子畫像”和“孟子簡介”）其一生的實踐及所留下的言論、學說，凝聚著他思想精華，編纂而成的《孟子》一書，被列入了“四書”，成為后世文人必讀的經(jīng)典。

本文選自《梁惠王下》，“好樂何如”為話題，勸說齊王要“與民同樂”，體現(xiàn)了孟子的“王道”思想。論證中所運用的對比手法，形象而又巧妙，尤其值得我們學習。

二、整體初讀

1.自讀課文，梳理文句

（1）掃清讀音障礙 語（yù）

好樂（hào yuè）離散（sàn）

疾首蹙（cù） 則王（wànɡ）矣（2）重點字詞解釋

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獨樂（yuè）樂（lè）

庶幾（jī）

管籥（yuè）羽旄（mǎo）《鼎尖教案》您的教學首選！歡迎您下載使用！

其庶幾乎！

庶幾：差不多

語：告訴 諸：相當于“之乎”

對：回答

請：請求允許我 鼓：動詞，彈奏 舉：全、都 蹙：皺眉 “直”通“只” “與”通“歟” “田”通“畋”

色：古義；臉色 今義：顏色

兄弟：古義：兄長和弟弟 今義：偏指弟弟

妻子：古義：妻子和兒女 今義：男子的配偶 被動句 狀語后置句 介賓倒裝 王嘗語莊子以好樂，有諸？ 未有以對也

臣請為王言樂

今王鼓樂于此

舉疾首蹙

（3）通假詞

直好世俗之樂也

可得聞與

今王田獵于此（4）古今異義 王變乎色曰

兄弟妻子離散（5）文言句式 暴見于王

王語暴以好樂

何以能鼓樂于此

2.理清思路

明確：全文分為兩部分： 第一部分（開頭至“則齊國其庶幾乎”），通過莊暴和孟子的問答，引出話題，提出論題。第二部分，寫孟子就“好樂”問題與齊王的對話。一層，主動發(fā)問，提出“好樂”的話題，轉(zhuǎn)入正題。二層（從“臣請為王言樂”至結(jié)尾），孟子借“為王言樂”，從正反兩方面論述“與民同樂”、實行“仁政”的必要性。

三、歸納提要

1.齊王聽到孟子談到好樂一事，為什么會“變乎色”？

明確：古時歷來重視禮樂，儒家認為音樂具有重要的政治教化作用，從音樂可以考察一個國家的興亡盛衰，反對把音樂作為單純的娛樂活動。“先王之樂”是用來教化百姓，安定民心，治理國家，鞏固統(tǒng)治的，與“世俗之樂”截然不同。齊宣王愛好的不是“先王之樂”而是“世俗之樂”，這又與儒家的音樂主張不吻合了。因此齊王怕受到孟子的批評，因而臉上表現(xiàn)的有點慚愧。

2.可是作為儒學大師的孟子又為什么會說“今之樂猶古之樂”呢？

明確：今樂、古樂固不可混同，但孟子以便進一步勸導齊王在愛好今樂的情況下實現(xiàn)“與民同樂”，所以存異求同。在齊宣王聽孟子提及“好樂”而“變乎色”時，孟子及時肯定了好樂有助于治國，掌握了談話的主動權(quán)。

3.分析兩幅畫面寫法及其作用

（1）兩幅畫面：一幅是“疾首蹙”“父子不相見，兄弟妻子離散”的悲慘圖面； 一幅是“欣欣然有喜色”，祝愿國君身體健康的畫面。

（2）兩幅畫面的作用：畫面描寫性語言的形象和精練，人物神態(tài)逼真，而且使用了對比的手法。用描寫的手法，目的是為了避免直接的、枯燥的說教，讓對方在鮮明的對比中直觀地感受，作出必然的選擇。最后得出“今王與百姓同樂，則王矣”的結(jié)論，水到渠成。

四、探究質(zhì)疑

1.關(guān)于“民本”思想

（1）皇祖有訓：民可近不可下。民惟邦本，本固邦寧。予臨兆民，懔乎若朽索馭六馬。有問題請您反饋郵箱 HHBEIKAO@163.COM 《鼎尖教案》您的教學首選！歡迎您下載使用！

為人上者，奈何不敬！”

——《尚書》

（2）“民為貴，社稷次之，君為輕?！?/p>

（3）“天下非一人之天下，天下之天下也?！?/p>

（4）“國有常制，利民為本?！?/p>

（5）“國以民為本，社稷亦為民而立?！?/p>

熹

——《孟子》

——《呂氏春秋》 ——《史記·趙世家》

——朱（6）“古者以天下為主，君為客，凡君之所畢世而經(jīng)營者，為天下也。今也以君為主，天下為客，凡天下之無地而得安寧者，為君也?！?/p>

2.討論：孟子“與民同樂”的思想在當時能否實現(xiàn)

——黃宗羲

明確：春秋戰(zhàn)國時代征戰(zhàn)不斷、生靈涂炭，孟子繼承、發(fā)展并宣揚的孔子的仁政思想，對于發(fā)展生產(chǎn)，減輕人民負擔，減少流離之苦，確有一定的進步意義；但“勞心者治人，勞力者治于人；治于人者食人，治人者食于人”的觀點使他的仁政學說帶有濃厚的保守色彩，再加上階級的必然對立，“與民同樂”不過是空想。因此，孟子的思想也存在著嚴重的階級和時代的局限性。

●板書設(shè)計

●延伸閱讀

閱讀下面文章，完成1~3題。齊宣王見孟子于雪宮。王曰：“賢者亦有此樂乎？”孟子對曰：“有人不得，則非其上矣，人不得而非其上者，非也，為民上而不與民同樂者，非也，樂民之樂者，民亦樂其樂；憂民之憂者，民亦憂其憂。樂以天下，憂以天下，然而不王者，未之有也。

1.解釋下列句中加點詞。

2.把“然而不王者，未之有也。”翻譯成現(xiàn)代漢語。3.用《莊暴見孟子》中的話概括這段文字的中心。【參考答案】

1.（指責）（不對、錯的）；（以??為樂）（歡樂、快樂）；（以??為憂）（憂愁）2.這樣還不能稱王天下的，從來沒有這樣的事。3.與民同樂。

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第五篇：【鼎尖教案】人教版高中數(shù)學必修系列：1.7四種命題(備課資料)

●備課資料

一、《教師教學參考書》《中學數(shù)學教學》

二、參考例題

［例1］寫出命題“若x≥2且y≥3，則x＋y≥5”的逆命題、否命題，逆否命題.并判斷其真假.分析：應注意分析清楚原命題的條件與結(jié)論，并充分利用四種命題的定義，還要注意條件和結(jié)論中“或”“且”“非”的否定的語句表述的準確性.解：原命題：“若x≥2且y≥3則x＋y≥5”為真命題.逆命題為：“若x＋y≥5，則x≥2且y≥3”，為假命題.否命題是：“若x＜2或y＜3，則x＋y＜5.”其為假命題.逆否命題是：“若x＋y＜5，則x＜2或y＜3”其為真命題.評述：本題應注意理解掌握“p且q”的否定為“?p或?q”，“p或q”的否定為“?p且?q”.［例2］寫出下列命題的逆命題，并判斷原命題和逆命題的真假.2(1)若x＝1，則x＝1.(2)對頂角相等.(3)等腰三角形的兩腰相等.2(4)x＋2x＋8＞0的解集為空集.分析：應先將原命題改寫成“如果??，那么??的形式”然后再構(gòu)造它的逆命題.2解：(1)逆命題是“若x＝1，則x＝1.” 原命題為假命題，逆命題是真命題.(2)逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”.原命題為真命題，逆命題為假命題.(3)逆命題是“如果一個三角形有兩邊相等，那么這個三角形是等腰三角形.” 原命題為真命題，逆命題也為真命題.2(4)逆命題是“空集是x＋2x＋8＞0的解集”.原命題和逆命題都是假命題.［例3］寫出下列命題的否命題，并判斷原命題及否命題的真假.(1)如果x＞－3，那么x＋8＞0.(2)如果一個三角形的三邊都相等，那么這個三角形的三角都相等.(3)矩形的對角線互相平分且相等.(4)相似三角形一定是全等三角形.分析：將原命題的條件和結(jié)論同時加以否定，便得到其否命題.解：(1)否命題是：“如果 x≤－3，那么x＋8≤0”.原命題為真命題，否命題為假命題.(2)否命題是：“如果一個三角形的三邊不都相等，那么這個三角形的三角不都相等.原命題為真命題，否命題也為真命題.(3)否命題是：“如果四邊形不是矩形，那么對角線不互相平分或不相等”.原命題是真命題，否命題也是真命題.(4)否命題是“不相似的三角形一定不是全等三角形.” 原命題是假命題，否命題是真命題.評述：一個命題的否定應當包含除了本身以外的所有情況.如：“都相等”的否定應為“不都相等”，即至少有兩個元素不相等；“p或q”與“?p且?q”互為否定；“一定是”的否定是“一定不是”.三、參考練習題

1.命題“能被4整除的數(shù)一定是偶數(shù)”，等價命題是（）A.偶數(shù)一定能被4整除

B.不能被4整除的數(shù)一定不是偶數(shù) C.不能被4整除的數(shù)不一定是偶數(shù) D.不是偶數(shù)一定不能被4整除 答案：D 2.命題：“若a∈A，則{a}A”的逆命題是（）

A.若a∈A，則{a}A B.若{a}A，則a∈A C.若{a}A，則a?A D.若a?A，則{a}A 答案：B 3.命題：“若∠A＝60°，則△ABC是等邊三角形”的否命題（）A.是假命題

B.與原命題同真或同假

C.與原命題的逆否命題同真同假 D.與原命題的逆命題同真同假 答案：D 4.若命題p的逆命題是q，命題q的否命題是r，則p是r的_______命題.答案：逆否 5.命題“若a＞0，則什么命題：

(1)若a≤0，則(2)若

3a3＝”的相關(guān)命題如下，在題后括號內(nèi)注明它是這一命題的4a43a3≠.（）4a43a3＝，則a＞0()4a43a3(3)若≠，則a≤0()4a4答案：（1）否命題(2)逆命題(3)逆否命題 6.寫出下列命題的逆命題的逆否命題：(1)若a＞4則a＋3＞6(2)若x與y成正比關(guān)系，則y＝kx.答案：(1)若a≤4則a＋3≤6(2)x與y不成正比關(guān)系，則y≠kx.7.把下列命題改寫成“若p則q”的形式：(1)15是5的倍數(shù).(2)正方形四邊相等.答案：(1)若a＝15，則a是5的倍數(shù).(2)若一個四邊形是正方形，那么這一四邊形的四邊相等.8.寫出命題：“若ab＝0，則a、b中至少有一個為0”的逆否命題.答案：若a、b都不為零，則ab≠0.●備課資料

一、《教師教學用書》

二、參考例題

222［例1］寫出命題“在△ABC中，若∠C＝90°，則c＝a＋b”的逆命題，否命題和逆否命題，并指出它們的真假.解：原命題是真命題.222逆命題為“在△ABC中，若c＝a＋b，則∠C＝90°.為真命題.222否命題為：“在△ABC中，若∠C≠90°，則c≠a＋b”，是真命題.222逆否命題為：“在△ABC中，若c≠a＋b，則∠C≠90°，是真命題.評述：此題的原命題中“在△ABC中”是大前提，在寫這類命題的逆命題、否命題和逆否命題時一般保持不變.［例2］寫出命題“x≥2且y≥3，則x＋y≥5”的逆命題，否命題和逆否命題，并判斷它們的真假.分析：本題中原命題的條件是復合條件.因此解好本題的關(guān)鍵是準確地寫出“p且q”的否定.解：原命題是真命題.逆命題是：“x＋y≥5則x≥2且y≥3”為假命題.否命題是：“x＜2或y＜3，則x＋y＜5”為假命題.逆否命題是：“x＋y＜5則x＜2或y＜3”為真命題.評述：注意“p或q”的否定是“?p且?q”，“p且q”的否定是“?p或?q”.在否命題中的準確運用.［例3］寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假.2(1)當x－3x＋2＝0時x＝2(2)ac＞bc?a＞b.2解：(1)逆命題為：“當x＝2時，x－3x＋2＝0”，為真命題.(2)逆命題為：“a＞b?ac＞bc”其為假命題.三、參考練習題

1.在下列命題中，真命題是（）

①“在同一個三角形中，大邊對大角”的否命題.2②“若m≤1，則x－2x＋m＝0有實根”的逆命題.③“菱形的對角線互相垂直平分”的否命題.④“若A∩B＝B，則A?B”的等價命題.A.①②④ B.③④ C.①②

D.①②③ 答案：D 2.命題“若a＞b，則am＞bm”與它的逆命題、否命題，逆否命題中真命題共有____個.答案：0 3.寫出命題“對角線不互相垂直的平行四邊形不是菱形.”的逆命題、否命題、逆否命題，并指出它們的真假.答案：逆命題為：“不是菱形的平行四邊形，對角線不互相垂直”，為真命題.否命題為“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”，為真命題.逆否命題為“平行四邊形是菱形，其對角線互相垂直”，為真命題.4.判斷下列命題的否命題的真假.(1)正方形四條邊相等.(2)已知a＜0，如果x＝－a，那么x＜0(3)一個銳角的補角是鈍角.答案：(1)否命題為假命題.(2)否命題為假命題.(3)否命題為真命題.●備課資料

一、《教師教學用書》

二、參考例題

［例1］用反證法證明：若｜a－b｜＞a－b，則a＜b 分析：反證法證題的關(guān)鍵是對命題的結(jié)論進行否定——推理——矛盾——肯定.證明：假設(shè)a≥b

則有a－b≥0即｜a－b｜＝a－b.但這與已知中｜a－b｜＞a－b矛盾.故a＜b 評述：反證法證明過程中必須對結(jié)論的反面的各種情況一一加以否定，才能證明原命題的正確性.2［例2］用反證法證明：｜a｜＜3則a＜9.2證明：假設(shè)a≥9，兩邊同時開方取算術(shù)根得：｜a｜≥3.這與已知條件中｜a｜＜3相2矛盾.故a＜9.［例3］如果一個整數(shù)n的平方是偶數(shù)，那么這個整數(shù)n本身也是偶數(shù)，試證之.分析：由“整數(shù)n的平方是偶數(shù)”這個條件，很難直接證明“這個整數(shù)n本身也是偶數(shù)”這個結(jié)論成立，因此考慮用反證法證明.證明：假設(shè)整數(shù)n不是偶數(shù)，那么n可寫成：n＝2k＋1（k∈Ｚ）, 2222則n＝（2k＋1）＝4k＋4k＋1＝2（2k＋2k）＋1.22∵k∈Ｚ ∴2k＋2k∈Z，則2（2k＋2k）為偶數(shù).2那么2(2k＋2k）＋1為奇數(shù).2∴n為奇數(shù).但這與已知條件矛盾.則假設(shè)不成立，故n是偶數(shù).評述：否定結(jié)論是反證法的第一步，能否導致矛盾是反證法的關(guān)鍵，一般通過推理導致以下矛盾之一即可：

①與條件矛盾；②與定義、定理、公理矛盾；③與客觀事實矛盾；④自相矛盾.三、參考練習題

1.用反證法證明命題的第二步中，得出的矛盾可以是與下列哪些內(nèi)容產(chǎn)生的()①命題已知 ②數(shù)學定義 ③定理，公理 ④推理、演算的規(guī)律

A.① B.①③

C.②

D.①②③④ 答案：D 2.用反證法證明“一個三角形內(nèi)，不能有兩個鈍角或直角”.證明：假設(shè)可以有兩個鈍角或直角，那么這兩個角與任意大小的第三個角的和必大于180°，這與三角形的內(nèi)角和為180°相矛盾.故一個三角形內(nèi)，不能有兩個鈍角或直角.3.否定結(jié)論“至多有兩個解”的說法中，正確的是（）A.有一解

B.有兩解 C.有三解

D.至少有兩解 答案：C 4.否定下列各結(jié)論，并寫出由此可能出現(xiàn)的情況：(1)a＝b（2）AB∥CD（3）點A在直線a上 答案：(1)a≠b，即a＞b或a＜b

(2)AB與CD不平行，即AB與CD相交，或AB與CD重合.(3)點A在直線a外，即點A在直線a的一側(cè)或另一側(cè).5.用反證法證明：若a2＝－a，則a≤0 證明：假設(shè)a＞0，可得a2＝｜a｜＝a，這與已知a2＝－a相矛盾.故a≤0.6.假設(shè)p、q都是奇數(shù)，求證：關(guān)于x的方程x＋px＋q＝0無整數(shù)根.分析：此題中含有否定用“無”，可考慮用反證法，另外關(guān)于有無整數(shù)根，可從已知方程的判別式與根和系數(shù)的關(guān)系入手分析證明.222證法一：只有在Δ＝p－4q＝（p－m）時((p－m)表示完全平方數(shù),其中由－4q＝－2pm＋m可知m應為偶數(shù))才可能有整數(shù)根.化簡上式得出p與q的關(guān)系：q＝p·因p是奇數(shù)，不論2

mm2

－（），22m是怎樣的整數(shù)，都可得q為偶數(shù)，這與已知q為奇數(shù)相矛盾，則判別2式Δ的值不會是一個完全平方數(shù)，故方程無整數(shù)根.2證法二：假設(shè)方程有整數(shù)根α，無論α是奇數(shù)還是偶數(shù)，都必有α＋pα＋q為奇數(shù)，2這與α＋pα＋q＝0矛盾.故方程無整數(shù)根.