第一篇：平面向量的數(shù)量積教案

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

教學目標：

1、知識目標:推導并掌握平面向量數(shù)量積的坐標表達式，會利用數(shù)量積求解向量的模、夾角及判定垂直等問題.2、能力目標:通過自主互助探究式學習,培養(yǎng)學生的自學能力,啟發(fā)學生用多角度去思考和解決問題的能力,促進學生對知識的掌握和靈活運用.3、情感目標:通過自主學習,增強學生的成就感,提高學生學習的積極性和自信心.教學重點:利用數(shù)量積的坐標表示解決模、夾角、垂直等問題.教學難點:平面向量數(shù)量積的坐標表達式的推導.教法:啟發(fā)式教學,講練結(jié)合 學法:自主互助探究式 教學用具:多媒體 教學過程設計:

一、復習引入

(教師提問,學生回答)

二、知識探究

1.平面向量數(shù)量積的坐標表示

????b?(x,y)a?b?x1x2?y1y2 a?(x,y)已知非零向量,22,則11(找學生到黑板上推導)結(jié)論:兩個向量數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.思考:向量數(shù)量積的坐標表示與前面所學的向量的坐標運算有什么聯(lián)系和區(qū)別?

(學生討論回答,教師歸納)例

???1.已知a?(2,3),b?(?2,4),c?(?1,?2),求: ??(1)a?b;(2)???a?(b?c);(3)

????(a?b)?(a?b);(4)??2(a?b).(教師講前兩問,學生做后兩問)

2.平面向量數(shù)量積的應用

(1)求模問題:

(讓學生自己推導)?i)a?(x,y),a??x?y22.(x2?x1)?(y2?y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,AB?(平面上兩點間距離公式).?a1????iii)求a的單位向量e,e????aaa??,其中e??1.??例2.(1)已知a?(3,4),e是a的單位向量,求a,e.?(2)已知A(1,2),B(3,4),求

鞏固練習:P107練習1 ???已知a?(?3,4),b?(5,2),求aAB.,?b??,a?b

(2)判定向量的垂直關(guān)系:(讓學生自己推導)????a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

??a//b?x1y2?x2y1?0

(對比記憶)例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷?ABC的形狀,并給出證明.(3)求向量的夾角:(讓學生自己推導)思考:i)?的范圍?

ii)由cos?能確定?嗎?為什么?

(找學生回答)例4.鞏固練習.P107 練習3

????已知a?(3,2),b?(5,?7),求a與b????設a?(5,?7),b?(?6,?4),求a?b??a?bcos?????abx1x2?y1y2x?y2121x?y222

2?及a?與b的夾角(精確到1).0的夾角(精確到1).0

思考:不使用計算器,結(jié)合上面的例題,能求出?的值嗎?(找學生回答)

三、能力提升

??已知a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),證明

????(a?b)?(a?b).四、小結(jié)

這節(jié)課咱們一起學習了: 1.平面向量數(shù)量積的坐標表示 2.平面向量數(shù)量積的應用(1)求模;(2)判定垂直;(3)求夾角.希望大家在掌握的基礎(chǔ)上加以靈活應用.五、作業(yè)

P108 A組5(1),(2),(3)任選一個、9、11.六、課后探索題: ??已知a?(?2,?1),b?(x,1)

??(1)若a與b??(2)若a與b??(3)若a與b的夾角?為45,則實數(shù)x的值是_____;

0的夾角為銳角,則實數(shù)x的取值范圍是_____;的夾角為鈍角,則實數(shù)x的取值范圍是_____.

第二篇：平面向量的數(shù)量積及運算律的教案說明

《平面向量的數(shù)量積及運算律》的教案說明

新疆石河子第一中學曹麗梅

一、教學內(nèi)容的本質(zhì)：

本教案是人教版高中數(shù)學第一冊（下）第五章平面向量的第六節(jié)內(nèi)容，整個課題按照課程標準分兩個課時，這是第一課時的教案。

平面向量數(shù)量積第一課時的教學，通常要求形成數(shù)量積的概念，得出數(shù)量積運算的公式，并把培養(yǎng)學生的探究精神和應用意識的目標，有機地融入知識學習和技能形成的過程之中。平面向量數(shù)量積是平面向量的重點內(nèi)容之一，也是難點之一，這一節(jié)主要介紹兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種乘法，是中學代數(shù)中從未遇到過的一種新的乘法，與數(shù)的乘法有區(qū)別，同時這一節(jié)與下一節(jié)平面向量的數(shù)量積的坐標表示有著緊密聯(lián)系。由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)換的橋梁。而這一切之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，平面向量的數(shù)量積功不可沒。通過對這一節(jié)的學習，既可以讓學生掌握平面向量的數(shù)量積，幾何意義，重要性質(zhì)及運算律，又可使學生了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度，角度，和垂直問題，而且為平面向量的數(shù)量積的坐標表示的學習做了充分準備，對后面正，余弦定理的證明起到至關(guān)重要的作用，因此本節(jié)課的教學內(nèi)容起著承前啟后的作用。

根據(jù)“平面向量的數(shù)量積及運算律”在高中數(shù)學中的地位與作用，并且考慮到學生已有的認知結(jié)構(gòu)心理特征，我認為本節(jié)課的教學目標應以人為本注重對學生自主能力的培養(yǎng)，啟發(fā)引導學生發(fā)現(xiàn)問題，觀察問題，進而得以解決問題，在這一過程中希望能充分調(diào)動學生的積極性，不斷激發(fā)學生學數(shù)學的興趣。

二、教學內(nèi)容的應用及滲透

平面向量作為一種工具，重在應用，而且今后用向量方法特別便于研究空間里涉及直線和平面的各種問題；而平面向量的數(shù)量積作為一種特殊的運算也有它不可替代的作用，如：求向量的模長，夾角，推導正、余弦定理等。

由于向量來源于物理，并且兼具“數(shù)”和“形”的特點，所以它在物理和幾何中具有廣泛的應用，眾所周知，物理與數(shù)學是密不可分的，而向量在物理中的應用比比皆是，舉不勝舉，反過來物理又可為某些數(shù)學知識作有效的解釋。比如：本課時的引入就是以物體在力的作用下所做的功為模型，事實上這也就是平面向量數(shù)量積的物理意義，這樣可以更貼近生活，使學生更容易理解平面向量數(shù)量積的概念，符合學生的認知習慣。同時解析幾何也往往將向量作為有力的解題工具。

三、教學分析

《數(shù)學課程標準》中強調(diào)：“數(shù)學課程要實現(xiàn)：人人學有價值的數(shù)學；人人都獲得必需的數(shù)學；不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展?！蓖瑫r，她倡導的“關(guān)注過程”“強調(diào)本質(zhì)”“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”“發(fā)展數(shù)學的應用意識”等都向我們昭示出高中數(shù)學課程的價值取向。

為使《數(shù)學課程標準》得以順利實施，教師理應不斷更新教學觀念，努力成為數(shù)學學習活動的組織者、引導者、合作者。通過精心設計、實踐與反思，不斷改進教學方法和教學手段??以優(yōu)化課堂教學，提高課堂教學的效率。課程設計必須從學生的角度出發(fā)，要與學生的經(jīng)歷和經(jīng)驗相聯(lián)系，關(guān)注學生的體驗、感悟和實踐過程。

基于以上認識，對于“平面向量數(shù)量積及運算律”引入，我進行了這樣的教學設計： 首先演示一個外力作功的實驗：W=|F| |S|cosθ，并揭示這個物理模型的實質(zhì)，即：力與位移的數(shù)量積。

其次，具體分析平面向量的夾角，向量的數(shù)量積、重要性質(zhì)等概念，并鞏固練習。再者，基本概念均簡明有效的給出，為之后學生深入學習、探究提供了時間上的保證，從定義出發(fā)推導運算律也變得簡單易行。隨后，從特殊到一般，得出數(shù)量積的幾何表示。在教師為主導、學生為主體的教學模式中，學習活動進展順利，學生們都顯得游刃有余。在教學過程中，學生對平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解有些難度，總的感覺是：在核心問題上的處理不太容易把握，學生需要較多的時間去探究和體驗。

結(jié)合多年教學發(fā)現(xiàn)學生對數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量重視不夠，解題中往往忽略，?學生容易忽略；書寫中符號“?”學生容易省略不寫，教學和作業(yè)中發(fā)現(xiàn)問題教師應時常提醒學生及時糾正，避免重復錯誤；運算律中消去律和結(jié)合律不能亂用，要給學生講清楚一定不能與實數(shù)的運算律混淆，這些地方應反復給學生強調(diào)。

最后，在有效落實教學目標的同時，如何讓學生的“學”更輕松些，讓教師的“教”更順暢些，使“數(shù)量積”的概念形成更具一般性，更能揭示“數(shù)量積”的本質(zhì)內(nèi)含就顯得尤為重要。

四、教法及教學反思

教學過程中采用啟發(fā)引導式與講練相結(jié)合，并借助多媒體教學手段，使學生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后引導學生推導數(shù)量積的性質(zhì)，通過例題和練習加深學生對平面向量數(shù)量積定義的認識，初步掌握平面向量數(shù)量積定義的運用。這一切主要是通過課堂教學來實現(xiàn)的，因此，要精于課堂教學設計，并在實踐中進行反思和再設計，形成一系列適合學生認知、發(fā)展的教學方案。同時，在教學中要注意引導學生不斷增強自主性、探索性、合作性和思辨性，促使他們成為學習的主人。而貫徹數(shù)形結(jié)合思想是克服難點的有效舉措．通過例題、練習的分析講評和學生積極主動的解題實踐，運用知識解決問題的能力將得到提高。由于課堂教學準備的較充分，基本能達到預定目標。

教學反思，是教師對自身教學工作的檢查與評定，是整理教學中的反饋信息，適時總結(jié)經(jīng)驗教訓、找出教學的成功與不足的重要過程。因此教學后適時的反思有利于促進教學，以上就是我對本節(jié)課的理解和反思。

第三篇：平面向量的數(shù)量積及其應用教學設計說明

平面向量的數(shù)量積及其應用設計立意及思路

平面向量在教材中獨立成章，它既反映了現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系，又體現(xiàn)了幾何圖形的位置關(guān)系，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，它將數(shù)和形有機地結(jié)合起來，是中學數(shù)學知識網(wǎng)絡的一個“交匯點”，成為聯(lián)系眾多知識內(nèi)容的媒介。特別是在處理解析幾何的有關(guān)度量、角度、平行、垂直、共線等問題時，運用向量知識，可以使幾何問題直觀化、符號化、數(shù)量化，從而把“定性”研究推向“定量”研究。

由于向量具有“雙重性”，所以，向量成為了“在知識網(wǎng)絡交匯處設計試題”的很好載體。而在知識交匯點處命題，既是當今高考的熱點，又是重點。從近幾年高考試卷來看，對向量的考查除了直接考查平面向量外，還將向量與解析幾何、向量與三角等內(nèi)容相結(jié)合，以平面向量的相關(guān)知識為載體，以數(shù)形轉(zhuǎn)化思想為主線，在知識網(wǎng)絡交匯點處設計創(chuàng)新力度大，綜合性強的問題。因此，研究向量與其它內(nèi)容的綜合運用，對培養(yǎng)學生的綜合能力（尤其是培養(yǎng)學生從學科整體的高度解決問題的綜合能力）和數(shù)學素養(yǎng)，把握高考命題趨勢，都有著重要的意義。，本節(jié)課復習目標是在回顧和梳理基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，突出平面向量的數(shù)量與其他知識的綜合運用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高學生分析問題與綜合運用知識解決問題的能力，使學生站在新的高度來認識和理解向量。在知識點4.平面向量數(shù)量積運算律的回顧中安排“思考討論：????????????????????????a?b?a?c,乙:b?c,則 以及在雙基訓練3．甲：(a?b)c與a(b?c)是否相等?”甲是乙的什么條件的判斷。目的是讓學生通過通討論和練習，深刻認識到向量數(shù)量積運算中“結(jié)合律”及“消去律”是不成立的。

例

1、是以平面向量的知識為平臺，與三角函數(shù)的有關(guān)運算綜合。第（1）小題目的是讓學生理解并掌握體向量垂直問題的多種證明方法，常用的方法有三種，一是根據(jù)數(shù)量積的定義證明，二是利用數(shù)量積的坐標運算來證明，三是利用

????向量運算的幾何意義來證。第（2）小題目的是讓學生掌握a?b?|a|?|b|，但反之不成立，并將向量相等問題轉(zhuǎn)化為模相等問題，建立等量關(guān)系。

例2是函數(shù)的最值與向量綜合問題，用兩種方法建立函數(shù)關(guān)系式，體現(xiàn)向量具有代數(shù)形式和幾何形式“雙重性”，培養(yǎng)學生的綜合應用能力。

第四篇：平面向量的數(shù)量積及應用教學設計[推薦]

高效課堂教學模式探討公開課

平面向量的數(shù)量積及應用教學設計

華羅庚中學 袁勁竹

一、教材分析

向量作為一種基本工具，在數(shù)學解題中有著極其重要的地位和作用。利用向量知識，可以解決不少復雜的的代數(shù)幾何問題?！镀矫嫦蛄康臄?shù)量積及應用》，計劃安排兩個課時，本節(jié)課是第2課時。也就是，在復習了平面向量數(shù)的有關(guān)概念，坐標表示，以及平面向量數(shù)量積的基礎(chǔ)知識之后，本節(jié)課是進一步去認識、掌握平面向量數(shù)量積及平面向量的相關(guān)應用。

二、課標要求

1、平面向量的數(shù)量積

①通過物理中“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； ②體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；

③掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；

④能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。

2、向量的應用

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。

三、命題走向及高考預測

通過對近幾年廣東高考試題的分析，向量的數(shù)量積及運算律一直是高考數(shù)學的熱點內(nèi)容之一，對向量的數(shù)量積及運算律的考查多為一個小題；另外作為工具在考查三角函數(shù)、立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容時經(jīng)常用到．整個命題過程緊扣課本，重點突出，有時考查單一知識點；有時通過知識的交匯與鏈接，全面考查向量的數(shù)量積及運算律等內(nèi)容。

預測高考：

預測2012年廣東高考仍將以向量的數(shù)量積的運算、向量的平行、垂直為主要考點，以與三角、解析幾何知識交匯命題為考向。

四、學情分析

學生已復習了向量的相關(guān)概念、線性運算、數(shù)量積及初步應用，已較好地理解了向量的概念，比較熟練地掌握向量的運算和性質(zhì)，已初步體會研究向量運算的一般方法，具有一定的觀察、探究能力，這為學生進一步復習數(shù)量積數(shù)量積及應用做了鋪墊。由于本班是普通班，受實數(shù)乘法運算的影響，造成不少學生對數(shù)量積理解上的偏差，從而出現(xiàn)錯誤。

五、教學目標

知識目標：

1、掌握平面向量的數(shù)量積公式及向量的夾角公式；

2、運用平面向量的知識解決有關(guān)問題。

能力目標：

1、通過本節(jié)課的學習培養(yǎng)學生觀察、分析、化歸轉(zhuǎn)化的能力；

2、提高學生分析問題、解決問題的能力。

六、教學重點、難點

重點：平面向量數(shù)量積公式及平面向量的應用。

難點：如何將有關(guān)問題等價轉(zhuǎn)化為向量問題。

七、教法、學法分析

教法：采取啟發(fā)引導、反饋評價等方式；

學法：引導學生積極參與、自主探索，培養(yǎng)探究能力。

八、教學過程

【 基本知識點回顧 】

1、向量的數(shù)量積的概念

高效課堂教學模式探討公開課

?b的數(shù)量積。

2、數(shù)量積的性質(zhì)(e是單位向量，〈a，e〉＝θ)???????已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為?，則a·b=︱a︱·︱b︱cos?叫做a與

(1)e·a＝a·e＝__________.(2)當a與b同向時，a·b＝_____；當a與b反向時，a·b＝__________.特別

地，有a·a＝_______或|a|＝________(3)a⊥b?__________.(4)cos〈a，b〉＝________.3、數(shù)量積的坐標運算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝______________.2(2)若a＝(x，y)，則|a|＝_______，|a|＝________.→(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|BA|＝____________________.(4)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?_____________________.4、向量的應用

（1）平面向量數(shù)量積的運算

（2）利用平面向量數(shù)量積解決平行與垂直問題（3）利用平面向量數(shù)量積解決夾角問題

（4）平面向量的綜合運用

注：本節(jié)課是第2課時，重點學習（3）利用平面向量數(shù)量積解決夾角問題和（4）平面向量的綜合運用，其中平面向量的綜合運用主要是在三角函數(shù)中的應用，在立體幾何、解析幾何等方面的應用放在后面學習。

【典例剖析】

應用3：利用平面向量數(shù)量積解決夾角問題

???1????1例

1、(2011年廣州調(diào)研)已知a?1，a?b?，(a?b)?(a?b)?，求： 22??????（1）a與b的夾角的大小;(2)a?b與a?b夾角的余弦值

思路分析（先提問學生，然后板演解題過程）：利用向量夾角的余弦公式求解

設計意圖：讓學生分析解題思路以培養(yǎng)學生的口頭表達能力，歸納概括能力。讓學生上臺板演可以暴露學生存在的問題，老師及時予以糾正，并呈現(xiàn)標準的解答格式，促使學生自我反思，以加強學生答題的規(guī)范性，做到“會做的題目得滿分，不會做的題目不得零分”。

【鞏固練習】

（1）（09重慶理）已知A、6

???????a?

1、b?6且a?(b?a)?2，則向量a與b的夾角是（）

? B、C、D、4???322

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(2（）2010年高考課標全國卷）??則a，b夾角的余弦值等于（）816168 C、D、A、B、??65656565??a，b為平面向量，已知???a?(4,3)，2a?b?(3,18)，答案：（1）C；（2）C；

設計意圖：選用的兩道題中，一道題向量是非坐標形式的，另一道題向量是坐標形式的，通過練習，讓學生學會選用適當?shù)墓浇忸}，鞏固所學知識。同時，讓學生多參與、多思考、多活動，改變教師大段講解的傾向，使師生活動交替進行，調(diào)節(jié)學生的注意力，促進學生各方面的發(fā)展。

題后小結(jié)：

(1)當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它們的關(guān)系．(2)若已知a與b的坐標，則可直接利用公式 x1x2＋y1y2cosθ＝.2222 x1＋y1·x2＋y2

應用四：平面向量的綜合運用

???sin?)，c?(?1，例

2、(2009 湖北理)已知向量a?(cos?，b?(cos?，sin?)，0)．??（1）求向量b+c的長度的最大值；

（2）設?? π4???，且a⊥(b?c)，求cos?的值．

設計意圖：通過典例精講，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結(jié)構(gòu)，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認識，從而進一步提高分析、解決問題的能力。

【自主探究、共同提高】

?????

1、(06天津理)設向量a與b的夾角為?，a?(3,3)，2b?a?(?1,1)，則cos?_____

??????????02、已知兩單位向量a與b的夾角為120，若c?2a?b，d?b?a，試求c與d的夾角的余弦值

3、設0???2?，已知兩個向量則向量p1p2長度的最大值是op1?(cos?,sin?)，op2?(2?sin?,2?cos?)，______ 答案： 1、31010；

2、?92142；

3、32

設計意圖：要求每位學生自己先做練習，然后對照答案進行自主的學習、同座之間互相探討，然后聽老師或?qū)W生進行講解。本環(huán)節(jié)盡量留出時間讓學生充分地比較，互相學習，共同提高。

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【課堂小結(jié)】：

1、向量知識，向量觀點有著廣泛的應用，本節(jié)課主要學習了兩方面的應用： 利用平面向量數(shù)量積解決夾角問題和平面向量的綜合應用（在三角函數(shù)中應用）

2、本節(jié)課主要學習了化歸轉(zhuǎn)化的思想方法

向量的數(shù)量積公式，溝通了向量與實數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

設計意圖：課堂小結(jié)由師生共同進行，以此培養(yǎng)學生的口頭表達能力，歸納概括能力。同時要引導學生學會總結(jié)：做完一道題目的總結(jié)，學完一課、一章的總結(jié)，有總結(jié)才有提高，通過：練習—總結(jié)—再練習，提高學習效率。

【課堂小測】

A、300?????????

1、(05北京)a?1，b?2，c?a?b，且c?a，則向量a與b的夾角為（）??

2、已知a?1，b?

000 B、60 C、120 D、150

?????2，且a?(a?b)，則向量a與b的夾角是_______.????

3、已知向量a?(sin?,1),b?(1,cos?)，且????22????（2）.求a?b的最大值(1).若a?b,求?

答案：

1、C

2、?4

3、（1）??4，（2）2?1

設計意圖：通過課堂小測快速反饋，既可以把學生取得的進步變成有形的事實，使之受到鼓勵，樂于接受下一個任務，又可以及時發(fā)現(xiàn)學生存在的問題，及時矯正乃至調(diào)節(jié)教學的進度，從而有效地提高課堂教學的效率。

思考題、設向量??m?(cos?,sin?)和n?(2?sin?,cos?),??(?,2?)??82??且m?n?,求cos(?)的值528

【課后作業(yè)，分層練習】

必做： 《課時作業(yè)本》第4章第3課時

選做：(2009·江蘇)設向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求證：a∥b.設計意圖：出選做題的目的是注意分層教學和因材施教，為學有余力的學生提供思考空間。

【教學反思】 待寫??

第五篇：《平面向量的數(shù)量積》教學設計及反思

《平面向量的數(shù)量積》教學設計及反思

交口第一中學

趙云鵬

平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數(shù)學的一個重要概念，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種重要工具，在每年高考中也是重點考查的內(nèi)容。向量作為一種運算工具，其知識體系是從實際的物理問題中抽象出來的，它在解決幾何問題中的三點共線、垂直、求夾角和線段長度、確定定比分點坐標以及平移等問題中顯示出了它的易理解和易操作的特點。

一、總體設想：

本節(jié)課的設計有兩條暗線：一是圍繞物理中物體做功，引入數(shù)量積的概念和幾何意義；二是圍繞數(shù)量積的概念通過變形和限定衍生出新知識――垂直的判斷、求夾角和線段長度的公式。教學方案可從三方面加以設計：一是數(shù)量積的概念；二是幾何意義和運算律；三是兩個向量的模與夾角的計算。

二、教學目標：

1.了解向量的數(shù)量積的抽象根源。

2.了解平面的數(shù)量積的概念、向量的夾角

3.數(shù)量積與向量投影的關(guān)系及數(shù)量積的幾何意義

4.理解掌握向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，并能進行相關(guān)的判斷和計算

三、重、難點：

【重點】1.平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)

2.平面向量數(shù)量積的運算律的探究和應用 【難點】平面向量數(shù)量積的應用

四、課時安排：

2課時

五、教學方案及其設計意圖： 1．平面向量數(shù)量積的物理背景

平面向量的數(shù)量積，其源自對受力物體在其運動方向上做功等物理問題的抽象。首先說明放置在水平面上的物體受力F的作用在水平方向上的位移是s，此問題中出現(xiàn)了兩個矢量，即數(shù)學中所謂的向量，這時物體力F的所做的功為W?F?s?cos?，這里的?是矢量F和s的夾角，也即是兩個向量夾角的定義基礎(chǔ)，在定義兩個向量的夾角時，要使學生明確“把向量的起點放在同一點上”這一重要條件，并理解向量夾角的范圍。這給我們一個啟示：功是否是兩個向量某種運算的結(jié)果呢？以此為基礎(chǔ)引出了兩非零向量a, b的數(shù)量積的概念。2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義

已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.零向量的方向是任意的，它與任意向量的夾角是不確定的，按數(shù)量積的定義a?b = |a||b|cos?無法得到，因此另外進行了規(guī)定。3.兩個非零向量夾角的概念

已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）OB＝ｂ，叫ａ與ｂ的夾角.a?b?a?bco?s，a?b是記法，a?bcos?是定義的實質(zhì)――它是一個實數(shù)。按照推理，當0???2?2時，數(shù)量積為正數(shù)；當???時，數(shù)量積為零；

2當?????時，數(shù)量積為負。

4.“投影”的概念

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一個數(shù)量，它的符號取決于角?的大小。當?為銳角時投影為正值；當?為鈍角時投影為負值；當?為直角時投影為0；當? = 0?時投影為 |b|；當? = 180?時投影為 ?|b|.因此投影可正、可負，還可為零。

根據(jù)數(shù)量積的定義，向量b在a方向上的投影也可以寫成a?b a

注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，應結(jié)合圖形加以區(qū)分。5．向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.向量數(shù)量積的幾何意義在證明分配律方向起著關(guān)鍵性的作用。其幾何意義實質(zhì)上是將乘積拆成兩部分：a和b?cos?。此概念也以物體做功為基礎(chǔ)給出。b?cos?是向量b在a的方向上的投影。6．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設a、b為兩個非零向量，則

(1)a?b ? a?b = 0；

(2)當a與b同向時，a?b = |a||b|；當a與b反向時，a?b = ?|a||b|.特別的a?a = |a|2或|a|?a?a

(3)|a?b| ≤ |a||b|

(4)cos??a?b，其中?為非零向量a和b的夾角。a?b例1.(1)已知向量a ,b，滿足b?2,a與b的夾角為600,則b在a上的投影為______

(2)若b?4,a?b?6,則a在b方向上投影為 _______ 例2.已知a?3，b?4，按下列條件求a?b

(1)a//b

(2)a?b(3)a與b的夾角為 1500 7.平面向量數(shù)量積的運算律 1．交換律：a ? b = b ? a

證：設a，b夾角為?，則a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos?

∴a ? b = b ? a

2．數(shù)乘結(jié)合律：(?a)?b =?(a?b)= a?(?b)證：若?> 0，(?a)?b =?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=?|a||b|cos?，若?< 0，(?a)?b =|?a||b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=|a||?b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?.3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c

在平面內(nèi)取一點O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

|a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2，∴c?(a + b)= c?a + c?b

即：(a + b)?c = a?c + b?c

說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

ａ＝ｂ

（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

例3 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a ? 5b垂直，a ? 4b與7a ? 2b垂直，求a與b的夾角.解：由(a + 3b)(7a ? 5b)= 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0

①

(a ? 4b)(7a ? 2b)= 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0

② 兩式相減：2a?b = b2 代入①或②得：a2 = b2

a?bb21設a、b的夾角為?，則cos? =

∴? = 60? ??|a||b|2|b|225 評述：(1)在四邊形中，AB，BC，CD，DA是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應注意這一隱含條件應用；

(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.例4若記a?a?a2，求證：(1)(a?b)2?a2?2a?b?b2;(2)(a?b)(a?b)?a2?b2.以此作為今后求模的基礎(chǔ)。

圍繞向量的數(shù)量積的定義，可開發(fā)出解決幾何問題中有用的知識：垂直的判斷，夾角的計算和線段長度的計算。根據(jù)教學實際，有的數(shù)學知識可提出問題讓學生解決，并總結(jié)、概括出一般的結(jié)論或規(guī)律，但有些知識學生聽講時，理解起來都比較困難，就需要老師的講解，此時恰當?shù)奶幚矸绞绞牵合茸寣W生學會，再說明道理。這里，兩個向量垂直的判斷和夾角的計算，可通過讓學生自己做題后總結(jié)出來；而計算模則需要老師講解并加以強化：由a2?a?a?a?a?c0o?sa2a?b?a?bcos?，當b = a時，?a?a2.接著演示例題并練習。

〖例2〗已知a?2,b?3,且a, b夾角是60?，求a?(a?b);a?b.小結(jié)與反思：

以問題的形式，來反饋一節(jié)課的重點是否突出，難點是否突破。

問題一：關(guān)于向量的數(shù)量積的概念包括哪些主要內(nèi)容？如何引入的？

問題二：說出向量數(shù)量積的幾何意義及運算律。

問題三：用向量的數(shù)量積可解決幾何中的哪三大問題？如何解決？ ? 數(shù)量積的概念包括兩個非零向量的夾角的定義和范圍、數(shù)量積的定義。? 向量數(shù)量積的幾何意義是：a ? b是向量a的模與向量b在向量a方向上的投影的乘積；運算律有三條：??。

? 用向量的數(shù)量積可解決幾何中三大問題：垂直的判斷、夾角的計算和求線段長度。⑴a?b?a?b?0； ⑵cos??a?b2a?a ⑶。a?b；板書設計：整個板面分成三列，把重點知識數(shù)量積的定義放在中間顯著位置。由其衍生出來的幾何意義、運算律放在其下面，再把后面的三大問題放在中間一列的中間位置；左邊一列，是兩個向量夾角的相關(guān)概念；右列集中放例題。

教學記：本節(jié)課的設計注重教學目標的明確；注重根據(jù)學生的認知規(guī)律而科學地進行知識序列的呈現(xiàn)；注重調(diào)動學生參與教學活動；注重課堂效果的實效性。高中數(shù)學教學應體現(xiàn)知識的來龍去脈，創(chuàng)設問題情景，建立數(shù)學模型，讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成與應用，可以更好的理解數(shù)學概念、結(jié)論的形成過程，體會蘊含在其中的思想方法，增強學好數(shù)學的愿望和信心。對于抽象數(shù)學概念的教學，要關(guān)注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式。教師是學生學習的引導者、組織者，教師在教學中的作用必須以確定學生主體地位為前提，教學過程中要發(fā)揚民主，要鼓勵學生質(zhì)疑，提倡獨立思考、動手實踐、自主探索、閱讀自學等學習方式。對于教學中問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等，要盡可能地讓所有學生都能主動參與，提出各自解決問題的方案，并引導學生在與他人的交流中選擇合適的策略，使學生切實體會到自主探索數(shù)學的規(guī)律和問題解決是學好數(shù)學的有效途徑。