第一篇：提公因式教案

因式分解教案

(提公因式二)

執(zhí)教 許小明

二零一二年三月三日

●課

題

§2.2.2 提公因式法

（二）●教學目標

（一）教學知識點

進一步讓學生掌握用提公因式法分解因式的方法.（二）能力訓練要求

進一步培養(yǎng)學生的觀察能力和類比推理能力.（三）情感與價值觀要求

通過觀察能合理地進行分解因式的推導，并能清晰地闡述自己的觀點.●教學重點

能觀察出公因式是多項式的情況，并能合理地進行分解因式.●教學難點

準確找出公因式，并能正確進行分解因式.●教學過程

提公因式法

（二）公因式是多項式形式，怎樣運用提公因式法分解因式？

在下列各式等號右邊的括號前填入“+”或“－”號，使等式成立：2 =___(b-a)2;(1)(a-b)=___(b-a);(2)(a-b)+－3;(4)(a-b)4 =___(b-a)4;－(3)(a-b)3 =___(b-a)+5;(6)(a+b)6 =___(b+a)6.(5)(a+b)5 =___(b+a)++???????2.(8)(a+b)2 =___(-a-b)+(7)(a+b)=___(-b-a);-做一做p50 填空

由此可知規(guī)律：(1)a-b 與-a+b互為相反數(shù).(a-b)n=(b-a)n(n是偶數(shù)）(a-b)n=-(b-a)n(n是奇數(shù)）a+b與-a-b 互為相反數(shù).(-a-b)n=(a+b)n(n是偶數(shù)）(-a-b)n=-(a+b)n(n是奇數(shù)）(2)a+b與b+a(a+b)n=(b+a)n互為相同數(shù),(n是整數(shù)）

練習一1.在下列各式右邊括號前添上適當?shù)姆?使左邊與右邊相等.(1)a+2 = ___(2+a)+(2)-x+2y = ___(2y-x)+2(3)(m-a)2 = ___(a-m)+3-(4)(a-b)3 = ___(-a+b)(5)(x+y)(x-2y)= ___(y+x)(2y-x)-2.判斷下列各式是否正確?(1)(y-x)2 =-(x-y)2否(2)(3+2x)3 =-(2x+3)3否(3)a-2b =-(-2b+a)(4)-a+b=-(a+b)否否(5)(a-b)(x-2y)=(b-a)(2y-x)對

例1.把a(x-3)+2b(x-3)分解因式.分析：多項式可看成a(x-3)與2b(x-3)兩項。公因式為x-3解：a(x-3)+2b(x-3)＝（ｘ－３）（ａ＋２ｂ）例2.把a(x-y)+b(y-x)分解因式.分析：多項式可看成a(x-y)與+b(y-x)兩項。其中X-y與y-x互為相反數(shù)，可將+b(y-x)變?yōu)?b(x-y)，則a(x-y)與-b(x-y)公因式為x-y解：a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)＝（ｘ－y）（ａ-ｂ）例3.把6(m-n)3-12(n-m)2分解因式.分析：其中(m-n)與(n-m)互為相反數(shù).可將-12(n-m)2變?yōu)?12(m-n)2，則6(m-n)3與-12(m-n)2公因式為6(m-n)2解：6(m-n)3-12(n-m)2= 6(m-n)3-12(m-n)2＝6(m-n)2(m-n-2)例4.把6(x+y)(y-x)2-9(x-y)3分解因式.解：6(x+y)(y-x)2-9(x-y)3= 6(x+y)(x-y)2-9(x-y)3= 3(x-y)2[2(x+y)-3(x-y)]= 3(x-y)2(2x+2y-3x+3y)= 3(x-y)2(-x+5y)=3(x-y)2(5y-x)

練習二分解因式：(1)a(x?y)?b(y?x)(2)5x(a-b)2+10y(b-a)2(3)6(m?n)?12(n?m)32(4)a(a+b)(a-b)-a(a+b)2(5)mn(m+n)-m(n+m)2(6)2(a-3)2-a+3(7)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)小結(jié)兩個只有符號不同的多項式是否有關系,有如下判斷方法:(1)當相同字母前的符號相同時,則兩個多項式相等.如: a-b 和-b+a即a-b =-b+a(2)當相同字母前的符號均相反時,則兩個多項式互為相反數(shù).如: a-b 和b-a 即a-b =-（a-b）

第二篇：提公因式教案

提公因式法教學設計

——李蕓領

教學目標：

1、使學生了解因式分解的意義，理解因式分解的概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系。

2、使學生理解提公因式法并能熟練地運用提公因式法分解因式。

3、通過學生自行探求解題途徑，培養(yǎng)學生觀察、分析和創(chuàng)新能力，深化學生逆向思維能力。

教學重點：

因式分解的概念及提公因式法。

教學難點：

正確找出多項式各項的公因式及分解因式與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系。

教學過程設計：

一、復習提問

乘法對加法的分配律。

二、新課

1．新課引入：用類比的方法引入課題。

在學習分數(shù)時，我們常常要進行約分與通分，因此常常要把一個數(shù)分解因數(shù)(即分解約數(shù))。例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7。

前面，我們學習的整式除法，除式都是單項式，如果除式是多項式該如何進行運算呢？這就要求我們能將除式和被除式進行分解，然后進行約分，就象分數(shù)約分一樣。這樣就引出了“怎樣將一個多項式寫成幾個單項式或多項式的積的形式”這樣一個問題，這就是我們今天將要學習的“因式分解”。所以，因式分解是繼續(xù)學生整式運算的需要，是一個工具，我們一定要把這個工具先準備好，將來才能更好地學習后續(xù)知識。那么，到底要怎樣進行因式分解呢？在前面我們學習了整式的乘法，幾個整式相乘的結(jié)果可能是一個多項式，那么一個多項式如何化成幾個整式乘積的形式呢？下面我們就開始這一章知識的學習。

2．因式分解的概念：

請學生每人寫出一個單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘的例子，并計算出其結(jié)果。(老師按學生所說在黑板寫出幾個。)如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc 2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy(a+b)(a-b)＝a2-b2(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等。

再請學生觀察它們有什么共同的特點？ 特點：左邊：整式×整式；右邊：是多項式?？梢姡匠艘哉?，只要有一個因式是多項式，其結(jié)果就是多項式。下面，我們把上面的式子反過來寫： ma+mb+mc＝ m(a+b+c)2x2y-4x2y2+2xy ＝2xy(x-2xy+1)a2-b2 ＝(a+b)(a-b)am+an+bm+bn ＝(a+b)(m+n)-x2+7x-10＝(x-5)(2-x)上面這些式子，從形式上看，就是把多項式變形為了一些整式的乘積的形式，我們就把這種多項式的變形叫做因式分解。

定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。

從以上情況，我們發(fā)現(xiàn)，因式分解與整式是一個互逆的過程： 如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)。整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc。

讓學生說出因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別。聯(lián)系：同樣是由幾個相同的整式組成的等式。

區(qū)別：這幾個相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．兩者是方向相反的恒等變形，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式，一個是多項式的表現(xiàn)形式，一個是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式．

例

1、下列各式從左到右哪些是因式分解？(1)x2-x＝x(x-1)(√)(2)a(a-b)＝a2-ab(×)(3)(a+3)(a-3)＝a2-9(×)(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1(×)(5)x2-4x+4＝(x-2)2(√)

因式分解的方法有很多，下面我們學習一種常見的，也是最基本的因式分解方法。

3．提公因式法：

我們看多項式：ma+mb+mc 請學生指出它的特點：各項都含有一個公共的因式m，這時我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式．

注意：公因式是各項都含有的公共的因式． 又如：a是多項式a2-a各項的公因式． ab是多項式5a2b-ab2各項的公因式．

2mn是多項式4m2np-2mn2q各項的公因式． 根據(jù)乘法的分配律，可得 m(a+b+c)＝ma+mb+mc，逆變形，便得到多項式ma+mb+mc的因式分解形式 ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

這說明，多項式ma+mb+mc各項都含有的公因式可以提到括號外面，將多項式ma+mb+mc寫成m(a+b+c)的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

顯然，由定義可知，提公因式法的關鍵是如何正確地尋找公因式。讓學生觀察上面的公因式的特點，找出確定公因式的萬法：

(1)公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù)：

(2)字母取各項的相同字母，而且各字母的指數(shù)取小次數(shù)。例

2、指出下列各多項式中各項的公因式：(1)ax+ay+a

(a)(2)3mx-6mx(3mx)(3)4a2+10ah

(2a)(4)x2y+xy2

(xy)(5)12xyz-9x2y2

(3xy)

例

3、把8a3b2-12ab3c分解因式。

分析：分兩步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式。先引導學生按確定公因式的方法找出多項式的公因式4ab2。解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)． 說明：

(1)應特別強調(diào)確定公因式的兩個條件以免漏取。

(2)開始講提公因式法時，最好把公因式單獨寫出。①以顯提醒；②強調(diào)提公因式；③強調(diào)因式分解。

例

4、把3x2-6xy+x 分解因式．

分析：先引導學生找出公因式x，強調(diào)多項式中x=x·1． 解：3x2-6xy+x =x·3x-x·6y+x·1 ＝x(3x-6y+1)說明：當多項式的某一項恰好是公因式時，這項應看成它與1的乘積，提公因式后剩下的應是1，1作為項的系數(shù)通?？梢允÷?，但如果單獨成一項時，它在因式分解時不能漏掉，這類題常常有些學生犯下面的錯誤，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，這一點可讓學生利用恒等變形分析錯誤原因．還應提醒學生注意：提公因式后的因式的項數(shù)應與原多項式的項數(shù)一樣，這樣可以檢查是否漏項。課堂練習一：

把下列各式分解因式：(l)2πR+2πr；(2)3x3+6x2；(3)21a2+7a；(4)15a2+25ab2；(5)x2y+xy2-xy．

例

5、把-4m3+16m2-26m分解因式．

分析：此多項式第一項的系數(shù)是負數(shù)，與前面兩例不同，應先把它轉(zhuǎn)化為前面的情形便可以因式分解了，所以應先提負號轉(zhuǎn)化，然后再提公因式，提“－”號時，注意添括號法則。解：-4m3+16m2-26m ＝-(4m3-16m2+26m)＝-2m(2m2-8m+13)． 說明：通過此例可以看出應用提公因式法分解因式時，應先觀察第一項系數(shù)的正負，負號時，運用添括號法則提出負號，此時一定要把每一項都變號；然后再提公因式。課堂練習二：

把下列各式分解因式：(1)-15ax-20a；(2)-25x8+125x16；(3)-a3b2+a2b3；(4)-x3y3-x2y2-xy；(5)-3ma3+6ma2-12ma；

三、小結(jié)

1．因式分解的意義及其概念

2．因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別 3．公因式及提公因式法

4．提公因式法因式分解中應注意的問題

四、作業(yè)

教材 P．167中 1；P．170中習題15.4中的第1題。

五、板書設計 標題

1、因式分解定義

4、例題

2、公因式定義

5、小結(jié)

3、提公因式法

6、作業(yè)

第三篇：提公因式法教案

15.4

15.4.1因式分解提公因式法

教學目標：

1、了解因式分解的意義，了解因式分解和整式乘法是整式的兩種相反方向的變形。

2、會確定多項式中各項的公因式，會用提取公因式法分解

多項式的因式。

3、會利用因式分解進行簡便計算。

4、通過與質(zhì)因數(shù)分解的類比，讓學生感悟數(shù)學中數(shù)與式的共同點，體驗數(shù)學的類比思想；通過對公因式是多項式時的因式分解的學習，培養(yǎng)換元的意識。

教學重難點

教學重點：因式分解的概念及提取公因式法。

教學難點：多項式中公因式的確定和當公因式是多項式時的因式分解。

教學準備：多媒體課件。

教學設計：

（一）新課引入：

1、問題：把15和18分解質(zhì)因數(shù)。

2、回憶：運用所學知識填空

(3)2ab(a2

反之：(1)x2(2)x2-1=

(3)2a3b+2ab2

觀察以下式子的特點：

（1）15=3×5

（2）18=2×32

（3）X2+X=X(X+1)

（4）X2-1=(X+1)(X-1)

（5）2a3b+2ab2+2ab=2ab(a2+b+1)

由分解質(zhì)因數(shù)類比到分解因式。

（二）新知學習：

1、分解因式的概念，與整式乘法的關系。

鞏固概念：判斷下列各式從左到右哪些是因式分解？

(1)m(a+b)=ma+mb

（2）2a+4=2(a+2)

（3）4a2-6ab2+2a=2a(2a-3b2+1)

（4）a2-2a+1=a(a-2)+1

（5）yy?y??10(?10)???100?xx?x?22、確定公因式。

問題：ma+mb+mc 這個多項式有什么特征？ 引入公因式

概念。

例1:找出6x3y5-3x2y4的公因式

歸納找公因式的辦法。

課堂練習一：找出下列各多項式中的公因式填在后面括號內(nèi)。

（1）3mx-6nx2（）

（2）x4y3+x3y4（）

（3）12x2yz-9x2y2（）

（4）5a2-15a3+25a（）

3、用提公因式法分解因式。

m(a+b+c)＝ma+mb+mc 可得ma+mb+mc＝m(a+b+c)，觀察構(gòu)成乘積的兩個因式分別是怎樣形成的？

m是這個多項式的公因式，而另一個因式是原多項式除以公因式所得的商式。像這種分解因式的方法叫做提公因式法。

想一想：提公因式法的理論依據(jù)是什么?

4、知識運用：

例2：把8a3b2+12ab3c分解因式

解：（略）.例3：把－24x3－12x2＋28x分解因式。

解：（略）

判斷下列各式分解因式是否正確？如果不對，請加以改正。

（1）2a2+4a+2=2(a2+2a)

(2)3x2y3－6xy2z=3xy(xy2－2yz)

課堂練習二：把下列各式分解因式。

(1)x2+x6(2)12xyz-9x2y2

(3)-6x2-18xy+3x(4)2an+2-4an+1-6an-

1例4：把3a(b+c)-3(b+c)分解因式

判斷正誤：我班一位同學在昨天預習了提公因式法分解因式后做了兩道練習題，請你幫他檢查一下他的解題過程是否正確。如不正確，應怎樣改正。

(1)2x(x+y)2-(x+y)3

解：原式=(x+y)2[2x-(x+y)]

=(x+y)2(2x-x-y)

(2)（y+2)(y+1)-3(y+2)

解：原式=(y+2)(y+1-3)

=(y+2)(y-2)

=y2-4

課堂練習三：將下列各式分解因式。

(1)p(a2+b2)-q(a2+b2)

(2)2a2(y-z)2-4a(z-y)2

例5：先分解因式，再求值。

4a2（x+7）-3（x+7），其中a=-5,x=3.解（略）

5、拓展與提高：

（1）、20112+2011能被2012整除嗎？

（2）、已知2x-y=8,xy=2,求多項式2x4y3-x3y4的值。

（3）、利用因式分解進行計算：23.1×24-46.2×7

（4）、將2a(a+b-c)-3b(a+b-c)+5c(c-a-b)分解因式。

97962?29998

（5）、計算：

課堂小結(jié)：

⑴什么叫因式分解？

⑵確定公因式的方法：

⑶提公因式法分解因式的步驟： ⑷提公因式法分解因式的步驟： 課后作業(yè)：課本P170習題15.4 : 題

課后反思：

第1題;第4題的(1);第6

第四篇：提公因式法教案

提供因法因式分解

教學流程：

一、導入及板書課題：

復習鞏固整式的乘法。板書課題：提公因式法因式分解

二、學習目標：

? 1.了解因式分解的概念；

? 2.理解公因式的概念，會用提公因式法對多項式進行因式分解。

三、教學過程：

（一）自學指導：

?

1、自己認真看課本第42頁到第43頁的內(nèi)容；

?

2、時間（5分鐘）

?

3、自學方法：結(jié)合課本例題和云圖中問題，獨立思考，標出看不懂的地方，可以和同桌小聲交流試一試的圖形意思

? 4.你能用嗎提公因式法對多項式進行因式分解嗎？

（二）自學檢測（8分鐘）

1、找四名學生書寫兩數(shù)和與兩數(shù)差的公式

2、挑各組學生進行板演。

3、兵教兵（2分鐘）

要求：各小組組長要切實負起責任，組長要落實好組員的學習情況，組長也講不清的可以問教師。

4、教師點撥（2分鐘）

①、公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公因數(shù)；

②、字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的；

③、要善于發(fā)現(xiàn)較隱蔽的公因式，如（X-Y）與（Y-X）是一對相反數(shù)，但它們可以變?yōu)橄嗤囊蚴健?/p>

課堂作業(yè)：活頁試題

課后作業(yè)： 課本45頁練習題第2題

第五篇：提公因式法教案

§1.2.2 提公因式法

（二）●教學目標

（一）教學知識點

進一步讓學生掌握用提公因式法進行因式分解的方法.（二）能力訓練要求

進一步培養(yǎng)學生的觀察能力和類比推理能力.（三）情感與價值觀要求

通過觀察能合理地進行因式分解的推導，并能清晰地闡述自己的觀點.●教學重點

能觀察出公因式是多項式的情況，并能合理地進行因式分解.●教學難點

準確找出公因式，并能正確進行因式分解.●教學方法 類比學習法 ●教學過程

Ⅰ.創(chuàng)設問題情境,引入新課 ［師］上節(jié)課我們學習了用提公因式法因式分解，知道了一個多項式可以分解為一個單項式與一個多項式的積的形式，那么是不是所有的多項式分解以后都是同樣的結(jié)果呢？本節(jié)課我們就來揭開這個謎.Ⅱ.新課講解

請在下列各式等號右邊的括號前填入“+”或“－”號，使等式成立:（1）2－a=__________（a－2）;（2）y－x=__________（x－y）;（3）b+a=__________（a+b）;（4）（b－a）2=__________（a－b）2;（5）－m－n=__________－（m+n）;（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.一、例題講解

［例1］下列多項中各項的公因式是什么？ a（x－3）+2b（x－3）a（x－3）+2b（3－x）

(a?c)(a?b)2?(a?c)(b?a)2

6（m－n）3－12（n－m）2.?12xy2(x?y)?18x2y(x?y)

分析：雖然a（x－y）與b（y－x）看上去沒有公因式，但仔細觀察可以看出（x－y）與（y－x）是互為相反數(shù)，如果把其中一個提取一個“－”號，則可以出現(xiàn)公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3與（n－m）2也是如此.［例2］把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.分析：這個多項式整體而言可分為兩大項，即a（x－3）與2b（x－3），每項中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作為公因式提出來.解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）［師］從分解因式的結(jié)果來看，是不是一個單項式與一個多項式的乘積呢？ ［生］不是，是兩個多項式的乘積.［例3］把下列各式分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）;（2）6（m－n）3－12（n－m）2（3）(a?c)(a?b)2?(a?c)(b?a)2（4）?12xy2(x?y)?18x2y(x?y)

Ⅲ.課堂練習

把下列各式分解因式： 解：（1）x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）;（2）3a（x－y）－（x－y）=（x－y）（3a－1）;（3）6（p+q）2－12（q+p）=6（p+q）2－12（p+q）=6（p+q）（p+q－2）;（4）a（m－2）+b（2－m）=a（m－2）－b（m－2）=（m－2）（a－b）;（5）2（y－x）2+3（x－y）=2［－（x－y）］2+3（x－y）=2（x－y）2+3（x－y）=（x－y）（2x－2y+3）;（6）mn（m－n）－m（n－m）2 =mn（m－n）－m（m－n）2 =m（m－n）［n－（m－n）］ =m（m－n）（2n－m）.Ⅳ.課時小結(jié)

本節(jié)課進一步學習了用提公因式法分解因式，公因式可以是單項式，也可以是多項式，要認真觀察多項式的結(jié)構(gòu)特點，從而能準確熟練地進行多項式的分解因式.Ⅴ.課后作業(yè)習題1.2 活動與探究 把（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）分解因式.解：原式=（a+b－c）（a－b+c）－（b－a+c）（a－b+c）=（a－b+c）［（a+b－c）－（b－a+c）］ =（a－b+c）（a+b－c－b+a－c）=（a－b+c）（2a－2c）=2（a－b+c）（a－c）教學后記：